* 位势法的计算过程令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui 和vj 计算空格的检验数。
如λ11=3-(0+2)=1 因为λ11=-1 0,因而该问题至此尚未达到最优解. 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ ui vj 0 3 10 -1 -5 2 9 1 2 1 -1 10 12 * 位势法的理论依据（互补松弛定理） * 位势法的理论依据运输问题设B为一可行基，则相应的基可行解的各变量的检验数为运输问题的对偶问题由对偶理论有Y=CBB-1 基变量的检验数等于0 （I：基变量下标集） * 位势法的步骤对于每一个基变量（数字格）都按照公式 ui+vj=cij 列出一个位势方程，形成位势方程组（m+n－1个）；任意决定其中一个位势的数值，然后求出其他位势的数值；按照公式计算非基变量（空格处）的检验数（m×n-(m+n－1)个）。
* 从最小负检验数所对应的空格进行调整例7 对由最小元素法得出的初始解进行调整调整方法： 1）找出负检验数所在空格处的闭回路 2）在闭回<a name=baidusnap0></a>路上</B>找到偶数点所对应的基变量的最小值再按调整后的解由位势法计算空格的检验数四、调整销地产地 B1 B2 B3 B4 A13 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 74 105 ③④①⑥③③ 1 2 1 -1 10 12 ⑤①② x23 x14 x24 x13 3）以此最小值θ为调整量，在奇数格加上该调整量，在偶数格上减去该调整量换入变量：x24 换出变量：x23 * 1.由最小元素法求得初始基可行解五、典型运输问题解题步骤示例销地产地 B1 B2 B3 B4 ai A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 bj 3 6 5 6 20 ③④①⑥③③ * 2.由位势法求检验数令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui和vj 计算空格的检验数因为λ24=-1 0,因而该问题至此尚未达到最优解. 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ ui vj 0 3 10 -1 -5 2 9 1 2 1 -1 10 12 如λ11=3-(0+2)=1 * 3.从最小负检验数所对应的空格进行调整调整方法： 1）找出闭回路 2）使最小负检验数所对应的空格达到最大的调整量1 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ 1 2 1 -1 10 12 ⑤①② * 令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui和vj 计算空格的检验数。
如λ11=3-(3+0)=0 因为所有的λij≥0,至此该问题已经达到最优解. 4.再按调整后的解由位势法计算空格的检验数销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③⑤①⑥③②ui vj 0 3 10 -2 -5 3 9 0 2 2 9 12 1 * 表上作业法的步骤：（1）编制调运表（产销平衡表、单位运价表）（2）在调运表上求出初始基可行解（3）用位势法或闭回路法计算非基变量的检验数，若所有非基变量的检验数均大于等于0，则已得到问题的最优解（4）选取小于0的检验数中的最小者所对应的非基变量作为进基变量，用闭回路法进行基可行解的转换，得到新的基可行解，转入步骤（3）。
* 可能出现的几种情况（1）无穷多最优解某一个非基变量（空格处）的检验数为0；以（1,1）为调入格左闭回路（1,1）―（1,4）―（2,4）―（2,1）－（1,1），调整量?=2 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③⑤①⑥③② 0 2 2 9 12 1 * 7 4 10 5 8 10 1 3 9 11 2 3 A3 A2 A1 B4 B3 B2 B1 销地产地①⑤③⑥③ 2 2 9 12 1 ② 0 * 可能出现的几种情况（2）退化同时划去一行和一列；同时有两个或两个以上的偶数顶点数字格具有最小值，这时只能选择其中一个作为调入格，经过调整后，得到退化解。
这时另一个数字格必须填入一个0，表明它是基变量。
销地产地 B1 B2 B3 B4 ai A1 3 11 4 5 7 A2 7 7 3 8 4 A3 1 2 10 6 9 bj 3 6 5 6 20 ⑥③ * 练习：下表是一运输问题的表格，其中右上角数字是单位运价，圆圈内是运量。
B1 B2 B3 B4 产量 A1 ② 6 3 ① 2 ② 5 5 A2 7 5 8 ② 4 2 A3 3 ③ 2 5 7 3 需求量 2 3 1 4 (1)上表所给方案是否为该问题的可行解，是否为该问题的基本可行解，为什么？ (2) 上述方案是否是该问题最优解？若不是，如何用表上作业法继续迭代？ * 一、原理第三节产销不平衡的运输问题 * 证明： * 结论： 1. 运输问题有可行解产销平衡 2. 运输问题有可行解运输问题有最优解3. 运输问题有最优解产销平衡 * 二、产销不平衡问题的处理销地产地 1 2 … n n+1 1 2 … m a1 a2 … am 销量b1 b2 … bn bn+1 * 产量约束销量约束 m+n+1个约束条件 m×(n+1)个决策变量 * 二、产销不平衡问题的处理销地产地 1 2 …n 1 2 … m m+1 a1 a2 … am am+1 销量 b1 b2 … bn * 产量约束销量约束 m+n+1个约束条件 (m+1)×n个决策变量 * 例8 求下面运输问题的最优解这是一个产大于销的运输问题，增加一个假想的销售地，可以将其转化为产销平衡问题。
