2021届江苏省南京市普通高中高三上学期期中考试考前训练数学试卷及答案解析

江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。

南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。

3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,22.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21 B. 21-C.23 D. 23-3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x =D. △OMN 的面积为811.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为212.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 三、填空题13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 14.已知α、β均为锐角，且()225sin ,cos 105ααβ=+=，则cos 2β=________. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.四、简答题.17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 的面积为3，求ABC △的周长. 18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列； ①数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3①2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3①1取胜的概率为()f p . （①）求出()f p 的最大值点0p ;（①）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,2【答案】B【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}31|<<-=x x A ，所以A B ={}210，，，故答案选B. 2.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21B. 21-C.23 D. 23-【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意()()()()231111212i i i i i i i z +=+-++=-+=，则z 的虚部为为23，故答案选C. 3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】抛物线的方程、逻辑用语【解析】由题意抛物线20mx ny +=可化为y m n x -=2，由焦点在y 轴正半轴上，则0>-mn，即mn <0，所以“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的充分必要条件， 故答案选C.4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】A【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算【解析】由题意由m n ⊥，可得021=+-λ，解得21=λ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=211，n ，则()312，=+n m，所以()225103211222cos =⋅⨯+⨯-=⋅+⋅+>=+<m n m m n m m n m，，因为[]π，，02>∈+<m n m，所以向量2m n +与m 之间的夹角为4π，故答案选A. 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列 【答案】D【考点】文化题：等比数列的概念【解析】由题意可设“宫”的频率为a ，则经过一次“损”，可得“徵”的频率为23a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为4323⨯a ，即89a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为2389⨯a ；即1627a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为431627⨯a ，即6481a ，则a ，89a ，6481a 成公比为89的等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故答案选D. 6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） E. 56x π=-F. 1112x π=-G. 1112x π=H. 116x π=【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数()f x 的图象可知一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π，而06=⎪⎭⎫⎝⎛-πf ，即另一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-06，π，且为相邻的对称中心，故函数()f x 的一条对称轴为12236πππ=+-=x ，则2632πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，即π=T ，所以函数()f x 的对称轴为直线()Z k k x ∈+=212ππ，令2-=k ，解得1211π-=x ，故答案选B. 7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象，得到有3个交点，即函数()x f 有3个零点，则故答案选B.法二：因为()0211<--=e f ，可排除选项A 、D ；且当-∞→x ，()()-∞→+-=2x x e x f x ，排除选项C ，故答案选B.法三：因为()22--='x e x f x ，设()()22--='=x e x f x g x ，则()2-='x e x g ，令()0='x g ，可得2ln =x ，所以当2ln <x 时，()0<'x g ，则()x g ，在()2ln ，∞-上单调递减；当2ln >x 时，()0>'x g ，则()x g ，在()∞+，2ln 上单调递增，又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ，即函数()x f 有两个极值点，排除选项C 、D ；而()0211<--=e f ，所以排除选项A ，故答案选B.8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣【答案】D【考点】分段函数的零点、数形结合思想【解析】如图()f x k -有两个零点，12,x x ，则[)1,e k ∈ 则1e x k =，1ln x k =，21x k -=，21x k =+， 解得()()()22111ln ln x x f x k k k k k k k -=+-=+-，令()2ln g k k k k k =+-，()()21ln 12ln g k k k k k '=--+=-， 而()12120k g k k k-''=-=>，所以()g k '在()e ，1上单调递增，则()()120g k g ''>=>， ()g k ∴在()e ，1上单调递增，且()21=g ，()2e e g =，())22,e g k ⎡∴∈⎣，故答案选D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD【考点】数据的分析与整理【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400（元），故选项A 正确；此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400（元），退休后的收入为600015.015002400=-（元），退休后的旅行支出为6000×0.15=900（元），则选项B 错误，选项C 正确；退休后的其他支出为6000×0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000×0.2=1600（元），则选项D 正确；所以答案选ACD.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D. △OMN 的面积为8 【答案】BD【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系【解析】由题意在圆22:20O x y +=，可令y =0，可解得202=x ，即52=c ，由双曲线的渐近线方程为x aby ±=，且222c y x =+，与圆22:20O x y +=联立可得()b a M ，，所以()b a N ，-，又由ME ON ⊥，则()()03=-⋅--=⋅→→b a b a ON ME ，，，即0322=--b b a ，联立20222==+c b a ，解得b =4，a =2，所以双曲线C 的虚轴长为8x y 2±=，△OMN的面积为842221=⨯=⨯⨯=b a S ，所以答案选BD.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为2 【答案】AC【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等【解析】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，可取AB 的中点为点M ，连结A 1M ，可得A 1M ⊥AE ，又因为A 1F 在平面ABB 1A 1的射影为A 1M ，所以A 1F ⊥AE ，故选项A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可得BC 1∥AD 1，则可得到BC 1∥平面AED 1，又因点P 在BC 1上，则点P 到平面AED 1的距离为定值，故选项B 错误；取B 1C 1的中点为点N ，则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形AD 1NE ，因为AE =D 1N =5，AD 1=22，NE =2，所以可得等腰梯形AD 1NE 的面积为()()292232321222252222122=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯=S ，故选项C 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可设点1A 到平面1AED 的距离为h ，且在△AD 1E 中，D 1E =3，AE =5，AD 1=22，由余弦定理可得，()()101052223522cos 2221=⋅⋅-+=∠AE D ，所以31010352221sin 5222111=⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆AE D S AED ，则由1111D AA E AED A V V --=，可得到 23131111⋅=⋅∆∆D AA AED S h S ，即222213⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅h ，解得h =34，故选项D 错误；综上答案选AC.12.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 【答案】ABD【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合 【解析】由题意()2sin xf x x π'=-，则022f f ππ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线()y f x =的一条切线为y =0，故A 选项正确；令()2sin 00xf x x x π'=-=⇒=，解得x =0、2π、2π-，即为3个极值点，故B 选项正确；由B 选项可作出()f x 图像大致如右图所示，结合图像可知函数图象有3个零点，故C 选项错误；因为()()()()x f x x x x x f =-+=--+-=-4cos 4cos 22ππππ，所以函数()x f 为偶函数，则D 选项正确；综上，答案选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 【答案】240【考点】二项展开式项的系数【解析】由题意展开式通式为()()()2312662666661121212rr rr rr r r r rrrr x C x x C x x C T ------+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令32312=-r ，解得r =2，则展开式中3x 的系数为()240122426=-C ，故答案为240.14.已知α、β均为锐角，且()sin ααβ=+=cos 2β=________. 【答案】45【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用【解析】由题意因为α、β均为锐角，且()0552cos 102sin >=+=βαα，，所以()πβα，0∈+，则()55sin 1027cos =+=βαα，，所以()[]()()=+-+=-+=αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin 011050105102552102755==⨯-⨯，则54011021sin 212cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ββ，故答案为45. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________. 【答案】[)1ln 2,--+∞【考点】函数的恒成立问题综合应用【解析】由题意①当0x ≤时，e 0,e ax b ax b x ++≥∴≤恒成立，此时b ∈R ；②当0x ≤时，b ax e x +≤，取对数得，b ax x +≤ln ，即ax x b -≥ln ，因为2a ≥，则可得到ln ln 2x ax x x -≤-，①()max ln 2b x x ≥-，令()x x x f 2ln -=，则()21-='x x f ，可得()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21上单调递减，所以()2ln 121221ln 21max --=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ，则b ≥ 2ln 1--，所以b 的取值范围为[)∞+--，2ln 1. 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.【答案】32；1627π【考点】文化题：空间几何体的的体积与表面积、内切球问题【解析】由题意可知，一个正三角形面积为132222⨯⨯⨯，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成，且全等的正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体S ABC-中，取BC中点为D，连结SD，AD，可作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则2261623,,2363AD SD OD AD SO SD OD=====-=，则该正四面体的体积为111323133233ABCV S SO=⋅⋅=⋅⋅=△，所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V==，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD 相切，过球心作OE SD⊥，则OE就是球半径，因为SO OD SD OE⨯=⨯，所以球半径236233696SO ODR OESD⨯⨯====，所以该球表面积的最大值为22316427Sππ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，所以答案为32；1627π. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 3，求ABC △的周长. 【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用【解析】（1） A B c C b cos 4cos cos -=+，且2=a ，∴A a B c C b cos 2cos cos -=+， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即A A C B cos sin 2)sin(-=+, 在ABC ∆中，π=++C B A ,∴)sin(sin C B A +=，∴A A A cos sin 2sin -=，在ABC ∆中，),0(π∈A ，∴0sin ≠A ，∴21cos -=A ，则32π=A .（2）334332sin21sin 21====∆bc bc A bc S ABC π，则34=bc ， 由余弦定理得：bcabc c b bc a c b A 22)(2cos 22222--+=-+=，则3422342)(2122⨯-⨯-+=-c b ，∴316)(2=+c b ， 在ABC ∆中，0,0>>c b ，∴334=+c b ，∴周长为3342+=++c b a .18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .【考点】开放性试题：等差数列的证明、错位相减法求和 【解析】（1） 选条件①x a x f =)(，∴n a n a a f =)(， )}({n a f 是首项为4，公比为2的等比数列，则11224+-=⨯=n n a n a ，则2log )1(2log 1a n a n n a +==+；2log 2log )1(2log )2(1a a a n n n n a a =+-+=-+，则}{n a 为等差数列. （2）当2=a 时，12log )1(2+=+=n n a n ，又 n n b )21(=，∴n n n n b a )21)(1(+=⋅∴n n n S )21)(1(...)21(5)21(4)21(3)21(24321+++⨯+⨯+⨯+⨯=----------（*）1432)21)(1()21(...)21(4)21(3)21(221+++++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ----------（**） ∴（*）减去（**）得：1432)21)(1()21(...)21()21()21(121++-+++++=n n n n S 11112)21)(3(23)21)(1()21(211)21)(1(211])21(1[)21(1+++-+-=+--+=+---+=n n n n n n n n∴n n n S 233+-=.19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角 【解析】（1）证明：如图建立空间直角坐标系11=AA ，2=AB ，BC AE ⊥∴，3=AE ，111=D A ，()0,0,0A ()1,0,01A ∴，()0,0,3E ，()1,1,01D ，()0,1,3C ，()0,2,0D()1,1,01=AD ,()0,0,3=AE ，()1,1,01-=D D ，()0,1,3-=CD设平面E AD 1的法向量为()1111,,z y x n =，平面11C CDD 的一个法向量为()2222,,z y x n =()1,1,0030001111111-=⇒⎩⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n x z y AE n AD n ()3,3,1331030022*********=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y x y x z y CD n D D n 021=⋅n n .∴平面1A DE ⊥平面11CC D D . 由（1）可设()0,,3m E ，11≤≤-m ，()0,,3m AE =∴，()1,1,01=AD设平面1EAD 的一个法向量为()0003,,z y x n =⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴003000000133z y my x AD n AE n令m x =0，30-=∴y ，30=z ，()3,3,3-=∴m n 平面1ADD 的法向量()0,0,1=n ，设3n ，4n 所成角为ϕ23316cos cos 2±=⇒=+==∴m m m ϕθ 而()0,1,3C ，2311±=-=∴m CE .20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3①2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3①1取胜的概率为()f p . （①）求出()f p 的最大值点0p ;（①）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列 【解析】（1）()(]()()2260,280265,2750.96440.6826~270,5,260,2650.135922p p N p ζ--∴===所以质量指标在(]260,265内的排球个数约10000.1359136⨯≈个.（2）前三场赢两场，第四场必赢()()()()()3342313334f p p p p p f p p p ⇒=⨯⨯-=-⇒'=-()304f p p '⇒=⇒=，满足最大值点要求. （3）X 可能取的值为0、1、2、3①3X =⇒前三场全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢.()33233311893444256p X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2X =⇒前四场赢两场，第五场必赢.()32243181244512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①1X =⇒前四场赢两场，第五场必输.()23243127144512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①0X =⇒前三场全输，或者前三场赢一场.()3313131130444256p X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①X 的分布列为：21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.【考点】函数的单调性（不含参）的求解、函数零点问题 【解析】（1）当2a =时，()e 2e 2x x f x x -=+--，()()()2e 2e 1e e 2e 2e 1e e x x x x x x x xf x --+--'=--==令()0f x '=是ln 2x =，()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞（2）()()()()2e 1e e 1e e e 1e ex x x xx x x xa a a f x a a -+-+--'=-+-== 令()0f x '=得ln x a =且当ln x a <时，()0f x '<，()x f 单调递减；当ln x a >时，()0>'x f ，()x f 单调递增，()()()min ln 1ln 21f x f a a a a ∴==+--要使()f x 有两个不同的零点， 则首先()()()11ln 01ln 01ln 10a a a a a a ⇒--<⇒-+-<<-，e a > 当0x >时，()()()()2e e 12e 1212x x x f x a a x a x x a x -=++-->+-->+-- 此时()()()()21111220f a a a a a +>++-+-=>当0x <时，()()e e 12e 2x x x x f x a a x a --=++-->-，令0e 2ln 2x aa x -≥<--⇒取00x <且02ln x a <-知()00f x >或取02x a=-知22202e 2af a a a a ⎛⎫->->⋅⎝⎭-⎪=故e a >时满足()f x 在()0,ln x a ()ln ,1a a +上各有一个零点， 综上：a 的取值范围为()e,+∞.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23. （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线【解析】（1）由题意知222323122b c a ab a b ca =⎧⎪⇒⎨=⎪⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩⎩+（2）由P A BQ A P Q B ⋅=⋅得AP AB BP BQ =，设AP ABBP BQλ==，()()()1221,,,,,A x y B x y Q x y AP PBAQ QBλλ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩ 1212611x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪+⎩①②且210y y λ-=①×①得22122261x x x λλ-=-由,A B 均在圆上得22122222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-①22222222121221441x x x x λλλλλ-+-⇒=-⇒=-264,3x x ∴==即Q 在直线23x =上运动.。

