湘郡培粹学校(长培)2019-2020学年度九年级第一学期入学考试数学试卷(PDF版)

长培2019-2020学年度初三暑假作业检测数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（ ） A.AC BD ⊥B.ABD ADB ∠=∠C.AB CD =D.AB BC =2.如果函数y kx b =+（k ，b 是常数）的图象不经过第二象限，那么k ，b 应满足的条件是（ ） A. 0k ≥且0b ≤B. 0k >且0b ≤C. 0k ≥且0b <D. 0k >且0b <3.“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y 与x 的对应关系的是（ ）. A. B. C. D.4.若一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象经过点A （0，1-），B （1，1），则不等式1kx b +>的解为（ ） A. 0x <B. 0x >C. 1x <D. 1x >5.已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ） A. 平均数是8B. 众数是8C. 中位数是8D. 方差是86.某公司全体职工的月工资如下：该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是 A. 中位数和众数 B. 平均数和众数 C. 平均数和中位数D. 平均数和极差7.若12x x ，是一元二次方程2450x x --=的两个根，则12x x 的值是（ ） A.5-B.5C.4-D.48.将抛物线213y x =-+（）向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（ ）A. 21y x =-（）B. 226y x =-+（） C. 2y x = D. 26y x =+9.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（ ） A.11362x x -=（） B.11362x x +=（） C. 136x x -=（） D. 136x x +=（）10.已知12x x ，是方程22(21)590x k x k k -++++=的两根，且221239x x +=，则k 的值为（ ） A. 7B. 4C. 7或4-D. 7-或411.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（ ） A.B. C. 10D. 812. 二次函数2y ax bx c =++ (0)a ≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0ac >；②24b ac >；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13.函数y =x 的取值范围是 . 14. a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是 .15. 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CM 是斜边AB 上的中线，E F 、分别为MB BC 、的中点，若1EF =，则AB = ．第11题第12题 第15题16. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是2 2.83S =甲，2 1.71S =乙，23.52S =丙，你认为适合参加决赛的选手是 .17．一次函数2y kx =-的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k 的值等于 .18. 已知二次函数2y x h =--()（h 为常数），在自变量x 满足25x ≤≤的情况下，y 的最小值为1-，则h 的值为 .三、解答题（共66分）19.解方程（每小题4分，共8分）（1）22x x -= （2） 22(21)(1)0x x --+=20.（本题共6分）为了更好地开展体育运动，增强学生体质，学校准备购买一批运动鞋，供学生借用，为配合学校工作，学校体育部从全校各个年级随机抽查了若干名学生的鞋号，用表格整理数据（如下）．请根据相关信息，解答下列问题： （1）将表格补充完整；（2）在所抽查的鞋号组成的数据中，众数是 ，中位数是 ；（3）若该校计划购买300双运动鞋，根据样本数据，鞋号37的运动鞋应购买多少双？21.（本题共6分）二次函数22y ax bx =++与x 轴交于（1-，0），（3，0）两点（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的对称轴与顶点坐标。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.2. 下列各数：π，√83，12，0，√3.其中无理数出现的频率是( )． A. 20% B. 40% C. 60% D. 80%3. 已知矩形的面积为20 cm 2，设该矩形的一边长为y cm ，另一边长为x cm ，则y 与x 之间的函数图像大致是( )A. B.C. D.4. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD 于E ，顺次连接AC ，CB ，BD ，则下列结论中错误的是( )A. AC⏜=BC ⏜ B. AE =EBC. CD 平分∠ACBD. BA 平分∠CBD5. 如图，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，若AE ⊥BC ，∠ADC =65°，则∠ABC的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.若不等式组{3x≥5x−2x>m恰有三个整数解，则m的取值范围是()A. −2≤m<−1B. −2<m≤−1C. −2≤m≤−1D. −2<m<−17.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°8.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(1,2)，则菱形OABC的面积是()A. √5B. 2√5C. 2√3D. 2√5−19.如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的面积是πA. 18B. 2ππC. 14πD. 16410.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD绕原点O顺时针旋转90°，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A. (−3,−1)B. (−2,3)C. (−2017,2)D.(−2017,−2)11.方程x2+4x=2的正根为()A. 2−√6B. 2+√6C. −2−√6D. −2+√612.如图所示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过点(−1,0)，康康依据图象写出了四个结论：①如果点(−12,y1)和(2,y2)都在抛物线上，那么y1<y2；②b2−4ac>0；③m(am+b)<a+b(m≠1的实数)；④ca=−3．康康所写的四个结论中，正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.因式分解：ab2−2ab+a=______．14.化简：√x3=______ ．15.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球______个．16.正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE=1，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，FC，则FC=______．17.如图，Rt△ABC中，AC=BC=8，⊙C的半径为2，点P在线段AB上一动点，过点P作⊙C的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______ ．18.如图，点A在反比例函数y1=1x (x>0)的图象上，点B在反比例函数y2=kx(x<0)的图象上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.|−3|+(−12)−3−(−3)2−110+√1620.化简：(xx−1−1x2−x)÷x2+2x+1x2，并从−1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．21.如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的转盘(转盘被等分成20个扇形)，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好对准红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券；如果不愿意，可直接获得30元的购物券．(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；(2)如果你在该商场消费210元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO向左平移6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标．23.如图，直线y=12x与双曲线y=kx(k>0,x>0)交于点A，将直线y=12x向上平移4个单位长度后，与y轴交点C，与双曲线y=kx(k>0,x>0)交于点B．(1)直接写出平移后的直线BC的函数表达式；(2)如果OA=3BC，求反比例函数的表达式．24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是BD⏜上一点，连接DE，AE，CE，已知CE=AC(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明；(2)若AB=AC=4，求DE的长．x2+bx+c的图象经过A(2,0)，B(0,−6)两点．25.如图，二次函数y=−12(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．26.已知二次函数y=mx2+2(m+2)x+m+9．(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(4,0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识，熟记概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C.是轴对称图形，也是中心对称图形；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．2.答案：B解析：【分析】，正确掌握无理数的定义，是解决本题的关键．本题考查了频率的计算方法：频率=频数数据总和根据无理数的定义首先确定无理数的个数，然后利用频率的定义求解．【解答】解：无理数有π，√3共2个．×100%=40%．则无理数出现的频率是25故选B．3.答案：B解析：【分析】本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据题意有：xy=20；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限，即可得出答案．【解答】解：∵xy=20，(x>0,y>0)．∴y=20x则图象为：．故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，熟知垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．直接根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一解答即可．【解答】解：A.∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB于E，∴CD垂直平分AB，∴AC⏜=BC⏜．故本选项正确；B.∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB于E，∴CD垂直平分AB，∴AE=EB．故本选项正确；C.∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB于E，∴CD垂直平分AB，∴AC=BC．∴CD平分∠ACB，故本选项正确；D.当AB是直径时，BA平分∠CBD，故本选项错误；故选D．5.答案：B解析：【分析】先根据旋转的性质得AD=AC，∠BAE=∠CAD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD=50°，则∠BAE=50°，然后利用互余计算∠ABC的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴AD=AC，∠BAE=∠CAD，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°−65°−65°=50°，∴∠BAE=50°，∵AE⊥BC，∴∠ABC=90°−∠BAE=40°．