小波实验报告一维Haar小波2次分解

haar小波变换分解和复原
Haar小波变换是一种常用的图像处理方法，它通过使用低通和高通滤波器，将图像信息逐层分解剥离开来。

具体来说，Haar小波变换对图像的分解可以看做如下图所示的滤波过程：
1. 首先进行行滤波，沿着列方向进行。

2. 然后下采样。

3. 对上一步得到的结果进行列滤波，沿着行方向。

4. 最后下采样。

通过以上步骤，可以获得4个不同的频带，一个近似分量、三个细节分量（水平、垂直、对角线），将所有的结果组合为一张图。

若对所得的近似分量继续进行这样的滤波过程，即可得到塔式分解。

在进行Haar小波变换分解和复原时，需要注意处理细节和调整参数，以获得最佳的效果。

如果你需要更详细的信息或代码示例，请提供更多上下文或提供具体要求，我将尽力为你解答。

“小波工程应用”实验报告一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现一、目的在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。

在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。

二、基本原理1、信号的小波分解与重构原理在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。

Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct theby and .我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数和。

同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。

如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。

当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和:下面是内积计算方法的具体公式：具体的系数计算过程如下:对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。

而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。

2、小波去噪原理一般来说，噪声信号多包含在具有较高频率细节中，在对信号进行了小波分解之后，再利用门限阈值等形式对所分解的小波系数进行权重处理，然后对小信号再进行重构即可达到信号去噪的目的。

实验四一、实验目的理解小波阈值去噪法原理。

对所得的去噪效果进行分析。

二、实验要求在载入原始图片后，对图片进行含噪和消噪处理，再对所得的图片效果进行分析。

三、主要内容载入原始图片，对原始图片添加一个随机噪声，得出含噪图片。

用sym6小波对图像进行1层分解，设置一个全局阈值，对图像分解系数，将低频系数进行重构，得出消噪后的图像。

再与原图像，含噪图像一起进行分析比较。

运行代码如下clear all;load woman;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);xlabel('(a)原始图像');axis square;init=2055615866;randn('seed',init);x=X+48*randn(size(X));subplot(2,2,2);image(x);colormap(map);xlabel('(b)含噪图像');axis square;%用sym6小波对图像进行1层分解t1=wpdec2(x,1,'sym6');%设置一个全局阈值thr=10.358;%对图像分解系数t2=wpthcoef(t1,0,'s',thr);%对低频系数进行重构x1=wprcoef(t1,1);subplot(2,2,3);image(x1);运行结果四、思考体会小波去噪的根本任务是在小波域将信号的小波变换与噪声的小波变换有效的分离。

噪声的能量分布于整个小波域内，小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值，也可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而比较小的系数在很大程度上是噪声。

于是，采用阈值的方法可把信号系数保留，而把大部分噪声系数减少至零。

将含噪信号在各尺度上进行小波分解，保留大尺度（低分辨率）下的全部系数，对于小尺度（高分辨率）下的小波系数，设定一个阈值，幅值不超过阈值的小波系数设置为零，幅值高于该阈值的小波系数或者完整保留，或者做相应的收缩处理，最后将处理后的小波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效信号。

Haar⼩波分析⼀尺度函数与⼩波函数基本尺度函数定义为：，对其向右平移任意 k 个单位，构成函数族，该函数族在空间中正交，证明如下：1 ；2 当 m 不等于 k 时，函数族构成⼀组正交基，并形成⼦空间。