2020-2021南京市高三数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A ．6 B ．23C ．43D ．433-3．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5） 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40379．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A．256B ．25C ．253D ．510．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．211．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．3 C ．5 D ．7 二、填空题13．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．14．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 15．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．16．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.17．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．18．已知数列的前项和，则_______．19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 20．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+15项的和等于_______.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线22AM =ABC ∆的面积． 25．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a+13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）≥2143a a ⨯=43，即4a +13a ≤-43故1212a x x x x ++的最大值为433-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．4．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

2020-2021南京市高三数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1826．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1 B ．6C ．7D ．6或7 7．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．368．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．99．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202010．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8112．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．17．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．18．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S22．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．23．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 24．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n na a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

2021-2022学年江苏省南京市第一中学高三上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知复数，为虚数单位)，若z 1z 2是纯虚数.则实数a =( )A. −12B. 12C. −2D. 32. 已知集合A ={x |y =1√x+1}，B ={x |1x<1}，则A ∩B =( )A. x|x >1.B. {x|−1<x <0或x >1}C. {x |0<x <1}D. {x |−1<x <1}3. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足(a⃗ +b ⃗ )·b ⃗ =2，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |=( ) A. √3B. √2C. 1D. 2√34. 若数列{F n }满足F 1=1，F 2=1，F n =F n −1+F n −2(n ≥3)，则{F n }称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n ≥2时，前n 项之和等于第n +2项减去第2项；随着n 的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近( )(备注：，A. 31万B. 51万C. 217万D. 317万5. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1>0，命题q ：函数y =−(a +1)x 是减函数，则命题p 成立是命题q 成立的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a >0，b >0，直线l 1：x +(a −4)y +1=0，l 2：bx +y −2=0，且l 1⊥l 2，则1a+1+1b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 23D. 457. 在二项式(x √x)n 的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为( )A. 435B. 34C. 314D. 1148.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若PF⃗⃗⃗⃗⃗ = 3FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P到准线l的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. g(x)的最小正周期为B. g(x)在区间上单调递减C. 函数g(x)的图象关于点对称D. g(x)在上的最小值为−1210.关于函数f(x)=|xlog2(1−x2)||x−1|−1的性质的描述，正确的是()A. f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)B. f(x)有且仅有一个零点C. f(x)的图象关于原点对称D. f(x)的值域为(−∞,0)11.已知实数x､y､z满足z⋅lnx=z⋅e y=1.则下列关系式中可能成立的是()A. x>y>zB. x>z>yC. z>x>yD. z>y>x12.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是()A. 点F的轨迹是一条线段B. A1F与BE是异面直线C. A1F与D1E不可能平行D. 三棱锥F−ABD1的体积为定值三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点分别是F1,F2，P点是双曲线右支上一点，且，则三角形PF1F2的面积等于14.已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，则sin2α+sin2α1+cos2α=．15. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =2π3，AP =3，AB =2√3，Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为π3，则该三棱锥外接球的表面积为 ．16. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f (x ⋅y )=f (x )+f (y )，f (13)=−1，当x >1时，f(x)>0，则满足不等式f(x)−f(x −2)≥2的x 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }满足a 3=16，a n+1=a n2a n +1．(1)求证：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若_______，求数列{b n }的前n 项和T n ． 在①b n =a n a n+1；②b n =(−1)n a n；③b n =1a n+(13)a n 三个条件中选择一个补充在第(2)问中，并对其求解，如果多写按第一个计分．18. 在△ABC 中，AB =6，cosB =34，点D 在BC 边上，AD =4，∠ADB 为锐角．(1)若AC =6√2，求线段DC 的长度； (2)若∠BAD =2∠DAC ，求sinC 的值．19.今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组．(1)第一小组决定从单次完成1−15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11−15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1−5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的2×2列联表．学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2⩾k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k00.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.82820.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°,AB=AD=2DC=2√2,E,F分别为PD,PB的中点．(1)求证：FC//平面PAD；(2)若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为π4，求PA的长度．21.已知点M(−1,m)(m>0)，不垂直于x轴的直线l与椭圆C:x24+y23=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点．(1)若M为线段AB的中点，证明：y2−y1x2−x1>12；(2)设C的左焦点为F，若M在∠AFB的角平分线所在直线上，且l被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，求l的方程．22.已知函数f(x)=lnx+a．x(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；(2)设g(x)=f(x)+1，若对任意的x∈(0,+∞)，都有g(x)≤e x恒成立，求a的取x值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：复数z 1=a −i ，a ∈R ，z 2=2+i ， ∴z 1z 2=(a −i)(2+i)=(2a +1)+(a −2)i ， 又∵z 1z 2是纯虚数，所以2a +1=0且a −2≠0，可得a =−12． 故选A ．2.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 先把集合A 、B 解出来，再求交集即可． 【解答】解：由题意，集合A ={x|y =√x+1}={x|x >−1}，B ={x |1x <1}={x|x <0或x >1}， 根据集合的交集的运算，可得A ∩B ={x|−1<x <0或x >1}． 故选：B ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，属于基础题．根据平面向量的数量积运算求出a⃗·b⃗ 的值，再利用模的计算公式即可求解．