故选：B．6.答案：A解析：【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法有关知识，先求出不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵{3x≥5x−2 x>m，∴该不等式组解集为m<x≤1，∵该不等式组有3个整数解，∴m的取值范围为−2≤m<−1．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查垂径定理与圆周角定理，属于基础题.掌握垂径定理与圆周角定理是解题关键．由题意，弦AC⊥直径BD，可得AD⏜=CD⏜(垂径定理)，再利用等弧所对的圆心角相等与同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解．【解答】∵⊙O的直径BD⊥AC，∴AD⏜=CD⏜，∴∠COD=∠AOD=60°，∴∠DBC=12∠COD=30°；故选A．8.答案：B解析：解：作CH⊥x轴于H．∵四边形OABC是菱形，∴OA=OC，∵C(1,2)，∴OH=1，CH=2，∴OC=√22+12=√5，∴菱形OABC 的面积=√5×2=2√5．故选：B ．作CH ⊥x 轴于H.利用勾股定理求出OA 的长即可解决问题；本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．连接BC ，如图，利用圆周角定理得到BC 为⊙O 的直径，则AB =AC =√2，设该圆锥底面圆的半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr =90⋅π⋅√2180，然后解方程求出r 的值，再根据圆的面积公式计算即可．【解答】解：连接BC ，如图，∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，BC =2，∴AB =AC =√2，设该圆锥底面圆的半径为r ，∴2πr =90⋅π⋅√2180， 解得r =√24， ∴圆锥底面圆的面积是π⋅(√24)2=18π． 故选A ．10.答案：B解析：解：∵正方形ABCD ，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)．∴点M 的坐标为(2,2)，根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为(2−1,−2)，即(1,−2)，第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：(−2−1,−1 )，即(−3,−1)，第3次变换后的点M 的对应点的坐标为(−1−1,3)，即(−2,3)，第4次变换后的点M 的对应点的坐标为：(3−1,2)，即(2,2)，∵2019÷4=504余3，∴连续经过2019次变换后，点M 的坐标变为(−2,3)．故选：B．由正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)，然后根据题意求得第1次、2次、3次、4次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律：每4次变换后点M回到原来的位置，继而求得把正方形ABCD 连续经过2019次这样的变换得到点M的坐标．此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：每4次变换为一个循环规律是解此题的关键．11.答案：D解析：解：∵x2+4x=2，∴(x+2)2=6，∴x1=−2+√6，x2=−2−√6；∴方程x2+4x=2的正根为−2+√6．故选：D．本题采用配方法解题，将方程左边配成完全平方式，再求方程的解．解此题的关键是选择适宜的解题方法，当二次项系数为1时，选择配方法较好．12.答案：D解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，∴x=0与x=2时的函数值相等，由图象可知，x=0的函数值大于x=−1时的函数值．2,y1)和(2,y2)都在抛物线上，则y1<y2(故①正确)．∴点(−12∵y=0时，函数图象与x轴两个交点，∴ax2+bx+c=0时，b2−4ac>0(故②正确)．∵由图象可知，x=1时，y=ax2+bx+c取得最大值，∴当m≠1时，am2+bm+c<a+b+c．即m(am+b)<a+b(m≠1的实数)(故③正确)．∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过(−1,0)点，∴当y=0时，x的值为−1或3．∴ax2+bx+c=0时的两根之积为：x1⋅x2=c，x1⋅x2=(−1)×3=−3.a=−3(故④正确)．∴ca故选：D．根据二次函数具有对称性，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，可知x=0和x=2时的函数值一样，由图象可以判断①；根据函数图象与x轴的交点可判断②；根据函数开口向下，可知y=ax2+bx+c具有最大值，可判断③；根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过(−1,0)点，可知y=0时，x=−1或3，从而可以判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数与函数图象结合在一起．13.答案：a(b−1)2解析：解：原式=a(b2−2b+1)=a(b−1)2；故答案为：a(b−1)2．原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.答案：x√x解析：解：√x3=x√x，故答案为：x√x．根据二次根式的性质(当x≥0时，√x2=x)求出即可．本题考查了二次根式的性质的应用，能运用性质进行计算是解此题的关键，注意：当x≥0时，√x2=x，当x<0时，√x2=−x．15.答案：3解析：解：设绿球的个数为x，根据题意，得：x9+3+x=0.2，解得：x=3，经检验x=3是原分式方程的解，即袋中有绿球3个，故答案为：3直接利用绿球个数÷总数=0.2，进而得出答案．此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键．16.答案：√2解析：【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA=CD，∠D=90°，再根据旋转的性质得EA=EF，∠AEF=90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE=FH=1，AD=EH，所以EH=DC，则DE=CH=1，然后利用勾股定理计算FC的长．【解答】解：作FH⊥CD于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴DA=CD，∠D=90°，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴EA=EF，∠AEF=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∠FEH+∠AED=90°，∴∠EAD=∠FEH，在△ADE和△EHF中{∠D=∠FHE∠EAD=∠FEH AE=EF，∴△ADE≌△EHF，∴DE=FH=1，AD=EH，∴EH=DC，即DE+CE=CH+EC，∴DE=CH=1，在Rt△CFH中，FC=√12+12=√2．故答案为√2．17.答案：2√7解析：【分析】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用，掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP，根据勾股定理知PQ2=CP2−CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．【解答】解：连接CP，∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2−CQ2，∴当PC⊥AB时，线段PQ最短，此时，PC=12AB=4√2，则PQ2=CP2−CQ2=28，∴PQ=2√7，故答案为：2√7．18.答案：−3解析：【解答】解：设点A坐标为(a,1a)，∵点B在反比例函数y2=kx(x<0)的图象上，AB⊥y轴，∴1a =kx，∴x=ak，∴点B(ak,1a)，∵△AOB的面积为2，∴12(a−ak)×1a=2，∴1−k=4，∴k=−3，故答案为：−3．【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，表示出AB的长是解决本题的关键．设点A坐标为(a,1a )，由AB⊥y轴，可得点B(ak,1a)，由三角形面积公式可求k的值．19.答案：解：原式=3−8−9−1+4=−11．解析：直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简各数得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：原式=x2−1x(x−1)⋅x2(x+1)2=(x+1)(x−1)x(x−1)⋅x2(x+1)2=xx+1，由x不等于−1，0，1；所以当x=2时，原式=23．解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=2代入计算即可求出值．21.答案：解：(1)∵自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，∴转动一次转盘获得购物券的概率为：1+3+620=12；(2)选择转转盘．理由：转转盘：200×120+100×320+50×620=40(元)，∵40>30，∴选择转转盘．解析：(1)由自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再比较即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意掌握选择转转盘获得购物券的钱数的求解方法是关键．22.答案：解：如图所示，△A1B1O1、△A2B2O2即为所求：其中点O2的坐标为(−3,−3)．解析：分别作出平移变换和旋转变换后的对应点，再顺次连接即可得．本题主要考查作图−旋转变换、平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义、性质．23.答案：解：(1)∵将直线y=12x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y=12x+4，(2)分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A(3x,32x)，∵OA=3BC，BC//OA，CF//x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF=13OD，∵点B在直线y=12x+4上，∴B(x,12x+4)，∵点A、B在双曲线y=kx上，∴3x⋅32x=x⋅(12x+4)，解得x=1，∴k=3×1×32×1=92．故反比例函数的表达式为：y=92x=92x．解析：(1)根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式；(2)分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A(3x,32x)，由于OA=3BC，故可得出B(x,12x+4)，再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可．本题考查的是反比例函数综合题.根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可．24.答案：解：(1)CE与⊙O相切，理由：连接OE，∵OA=OE，AC=EC，∴∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，∴∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE，∴∠CEO=∠CAO，∵∠BAC=90°，∴∠CEO=90°，∴CE是⊙O的切线；(2)连接OC，OB，∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴OA =2，BC =4√2，CE =AC =4，∴OC =√AC 2+OA 2=2√5，∵AC =CE ，OA =OE ，∴AE ⊥OC ，AF =EF ，∴AO 2=OF ⋅OC ，∴OF =AO 2OC =2√55， ∵OF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴OF//BE ，∵AO =OB ，∴BE =2OF =4√55，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠CBE =∠DEC ，∵∠BCE =∠ECD ，∴△CDE∽△CEB ，∴DE BE =CE BC ，∴4√55=4√2， ∴DE =2√105．