在⼦空间中，任意函数均可表⽰为的线性组合，。

将函数族构造宽度缩⼩⼀半，则可形成宽度为的⼀组正交基，，同样，该函数族在空间中正交，并形成⼦空间。

在⼦空间中，任意函数均可表⽰为的线性组合，。

通过以上举例可得：设 j 为⾮负整数，j 级函数⼦空间可表⽰为，其对应正交基包括：，观察中可有中线性组合（中任意函数均可⽤中函数线性组合表达），则为得⼦空间。

各个⼦空间之间存在如下关系：。

使⽤不同⼦空间中尺度函数得线性组合，可以阶梯近似任意连续函数。

在噪声滤除应⽤中，需要提取⼀些属于（⾼频信息）但不属于（低频信息）的⽅法，⼩波函数即描述了这部分信息，也即⼩波函数描述相对于的正交补空间。

根据以上描述，⼩波函数应该满⾜⼀些特性：1 ⼩波函数仍然位于空间中，则他应该是空间基函数的线性组合；2 ⼩波函数位于⼦空间中，则它应于正交。

空间的基本⼩波函数表⽰为：，该函数位于空间，且与正交。

同样对⼩波函数向右平移 k 个单位，构成函数族：，该函数族在空间中正交。

空间的基本⼩波函数表⽰为：，该函数族在空间中正交。

使⽤尺度函数与⼩波函数，可以将空间中函数进⾏分解：，其中为空间中的⼩波函数，继续以上分解，可得：⼆ Haar分解1 将函数离散化为，该函数位于空间中；2 由于，可以将空间中该函数分解为（更平滑尺度函数）与（⼩波函数），根据尺度函数与⼩波函数定义，有如下关系：（根据图形可验证结论正确），进⼀步有：；3 观察到分解⽅式不⼀致，需要将原函数改写为：；4 对改写后的分别使⽤更平滑尺度函数与对应⼩波函数再次改写，有：，整理得：；5 令，继续分解直到，可得：，其中，为相应的⼩波分量。

三 Haar重构1 函数被分解为，其中，；2 （根据图形可验证结论正确），进⼀步有：3 重构为；4 重构为；5 ，其中，由组合；6 继续重构与，直到重构。

小波概念小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

有人把小波变换称为“数学显微镜”。

一维小波分解示意图：二维小波分解（尺度为2）示意图二维小波分解常用函数：1）[C,S] = WAVEDEC2(X,N,'wname')；该函数实现小波的N尺度（层次）分解，得到分解系数C，S为数组，存放各尺度频率的尺寸。

2）A = APPCOEF2(C,S,'wname',N)；提取指定尺度N上的低频系数3）D = DETCOEF2(O,C,S,N)；提取分解结构[C,S]中指定尺度N上的高频系数，O = 'h' (or 'v' or 'd', respectively), at level N.1 <= N <= size(S,1)-2[H,V,D] = DETCOEF2('all',C,S,N)4）X = WRCOEF2('type',C,S,'wname',N)；'type' = 'a',('h','v' or 'd', respectively),单支重构，即重构指定尺度N上的某个频率部分5）X = WAVEREC2(C,S,'wname')多尺度图像分解后重构6）CAT(DIM,A,B) concatenates the arrays A and B along the dimension DIM.沿着行或者列来进行向量的合成，可以用于小波分解后的系数C的重新组合。