【解答】解：因为(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =a⃗·b⃗ +|b⃗ |2=a⃗·b⃗ +4=2，所以a⃗·b⃗ =−2，所以|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=√1+2×(−2)+4=1．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系、数列求和，属于中档题．根据题意得到当n≥2时，利用迭代法进行数列求和得S n=F n+2−F2，再利用F29= 0.618F30.计算即可．【解答】解：根据题意得，F30=832040，假设{F n}的前n项和为S n，则∵当n≥2时，S n=F n+2−F2，则S28=F30−1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30−1+0.618F30+F30=2.618F30−1≈218万.故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查充分必要条件问题，属于基础题．先分别解出p，q为真命题时a的范围，再由充分条件与必要条件的判断方法判断即可．【解答】解：命题为真时，①当a=0时，ax2+ax+1>0在R上恒成立，②当a≠0时，Δ=a2−4a=a(a−4)<0，且a>0，解得：0<a<4，综上，不等式ax2+ax+1>0在R上恒成立，有：0⩽a<4；命题q：函数y=−(a+1)x是减函数，则：a+1>1，解得a>0；所以：当0⩽a<4，推不出a>0；当a>0时，不能推出0⩽a<4；则p是q的既不充分也不必要条件．故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．根据l1⊥l2可得a、b的关系式，再由基本不等式即可求解．【解答】解：因为l1⊥l2，所以b+a−4=0，a>0，b>0，所以a+b=4，a+1+b=5，所以1a+1+1b=15(1a+1+1b)(a+1+b)=15(2+ba+1+a+1b)⩾15(2+2√ba+1⋅a+1b)=45，当且仅当{ba+1=a+1ba+b=4即a=32，b=52时取等号，1a+1+1b的最小值为45，故选D．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查二项展开式的系数问题及“插空法”、排列公式、古典概型，属于中档题． 由已知求出n ，再利用通项可得有理项与无理项的项数．利用“插空法”及排列公式即可得出概率． 【解答】解：因为各项系数的和为128，令x =1，2n =128 解得n =7，二项式(x +√x )7的通项为T k+1=C 7k x 7−k (√x )k =C 7k x7−3k2， 其中当k =0,2,4,6时为有理项，因为二项式的展开式中共有8项，全排列有A 88种排法，其中4项为有理项，4项为非有理项，有理项要求互不相邻，可先将4项非有理项全排列共A 44种，然后将4项有理项插入4项非有理项产生的5个空隙中共A 54种，即有理项都互不相邻的排法有A 44A 54种，所以有理项都互不相邻的概率为P =A 44A 54A 88=114．故选D ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查抛物线的定义和性质，属于中档题．过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由三角形相似可知|FO||PN|=|FQ||QP|=14，|PN|=4|FO|=4，可得点P 到准线l 的距离． 【解答】解：由抛物线C:y 2=4x ，可知F(1,0)，即|OF|=1(O 为坐标原点)， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 由三角形相似可知|FO||PN|=|FQ||QP|=14，所以|PN|=4|FO|=4，所以点P 到准线l 的距离为5． 故选C ．9.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查了三角函数图象的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，属于中档题，由函数图象的变换可得g(x)=cos (2x +π3)，结合余弦函数的周期性、单调性、对称中心等即可判断选项，得出答案． 【解答】解：g(x)=cos [2(x +π8)+π12]=cos (2x +π3).g(x)的最小正周期为π，选项A 正确； 当x ∈[0,π2]时，2x +π3∈[π3,4π3]时，故g(x)在[0,π2]上有增有减，选项B 错误； 因为g (π12)=0，所以g(x)的图象关于点(π12,0)对称，选项C 正确； 当x ∈[−π6,π6]时，2x +π3∈[0,2π3]，且当2x +π3=2π3，即x =π6时，g(x)取最小值−12，选项D 正确． 故选ACD ．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义域，值域，奇偶性，函数的零点，属于中档题． 解可判断A ，由f(x)=0得log 2(1−x 2)=0，可判断B ，由f(−x)=−f(x)，得函数f(x)为奇函数，可判断C ，当x ∈(0,1)时，f(x)=log 2(1−x 2)，结合奇函数可得f(x)的值域，可判断D ． 【解答】 解：由题意，函数有意义，则满足{|x −1|−1≠0,1−x 2>0,解得−1<x <1，且x ≠0，即函数f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，所以A 正确．因为f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，所以．由f(x)=0得log2(1−x2)=0，注意x≠0，f(x)没有零点，所以B不正确．由上可知f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，可得，则满足f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以C正确．当x∈(0,1)时，1−x2∈(0,1)，所以=log2(1−x2)∈(−∞,0)．又由函数f(x)为奇函数，可得f(x)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以D不正确．故选AC．11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．先进行转化，再画出指数函数、对数函数以及幂函数图象，即可得出关系．【解答】=t(t>0)，解：根据题意可得ln x=e y=1z的图象的交点的横坐标，则x，y，z分别为直线y=t(t>0)与y=lnx和y=e x和y=1x分别作出y=lnx和y=e x和y=1的图象，如图所示；x由图象可知，x，y，z可能的关系为x>y>z，或x>z>y，或z>x>y，故选ABC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查立体几何中的动点轨迹问题，属于较难题．首先画图找到平面A1MN//平面D1AE，根据面面平行的性质定理得到点F的轨迹，接着依次判断选项即可.解决该类题目一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面．【解答】【详解】如图，分别找线段BB1，B1C1中点为M，N，连接A1M,MN,A1N，因为正方体AC1，易得MN//AD1,MN⊄面D1AE，AD1⊂面D1AE，所以MN//面D1AE，A1M//D1E，A1M⊄面D1AE，D1E⊂面D1AE，所以A1M//面D1AE，又MN∩A1M=M，MN,A1M⊂面A1MN，所以平面A1MN//平面D1AE，因为A1F与平面D1AE的垂线垂直，又A1F⊄平面D1AE，所以直线A1F与平面D1AE平行，所以A1F⊂面A1MN，又点F是侧面BCC1B1内的动点，且面A1MN∩面BCC1B1=MN，所以点F的轨迹为线段MN，故选项A正确；由图可知，A1F与BE是异面直线，故选项B正确；当点F与点M重合时，直线A1F与直线D1E平行，故选项C错误；因为MN//AD1，MN⊄面ABD1，AD1⊂面ABD1，所以MN//面ABD1，则点F到平面ABD1的距离是定值，又三角形ABD1的面积是定值，所以三棱锥F−ABD1的体积为定值，故选项D正确．故选：ABD．13.【答案】48【解析】【分析】本题重点考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的面积计算，属于基础题．由题意可得a，b，c的值，可得|PF2|，利用双曲线的定义可得|PF1|，结合三角形的形状和面积公式可得结果．【解答】解：由a=3，b=4，a2+b2=c2,得c=5，所以|PF2|=|F1F2|=5×2=10，再由双曲线定义得：|PF1|−|PF2|=2a=6，所以|PF1|=16，所以△PF1F2是等腰三角形，×6×16=48．过顶点F2作底边PF1的高，可得高为6，所以△PF1F2的面积是12故答案为：4814.【答案】43【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，二倍角公式，属于基础题．利用诱导公式化简已知式子，求出tanα=2，利用二倍角公式化简所求式子，再把分式的分子分母同时除以cosα，即可求出结果．【解答】解：由诱导公式，sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，可得−sinα=−2cosα，即tanα=2，故sin2α+sin2αsin2α+2cos2α=sin2α+2sinαcosαsin2α+2cos2α=tan2α+2tanαtan2α+2=43故答案为：43．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了几何体外接球的应用问题，考查了空间想象能力和运算能力，属于较难题．根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P−ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【解答】解：三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示：可知：∠PQA为直线PQ与平面ABC所成角，则sinθ=PAPQ=3PQ，且sinθ的最大值是√32，∴(PQ)min=2√3，∴AQ的最小值是√3，即A到BC的距离为√3，∴AQ⊥BC，∵AB=2√3，在Rt△ABQ中可得∠ABC=π6，即可得BC=6；取△ABC 的外接圆圆心为O′，作OO′//PA ，设△ABC 的外接圆的半径为r ， ∴6sin1200=2r ，解得r =2√3；∴O′A =2√3，取H 为PA 的中点，设三棱锥P −ABC 外接球的半径为R ， ∴OH =O′A =2√3，PH =32，由勾股定理得OP =R =√PH 2+OH 2=√572，∴三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是 S =4πR 2=4×π×(√572)2=57π．故答案为57π．16.【答案】(2,94]【解析】 【分析】本题考查了抽象函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 先由已知条件判断函数的单调性，再解不等式即可． 【解答】解：设任意x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1< x 2，因为f(xy)=f(x)+ f(y)，所以f(xy)−f(x)=f(y)，取xy =x 2，x =x 1，则y =x2x 1，即f(x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)，因为x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2，所以x2x 1>1,又当x >1时，f(x)>0恒成立，所以f(x 2)−f(x 1)=f(x 2x 1)>0， 即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)是(0,+∞)上的增函数． 因为f(x)−f(x −2)≥2， 可化为为f(x)−2≥f(x −2)，又f(13)=−1，∴f(13)+f(13)=f(19)=−2， 所以不等式等价于f (x9)⩾f (x −2)所以{x9>0x −2>0x9⩾x −2，解得2<x ⩽94，所以x 的取值范围为(2,94]． 故答案为(2,94]．17.【答案】解：(1)显然a n ≠0，由a n+1=a n2a n +1，两边同时取倒数得：1a n+1=2a n +1a n=1a n+2，即1an+1−1a n=2，所以数列{1a n}是公差为2的等差数列．故1a n=1a 3+(n −3)×2=2n ，即a n =12n ．