高二数学人教A版选修4-5导学案： 2.3反证法与放缩法导学案 Word版含解析

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1．掌握反证法和放缩法的依据．
2．会利用反证法和放缩法证明有关不等式．
1．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
【做一做1－1】否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( )
A ．a ，b ，c 都是奇数
B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
【做一做1－2】若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法假设应为________________．
答案：a ，b 全为非正数
2．放缩法
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
归纳总结 放缩法的常用技巧：舍去或加进一些代数式，放大或缩小分子或分母，运用重要不等式，利用函数的单调性、值域等．
【做一做2】A ＝1＋
12＋13＋…＋1n 与n (n ∈N ＋)的大小关系是________． 解析：A ＝
11＋12＋13＋…＋1n ≥n n n
n
+++共项＝n n ＝n . 答案：A ≥n。

2.2综合法和分析法预习案一、预习目标及范围1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．二、预习要点教材整理1 综合法一般地，从出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做，又叫或．教材整理2 分析法证明命题时，我们还常常从要证的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做，这是一种执果索因的思考和证明方法．三、预习检测1.设a ，b ∈R ＋，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是()A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞B D.A ＜B2.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，那么a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞c D.b ＞c ＞a3．若1a ＜1b＜0，则下列不等式： ①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的有________．(填序号)探究案一、合作探究题型一、用综合法证明不等式例1已知a ，b ，c 是正数，求证：b2c2＋c2a2＋a2b2a ＋b ＋c≥abc . 【精彩点拨】 由a ，b ，c 是正数，联想去分母，转化证明b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )，利用x 2＋y 2≥2xy 可证．或将原不等式变形为bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c 后，再进行证明．[再练一题]1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝2.求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )＞8 2.题型二、综合法与分析法的综合应用例2设实数x ，y 满足y ＋x 2＝0，且0＜a ＜1，求证：log a (a x ＋b y )＜18＋log a 2. 【精彩点拨】 要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．[再练一题]2．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3a ＋b ＋c3－3abc..题型三、分析法证明不等式例3已知a ＞b ＞0，求证：(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b . 【精彩点拨】 本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a ＞b ＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．[再练一题]3．已知a ＞0，求证：a2＋1a2－2≥a ＋1a－2.二、随堂检测1．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则()A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a2．下列三个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a .其中能使1a ＜1b成立的充分条件有() A ．①② B ．①③C ．②③D.①②③3．已知a ，b ∈(0，＋∞)，Ρ＝a ＋b 2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是________.参考答案预习检测：1.【解析】 A 2＝(a ＋b)2＝a ＋2ab ＋b ，B 2＝a ＋b ，所以A 2＞B 2.又A ＞0，B ＞0，所以A ＞B .【答案】 C2.【解析】 由已知，可得出a ＝422，b ＝47＋3，c ＝46＋2， ∵7＋3＞6＋2＞22，∴b ＜c ＜a . 【答案】 B3.【解析】 ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＜0，ab ＞0，|b|＞|a|.故①正确，②③错误．∵a ，b 同号且a ≠b ，∴b a ，a b 均为正， ∴b a ＋a b ＞2b a ·a b＝2.故④正确． 【答案】 ①④随堂检测：1.【解析】 ∵－1＜b ＜0，∴1＞b 2＞0＞b .又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a .【答案】 D2.【解析】 ①a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ；②b ＜a ＜0⇒1a ＜1b ；③b ＜0＜a ⇒1a ＞1b.故选A. 【答案】 A3.【解析】 ∵a ＋b≥，∴a ＋b ≥a ＋b 2. 【答案】 P ≤Q。

三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前,总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上,一张写“活"字,一张写“死"字，抽到“活”字可幸免一死。

一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死"字让他去抽,心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人。

国王宣布抽签开始后,那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片,看也不看便放进嘴里，就吞下肚子,使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗?导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活"，此时,国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证,可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用,下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答:在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2。

生活中的归谬证法是什么意思呢?答:归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来。

对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果,而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导。

这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显,这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中,自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好。

对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬,往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨,于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.。

2.3 反证法与放缩法教学目标：1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

掌握证明不等式的两种放缩技巧。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。

体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。

也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。

但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。

所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。

其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。

具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：例1、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。

