2019年江苏省镇江市中考数学试题(解析版)

专题10 图形的性质之选择题参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．2．（2019•常州）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．3．（2019•苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°【答案】解：如图所示：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．【点睛】此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．4．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（）A．105°B．100°C．75°D．60°【答案】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°，∵DE∥CB，∴∠BCF＝∠E＝45°，在△CFB中，∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：A．【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形．5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】解：∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．6．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．7．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，∴点D是△ABC重心．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．8．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．【答案】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE AC＝1.5．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．10．（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3【答案】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH，BJ，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴，∴，∴a，∴BC＝2a，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC 与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m2【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE BC＝6x，∴AD＝CE BE＝6x，AB＝AE+BE＝x+6x x+6，∴梯形ABCD面积S（CD+AB）•CE（x x+6）•（6x）x2+3x+18（x ﹣4）2+24，∴当x＝4时，S最大＝24．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C．【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．12．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC AC＝2，OB＝OD BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'10；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．13．（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．14．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵，∴∠CAB∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．6πB．62πC．6πD．62π【答案】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣62）＝6π，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．16．（2019•苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°【答案】解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC∠AOB＝27°；故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC MP；④BP AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM AD x，∴CM x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP x，∴PN＝CP﹣CN x，∴PM x，∴，∴PC MP，故③错误；∵PC x，∴PB＝2x x x，∴，∴PB AB，故④，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（2019•无锡）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】解：连接OA，如图，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B∠AOP50°＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．19．（2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．C．0 D．【答案】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．。

2019镇江数学中考真题（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共12小题）1.﹣2019的相反数是．2.27的立方根为．3.一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．4.若代数式有意义，则实数x的取值范围是．5.氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为﹣．6.已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1y2．（填“＞”或“＜”）7.计算：﹣＝．8.如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．9.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．10.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝﹣．（结果保留根号）11.如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是°．12.已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．二、单选题（共5小题）13.下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab214.一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．15.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°16.下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．17.如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3三、解答题（共11小题）18.（1）计算：（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；（2）化简：（1+）÷．19.（1）解方程：＝+1；（2）解不等式：4（x﹣1）﹣＜x20.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．21.小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．22.如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝．23.如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．（1）S△OAB＝，m＝；（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．24.在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．25.陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？26.【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取 3.1）27.如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．28.学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．①a＝；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．（直接写出结果）2019镇江数学中考真题（解析版）参考答案一、填空题（共12小题）1.【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．【知识点】相反数2.【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【知识点】立方根3.【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．【知识点】众数4.【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．【知识点】二次根式有意义的条件5.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．【知识点】科学记数法—表示较小的数6.【分析】反比例函数y＝﹣的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征7.【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．【知识点】二次根式的加减法8.【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．【知识点】等边三角形的性质、平行线的性质9.【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．【知识点】根的判别式10.【分析】先根据正方形的性质得到CD＝1，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFDE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．【知识点】正方形的性质、旋转的性质11.【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．【解答】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：，解得，∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×＝80°．故答案为：80．【知识点】列表法与树状图法12.【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴＝﹣＝﹣2∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；故答案为．【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征二、单选题（共5小题）13.【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、a7÷a3＝a4，正确；C、（a3）5＝a15，故此选项错误；D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；故选：B．【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方14.【分析】从图形的上方观察即可求解；【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D．【知识点】简单组合体的三视图15.【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系16.【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．【解答】解：由x+2＞a得x＞a﹣2，A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜，与数轴不符；D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；故选：B．【知识点】解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集17.【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF＝＝2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝，故选：A．【知识点】菱形的性质、坐标与图形性质三、解答题（共11小题）18.【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则计算．【解答】解：（1）（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°＝1+3﹣2＝2；（2）（1+）÷＝（+）÷＝•＝x+1．【知识点】负整数指数幂、实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂、分式的混合运算19.【分析】（1）方程两边同乘以（x﹣2）化成整式方程求解，注意检验；（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．【解答】解；（1）方程两边同乘以（x﹣2）得2x＝3+x﹣2∴x＝1检验：将x＝1代入（x﹣2）得1﹣2＝﹣1≠0x＝1是原方程的解．∴原方程的解是x＝1．（2）化简4（x﹣1）﹣＜x得4x﹣4﹣＜x∴3x＜∴x＜∴原不等式的解集为x＜．【知识点】解分式方程、解一元一次不等式20.【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF；（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AG∥CH，∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．【知识点】全等三角形的判定与性质21.【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是＝．【知识点】列表法与树状图法22.【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；（2）由勾股定理得出OA＝＝13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠OCD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠OBD+∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°，∴AB⊥OB，∵点B在圆O上，∴直线AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ABO＝90°，∴OA＝＝＝13，∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA﹣AC＝8，∴tan∠BDO＝＝＝；故答案为：．【知识点】等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定与性质、解直角三角形23.【分析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB＝3，所以S△ODE＝4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．【解答】解：（1）由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．又点A的坐标是（2，n），∴S△OAB＝×3×2＝3．∵S△OAB：S△ODE＝3：4．∴S△ODE＝4．∵点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的点，∴m＝S△ODE＝4，则m＝8．故答案是：3；8；（2）由（1）知，反比例函数解析式是y＝．∴2n＝8，即n＝4．故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．解得k＝．∴直线AC的解析式是：y＝x+3．令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴OC＝6．由（1）知，OB＝3．设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6．∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，∴△CBO∽△PDE，∴＝，即＝①，又ab＝8 ②．联立①②，得（舍去）或．故D（8，1）．【知识点】反比例函数综合题24.【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作CQ⊥AB于Q，根据正弦的定义求出QC，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠BAF＝＝108°，∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，故答案为：30；（2）作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6，∴GC＝BC﹣BG＝9.6．【知识点】正多边形和圆、解直角三角形25.【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A、D两类的学生数得到B类和C类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．【解答】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．故答案为6分；（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．由题意，得，解得．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．【知识点】条形统计图、中位数、加权平均数26.【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC＝67°，证出∠HBD＝∠DHC＝67°，由平行线的性质得出∠BEO＝∠HBD＝67°，由直角三角形的性质得出∠BOE＝23°，得出∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°，求出∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝36°，由弧长公式即可得出结果．【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：则∠DHC＝67°，∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°，∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，∴＝＝3968（km）．【知识点】弧长的计算、切线的性质27.【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C（2，），A（﹣，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n＝时，N（2，），可求DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP＝9；当PQ与AB不平行时，DP＝9；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，DN＝，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；【解答】解：（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x＝2，∴C（2，），由已知可求A（﹣，0），点A关于x＝2对称点为（，0），则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3），①当n＝时，N（2，），∴DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，∵△DAC∽△DPN，∴，∴DP＝；当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，∴△DNQ∽△DCA，∴，∴DP＝；综上所述，DP＝或DP＝；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，∴，∴DN＝，∴N（2，），∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；故答案为＜n＜；【知识点】二次函数综合题28.【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），得到y＝﹣5x+300，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．【解答】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，设机器人甲的速度为v，∴机器人乙的速度为v＝4v，∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），∴m＝90，故答案为：90；②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，设机器人甲的速度为v，∴机器人乙的速度为v＝v，∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），∴m＝120，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意知，x+150＝（150﹣x），∴x＝50，经检验：x＝50是分式方程的根，即：a＝50，故答案为：50；②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，∴线段OP的表达式为y＝3x，当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A 时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），∴y＝﹣3x+300，即：y＝，补全图形如图2所示，【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），∴y＝﹣5x+300，∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，∴﹣5x+300≤60，∴x≥48，∵x＜75，∴48≤x＜75，故答案为48≤x＜75．【知识点】一次函数的应用。

镇江市2019年中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．﹣2019的相反数是．2．27的立方根为．3．一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．5．氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为．6．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1y2．（填“＞”或“＜”）7．计算：﹣＝．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．10．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）11．如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是°．12．已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab214．一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．15．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°16．下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．17．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD 的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。

1.（2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+2及志愿者人数＝22×调配22座客车的数量﹣2，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+22×调配22座客车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可求出结论．【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：．答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝218，∴n＝．又∵m，n均为正整数，∴．答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．2.（2019年福建省）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3.（2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【分析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意得：，解得：；答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．4.（2019年吉林省）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：，解得：，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．5.【分析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，求解即可；【解答】解：设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，∴，∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；【点评】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．6.（2019年山西省）解方程组：【分析】（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数，0次幂进行计算，再合并同类二次根式；（2）用加减法进行解答便可．【解答】解：（2）①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2，把x＝﹣2代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8，∴y＝1，∴．【点评】本题是解答题的基本计算题，主要考查了实数的计算，解二元一次方程组，是基础题，要求100%得分，不能有失误．7.（2019年广西河池市）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【分析】（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；（2）设该店的商品按原价的x折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．【解答】解：（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得：，解得：，答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）设该店的商品按原价的x折销售，可得：（100×16+100×4）×＝1800，解得：x＝9，答：该店的商品按原价的9折销售．【点评】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．8.（2019年广东省广州市）解方程组：．【分析】运用加减消元解答即可．【解答】解：，②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，故原方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9.（2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；【分析】设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．10（2019年山东省淄博市）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意得：，解得：；答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．11（2019年浙江省丽水市）解方程组【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；【解答】解：，将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，②+③，得y＝1，将y＝1代入②，得x＝3，∴；【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．12（2019年江苏省盐城市）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？【分析】（1）直接利用1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程求出答案；（2）利用分类讨论得出方程的解即可．【解答】解：（1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：，解得：，答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；（2）∵现有A型球、B型球的质量共17千克，∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a＝17，解得：a＝（不合题意舍去），设A型球2个，设B型球b个，则6+4b＝17，解得：b＝（不合题意舍去），设A型球3个，设B型球c个，则9+4c＝17，解得：c＝2，设A型球4个，设B型球d个，则12+4d＝17，解得：d＝（不合题意舍去），设A型球5个，设B型球e个，则15+4e＝17，解得：a＝（不合题意舍去），综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．13（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【解答】解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．14（2019年山东省潍坊市）己知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．【分析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．【解答】解：①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，∵x＞y，∴x﹣y＞0．∴5﹣k＞0．解得：k＜5．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x﹣y的值（用含k的式子表示）是解题的关键．15（2019年浙江省温州市）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．【解答】解：（1）设成人有x人，少年y人，，解得，，答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，当10≤a≤17时，若a＝10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，∴b的最大值是2，此时a+b＝12，费用为1160元；若a＝11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b≤，∴b的最大值是1，此时a+b＝12，费用为1180元；若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1≤a＜10时，若a＝9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，∴b的最大值是3，a+b＝12，费用为1200元；若a＝8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，∴b的最大值是3，a+b＝11＜12，不合题意，舍去；同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．16（2019年甘肃省武威市、陇南市）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．17（2019年山东省枣庄市）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5；（2）根据题中的新定义化简得：，①+②得：3x+3y＝﹣3，则x+y＝﹣1．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

2019年镇江市中考数学试卷（解析版）一、填空题（每小题2分，共计24分.）1．（2分）﹣2019的相反数是2019．【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2．（2分）27的立方根为3．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝5．【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．4．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥4．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为5×10﹣11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1＜y2．（填“＞”或“＜”）【分析】反比例函数y＝﹣的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜7．（2分）计算：﹣＝．【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于1．【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝﹣1．（结果保留根号）【分析】先根据正方形的性质得到CD＝1，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFDE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．11．（2分）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是80°．【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．【解答】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：，解得，∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×＝80°．故答案为：80．12．（2分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴＝﹣＝﹣2∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；故答案为．二、选择题（每小题3分，共计15分）13．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a7÷a3＝a4C．（a3）5＝a8D．（ab）2＝ab2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、a7÷a3＝a4，正确；C、（a3）5＝a15，故此选项错误；D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；故选：B．14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】从图形的上方观察即可求解；【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D．15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．B．C．D．【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．【解答】解：由x+2＞a得x＞a﹣2，A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜，与数轴不符；D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；故选：B．17．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD 的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF＝＝2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝，故选：A．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。