解析：(1)连接OE ，根据等腰三角形的性质得到∠OAB =∠OEA ，∠CAE =∠CEA ，求得∠CEO =∠CAO ，得到∠CEO =90°，于是得到结论；(2)连接OC ，OB ，解直角三角形得到OA =2，BC =4√2，CE =AC =4，根据勾股定理得到OC =√AC 2+OA 2=2√5，根据射影定理得到AO 2=OF ⋅OC ，求得OF =AO 2OC =2√55，得到BE =2OF =4√55，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 25.答案：解：(1)把A(2,0)、B(0,−6)代入y =−12x 2+bx +c ，得：{−2+2b +c =0c =−6， 解得{b =4c =−6， ∴这个二次函数的解析式为y =−12x 2+4x −6；(2)∵该抛物线对称轴为直线x =−42×(−12)=4，∴点C的坐标为(4,0)，∴AC=OC−OA=4−2=2，∴S△ABC=12×AC×OB=12×2×6=6．解析：本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．(1)二次函数图象经过A(2,0)、B(0,−6)两点，两点代入y=−12x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；(2)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．26.答案：解：(1)根据题意得m≠0且△=4(m+2)2−4m⋅(m+9)>0，所以m<45且m≠0；(2)把A(4,0)代入y=mx2+2(m+2)x+m+9得16m+8(m+2)+m+9=0，解得m=−1，所以抛物线解析式为y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，所以抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=−x2+2x+8=8，则B(0,8)，设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(4,0)，B(0,8)代入得{4k+b=0b=8，解得{k=−2b=8，所以直线AB的解析式为y=−2x+8，当x=1时，y=−2x+8=6，所以P点坐标为(1,6)．解析：(1)利用二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△=4(m+2)2−4m⋅(m+9)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可；(2)先把A(4,0)代入y=mx2+2(m+2)x+m+9求出m=−1，则抛物线解析式为y=−x2+2x+8，配成顶点式得y=−(x−1)2+9，于是得到抛物线的对称轴为直线x=1，接着确定B(0,8)，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=−2x+8，再求自变量为1时的一次函数值即可得到P点坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．。

长郡教育集团初中课程中心2019—2020学年度初三第一次限时检测数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中．恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列各数是无理数的是（）A.0B.C.D.2.下列运算，正确的是（）A. B.C. D.3.如图，是中心对称图形的是（）.A. B. C. D.4.若代数式有意义，则的取值是（）A. B. C. D.5.数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是（）A.3和2B.3和3C.3和5D.0和56.多项式的公因式是（）A. B. C. D.7.如图，能判定的是（）A. B. C. D.8.若关于的方程无实数根，则的值可以是下列选项中的（）A. B. C.9 D.109.下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.五边形的内角和是C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形10.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（）A. B. C. D.11.已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数在直角坐标系中的图象大致为（）A. B. C. D.12.如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，则下列结论中：（1）是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）；（4）正方形的面积等于四边形面积的4倍，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13.已知，则.14.如果点（4，）和点（，）关于原点对称，则的值为.15.已知一等腰三角形有两边长为6，8，则这个三角形的周长为．16.已知满足方程组，则的值为.17.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为.18.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，.三、解答题（本题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）19.（6分）计算：.20.（6分）先化简，再求值：其中，.21.（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点的坐标分别为（3，2）、（1，3）．绕点逆时针旋转后得到．（1）在网格中画出，并标上字母；（2）点关于点中心对称的点的坐标为；（3）点的坐标为；（4）在旋转过程中，点经过的路径为弧，那么弧的长为．22.（8分）如图，在中，是它的角平分线，，，在边上，，以为直径的圆经过点．（1）求证：是的切线；（2）求图中阴影部分的面积．23.（9分）某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒．2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年，这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？24.（9分）如图所示，是的直径，是弦，是劣弧的中点，过作于点，交于点，过作交的延长线于点．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求的长．25.（10分）在直角坐标系中，经过坐标原点，分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．（1）如图，过点作的切线与轴交于点，点到直线的距离为，，，①求的长；②求直线AC的解析式；（2）若经过点（2，2），设的内切圆的直径为，试判断的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．26.（10分）已知抛物线的顶点坐标为（1，4），且经过点（2，3），与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点、设直线与轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使以点为圆心的圆经过两点，且与直线相切？若存在，求出的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设直线与抛物线交于两点，若原点在以为直径的圆外，请直接写出的取值范围．。

2020年中考数学模拟试卷一、填空题（每题2分，共20分）1．（2分）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝．2．（2分）计算20+（）﹣1的结果是．3．（2分）α＝﹣的倒数是．4．（2分）若a＝2，b＝6，c＝3，则a，b，c的第四比例项为．5．（2分）用科学记数法表示：﹣0.0000473＝，四舍五入得到的近似数76420保留两位有效数字后是．6．（2分）5的平方根是，算术平方根是．7．（2分）二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是．8．（2分）不等式组的解集是．9．（2分）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是．10．（2分）为了保护环境，环保部门每天都要对重点城市的空气污染情况进行监控和预报，当污染指数w≤50时，空气质量为优；当污染指数50＜w≤100时，空气质量为良；当污染指数100＜w≤150时，空气质量为轻度污染……现随机抽取某城市30天的空气质量情况统计如表：污染指数（w）40 70 90 110 120 140天数（t） 3 8 9 6 3 1估计这个城市一年（365天）中，空气质量达到良以上的天数是．二、选择题：（每题3分，共30分）11．（3分）下列运算中正确的是（）A．2x2+4x3＝6x5B．3x2•4x3＝12x6C．（﹣5x3）2＝﹣25x6D．10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x212．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠1 13．（3分）下列各式与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．14．（3分）某商品价格a元，降低10%后，又降低了10%，销售量猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品的价格为（）A．a元B．1.08a元C．0.972a元D．0.96a元15．（3分）已知方程2x2+3＝5﹣3x．若设＝y，则原方程可化为（）A．y2+5y+6＝0 B．y2﹣5y﹣6＝0 C．y2﹣5y+6＝0 D．y2+5y﹣6＝0 16．（3分）判断方程的（2+）x2﹣2x+2﹣＝0根的情况（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．无法确定17．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．18．（3分）已知点A（a，0）在x轴的负半轴上，点（0，b）在y轴的正半轴上，那么点C （﹣a，﹣b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19．（3分）下列命题中，正确的命题是（）A．一组对边平行但不相等的四边形是梯形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形20．（3分）在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4 B．5 C．8 D．10三、计算题（每题5分，共15分）21．（5分）计算：×（3﹣π）0×（﹣2）2++2cos30°﹣0.3﹣1．22．（5分）解方程：2x2+2x﹣3＝．23．（5分）化简求值：（+）×，其中a＝．四、作图题（共5分）24．（5分）如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．五、应用题（每问4分，共8分）25．（8分）我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方地区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定．北方某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7 140 2648 95 152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式．六、证明题（每问5分，共10分）26．（10分）如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：（1）CD＝CB；（2）AD•DB＝2CD•DO．七、综合题（每问4分，共12分）27．（12分）如图：圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D．弦CM交OA于P，连结AM，已知tan∠PCO＝，PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．（1）求C点的坐标；（2）写出直线CM的函数解析式；（3）求△AMC的面积．参考答案与试题解析一、填空题（每题2分，共20分）1．（2分）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．