例2、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

三反证法与放缩法对应学生用书P24 1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对应学生用书P24利用反证法证明不等式[例1] 已知f 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 答案：D2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列． 证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 公差)． ∴ac ＝b 2＝(b －d )(b ＋d )．∴b 2＝b 2－d 2.∴d 2＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b . 证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立．∴a <b .利用放缩法证明不等式[例2] 已知实数x ，y ，z 不全为零．求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明] x 2＋xy ＋y 2＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22 ＝|x ＋y 2|≥x ＋y 2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z 2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋z 2＋⎝⎛⎭⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ，∴将以上n 个不等式相加得： 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. 5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1| ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1 ∴0≤a ＋b ≤2， －1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.对应学生用书P251．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .答案：B3．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0.因为P ＜0，Q ＜0.即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a . 所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故充分性成立． 答案：C4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：对①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾；故①对； 对②，当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对③，显然不正确．答案：C5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________． 答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________． 解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0.∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1.∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜17．完成反证法整体的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，……，7的一个排列， 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：反设p 为奇数，则________________均为奇数． ①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________________________ ② ＝________________________③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：反设p 为奇数，则(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数． 因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有 奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7) ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数． 答案：(a 1－1)，(a 2－2)，...，(a 7－7) (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋3＋ (7)8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝2－1n<2.10．证明抛物线x ＝y 2上，不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．证明：假设抛物线x ＝y 2上存在两点A (a 2，a )B (b 2，b )(a ≠b )关于直线x ＋y ＋1＝0对称． 由k AB ＝1，且A 、B 的中点⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，a ＋b 2在直线x ＋y ＋1＝0上．即⎩⎪⎨⎪⎧a －b a 2－b 2＝1， ①a 2＋b 22＋a ＋b 2＋1＝0. ②由①得a ＋b ＝1，代入②得a 2＋b 22＋32＝0.此方程无解，说明假设不成立．∴抛物线x ＝y 2上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．。

三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列． 求证：a ， b ， c 不成等差数列． 证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列． 知识点二 放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。

2.3 反证法与放缩法学习目标1.理解反证法在证明不等式中的应用．2．掌握反证法证明不等式的方法．3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？1.反证法对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”．(1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．(2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立．2．用反证法证明不等式应注意的问题(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．3．放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握． 常见放缩有以下几种类型：第一，直接放缩；第二，裂项放缩(有时添加项)；第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩．例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)．以上n ∈N，且n >1.【例1】 若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23a 的数．【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．【例3】 求证：2(n ＋1－1)<1＋12＋13 (1)<2n (n ∈N ＋)．【变式训练3】 设n ∈N ＋，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1.【例4】 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．【变式训练4】设x>0，y>0，x>0，求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2>x＋y＋z.参考答案探究1．提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．探究 2 提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．【例1】 证法一 假设a ＋b >2，则a >2－b ，∴2＝a 3＋b 3>(2－b )3＋b 3，即2>8－12b ＋6b 2，即(b －1)2<0，这是不可能的．∴a ＋b ≤2.证法二 假设a ＋b >2，而a 2－ab ＋b 2＝(a －12b )2＋34b 2≥0，但取等号的条件是a ＝b ＝0，显然不可能．∴a 2－ab ＋b 2>0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>2(a 2－ab ＋b 2)．又∵a 3＋b 3＝2，∴a 2－ab ＋b 2<1.∴1＋ab >a 2＋b 2≥2ab .∴ab ≤1.∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab＝(a 2－ab ＋b 2)＋3ab <4.∴a ＋b <2，这与假设相矛盾，故a ＋b ≤2.【变式训练1】证明 假设4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )都大于1，则a (1－b )>14，b (1－c )>14，c (1－d )>14，d (1－a )>14.>12>12，>12，>12.又∵≤(1)2a b +-，≤(1)2b c +-，≤(1)2c d +-，≤(1)2d a +-， ∴(1)2a b +->12，(1)2b c +->12，(1)2c d +->12，(1)2d a +->12. 以上四个式子相加，得2>2，矛盾．∴原命题结论成立．【例2】【证明】 (1)假设x ，y ，z 中有负数，若x ，y ，z 中有一个负数，不妨设x <0，则y 2＋z 2≥12(y ＋z )2＝12(a －x )2， 又∵y 2＋z 2＝12a 2－x 2， ∴12a 2－x 2≥12(a －x )2. 即32x 2－ax ≤0，这与a >0，x <0矛盾． 若x ，y ，z 中有两个是负数，不妨设x <0，y <0，则z >a .∴z 2>a 2.这与x 2＋y 2＋z 2＝12a 2相矛盾． 若x ，y ，z 全为负数，则与x ＋y ＋z ＝a >0矛盾．综上所述，x ，y ，z 都不为负数．(2)假设x ，y ，z 有大于23a 的数． 若x ，y ，z 中有一个大于23a ，不妨设x >23a . 由12a 2－x 2＝y 2＋z 2≥12(y ＋z )2＝12(a －x )2得32x 2－ax ≤0，即32x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ≤0，这与x >23a 相矛盾． 若x ，y ，z 中有两个或三个大于23a ，这与x ＋y ＋z ＝a 相矛盾． 综上所述，x ，y ，z 都不能大于23a . 由(1)、(2)知，原命题成立．【变式训练2】证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．∵α≠β，不妨设α>β.∵函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，∴f (α)>f (β)．这与f (α)＝f (β)＝0矛盾．所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根．【例3】【证明】 对k ∈N ＋，1≤k ≤n ，有 1k >2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )．∴1＋12＋13＋…＋1n >2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)．又∵1k <2k ＋k －1＝2(k －k －1)(2≤k ≤n )， ∴1＋12＋13＋ (1)<1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n －n －1)＝2n . 综上分析可知，原不等式成立．【变式训练3】证明 ∵n ∈N ＋，∴1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≥12n ＋12n …＋12n ＝n 2n ＝12. 又∵1n ＋1＋1n ＋2＋...＋12n <1n ＋1n ＋...＋1n ＝n n ＝1， ∴12≤1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1.【例4】【证明】 x 2＋xy ＋y 2|x ＋y 2|≥x ＋y 2.同理y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z 2， z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x 2. 由于x ，y ，z 不全为零，故上面三个式子中至少有一个式子等号不成立，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．【变式训练4】证明 ∵x >0，y >0，z >0， ∴x 2＋xy ＋y 2＝223()24y x y ++≥2()2y x +＝|x ＋y 2|≥x ＋y 2.同理y 2＋yz ＋z 2>z ＋y2. 二式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2> x ＋y ＋z .。