两层离散小波分解
两层离散小波分解是一种信号处理技术，用于将原始信号分解成不同频率的小波系数。

这种分解方法常用于处理非平稳信号，能够更好地捕捉信号的时频特性，对于分析和处理信号具有重要意义。

在进行两层离散小波分解时，首先需要选择适当的小波基函数。

小波基函数是一组特定形式的函数，可以用来分解信号并提取其中的特征信息。

常用的小波基函数包括Daubechies小波、Haar小波、Morlet小波等，选择合适的小波基函数对于分解结果的质量至关重要。

接下来，在选择好小波基函数之后，需要对原始信号进行两次离散小波变换。

第一次分解得到的结果包含了信号的低频成分和高频成分，再对低频成分进行第二次分解，得到更细节的频率信息。

通过这样的分层分解过程，可以将原始信号分解成不同尺度和频率的小波系数，从而更好地理解信号的时频特性。

两层离散小波分解在信号处理领域有着广泛的应用。

例如，在医学影像处理中，可以利用两层离散小波分解提取出不同频率的图像特征，对医学图像进行分析和诊断。

在通信领域，可以利用这种分解方法对信号进行压缩和去噪处理，提高通信的可靠性和效率。

此外，在金融数据分析、地震信号处理等领域，两层离散小波分解也都有着重要的应用价值。

总之，两层离散小波分解是一种强大的信号处理工具，能够有效地分析和处理非平稳信号，提取出信号的时频特性。

在各个领域都有着广泛的应用前景，对于进一步深化对信号特性的理解和提高信号处理效率具有重要意义。

haar小波变换分解和复原-回复正如您所提到的，本文将介绍haar小波变换的分解与复原过程。

首先，我们将解释什么是小波变换，然后详细描述haar小波变换的分解过程，并给出该过程的示例，最后介绍如何通过分解过程实现图像复原。

小波变换是一种数学工具，用于将信号或图像分解成不同频率的子信号或子图像。

它在信号处理中拥有广泛的应用，可以帮助我们提取信号或图像的特征、降噪、压缩等。

haar小波变换是一种离散小波变换的类型，其中使用到了haar小波函数。

haar小波变换是最简单、最容易理解的小波变换之一，因此我们将以haar小波变换为例进行分解和复原。

首先，让我们了解haar小波变换的分解过程。

haar小波变换的分解包括两个步骤：平滑过程和细节过程。

在平滑过程中，我们将信号或图像的奇偶项进行平均，得到一个平滑的低频子信号或子图像。

而在细节过程中，我们将信号或图像的奇偶项进行差分，得到一个细节的高频子信号或子图像。

通过不断重复这两个过程，我们可以将信号或图像逐渐分解成低频和高频子信号或子图像的组合。

接下来，我们将通过一个简单的示例来展示haar小波变换的分解过程。

假设我们有一个8个像素的一维信号[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。

首先，我们将该信号的奇偶项进行平均，得到第一层的低频子信号[1.5, 3.5, 5.5, 7.5]和高频子信号[-0.5, -0.5, -0.5, -0.5]。

其中，低频子信号表示信号的整体趋势，而高频子信号表示信号的细节或局部变化。

然后，我们继续对低频子信号进行同样的分解过程，得到第二层的低频子信号[2.5, 6.5]和高频子信号[-1, -1]。

最后，在第三层分解中，我们得到最终的低频子信号[4.5]和高频子信号[0]。

现在，让我们来了解如何通过haar小波变换的分解过程实现图像的复原。

首先，我们将使用上述示例中的低频和高频子信号来说明复原的过程。

对于低频子信号，我们可以选择保留其中一部分低频分量，并舍弃其他频率的分量。

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1.2 实验内容主要利用MATLAB提供的小波工具箱Wavelet Toolbox实现小波分解与重构，具体包括：(1)小波基的选择(要求三种以上小波基)(2)延拓方式的选择(3)分解过程中的抽样与非抽样(4)重构结果的分析，要求分析不同小波基、不同延拓方式、抽样/非抽样对于小波重构的影响(5)分析小波对于图像信号表示的方向特性1.3 实验步骤1. 小波变换Matlab实现编程实现图片的分解与重构，程序如下：dwtmode('zpd');X=imread('BARB.BMP');X=im2double(X);nbcol = 255;[cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'haar');cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d = [cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];X1=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,'haar');cod_X1=wcodemat(X1,nbcol);subplot(221);imshow(X,[],'InitialMagnification','fit');title('orig image');subplot(222);imshow(dec2d,[],'InitialMagnification','fit');title('dec image');subplot(223);imshow(cod_cA1,[],'InitialMagnification','fit');title('appro image');subplot(224);imshow(cod_X1,[],'InitialMagnification','fit');title('syn image');在Zero-padding延拓方式下，分别取Haar、db3、sym小波基得到的图像分解与重构的结果如下：1) Haar小波基orig imagedec imageappro imagesyn image2) Db3小波基orig imagedec imageappro imagesyn image3) Sym3小波基orig imagedec imageappro imagesyn image在采用db4小波实现图像的分析和重构，分别采用四种不同的延拓方式，得到的的结果如下：1) extension mode为Zero-padding模式，分解与重构的结果为orig imagedec imageappro imagesyn image。