1.（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根据tan∠ECD＝计算结果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．2.（2019年湖北省孝感市）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.（2019年湖北省江汉油田）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4.（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．5.（2019年广东省）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．6.（2019年湖南省株洲市）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本题关键是弄懂题意，正确画图．7.（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．8.（2019年浙江省湖州市）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．9.（2019年四川省乐山市）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.（2019年甘肃省天水市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD ＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴EF＝3﹣x＝，∴sin∠EFC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．11.（2019年浙江省丽水市）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12.（2019年浙江省丽水市）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．13.（2019年浙江省宁波市）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．14.（2019年浙江省衢州市）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．15.（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．16.（2019年甘肃省）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．17.（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出BC与AC之间的关系是解题的关键．18.（2019年浙江省温州市）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝2019年浙江省温州市米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝2019年浙江省温州市米，晾衣臂支架HG＝FE＝2019年浙江省温州市米，且HO＝FO＝2019年浙江省温州市米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM 为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.（2019年山东省德州市）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．20.（2019年四川省自贡市）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．21.（2019年山东省枣庄市）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．。

专题15 图形的变化之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．2．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【答案】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．（2019•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．【答案】解：（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S4×42×22×42×4＝6．【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．4．（2019•常州）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【答案】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．【点睛】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．5．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【答案】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠F AG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠F AG+∠F＝50°+28°＝78°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．7．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为4；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为5；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．【答案】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，∵PB＝4，∴PB′＝PB＝P A＝4，∵∠A＝60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB＝5，∴∵B，B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′＝2OB∴OB＝PB•sin60°，∴BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．∵B，B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC∥BB′，∴S△ACB′＝S△ACB•82＝16．（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，∵P A＝2，∠P AE＝60°，∴PE＝P A•sin60°，∴B′E＝6，∴S△ACB′的最大值8×（6）＝424．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．8．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【答案】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．9．（2019•南京）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC 上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【答案】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，则CD x，AD x，∵AD+CD＝AC，∴x＝3，∴x，∴CD x，观察图象可知：0≤CD时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．∵DG∥AB，∴，∴，解得m，∴CD＝3，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．∵DG∥AB，∴，∴，∴n，∴CG＝4，∴CD，观察图象可知：当0≤CD或CD≤3时，菱形的个数为0，当CD或CD时，菱形的个数为1，当CD时，菱形的个数为2．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．10．（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【答案】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝EC sin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．11．（2019•泰州）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB 的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E 处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan l8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【答案】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（2019•连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°，cos37°＝sin53°，tan37°，tan76°≈4）【答案】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B，∴AC＝AB•sin37°＝2515（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝1512，AM＝AC•cos∠CAM＝159．在Rt△AMD中，tan∠DAM，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．13．（2019•南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）【答案】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，tan∠ACH，∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，在Rt△BHC中，tan∠BCH，∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的长度为323m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。

2019年江苏省镇江市中考数学学业水平测试试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．正三角形的内切圆半径与外接圆半径及高线长的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．1:2:3D．1:3:22．如图，正方形ABCD的边长为a，那么阴影部分的面积为（）A．14πa2B．12πa2C．2211.816a D aππ3．下面列出的不等式中，正确的是（）A．a 不是负数，可表示成0a>B．x 不大于 3，可表示成3x<C．m 与 4 的差是负数，可表示成40m−<D．x 与 2 的和是非负数，可表示成20x+>4．如图所示的图形由四个相同的正方形组成，通过旋转不可能得到的图形是（ •）5．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．3．1449精确到百分位的近似数是（）A．3．14 B．3．15 C．3．20 D．3．145二、填空题7．将下图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去(填序号）．8．如图所示，BC 是⊙O的直径，P 是 CB 延长线上的一点，PA 切⊙O于 A，∠APC=30°，PA=3,则PB= ．9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，AB=6cm ，则AE= cm.10．如果平行四边形的周长为180cm ，相邻两边的长度比为5∶4，那么它的较长边为 cm ． 11．关于x 的方程22(23)103a x ax −−−=是一元二次方程，则a 的取值范围是 ． 12．从1，2，3这三个数字中任取两个数字组成一个两位数，其中能被3整除的两位数的概率是 ．13．如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，现将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°至△ADE 的位置．则∠DAC= ．14． 如图，把△ABC 向左平移,使平移的距离等于BC,则B 的对应点是 ,AB 的对应线段是 ,∠ABC 的对应角是 .15．下图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴时的正方形，当边长为n 根火柴时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S=______ ____（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．16．如图所示，∠AOB=85°，∠AOC=10°，0D 是∠BOC 的平分线，则∠BOD 的度数为 ．17．在统计分析数据时，常用的统计图有 ． 18．a 的 2倍的立方与b 的5倍的平方的差可表示为 . 19．化简：(7y - 3z)- (8y - 5z)= ．20．某次数学测验，以 90 分为标准，老师公布的成绩为：小明+10 分，小刚 0分，小敏-2 分，则小明的实际得分为 分，小刚的实际得分为 分，小敏的实际得分为 分.三、解答题21．画出如图所示的物体的三视图.A B C E D22．投两个分别标有 1、2、3、4、5、6 的均匀的骰子.(1)所有可能的结果有几种？(2)同时出现两个一点的概率是多少？(3)同时出现两个六点的概率是多少？(4)同时出现相同点的概率是多少？(5)出现不同点的概率是多少？23．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，OE=OF，OA=OC，求证：四边形ABCD是平行四边形．24．(1)如图，由∠1=∠2，∠3=∠4，你能得出哪些结论?(2)根据图形编题解题．25．已知一个长方形ABCD，长为6，宽为4．(1)如图①建立直角坐标系，求A、B、C、D四点的坐标．(2)如图②建立直角坐标系，求A、B、C、D四点的坐标．图①图②26．小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果. 爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12 分.”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于 10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，那么小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下，究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分？27．已知一个几何体的三视图如图，请画出它的表面展开图(只需画一种)．28．一种圆筒状包装的保鲜膜如图所示，其规格为20 cm× 60 cm，经测量这筒保鲜膜的内径φ和外径φ分别为3．2 cm和4．0cm，求这种保鲜膜的厚度是多少?(π取3．14，保留两位有1效数字)29．观察下列各式，然后探索下列问题： 因为311=，311−=−，所以3311−=−382=，382−=−，所以3388−=− 3273=，3273−=−，所以332727−=−…33n = ，33n −= ，所以 = ．(1)在上面“ ”上填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根有何关系. (2)计算333331827n −+−+−++−(其中100n =)30．在如图所示的数轴上表示数-3、0、52−、1，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“<”连接.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．C3．C4．C5．B6．A二、填空题7．1或2或6均可（答案不唯一）8．19．610．5011．23a ≠12． 3113． 1514．B ，，A ，B ，，∠A ，B ，C ，15．222n n +16．37．5°17．条形统计图，折线统计图，扇形统计图18．32(2)(5)a b −19．2y z −+20．100,90,88三、解答题 21．22．由下表可知：(1)共有 36 种；(2)136P =；（3）136P =；(4)61366P ==；(5)305366P ==． 23．先证明四边形EAFC 是平行四边形，得CE ∥AF,即CD ∥AB ，而AD ∥BC ，则四边形ABCD 是平行四边形24．(1)证明AB ∥CD ，BC ∥AD ．△ABC ≌△CDA ．AB=CD ，BC=DA ，四边形ABCD 是平行1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 2 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 616263646566四边形，∠B=∠D等；(2)略25．(1)A(6，4)，B(0，4)，C(0，O)，D(6，0)；(2)A(3，2)，B(一3，2)，C(-3，-2)，D(3，-2) 26．小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分27．28．0．075 cm29．(1)n,n−,33n−,33n−互为相反数的两个数的立方根也互为相反数(2)(1)2n n+−30．在数轴上表示如图所示.各数的大小关系为53012−<−<<。