三反证法与放缩法．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性命题的条件的结论，以说明质、明显成立的事实等)矛盾假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )．两个都是偶数．一个是奇数，一个是偶数．至少一个是偶数．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】教材整理放缩法阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．放大证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值缩小或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若－＜，－＜，则下列不等式一定成立的是( )【导学号：】．－＜．－＞．－＜－＞【解析】－＝(－)－(－)≤－＋－＜.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()()＋()－()＝；()()，()，()中至少有一个不小于.【精彩点拨】()把()，()，()代入函数()求值推算可得结论．()假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】()由于()＝＋＋，∴()＋()－()＝(＋＋)＋(＋＋)－(＋＋)＝.()假设()，()，()都小于，则有()＋()＋()＜.(*)。

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均．2．理解定理1和定理2.3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 函数f (x )＝x ＋1x的最小值是2吗？探究2 在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?探究3 利用a ＋b 2≥ab 求最值的条件是怎样的？探究4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a －b )2≥0⇔a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)． 这两个不等式都是在a ＝b 时，等号成立．而(1)只要求a ，b ∈R ，而公式(2)条件加强了，要求a >0，b >0.注意区别．(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a ＋1a≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)． 当ab >0时，b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取等号)．a 2＋b 2≥a ＋b 22≥2ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2．均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值．(1)x ，y ∈R ＋，且xy ＝m (m 为定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2m ；(2)x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝n (n 为定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值n 24. 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”．否则会得出错误的结果. 例1 已知a ，b ，c 为正实数，求证：(1)（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc≥8； (2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．例2 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．变式练习2．求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x(x ＞0)的最大值及此时x 的值．例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．参考答案探究1【提示】 函数f (x )＝x ＋1x的最小值不是2. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2 x ·1x＝2； (当且仅当x ＝1时取等号) 当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＝－1()x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤－2. (当且仅当x ＝－1时取等号)显然f (x )无最小值，也无最大值.探究2【提示】 对于不等式a ＋b 2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．探究3【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．探究4【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b 2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b 2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．例1 [精讲详析] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．(1)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0，由上面三式相乘可得(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8ab ·bc ·ca ＝8abc .即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc≥8. (2)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca .即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2.又a ，b ，c ∈R ＋，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b )． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(a ＋c )．三式相加， 得 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.例2 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.变式练习2．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26，得－(2x ＋3x)≤－26，因此f (x )≤1－26， 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时， 式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62. 例3 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ，由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160， 即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m.变式练习3．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x （x ＋1）＋900x ＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809≥2 900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x， (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉．平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)， 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋100x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋100x 2 ＝（x 2－x 1）（100－x 1x 2）x 1x 2. ∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，100－x 1x 2＜0, ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2≈10 069.7＜10 989. ∴该厂应接受此优惠条件．。