(2)选①：b n =a n a n+1，由已知得，b n =a n a n+1=12n ⋅12n+2=14n(n+1)=14(1n −1n+1)，故数列{b n }的前n 项和T n =14(1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4， 选②：b n =(−1)n a n，由已知得，b n =(−1)n ⋅2n ，故数列{b n }的前n 项和T n =−2+4−6+8+⋅⋅⋅+(−1)n ⋅2n ， 当n 为偶数时，T n =2⋅n2=n ； 当n 为奇数时，T n =−2+(−2)×n−12=−n −1，故选③：b n =1a n+(13)1a n，由已知得，b n =2n +(13)2n=2n +(19)n，故数列{b n }的前n 项和T n =(2+4+6+8+⋅⋅⋅+2n)+[19+(19)2+⋅⋅⋅+(19)n ]=(2+2n)n 2+19(1−19n )1−19=n 2+n +18(1−19n ).【解析】本题主要考查了通过数列的递推关系求数列的通项公式，等差数列的判定与证明，数列求和，裂项相消法，等差数列和等比数列求和的应用，属于中档题． (1)对递推公式两边同时取倒数，结合等差数列的定义进行判断即可； (2)选①：运用裂项相消法进行求解即可； 选②：运用分类讨论方法进行求解即可；选③：运用分组求和法，结合等差数列和等比数列前n 项和公式进行求解即可．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，因为cosB =34，所以sinB =√74， 由正弦定理得，AB sin∠ADB =ADsinB ，所以sin∠ADB =3 √78．因为∠ADB 为锐角，所以cos∠ADB =18．所以cos∠ADC =−18． 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2=AD 2+DC 2−2DC ×DAcos∠ADC ，得DC 2+DC −56=0，解得DC =7或DC =−8(舍去)． 所以DC =7．(2)在△BAD 中，设∠DAC =θ，则θ∈(0,π3)．且．因为θ为锐角，sin 2θ=1−cos2θ2=732，sin2θ=5√716， 所以sinθ=√1−cos2θ2=√148，cosθ=√1+cos2θ2=5√28．所以sin3θ=sin2θcosθ+cos2θsinθ=17√1464， 同理cos3θ=5√264． 所以sinC =sin(π−B −3θ)=sin(B +3θ)=sinBcos3θ+cosBsin3θ=7√1432．【解析】本题考查正余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数公式以及同角三角函数关系，属于中档题．(1)利用正余弦定理即可求出结果；(2)利用同角三角函数关系结合两角和与差的三角函数公式即可求出结果．19.【答案】解：(1)①0.02:0.03:0.06=2:3:6，所以211×11=2，311×11=3，611×11=6，即从1−5中选2个，6−10个中选3个，11−15个中选6个，又因为单次完成11−15个引体向上的人共有0.06×5×400=120人， 记“单次完成11−15个引体向上的甲被抽中”为事件A ， 则p(A)=C 1195C 1206=6120=120 ②X 的所有可能取值有0、1、2，P(X =0)=C 93C 113=2855P(X =1)=C 21C 92C 113=2455P(X =2)=C 22C 91C 113=355所以X 的分布列如下： X 0 12P2855 2455 355所以E(X)=0×2855+1×2455+2×355=3055=611．(2)因为K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(5000−10000)2300×100×150×250=809≈8.889>7.879所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．【解析】本题考查分层抽样，考查古典概型的计算与应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，属于中档题．(1)①由频率分布直方图确定单次完成1−5、6−10、11−15个引体向上人数比例，即可得从1−5中选2个，6−10个中选3个，11−15个中选6个，又因为单次完成11−15个引体向上的人共有120人，由古典概型的概率公式即可得结果;②X的所有可能取值有0、1、2，分别计算出每个取值对应的概率，即可得分布列，由公式计算数学期望即可；(2)由2×2列联表中的数据计算得K2，与临界值表比较即可得答案．20.【答案】(1)证明：取PA的中点Q，连接QF,QD，∵F是PB的中点，∴QF//AB，且QF=12AB．∵底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90∘，AB=AD=2DC=2√2，∴CD//AB,CD=12AB，∴QF//CD，且QF=CD．∴四边形QFCD是平行四边形，∴FC//QD．又∵FC⊄平面PAD,QD⊂平面PAD，∴FC//平面PAD ．(2)解：如图，分别以AD,AB,AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，设PA =a(a >0)， 则A(0,0,0),B(0,2√2,0),C(2√2,√2,0), D(2√2,0,0),E(√2,0,a2),F(0,√2,a2)， 取平面ABCD 的一个法向量为， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√2,a 2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0,a 2)， 设平面CEF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0,即{−√2x −√2y +a2z =0,−2√2x +a2z =0,不妨取z =4√2，则x =a,y =a ，即，，解得a =4，即PA 的长为4.【解析】本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量求两平面的夹角，属于中档题． (1)取PA 的中点Q ，连接QF,QD ，可证得FC//QD ，由线面平行的判定可得CF//平面PAD ； (2)建立空间直角坐标系，设PA =a(a >0)，取平面ABCD 的一个法向量为，再求出平面CEF 的法向量，利用公式可得PA 的长．21.【答案】解：(1)由x 24+y 23=1可得3x 2+4y 2=12，因为M(−1,m)(m >0)是A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点的中点， 所以x 2+x 1=−2，y 2+y 1=2m ， 因为A , B 在椭圆上，所以{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12, 两式相减得：3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 所以y 2−y 1x2−x 1=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−3×(−2)4×2m=34m ，因为M(−1,m)(m >0)为AB 中点，故点M 在椭圆C 的内部，所以14+m 23<1，又因为m >0，所以0<m <32，故y 2−y 1x2−x 1=34m >12； (2)①当l 的斜率为0时，M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，直线l 方程为y =0，l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为4，不符合题意； ②当l 的斜率不为0时，设直线l:x =ty +n ， 由{x =ty +n3x 2+4y 2=12，得(3t 2+4)y 2+6tny +3n 2−12=0， 则Δ=48(3t 2−n 2+4)>0，即3t 2>n 2−4， 则y 1+y 2=−6tn3t 2+4，y 1y 2=3n 2−123t 2+4，又F(−1 , 0)，则MF ⊥x 轴， 因为MF 平分∠AFB ，所以k AF +k BF =0，即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，得y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=y 1(ty 2+n +1)+y 2(ty 1+n +1)=2ty 1y 2+(n +1)(y 1+y 2)=2t ⋅3n 2−123t 2+4+(n +1)(−6tn3t 2+4)=0，所以6tn +24t =0，因为t ≠0 所以解得n =−4，所以，直线l 的方程为x =ty −4，因为l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，圆的半径为r =2，则圆心O (0,0)到直线l:x =ty −4的距离为√r 2−(AB 2)2=√4−3=1，所以d =√1+t 2=1，则t =±√15，且满足3t 2>n 2−4， 于是l 的方程为x ±√15y +4=0．【解析】本题考查了椭圆的中点弦问题，考查点差法，考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由A , B 在椭圆上，代入椭圆方程，可得y 2−y 1x 2−x 1=34m ，利用点M 在椭圆C 的内部，可得0<m <32，即可证明结论；(2)当l 的斜率为0时，不符合题意；当l 的斜率不为0时，设直线l:x =ty +n ，与椭圆方程联立，再利用MF 平分，可得直线l 的方程，l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3列式，即可求出l 的方程．22.【答案】解：(1)令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnx x 2，当0<x <e 时，g′(x)>0；当x >e 时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，当x →0时，g(x)→−∞；当x =e 时，g(x)=1e ；当x →+∞时，g(x)→0， 所以当0<−a <1e ，即−1e <a <0，f(x)有两个零点， ∴f(x)有两个零点时，a 的取值范围是(−1e ,0)． (2)∵对任意的x >0，不等式g(x)≤e x 恒成立， ∴a ≤xe x −lnx−1x在(0,+∞)上恒成立，令F(x)=xe x −lnx−1x(x >0)，则F′(x)=x 2e x +lnxx 2，令ℎ(x)=x 2e x +lnx ，则ℎ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0， ∴ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数， 又ℎ(1)=e >0，ℎ(1e)=e 1e e2−1=e1e −2−1<0， ∴∃x 0∈(1e ,1)，使得ℎ(x 0)=0，即x 02e x 0+lnx 0=0，∴0<x <x 0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，F(x)在(0,x 0)上单调递减； x >x 0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，F(x)在(x 0,+∞)上单调递增， ∴F(x)min =F(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−1x 0，由x 02e x 0+lnx 0=0，可得x 0ex 0=−lnx 0x 0=1x 0ln 1x 0=(ln 1x 0)eln1x 0，令t(x)=xe x ，则t(x 0)=t(ln 1x 0)，又t′(x)=(x +1)e x >0， ∴t(x)在(0,+∞)上单调递增， ∴x 0=ln 1x 0，则e x 0=1x 0，∴x 0e x 0=1， ∴F(x)min =F(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−1x 0=1+x 0−1x 0=1，∴a ≤1，综上所述，满足条件的a 的取值范围是a ≤1．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于难题． (1)令g(x)=lnx x，求导研究函数g(x)的单调性及取值情况，分析可得−1e <a <0；(2)问题等价于a ≤xe x −lnx−1x在(0,+∞)上恒成立，令F(x)=xe x −lnx−1x(x >0)，求出函数F(x)的最小值即可．。