A. 2 cm, 3 cm, 4 cmB. 1cm, 2 cm, 3 cm6. 2021年淮安市“周恩来读书节〞 活动主题是“阅读,遇见更美好的自己〞阅读情况,王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计,结果如下〔单位：本〕:5, 5, 3, 6, 3, 6, 6, 5, 4, 5,那么这组数据的众数是 A. 3B.4C. 4D. 527.假设关于x 的一兀二次方程x + 2x — k = 0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是〔〕A. kv-1B. k>-1C. k<1D. k>18.当矩形面积一定时,以下图象中能表示它的长 y 和宽x 之间函数关系的是〔〕 2021年淮安市中考数学试题、答案〔解析版〕本试卷总分值150分,测试时间120分钟. 第I 卷〔选择题共24分〕、选择题〔本大题共有8小题,每题3分,共24分.在每题给出的四个选项中,恰有一项为哪一项 符合题目要求的〕 1 . 4的绝对值是 A. -- B.邙 3 2 .计算a a 2的结果是 A 3 2A. aB. aC. -D. 33( 2 C. 3a D. 2a 2 3.同步卫星在赤道上空大约 36 000 000米处.将36 000 000用科学记数法表示应为 A. 36X 106 8 B. 0.36X 10 C. 3.6X 106 D. 3.6X 107 4.以下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体 ,那么该几何体的主视图是 ABC 5.以下长度的3根小木棒不.能 搭成三角形的是D)C. 3 cm, 4 cm, 5 cmD. 4 cm, 5 cm, 6 cm.为了解同学们课外第II卷〔非选择题共126分〕、填空题〔本大题共有8小题,每题3分,共24分〕29.分解因式：1—x=.10.现有一组数据2, 7, 6, 9, 8,那么这组数据的中位数是.111.方程^—=1的解是^x 212.假设一个多边形的内角和是540：,那么该多边形的边数是.x> 2.13.不等式组V 的解集是.x> -114.假设圆锥的侧面积是15支,母线长是5,那么该圆锥底面圆的半径是.15.如图,l"/"/ 13,直线a、b 与11、12、13 分别相交于点A、B、C 和点D、E、F%AB = 3, DE =2,16.如图,在矩形ABCD中,AB =3, BC =2 , H是AB的中点,将4CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,那么tan/HAP =.三、解做题〔本大题共有11小题,共102分.解容许写出必要的文字说明、证实过程或演算步骤〕17.〔本小题总分值10分〕计算：〔1〕在一tan45,-〔1—扬0 ；18 .〔本小题总分值8分〕... a 2-4 2先化简,再求彳1: --------- -- 1--19.〔本小题总分值8分〕试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨?20 .〔本小题总分值8分〕：如图,在口 ABCD 中,点E 、F 分别是边 AD 、BC 的中点.求证：BE = DF .2(2) ab (3a — 2b) + 2ab .21.〔本小题总分值8分〕某企业为了解员工平安生产知识掌握情况,随机抽取了局部员工进行平安生产知识测试,测试试卷总分值100分.测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.〔说明：测试成绩取整数,A级：90分〜100分；B级：75分〜89分;C级：60分〜74分；D级：60分以下〕请解答以下问题：(1)该企业员工中参加本次平安生产知识测试共有人；(2)补全条形统计图；(3)假设该企业共有员工800人,试估计该企业员工中对平安生产知识的掌握能到达A级的人22.(本小题总分值8分)在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字,分别为5、8、8,现将三张卡片放入一只不透明的盒子中,搅匀后从中任意摸出一张,记下数字后放回,搅匀后再任意摸出一张,记下数字.(1)用树状图或列表等方法列出所有可能结果；(2)求两次摸到不同数字的概率.23.(本小题总分值8分)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点).(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1;(2)将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90',点B1的对应点为点B2 ,请画出旋转后的线段(3)连接AB2、BB2 ,求^AB%的面积.24.(本小题总分值10分)如图,AB是0O的直径,AC与0O交于点F,弦AD平分ZBAC , DE _L AC ,垂足为E.(1)试判断直线DE与0O的位置关系,并说明理由；(2)假设0O的半径为2, ZBAC = 60 ,求线段EF的长.25.(本小题总分值10分)快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶, 途中快车休息1.5小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间为x小时,快车行驶的路程为y1千米,慢车行驶的路程为y2千米.以下图中折线OAEC表示四与乂之间的函数关系,线段OD表示y2与x之间的函数关系.请解答以下问题：(1)求快车和慢车的速度；(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)线段OD与线段EC相交于点F,直接写出点F的坐标,并解释点F的实际意义.26.(本小题总分值12分)如图,二次函数的图像与x轴交于A、B两点,D为顶点,其中点B的坐标为(5,0),点D 的坐标为(1,3).(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且ED = EF ,求点E的坐标；(3)试问在该二次函数图彳t上是否存在点G,使得4ADG的面积是4BDG的面积的-?假设5存在,求出点G的坐标；假设不存在,请说明理由.备用图27.(本小题总分值12分)如图①,在4ABC中,AB =AC =3, /BAC =100 , D是BC的中点. 小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80s,点B的对应点是点E,连接BE,得到4BPE .小明发现,随着点P在线段AD 上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答以下问题：(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.① /BEP =:;②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图③中画出4BPE ,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB 的位置关系,并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.2021年淮安市中考数学答案解析第I卷一、选择题1.【答案】D【解析】根据绝对值的性质,得|与| =3,应选D.【考点】绝对值2.【答案】A【解析】aga2=a1j2=a3,应选A.【考点】同底数哥的乘法3.【答案】D【解析】36 000 000用科学记数法表示为3.6父107,应选D.【考点】科学记数法4.【答案】C【解析】从正面看第一层是3个小正方形,第二层最左边有一个小正方形 ,应选C.【考点】简单组合体的三视图5.【答案】B【解析】A:2 +3>4,能搭成三角形；B:1 +2=3,不能搭成三角形；C: 3+4>5,能搭成三角形；D : 4+5>6,能搭成三角形.应选B.【考点】三角形的三边关系6.【答案】C【解析】数据5出现了4次为最多,故众数是5,应选C.【考点】众数7.【答案】B【解析】二•关于x的一元二次方程x2 +2x-k=0有两个不相等的实数根, . .&=% —4M1M(-k)=4+4k>0, ：k> —1,应选B.【考点】一元二次方程根的判别式8.【答案】B k【解析】设矩形的面积为k,那么它的长y与宽x之间的函数关系式为：y=5(x >0且k >0), x 是反比例函数,且图像只在第一象限,应选B.【考点】反比例函数第n卷二.填空题9.【答案】(1+x)(1-x)【解析】1 -x2 =(1 x)(1 - x).故答案为：(1 x)(1-x).【考点】公式法分解因式10.【答案】7【解析】这组数据排列顺序为：2, 6, 7, 8, 9,. 这组数据的中位数为7.故答案为：7.【考点】中位数11.【答案】X = —11【解析】_ =1方程两边都乘以X + 2,x -2得1 = x72,解得x = -1,检验：当x = —1时,x+2#0 ,所以x = -1是原方程的解.故答案为：x二「1.【考点】分式方程12.【答案】5【解析】设多边形的边数为n,根据题意得〔n-2〕父180© = 540 =,解得n = 5.故答案为：5.【考点】多边形内角和13.【答案】x>2【解析】根据同大取大即可得到不等式组|x>2的解集是x>2,故答案为：x>2.x> -1【考点】一元一次不等式组14.【答案】3【解析】设圆锥的底面圆半径为r ,由题意得,【考点】圆锥的计算15.【答案】4【解析】11// l2// l3,,AB DE••1 1 , BC EFAB =3, DE =2, BC =6,- 3 _ 2 ••——- -- , 6 EFEF =4.故答案为：4.【考点】平行线分线段成比例定理416.【答案】一3【解析】: AB=3,点H是AB的中点,3•• AH =BH =一, 2由翻折变换的性质可知,AH -BH , BHC —PHC ,PH =AH ,••一HAP=/HPA,1一父2式父「父5 = 15n兀,解得r =3.故答案为：3. 2BHC PHC =/HAP HPA•••. HAP =/BHC,BC•tan. BHC 三BH 4•• tan. HAP =—.3故答案为：4.3【考点】翻折变换的性质,矩形的性质和锐角三角函数的定义三、解做题17.【答案】(1)0(2) 3a2b【解析】(1)原式=2-1—1=0(2)原式=3a2b -2ab2 +2ab2 =3a2b【考点】实数的运算,整式的混合运算18.【答案】7(a 2)(a -2) a -2 a a a【解析】原式=(a 2)(a -2) n a= --------------- g——oa a -2=a 2,当a =5时,原式=5+2=7.故答案为7.【考点】分式的化简求值19.【答案】解：设每节火车车皮装物资x吨,每辆汽车装物资y吨,根据题意得：2x 5y =130, x =50, 2 y ,解得x, 4x 3y =218, y =6.答：每节火车车皮和每辆汽车各装物资50吨、6吨.【解析】设每节火车车皮装物资x吨,每辆汽车装物资y吨,然后根据“ 2节火车车皮与5辆汽车共运输物资总量为130吨,4节火车车皮与3辆汽车共运输物资总量为218吨〞列出方程组解答.【考点】二元一次方程组20.【答案】证实：二.四边形ABCD是平行四边形,AD// BC,且AD =BC,.「E、F分别的边AD、BC的中点,ED =BF ,四边形DEBF是平行四边形,BE =DF.【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,可得AD// BC,且AD = BC,再证实四边形DEBF是平行四边形,即可根据平行四边形的性质得到BE =DF .【考点】平行四边形的判定与性质21.【答案】解：〔1〕20 + 50% =40〔人〕,所以参加本次平安生产知识测试共有40人,故答案为40;（2）C等级的人数为：40—〔8+20+4〕 =8〔人〕,补全条形统计图如下：8 .（3）800x痛=160〔人〕,答：估计该企业员工中对平安生产知识的掌握到达A等级的约有160人.【解析】〔1〕利用B等级的人数除以其所占百分比得到调查的总人数；〔2〕根据图中提供数据,先计算C等级的人数,然后补全条形统计图；〔3〕用企业员工总数800.人乘以A等级所占的百分比即可.【考点】条形统计图和扇形统计图的综合运用或画树状图:共有9种所有可能结果；〔2〕由〔1〕知,两次摸到不同数字的结果有4次,,P〔两次摸到不同数字〕=£.9【提示】〔1〕根据题意列出表格,即可求得所有等可能结果；〔2〕根据〔1〕中的表格求出两次摸到不同数字的结果,然后利用概率公式求解即可【考点】用列表或画树状图法求事件的概率.23.【答案】解：〔1〕如图,线段A0为所作；〔2〕如图,线段AB2为所作；1 1 1（3）MBB2的面积=4父4 ——父4 M 2——父4父2父一父2 M 2 = 6 .2 2 2【解析】(1)将A、B两点分别向上平移2个单位,找到平移后的对应点A i、B i ,连接AB即可;(2)根据旋转中央为点A,旋转角度为90.,旋转方向为逆时针,找到点B i的对应点 &,连接AB2即可;(3)将△ ABB?放入一个矩形内,再利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可【考点】平移作图,旋转作图,图形面积的求法24.【答案】解：(1)DE与OO相切,理由如下：连接OD,如下图:. AD 平分ZBAC,CAD =/OAD,. OA=OD,. ODA=/OAD,・.. ODA =. CADAC II OD ,DE _AC,DE _OD,・・•点D在OO上,・•・直线DE与OO相切.(2)连接BD,由(1)知/BAD=/CAD,・•• . BAC =60 ,1. BAD =. CAD =—. BAC =30 2.「AB是OO的直径,・•・ ADB =90 ,OO的半径是2,AB =4,BD』AB=2, AD =4 cos30' =2 .3. 2. DE _ AC•••. AED =90 ,1-1• DE,AD = ；,3 ,22•.四边形ABDF是.0的内接四边形,. . . B . AFD =180 ,. . B = EFD,3•• , ADB = . FED =90 ,4•• AABD s^DFE ,,EF DE , BD AD即巴J3,2 2.3解得：EF=1.【解析】(1)连接OD,由角平分线和等腰三角形的性质得出NODA=NCAD,证出AC/1 OD ,再由条件得出DE _LOD ,即可得出结论；(2)连接BD,通过解Rt^ABD和Rt^ADE分别求出AD、BD和DE的长,然后证实△ ABD s' DFE,得到空=匹,代入相关线段的长,即可求出EF的长.BD AD【考点】圆内接四边形的性质,正方形的性质.25.【答案】解：(1)快车的速度为：180+2 =90(千米/小时),慢车的速度为：180+3 = 60(千米/小时);(2) “快车途中休息1.5小时,点E的坐标为(3.5,180),快车休息后行驶的时间为：(360 —180)子90=2(小日),即快车全程用了2 + 1.5 + 2=5.5(小时,点C的坐标为(5.5, 360)设线段EC所表示的函数关系式为y1 =kx + b,将E(3.5,180), C(5.5,360)代入,得3.5k b =180,的/曰k=90,\ ...…解得< 一5.5k b =360, b - -135,y1 =90 x—135；(3)由题意得60x=90x—135,解得x=4.5, 60M4.5= 270(千米),点F 的坐标为(4.5,270),点F的实际意义：行驶4.5小时后,快车和慢车都行驶了270千米.【解析】(1)根据“速度=路程.时间〞即可求出快车和慢车的速度；(2)根据题意求出点E和点C的坐标,利用待定系数法求出线段EC的解析式；(3)根据两车距离出发地的路程列出方程,求出x值,再求出y的值,即可得到点F的坐标,根据两车的行驶情况得出点F的实际意义.【考点】一次函数的应用,用待定系数法求函数解析式 ,一次函数交点坐标问题.26.【答案】(1)设二次函数解析式为y =a(x—1)2+3,把点B(5,0),得0 = a(5 —1)2+3,解得3a 二-一,16,二次函数表达式为：y=- — (x-1)2 3.16(2)设BD的解析式为y = kx +b ,把点B(5,0), D(1,3)代入,图1贝U ED =DE - -3a —, 4 4又「 DQ =3, BQ =5 -1 =4 ,BD =j DQ 2 BQ 2,.2 42 =5, 315••• BE -BD -DE -5 - -a — ,4 ,又••• EF//DQ , △BEFs^BDQ ,EF BE(3)存在.理由如下：设△ ADG 底边DG 上的高为1,△ BDG 底边DG 上的高为h 2,••• △ ADG 的面积是 △ BDG 的面积的3,5.匕 3 ., 一〜 3 2•1=一,由一次函数y = ——(x -1) +3可知点A 的坐标为(一3,0),h 2 5 16AB =8,①当点G 在对称轴的左侧；且在 x 轴上方时,如图2,设直线 DG 交x 轴于点P,分别作AN_LDG,BM _LDG ,垂足分别为 N 、M,得 5kb =°, k b =3,解得b・♦・直线BD 的解析式为— )43 y =——x15+ —,4 3 15设点 E l a, --a - 一 , 44如图1过点E 作x 轴的垂线,垂足为F,设对称轴与x 轴交于点Q, DQ 3 BD 解得44 3 5a 二一,23 5 -a -4 45 ,点E 的坐标为5 15 . 2,8D4图3设直线DG 交x 轴于点P,分另1J 作AN _L DG, BM _L DG ,垂足分别为 N 、M,那么AN = ] , BM = h 2 ,AN // BM ,一 PA hAPAN^A PBM ,即一PA — 二hPA AB h 2PA 3• •二一,PA 8 5解得PA =3,.••点P 的坐标为〔0,0〕, 又「 D 〔1,3〕,那么 AN =%, BM =加,AN // BM ,••• APAN^A PBM PA AN 口口 PA h 1 ——=——,即 -------- =— PB BM PA AB hPA 3 PA 8 =5解得PA =12,.••点P 的坐标为(-15,0), 又「 D(1,3),直线 DG 的解析式为3 45 .y = - x —,x 1 = 0,yJx+竺,联立得«1616 解得! 45*=,(舍1616y=-11(x-1)2 3, "至 y "3'去〕.♦•点G 的坐标为',竺i ；.,16图2②当点G 在对称轴的左侧,且在x 轴下方时,如图3,.・•点G 的坐标为(—15,45);③当点G 在对称轴白右侧时,由图像可知,在直线DG 上y 随x 的增大而减小,1> h ,,h i 3h 25,满足条件的点 G 的坐标为：,0,4| |或(_15,/5). (1)利用顶点坐标设二次函数解析式 ,然后把点B 的坐标代入即可求出函数表达式;(2)根据点B 、点D 的坐标求出BD 的解析式为y=2x+5,设点E'a,--a +15L 过点E 作x 4 4轴的垂线,垂足为F,设对称轴与x 轴交于点Q,那么EF // DQ ,于是可得 △ BEF^A BDQ ,所…EF BE ..................................................................................... ............................................................................... 以——=——,然后把相关线段用坐标表不出来 ,代入求解可得点 E 的横坐标,进而可求出 DQ BD点E 的坐标；(3)存在.设△ ADG 底边DG 上的高为h 1, △ BDG 底边DG 上的高为h 2.根据题意那么有 必;h 25分①点G 在对称轴的左侧,且在x 轴上方,②点G 在对称轴的左侧,且在x 轴下方,③点 G 在对称轴的右侧三种情况,分别作出4ADG 和△ BDG ,根据相似三角形的性质,求出直 线DG 与x 轴的交点坐标,进而得到直线 DG 的解析式,与二次函数解析式联立,解方程组 即可求出点G 的坐标. 【考点】待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数的图像与性质,相似三角形的判定与性质,图形面积的求法,直线与抛物线的交点坐标求法以及分类讨论思想^27.【答案】(1)①由旋转得/BPE =80.PB=PE,11• • . BEP =. EPB 180 -/BPE180 -80 =50 ,. AB =AC, BD =CD ,/BAD =/CAD =50* AD _L BC ,即 AD 垂直平分 BC, BE =CE , ••• AE =AE ,• •• AABE^A ACE , • •• . BEP =/CEA =50 , • •• . CEABAD ,y =3x,・♦・直线DG 的解析式为y=3x ,联立得339y = 一注_1)2 3,X i 二解得：-15, X 2=1,一V 2〔舍去〕y i - -45, Y 2 =3,,此时点 G 不存在;综上所述 【解析】故答案为50 . ②如图1,连接CE,图1CE// AB,故答案为平行.(2)CE/ZAB.理由如下：如图2,延长CE交AD于点Q,连接BQ、PC,图2.「AD垂直平分BC, PB -PC, BQ =CQ,•••线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PE,PB =PC =PE,. PEC =/PCE ,在4PBQ和APCQ中,PB =PC,BQ =CQ,PQ -PQ, APBQ^A PCQ,•. PBQ = PCQ, PQB = PQC,•. PBQ = PCQ = PEC.••• . PEC . PEQ =180 , ZPEQ ?PBQ =180 ./PBQ /BQE /PEQ ZBPE =360 ,••• BQE BPE =180 ,: BPE =80 ,••・ BQE =100 , /PQB /PQC .••・ PQC =50 ,: BAD = CAD =50 , ZPQC /BAD,CE// AB.⑶由(1)( 2)可知,当点E在AD上或在AD右侧时,CE/ZAB;当点E在AD左侧时,如图3,连接CE交AD于点Q,连接PC、BQ,.「AD垂直平分BC,PB =PC, BQ =CQ,•••线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PE,PB 二PC =PE,. PEC =/PCE ,PB =PC,在4PBQ和4PCQ 中,＜BQ =CQ, PQ -PQ,APBQ^A PCQ,PBQ = PCQ, PEC = PBQ ,•••点P、B、E、Q 四点共圆,ZPQC =/PBE,.BPE =80 , PB =PE ,ZPBE =50 ,. PQC =50 ,又.. . BAD =50 ,PQC i BAD ,CE//AB,.••点B的对应点E在过点C且与AB平行的直线上；如图4,当点P在A点时,点B的对应点为E1 ,此时AE1 =3.图4CE// AB, /BAE1 =80*••• . AE1Q =100 ,当点P为线段AD上任意一点时,设点B的对应点是点E,••• AEQ是^AEm的外角,AEQ>100°,即AEC<80.,AECVAE1Q ,AE i < AE ,,当点P在线段AD上运动时,AE的最小值为3.BEP = (180S-ZBPE ),代入即可;【解析】(1)①由旋转的性质和等腰三角形的性质可得②由易证△ABEW^ ACE,可得/BEP=/CEA=50\进而得到NCEA = /BAD,即可得出CE // AB .(2)由易证AP B殍、 P C,Q由/PBQ =/PCQ , /PQB =/PQC,就可以得出ZPEC +/PEQ =180©,得出ZPEQ +/PBQ =180©,由四边形的内角和可得出/BQE +/BPE =180©,进而得出/PQC的值,即可判断CE与AB的关系.(3)根据题意判断出点E的运动轨迹,再结合点P的运动范围,根据三角形中大角对大边,即可得到AE的最小值.【考点】旋转的性质,等腰三角形的判定与性质,平行线的判定,全等三角形的判定与性质,四边形内角和定理等知识.解题关键是熟练掌握旋转的性质和确定点E的运动轨迹.。