【分析】直接将前三项运用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c）2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．故答案为：（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．2．（2分）计算20+（）﹣1的结果是 5 ．【分析】首先计算零次幂和负整数指数幂，再算加法即可．【解答】解：原式＝1+4＝5，故答案为：5．3．（2分）α＝﹣的倒数是+．【分析】根据分母有理化即可求出答案．【解答】解：＝＝+，故答案为：+4．（2分）若a＝2，b＝6，c＝3，则a，b，c的第四比例项为9 ．【分析】设a，b，c的第四比例项为x，根据比例线段的定义得到2：6＝3：x，然后根据比例性质求出x即可．【解答】解：设a，b，c的第四比例项为x，根据题意得a：b＝c：x，即2：6＝3：x，解得x＝9，即a，b，c的第四比例项为9．5．（2分）用科学记数法表示：﹣0.0000473＝﹣4.73×10﹣5，四舍五入得到的近似数76420保留两位有效数字后是7.6×104．【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关．据此解答即可．【解答】解：﹣0.0000473＝﹣4.73×10﹣5；76420≈7.6×104．故答案为：﹣4.73×10﹣5，7.6×104．6．（2分）5的平方根是±，算术平方根是．【分析】分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可．【解答】解：5的平方根是±，算术平方根是．7．（2分）二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是（﹣1，4）．【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式即可得到该函数图象的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1＝﹣3（x+1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．8．（2分）不等式组的解集是1＜x≤2 ．【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2．故答案为：1＜x≤2．9．（2分）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是正八边形．【分析】先求出正多边形的一个外角，利用外角和求出该正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴它的每一个外角为45°．又因为多边形的外角和恒为360°，360°÷45°＝8即该正多边形为正8边形．故答案为：正八边形．10．（2分）为了保护环境，环保部门每天都要对重点城市的空气污染情况进行监控和预报，当污染指数w≤50时，空气质量为优；当污染指数50＜w≤100时，空气质量为良；当污染指数100＜w≤150时，空气质量为轻度污染……现随机抽取某城市30天的空气质量情况统计如表：污染指数（w）40 70 90 110 120 140天数（t） 3 8 9 6 3 1估计这个城市一年（365天）中，空气质量达到良以上的天数是36.5天．【分析】30天中空气质量达到良以上的有3天，即所占比例为，然后乘以365即可求出一年中空气质量达到良以上的天数．【解答】解：根据题意得：×365＝36.5（天）．答：空气质量达到良以上的天数是36.5天；故答案为：36.5天．二、选择题：（每题3分，共30分）11．（3分）下列运算中正确的是（）A．2x2+4x3＝6x5B．3x2•4x3＝12x6C．（﹣5x3）2＝﹣25x6D．10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x2【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：2x2+4x3不能合并，故选项A错误；3x2•4x3＝12x5，故选项B错误；（﹣5x3）2＝25x6，故选项C错误；10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x2，故选项D正确；故选：D．12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠1 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，列出不等式组，即可求x的范围．【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故选：B．13．（3分）下列各式与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把不是最简二次根式的进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝3，与是同类二次根式；B、，与不是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、，与不是同类二次根式；故选：A．14．（3分）某商品价格a元，降低10%后，又降低了10%，销售量猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品的价格为（）A．a元B．1.08a元C．0.972a元D．0.96a元【分析】提价后这种商品的价格＝原价×（1﹣降低的百分比）（1﹣百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．【解答】解：第一次降价后的价格为a×（1﹣10%）＝0.9a元，第二次降价后的价格为0.9a×（1﹣10%）＝0.81a元，∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）＝0.972a元，故选：C．15．（3分）已知方程2x2+3＝5﹣3x．若设＝y，则原方程可化为（）A．y2+5y+6＝0 B．y2﹣5y﹣6＝0 C．y2﹣5y+6＝0 D．y2+5y﹣6＝0 【分析】此方程可用换元法解方程，设y＝．则2x2+3x+9＝y2，则2x2+3x ＝y2﹣9，代入即可求解．【解答】解：设y＝，则方程为y2﹣5y﹣6＝0．故选：B．16．（3分）判断方程的（2+）x2﹣2x+2﹣＝0根的情况（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．无法确定【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：△＝4﹣（2+）（2﹣）＝4﹣（4﹣3）＝3＞0，故选：A．17．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴cos A＝sin B＝．故选：C．18．（3分）已知点A（a，0）在x轴的负半轴上，点（0，b）在y轴的正半轴上，那么点C （﹣a，﹣b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先确定a、b的正负性，再确定﹣a，﹣b的正负性，再根据四个象限内点的坐标符号确定答案．【解答】解：∵点A（a，0）在x轴的负半轴上，∴a＜0，∴﹣a＞0，∵点（0，b）在y轴的正半轴上，∴b＞0，∴﹣b＜0，∴点C（﹣a，﹣b）在象四限，故选：D．19．（3分）下列命题中，正确的命题是（）A．一组对边平行但不相等的四边形是梯形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】根据梯形的定义、正方形的性质、相似三角形的判定、平行四边形的判定利用排除法求解．【解答】解：A、一组对边平行但不相等的四边形是梯形，正确；B、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误；C、有一个角相等，相等的角不一定是对应角，错误；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可以是等腰梯形，错误．故选：A．20．（3分）在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4 B．5 C．8 D．10【分析】根据垂径定理的推论得到CD为⊙O的直径，根据相交弦定理计算，求出PB，得到答案．【解答】解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴CD为⊙O的直径，由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，∴CD＝10，故选：D．三、计算题（每题5分，共15分）21．（5分）计算：×（3﹣π）0×（﹣2）2++2cos30°﹣0.3﹣1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×4+2﹣+2×﹣＝2+2﹣+﹣＝．22．（5分）解方程：2x2+2x﹣3＝．【分析】设x2+x＝y，方程变形后求出解，即可确定出x的值．【解答】解：设x2+x＝y，方程变形得：2y﹣3＝，整理得：2y2﹣3y﹣2＝0，即（2y+1）（y﹣2）＝0，解得：y＝﹣或y＝2，经检验都是分式方程的解，当y＝﹣时，x2+x＝﹣，即2x2+2x+1＝0，此方程无解；当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0，可得x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2，经检验x＝1与x＝﹣2都是原分式方程的解．23．（5分）化简求值：（+）×，其中a＝．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝＝＝+1时，原式＝＝＝．四、作图题（共5分）24．（5分）如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．【分析】过平行四边形的对称中心作一条直线即可，则经过对角线的交点且互相垂直的两直线一定把平行四边形平分成四个面积相等的图形．【解答】解：经过对角线的交点且互相垂直的两直线一定把平行四边形平分成四个面积相等的图形．五、应用题（每问4分，共8分）25．（8分）我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方地区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定．北方某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7 140 2648 95 152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式．【分析】（1）根据七月份用水量为140吨，若按每吨1.6元的价格交费，求得交费总数应是224元，从而结合表格获得信息，七月份用水量超过了标准，再根据超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用，得到关于a的方程，求得a值，再进一步结合8月份的用水量和交费数之间的关系进行取舍；（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式．【解答】解：（1）因七月份用水量为140吨，1.6×140＝224＜264，（2分）所以（4分）即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，（6分）又8月份用水量为95吨，1.6×95＝152，故取a＝100；（7分）（2）当0≤x≤100时，则y＝1.6x；当x＞100时，则y＝1.6x+x﹣100＝2.6x﹣100．即y＝．（10分）六、证明题（每问5分，共10分）26．（10分）如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：（1）CD＝CB；（2）AD•DB＝2CD•DO．【分析】（1）由切线的性质可得∠ABO+∠CBD＝90°，由直角三角形的性质可得∠OAB+∠ODA＝90°，可得∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，可证CD＝CB；（2）过点C作CH⊥DB于点H，由等腰三角形的性质可得DH＝BH＝BD，通过证明△AOD ∽△CHD，可得，可得结论．【解答】解：（1）连接OB，∵CB与圆O相切，∴OB⊥BC，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∵AO⊥CO，∴∠OAB+∠ODA＝90°，∴∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB；（2）过点C作CH⊥DB于点H，∵CD＝CB，CH⊥DB，∴DH＝BH＝BD，∵∠ADO＝∠CDH，∠AOD＝∠CHD＝90°，∴△AOD∽△CHD，∴，∴AD•DH＝CD•DO，∴AD•DB＝CD•DO，∴AD•DB＝2CD•DO．七、综合题（每问4分，共12分）27．（12分）如图：圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D．弦CM交OA于P，连结AM，已知tan∠PCO＝，PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．（1）求C点的坐标；（2）写出直线CM的函数解析式；（3）求△AMC的面积．【分析】（1）由根与系数关系可得PC•PM＝20，设CO＝3x，PO＝2x，可得AP＝x，BP＝5x，通过证明△AMP∽△CBP，可得，可求x的值，即可求点C坐标；（2）用待定系数法可求解析式；（3）过点M作MN⊥AB于N，由勾股定理可求CP的长，即可得PM的长，由平行线分线段成比例可求MN的长，由三角形面积公式可求解．【解答】解：（1）如图，连接BC，∵PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．∴PC•PM＝20，∵tan∠PCO＝＝，∴设CO＝3x，PO＝2x，∵圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D，∴OC＝OB＝OD＝OA＝3x，∴AP＝x，∴BP＝5x，∵∠AMC＝∠CBA，∠APM＝∠BPC，∴△AMP∽△CBP，∴，∴PC•PM＝AP•PB＝20，∴x•5x＝20，∴x＝2，x＝0（舍去）∴CO＝6，OP＝4，∴点C坐标（﹣6，0）；（2）∵OP＝4，∴点P（0，4）设直线CM的函数解析式为：y＝kx+b，∴解得：∴直线CM的函数解析式为：y＝x+4，（3）如图，过点M作MN⊥AB于N，∵CO＝6，OP＝4，∴CP＝＝＝2，∵CP•PM＝20，∴PM＝，∵MN⊥AB，CO⊥AB，∴MN∥CO，∴，∴∴MN＝，∵△AMC的面积＝×AP×（CO+MN）＝×2×（3+）＝．。

