备战2020高考十年高考数学分项版 专题12 理科附加部分(Word解析版)

专题12 解析几何【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．22．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．454．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6二、多选题5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =三、填空题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________． 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.四、解答题10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知ⅠM ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作ⅠM 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +1210．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⅠF 2P ．若ⅠPF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．814．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．9216．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则ⅠPFO 的面积为A B C ． D ．17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．318．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．819．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．420．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 21．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1-B ．2C D 122．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1423．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣24．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C D ．25．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A B C ．2D26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 227．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足ⅠAMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1029．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN Ⅰl ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．31．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B CD 32．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B ．3C ．3D ．1333．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标Ⅰ卷））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=34．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．)35．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为 A ．8B ．6C ．4D ．236．（）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．237．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43- B ．34-C D ．238．（（2016新课标全国Ⅰ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为A B ．32CD ．239．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF Ⅰx 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．3440．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6C ．9D ．1241．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(,)33- B ．(66-C ．(,33-D ．(,33-42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A B ．2C D43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则A ．2B ．C ．D ．144．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为,是C 上一点，，则A ．1B ．2C ．4D ．845．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则A ．B ．C ．D ．46．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =A B ．6 C ．12 D ．47．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦48．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 ⅠOAB 的面积为A B C ．6332D ．9449．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A ．B ．C ．D ．50．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋227x ＝1D ．218y ＋218x ＝151．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45二、填空题52．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.53．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．54．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．55．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.56．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．58．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．59．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．60．（2016年全国普通高等学校招生统一考试））设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为________61．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.62．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．64．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.65．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷带解析））设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得ⅠOMN=45°，则0x 的取值范围是________.三、解答题66．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.67．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．68．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.69．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．70．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，ⅠM 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求ⅠM 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．71．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．72．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 73．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE Ⅰx 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.74．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.75．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．76．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.77．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．78．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．79．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．80．（2017年全国卷文数高考试题）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⅠBM ，求直线AB 的方程．81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.82．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .83．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⅠBC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.84．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.85．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅰ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.86．（2016新课标全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.87．（2016新课标全国卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积（Ⅰ） 当2AM AN =2k <<.88．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MAⅠNA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求ⅠAMN 的面积； （Ⅰ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.89．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅰ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.90．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.91．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅰ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有ⅠOPM =ⅠOPN ？说明理由.92．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.93．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅰ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．94．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积95．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当ⅠOPQ 的面积最大时，求l 的方程.96．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．97．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））(本小题满分12分)已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 98．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.99．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；(Ⅰ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.100．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若90,BFD ABD ∠=︒△的面积为p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.。