2019年镇江市中考数学试题、答案（解析版）（满分：120分 考试时间：120分钟）一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1.2019-的相反数是 . 2.27的立方根为 .3.一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = .4.x 的取值范围是 .5.氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 .6.已知点()12A y -，、()21B y -，都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y . （填“＞”或“＜”）7. .8.如图，直线a b ∥，ABC △的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D .若BCD △是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= .（第8题）（第10题）9.若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 . 10.将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = .11.如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 .12.已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点()3A m ，，()3B n ，两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 .二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 13.下列计算正确的是（ ）A .236•a a a =B .734a a a ÷=C .()538a a ＝D .()22ab ab ＝ 14.一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）ABCD15.如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DC CB =.若110C ∠=︒，则ABC∠的度数等于 （ ）A .55︒B .60︒C .65︒D .70︒16.下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x aa x +⎧⎨--⎩＞＜的解集的是（ ）AB CD17.如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD的长是2103，点()20E -，为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点()06F ，到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于 （ ）A .103 B .10 C .163D .3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 18.（本小题满分8分）（1）计算：11(22)2cos603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭；（2）化简：21111xx x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.18.（本小题满分10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --<.19.（本小题满分6分）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在AD 、BC 上，=AE CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H . （1）求证：AGE CHF △≌△；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由.21.（本小题满分6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率.22.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，=AB AC ，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B . （1）求证：直线AB 与O e 相切（2）若=5AB ，O e 的半径为12，则tan BDO ∠= .23.（本小题满分6分）如图，点2A n （，）和点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的两点，一次函数30y kx k =+≠（）的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD .已知OAB △与ODE △的面积满足34OAB ODE S S =△△：：. （1）OAB S =△ ，m = ；（2）已知点60P （，）在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标.24.（本小题满分6分）在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）. （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长.参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒=，tan78 4.7︒≈.图1图225.（本小题满分6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）.各类别的得分表得分 类别0 A ：没有作答 1 B ：解答但没有正确 3 C ：只得到一个正确答案6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？26.（本小题满分6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O e ）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的. 【实际应用】观测点A 在图1所示的O e 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒.PQ 是O e 的直径，PQ ON ⊥. （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O e 上»AB 的长.（π取3.1）图1图227.（本小题满分10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B . （1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n .过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ △与DAB △相似.①当275n =时，求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ △与DAB △相似，请直接写出n 的取值范围 .28.（本小题满分11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种. 【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；图1图2【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度.兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）.①a ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是.（直接写出结果）2019年镇江市中考数学答案解析一、填空题 1.【答案】2019【解析】直接利用相反数的定义进而得出答案. 解：2019-的相反数是：2019. 故答案为：2019. 【考点】相反数 2.【答案】3【解析】找到立方等于27的数即可. 解：3327=Q ，27∴的立方根是3，故答案为：3. 【考点】立方根 3.【答案】5【解析】解：Q 数据4，3，x ，1，5的众数是5，5x ∴=，故答案为：5. 【考点】众数 4.【答案】4x ≥【解析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可. 解：由题意得40x -≥， 解得4x ≥. 故答案为：4x ≥.【考点】二次根式有意义的条件5.【答案】11510⨯﹣【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为-10n a ⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.解：用科学记数法把0.000 000 000 05表示为11510⨯﹣.故答案为：11510⨯﹣.【考点】用科学记数法表示较小的数 6.【答案】＜【解析】反比例函数2y x=-的图象在第二象限，在第二象限内，y 随x 的增大而增大，根据x 的值大小，得出y 值大小. 解：Q 反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而()12A y -，、()21B y -，都在第二象限， ∴在第二象限内，y 随x 的增大而增大，21--Q ＜，12y y ∴＜.故答案为：＜【考点】反比例函数图像上点的坐标特征7..=【考点】二次根式的加减法 8.【答案】40【解析】根据等边三角形的性质得到60BDC ∠=︒，根据平行线的性质求出2∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案. 解：BCD Q △是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，a b Q ∥，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，1240A ∠=∠-∠=︒， 故答案为：40.【考点】等边三角形的性质，平行线的性质 9.【答案】1【解析】利用判别式的意义得到()2240m -∆=-=，然后解关于m 的方程即可. 解：根据题意得()2240m -∆=-=， 解得1m =. 故答案为1.【考点】一元二次方根的判别式10.1【解析】先根据正方形的性质得到1CD =，90CDA ∠=︒，再利用旋转的性质得CF 据正方形的性质得45CFDE ∠=︒，则可判断DFH △为等腰直角三角形，从而计算CF CD -即可.解：Q 四边形ABCD 为正方形，1CD ∴=，90CDA ∠=︒，Q 边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，CF ∴45CFDE ∠=︒，DFH ∴△为等腰直角三角形，1DH DF CF CD ∴==-=.1.【考点】旋转的性质以及正方形的性质 11.【答案】80【解析】先根据题意求出转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360︒计算即可.解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：1129x =， 解得29x =， ∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒. 故答案为：80. 【考点】事件的概率 12.【答案】74【解析】根据题意得413a +≥，解不等式求得12a ≥，把12x =代入代数式即可求得. 解：Q 抛物线24410y ax ax a a =+++≠（）过点3A m （，），3B n （，）两点， 4222m n aa+∴=-=-. Q 线段AB 的长不大于4，413a ∴+≥. 12a ∴≥.21a a ∴++的最小值为：21171224⎛⎫++= ⎪⎝⎭；故答案为74.【考点】二次函数的性质二、选择题13.【答案】B【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案.解：A .235a a a g ＝，故此选项错误；B .734a a a ÷＝，正确；C .3515a a （）＝，故此选项错误；D .222ab a b （）＝，故此选项错误；故选：B .【考点】同底数幂的乘除运算，积的乘方运算，幂的乘方运算14.【答案】D【解析】从图形的上方观察即可求解；解：俯视图从图形上方观察即可得到：， 故选：D .【考点】几何体的三视图15.【答案】A【解析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠，计算即可.解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒，»»DCCB =Q ， 1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB Q 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A .【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理16.【答案】B【解析】由数轴上解集左端点得出a 的值，代入第二个不等式，解之求出x 的另外一个范围，结合数轴即可判断.解：由2x a +＞得2x a -＞，A .由数轴知3x -＞，则1a =-，360x ∴--＜，解得2x -＞，与数轴不符；B .由数轴知0x ＞，则2a =，360x ∴-＜，解得2x ＜，与数轴相符合；C .由数轴知2x ＞，则4a =，760x ∴-＜，解得67x ＜，与数轴不符；D .由数轴知2x -＞，则0a =，60x ∴--＜，解得6x -＞，与数轴不符；故选：B .【考点】一元一次不等式组17.【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF .首先说明点G 与点F 重合时，FG 的值最大，如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =.利用相似三角形的性质构建方程求解即可.解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF . ()20E -Q ，，()06F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴==，90FGE ∠=︒Q ，FG EF ∴≤.∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大.如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =. PA PB =Q ，BE EC a ==，PE AC ∴∥，BJ JH =.Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =， PE BD ∴⊥.90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒Q ，EBJ FEO ∴∠=∠，BJE EOF ∴△∽△，BE BJ EF ∴=，62=， 53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A .【考点】菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质三、解答题18.【答案】解：（1）原式1132=32=+-⨯（2）21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 211111x x x x x -⎛⎫=+÷ ⎪---⎝⎭ (1)(1)1x x x x x+-=-g 1x =+【解析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则计算.【考点】实数的混合运算，分式的混合运算19.【答案】解：（1）方程两边同乘以2x -（）得232x x =+-1x ∴=检验：将1x =代入2x -（）得1210-=-≠ 1x =是原方程的解.∴原方程的解是1x =.（2）化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴< 32x ∴< ∴原不等式的解集为32x <. 【解析】（1）方程两边同乘以2x -（）化成整式方程求解，注意检验； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可.【考点】分式方程和一元一次不等式的解法20.【答案】解：（1）证明：AG EF ⊥Q ，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC Q ∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠Q ，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE △和CHF △中，H AEG CFH AE CF G ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴△≌△；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：由（1）得：AGE CHF △≌△，AG CH ∴=，AG CH Q ∥，∴四边形AHCG 是平行四边形，∴线段GH与AC 互相平分.【解析】（1）由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒，AG CH ∥，由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠，由AAS 即可得出AGE CHF △≌△；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG CH =，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质21.【答案】解：解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=. 【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.【考点】用列表或画树状图法求事件的概率22.【答案】解：（1）证明：连接AB ，如图所示：AB AC =Q ，ABC ACB ∴∠=∠，ACB OCD ∠=∠Q ，ABC OCD ∴∠=∠，OD AO ⊥Q ，90COD ∴∠=︒，90D OCD ∴∠+∠=︒，OB OD =Q ，OBD D ∴∠=∠，90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，AB OB ∴⊥，Q 点B 在圆O 上，∴直线AB 与O e 相切；（2）23【解析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠，OBD D ∠=∠，证出90OBD ABC ∠+∠=︒，得出AB OB ⊥，即可得出结论；（2）由勾股定理得出13OA ==，得出8OC OA AC =-=，再由三角函数定义即可得出结果.解：90ABO ∠=︒Q ，13OA ∴==，5AC AB ==Q ，8OC OA AC ∴=-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23.【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及三角函数定义23.【答案】（1）38（2）解：由（1）知，反比例函数解析式是8y x=. 28n ∴=，即4n =.故24A （，），将其代入3y kx =+得到：234k +=. 解得12k =. ∴直线AC 的解析式是：132y x =+. 令0y =，则1302x +=， 6x ∴=-，()60C ∴-，.6OC ∴=.由（1）知，3OB =.设D a b （，），则DE b =，6PE a =-. PDE CBO ∠=∠Q ，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴△∽△，OB OC DE PE ∴=，即366b a =-①， 又8ab =②.联立①②，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩. 故81D （，）.【解析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S =△，所以4ODE S =△，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值； 解：由一次函数3y kx =+知，03B （，）03B （，）. 又点A 的坐标是2n （，）， 13232OAB S ∴=⨯⨯=△. :3:4OAB ODE S S =Q △△.4ODE S ∴=△.Q 点D 是反比例函数(0,0)m y m x x=＞＞图象上的点， 142ODE m S ∴==△，则8m =. 故答案是：3；8；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用90PDE CBO PED ∠=∠=∠=︒，判定CBO PDE △∽△，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标.【考点】待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数m 的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质24.【答案】（1）30（2）解：作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC △中，sin QC QAC AC∠=， sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=g ，在Rt BQC △中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=.【解析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；解：Q 五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒， 30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可.【考点】正多边形和圆，解直角三角形的应用25.【答案】（1）6（2）解：两个班一共有学生：()222750%98+÷=（人），九（1）班有学生：984850-=（人）.设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是x 人、y 人.由题意，得52250053622 3.7850x y x y +++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩， 解得617x y =⎧⎨=⎩. 答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人.【解析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解.【考点】统计图表与条形图的综合运用26.【答案】解：（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC于点C ，如图所示：则67DHC ∠=︒，90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒Q ，67HBD DHC ∴∠=∠=︒，ON BH Q ∥，67BEO HBD ∴∠=∠=︒，906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥Q ，90POE ∴∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， »36π64003968(km)180AB ⨯⨯∴==.【解析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，则67DHC ∠=︒，证出67HBD DHC ∠=∠=︒，由平行线的性质得出67BEO HBD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出23BOE ∠=︒，得出902367POB ∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，求出36AOB POB POA ∠=∠-∠=︒，由弧长公式即可得出结果.【考点】切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式27.【答案】（1）()29，（2）解：对称轴2x =，925C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，， 由已知可求5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于2x =对称点为13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，53B ∴（，）， ①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，DA ∴185DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，DPQ DAB △∽△，DAC DPN Q △∽△，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DAB △∽△， DNQ DCA Q V △∽△，DP DN DB DC∴=，DP ∴= 综上所述，DN = ②92155n << 【解析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；解：顶点为29D （，），故答案为()29，； （2）由对称轴可知点92,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于对称轴对称的点13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求DA =，185DN =，365CD =.当365CD =时，PQ AB ∥，DPQ DAB △∽△，DP =；当PQ 与AB 不平行时，DP =；②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =245DN =，所以212,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有且只有一个DPQ △与DAB △相似时，92155n <<； 【考点】二次函数的图像及性质，函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想28.【答案】【观察】①90②120【发现】①50②解：当050x ＜≤时，点()50150P ，在线段OP 上， ∴线段OP 的表达式为3y x =， 当150x v v x-<时，即当5075x ＜＜，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，150(150150)x x y x y x-+=-+-， 3300y x ∴=-+， 即：3(050)3300(5075)x x y x x ⎧=⎨-+⎩＜≤＜＜， 补全图形如图2所示，【拓展】4875x ≤＜【解析】【观察】①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论；解：①Q 相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v ＞， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A m 个单位，根据题意得，()30150150430m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②Q 相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位， 根据题意得，1140150150(40)4m m ++-=-， 120m ∴=，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x-，根据题意列方程即可得到结论； 解：①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，150150(150)x x x x-+=-， 50x ∴=，经检验：50x =是分式方程的根，即：50a =，故答案为：50；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到150150150(150150)x x y x y x-+++=-+-，得到5300y x =-+，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论. 解：如图，由题意知，150150150(150150)x x y x y x -+++=-+-， 5300y x ∴=-+，Q 第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，530060x ∴-+≤，48x ∴≥，75x Q ＜，4875x ∴≤＜，故答案为4875x ≤＜.。