小波图像分解与合成的设计报告内容小波图像分解与合成的设计报告内容一、小波图像分解与合成及阈值测试概述(一)、haar小波与Daubechies小波分解与重构概述根据haar函数定义，可得出当N=2时，哈尔(haar)正规化变换矩阵为，因为haar矩阵是正交矩阵，具可分离变换性质，对二维的像素矩阵，可由连续2次运用一维的haar小波变换来实现，如对图像像素矩阵的每一行求变换后，再对其每一列求变换可得二维haar小波变换,这叫标准分解，如果交替地对每一行和每一列像素值进行变换，则为非标准分解。

并且可利用矩阵形式的优点，对1×N的像素矩阵分解成若干个1×2的矩阵与上述N=2的haar正规化变换矩阵作一维的haar小波变换，减少计算量，实现haar小波分解。

因为正规化的haar变换矩阵为对称变换矩阵，其逆变换矩阵和正变换的相同，只要把原来每次变换后得到的矩阵数值再作一次变换，则可以实现重构。

Haar小波在时域上是不连续的，因此分析性能并不很好，但它的计算简单。

这里程序采用非标准分解方法。

在变换矩阵中，第一列变换得到图像像素均值，为图像像素低频分量，第二列得到图像像素差值，为高频分量，原像素值第i对像素分解的低频和高频分量值分别存在矩阵的i和N/2+i处。

重构时取回这两个数值，再与逆变换矩阵相乘存回原处，则实现重构。

根据Daubechies小波的定义，可设计出一组满足正交化要求的滤波器，利用卷积模板实现低通和高通功能，主要步骤为：1．利用Matlab中的Daubechies小波滤波器计算函数dbaux求出滤波器作模板系数，对dbN,滤波器长度为2N，这里求db9,其滤波器长度为18。

2．由于图像像素只有有限的2N个非零值，就需要解决边界问题。

Matlab软件里缺省的分解模式sym采用对称周期化扩展技术。

也就是将图像的四个边界先做对称处理的矩阵拓展，避免了边界的不连续性。

如图（这里以256×256为例,即从标号0到255）：_________|______________________________________|______________ |—|—|—|—|—|—|—|———|——|——|——|——|——|——|——||2 |1 |0 |0 |1 |2 |3 |......|252 |253 |254 |255 |255 |254 |253 | |—|—|—|—|—|—|—|———|——|——|——|——|——|——|——|_________|______________________________________|______________对1×M的矩阵像数值，其dbN一次变换(低通、高通)后输出的总长度为M+2(N-1),矩阵拓展长度为M+4×(N-1)。

小波分析上机实验报告院系：电气工程及自动化学院学科：仪器科学与技术实验一小波分析在信号压缩中的应用一、试验目的（1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解；（2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。

二、相关知识复习用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。

之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。

利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成：（1）进行信号的小波分解；（2）将高频系数进行阈值量化处理。