T 专题01 集合【2021 年】1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则U(M ⋃N ) =（）A．{5} B．{1, 2} C．{3, 4} D．{1, 2,3, 4}【答案】A 由题意可得：M N ={1, 2,3, 4}，则U (M U N )={5}.故选：A.2．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知集合S={s s=2n+1,n∈Z}，T={t t=4n+1,n∈Z}，则S （）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C【分析】任取t ∈T ，则t = 4n +1 = 2⋅(2n)+1，其中n ∈Z ，所以，t ∈S ，故T ⊆S ，因此，S I T =T .故选：C.3．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合M={1,3,5,7,9},N={x2x>7}，则M I N =（）A．{7,9} B．{5, 7,9} C．{3,5, 7,9} D．{1,3,5, 7,9}【答案】B【分析】N =⎛7, +∞⎫，故M ⋂N ={5, 7,9}，2 ⎪⎝⎭故选：B.（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合M ={x 0 <x < 4}, N =⎧ 1x ≤ 5⎫，则M I N =（）⎬A．⎧x 0 <x ≤1 ⎫⎭B．⎧x1≤x < 4⎫⎨3⎬⎨3⎬⎩⎭C．{x 4 ≤x < 5}⎩⎭D．{x 0 <x ≤ 5}【答案】B【分析】因为 M ={x | 0 <x < 4}, N ={x | 1≤x ≤ 5} ，所以 M ⋂N =⎧x|1≤x < 4⎫, 3⎨3⎬⎩⎭故选：B.5．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设集合A={x-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则AIB =（）A．{2} B．{2,3} C．{3, 4} D．{2,3, 4}【答案】B【分析】由题设有A ⋂B ={2,3}，故选：B .【2012 年——2020 年】1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，则A IB =（）A．{-4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}【答案】D【分析】由x2 -3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1,3,5}，所以A I B ={1,3}，故选：D.2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】求解二次不等式x2 - 4 ≤ 0 可得：A ={x | -2 ≤x ≤ 2}，求解一次不等式2x + a ≤ 0 可得： B = ⎧x | x ≤ -a ⎫ . ⎨ 2 ⎬ ⎩⎭由于 A ⋂ B ={x | -2 ≤ x ≤1} ，故： - a= 1，解得： a = -2 . 2故选：B.3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则 A ∩B =（ ）A ． ∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为 A = {x x < 3, x ∈ Z} = {-2, -1, 0,1, 2} ，B = {x x > 1, x ∈ Z} = {x x > 1或 x < -1, x ∈ Z }，所以 AI B ={2, -2}.故选：D.4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则 = （）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】由题意可得： A ⋃ B ={-1, 0,1, 2}，则U ( A U B ) ={-2,3} .故选：A.5．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A = {1，2，3，5，7，11} ，B = {x | 3 < x < 15} ，则 A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意， A⋂ B = {5,7,11}，故 A IB 中元素的个数为 3.故选：B6．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知集合 A ={(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }，U ( A ⋃ B )⎩ B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A I B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意， A I B 中的元素满足⎧y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，故 A I B 中元素的个数为 4.故选：C.7．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A ={2,3, 4,5}，B ={2,3, 6, 7} ，则 B I C U AA ．{1, 6}B ．{1, 7}C ．{6, 7}D ．{1, 6, 7}【答案】C【分析】由已知得C U A = {1, 6, 7}，所以 B ⋂ C U A = {6, 7}，故选 C ． 8．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0} ，则 M ⋂ N =A ．{x -4 < x <3}B ．{x -4 < x <-2}C ．{x -2 < x < 2}D ．{x 2 < x <3}【答案】C【分析】【详解】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3} ，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．9．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x | x > -1}，B ={x | x < 2}，则 A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ． ∅【答案】C【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】R A =由题知，A I B = (-1, 2) ，故选C．10．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】由题意得， A ={x x2或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．11．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 ≤1}，则A I B =A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【分析】Q x2 ≤ 1,∴-1 ≤x ≤ 1，∴B ={x -1 ≤x ≤1}，则A I B ={-1, 0,1}，故选A．12．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2}，则A I B=A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{-2，-1，0，1，2}【答案】A【分析】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得A B ={0, 2}，故选A.13．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知集合A={x x2 -x-2>0}，则A．{x -1 <x < 2} C．{x |x <-1}⋃{x x 2} B．{x -1 ≤x ≤ 2} D．{x | x ≤-1}⋃{x | x ≥ 2}【答案】B【详解】：解不等式x2 -x - 2 > 0 得x <-1或x > 2 ，所以A ={x | x <-1或x > 2}，所以可以求得C R A ={x | -1≤x ≤ 2}，故选B.14．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则 A I B =A．{3} B．{5} C．{3, 5} D．{1, 2,3, 4,5,7}【答案】C【详解】详解：Q A ={1,3,5,7}, B ={2,3, 4,5},∴A⋂B ={3,5},故选C15．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1, 2} D．{0,1, 2}【答案】C【分析】：由集合 A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选C.16．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知集合A={(x，y)x2 +y2 ≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】Q x2 +y2 ≤ 3∴x2≤3,Q x∈Z∴x=-1,0,1当x =-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x = 1 时，y =-1,0,1；所以共有9 个，故选：A.17．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】详解：由集合A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选 C.（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A= {x|x<2}，B= {x|3-2x>0}，则A ．A IB = ⎧x |x < 3 ⎫B ．A I B =∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A U B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A U B=R⎨ 2 ⎬⎩⎭ 【答案】A【详解】由3 - 2x > 0 得 x < 3 ，所以 A I 2 B ={x | x < 2}I {x | x < 3} ={x | x < 3}，选 A ．2 219．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷））已知集合A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1}，则A. A IB ={x | x < 0}B. A U B = RC. A U B ={x | x >1}D. A I B =∅【答案】A【解析】∵集合 B ={x | 3x< 1}∴ B = {x x < 0}∵集合 A ={x | x <1}∴ A ⋂ B = {x x < 0} ， A ⋃ B ={x | x <1} 故选A20．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 2 卷））设集合A ={1, 2,3},B ={2,3, 4}，则 A U B = A ．{1，2，3, 4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4}【答案】A【详解】由题意 A ⋃ B = {1,2,3,4}，故选 A.21．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 2 卷））设集合 A = {1, 2, 4}， B ={x x 2 - 4x + m = 0}．若 A ⋂ B = {1}，则 B =( )A ．{1, -3}B ．{1, 0}C ．{1, 3}D ．{1, 5}【答案】C【详解】∵ 集合 A = {1，2，4}， B = {x | x 2 - 4x + m = 0}， A IB = {1}∴ x = 1 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的解，即1- 4 + m = 0 ∴ m = 3∴B = {x | x 2- 4x + m = 0} = {x | x 2- 4x + 3 = 0}= {1，3}，故选 C2 2 2 2 3, ) 22．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A I B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意可得 A IB ={2, 4}，故 A IB 中元素的个数为 2，所以选 B. 23．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A = {(x , y ) x 2 + y 2= 1}， B = {(x , y ) y = x } ，则 A IB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以(0, 0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y = x 上所有的点组成的集合，又圆x 2 + y 2 = 1 与直线 y = x⎛ ⎫ ⎛ 相交于两点, ， - , - ⎫ ，则 A I B 中有 2 个元素.故选 B. 2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭24．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A = {1,3,5, 7} ， B ={x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A ⋂ B =A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合 与集合 的公共元素有3，5，故，故选B.25．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A ={x | x 2 - 4x + 3 < 0}，B ={x | 2x -3 > 0}，则 A I B =A ． (-3, - 3) 2B ． (- 32 3． (1, )2 3 ． ( , 3)2【答案】D【详解】：集合A = {x | ( x -1)( x - 3) < 0}= {x |1 < x < 3}，集合 ，所以C DA BA ⋂B =⎧x |3<x <⎫,故选D.⎨2 3⎬⎩⎭．2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷）已知集合A={1,2,3},B ={x | x2 < 9}，则A⋂B =A．{-2, -1,0,1, 2,3} B．{-2, -1,0,1, 2}C．{1,2,3} D．{1, 2}【答案】D【解析】试题分析：由x2< 9 得-3<x<3，所以B={x|-3<x<3}，因为A={1,2,3}，所以A⋂B={1,2}，故选D.27．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={1,2,3}，B ={x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈Z}，则 A⋃B =A．{1}B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{-1，0，1，2，3}【答案】C【详解】试题分析：集合B ={x | -1 <x < 2, x ∈Z} ={0,1}，而A ={1, 2,3}，所以A⋃B ={0,1, 2,3}，故选C.（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10}【答案】C【详解】试题分析：由补集的概念，得A B ={0, 2, 6,10}，故选C．29．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））设集合S ={x|(x - 2)(x -3) ≥ 0},T ={x|x > 0} ，则S ⋂T=A．[2,3] B．（−∞,2] ⋃[3,+ ∞）C．[3,+ ∞）D．（0,2] ⋃[3,+ ∞）【答案】D【详解】：由(x - 2)(x -3) ≥ 0 解得x ≥ 3 或x ≤ 2 ，所以S ={x | x ≤ 2或x ≥ 3}，所以S ⋂T ={x | 0 <x ≤ 2或x ≥ 3}，故选D．30．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合A ={x | x = 3n + 2, n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A⋂B 中的元素个数为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由已知得 A⋂B中的元素均为偶数，∴n应为取偶数，故 A⋂B ={8,14}，故选D.31．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知集合A ={x | -1 <x < 2},B ={x | 0 <x < 3}, 则A U B =（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【详解】因为A ={x | -1<x < 2}, B ={x | 0 <x < 3},所以A U B={x | -1 <x < 3}. 故选A. 32．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B ={x | (x -1)(x +2) <0},则A I B =（）A．{-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【详解】已知得B={x|-2<x<1}，因为A=｛-2，-1,0，1,2｝，所以A⋂B={-1,0}，故选A．33．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合M ={x | -1<x < 3}, N ={x | -2 <x <1}，则 M ⋂N =A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据集合的运算法则可得：M ⋂N ={x | -1 <x < 1}，即选B．34．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ卷））已知集合，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由已知得，A ={x | x ≤-1或x ≥ 3}，故A⋂B ={x | -2 ≤x ≤-1}，选A．35．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设集合A ={-2, 0, 2},B ={x | x2 -x - 2 = 0} ,则 A⋂B =A．∅B． C．{0}【答案】B【详解】：由已知得，B={2，-1}，故A⋂B={2}，选B．D．{-2}36．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A=｛1，2，3，4｝，B ={x | x =n2 , n ∈A} ，则A∩B=A．｛1,4｝B．｛2，3｝C．{9，16} D．｛1,2}【答案】A【分析】依题意，，故A⋂B ={1, 4}.37．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|—5 ＜x＜5 }，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【答案】B【详解】依题意 A ={x | x 0或x2}，又因为B＝{x|－5 ＜x＜5 }，由数轴可知A∪B＝R，故选B.38．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=A．｛-2，-1，0,1｝B．｛-3，-2，-1，0｝C．{-2，-1，0} D．{-3，-2，-1 }【答案】C【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.39．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【详解】：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A40．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则A． B．C．A=B D．A∩B=Æ【答案】B【详解】集合，又，所以B 是A 的真子集，选B.41．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合A={1,2,3,4,5}, B ={(x, y) x ∈A, y ∈A, x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】列举法得出集合B={(2,1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10 个元素．故答案选D .。