2019年江苏省镇江市中考数学试卷解析版一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．（2分）﹣2019的相反数是2019．【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2．（2分）27的立方根为3．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝5．【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．4．（2分）若代数式√x−4有意义，则实数x的取值范围是x≥4．【解答】解：由题意得x﹣4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为5×10﹣11．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则y1＜y2．（填“＞”或“＜”）【解答】解：∵反比例函数y=−2x的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案为：＜7．（2分）计算：√12−√3=√3．【解答】解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于1．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝√2−1．（结果保留根号）【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴CD ＝1，∠CDA ＝90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，∴CF =√2，∠CFE ＝45°， ∴△DFH 为等腰直角三角形， ∴DH ＝DF ＝CF ﹣CD =√2−1． 故答案为√2−1．11．（2分）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 80 °．【解答】解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：12x =19，解得x =29，∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×29=80°． 故答案为：80．12．（2分）已知抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a +1的最小值是74．【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1＝a （x +2）2+1（a ≠0）， ∴顶点为（﹣2，1），过点A （m ，3），B （n ，3）两点， ∴a ＞0，∴对称轴为直线x ＝﹣2，线段AB 的长不大于4， ∴4a +1≥3 ∴a ≥12∴a 2+a +1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）13．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 7÷a 3＝a 4C ．（a 3）5＝a 8D ．（ab ）2＝ab 2【解答】解：A 、a 2•a 3＝a 5，故此选项错误； B 、a 7÷a 3＝a 4，正确；C 、（a 3）5＝a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2＝a 2b 2，故此选项错误； 故选：B ．14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到， 故选：D ．15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DĈ=CB̂．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵DĈ=CB̂，∴∠CAB=12∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组{x+2＞a(2a−1)x−6＜0的解集的是（）A．B．C．D．【解答】解：由x +2＞a 得x ＞a ﹣2，A ．由数轴知x ＞﹣3，则a ＝﹣1，∴﹣3x ﹣6＜0，解得x ＞﹣2，与数轴不符；B ．由数轴知x ＞0，则a ＝2，∴3x ﹣6＜0，解得x ＜2，与数轴相符合；C ．由数轴知x ＞2，则a ＝4，∴7x ﹣6＜0，解得x ＜67，与数轴不符； D ．由数轴知x ＞﹣2，则a ＝0，∴﹣x ﹣6＜0，解得x ＞﹣6，与数轴不符； 故选：B ．17．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是23√10，点E （﹣2，0）为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点F （0，6）到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ）A ．103B ．√10C ．163D ．3【解答】解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG ⊥PE 于G ，连接EF ．∵E （﹣2，0），F （0，6），∴OE ＝2，OF ＝6， ∴EF =√22+62=2√10，∵∠FGE ＝90°， ∴FG ≤EF ，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设BC ＝2a ．∵P A ＝PB ，BE ＝EC ＝a ， ∴PE ∥AC ，BJ ＝JH ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BH ＝DH =√103，BJ =√106，∴PE ⊥BD ，∵∠BJE ＝∠EOF ＝∠PEF ＝90°， ∴∠EBJ ＝∠FEO ， ∴△BJE ∽△EOF ， ∴BE EF =BJ EO，∴2√10=√1062，∴a =53， ∴BC ＝2a =103， 故选：A ．三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。

1.（2019年四川省雅安市）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．2.（2019年湖南省娄底市）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝2．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3.（2019年宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．4.（2019年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．5.（2019年黑龙江省绥化市）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC ＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．6.（2019年黑龙江省鸡西市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．7.（2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.（2019年江苏省常州市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9.（2019年山东省东营市）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．10.（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．11.（2019年广西北海市）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12.（2019年湖南省株洲市）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.（2019年江苏省苏州市）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为5．【分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB＝45°，结合PC⊥OA可得出△ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC＝1，设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．【解答】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．14.（2019年浙江省湖州市）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15.（2019年浙江省台州市）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．16.（2019年四川省宜宾市）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是16π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为4，∴⊙O的面积是16π，故答案为：16π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17.（2019年安徽省）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18.（2019年江苏省盐城市）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19.（2019年江苏省连云港市）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．【点评】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．20.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，∴CD的最大值为＝AB＝1＝，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．21.（2019年江苏省南京市）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC≤．【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．22.（2019年四川省凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．23.（2019年山东省德州市）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2+OG2＝52，AG2+（5﹣OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．。