销地产地甲乙丙丁戊产量 1 2 3 4 10 2 1 8 20 10 20 6 5 8 7 3 9 30 10 7 10 6 4 5 5 6 2 9 销量 4 4 6 2 4 * 假设“己”的虚拟销量为2，各实际产地到其的运费为0。
如下表所示：用表上作业法可以求出最优解。
销地产地甲乙丙丁戊己产量 1 2 3 4 10 2 1 8 20 10 20 6 5 8 7 3 9 30 10 7 10 6 4 5 0 0 0 0 5 6 2 9 销量 4 4 6 2 4 2 22 注：某列单位运价为0，应该最后考虑 * 例9 产销不平衡问题（书P90例2）在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，年产量为50万吨；将需求分两种情况的地区，实际按两个地区看待。
需求地区化肥厂 I II III IV 产量（万吨）A B C 16 14 19 13 13 20 22 19 23 17 15 -- 50 60 50 最低需求（万吨）最高需求（万吨） 30 50 70 70 0 30 10 60 160 [110,210] * 这样可将该问题化为产销平衡问题：需求地区化肥厂 I’ I’’ II III IV’ IV’’产量（万吨） A B C D 16 14 19 M 16 14 19 0 13 13 20 M 22 19 23 0 17 15 M M 17 15 M 0 50 60 50 50 销量（万吨） 30 20 70 30 10 50 210 * 根据表上作业法计算，可得该问题的最优方案，如下表：需求地区化肥厂 I’ I’’ II III IV’ IV’’产量（万吨） A B C D 30 20 50 20 0 30 10 30 20 50 60 50 50 销量（万吨） 30 20 70 30 10 50 210 * 第四节应用举例例10 （书P92例3） * 设ai表示第i季度的生产能力，bj表示第j季度的合同供应量，建立数学模型表示为： j i I II III IV I II III IV 10.8 10.95 11.10 11.10 11.25 11.00 11.25 11.40 11.15 11.30 设cij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机的单位实际成本，等于该季度的单位生产成本加上存储、维护等费用。
* 这是一个产大于销的运输问题，增加一个假想的需求D，将问题转化为产销平衡的运输问题。
如下表：销产 I II III IV 产量 I II III IV 10.8 M M M 10.95 11.10 M M 11.10 11.25 11.00 M 11.25 11.40 11.15 11.30 25 35 30 10 销量 10 15 25 20 100 D 0 0 0 0 30 * 用表上作业法求解可得多个最优解，下表给出了其中一个最优解（单位：台）按此方案生产，总费用为773万元。
销产 I II III IV D 产量 I II III IV 10 15 5 20 10 10 30 25 35 30 10 销量 10 15 25 20 30 100 第I季度生产25台，其中有15台用于第II季度的合同；第II季度生产5台，全部用于第III 季度的合同；第III季度生产30台，其中有10台用于第IV季度的合同；第IV季度生产10台。
* 练习：有三个工厂B1、B2、B3，它们需要同一种原料，现有三个产地A1、A2、A3可供应该原料，运用表上作业法求解最小的调运方案，某步的运算表如下，其中方框中的数字是运量，括号中的数字是单位运输费用：产地工厂 B1 B2 B3 生产量 A1 ③ 3 5 7 3 A2 ② 4 ④2 4 6 A3 5 ① 6 ⑤ 3 d 需求量 a b c （1）求a、b、c、d的值；（2）上述方案是否是该问题最优解？若不是，运用表上作业法求出最优调运方案。
（3）A3到B1的运费满足什么条件，使得（2）中求出的最优解保持不变。
* 第三章运输问题本章主要内容：运输问题的数学模型运输问题的求解―表上作业法运输问题应用―建模 * 第一节运输问题的数学模型一、数学模型例1 销地产地 B1 B2 B3 ai A1 6 4 6 200 A2 6 5 5 300 bj 150 150 200 500 产地：货物发出的地点销地：货物接收的地点产量：各产地的可供货量销量：各销地的货物需求量运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销售地的需求，又使得总运费最小。
* 二、运输问题的一般数学模型设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，cij表示对应的单位运费令a1, a2, …, am表示各产地产量, b1, b2, …, bn表示各销地的销量有m个地区生产某种物资，有n个地区需要该类物资产销平衡表单位运价表销地产地 1 2 … n 1 2 … m a1 a2 … am 销量 b1 b2 … bn 销地产地 1 2 … n 1 2 … m c11c12 … c1n c21 c22 … c2n …... cm1 cm2 … cmn *。