一．基础题组1. 【2005江苏，理9】设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k的系数不可能是 ( ) （A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）8 【答案】C ．【解析】55544523353225415505522222)2(⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+C x C x C x C x C x C x=32808040102345+++++x x x x x ，比较系数知：x k(k=1,2,3,4,5) 的系数不可能为：50，故选C.2. 【2005江苏，理12】四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）3. 【2006江苏，理5】10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 ( )（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6 【答案】B ．【解析】1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式通项为31010102121011()()33r r r r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项.选B.4. 【2006江苏，理13】今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ▲ 种不同的方法（用数字作答） 【答案】1260．【解析】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有4239531260C C C =.5. 【2007江苏，理7】若对于任意的实数x ，有x 3=a 0+a 1（x -2）+a 2（x -2）2+a 3（x -2）3，则a 2的值为（ ）A.3B.6C.9D.12【答案】B ．【解析】x 3=（2+x-2）3，故a 2=C 322=6故选B.6. 【2007江苏，理12】某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有__________种不同的选修方案.（用数值作答） 【答案】75．7. 【2008江苏，理21A 】选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =【答案】详见解析．8. 【2008江苏，理21B 】选修4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程【答案】221x y +=．【解析】解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'0'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ B C ED A又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=.9. 【2008江苏，理21C 】选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 【答案】2．【解析】解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）故可设动点P 的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()23S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值2.10. 【2008江苏，理21D 】选修4—5 不等式证明选讲设a ，b ，c 为正实数，求证：333111a b c+++abc ≥11. 【2009江苏，理,8】在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ . 【答案】1：8．【解析】考查类比的方法。

第1讲 坐标系[考纲解读] 1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．2.了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点)3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容. 预测2020年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换. 题型为解答题，属中、低档题型.1．伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：□01⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x (x ≠0).1．概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.( )(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.( )(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为( )A ．y ＝13sin2x B ．y ＝3sin 12x C ．y ＝13sin x2 D ．y ＝3sin2x答案 D解析由已知得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .(2)在极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3两点间的距离为________． 答案 6解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中，A ，B 两点如图所示， |AB |＝|OA |＋|OB |＝6.解法二：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23)，∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6.(3)曲线C 1：θ＝π6与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32的交点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6解析 将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρsin π3＝32，所以ρ＝1，所以曲线C 1与曲线C 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.(4)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 答案522解析 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，ρsin θ－ρcos θ＝1，化为直角坐标方程得y －x ＝1即x －y ＋1＝0，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 7π4，22sin 7π4，即(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为|2－(－2)＋1|12＋(－1)2＝522.题型 一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．见举例说明．提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′).若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解 由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.题型 二 极坐标与直角坐标的互化(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.条件探究把举列说明中曲线C1的极坐标方程改为“θ＝α(0≤α≤2π)”，曲线C2的极坐标方程改为“ρ2－2ρcosθ－23ρsinθ＋3＝0”，若C1与C2有且仅有两个公共点，求α的取值范围．解由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－23y ＋3＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝1，由题意知α≠π2，可设曲线C1的直角坐标方程为y＝kx，k＝tanα，当曲线C1与曲线C2相切时，|k－3|k2＋12＝1，解得k＝33，即tanα＝33，又0≤α≤2π，所以α＝π6.结合图形可知，若C1与C2有且仅有两个公共点，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1．极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.题型 三 极坐标方程的应用角度1 极径几何意义的应用1．(2018·日照一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α，消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6，消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝215.角度2 用极坐标解最值和取值范围问题2．(2018·南平二模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1.曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ (φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1； 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2，由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α；|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4)．极坐标方程及其应用的类型及解题策略(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线的方程，然后再转化为极坐标方程．(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．1．(2018·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x .(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1，曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，其普通方程为x 2＋(y－1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sin θ.因为直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ， 故直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的极坐标方程为θ＝π6，将θ＝π6代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1， 将θ＝π6代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.。