2020-2021南京市南京市第一中学 高三数学上期中试题附答案一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或76．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．167．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40378．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( )A ．9B ．27C ．54D ．8110．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）14．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .15．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．18．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．20．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.25．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.3．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列.又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)2224S b a c =+-，得1sin 2cos 24ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题14．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -【解析】 【分析】 【详解】 由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.15．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：d ==，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之，即CD =点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.16．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13- 【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.17．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.18．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析：m ≤或m ≥ 【解析】 【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】2()4()(1)4()xf m f x f x f m m -≤-+Q22222()14(1)(1)14(1)xm x x m m∴---≤--+-即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴2m ≤-或2m ≥故答案为：2m ≤-或2m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.19．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.20．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23π 【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3. 三、解答题21．（1）AC =2）BD =【解析】 【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB 35=，进而可求cos∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cosφ=，sinφ=，从而可求BD 的值．【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，得214BD θ=-，又cos 5θ=-，∴BD =∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴sin θ===由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠得：32sinADB=∠，解得：3sin 5ADB ∠=，∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin θθ=-)()157sin 2cos 7sin2θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cosθ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos θ=AC 百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．（1）2n a n =；（2）21nn +. 【解析】 【分析】(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

江苏省南京市第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试卷一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知复数z 1＝a －i ，z 2＝2＋i(i 为虚数单位)，若z 1z 2是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－12B ．12 C ．－2 D ．32．已知集合A ＝{x |y ＝1x ＋1}，B ＝{x |1x ＜1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ＞1}B ．{x |－1＜x ＜0或x ＞1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜1}3．已知平面向量a ，b 满足(a ＋b )·b ＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝( )A ． 3B ． 2C ．1D ．234．若数列{F n }满足F 1＝1，F 2＝1，F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，则{F n }称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现，它有很多美妙的特征，如当n ≥2时，前n 项之和等于第n ＋2项减去第2项；随着n 的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和与下列数最接近的是(备注：0.6182≈0.38， 1.6182≈2.61 ( )A ．31万B ．51万C ．217万D ．317万5．已知命题p ∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞1，命题q ：函数y ＝－(a ＋1)x是减函数，则命题p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ＞0，b ＞0，直线l 1：x ＋(a －4)y ＋1＝0，l 2：bx ＋y －2＝0，且l 1⊥l 2，则1a ＋1＋1b 的最小值为( )A ．2B ．4C ．23D ．457．在二项式(x ＋1x)n的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为( )A ．435B ．34C ．314D ．1148．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若→PF ＝3→FQ ，则点P 到准线l 的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题(本题共4小题，每小颗5分，共20分)9．若将函数f (x )＝cos(2x ＋π12)的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )的图象，则( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )在区间[0，π2]上单调递减C ．函数g (x )的图象关于点(π12，0)对称D ．g (x )在[－π6，π6]上的最小值为－1210．已知f (x )＝|x log 2(1－x 2)||x －1|－1，则( )A ．f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)B ．f (x )有一个零点C ．f (x )的图象关于原点对称D ．f (x )的值域为(－∞，0) 11．已知实数x 、y 、z 满足z ⋅ln x ＝z ⋅e y ＝1，则可能的有( )A ．x ＞y ＞zB ．x ＞z ＞yC ．z ＞x ＞yD ．z ＞y ＞x 12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，则( )A ．点F 的轨迹是一条线段B ．A 1F 与BE 是异面直线C ．A 1F 与D 1E 不可能平行 D ．三棱锥F －ABD 1的体积为定值 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 29－y216＝1的左右焦点分别是F 1，F 2，P 点是双曲线右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则三角形PF 1F 2的面积等于 ．14．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，则sin 2α＋sin2α1＋cos 2α＝ ． 15．三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2π3，AP ＝3，AB ＝23，Q 是BC 边上的一个动点，且直线PG 与面ABC 所成角的最大值为π3，则该三棱锥外接球的表面积为 ．16．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，f (13)＝－1，当x ＞0时， f (x )＞0，则满足不等式f (x )－f (x －2)≥2的x 的取值范围为 ．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知数列{a n }满足a 3＝16，a n ＋1＝a n 2a n ＋1．(1)求证：数列{1a n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若 ，求数列{b n }的前n 项和T n ．在(①b n ＝a n a n ＋1；②b n ＝(－1)na n ；③b n ＝1a n ＋(13)an 三个条件中选择一个补充在第(2)问中，并对其求解，如果多写按第一个计分)18．在△ABC 中，AB ＝6，cos B ＝34，点D 在BC 边上，AD ＝4，∠ADB 为锐角．(1)若AC ＝62，求线段DC 的长度； (2)若∠BAD ＝2∠DAC ，求sin C 的值．19．某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数．．．．．．．．．．)．学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组．(1)第一小组决定从单次完成1－15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少?②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1－5个” 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)第二小组从学校学生的学业成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的2×2列联表：参考公式及数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠CDA ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝2DC ＝22，E ，F 分别为PD ，PB 的中点． (1)求证：CF //平面P AD ；(2)若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角大小为π4，求P A 的长度．21．已知点M (－1，m )(m ＞0)，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C ：x 24＋y23＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)若M 为线段AB 的中点，证明：y 2－y 1x 2－x 1＞12；(2)设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆x 2＋y 2＝4得的弦长为23，求l 的方程．22．已知函数f (x )＝ln xx＋a ，其中a ∈R ． (1)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋1x ，若对任意的x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≤e x恒成立，求a 的取值范围．。