对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化；（3）对量化后的系数进行小波重构。

三、实验要求（1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。

（2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。

四、实验结果及程序（1）load leleccum%将信号装入Matlab工作环境%设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点s = leleccum(2600:3100); ls = length(s);%用db3对信号进行3级小波分解[c,l] = wavedec(s, 3, 'db3');%选用全局阈值进行信号压缩thr = 35;[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1);subplot(2,1,1);plot(s);title('原是信号s');subplot(2,1,2);plot(xd);title('压缩后的信号xd');图1 实验1压缩结果图2 不同阈值下实验1压缩结果（2）clear %清除Matlab工作环境中现有的变量load wbarb;%显示图像subplot(221); image(X); colormap(map);title('原始图像');axis square;disp('压缩前图像X的大小')whos('X')%==================================================== %对图像用bior3.7小波进行2层小波分解[c,s] = wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解结构中第1层的低频系数和高频系数ca1 = appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1 = detcoef2('h',c,s,1); %小波分解结构中第1层的水平方向高频系数cv1 = detcoef2('v',c,s,1); %小波分解结构中第1层的垂直方向高频系数cd1 = detcoef2('d',c,s,1); %小波分解结构中第1层的斜线方向高频系数%分别对小波分解结构中第1层的各频率成份进行重构a1 = wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1 = wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1 = wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1 = wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1 = [a1,h1;v1,d1];%显示分解后各频率成分的信息subplot(222);image(c1);axis squaretitle('分解后低频和高频信息');%==================================================== %下面进行图像的压缩处理%保留小波分解结构中第1层的低频信息，进行图像压缩%第1层的低频信息为ca1，显示第1层的低频信息%首先对第1层信息进行量化编码ca1 = wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca1 = 0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axis square;title('第一次压缩图像');disp('第一次压缩图像的大小为:')whos('ca1')%==================================================== %保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第2层的低频信息即为ca2，显示第2层的低频信息ca2 = appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先对第2层低频信息进行量化编码ca2 = wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca2 = 0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis square;title('第2次压缩图像');disp('第2次压缩图像的大小为');whos('ca2')图3 实验2压缩结果五、实验分析及结论（1）根据实验1压缩结果分析得到，压缩后的信号保持了原有信号的轮廓信息，即低频信息，而大部分细节信息（高频信息）得到了消除。

小波实验报告小波实验报告引言小波分析是一种数学工具，可以将信号分解成不同频率的成分。

它在信号处理、图像处理、数据分析等领域有着广泛的应用。

本实验旨在通过对小波变换的实际应用，探索其在信号处理中的效果和优势。

一、实验背景小波分析是一种基于频域的信号分析方法，与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以更好地捕捉信号的瞬时特性和局部特征。

它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频谱信息。

二、实验目的1. 了解小波变换的基本原理和概念；2. 掌握小波变换的实现方法和工具；3. 分析小波变换在不同信号处理任务中的应用效果。

三、实验步骤1. 选择适当的小波基函数和尺度参数；2. 将待处理信号进行小波变换；3. 分析小波变换后的频谱信息；4. 根据实际需求，选择合适的尺度和位置，重构信号。

四、实验结果与分析本实验选择了一段音频信号进行小波变换。

首先，选择了Daubechies小波作为基函数，并调整尺度参数。

经过小波变换后，得到了信号在不同频率上的能量分布图。

通过分析能量分布图，可以清晰地观察到信号的频率成分和时域特征。

进一步分析小波变换的结果，可以发现小波变换具有良好的局部化特性。

不同于傅里叶变换将整个信号分解成各个频率的正弦波，小波变换可以将信号分解成不同频率的局部波包。

这种局部化特性使得小波变换在信号分析和处理中更加灵活和精确。

五、实验应用1. 信号去噪小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，通过滤除高频噪声成分，实现信号的去噪。