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高考大题专攻练12.函数与导数 (B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占据高考取胜点！1.已知函数 f(x)=ln(2ax+a 2-1)-ln(x 2+1) ，此中 a∈R. 世纪金榜导学号92494448(1) 求 f(x) 的单一区间 .(2) 能否存在 a 的值，使得 f(x) 在[0 ，+∞) 上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明原因 .【分析】 (1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)=ln.设 g(x)=①当 a=0 时， f(x)，g′(x)=-无心义，因此 a≠0..②当 a>0 时， f(x) 的定义域为.令 g′(x)=0 ，得 x1=-a，x2= ，g(x) 与 g′(x) 的状况如表：x(- ∞， x1)x1(x 1，x2)x2(x 2，+∞)g′(x)-0+0-g(x)↘g(x 1 )↗g(x 2)↘-(-a)=>0，因此>-a.- =-<0，因此< .故 f(x) 的单一递加区间是；单一递减区间是.③当 a<0 时，f(x) 的定义域为. 令 g′ (x)=0 ，得 x1=-a，x = ，g(x) 与 g′(x) 的状况如表：2x(- ∞， x2)x2(x 2，x1)x1(x 1，+∞) g′(x)+0-0+g(x)↗g(x 2 )↘g(x 1)↗-(-a)=<0，因此<-a.- =->0，因此> .因此 f(x) 的单一递加区间是；单一递减区间是.(2) ①当a>0 时，由 (1) 可知， f(x)在上单一递加，在2上单一递减，因此 f(x) 在[0 ，+∞) 上存在最大值 f=lna .因为 f(x) 的定义域为.( ⅰ) 若≥0，即0<a≤1时，联合f(x)的定义域可知f(x)在[0，+∞) 上没有最小值，不合题意.( ⅱ) 若<0，即 a>1 时，因为在上单一递加，因此 f(x) 在上存在最小值f(0)；因为 f(x) 在上单一递减，因此 f(x) 在上不存在最小值.因此，要使 f(x) 在[0 ，+∞) 上存在最小值，只可能是 f(0)=ln(g(0)).计算整理 g(x)-g(0)=-(a 2-1)=.要使 f(x) 在[0 ，+∞) 上存在最小值，只要 x∈[0 ，+∞) ，g(x)-g(0)≥0.因为 x2 +1>0，则问题转变为x∈[0 ，+∞) 时， (1-a 2)x+2a ≥0 恒建立 .设 h(x)=(1-a 2 )x+2a，则只要或解得 0≤a≤1，这与 a>1 相矛盾，因此 f(x) 在[0 ，+∞) 上没有最小值，不合题意.②当 a<0 时，因为 f(x) 的定义域为.( ⅰ) 若≤0，即-1≤a<0时，f(x)在[0，+∞ )上没存心义，也不存在最大值和最小值 .(ⅱ)若>0，即a<-1时，由 (1)可知f(x)在上单一递减， f(x)存在最大值，但不存在最小值.综上，不存在 a 的值，使得f(x) 在[0 ，+∞) 上既存在最大值又存在最小值 .2.已知函数 f(x)=ae x+(2-e)x(a 为实数， e 为自然对数的底数 ) ，曲线y=f(x) 在 x=0 处的切线与直线 (3-e)x-y+10=0平行.世纪金榜导学号 92494449(1) 务实数 a 的值，并判断函数f(x) 在区间 [0 ，+∞) 内的零点个数 .(2) 证明：当 x>0 时， f(x)-1>xln(x+1).【分析】 (1)f ′(x)=ae x+2-e ，由题设，可知曲线 y=f(x) 在 x=0 处的切线的斜率 k=f ′(0)=a+2-e=3-e ，解得 a=1，因此 f(x)=e x+(2-e)x ，因此 x≥0 时， f ′(x)=e x+2-e ≥e0+2-e>0，因此 f(x) 在区间 [0 ，+∞) 内为增函数，又 f(0)=1>0 ，因此 f(x) 在区间 [0 ，+∞) 内没有零点 .(2) 当g(x)=ex>0 时， f(x)-1>xln(x+1)x-(x+1) ，等价于>ln(x+1)，记则 g′(x)=e x-1 ，当 x>0 时， g′(x)>0 ，因此当 x>0 时， g(x) 在区间 (0 ，+∞) 内单一递加，因此 g(x)>g(0)=0 ，即 e x>x+1，两边取自然对数，得 x>ln(x+1)(x>0)，因此要证明即证明当 x>0>ln(x+1)(x>0)，只要证明x2时， e -x +(2-e)x-1 ≥0，①≥x(x>0)，设 h(x)=e x-x 2+(2-e)x-1 ，则 h′(x)=e x-2x+2-e ，令φ(x)=e x-2x+2-e ，则φ′ (x)=e x-2 ，当 x∈(0 ，ln2) 时，φ′(x)<0 ；当 x∈(ln2 ，+∞) 时，φ′(x)>0.因此φ(x) 在区间(0 ，ln2) 内单一递减，在区间(ln2 ，+∞) 内单一递加，又φ(0)=3-e>0 ，φ(1)=0 ，0<ln2<1 ，因此φ(ln2)<0 ，因此存在x0∈(0 ，1) ，使得φ(x 0)=0，因此当 x∈(0 ，x0) ，或 x∈(1 ，+∞) 时，φ(x)>0 ；当 x∈(x 0，1) 时，φ(x)<0 ，因此 h(x) 在区间 (0 ，x0) 内单一递加，在区间 (x 0，1) 内单一递减，在区间 (1 ，+∞) 内单一递加，又 h(0)=h(1)=0 ，因此 h(x)=e x -x 2+(2-e)x-1 ≥0，当且仅当 x=1 时，取等号，即①式建立 .因此 f(x)-1>xln(x+1).封闭 Word 文档返回原板块。

一．基础题组1. 【2005江苏，理3】在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（ ）（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189【答案】C.【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C.,8421=⨯2. 【2009江苏，理14】设是公比为的等比数列，，令，{}n a q ||1q >1(1,2,)n n b a n =+= 若数列有连续四项在集合中，则= .{}n b {}53,23,19,37,82--6q 3. 【2009江苏，理17】设是公差不为零的等差数列，为其前n 项和，满足{}n a n S 。

222223457,7a a a a S +=+=（1）求数列的通项公式及前n 项和；{}n a n S （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项m 12m m m a a a ++{}n a【答案】（1）（2）．227,6,n n a n S n n =-=-2m =【解析】（1）设公差为，则，由性质得d 22222543a a a a -=-，因为，所以430a a +=，即，又43433()()d a a d a a -+=+0d ≠1250a d +=由得，解得，,77S =176772a d ⨯+=15a =-2d=(2) （方法一）=,设，w.w.w..c.o.m 12m m m a a a ++(27)(25)23m m m ---23m t -=则=, 所以为8的约数12m m m a a a ++(4)(2)86t t t t t --=+-t （方法二）因为为数列中的项，1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+{}n a 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以m+28a 2m a +2231,1,2m a m m +=-=±=即经检验，符合题意的正整数只有.2m =4. 【2010江苏，理8】函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a )处的切线与x 轴交点的横坐标2x 为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是__________．5. 【2011江苏，理13】设，其中成公比为的等比数列，7211a a a ≤≤≤= 7531,,,a a a a q 成公差为1的等差数列，则的最小值为642,,a a a q 【答案】．33【解析】由题意得，,2,1,1,,122222232q a a q q a a q a a ≥++≥≥+≥=≥要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，所以223+≥a q q 2a 2a ，.321223=+≥+≥a q 33≥q 6. 【2013江苏，理14】在正项等比数列{a n }中，，a 6＋a 7＝3.则满足512a =a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．【答案】12．【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝.51(12)13221232n n --=--∵，q ＝2，512a =∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝＝1.26a ∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 132取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随132着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12..7. 【2014江苏，理7】在各项均为正数的等比数列中，若，，则{}n a 21a =8642a a a =+的值是 .6a 【2016年高考江苏卷】已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，n a n S n 2123a a +=-5S则的值是 ▲ .9a 【答案】20【解析】由得，因此510S =32a =2922(2)33,23620.d d d a -+-=-⇒==+⨯=故【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及*1()(),(1,,,)22n m t n n a a n a a S m t n m n t ++==+=+∈N ().n m a a n m d =+-等二．能力题组1. 【2008江苏，理19】（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数12,,,n a a a n 4n ≥0d ≠列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当时，求的数值；4n =1a d（ii ）求的所有可能值．n （2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列n 4n ≥，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．12b b ，， ，n b项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有2a 132n n a a a a -⋅=⋅0≠d 1n a -，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，132n n a a a a -⋅=⋅0≠d 32,,n a a - 121n n a a a a -⋅=⋅这与矛盾。