江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,52. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里B. 86里C. 90里D. 96里5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>>B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 438. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞ D. (,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ） A.43πB.23π C. 23π-D. 43π-11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类Aab类Bcd有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）()2P k χ≥0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．（答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,5【答案】B2. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-【答案】D3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里 B. 86里C. 90里D. 96里【答案】D5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>> B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>【答案】C7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 43【答案】B8. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞ B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞【答案】AB10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A.43π B.23π C. 23π-D. 43π-【答案】AC11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 【答案】BCD12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n a x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =-，7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________. 【答案】3±14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数） 【答案】36720915. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）【答案】8616. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.【答案】108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）T π=；[323,523]-++；（2）31,3]+.18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【答案】答案见解析19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）1；（26 .20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清17 3未使用血清14 6（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1 类2 Ⅰ类A a b类B c d有22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表（部分）()2P k χ≥ 0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.21. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数f x 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．【答案】（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析.。

江苏省高级中学2021-2022学年第一学期高三期中考试(数学)一、单选题1.已知集合，集合，则等于( )A. B. C. D.2.设复数z满足，则z等于( )A. B. C. D.3.“”是“，”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和.则最小的一份为( )A. B. C. D.5.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则( )A. B. C. D.6.已知，且，则等于( )A. B. C. D.7.已知向量，向量，，则，等于( )A. B. C. D.8.已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为( )A. 4B. 2C.D.二、多选题9.已知实数x，y满足，则下列关系式恒成立的有( )A. B.C. D.10.已知函数满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是( )A. B. C. D.11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈。

这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得。

则下列命题正确的有( )A. 若，则m只能是4；B. 当时，；C. 随着m的增大，n也增大；D. 若，则m的取值集合12.已知函数，下列叙述正确的有( )A. 函数的周期为B. 函数是偶函数C. 函数在区间上单调递减D. ，，三、填空题13.已知等比数列的前n项和为，且，则__________.14.已知函数满足，则__________.15.已知是腰长为1的等腰直角三角形，角A为直角，点P为平面ABC上的一点，则的最小值为__________.16.函数的零点个数为__________；当时，恒成立，则实数a的取值范围为__________.四、解答题17.在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数，且满足_____.求的值；将函数的图象向右平移个单位得到函数的图像，求在上的单调递减区间．18.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式；利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心．19.在锐角三角形ABC中，已知求角A的值；若，求的取值范围．20.在中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O，设若，求的值；求的最小值．21.已知正项数列的前n项积为，且满足求证：数列为等比数列；若…，求n的最小值．22.已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若函数的最小值为，求实数m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，集合，故选2.【答案】B【解析】解：设，a，，，，，解得，，故选3.【答案】A【解析】解：若对，，则²，解得，因为，所以“”是“，”充分不必要条件，故选：4.【答案】A【解析】解：设每个人由少到多的顺序得到面包分别为，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d，则有，①，又最大的三份之和的是较小的两份之和，，即，②，联立①②，解得故选5.【答案】D【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，，当时，，所以，又函数是奇函数，所以故选：6.【答案】C【解析】解：因为，可得，可得，解得或，又，所以，可得，所以故选7.【答案】B【解析】解：，所以，解得，所以，所以，又，所以故选8.【答案】C【解析】解：设，，所以，即，所以关于直线对称，又当时，，而是的一条对称轴，所以是的一条对称轴，故的对称轴为，若有且只有一个零点，则，所以有，即，所以，故选：9.【答案】AC【解析】解：实数x，y满足，，对于选项A：函数在R上单调递增，所以，故A恒成立，对于选项B：取，，则，故B不是恒成立，对于选项C：，恒成立，恒成立，故C恒成立，对于选项D：取，，则，故D不是恒成立，故选：10.【答案】ABC【解析】解：函数满足对任意的，恒成立，当时，恒成立，即恒成立，令，，则，当且仅当，即时取等号，所以；当时，，有恒成立，故当时，恒成立，即恒成立，令，，则，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，所以综上所述，实数a的取值范围为故选：11.【答案】ABD【解析】：对于A，若，可逆向思考：，所以m只能是4，A正确；对于B，因为，所以，B正确；对于C，因为当时，，而当时，，所以不是随着m的增大，n也增大，C错误；对于D，若，由已知，可以有，此外同A中思考方法，还有：，这时；，这时；，这时从上述法则可知：最后四步相同，第2步的数有两种情况，若为5，则，若为32，则第1步均为64，则m只能是21或故当时，m的取值集合为，D正确.故选：12.【答案】BC【解析】解：易知，，所以，即A错误;因为函数定义域为R，且，即B正确;当时，，则，所以在该区间上单调递减，即C正确;由A所举例可知，D错误.故选13.【答案】2【解析】解：等比数列中，，则，，两式相减得，即该等比数列公比，又等比数列中，，所以故答案为：14.【答案】【解析】解：，，，解得故答案为15.【答案】【解析】解：以A为原点，AC，AB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为故答案为：16.【答案】2【解析】解：函数，令，因为，所以方程有两个不相等的实数根，则的零点个数为2；当时，恒成立，则，即，解得，又函数的对称轴为，所以，即，解得，综上所述，实数a的取值范围为故答案为2；17.【答案】解：选①，因为，当时，，令，所以，，因为函数在上有且仅有4个零点，所以在有且仅有4个零点，所以，所以，即，因为，所以；选②，当时，，令，所以，，若在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，则，在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，所以，所以，即，因为，所以；由知，，所以，令，，所以，，因为，所以时，，时，，所以在上的单调递减区间为，18.【答案】解：，因为是奇函数，所以图象关于点对称．答案不唯一根据题意，设，则，又由为奇函数，则，即，解得，即函数图象的对称中心坐标为19.【答案】解：在锐角三角形ABC中，已知，整理得：，化简得：，由于，所以；由于，所以，所以，，故，在锐角三角形ABC中，，所以，故；即的取值范围为：20.【答案】解：当时，，因为D是BC中点，所以，设，，所以，所以，即，因为A，O，D共线，所以，解得，即由题知，当时，，则，当时，，设，则，所以，因为C，O，E共线，所以，解得，所以，，所以，因为，，，所以，设，则，当且仅当，即时，上述等号成立，所以，综上可得的最小值为21.【答案】解：证明：当时，，所以，即，所以，即，而，所以，所以，因此数列为等比数列且首项为，公比为；由可知，，所以，所以，而，，记的前n项和为，因此，所以，，所以，n的最小值为22.【答案】解：当时，，其定义域为，则，根据函数导数的几何意义即得函数在点处的切线斜率为，又因为，所以可得切线的点斜式方程即为，化简即得切线方程为：；根据题意，的定义域为，，令，所以，所以在上单调递增.当时，，，当时，，，当时，，所以总存在一个，使得，且当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，令，则，所以在上单调递减，又，所以时，，即第11页，共11页。