在音频处理和图像处理中，小波去噪已经成为一种常用的方法。

2. 图像压缩小波变换可以将图像分解成不同频率的局部波包，通过保留重要的低频成分，可以实现对图像的压缩。

小波压缩在数字图像处理和视频编码中有着重要的应用。

3. 时频分析小波变换可以提供信号在不同时间和频率上的分布信息，通过时频分析，可以更好地理解信号的时域和频域特性。

在语音识别、心电图分析等领域，时频分析是一种常用的方法。

小波实验报告
《小波实验报告》
小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具。

在本次实验中，我们将探索小波分析的基本原理，并通过实验验证其在信号处理中的有效性。

首先，我们介绍了小波分析的基本概念和原理。

小波分析是一种基于窗口函数的信号分析方法，它可以将信号分解成不同频率和时间尺度的成分。

与傅里叶变换不同，小波分析可以同时提供频域和时域的信息，因此在处理非平稳信号和非线性系统时具有独特优势。

接下来，我们进行了一系列实验，验证了小波分析在信号处理中的应用。

我们首先使用小波分析对一段包含多个频率成分的信号进行了分解，并成功地提取出了各个频率成分的时域和频域信息。

接着，我们对一个非平稳信号进行了小波变换，并观察到了小波分析在处理非平稳信号时的优越性。

最后，我们还利用小波分析进行了信号去噪和压缩，结果表明小波分析在这些应用中具有良好的效果。

通过本次实验，我们深刻理解了小波分析的原理和应用，并验证了其在信号处理中的有效性。

小波分析不仅可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，还可以在实际工程中发挥重要作用。

我们相信，在未来的研究和应用中，小波分析将会得到更广泛的应用和发展。

小波理论实验报告院（系）专业学生学号日期2015年12月实验报告一一、 实验目的1. 运用傅立叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。

2. 加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。

3. 运用卷积公式对基本信号做滤波处理并分析，以加深理解。

4. 熟悉Matlab 中相关函数的用法。

二、 实验原理1.运用傅立叶正、反变换的基本公式：()ˆ()() ()(),11ˆ()(),22i x i t i ti t i t f f x e dx f t e dt f t e f t fe df t e ωωωωωωωωππ∞∞---∞-∞∞--∞=====⎰⎰⎰及其性质，对所要处理信号做相应的傅里叶变换和逆变换。

2.运用卷积的定义式：1212()()()()+∞-∞*=-⎰f t f t f f t d τττ对所求信号做滤波处理。

三、 实验步骤与内容1.实验题目：Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为,0()0,0若若α-⎧≥=⎨<⎩t Ae t h t t 1. 求$()hω 2. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？ 3. 对于信号3()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40)，-=++t f t et t t t 0π≤≤t ,画出图形()f t4. 画出滤波后图形()*f h t ，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10α==A5. 取()(sin5sin3sin sin 40)，-=+++tf t e t t t t 采用不同的变量值α=A (初始设定A=α=10) 画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果。

2.实验步骤及分析过程：1.求$()hω 由傅里叶变换的定义式可得：()0ˆαϖαϖωαω+∞+∞-----∞=⋅=⋅=+⎰⎰t i t t i t Ah Ae e dt Ae e dt i （1） 故该滤波器的幅频特性为：()ω==H ，转折频率τα=；假定1,2A α==，绘制该滤波器的幅频特性曲线如下：图1.1滤波器的幅频特性曲线2. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？（1）观察滤波器响应函数可知，只有在输入信号到达后，该滤波器才会有输出响应，此外实际应用的滤波器均是因果滤波器，所以，题中滤波器是因果滤波器。

连续小波变换实验报告实验目的：通过matlab 编程实现一维连续小波变换，更好地理解连续小波变换的算法和作用，以及小波系数矩阵的含义。

同时通过小波系数矩阵对原始信号进行频谱分析，并了解小波小波系数在尺度和位移两个分量上的意义。

实验原理：一维连续小波变换公式：()1*2(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰当小波函数()t ψ为实函数时(,)f W a b ()12(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下：()12()(,)s f s sn n k T W a b T af nT a ψ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ =()12nn k T af n a ψ--⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔∆t 为0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处理。

(,)(,)min*255max minm n wfab m n I -=-实验结果：50100150200250300350400-20-15-10-55101520ORIGINAL DATATIMEA M P L I T U D ECOEFFS ABSOLUTETIMES C A L E5010015020025030035040010203040506070实验程序及注释（1）主程序load('data.mat'); n=length(dat); amax=70; %尺度a 的长度 a=zeros(1,amax);wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵，均以零矩阵形式赋初值 mexhab=zeros(1,n); %某尺度下小波系数 for s=1:amax %s 表示尺度 for k=1:n mexhab(k)=mexh(k/s); endfor t=1:n % t 表示位移wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替 mexhab=[mexh(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 end endwfab_abs=abs(wfab);figure(3); %画三维图 colormap(pink(255)); surfc(wfab_abs);400TRANSLATIONSCALEA M P L I T U D Exlabel('TRANSLATION')ylabel('SCALE')zlabel('AMPLITUDE')for index=1:amax %小波系数矩阵归一化处理max_coef=max(wfab_abs(index,:));min_coef=min(wfab_abs(index,:));ext=max_coef-min_coef;wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext; endfigure(1);plot(dat); %画原始数据图title('ORIGINAL DATA');xlabel('TIME')ylabel('AMPLITUDE')figure(2);image(wfab_abs); %画尺寸-位移图colormap(pink(255));title('COEFFS ABSOLUTE');xlabel('TIME')ylabel('SCALE')（2）墨西哥帽小波函数function Y=mexh(x) %单独用.M文件定义此函数if abs(x)<=5Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);elseY=0;end;。