普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页， 均为非选择题（第1题-第20题， 共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.作答试题， 必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答， 在其他位置作答一律无效。

5.如需作图， 须用2B 铅笔绘， 写清楚， 线条， 符号等须加黑加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑， 其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =， 其中S 是锥体的底面积， h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =， 其中S 是柱体的底面积， h 为高。

一、填空题：本大题共14小题， 每小题5分， 共计70分， 请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。

1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。

答案：π2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)， 则复数z 的模为 ▲ 。

答案：53、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。

答案：34y x =±4、集合{-1， 0， 1}共有 ▲ 个子集。

答案：85、右图是一个算法的流程图， 则输出的n 的值是 ▲ 。

答案：36、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）， 结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。

答案：27、现有某类病毒记作为m n X Y ， 其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取， 则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。

一．基础题组. 【江苏，理】设,则（）的展开式中的系数不可能是 ( )（）（）（）（）. 【江苏，理】四棱锥的条棱代表种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的个仓库存放这种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )（）（）（）（）. 【江苏，理】的展开式中含的正整数指数幂的项数是 ( )（）（）（）（）. 【江苏，理】今有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这个球排成一列有▲种不同的方法（用数字作答）. 【江苏，理】若对于任意的实数，有（）（）（），则的值为（）. 【江苏，理】某校开设门课程供学生选修，其中、、三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有种不同的选修方案.（用数值作答）. 【江苏，理】选修—几何证明选讲如图，设△的外接圆的切线与的延长线交于点，∠的平分线与交于点．求证：. 【江苏，理】选修—矩阵与变换在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵))对应的变换作用下得到曲线，求的方程. 【江苏，理】选修—参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．. 【江苏，理】选修—不等式证明选讲设，，为正实数，求证：. 【江苏，理】在平面上，若两个正三角形的边长的比为：，则它们的面积比为：，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为：，则它们的体积比为▲.. 【江苏，理】选修：几何证明选讲如图，在四边形中，△≌△.求证：∥.. 【江苏，理】选修：矩阵与变换求矩阵的逆矩阵.. 【江苏，理】选修：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数，）.求曲线的普通方程. 【江苏，理】选修：不等式选讲设≥＞,求证：≥.. 【江苏，理】是圆的直径，为圆上一点，过作圆的切线交延长线于点，若，求证：．. 【江苏，理】在平面直角坐标系中，已知点（，），（，），（，）．设为非零。

2020高考数学冲刺精选新题好题真题精练第2讲参数方程[考纲解读]了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点. 预测2020年将会考查：参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数□01⎩⎨⎧x＝f(t)，，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确y＝g(t)定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．1．概念辨析(1)直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos30°，y ＝1＋t sin150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( ) (2)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．小题热身(1)若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．答案 －32解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t ，所以3x ＋2y ＝7，此直线的斜率为－32.(2)椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案 45解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ消去参数θ，得椭圆x 225＋y 29＝1.所以a 2＝25，b 2＝9，c 2＝a 2－b 2＝16，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以离心率e ＝c a ＝45.(3)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．答案 y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．题型 一 参数方程与普通方程的互化1．求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．解 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α，得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解 如图，圆的半径为12， 记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．条件探究 把举例说明1中“曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)”改为“⎩⎨⎧x ＝1－sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ.”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标． 解 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得 y 2＝2－x .又因为x ＝1－sin2θ∈[0,2]，所以所求普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y 2＝2－x ，得⎩⎨⎧x ＝1＋52，y ＝1－52或⎩⎨⎧x ＝1－52，y ＝1＋52，又因为x ∈[0,2]，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，1－52.1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值．(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))； 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝φ(t ))，问题得解．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 将直线l 的参数方程化为普通方程，得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝－1.所以A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，B (4,4)．所以AB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－142＋(4＋1)2＝254. 题型 二 参数方程的应用角度1 利用参数方程解最值问题1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ∈[0,2π])，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 2π3，y ＝t sin 2π3(t 为参数)．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)求曲线C 1上一点P 到曲线C 2的距离的最大值． 解 (1)由题意知，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 29＝1，曲线C 2的普通方程为3x ＋y ＋23＝0.(2)设点P 的坐标为(cos α，3sin α)，则点P 到直线C 2的距离 d ＝|3cos α＋3sin α＋23|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋232，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1，即α＝π3时，d max ＝23， 即点P 到曲线C 2的距离的最大值为2 3. 角度2 参数几何意义的应用2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.1．设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0. 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．提醒：对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．1．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2，在以极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝35＋22t(t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知曲线W ：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数)，若M 为曲线W 上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝35＋22t(t 为参数)消去参数t ，得y ＝x ＋3 5.即直线l 的普通方程为x －y ＋35＝0. 因为ρ2＝x 2＋y 2，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由已知可设M (cos α，2sin α)(α为参数)， 则点M 到直线l 的距离 d ＝|cos α－2sin α＋35|2＝|5cos (α＋β)＋35|2(其中tan β＝2)， 所以点M 到直线l 的距离的最小值为35－52＝10.2．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值．解(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数，a ∈R )，∴曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )>0，即a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知 |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝8－8(1－4a )＝32a ＝8，∴a ＝2.题型 三 极坐标方程和参数方程的综合应用(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，3＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝6＋2cosα2，y＝2sinα2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x＝3＋cosα，y＝sinα(α为参数)，∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)， 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.。