2020-2021学年南京市江宁区高三上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={y|y=2x,x>0}，N={y|y=√2x−x2}，则M∩N等于______．2.若z=3−i1+i，则z+z−=______．3.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，甲、乙运动员成绩的平均数都等于乙运动员成绩的众数，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为______．4.求函数y=lg(4−x)√x2−2x−3的定义域．5.A=15，A=−A+5，最后A的值为______ ．6.(12)如图，在矩形中，，为中点，抛物线的一部分在矩形内，点为抛物线顶点，点在抛物线上，在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为________ ．7.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+5，则f(3)+f′(3)=______．8.给出以下四个结论：①函数f(x)=3x−2x−1关于点(1,3)中心对称；②在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件；③若将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象向右平移Φ(Φ>0)个单位后变为偶函数，则Φ的最小值是π12；④已知数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，则当k为奇数时，S k，S2k−S k，S3k−S2k成等比数列．其中正确的结论是______ ．9.已知{a n}的前n项和为S n，且满足S n=32a n−3，则数列{a n}的通项公式是______．10.13.对任意实数x，若不等式|x+1|−|x−2|>k 2−k−5恒成立，则k的取值范围_________．11.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x−a−x+2，且g(b)=a，则f(2)的值为______．12. 已知向量a ⃗ =(k,1)，b ⃗ =(4,−2)，若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．13. 已知实数x ，y 满足不等式{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，则x −y 的最大值为______ ．14. 函数f(x)=√x 2−x 4|x−2|−2.给出函数f(x)下列性质：(1)函数的定义域和值域均为[−1,1]；(2)函数的图象关于原点成中心对称；(3)函数在定义域上单调递增；(4)A 、B 为函数f(x)图象上任意不同两点，则√2<|AB|≤2．请写出所有关于函数f(x)性质正确描述的序号______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知a ⃗ ,b ⃗ 为平面向量，a ⃗ =(2,−1)，2a ⃗ +b ⃗ =(1,2)，(1)求b ⃗ ；(2)求向量b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影．16. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2asinB =√3b.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当a =2时，求△ABC 面积的最大值．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 1(0,1)为焦点，过F 1且垂直于y 轴的直线交椭圆于S ，T 两点，且F 1S ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−94，点P(√3,0)为x 轴上一点，直线y =y 0(y 0≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，O 为坐标系原点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得∠OQN +∠OQM =π2？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．18. 已知函数f(x)=me x −lnx −1．(1)设x =2，是f(x)的极值点，求m ，并求f(x)的单调区间；(2)当m >1，求证，f(x)>1；(3)当m>1，求证，f(x)>0．e19.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=|2n−5|⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．20.设函数f(x)=lnx−(a+1)x(a∈R)(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>−1时，函数f(x)有最大值且最大值大于−2时，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：⌀解析：解：集合M={y|y=2x,x>0}={y|y>1}，N={y|y=√2x−x2}={y|0≤y≤1}，故M∩N={y|y>1}∩{y|0≤y≤1}=⌀，故答案为：⌀．化简M={y|y>1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M∩N．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，求函数的值域，化简M和N，是解题的关键．2.答案：2解析：本题考查复数导数形式及运算，考查数学运算能力，属于基础题．首先把复数z化成导数形式，然后可求得z+z−值．解：∵z=3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，∴z+z−=1−2i+1+2i=2．故答案为：2．3.答案：746解析：解：根据茎叶图中的数据，得乙运动员成绩的众数为15，又甲、乙运动员成绩的平均数都等于乙运动员成绩的众数，甲运动员成绩的平均数是15，方差是 s21=16[(9−15)2+(14−15)2+2×(15−15)2+(16−15)2+(21−15)2]=746，乙运动员成绩的平均数是15，方差是 s22=16[(8−15)2+(13−15)2+2×(15−15)2+(17−15)2+(22−15)2]=1066， s21<s22．故答案为：746．计算甲、乙运动员成绩的方差、进行比较即可．本题考查了求数据的平均数与方差的应用问题，是基础题目．4.答案：解：函数y =√x 2−2x−3，要使函数y 有意义，可得{4−x >0x 2−2x −3>0， 解得{x <4x <−1或x >3， 即x <−1，所以函数y 的定义域为(−∞,−1)．解析：直接利用对数的真数大于0，分母不为0，列出不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域求法问题，是基本知识的考查． 5.答案：−10解析：解：∵A =15，∴−A +5=−10故执行A =−A +5后A 的值为−10故答案为：−10根据赋值语句的功能，要先计算表达式的值，再将值赋给赋值号前面的变量，根据已知中A =15，A =−A +5，代入计算后即可得到结果．本题的考查的知识点是赋值语句，熟练掌握赋值语句的功能是解答本题的关键．6.答案：解析： 7.答案：1解析：解：在点P 处的斜率就是在该点处的导数，f′(3)就是切线y =−x +5的斜率，即f′(3)=−1， ∵f(3)=−3+5=2，∴f(3)+f′(3)=2−1=1故答案为1．在点P 处的斜率就是在该点处的导数，f′(3)就是切线y =−x +5的斜率，问题得解．。

2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案xx ．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.= 。

2.复数的虚部为 。

3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。

4.不等式的解集为 。

5.已知平行直线，则与之间的距离为 。

6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。

7.已知向量，则的充要条件是= 。

8.已知，则= 。

9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。

10.已知圆，直线与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则面积的最大值为 。

11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。

12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。

13.双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A 、B 两点。

若，则双曲线的渐近线方程为 。

14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。

二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。

（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。

16.（本小题满分14分）函数的定义域为A，函数。

（1）若时，的解集为B，求；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

17.（本小题满分14分）已知圆。

（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。

18.（本小题满分16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。

在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人。

现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2. （1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。