1维离散小波变换w2,3一维离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号处理技术，用于将信号分解成不同的频率子带。

在离散小波变换中，小波函数被用作基函数，将信号分解成低频和高频部分。

对于一维离散小波变换，我们需要选择一个小波基函数。

常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。

在这里，我们以Daubechies小波为例，来说明如何进行一维离散小波变换。

Daubechies小波是一类具有紧支集的正交小波基函数。

其中，Daubechies小波的系数是根据特定的滤波器设计算法计算得到的。

Daubechies小波函数具有一定的平滑性和良好的频率局部化特性。

现在，我们来计算一维离散小波变换的过程，以获取第2层、第3个小波系数。

1. 首先，将原始信号进行一次低通滤波和高通滤波，得到第一层的近似系数和细节系数。

2. 然后，将第一层的近似系数再次进行一次低通滤波和高通滤波，得到第二层的近似系数和细节系数。

3. 最后，将第二层的近似系数再次进行一次低通滤波和高通滤波，得到第三层的近似系数和细节系数。

根据你的问题，我们需要获取第2层、第3个小波系数。

假设原始信号为x，第一层的近似系数为A1，细节系数为D1，第二层的近似系数为A2，细节系数为D2，第三层的近似系数为A3，细节系数为D3。

具体步骤如下：1. 对原始信号x进行第一次小波变换，得到A1和D1。

2. 对A1进行第二次小波变换，得到A2和D2。

3. 对A2进行第三次小波变换，得到A3和D3。

4. 第2层、第3个小波系数即为D3的第3个元素。

需要注意的是，小波变换是一个迭代的过程，每一次变换都会将信号分解成近似系数和细节系数。

近似系数表示信号的低频成分，细节系数表示信号的高频成分。

希望以上解释能够帮助你理解一维离散小波变换，并获取第2层、第3个小波系数。

如果还有其他问题，请随时提问。

灰度图像的小波分解与重构摘要：本文概述了小波变换的基本理论，介绍了haar 小波的分解和重构过程，并在Matlab环境下实现了用haar 小波对灰度图像的三级分解与重构，最后对结果作了简要的分析与讨论。

关键词：小波；小波变换；图像分解；图像重构1.引言小波变换理论自80年代末成为国际上十分活跃的研究领域，是继Fourier 变换发展的一个新的里程碑。

由于小波变换克服了傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力 ，从而使小波理论在图像处理、故障诊断、量子场论、光学成像、数据压缩等领域得到了广泛的应用。

小波变换在图像处理中主要用于以下几个方面：图像分解、图像重构、图像融合、图像消噪等。

本文主要讨论了小波分解与重构过程，在此基础上进一步阐述了在Matlab 环境下利用haar 小波对灰度图像进行三级分解和重构的编码实现。

2.小波变换的基本理论2.1.小波变换的定义一个实值函数ψ)(x ,若它的频谱ψ)(x 满足允许条件（AdmissibleCondition ）。

∞<=⎰∞+∞-dw w w C |||)(|2ψψ则ψ)(x 被称作一个基本小波或母小波（mother wavelet ）。

由于W 在积分式的分母上，所以必须有ψ )(x =0, ψ )(+∞=0。

可以看到，ψ)(x 类似于一个带通滤波器的传递函数，是ψ)(x 的傅立叶变换。

小波是一个满足∫R ψ)(x dx =0的,通过平移和伸缩而产生的一个函数族ψa ,b )(x)()(,21abx ax b a -=-ψψ a ,b ∈R a 0≠ ψa ,b )(x 被称为小波基或小波。