一．基础题组1. 【2005江苏，理14】曲线在点（1,3）处的切线方程是 .31y x x =++【答案】4x-y-1=0.2. 【2006江苏，理15】对正整数n ，设曲线在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵)1(x x y n -=坐标为，则数列的前n 项和的公式是 .n a }1{+n a n【答案】2n+1-2．【解析】，曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n1(1)n n y nxn x -'=-+切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n =k(x-2),令x=0得 a n =(n+1)2n ,令b n =.数21n na n =+列的前n 项和为2+22+23+…+2n =2n+1-2.⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 3. 【2007江苏，理9】已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x ，有f （x ）≥0，则的最小值为)0()1(f f 'A.3 B.C.2D.2523【答案】C.【解析】∵f'（x ）=2ax+b ，∴f'（0）=b ＞0；∵对于任意实数x 都有f （x ）≥0，∴a＞0且b 2-4ac≤0，∴b 2≤4ac，∴c＞0；当a=c 时取等号．故选C ．4. 【2007江苏，理13】已知函数f （x ）=x 3－12x +8在区间一3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝__________.【答案】32．【解析】解：令f′（x ）=3x 2-12=0，得x=-2或x=2，列表得：可知M=24，m=-8，∴M-m=32．故答案为：32.5. 【2008江苏，理8】设直线是曲线的一条切线，则实数的b x y +=21)0(ln >=x x y b 值是___________.【答案】ln2－1．【解析】 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以'1y x=112x =2x =b ＝ln2－1．6.【2009江苏，理3】函数f(x)＝x 3－15x 2－33x+6的单调减区间为_____________________.【答案】(－1,11)．【解析】f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x+1),当x ＜－1或x ＞11时,f′(x)＞,f(x)单调递增;当－1＜x ＜11时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.7. 【2009江苏，理9】在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C:y ＝x 3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为___________________.8. 【2014江苏，理11】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点xoy 2by ax x=+,a b ，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .(2,5)P -P 7230x y ++=a b +=【答案】．3-【解析】曲线过点，则①，又，所以2b y ax x =+(2,5)P -452b a +=-2'2by ax x=-②，由①②解得所以．7442b a -=-1,2,a b =-⎧⎨=-⎩3a b +=-9. 【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边12l l ，界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式，并写出其定义域；()f t ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）①定义域为，②1000,0;a b ==()f t =[5,20]千米min ()t f t ==解得．10000a b =⎧⎨=⎩（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，21000y x =520x ≤≤P 21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭设在点处的切线交，轴分别于，点，，P l x y A B 32000y x '=-则的方程为，由此得，．l ()2310002000y x t t t -=--3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭故，．()f t ==[]5,20t ∈②设，则．令，解得()624410g t t t ⨯=+()6516102g t t t ⨯'=-()0g t '=t =二．能力题组1. 【2008江苏，理17】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设（rad ），将表示成的函数；BAO θ∠=y θ（ii ）设（km ），将表示成的函数；OP x =y x （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.【答案】（1）（i ）（ii ）2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．（2）点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域)010y x x =+≤≤内且距离AB km 处.令0 得sin ，因为，所以=，'y =12θ=04πθ<<θ6π当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'0y <y θ,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'0y >y θ所以当=时，.这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距θ6πmin 10y =+离AB km 处.2. 【2011江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x ＞0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M .过点P 作l 的垂线交y 轴于点N .设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．【答案】．2e +12e【解析】设点坐标为，由得，的方程为，P )0)(,(>m e m m x e x f =')(l )(m x e e y mm -=-令得，，过点的的垂线方程为，令得，0=x mmme e y -=P l )(m x e e y m m--=--0=x ，所以，令m m me e y -+=)(21m m m mme e me e t -++-=，对函数求导，当时，函数的最大值)(21)(m m m mme e me e m g -++-=)(m g 1=m )(m g 为.)(211-+e e 3. 【2011江苏，理17】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【答案】(1) 15 ，(2) x ＝20时，包装盒的高与底面边长的比值为.124. 【2012江苏，理18】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．【答案】(1) a＝0，b＝－3. (2) －2. (3) 9．【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.5. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数.),()(23R b a b ax x x f ∈++= （1）试讨论的单调性；)(x f （2）若（实数c 是a 与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，aa cb -=)(x f 的取值范围恰好是，求c 的值.),23()23,1()3,(+∞--∞ 【答案】（1）当时，在上单调递增；0a =()f x (),-∞+∞当时， 在，上单调递增，在上单调递减；0a >()f x 2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时， 在，上单调递增，在上单调递减．0a <()f x (),0-∞2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2） 1.c =又，所以当时，或当时，．b c a =-0a >34027a a c -+>0a <34027a a c -+<设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是()3427g a a a c =-+()f x a ，则在上，且在上()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (),3-∞-()0g a <331,,22⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 均恒成立，()0g a >从而，且，因此．()310g c -=-≤3102g c ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭1c =此时，，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，()2110x a x a +-+-=1-所以，且，()()22141230a a a a ∆=---=+->()()21110a a ---+-≠解得．()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上．1c =【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点三．拔高题组1. 【2010江苏，理20】设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．(1)设函数f (x )＝ln x ＋(x ＞1)，其中b 为实数．21b x ++①求证：函数f (x )具有性质P (b )；②求函数f (x )的单调区间．(2)已知函数g (x )具有性质P (2)，给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．当b ＞2时，解方程x 2－bx ＋1＝0得x 1x 2.因为x 1＜1，x 2＞1.2b 所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ＝x 2时，f ′(x )＝0.从而函①当m ∈(0,1)时，有α＝mx 1＋(1－m )x 2＞mx 1＋(1－m )x 1＝x 1，α＜mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，得α∈(x 1，x 2)，同理可得β∈(x 1，x 2)，所以由g (x )的单调性知g (α)，g (β)∈(g (x 1)，g (x 2))，从而有|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，符合题设．②当m ≤0时，α＝mx 1＋(1－m )x 2≥mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2≤(1－m )x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g (x )的单调性知g (β)≤g (x 1)＜g (x 2)≤g (α)，所以|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符．③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，进而得|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符．因此，综合①②③得所求的m 的取值范围为(0,1)．2. 【2011江苏，理19】已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx ，f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数．若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a ＞0，若f (x )和g (x )在区间－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围；(2)设a ＜0且a ≠B ．若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【答案】(1) 2，＋∞)， (2) .13【解析】解：f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋B ．(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在－1，＋∞)上恒成立．因为a ＞0，故3x 2＋a ＞0，进而2x ＋b≥0，即b≥－2x 在区间－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.因此b 的取值范围是2，＋∞)．(2)令f′(x)＝0，解得x ＝若b ＞0，由a ＜0得0∈(a，b)．又因为f′(0)g′(0)＝ab ＜0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上单调性不一致．因此b≤0.现设b≤0.当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0；当x ∈(－∞，时，f ′(x )＞0.因此，当x ∈(－∞，时，f ′(x )g ′(x )＜0.故由题设得a ≥且b ≥从而≤a ＜0，于是≤b ≤0.因此|a －b |≤，且当a ＝，b ＝0时等号成立．13-13-1313-又当a ＝，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x (x 2)，从而当x ∈(，0)时f ′(x )13-19-13-g ′(x )＞0，故函数f (x )和g (x )在(，0)上单调性一致．因此|a －b |的最大值为.13-133. 【2013江苏，理20】设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．(1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围；(2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只1x有一个零点．③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0，当1x x ＞a －1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e.当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在e －1，a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以1xf (x )在(0，a －1)上只有一个零点．4. 【2014江苏，理19】已知函数，其中是自然对数的底数.()x x f x e e-=+e （1）证明：是上的偶函数；()f x R （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；x ()1x mf x e m -≤+-(0,)+∞m （3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与a 0(1,)x ∈+∞3000()(3)f x a x x <-+1a e -的大小，并证明你的结论.1e a -【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当13m ≤-11()2e a e e+<<11a e e a --<时，，当时，．a e =11a e e a --=a e >11a e e a -->【解析】（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函()f x R ()()x x f x ee f x --=+=()f x 数．（2）由得，由于当时，，因此()1x mf x e m -≤+-(()1)1x m f x e --≤-0x >1x e >，即，所以，()2x x f x e e -=+>()110f x ->>11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211xx x e e e-=+-令，设，则，，∵，∴211x x xe y e e -=+-1x t e =-0t <21(1)11t t t y t t -+==+-0t <（时等号成立），即，，所以．12t t +≤-1t =-1213y≤--=-103y -≤<13m ≤-5,【2016年高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱1111P A B C D -1111ABCD A B C D -柱的高是正四棱锥的高的4倍.1OO 1PO （1）若则仓库的容积是多少？16m,2m,AB PO ==（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？6m 1PO（第17题）【答案】（1）312（2）1PO =【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函令，得 或（舍）.'0V =h =h =-当时， ，V 是单调增函数；0h <<0V'>当时，，V 是单调减函数.6h <<0V'<故V 取得极大值，也是最大值.h =因此，当m 时，仓库的容积最大.1PO =【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.。