2.3 反证法与放缩法学习目标： 1. 理解并掌握反证法与放缩法;2. 会利用反证法与放缩法证明不等式知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .例2、若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m bb m+<+” ④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例3 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例4求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n达标训练：1.设x.y 为正数，且1=+y x ，用反证法证明9)11)(1122≥--yx （2.已知0<x<1,a>0,a ≠1,试比较)1(log )1(log x x a a +-与的大小，并说明理由3.已知m>0,求证342≥+mm4、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a。

三反证法与放缩法知识梳理1.反证法先____________,以此为出发点,结合已知条件，应用公理，定义,定理，性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件（或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等）_________的结论,以说明_________不正确，从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法。

2。

放缩法证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论，即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的。

(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法。

(3）推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的。

(4)在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件.2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小，如欲证A≥B,需通过B≤B1，B1≤B2≤…≤B i≤A（或A≥A1,A1≥A2≥…≥A i≥B），再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1。

反证法中的数学语言反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时，常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中，更是如此.2。

放缩法的尺度把握等问题(1）放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子）的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项，利用分式的性质,利用不等式的性质，利用已知不等式，利用函数的性质进行放缩等.比如：舍去或加上一些项:（a+21)2+43>(a+21)2； 将分子或分母放大（缩小）：,121,)1(11,)1(1122-+<+>-<k k k k k k k k k 121++>k k k （k∈R ，k 〉1）等.典题精讲【例1】 （经典回放)若a 3+b 3=2，求证:a+b≤2。

2.3 反证法与放缩法预习目标1．掌握用反证法证明不等式的方法．2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．一、预习要点1.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称为________．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到________，我们把这种方法称为________.二、预习检测1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为02．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的假设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a ，b ，c 不全是正数 D.abc ＜03．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是( )A ．综合法B ．放缩法C ．分析法 D.反证法4．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。

参考答案一、预习要点二、预习检测1．【解析】 实数a ，b ，c 不全为0的含义即a ，b ，c 中至少有一个不为0，其否定则是a ，b ，c 全为0，故选D.【答案】 D2.【解析】 a ＞0，b ＞0，c ＞0的反面是a ，b ，c 不全是正数，故选C.【答案】 C3.【解析】 由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C4.【证明】 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．。