2019—2020学年度初三第一次限时检测数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中．恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数是无理数的是（ ）A. 0B. πC.D. 17-2. 下列运算，正确的是（ ） A. 235x y xy += B. 22(3)9x x -=- C. 2224()xy x y =D. 632x x x ÷=3. 如图，是中心对称图形的是（ ）.A.B. C. D.4. 若代数式13x +有意义，则x 的取值是（ ） A. 0x =B. 0x ≠C. 3x =D. 3x ≠-5. 数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是（ ） A. 3和2B. 3和3C. 3和5D. 0和56. 多项式2315ma mab +的公因式是（ ） A. 3mB. 23maC. 3maD. 3mab7. 如图，能判定AB CD 的是（ ）A. 14∠=∠B. 13∠=∠C. 12∠=∠D. 23∠=∠8. 若关于x 的方程260x x a +-=无实数根，则a 的值可以是下列选项中的（ ） A. 10-B. 9-C. 9D. 109. 下列说法中，错误的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 五边形的内角和是540︒C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形10. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，31ABC ︒∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转α角（0180α︒︒<<）至A B C ''∆，使得点A '恰好落在AB 边上，则α等于（ ）A. 149︒B. 69︒C. 62︒D. 31︒11. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx ac =+在直角坐标系中的图象大致为（ ）A. B. C. D.12. 如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点O 作射线OG 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且90EOF ︒∠=，BO 、EF 交于点P ，则下列结论中：（1）OEF ∆是等腰直角三角形； （2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE BF +=；（4）正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍， 正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13. 已知3y =，则x y -= .14. 如果点P （4，5-）和点Q （a ，b ）关于原点对称，则a 的值为 .15. 已知一等腰三角形有两边长为6，8，则这个三角形的周长为 ． 16. 已知a b ，满足方程组3125a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，则4a b -的值为 .17. 如图，在ABC ∆中，6AB =，将ABC ∆绕点B 按逆时针方向旋转30︒后得到11A BC ∆，则阴影部分的面积为 .18. 如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，PAB S ∆= .三、解答题（本题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分， 第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）19.（6分）计算：202(3)3ππ----.20.（6分）先化简，再求值：22()()()2a b a b a b b +-+--其中1a =-，2b =.21.（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB ∆的三个顶点均在格点上，点A B 、的坐标分别为（3，2）、（1，3）．A O B ∆绕点O 逆时针旋转90︒后得到11A OB ∆．（1）在网格中画出11A OB ∆，并标上字母；（2）点A 关于O 点中心对称的点的坐标为 ； （3）点1A 的坐标为 ；（4）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧1BB ，那么弧1BB 的长为 ．22.（8分）如图，在ABC ∆中，AE 是它的角平分线，90C ︒∠=，30B ︒∠=，D 在AB 边上，4AD =，以AD 为直径的圆O 经过点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．23.（9分）某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒．2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年，这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？24.（9分）如图所示，AB 是O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD AB ⊥于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG AE 交BA 的延长线于点G ．（1）求证：CG 是O 的切线．（2）求证：AF CF =．（3）若30EAB ︒∠=，2CF =，求GA 的长．25.（10分）在直角坐标系中，1O 经过坐标原点O ，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A B 、．（1）如图，过点A 作1O 的切线与y 轴交于点C ，点O 到直线AB 的距离为125，34OA OB =：：，254BC =，①求AB 的长； ②求直线AC 的解析式； （2）若1O 经过点M （2，2），设BOA ∆的内切圆的直径为d ，试判断d AB +的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．26. （10分）已知抛物线的顶点坐标为M （1，4），且经过点N （2，3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C 、设直线CM 与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使以点P 为圆心的圆经过A B 、两点，且与直线CD 相切？若存在，求出P 的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设直线2y kx =+与抛物线交于Q R 、两点，若原点O 在以QR 为直径的圆外，请直接写出k 的取值范围．。

第1页共6页中雅培粹学校2019-2020学年度第一学期入学考试初三数学试卷答案解析一．选择题（共12小题）1．A ．2．A ．3．B ．4．B ．5．D ．6．D ．7．A ．8．C ．9．D ．10．D ．11．A ．12．D ．【解答】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a ≠0）和直线y ＝﹣x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a ≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m +1，∴＝m +1，∴x 2+x 3＝2m +2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣上，∴m ＝﹣x 1，∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m +2m +2＝2，故选：D．二．填空题（共6小题）13．y ＝180﹣2x （0＜x ＜90）．14．84．15．40cm ．16．﹣5≤y ≤13．17．a ＞且a ≠0．18．①③④【解答】解：①∵ABCD 为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故本选项错误；③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴CN＝CM，∵CG＝CG，∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），∴∠DGC＝∠BGC，∴CG平分∠BGD；故本选项正确；④过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项正确；⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，1∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC ＝∠BDC ＝60°，∠DGC ＝∠DBC ＝60°，∴∠BGC ＝∠DGC ＝60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN ＝2S △CMG ，∵∠CGM ＝60°，∴GM ＝CG ，CM ＝CG ，∴S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2××CG ×CG ＝CG 2，故本选项错误；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故答案为①③④．三．解答题（共7小题）x 119.【解答】=1,x 2=220.【解答】解：（1）直线l 2的解析式为：y ＝﹣x +2，（2）kx ＞mx +n 的解集为x ＞1．21.【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m %＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）800×＝720（人），答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．22．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．23．【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307∵a＝＜0∴当m＝9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，平均每天的总利润最大，最大是1307元．62+42222(x-2)+(x-3)=524.【解答】解：（1）SAS证明略222（2）设AB=x，则DE=x-2，CF=5-2=3，DF=x-3，由DE+DF=EF得，解得x=6，故AB=6（3）将军饮马：(PG+PC)min=EC==225．【解答】解：（1）由题意得：∠A+2∠B＝90°，∠A＝50°，则：∠B＝20°，（2）①是．②CD=1.5（3）D的横坐标为，而点B横坐标为，即D是线段BC的中点，则：S△BOC＝2S△OCD＝c2×2＝＝BO•CO＝•BO•c，则：BO＝c，而OC＝c，tan ∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，若∠CBO＝30°＝α，由2α+β＝90°得：β＝30°，即：∠CAB＝30°，若∠CAB＝30°＝α，由2α+β＝90°得：β＝30°，即：∠CBO＝30°，即∠CAB＝∠CBA＝30°，则：OA＝OB＝2，OC＝2，即：点A 、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0）、（0，-2），设：抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），把点A、B坐标代入上式得：y ＝a（x +2）（x﹣2），把点C坐标代入上式，解得：a ＝，则抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2-2．26．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x ﹣1；（2）存在，理由：13二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（x C﹣x A）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1，故点P（1，2）或（1﹣，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．。