2020年高考（江苏卷）数学附加题训练十二21.设旋转变换矩阵A＝0－110，若a b12·A＝34c d，求ad－bc的值．22.自极点O作射线与直线ρcosθ＝3相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12，若Q＝－1＋22t，＝2＋22t(t为参数)上一点，求PQ的最小值．23.平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M(x，y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x＝－1的距离等于1.(1)求曲线C的方程；(2)若直线y＝k(x＋2)与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补．24.已知数列{a n}满足a1＝23，12－a n－1a n－1＝a n－1－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，用数学归纳法证明：S n<n＋12－ln n＋3 2.数学附加题训练十二答案21.【解析】因为A ＝0－110，所以a b120－110＝34c d ，＝3，a ＝4，＝c ，1＝d ，即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.22.【解析】以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设P (ρ，θ)，M (ρ′，θ)，因为OM ·OP ＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.＝－1＋22t ，＝2＋22t (t 为参数)，得点Q 所在曲线的普通方程为x －y ＋3＝0，所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.23.【解析】(1)由题意得(x －2)2＋y 2－|x ＋1|＝1，即(x －2)2＋y 2＝|x ＋1|＋1.因为x ＞0，所以x ＋1＞0，所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，两边平方，整理得，曲线C 的方程为y 2＝8x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，2＝8x ，＝k (x ＋2)，消去y 并整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.由k F A ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k (x 1＋2)x 1－2＋k (x 2＋2)x 2－2＝k (x 1＋2)(x 2－2)＋k (x 1－2)(x 2＋2)(x 1－2)(x 2－2)＝2k (x 1x 2－4)(x 1－2)(x 2－2)，将x 1x 2＝4代入，得k F A ＋k FB ＝0，所以直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24.【解析】(1)因为n ≥2，由1a n －1＝2－a n －1a n －1－1，得1a n －1＝1－a n －1a n －1－1＋1a n －1－1，所以1a n －1－1a n －1－1＝－1，3，公差为－1的等差数列，所以1a n －1＝－n －2，所以a n ＝n ＋1n ＋2.(2)下面用数学归纳法证明：S n ＜n －ln n ＋32＋12.①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝23，右边＝32－ln2，因为e 3＞16，所以3lne ＞4ln2，所以ln2＜34，所以32－ln2＞32－34＝34＞23，所以命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k ＜k －ln k ＋32＋12，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＜k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3，要证S k ＋1＜(k ＋1)－lnk ＋1＋32＋12只要证k －lnk ＋32＋12＋k ＋2k ＋3＜(k ＋1)－ln k ＋1＋32＋12，只要证ln k ＋4k ＋3＜1k ＋3，即证＜1k ＋3，考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x ＞0)．因为x ＞0，所以F ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x ＜0，所以函数F (x )在区间(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )＜F (0)＝0，即ln(1＋x )＜x ，所以＜1k ＋3，所以当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n ＜n －ln n ＋32＋12.。