设)(x f ∈L 2,定义其小波变换为：dx abx x f ab a wf )()(),(21-=⎰∞+∞--ψ由定义可见，参数a ,b 具有非常重要的意义，a 为伸缩因子，反映一个特定基函数的尺度，它的变化不仅改变连续小波的频谱结构，而且也改变其窗口的大小和形状。

引言小波分解重构算法的实践天津大学建筑工程学院岩土工程专业1015205008 林澍小波是一种震荡形式，具有正负相间的振幅。

这种震荡形式因为具有衰减性，长度有限，均值为0,且具有波动性，所以称为小波。

小波分析是通过选取适合的小波作为空间基底来对信号进行处理，能够通过伸缩平移运算将信号的细部信息体现出来。

小波分析不仅在时域上将信号进行了局部化处理，而且能够在频率上进行调节。

信号的小波分解是利用小波作为基底，将信号依照不同频率段分解为若干层。

小波重构是分解的逆过程，是将若干层信号重新组合成一个信号。

本次实践仅将信号做分解重构处理，不进行其他处理。

二、小波基选取可供选择的小波基非常多，常用的有Haar小波，Daubechies小波，Biorthogonal小波，Symlets小波等。

不同小波各有优缺点，应根据信号特征选取适合的小波。

本次实践不对信号进行其他处理，因此仅选用一种小波对信号进行分解重构处理。

选用db1小波，即Haar小波。

Haar小波是一个正交函数系，其表达式为b 其它Haar小波函数的一般形式为j,k(t)-- (2j t—k)，k=0,1,2, ••丿-2A=CAl+roipCAI=CA2+CD2A-CAS+CD 3+CD2+CD 1亠三、实践结果本次实践通过MATLAB 进行，对地震波信号进行三层分解，再重构回原信号，并将原是新号和重构信号进行对比。

信号的分解和重构过程示意图如图 1所示。

图1信号分解和重构示意图所使用的MATLAB 程序代码如下:clear all;clc;A=textread('NS.txt');%提取地震波信号N=le ngth(1:1024);Time=(0:(N-1))*0.02;figure(1)plot(Time,A); title('原始地震波信号');[c,l]=wavedec(A,3,'db1');%用db1小波对地震波信号A 进行3层小波分解 cd1= detcoef(c,l,1);%提取第一层细节系数 cd2=detcoef(c,l,2);%提取第二层细节系数 cd3=detcoef(c,l,3);%提取第三层细节系数 ca3=appcoef(c,l,'db1',3); %使用小波分解框架［c,l ］计算第三层小波系数近似值ca2=appcoef(c,l,'db1',2); %使用小波分解框架［c,l］计算第二层小波系数近似值ca1=appcoef(c,l,'db1',1); %使用小波分解框架［c,l］计算第一层小波系数近似值figure(2);subplot(3,2,1);plot(ca3); title('a3');title('第3 层低频分解');ylabel('ca3');subplot(3,2,3);plot(ca2); title('a2'); title('第2 层低频分解');ylabel('ca2');subplot(3,2,5);plot(ca1); title('al'); title('第1 层低频分解');ylabel('ca1');subplot(3,2,2);plot(cd3); title('h3'); title('第3 层高频分解');ylabel('cd3');subplot(3,2,4);plot(cd2); title('h2'); title('第2 层高频分解');ylabel('cd2');subplot(3,2,6);plot(cd1); title('h1'); title('第1 层高频分解');ylabel('cd1');%进行重构计算figure(3);A2=waverec(c,l,'db1'); % 将信号重构subplot(2,1,1),plot(Time,A);title('原始地震波信号');subplot(2,1,2),plot(Time,A2);title('重构地震波信号');通过运行上述代码，可以得到如下结果。