长郡教育集团初中课程中心 2019-2020学年度初三年级暑假作业检测数 学一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1.若点()2,4A 在函数2y kx =-的图象上，则下列各点在此函数图象上的是 A. ()1,1B. ()1,1-C. ()2,2--D. ()2,2-2.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，120AOD ∠=︒，8AC =，则ABO △的周长为 A. 16B. 12C. 24D. 203.若一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴的负半轴相交，那么 A. 0k >，0b > B. 0k >，0b < C. 0k <，0b > D. 0k <，0b <4.下列说法中，错误的是A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 平行四边形的对角线互相平分5.小郡同学把5次月考成绩（单位：分，满分100分）整理如下：75，74，78，73，75，关于这组数据的说法正确的是 A. 众数为74 B. 中位数为74 C. 平均数为76D. 方差为2.86.用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为 A. ()221x += B. ()221x -= C. ()229x +=D. ()229x -=7.某地近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为A. ()201280x +=B. ()220180x ⨯+=C. ()220180x +=D. ()220180x +=8.对于实数a ，b ，定义运算“*”如下：2a b a ab *=-，例如：2323323*=-⨯=，则方程()()1213x x +*-=的根的情况是 A. 没有实数根 B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9.抛物线23y ax bx =+-经过点()2,4，则代数式841a b ++的值为 A. 3B. 9C. 15D. 15-10.如图，函数221y ax x =-+和y ax a =-（a 是常数，且0a ≠）在同一平面直角坐标系的图象可能是A.B.C.D.11.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，则水面下降1m 时，水面宽度增加 A. 1mB. 2mC. ()264m -D. ()424m -12.二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，顶点坐标为()2,9a --，下列结论：①320a b c -+>；②320a b c --=；③若方程()()511a x x +⋅-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；④若方程21ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-，其中正确的结论有 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米，方差分别是2 1.2s =甲，20.5s =乙，则在本次测试中，________同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）14.如图，将ABCD □的一边BC 延长至E ，若110A ∠=︒，则1∠=________。

中雅培粹学校九年级数学入学考试答案及评分标准一.选择题（每题3分，共36分）1-6CBDCBB 7-12ACABDD二．填空题（每题3分，共18分）13.1->x 14.)a )(a (222+-15.无解16.1017.1818.5三．计算解答题19.（6分）原式=2132132--+……4′=0.5……2′20.（6分）11-+=x x 原式，……4′代入得原式=223+……2′21.（8分=2′+4′+2′）解：（1）70÷70%＝100（天），故答案是：100；……2′（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%＝72°……2′；如图所示：……2′（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．……2′22．（8分=4′+5′）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC ＝∠BAC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．证明题按得分点给分，过程中没有相应的得分点，则扣除相应的分数。

（下同）【解答】（1）证明：法一∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∴∠BAC+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC+∠ABD＝90°，∴AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′法二：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∵∠DBC=∠BAC，∠C=∠C∴△BCD∽△ACB∴∠ABC=∠ADB=90°即AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，……1′∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝2，∴BM＝DM＝1，由勾股定理得：OM＝，﹣S△DOB＝﹣×2×＝π﹣．……3′∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB23.（9分=3′+3′+3′）解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；……3′（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）=-2x2+220x-4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，……1′∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，……1′故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；……1′（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800，解得：40＜x＜70，……1′∵30≤x≤50解得：40＜x≤50，……1′在y＝﹣2x+160中，∵-2<0∴y随x的增大而减小当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60∴每天的销售量最少应为60件．……1′24.（9分=3′+3′+3′）解：（1）法一：由题得，对称轴为x＝2．……1′∴B（5,0）……2′法二：A （-1,0）带入解析式求得1′∴y=x 2-4x-5∴B （5,0）……2′（2）设A 、B 的横坐标分别是x 1、x 2由韦达定理得x 1+x 2=4,x 1·x 2=3a+2……1′∴()()212212214x x x x x x -+=-……2′此时△>0,符合题意。

长郡双语实验中学2020年初三第一次中考模拟考试试卷数学一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1．下列各数中，最小的数是（）A．3-B．4-C．13-D．132．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a34．下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则∠ACD的正切值是（）A．43B．35C．53D．346．如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（）A．48°B．58°C．60°D．64°8．不等式组312840xx->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．第7题图第9题图第10题图C ．D ．9．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．如果CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（ ） A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B 处，测得仰角为60 1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ） A ．47mB ．51mC ．53mD ．54m11．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ） A ．5.45尺B ．4.55尺C ．5.8尺D ．4.2尺12.已知抛物线()02>++=a c bx ax y 与直线()214k y k x =--，无论k 取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( )A ． 2x y =B ． x x y 22-=C ． 122+-=x x yD ． 2422+-=x x y二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．函数y =x 的取值范围是 . 14．因式分解：x 3﹣4x 2y +4xy 2＝ .15．一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为. 16．圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的面积为.17．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为.18.如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ 交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=12BD；③BN+DQ=NQ；④AB BNBM+为定值2．一定成立的是.三、解答题(共66分)19．计算：2202011322sin602-⎛⎫-+-︒⎪⎝⎭．第17题图第18题图20．先化简，再求值：2214411a aa a a-+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，从1-，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入．21．王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22.准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将ABE∆沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点；将CDF∆沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，2AB，求菱形BFDE的边长．