一．基础题组1. 【2005江苏，理2】函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（ ）（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-2. 【2005江苏，理15】函数y =的定义域为 .【答案】]1,43()0,41[⋃-【解析】由题意得：0)34(log 25..0≥-x x则由对数函数性质得：13402≤-<x x即⎪⎩⎪⎨⎧≤--<13434022x x x x ,求得函数的定义域为：]1,43()0,41[⋃-.3. 【2005江苏，理16】若3a=0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 【答案】 1.k =-【解析】如图观察分析指数函数y=3x的图象，函数值为0.168)0,1[-∈上，与3a=0.168, [,1): 1.a k k k ∈+=-比较得4. 【2005江苏，理17】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= .【答案】2【解析】由f(x)=x 2+4x+3, f(ax+b)=x 2+10x+24, 得：（ax+b ）2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24, 即：a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=24341042122b b a ab a求得：a=-1,b=-7, 或a=1,b=3，则5a-b=2.5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x-1，则有（ ）A.f （31）＜f （23）＜f （32）B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23）D.f （23）＜f （32）＜f （31）【答案】B 【解析】6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x+-12）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是（ ）A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞） 【答案】A 【解析】7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60].【答案】10sin 60tπ【解析】8. 【2009江苏，理10】.已知a =函数()xf x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 【答案】－1【解析】∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x，x ∈R .由题意知g (x )应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)， 又∵x ∈R ，∴g (0)＝0，则1＋a ＝0，∴a ＝－1.10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21 【解析】由012>+x ，得21->x ，所以函数的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21. 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()xx f 2=的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 .12. 【2011江苏，理11】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 .【答案】43-【解析】本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是A 级要求， 中档题.由题意得，当0>a 时，11,11<->+a a ，a a a a 2)1()1(2-+-=+-，解之得23-=a ，不合舍去；当0<a 时，11,11>-<+a a ，a a a a 2)1()1(2---=++，解之得43-=a .本题只要根据题意对a 分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错.要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识.13. 【2012江苏，理5】函数()f x =__________． 【答案】(0]【解析】要使函数()f x =612log 00x x -≥⎧⎨>⎩，，解得0，故f(x)的定义域为(0].14. 【2012江苏，理10】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间－1,1]上，f (x )＝1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R .若13()()22f f =，则a ＋3b 的值为__________．15. 【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得02m -<<． 16.【2016年高考江苏卷】函数y的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案应填：[]3,1- 【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起.17.【2016年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲. 二．能力题组1. 【2010江苏，理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝2()梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是__________．【答案】3【解析】设剪成的上一块正三角形的边长为x.则S222(3)3144x x =－－－－ (0＜x ＜1)， S2226206(1)x x x +－－－2226206(1)x x x +－－－， 令S ′＝0，得x ＝13或3(舍去)．x ＝13是S 的极小值点且是最小值点．tan tan sin cos sin cos sin (sin cos cos sin )tan tan sin cos sin cos sin sin cos C C C S C B C B A B A A B A C B C A B C⋅⋅++=+=⋅⋅⋅⋅ ∴S min＝21(3)313319=－－. 2. 【2012江苏，理17】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013江苏，理13】在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为__________．4. 【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．5. 【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为三．拔高题组1. 【2005江苏，理22】已知,a R ∈函数2().f x x x a =- （Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间1,2]上的最小值.【答案】（Ⅰ）}.21,0{+（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=;37,1;372),2(4;21,0;1,1时当时当时当时当a a a a a a a m【解析】(Ⅰ)由题意,f(x)=x2.2-x 当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;当x .21,)2()(,22+==-=≥x x x x x f 解得时综上所述,所求解集为}.21,0{+.(Ⅱ)设此最小值为m.①当.)(]21[123ax x x ，f ，，a -=≤上在区间时 因为:),2,1(,0)32(3223)(/∈>-=-=x a x x ax x x f则f(x)是区间1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..2. 【2006江苏，理20】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ). （Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t ) （Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1()(a g a g =的所有实数a【答案】（Ⅰ）m (t)=21,2at t a t +-∈（Ⅱ）2,1(),2a g a a a ⎧+⎪⎪=--⎨121,222a a a >--<<-≤-（Ⅲ）,2a ≤≤-或a=1综上有2,1(),2a g a a a ⎧+⎪⎪=--⎨121,22a a a >--<<-≤1()g a=12a a a a --==>解得与. 情形5：当102a -<<时，12a <-，此时g(a)=a+2, 1()g a=由2a +=12,2a a =>-与矛盾.情形6：当a>0时，10a >，此时g(a)=a+2, 11()2g a a=+由1221a a a+=+=±解得，由a>0得a=1.综上知，满足1()()g a g a=的所有实数a为2a ≤≤-或a=1. 3. 【2007江苏，理21】已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数f （x ）=bx 2+cx +d ，g （x ）=ax 2+bx 2+cx +d .方程f （x ）=0有实数根，且f （x ）=0的实数根都是g （f （x ））=0的根；反之，g （f （x ））=0的实数根都是f （x ）=0的根. （1）求d 的值；（3分）（2）若a =0，求c 的取值范围；（6分）（3）若a =l ，f （1）=0，求c 的取值范围.（7分） 【答案】（1）d =0.（2）0，4）.（3）0，316）（3）由a=1，f （1）=0得b = -c ，f （x ）=bx 2+cx =cx （-x +1），g （f （x ））=f （x ）f 2（x ）-cf （x ）+c ]. ③由f （x ）=0可以推得g （f （x ））=0，知方程f （x ） =0的根一定是方程g （f （x ））=0的根. 当c=0时，符合题意.当c≠0时，b≠0，方程f （x ）=0的根不是方程f 2（x ）-cf （x ）+c =0 ④ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么当（-c ）2-4c ＜0，即0＜c ＜4时，f 2（x ）-cf （x ）+c >0，符合题意. 当（-c ）2-4c ≥0，即c ＜0或c ≥4时，由方程④得f （x ）=-cx 2+cx =242c c c -±，即cx 2–cx +242c c c -±=0， ⑤则方程⑤应无实数根，所以有（-c ）2-4c 242c c c -+＜0且（-c ）2-4c 242c c c --＜0.当c ＜0时，只需-c 2-2c c c 42-＜0，解得0＜c ＜316，矛盾，舍去. 当c≥4时，只需-c 2+2c c c 42-＜0，解得0＜c ＜316.因此，4≤c ＜316.综上所述，所示c 的取值范围为0，316）.4. 【2008江苏，理20】已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【答案】（1）123log 2p p -≤；（2）2ab -再由111113,()3,p x x p x p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1）解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12031log 222p p x +=+ ⑴显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<， 这表明0x 在1p 与2p 之间.由⑴易知 101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩综上可知，在区间[,]a b 上，0102(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2）5. 【2009江苏，理19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35AB m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析； (2) 20,12BA m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度不能 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.满分16分. (1)当35A B m m =时，h ==甲h ==乙h 甲=h 乙（3）由（2）知：0h=5由0h h ≥=甲得：12552A B A Bm m m m ++⋅≤， 令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤.同理，由0h h ≥=乙得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、141x x +∈+∈5、1+4y [2,5],、1+y [,2],255(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号.所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 6. 【2009江苏，理20】设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.（1）若(0)1f ≥，则2||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩ （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩（3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-当22a a ≤-≥时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；当a <<>0,得：(0x x x a⎧⎪≥⎨⎪>⎩讨论得：当22a ∈时，解集为(,)a +∞;当(,22a ∈--时，解集为()a ⋃+∞;当[a ∈时，解集为)+∞.7.【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分） 已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2a b ==. ①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 所以2(())4()f x m f x +≤对于x ∈R 恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又02x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充神笛2005神笛2005。