2021年高三数学上学期期中试题理（含解析）苏教版一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁（A∪B）= {x|0＜x＜2} ．U考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，（A∪B）={x|0＜x＜2}．∴∁U故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．2．函数y=sinxcosx的最小正周期是 2 ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．解答：解：∵函数y=sinxcosx=sinπx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为 1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．解答：解：∵向量与共线，∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，解得x=1；∴实数x的值为1．故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，∴A＞B又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得 f （）的值．解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t2﹣1，∴f（）=﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，∴co sB==，所以=4xcosB=4x=4．故答案为4．点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 15 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．故答案为：15．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3} ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可构造函数（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g（x）的图象解不等式，得到本题结论．解答：解：记（x≠0），则．∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），∴当x＜0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）的图象关于y轴对称，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（3）=0，∴g（3）=，∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）．∵不等式f（x）≥0，∴xg（x）≥0，∴或，∴﹣3＜x＜0或x＞3．∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，所以最大值是3．解答：解：设==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值为3．故答案为：3．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．13．已知函数f（x）=|x2+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x ﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0，即为f（x）=a|x﹣2|，即有|x2+x﹣2|=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图：在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2+5=1．则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．14．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴tanA=，则A=30°；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，S△ABC=bcs inA=××1×=；当c=2时，S△ABC=bcsinA=××2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣3x．（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax3﹣3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．解答：解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x，∴f（x）的单调减区间是R；当a≠0时，∵f（x）=ax3﹣3x，a≠0，∴f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），∴当a＞0时，由f′（x）＞0得：x＞或x＜﹣，由f′（x）＜0得：﹣当a＜0时，由f′（x）＞0得：，由f′（x）＜0得：x＜或x＞﹣；∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（﹣，），）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（﹣，+∞）；（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a＞0时，f′（x）=3ax2﹣3=0的两根x=，①当，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f （1）≥4得a≥7；②当，即时f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）≥4，a（不符合舍去）；③当1，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，f（x）在区间[，2]是增函数；所以f（）≥4无解．综上，a≥7．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣t，t∈[0，24）．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；应用题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．解答：解：（1）f（t）=9﹣t，t∈[0，24），则f（t）=9﹣2（）=9﹣2sin（），令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；（2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（）≤10，即有sin（），则﹣，解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数，由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，故在10＜t＜18，实验室需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意求得、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．解答：解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．解答：解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），故x=或x=﹣；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a≥1；（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]，则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在[2，3]上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0．综上所述，a=0或a=4．点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx ﹣1﹣=，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g （1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．解答：解：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，则0﹣1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0可化为（x+1）（lnx﹣x+1）+x2﹣2x+k＞0，即k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，则m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，则m（x）=x﹣xlnx﹣1＜1﹣1ln1﹣1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，精品文档则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），则n′（x）=（lnx1﹣lnx）﹣（x1+x）+2=lnx1﹣lnx﹣+1，n″（x）=﹣+=，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．j30557 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2021年高三数学上学期期中测试试题 理 苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．1．已知集合A = {－1，0，1}，B = {0，1，2，3}，则A ∩B = ▲ ．2.写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ▲ ．3.已知集合若则锐角 ▲4．已知命题p ：，使；命题q ：，都有．给出下列命题：（1）命题“”是真命题；（2）命题“”是假命题；（3）命题“”是真命题；（4）命题“”是假命题．其中正确的是 ▲ ．（填序号）．5．已知定义域为的函数是奇函数，则 ▲ ．6.在曲线的所有切线中,斜率最小的切线的方程为 ▲ ．7.将的图像向右平移单位（），使得平移后的图像过点则的最小值为 ▲ ．8.已知定义在R 上的奇函数在区间上单调递增，若，的内角满足，则的取值范围是 ▲ ．9.已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与轴交于点则此解析式为 ▲ ．10．定义在R 上的奇函数对任意都有，当时，，则 ▲ ．11.已知函数= 为奇函数，则不等式的解集为 ▲ ．12．圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 ▲ ．13．函数的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ ．14．设a 、b 均为大于1的自然数，函数，，若存在实数k ，使得，则 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知，（1）若，求的最大值及对应的的值.（2）若， ，求的值.16. (本小题满分14 分)已知函数（1）若，，求的单调减区间（2）若在处有极值，求的最大值．17. (本小题满分14 分)定义：在R上的函数f()满足：若任意∈R，都有f()≤，则称函数f()是R上的凹函数. 已知二次函数(∈R,≠0) .（1）求证：当＞0时，函数f(X)是凹函数；（2）如果∈［0,1］时，，试求实数的范围.18. (本小题满分16 分)我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．（1）求该村的第天的旅游收入（单位千元，1≤x≤30，）的函数关系；（2）若以最低日收入的20％作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？19. (本小题满分16 分)设二次函数满足下列条件:①当时, 的最小值为0,且恒成立;②当时,恒成立.(1)求的值;(2)求的解析式;(3)求最大的实数,使得存在实数,只要当时,就有成立20．(本小题满分16分)已知函数，（1）求证： ;(2)设,求证：存在唯一的使得图象在点()处的切线与图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数,总存在正数,使得成立.第Ⅱ卷（附加题共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．B．（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换若二阶矩阵满足．（1）求二阶矩阵；（2）把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程．C．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线E：，过点（为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；（2）求BC的长．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．（1）求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和数学期望；（2）求李明在一年内领到驾照的概率．23．（本小题满分10分）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．一、填空题：(每题5分，共计70分)1．已知集合A = {－1，0，1}，B = {0，1，2，3}，则A ∩B = {0，1} ．2.写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ▲ ．“若则”3.已知集合若则锐角 ▲4．已知命题p ：，使；命题q ：，都有．给出下列命题：（1）命题“”是真命题；（2）命题“”是假命题；（3）命题“”是真命题；（4）命题“”是假命题．其中正确的是 （2）（3）． （填序号）．5．已知定义域为的函数是奇函数，则 2 ．6.在曲线的所有切线中,斜率最小的切线的方程为________.y=-3x+17.将的图像向右平移单位（），使得平移后的图像过点则的最小值为 ▲ ．8.已知定义在R 上的奇函数在区间上单调递增，若，的内角满足，则的取值范围是9.已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与轴交于点则此解析式为 ▲10．定义在R 上的奇函数对任意都有，当时，，则 ．11、已知函数= 为奇函数，则不等式的解集为 ▲12．圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 ．13．函数的图象经过四个象限的充要条件是 ▲14．设a 、b 均为大于1的自然数，函数，，若存在实数k ，使得，则 4 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．15、（本小题满分14分）已知，（1）若，求的最大值及对应的x 的值.（2）若， ，求tanx 的值.15、解：（1）………………………………（2分） 当sin()12()332x x k k z ππππ+=⇒+=+∈时f(x)有最大值2; ……………………………………………（6分）(2) ………………………………………………………………(8分）2112(cos )cos 25cos 5cos 120525x x x x ∴+=⇒+-=或tanx=…………………………………………………（14分）16.已知函数（1）若，，求的单调减区间（2）若在处有极值，求的最大值．17.定义：在R 上的函数f ()满足：若任意∈R ，都有f ()≤，则称函数f()是R 上的凹函数. 已知二次函数f (X )=X +X (∈R, ≠0) .（1）求证：当＞0时，函数f (X )是凹函数；（2）如果x∈［0,1］时，|f (x)|≤1，试求实数的范围.解：（1）对任意X ＞0,∴［f (X )+ f (X )］-2 f (［()］=X 2212122212221)(21)2(21x x a x x x x a ax -=++-+≥0. ∴f (≤［f ］.∴函数f (X )是凹函数. …………………………………6分（2）由| f (X )|≤1-1≤f (X ) ≤1-1≤+X ≤1.(*)当X =0时，∈R;当X ∈(0,1］时，(*)即即 …………………………………10分∵X ∈(0,1］,∴≥1.∴当=1时，-(+)-取得最大值是-2；当=1时，(-)-取得最小值是0.∴-2 ≤≤0 ,结合≠0，得-2≤＜0.综上，的范围是［-2,0). ………………………………14分18. （本小题满分16分）我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x 天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．（3）求该村的第x 天的旅游收入（单位千元，1≤x ≤30，）的函数关系；（4）若以最低日收入的20％作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？解：⑴依据题意，有p (x )=f (x )·g (x )= （1≤x ≤30，x ∈N*） =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<++-∈≤≤++*),3022.(131213208*),221(,9769688N x x x x N x x x x ………4分(2)1°当，时，968968=++≥⋅+=(当且仅当时，等号成立) ，p x x x()8976289761152x x因此，p(x)min=p(11)=1152（千元）. ……………………………8分2°当22<x≤30，x∈N*时，p(x)=.求导可得p′(x)<0，所以p(x)=在（22,30]上单调递减，于是p(x)min=p(30)=1116（千元）.又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元. ……………………………12分该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金. (14)分19.设二次函数满足下列条件:①当时, 的最小值为0,且恒成立;②当时,恒成立.(I)求的值;(Ⅱ)求的解析式;(Ⅲ)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当时,就有成立20．已知函数，（1）求证： ;(2)设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点A()处的切线与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立.20、（1）令，得,当时当时，由最小值定义得即…………………………………（4分）（2）在处切线方程为①设直线与图像相切于点，则②……(6分)③由①②得④⑤下证在上存在且唯一.令，在上.又图像连续，存在唯一使⑤式成立，从而由③④可确立.故得证……………………………………………………（10分）（3）由（1）知即证当时不等式即在上有解.令，即证………………………………………（12分）由得.当时，，当时，..令，其中则，.综上得证…………………………………………………………………………………(16分)第Ⅱ卷（附加题共40分）21． B．（1）（2）；C．曲线E：，直线l：；22．（1）分布列：．（2）0.9976．23．(1)设，则，，，由，得，化简得.故动点的轨迹的方程. …………………………………5分(2)直线方程为，设，，．过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，……7分同理过点的切线方程为．所以直线MN的方程为，………9分又//，所以，得，而，故点的坐标为．…………………………………10分．B38552 9698 隘25603 6403 搃.24179 5E73 平35703 8B77 護D28197 6E25 渥KW22031 560F 嘏33024 8100 脀20607 507F 偿39806 9B7E 魾k。