=23．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）24.如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，4cos5D=，求AC的长．25．定义：（i）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（ii）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+m与3yx=是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+3m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；5，求a的值；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为4（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数是无理数的是（）A．0B．πC．D．﹣2．（3分）下列运算，正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（xy2）2＝x2y4D．x6÷x3＝x23．（3分）如图，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）若代数式有意义，则x的取值是（）A．x＝0B．x≠0C．x＝3D．x≠﹣35．（3分）数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是（）A．3和2B．3和3C．3和5D．0和56．（3分）多项式3ma2+15mab的公因式是（）A．3m B．3ma2C．3ma D．3mab7．（3分）如图，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠1＝∠3C．∠1＝∠2D．∠2＝∠38．（3分）若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．109．（3分）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．五边形的内角和是540°C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB边上，则α等于（）A．149°B．69°C．62°D．31°11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF＝OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个二、填空阻（本大题头有6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答直接写在答题卡相应位置上）13．（3分）已知y＝++3，则x﹣y＝．14．（3分）若点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，则a的值为．15．（3分）已知一等腰三角形有两边长为6，8，则这个三角形的周长为．16．（3分）已知a，b满足方程组，则a﹣4b的值为．17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为．18．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，S△P AB＝．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分；第21、22题每题8分;第23、24题每题9分；第25，26题每题10分）19．（6分）计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|π﹣3|．20．（6分）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2，其中a＝﹣1，b＝2．21．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为；（3）点A1的坐标为；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．22．（8分）如图，在△ABC中，AE是它的角平分线，∠C＝90°，∠B＝30°，D在AB边上，AD＝4，以AD为直径的圆O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．23．（9分）某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒，2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？24．（9分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF＝CF．（3）若∠EAB＝30°，CF＝2，求GA的长．25．在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，OA：OB＝3：4，BC ＝，①求AB的长；②求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．26．（10分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C、设直线CM与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切？若存在，求出P的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设直线y＝kx+2与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写出k的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数是无理数的是（）A．0B．πC．D．﹣【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：，∴0，，是有理数，π是无理数．故选：B．2．（3分）下列运算，正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（xy2）2＝x2y4D．x6÷x3＝x2【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、2x+3y，无法计算，故此选项错误；B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；C、（xy2）2＝x2y4，正确；D、x6÷x3＝x3，故此选项错误；故选：C．3．（3分）如图，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．4．（3分）若代数式有意义，则x的取值是（）A．x＝0B．x≠0C．x＝3D．x≠﹣3【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故选：D．5．（3分）数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是（）A．3和2B．3和3C．3和5D．0和5【分析】根据中位数和众数的定义解答即可．【解答】解：把这些数从小到大为：0，1，2，3，5，5，6，最中间的数是3，则中位数是3；∵5出现了2次，出现的次数最多，∴众数是5；故选：C．6．（3分）多项式3ma2+15mab的公因式是（）A．3m B．3ma2C．3ma D．3mab【分析】定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式3ma2+15mab的公因式是3ma，故选：C．7．（3分）如图，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠1＝∠3C．∠1＝∠2D．∠2＝∠3【分析】利用平行线的判定定理逐项分析即可．【解答】解：A．根据∠1＝∠4能推出AB∥CD，所以此选项正确；B．根据∠3＝∠1不能推出AB∥CD，所以此选项错误；C．根据∠2＝∠1不能推出AB∥CD，所以此选项错误；D．根据∠3＝∠2不能推出AB∥CD，所以此选项错误；故选：A．8．（3分）若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．10【分析】根据方程无实数根得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再进行判断即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，∴△＝62﹣4×1×（﹣a）＜0，解得：a＜﹣9，∴只有选项A符合，故选：A．9．（3分）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．五边形的内角和是540°C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【分析】分别根据平行四边形的性质、多边形内角和和菱形的判定和性质逐项判断即可．【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴A选项正确；∵五边形内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴B选项正确；∵菱形的对角线互相垂直，∴C选项正确；∵只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，∴D选项错误；∴错误的是D，故选：D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB边上，则α等于（）A．149°B．69°C．62°D．31°【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠ACA′即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝59°，∵CA＝CA′，∴∠A＝∠CA′A＝59°，∴α＝∠ACA′＝180°﹣2×59°＝62°，故选：C．11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负情况，然后根据一次函数的解析式和一次函数的性质即可得到该一次函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∵一次函数y＝bx+ac，∴b＜0，ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第二、三、四象限，故选：D．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF＝OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个【分析】（1）（3）（4）正确．只要证明△BOE≌△COF，即可解决问题，（2）图中全等三角形不止两对，故（2）错误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，ABC＝90°，∠BAO＝∠ABO＝∠OBC＝45°，AC⊥BD，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∵∠BOF+∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，BE＝CF，∴△EOF是等腰直角三角形，故（1）正确，∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝OA，故（3）正确，∵S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOE＝S△BOE+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴S正方形ABCD＝4S四边形OEBF故（4）正确；图中全等三角形有△BOE≌△COF，△AOB≌△AOD≌△DOC≌△BOC，故（2）错误．故选：C．二、填空阻（本大题头有6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答直接写在答题卡相应位置上）13．（3分）已知y＝++3，则x﹣y＝﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件确定出x的值，进而得出y的值，代入即可求解．【解答】解：∵y＝++3，∴解得：x＝1∴y＝3∴x﹣y＝﹣2故答案为：﹣2 14．（3分）若点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，则a的值为﹣4．