课堂导学三点剖析一,利用增,减项进行放缩【例1】 证明下列不等式: (1)21·43·65·…·10099<101; (2)1<d c a d d c b c c b a b d b a a +++++++++++<2. 证明： (1)21<32,43<54,……,10099<101100, 令A=21.43.....10099,B=32.54.. (101)100, ∴A<B,A 2<A·B=1011<1001. ∴21·43·65·…·10099<101. (2)dc ad d c b c c b a b d b a a +++++++++++ <)()(dc d d c c b a b b a a +++++++=2, 又dc ad d c b c c b a b d b a c +++++++++++ d c b a d d c b a c d c b a b d c b a c +++++++++++++++>=1, ∴原不等式成立.各个击破类题演练1设n 为正整数,求证:21≤nn n 212111+++++ <1. 证明:∵n ∈N *,∴n n n n n n n n n 12121,,12121,11121<≤<+≤<+≤ , 以上各式相加得nn n n n n n <+++++≤2121112 故原不等式成立.变式提升1求证:4712111222<++n. 证明:∵kk k 11112--<, ∴ +-+-++<++++)4131()3121(21111312111222222n47147121411)111(<-=-++=--+n n n n 即原不等式成立.二、利用均值不等式或不等式的性质进行放缩【例2】 (1)比较log 23与log 34的大小;(2)求证:log 56·log 54<1;(3)已知f(x)=log x (x+1),①比较f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)与1.1的大小;②求证:f(n)>f(n+1)(n ∈N ,n≥2).(1)解析:log 23-log 34=3lg 2lg )]4lg 2(lg 21[3lg 3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 222•+->••-=- 3lg 2lg )9lg 21(3lg 3lg 2lg )8lg 21(3lg 2222•->•-= ∴log 23>log 34.(2)证明:24log 6log 4log 6log 5555+<•=21log 524 <21log 525=1. (3)①解析:f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)=101110112lg 2lg 2lg )12lg(1024lg 2049lg >+==1.1. ②证明:f(n)>f(n+1)⇐log n (n+1)>log n+1(n+2)log n+1(n+2)·log n+1n<1,仿(2)的证明思路,此式易证.温馨提示1.对于(1),比较大小→作差→平均值不等式→放缩,结果出来了.熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩:log 23=log 827>log 816>log 916=log 34,就更为巧妙!2.放与缩,没有固定的模式,需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度,缩到怎样的范围,必须事先在心中有一个充分的估计.类题演练2a,b,c 为三角形的三边,p=2c b a ++,p 2=2ab,求证: (1)p<2a;(2)a>c.证明:(1)∵a+c>b,∴p=2c b a ++>22b =b. ∴2ab=p·p>p·b,即p<2a. (2)p=ab 2≤22b a +,即2c b a ++≤22b a +,故a≥c. 当且仅当2a=b 时取等号,此时,由条件p 2=2ab ⇒p=b,再由p=2c b a ++知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾,因此a>c.变式提升2(1)a,b,c 为三角形的三边,证明a 2+b 2+c 2<2(ab+bc+ca);(2)设a,b,c 为三角形的三边,证明cc b b a a +>+++111 证明:(1)a,b,c 为三角形的三边,有a+b>c ⇒c(a+b)>c 2,b+c>a ⇒a(b+c)>a 2,c+a>b ⇒b(c+a)>b 2.三式相加即为2(ab+bc+ca)>a 2+b 2+c 2. (2)cc c b a b a b a b a b b a a b b a a +=+>++=+++=+++++>+++111111111111 ∴原不等式成立.三、利用其他方法进行放缩【例3】 设0<α<β<2π,0<θ<2π,求证: βαβθαθsin sin )sin()sin(>++. 思路分析:α,β,θ为锐角,因此sin(θ+α),sin(θ+β),sinα,sinβ都是正值,当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢?外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.证明：βθβθαθβθβθβθαθαθβθαθsin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin )sin()sin(•+••+•>•+••+•=++ βαβθαθsin sin sin cos sin cos =••> ∴原不等式成立.温馨提示将cosα换成cosβ,值变小了,这里又直接利用了不等式:a,b,m>0且a<b,则b a <mb m a ++.其实,很多时候我们不可能一下子看清问题的实质,那么去尝试一下,尝试的过程中,去伪存真,删繁就简.类题演练3设△ABC 的三边a,b,c 满足关系:a 2+b 2=c 2,当n>2,且n ∈N *时,求证:a n +b n <c 2n .证明:∵a 2+b 2=c 2,∴a<c,b<c.∴a n-2<c n-2,b n-2<c n-2.∴a n +b n =a 2·a n-2+b 2·b n-2<a 2·c n-2+b 2·c n-2 =c n-2(a 2+b 2)=c n ,即a n +b n <c 2n .变式提升3在△ABC 中,求证:sin 2A ·sin 2B ·sin 2C ≤81. 证明:sin 22A =2cos 1A -ac a bc c b a 44)(222≤--, ∴sin bc a A 22≤.同理,sin ac b B 22≤,sin ab c C 22≤. 三式相乘,得sin2A ·sin 2B ·sin 2C ≤81.。

2.3 反证法与放缩法1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3b B.3a ＜3bC.3a ＝3b 且3a ＜3bD.3a ＝3b 或3a ＜3b3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，设M ＝827－27a，N ＝(a ＋c )·(a ＋b )，则( )A ．M ≥NB ．M ≤NC ．M >ND.M <N5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________. 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为________．9．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，求c 的最大值．10．已知n ∈N ＋，求证：(1)2n n <1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n ＋122.参考答案1．【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C2.【解析】 应假设3a ≤3b ， 即3a ＝3b 或3a ＜3b . 【答案】 D3.【解析】 对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】 C4.【解析】 依题意易知1－a,1－b,1－c ∈R ＋≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23，∴(1－a )(1－b )(1－c )≤827，从而有827(1)a -≥(1－b )(1－c )，即M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．故选A.【答案】 A5.【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 6. 【解析】 略【答案】 a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 7.【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 【答案】 lg 9·lg 11＜18.【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜＝1.【答案】 M ＜19.【解】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，即2a ＋b ≥4时取“＝”， 由2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c ，得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c ＝2a＋b2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.10.【证明】 k <(1)k k +<(1)2k k ++＝12(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )．若记S n ＝1×2＋2×3＋… S n >1＋2＋…＋n ＝(1)2n n ++，S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2＋2n )<2(1)2n +.。