2019年江苏省镇江市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分） 1．（2019·江苏镇江，1，2）－2019的相反数是 ．【答案】2019．【解析】本题考查了相反数的定义，根据“符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数”，可知－2019的相反数是2019，因此本题答案为2019． 【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏镇江，2，2）27的立方根是 ． 【答案】3【解析】本题考查了立方根的定义与求法，∵33＝27，∴27的立方根为3，即327＝3，因此本题答案为3． 【知识点】实数的概念；立方根3．（2019·江苏镇江，3，2）一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x ＝ ．【答案】5．【解析】本题考查了众数的概念，根据一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，可知“数据4，3，x ，1，5的众数是5”，则这组数据中必有两个5，故x ＝5，因此本题答案为5． 【知识点】统计；众数4．（2019·江苏镇江，4，2）若代数式4x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】x ≥4．【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，只要其被开方数为非负数，那么它就有意义，由x －4≥0，得x ≥4，因此本题答案为x ≥4． 【知识点】二次根式有意义的条件5．（2019·江苏镇江，5，2）氢原子的半径约为0.000 000 000 05m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 ．【答案】5×10－11．【解析】本题考查了科学记数法，0.000 000 000 05是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成na -⨯10（1≤a ＜10，n ＞0 ）的形式，关键是确定－n ．确定了n 的值，－n 的值就确定了，确定方法是：n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．易知a ＝5，n ＝－11，故0.000 000 000 05＝5×10－11，因此本题答案为5×10－11． 【知识点】科学记数法6．（2019·江苏镇江，6，2）已知点A (－2，y 1)、B (－1，y 2)都在反比例函数y ＝－2x的图像上，则y 1 y 2．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜．【解析】本题考查了反比例函数的性质，根据“反比例函数y ＝kx在x ＜0且k ＜0时，y 随x 的增大而增大”，由－2＜－1，得y 1＜y 2，因此本题答案为＜． 【知识点】反比例函数的性质7．（2019·江苏镇江，7，2）计算：123-＝ ． 【答案】3．【解析】本题考查了二次根式的加减运算，解答时应先化简二次根式，然后合并同类二次根，因为123-＝23－3＝3，因此本题答案为3． 【知识点】二次根式的加减运算8．（2019·江苏镇江，8，2）如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若△BCD 是等边三角形，∠A ＝20°，则∠1＝ °．【答案】40．【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD 的度数是解题的关键．∵△BCD 是等边三角形， ∴∠B ＝∠BCD ＝60°． ∵∠A ＝20°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°． ∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝40°． ∵a ∥b ，∴∠1＝∠ACD ＝40°． 因此本题答案为40．【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；三角形内角和定理9．（2019·江苏镇江，9，2）若关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 【答案】1． 【解析】本题考查了一元二次方程的根判别式定理，由原方程有两个相等的实数根，得△＝(－2)2－4×1×m ＝0，解得m ＝1，因此本题答案为1． 【知识点】一元二次方程的根判别式10．（2019·江苏镇江，10，2）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使1DCBAba 第8题图得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝ ．（结果保留根号）【答案】2－1．【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°，得∠CFE ＝∠ECF ＝45°，而在Rt △CEF 中，由勾股定理，得CF ＝2，从而DF ＝2－1，易知△DHF 是等腰直角三角形，于是DH ＝DF ＝2－1．因此本题答案为2－1． 【知识点】正方形的性质；旋转；等腰三角形的判定与性质；勾股定理11．（2019·江苏镇江，11，2）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °．【答案】80．【解析】本题考查了二步事件的概率，由于第一个转盘落在1的概率为12，而两个转盘都落在1的概率是19，∴转盘2落在1的概率为19÷12＝29，∴转盘2中数字1所在的圆心角＝29×360°＝80°，因此本题答案为80． 【知识点】概率；用树状图或列表法求等可能条件下的事件的概率12．（2019·江苏镇江，12，2）已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1（a ≠0）过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是 ． 【答案】74． 【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB 的长不大于4，求出a 的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a 2＋a ＋1的最小值．∵y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1＝a (x ＋2)2＋1，第11题图BA2121第10题图HGFEDCB A∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x ＝－2． ∵抛物线过点A (m ，3)，B (n ，3)两点， ∴当y ＝3时，a (x ＋2)2＋1＝3，(x ＋2)2＝2a，当a ＞0时，x ＝－2±2a ．∴A (－2－2a ，3)，B (－2＋2a ，3)． ∴AB ＝22a． ∵线段AB 的长不大于4， ∴22a ≤4． ∴a ≥12． ∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34， ∴当a ＝12，(a 2＋a ＋1)min ＝(a ＋12)2＋34＝74． 因此本题答案为74．【知识点】二次函数的应用；压轴题二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，满分15分） 13．（2019·江苏镇江，13，3）下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 7÷a 3＝a 4C ．(a 3)5＝a 8D ．(ab )2＝ab 2 【答案】B ．【解析】本题考查了幂的运算性质，∵a 2•a 3＝a 2＋3＝a 5，a 7÷a 3＝a 7－3＝a 4，(a 3)5＝a 3×5＝a 15，(ab )2＝a 2b 2 ，∴只有选项B 正确，因此本题选B ． 【知识点】幂的运算性质14．（2019·江苏镇江，14，3）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）【答案】D ．【解析】本题考查了几何体的三视图，因为从上面看，有3个小正方形，且这3个小正方形排成一行，因此本题第14题图 A ． B ． C ． D ．从正面看选D．【知识点】三视图15．（2019·江苏镇江，15，3）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，弧DC＝弧CB．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】A．【解析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦弧关系定理、等腰三角形的性质，解题的关键是充分利用圆的性质及转化思想．如答图，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°．∵∠C＝110°，∴∠A＝70°．∴∠DAB＝20°．∵弧DC＝弧CB，∴DC＝CB．∴∠CBD＝∠CDB＝1(180110)2︒-︒＝35°．∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝20°＋35°＝55°．∴本题选A．【知识点】圆周角定理；圆内接四边形性质定理；弦弧关系定理；等腰三角形的性质16．（2019·江苏镇江，16，3）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组2(21)60x aa x+>⎧⎨--<⎩的解集的是（）【答案】B．A．B．C．D．1-2322-2-3ODCBA第15题答图第15题图ODCB A【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组的解集在数轴上的表示，解题的关键是先解每一个不等式，根据选项，知不等式组的解集是“大小小大取中间”，由此锁定答案． 由x ＋2＞a ，得x ＞a －2；由(2a －1)x －6＜0，得x ＜621a -（此时a ＞12），从而原不等式组的解集为a －2＜x ＜621a -．∵a ＞12， ∴a －2＞－32． 当a －2＝0时，a ＝2，此时621a -＝2； 当a －2＝2时，a ＝4，此时621a -＝67；综上，排除了A 、D 、C 三个选项，只有选项B 正确．因此本题选B ． 【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式组的解集在数轴上的表示17．（2019·江苏镇江，17，3）如图菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是2103，点E (－2，0)为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当F (0，6)到EP 所在的直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ） A ．103 B ．10 C ．163D ．3【答案】A ．【解析】本题考查了菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质等．当F 到PE 的距离为最大时，P 为AB 的中点，则此时EF ⊥PE ，如答图，连接AC 交BD 于G ，则BG ⊥CG ，BG ＝11023BD =．第17题图y xPOFEDC B A∵OE ＝2，OF ＝6，∴EF ＝210．∵P 、E 分别为AB 、BC 的中点， ∴PE ∥AC ．∴EF ∥BG ，CG ⊥EF ，易证△CGB ∽FOE ．∴BG OE BC EF =，即1023210BC =，解得BC ＝103． 因此本题选A ．【知识点】菱形的性质；直角三角形三边的关系；相似三角形的判定和性质三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 18．（2019·江苏镇江，18，8）（1）计算： 011(22)()3--+－2cos60°；（2）化简：21(1)11xx x +÷--． 【思路分析】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解答题的关键是掌握零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值以及分式混合运算的法则．（1）先求出零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的值，然后做加减运算；（2）先做括号内的分式加减，再把分式的除法转化为分式的乘法，约分后化成最简分式． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋3－2×12＝1＋3－1＝3． （2）原式＝21111x x x x -+-⋅-＝(1)(1)1x x x x x+-⋅-＝x ＋1． 【知识点】实数的运算；分式的混合运算19．（2019·江苏镇江，19，10）（1）解方程：23122x x x =+--；（2）解不等式：4(x －1)－12＜x ． 【思路分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，解题的关键是把分式方程转化为整式方程，以及利用不等式的性质进行计算．（1）把方程两边同时乘以(x －2)，转化为整式方程后，解这个整式方程，验根后确定方程的解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，再化系数为1． 【解题过程】解：（1）方程两边同乘以(x －2)，得2x ＝3＋x －2， 解得x ＝1．检验：当x ＝1时，x －2≠0． ∴原方程的解为x ＝1．（2）去分母，得8(x －1)－1＜2x ，G y xPOFED CBA第17题答图去括号，得8x －8－1＜2x ， 移项，得8x －2x ＜8＋1， 合并同类项，得6x ＜9，系数化为1，得x ＜32． ∴原不等式的解集为x ＜32．【知识点】解分式方程；解一元一次不等式20．（2019·江苏镇江，20，6）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE ＝CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ． （1）求证：△AGE ≌△CHF ；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【思路分析】本题考查了三角形的全等的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的判定和性质．（1）利用角角边进行证明；（2）连接CG 、AC 、AH ，通过证明四边形AHCG 为平行四边形来证明AC 、HG 互相平分． 【解题过程】（1）∵AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE ． ∴∠AEG ＝∠CFH ． ∵AG ⊥EF ，CH ⊥EF ，∴∠AGE ＝∠CHF ＝90°． 又∵AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CHF （AAS ）．（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：如答图，连接CG 、AC 、AH ．∵△AGE ≌△CHF ，∴AG ＝CH ．∵AG ⊥EF ，CH ⊥EF ， ∴AG ∥CH ．∴四边形AHCG 是平行四边形．第20题答图HGFEDCBAHGF EDCBA第20题图∴AC 、HG 互相平分．【知识点】三角形的全等的判定；平行四边形的判定和性质21．（2019·江苏镇江，21，6）小丽和小明在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．【思路分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是用画树状图或列表格的方法所有的等可能事件．先用画树状图或列表格的方法列出所有的等可能事件，然后找出我们关注的事件的结果，再利用概率公式进行计算． 【解题过程】解：现画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，故P (小丽和小明在同一天值日)＝39＝13． 【知识点】概率的计算22．（2019·江苏镇江，22，6）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 的延长线的点O 作OD ⊥AO ，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 的长为半径的圆过点B ． （1）求证：直线AB 与⊙O 相切；（2）若AB ＝5，⊙O 的半径为12，则tan ∠BOD ＝________．【思路分析】本题考查了圆的切线的证明和三角函数的计算，解题的关键是掌握切线的判定方法及构造直角三角形．（1）连接OB ，利用等腰三角形和三角形内角和证明∠ABO ＝90°即可；（2）先由勾股定理，求出OA 的长，然后求出OC 的长，最后在Rt △OCD 中，利用正切定义进行计算即可． 【解题过程】解：（1）如答图，连接OB ．∵OD ⊥AO ，∴∠DOC ＝90°．∴∠D ＋∠DCO ＝90°． ∵OB ＝OD ，AB ＝AC ，∴∠OBD ＝∠D ，∠ABC ＝∠ACB ． 又∵∠DCO ＝∠ACB ，第22题图ODCBA 第21题答图(xq2,xq3)(xq3,xq3)(xq3,xq2)(xq3,xq1)(xq2,xq2)(xq2,xq1)(xq1,xq3)(xq1,xq2)(xq1,xq1)结果：开始小明：小丽：xq3xq1xq2xq3xq1xq2xq2xq1xq3xq3xq2xq1∴∠ABC ＝∠DCO ．∴∠OBD ＋∠ABC ＝90°，即∠ABO ＝90°． 又∵点B 在⊙O 上， ∴AB 是⊙O 的切线．（2）∵AB ＝5，⊙O 的半径为12，∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得OA ＝22512+＝13． ∴OC ＝OA －AC ＝13－5＝8． ∴在Rt △OCD 中，tan ∠BDO ＝82123OC OD ==． 【知识点】圆的切线的证明；三角函数的计算23．（2019·江苏镇江，23，6）如图，点A (2，n )和点D 是反比例函数y ＝mx（m ＞0，x ＞0）图像上的两点，一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接OA 、OD ．已知△OAB 与△ODE 的面积满足S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4． （1）S △OAB ＝________，m ＝________；（2）已知点P (6，0)在线段OE 上，当∠PDE ＝∠CBO 时，求点D 的坐标．【思路分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．（1）先求出B 点纵坐标和A 点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA 的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE 的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m 的值；（2）先由点A 在双曲线上，求出A 点坐标；再先求出直线AB 的解析式；连接DP ，通过条件∠PDE ＝∠CBO ，∠PED ＝∠COB ＝90°，得PD ∥AB ，于是可令直线PD 的解析式为y ＝12x ＋t ，第23题图yxP OE DCBAODCBA 第22题答图则0＝12×6＋t ，求出PD 的解析式；最后由1328y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1181x y =⎧⎨=⎩，2224x y =-⎧⎨=-⎩．从而锁定D 点的坐标．【解题过程】解：（1）∵一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，∴B (0，3)，OB ＝3． ∵点A (2，n )，∴A y ＝2． ∴S △AOB ＝12•OB •A y ＝12×3×2＝3． ∵S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4，∴S △DOE ＝4．∵DE ⊥x 轴，且点D 在双曲线y ＝mx上， ∴12m ＝4． ∵m ＞0， ∴m ＝8．（2）如答图，连接PD ，∵点A (2，n )在双曲线y ＝8x上， ∴2n ＝8，n ＝4，A (2，4)．∵一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ， ∴4＝2k ＋3． ∴k ＝12，直线AB 的解析式为y ＝12x ＋3． ∵∠PDE ＝∠CBO ，∠PED ＝∠COB ＝90°， ∴∠DPE ＝∠BCO ． ∴PD ∥AB ．∴令直线PD 的解析式为y ＝12x ＋t ，则0＝12×6＋t ． ∴t ＝－3，直线PD 的解析式为y ＝12x －3．第23题答图yxP OE DCBA由1328y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1181x y =⎧⎨=⎩，2224x y =-⎧⎨=-⎩．∵点D 在第一象限， ∴D (8，1)．【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的比例系数的几何意义；相似三角形的性质24．（2019·江苏镇江，24，6）在三角形纸片ABC （如图1）中，∠BAC ＝78°，AC ＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）． （1）∠ABC ＝__________°；（2）求正五边形GHMNC 的边长GC 的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4. 7．【思路分析】本题考查了正多边形的计算，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．（1）利用正多边形内角和以及角的大小关系可求出∠ABC 的度数；（2）过点C 作CP ⊥AB ，垂足为P ，通过解直角三角形，可求出CG 的长． 【解题过程】解：（1）∵五边形ABDEF 是正五边形，∴∠BAF ＝(52)1805-⨯︒＝108°＝∠BAC ＋∠ABC ．∴∠ABC ＝108°－∠BAC ＝108°－78°＝30°．（2）如答图，过点C 作CP ⊥AB ，垂足为P ，则由∠B ＝30°，得BC ＝2PC ．在Rt △APC 中，sin A ＝PCAC， ∴PC ＝AC sin A ＝10sin78°＝10×0.98＝9.8． ∴BC ＝2BC ＝2×9.8＝19.6．∴GC ＝BC －BG ＝BC －AC ＝19.6－10＝9.6． ∴正五边形GHMNC 的边长GC 的长为9.6．【知识点】正多边形的计算；解直角三角形第24题答图PCBA图1 图2第24题图NMH G FEDC BAC BA25．（2019·江苏镇江，25，6）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是_________；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？【思路分析】本题考查了条形统计图以及中位数等概念，解题的关键是读出图中相关联的数据并列方程组来解决问题．（1）6理由：九（2）班一共有48人，而得6分的有27人，所以它的中位数是6．（2）先求出总人数，然后列方程组，解方程组即可解决问题． 【解题过程】解：（1）6；（2）设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数分别为x 人和y 人，由图可知x ＋y ＝(22＋27)×50%－(8＋6＋12＋49)＝23．又由九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，得x ＋3y ＋6×22＝3.78×50．由23357x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩．∴九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数分别为6人和17人．【知识点】条形统计图；及中位数；二元一次方程的应用26．（2019·江苏镇江，26，6）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圆（如图1中的⊙O ）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地面垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A 在图1所示的⊙O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31°，在点A 所在的子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具测得α为67°．PQ 是⊙O 的直径，PQ ⊥ON ．（1）求∠POB 的度数；（2）已知OP ＝6400km ，求这两个观测点之间的距离即⊙O 上的弧AB 的长．（π取3.1）第25题图(2)班(1)班每班各类别得分人数的条形统计图各类别的得分表272212635类别人数2724211815129630DCBAD ：得到两个正确答案，解答完全正确C ：只得到一个正确答案B ：解答但没有正确A ：没有作答6310类别得分【思路分析】本题考查圆的切线的性质以及弧长计算，解题的关键是连接过切点的半径．（1）连接过切点的半径，把弦切角转化为圆心角，然后利用平行线的性质以及角的大小关系可求出∠POB 的度数；（2）利用弧长公式进行计算．【解题过程】解：（1）如答图，过点H 作HC ⊥BC 于点C ，则∠HBC ＝∠CHD ＝67°．∵BH ∥ON ，∴∠HBC ＝∠ONB ＝67°． ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴∠OBN ＝90°．∴∠BON ＋∠ONB ＝90°． ∵PQ ⊥ON ，∴∠BON ＋∠POB ＝90°． ∴∠POB ＝∠ONB ＝67°．（2）由（1）易知∠POA ＝31°，∠POB ＝67°，从而∠AOB ＝36°． ∵R ＝OA ＝OP ＝6400km ，n ＝36，第26题答图DC(北极点)N H GOQPBA 指向北极星指向北极星指向北极星图1 图2 第26题图∴弧AB的长为366400180π⋅⋅＝3968（km）．∴这两个观测点之间的距离约为3968km．【知识点】圆的切线的性质；弧长计算；阅读理解题27．（2019·江苏镇江，27，10）如图，二次函数y＝－x2＋4x＋5图像的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝25x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是__________；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n，使得△DPQ 与△DAB相似．①当n＝275时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只且个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围___________．【思路分析】本题考查了二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学知识的能力．（1）把二次函数的一般式配成顶点式即可得D点的坐标；（2）①先求出直线DB的解析式，然后通过解方程组求出B点的坐标，然后根据相似三角形的性质和线段的大小关系求出DP的长．【解题过程】解：（1）∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x＋4－4)＋5＝－(x－2)2＋9，∴D(2，9)．（2）∵一次函数y＝25x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B，∴点A(－52，0)关于直线l（x＝2）的对称点(132，0)在直线DB上．令DB的解析式为y＝kx＋b，则29132k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得213kb=-⎧⎨=⎩，于是DB：y＝－2x＋13．第27题图lDCBAOyx由215213y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，故B (5，3)，从而DB ＝35，DA ＝952． ①如答图1，在y ＝25x ＋1中，当x ＝2时，y ＝95，从而C (2，95)，N (2，275)， ∴DN ＝9－275＝185，DC ＝9－95＝365，DN DC ＝12．若△DPQ ∽△DAB ，则△DPN 与△DAC ，于是12DP DN DA DC ==，DP ＝12DA ＝954； 若△DPQ ∽△DBA ，则△DPN 与△DBC ，于是12DP DN DB DC ==，DP ＝12DB ＝352． 综上，符合条件的DP 的长为954或352．②92155n <<，理由如下：如答图2，当△DPQ ∽△DBA ，且Q 点与B 点重合时，PB 与直线l 的交点N ，在此时的线段CN （不包括端点）上任意一点都满足条件，通过过点B 作答图1中第二种情况下的PQ 的平行线，易求出此时的PB 的解析式为y ＝－25x ＋5，且当x ＝2时，y ＝215，从而N (2，215)，于是，若对于每一个确定的n 的值，有且只且个△DPQ 与△DAB 相似， n 的取值范围是92155n <<．【知识点】二次函数图形的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想；化归思想；压轴题28．（2019·江苏镇江，28，11）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于．．甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．第27题答图1 第27题答图 2NPQlDCBAOyxNPQl DCBAOyx【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为_____个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为_____个单位长度． 【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）．①a ＝______；②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图2中补全函数图像． 【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是__________．（直接写出结果）【思路分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握两个机器人相遇的情形． 【观察】①②画出两个行程的示意图，利用速度与路程，时间之间的关系进行计算； 【发现】①根据x 和y 之间的关系可求出a 的值；②先分别求出第一次相遇和第二次相遇时两人的路程之和，并求出对应的函数解析式，然后画出图形； 【拓展】根据题意进行计算并分类讨论可得x 的取值范围． 【解题过程】解：【观察】90，120； 【发现】①a ＝50；②设机器人甲的速度为v 1，走的总路程为s 1；机器人乙的速度为v 2，走的总路程为s 2；它们行走的时间为t ． 由题意得v 1＜v 2， ∴v 1t ＜v 2t ． ∴s 1＜s 2．∵这两个机器人第一次迎面相遇时，路程和为150， ∴相遇地点与点A 之间的距离＝s 1，即s 1＝x ．图1 图2第28题图 150ay xPO(第一次迎面相遇)BA15030又∵s 1＋s 2＝150，s 1＜150－s 1， ∴s 1＜75． ∴0＜x ＜75．∵两个机器人第二次迎面相遇时，路程和为450， ∴s 1＝3x ．∴当3x ＝150，即x ＝50时，两个机器人在B 点相遇．当0＜x ≤50时，y ＝s 1，即y ＝3x ；当50＜x ＜75时，y ＝300－s 1，即y ＝300－3x ． 故补图如下：【拓展】0＜x ≤12，48≤x ≤72．【知识点】一次函数的应用；数形结合思想；行程问题；探究问题；阅读理解题；压轴题；原创题第28题答图50(75,75)150y xPO。