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，∴点Q的坐标为（﹣4，5），即a＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（3分）已知一等腰三角形有两边长为6，8，则这个三角形的周长为20或22．【分析】分为两种情况：①等腰三角形的三边为6，6，8，②等腰三角形的三边为6，8，8，分别求出即可．【解答】解：分为两种情况：①等腰三角形的三边为6，6，8，符合三角形的三边关系定理，此时这个三角形的周长是6+6+8＝20；②等腰三角形的三边为6，8，8，符合三角形的三边关系定理，此时这个三角形的周长是6+8+8＝22；即等腰三角形的周长为20或22，故答案为：20或22．16．（3分）已知a，b满足方程组，则a﹣4b的值为4．【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．【解答】解：两式相加可得：﹣a+4b＝﹣4，∴a﹣4b＝4，故答案为：417．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA ＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∴S△A1BA＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为：9．18．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．【分析】根据轴对称，可以求得使得△P AB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△P AB的面积，本题得以解决．【解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△P AB的面积是：＝，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分；第21、22题每题8分;第23、24题每题9分；第25，26题每题10分）19．（6分）计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|π﹣3|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4+2+1﹣（π﹣3）＝﹣4+2+1﹣π+3＝﹣π+2．20．（6分）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2，其中a＝﹣1，b＝2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2＝2ab，当a＝﹣1，b＝2时，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4．21．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）；（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为π．【分析】（1）利用旋转的性质得出A1，B1的位置，即可得出所要图形；（2）利用关于原点对称点的坐标性质得出即可；（3）利用（1）中图形得出点A1的坐标；（4）利用弧长公式的求出弧BB1的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵点A的坐标为（3，2），∴点A关于O点中心对称的点的坐标为：（﹣3，﹣2）；故答案为：（﹣3，﹣2）；（3）由（1）得：点A1的坐标为（﹣2，3）；故答案为：（﹣2，3）；（4）∵B的坐标为（1，3），∴BO＝，∴在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为：＝．故答案为：π．22．（8分）如图，在△ABC中，AE是它的角平分线，∠C＝90°，∠B＝30°，D在AB边上，AD＝4，以AD为直径的圆O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出∠CAE＝∠OEA，进而得出∠OEB＝90°，即可得出答案；（2）首先求出EO，BE的长，进而利用阴影部分的面积＝S△EOB﹣S扇形EOD，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB，∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠CAE＝∠OEA，∴AC∥EO，∵∠C＝90°，∴∠OEB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∠OEB＝90°，∴EO＝BO，∠EOB＝60°，∵AD＝4，∴EO＝2，DO＝2，∴BO＝4，∴BE＝2，图中阴影部分的面积为：×EO×BE﹣＝2﹣π．23．（9分）某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒，2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？【分析】（1）设2017年这种礼盒的进价是x元/盒，则2019年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒，根据数量＝总价÷单价结合2017年和2019年购入礼盒数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量＝总价÷单价可求出2017年及2019年购进这种礼盒的数量，设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，根据2017年及2019年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设2017年这种礼盒的进价是x元/盒，则2019年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒，依题意，得：＝，解得：x＝35，经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．答：2017年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）2017年及2019年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）．设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．24．（9分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF＝CF．（3）若∠EAB＝30°，CF＝2，求GA的长．【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，∠B＝∠1，而CD⊥AB，则∠CDB＝90°，根据等角的余角相等得到∠B＝∠2，所以∠1＝∠2，于是得到AF＝CF；（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF＝30°，F A＝FC＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF ＝1，AD＝，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG＝DF：CF然后把DF＝1，AD＝，CF＝2代入计算即可．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠2+∠BCD＝90°，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠2，∵C是劣弧AE的中点，∴＝，∴∠1＝∠B，∴∠1＝∠2，∴AF＝CF；（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，F A＝FC＝2，∴DF＝AF＝1，∴AD＝DF＝，∵AF∥CG，∴DA：AG＝DF：CF，即：AG＝1：2，∴AG＝2．25．在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，OA：OB＝3：4，BC＝，①求AB的长；②求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．【分析】（1）已知点O到直线AB的距离为，且OA：OB＝3：4，从O点作AB的垂线，利用三角函数关系求出OA、OB和OB的关系，利用△AOB的面积公式可求出AB的长度；根据三角函数分别求出A、C的坐标．利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（2）设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，则d+AB＝OQ+OP+QB+P A＝OA+OB，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG＝，∵OA：OB＝3：4，设OA＝3k，OB＝4k，∴AB＝5k，∵OA•OB＝AB•OG＝2S△AOB，即3k×4k＝5k×，∴k＝1，∴AB＝5；∴A（3，0）．∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙O1的直径．∵AC切⊙O1于A，∴BA⊥AC，∴∠BAC＝90°．∵BC＝．∴OC＝BC﹣OB＝．∴C（0，﹣）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，∴k＝．∴直线AC的解析式为y＝x﹣；（2）结论：d+AB的值不会发生变化，设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示．∴BQ＝BT，AP＝AT，OQ＝OP＝．∴BQ＝BT＝OB﹣，AP＝AT＝OA﹣．∴AB＝BT+AT＝OB﹣+OA﹣＝OA+OB﹣d．则d+AB＝d+OA+OB﹣d＝OA+OB．在x轴上取一点N，使AN＝OB，连接OM、BM、AM、MN．∵M（2，2），∴OM平分∠AOB，∴OM＝2，∴∠BOM＝∠MON＝45°，∴AM＝BM，又∵∠MAN＝∠OBM，OB＝AN，∴△BOM≌△ANM，∴∠BOM＝∠ANM＝45°，∠ANM＝∠MON，∴OM＝NM，∠OMN＝90°，∴OA+OB＝OA+AN＝ON＝×OM＝×2＝4．∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．26．（10分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C、设直线CM与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切？若存在，求出P的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设直线y＝kx+2与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）设解析式为y＝a（x﹣1）2+4，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据根据勾股定理，可得P A的长，PQ的长，根据圆的半径相等，可得关于u的方程，根据解方程，可得答案．（3）如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为w．因为原点O在以QR为直径的圆外，可知2OW＞PQ，由此构建不等式，解不等式即可解决问题；【解答】（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a＜0），又∵抛物线经过点N（2，3），∴3＝a（2﹣1）2+4，解得a＝﹣1．故所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）解：如图：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则P A是圆的半径且P A2＝u2+22，过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝P A时以P为圆心的圆与直线CD相切．由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4﹣u|，PQ＝PM．由PQ2＝P A2得方程：（4﹣u）2＝u2+22，解得u＝﹣4+2，u＝﹣4﹣2所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）如图，设R（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为w．由，消去y得到：x2+（k﹣2）x﹣1＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣1，∴y1+y2＝k（x1+x2）+4＝﹣k2+2k+4，y1y2＝k2（x1x2）+2k（x1+x2）+4＝﹣3k2+4k+4，∴W（，），RQ＝＝∵原点O在以QR为直径的圆外，∴2OW＞PQ，∴2•＞整理得：3k2﹣4k﹣3＜0，解得＜k＜．。