2019年中考试题汇编一元二次方程填空题1.（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为1．【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．2.（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜1．【分析】利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝0．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．4.（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是x1＝，x2＝．【分析】直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．5.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝6．【分析】根据根与系数的关系变形后求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝2，x1×x2＝﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣1）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．6.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为﹣2．【分析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，+﹣x1x2＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7.（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是1或2．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．8.（2019年四川省资阳市）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是8．【分析】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝4，进而将原式变形得出答案．【解答】解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．9.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为40%．（用百分数表示）【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2＝39200，解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．10.（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.（2019年江苏省盐城市）设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2＝1．【分析】由韦达定理可知x1+x2＝3，x1•x2＝2，代入计算即可；【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝2，∴x1+x2﹣x1•x2＝3﹣2＝1；故答案为1；【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理是解题的关键．12.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于2．【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．【解答】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，则+c＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．13.（2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？【分析】利用题意得到x2+1＝4x+1，利用因式分解法解方程即可．解：x2+1＝4x+1，x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x1＝0，x2＝4．【点评】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．14.（2019年浙江省嘉兴市）在x2+±4x+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．【解答】解：要使方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0得b＝±4故一次项为±4x故答案为±4x【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.（2019年江苏省南京市）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝1．【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16.（2019年山东省泰安市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．17.（2019年甘肃省武威市、陇南市）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．18.（2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．19.（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞且a≠0．【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，解得a＞则a＞且a≠0故答案为a＞且a≠0【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．20.（2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是﹣2．【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值．【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x2＝＝﹣2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．。

江苏省镇江市2019年中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．1、﹣2019的相反数是______．2、27的立方根为______．3、一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x ＝______．44x -x 的取值范围是______．5、氢原子的半径约为0.00000000005m ，用科学记数法把0.00000000005表示为______．6、已知点()12,A y -、()21,B y -都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y ______2y ．（填“＞”或“＜”）7123=______．8、如图，直线a b ∥，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠＝______°9、已知关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值是______.． 10、将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝______.（结果保留根号）11、如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是______°．12、已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是______．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）．13、下列计算正确的是（ ）A. a 2•a 3=a 6B. a 7÷a 3=a 4C. （a 3）5=a 8D. （ab ）2=ab 2 14、一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A. B. C. D.15、如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A. 55︒B. 60︒C. 65︒D. 70︒16、下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是（ ）A. B.C. D. 17、如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD ，点()2,0E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点()0,6F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ）A. 103B.C. 163D. 3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）18、（1）计算：)0112()2cos602-+-︒；（2）化简：21(1)11x x x +÷--． 19、（1）解方程：23122x x x =+--；（2）解不等式：14(1)2x x --<． 20、如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在,AD BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．21、小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．22、如图，在ABC ∆中，AB AC =，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B（1）求证：直线AB 与O 相切；（2）若5AB =，O 的半径为12，则tan BDO ∠＝_____． 23、如图，点()2,A n 和点D 是反比例函数()0,0m y m x x =>>图象上的两点，一次函数()30y kx k =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接,OA OD ．已知OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=．（1）OAB S ∆＝_____，m ＝_____；（2）已知点()6,0P 在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标． 24、在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）ABC ∠=_____°；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．25、陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是_____；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？26、【材料阅读】：地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】：观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31︒，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ ⊥．是O的直径，PQ ON（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP =km ，求这两个观测点之间的距离即O 上AB 的长．（π取3.1） 27、如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是_____；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ①若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围_____．28、学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．①a＝_____；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是_____．（直接写出结果）参考答案1、【答案】2019【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2、【答案】3【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：①33=27，①27的立方根是3，故答案为：3．3、【答案】5【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】①数据4，3，x，1，5的众数是5，①x=5，故答案为：5．4、【答案】x≥4【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】由题意得x-4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5、【答案】11510-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】用科学记数法把0.00000000005表示为5×10-11．故答案为：5×10-11．6、【答案】＜【分析】反比例函数2yx=-的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．答案第1页，共18页【解答】①反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而A （-2，y 1）、B （-1，y 2）都在第二象限，①在第二象限内，y 随x 的增大而增大，①-2＜-1①y 1＜y 2．故答案为：＜7、再合并同类项.==8、【答案】40【分析】根据等边三角形的性质得到①BDC =60°，根据平行线的性质求出①2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】如图，①①BCD 是等边三角形，①①BDC =60°，①a ①b ，①①2=①BDC =60°，由三角形的外角性质可知，①1=①2-①A =40°，故答案为：40．9、【答案】1【分析】由根的判别式来解．【解答】①关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个相等的实数根，①①=0，①4﹣4m =0，①m =1，故答案为：1．10、1【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，①CDA=90°，再利用旋转的性质得CF，根据正方形的性质得①CFE=45°，则可判断①DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD 即可．【解答】①四边形ABCD为正方形，①CD=1，①CDA=90°，①边长为1正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，①CF，①CFDE=45°，①①DFH为等腰直角三角形，①DH=DF=CF-CD -1．-1．11、【答案】80【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．【解答】设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：12x＝19，解得x＝29，①转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×29=80°．故答案为：80．12、【答案】7 4【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【解答】①抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，①4222m n aa+=-=-，顶点为（-2，1）①由题意可知a＞0，①线段AB的长不大于4，①4a+1≥3的答案第3页，共18页①a≥1 2①a2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为：74．13、【答案】B【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、a7÷a3=a4，正确；C、（a3）5=a15，故此选项错误；D、（ab）2=a2b2，故此选项错误；选B.14、【答案】D【分析】从图形的上方观察即可求解．【解答】俯视图从图形上方观察即可得到，选D．15、【答案】A【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出①DAB，根据圆周角定理求出①ACB、①CAB，计算即可．【解答】连接AC，①四边形ABCD是半圆的内接四边形，①①DAB=180°-①C=70°，①DC CB，①①CAB=12①DAB=35°，①AB是直径，①①ACB=90°，①①ABC=90°-①CAB=55°，选A．16、【答案】B【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．【解答】由x+2＞a得x＞a-2，A．由数轴知x＞-3，则a=-1，①-3x-6＜0，解得x＞-2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a=2，①3x-6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a=4，①7x-6＜0，解得x＜67，与数轴不符；D．由数轴知x＞-2，则a=0，①-x-6＜0，解得x＞-6，与数轴不符；选B．17、【答案】A【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG①PE于G，连接EF．首先说明点G与点F 重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG①PE于G，连接EF．①E（-2，0），F（0，6），①OE=2，OF=6，①EF①①FGE=90°，①FG≤EF，①当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．答案第5页，共18页①P A =PB ，BE =EC =a ，①PE ①AC ，BJ =JH ，①四边形ABCD 是菱形，①AC ①BD ，BH =DHBJ， ①PE ①BD ，①①BJE =①EOF =①PEF =90°，①①EBJ =①FEO ，①①BJE ①①EOF ， ①BE BJ EF EO=，62=， ①a =53， ①BC =2a =103， 选A ．18、【答案】（1）2；（2）1x +．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； （2）根据分式的混合运算法则计算．【解答】（1）)0112()2cos602-+-︒ 121=+-2=；（2）21(1)11x x x +÷-- 211()111x x x x x -=+÷---答案第7页，共18页 ()()111x x x x x+-=⋅- 1x =+．19、【答案】（1）1x =；（2）32x <． 【分析】（1）方程两边同乘以（x -2）化成整式方程求解，注意检验；（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．【解答】（1）方程两边同乘以()2x -得232x x =+-1x ∴=检验：将1x =代入()2x -得1210-=-≠1x =是原方程的解．①原方程的解是1x =．（2）化简()1412x x --<得 1442x x --< 932x ∴< 32x ∴< ∴原不等式的解集为32x <．20、【答案】（1）见解答；（2）线段GH 与AC 互相平分，见解答．【分析】（1）由垂线的性质得出①G =①H =90°，AG ①CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出①AEG =①CFH ，由AAS 即可得出①AGE ①①CHF ；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG =CH ，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∵∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G H AEG CFH AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：由（1）得：AGE CHF ∆≅∆，AG CH ∴=，AG CH ∥，①四边形AHCG 是平行四边形，①线段GH 与AC 互相平分．21、【答案】小丽和小明在同一天值日的概率是13． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种， 则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=．22、【答案】（1）见解答；（2）23． 【分析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出①ABC =①ACB ，①OBD =①D ，证出①OBD +①ABC =90°，得出AB ①OB ，即可得出结论；（2）由勾股定理得出13OA ==，得出OC =OA -AC =8，再由三角函数定答案第9页，共18页义即可得出结果．【解答】（1）证明：连接AB ，如图所示：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ACB OCD ∠=∠，ABC OCD ∴∠=∠，OD AO ⊥，90COD ∴∠=︒，90D OCD ∴∠+∠=︒，OB OD =，OBD D ∴∠=∠，90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90∠=︒ABO ，AB OB ⊥，①点B 在圆O 上，①直线AB 与O 相切； （2）90ABO ∠=︒，13OA ∴===，5AC AB ==，8OC OA AC =-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23． 23、【答案】（1）3，8；（2）()8,1D ．【分析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得S ①OAB =3，∴S ①ODE =4，由反比例函数系数k 的几何意义求得m的值；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用①PDE =①CBO ，①COB =①PED =90°判定①CBO ①①PDE ，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标．【解答】（1）由一次函数3y kx =+知，()0,3B ．又点A 的坐标是()2,n ，13232OAB S ∆∴=⨯⨯=． :3:4OAB ODE S S ∆∆=．4ODE S ∆∴=．①点D 是反比例函数()0,0m y m x x=>>图象上的点， 142ODE m S ∆∴==，则8m =． （2）由（1）知，反比例函数解析式是8y x=． 28n ∴=，即4n =．故()2,4A ，将其代入3y kx =+得到：234x +=． 解得12k =． ①直线AC 的解析式是：132y x =+． 令0y =，则1302x +=， 6x ∴=-，()6,0C ∴-．6OC ∴=．由（1）知，3OB =．设(),D a b ，则DE b =，6PE a =-．PDE CBO ∠=∠，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴∆∆，OB OC DE PE ∴=，即366b a =-①， 又8ab =①．答案第11页，共18页联立①①，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩． 故()8,1D ．24、【答案】（1）30；（2）9.6=GC ．【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作CQ ①AB 于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可．【解答】（1）①五边形ABCDEF 是正五边形，()521801085BAF -⨯︒∴∠==︒， 30∴∠=∠-∠=︒ABC BAF BAC ，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC ∆中，sin QC QAC AC∠=， sin QC AC QAC ∴=∠100.989.8≈⨯=，在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=．25、【答案】（1）6分；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人．【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，∴中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．【解答】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：36122748+++=人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，∴中位数是6分． 故答案为：6分；（2）两个班一共有学生：()222750%98+÷=（人），九（1）班有学生：984850-=（人）．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类人数各是x 人、y 人．由题意，得52250053622 3.7850x y x y +++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人．26、【答案】（1）67∠=︒POB ；（2）3968=AB （km ）．【分析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD ①BC 于D ，CH ①BH 交BC 于点C ，则①DHC =67°，证出①HBD =①DHC =67°，由平行线的性质得出①BEO =①HBD =67°，由直角三角形的性质得出①BOE =23°，得出①POB =90°-23°=67°；（2）同（1）可证①POA =31°，求出①AOB =①POB -①POA =36°，由弧长公式即可得出结果．【解答】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交CB 于点C ，如图所示：则67DHC ∠=︒， 的答案第13页，共18页90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒，67HBD DHC ∴∠=∠=︒，ON BH ∥，67BEO HBD ∴∠=∠=︒，906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥，90POE ∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，3664003968180AB π⨯⨯∴==（km ）．27、【答案】（1）()2,9；（2）①DP =①92155n <<． 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n =275时，N （2，275），可求DA=2，DN =185，CD =365，当PQ ①AB 时，①DPQ ①①DAB ，DP当PQ 与AB 不平行时，DP①当PQ ①AB ，DB =DP 时，DBDN =245，∴N （2，215），则有且只有一个①DPQ 与①DAB 相似时，95＜n ＜215． 【解答】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DACDPN ∆∆， DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =①当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ①有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<；28、【答案】【观察】：①90；②120；【发现】：①50；②见解答；【拓展】：0＜x ≤12或48≤x ≤72．【分析】[观察]①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论；[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速答案第15页，共18页 度为150x v x-，根据题意列方程即可得到结论； ②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列函数解析式即可得到结论；[拓展]由题意列不等式即可得到结论．【解答】[观察]①∵相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，()30150150430m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②∵相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度， ∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度， 设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位， 的根据题意得，()114015015044m m ++-=-， 120m ∴=，故答案为：120；[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，()150150150x x x x-+=-， 50x ∴=，经检验：50x =是分式方程的根，即：50a =，故答案为：50；②当050x <≤时，点()50,150P 在线段OP 上，∴线段OP 的表达式为3y x =， 当150x v v x-<时，即当5075x <<，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，()150150150x x y x y x-+=-+-， 3300y x ∴=-+，即：()()305033005075x x y x x ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩， 补全图形如图2所示，[拓展]①如图，答案第17页，共18页由题意知，1504(150)150y x y x=⨯+--， ∴y =5x ，∵0＜y ≤60，∴0＜x ≤12；②如图，∴(150)1501503150y x y x-+=+⨯-， ∴y =-5x +300，∵0≤y ≤60，∴48≤x ≤60，③如图，由题意得，300300(150)150y x y x+=+--， ∴y =5x -300，∵0≤y ≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x＜72，综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案为0＜x≤12或48≤x≤72．。