2.1.2直线的方程3教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版

2.1.2直线的方程(三)——一般式【课时目标】1．掌握直线方程的一般式．2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系．1．关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B____________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式形式方程局限各常数的几何意义点斜式不能表示k不存在的直线(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率斜截式不能表示k不存在的直线k是斜率，b是y轴上的截距两点式x1≠x2，y1≠y2(x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点截距式不能表示与坐标轴平行及过原点的直线a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距一般式无当B≠0时，－AB是斜率，－CB是y轴上的截距一、填空题1．经过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为____________．2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．3．若a＋b＝1，则直线ax＋by＋1＝0过定点________________________________．4．直线l1：2x＋y＋5＝0的倾斜角为α1，直线l2：3x＋y＋5＝0的倾斜角为α2；直线l3：2x－y＋5＝0的倾斜角为α3，直线l4：3x－y＋5＝0的倾斜角为α4，则将α1、α2、α3、α4从小到大排列排序为____________．5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是______(填序号)．6．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________．7．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是________．8．已知直线kx＋y＋2＝0和以M(－2,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为________．9．已知两直线：a1x＋b1y＋7＝0，a2x＋b2y＋7＝0，都经过点(3,5)，则经过点(a1，b1)，(a2，b2)的直线的方程是______________．二、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值．(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1．能力提升12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．13．对直线l上任一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)仍在此直线上，求直线方程．1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法：一是令x＝0，y＝0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C(C≠0)，再整理即可．2．1．2 直线的方程(三)——一般式知识梳理1．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为0 2．1．3x －y －1＝0 2．3解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去)． 3．(－1，－1) 4．α3<α4<α2<α1 5．③解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得③．6．y ＝－12x －3 x －6＋y－3＝1．7．m≠1解析 由题意知，2m 2＋m －3与m 2－m 不能同时为0，由2m 2＋m －3≠0得m≠1 且m≠－32；由m 2－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1．8．k≤－43或k≥32解析如图，直线kx ＋y ＋2＝0过定点P(0，－2)，由k PM ＝1＋2－2＝－32，k PN ＝2＋23＝43，可得直线kx ＋y ＋2＝0若与线段MN 相交，则有－k≥43或－k≤－32，即k≤－43或k≥32．9．3x ＋5y ＋7＝0解析 依题意得3a 1＋5b 1＋7＝0，且3a 2＋5b 2＋7＝0，∴(a 1，b 1)，(a 2，b 2)均在直线 3x ＋5y ＋7＝0上，故过这两点的直线方程为3x ＋5y ＋7＝0． 10．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，即2x ＋y －3＝0． (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1， 即x ＋3y ＋3＝0． 11．解 (1)由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3. ②由①可得m≠－1，m≠3．由②得m＝3或m＝－53．∴m＝－53．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m2＋m－1≠0，③－m2－2m－32m2＋m－1＝－1. ④由③得：m≠－1，m≠12，由④得：m＝－1或m＝－2．∴m＝－2．12．解(1)将直线l的方程整理为y－35＝a(x－15)，∴l的斜率为a，且过定点A(15，35)．而点A(15，35)在第一象限，故l过第一象限．∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．(2)直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3．∵l不经过第二象限，∴a≥3．13．解设直线方程Ax＋By＋C＝0，∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，整理得(4A＋B)x＋(2A＋3B)y＋C＝0，∴上式也是l的方程，当C≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧A＝4A＋B，B＝2A＋3B，∴A＝B＝0，此时直线不存在；当C＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－AB＝－4A＋B2A＋3B，∴A＝B或B＝－2A，所以所求直线方程为x＋y＝0或x－2y＝0．。

人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）3.2 直线的方程教案 A第1课时教学内容：3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程教学目标一、知识与技能1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；4.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.二、过程与方法经历点斜式方程的推导过程，通过对比理解“截距”与“距离”的区别．在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.三、情感、态度与价值观通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：直线的点斜式方程、斜截式方程与两点式方程.教学难点：直线的点斜式方程、斜截式方程与两点式方程的应用.教学关键：抓住各种方程的形式及各种形式方程的量，熟悉求出这些量的方法，并能应用直线方程的各种形式写出直线的方程.教学突破方法：首先创设情景，通过引导学生探究能够确定一条直线的条件，并利用这些条件写出直线的四种形式的方程，通过例题及适量的练习进行巩固和提高.教法与学法导航教学方法：问题教学法、讨论法.通过问题的引入，激起学生对直线方程写法探究的兴趣，总结其规律.学习方法：自主学习，自主探究讨论，合作交流，练习巩固.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）.学生准备：直线与一次函数的关系、练习本.教学过程详见下页表格．1教师备课系统──多媒体教案2 教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？学生回顾，并回答.然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x，y）满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成2．直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k.设点P（x，y）是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0，y0之间的关系.学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，y ykx x-=-，即y–y0 = k（x–x0）（1）老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x，y）满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.3．（1）过点P0（x0，y0），斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？学生验证，教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0（x0，y0），斜率为k的直线l上吗？学生验证，教师引导.然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程适用范围.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）3续上表5．（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P 0 （x 0， y 0）且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点P 0 （x 0， y 0）且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例6．例1 直线l 经过点P 0 （– 2，3），且倾斜角 = 45° . 求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目哪些条件已经直接给予，哪些条件还有待去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画. 例1 【解析】直线l 经过点P 0 （–2，3），斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得 y – 3 = x + 2 画图时，只需再找出直线l 上的另一点P 1 （x 1，y 1），例如，取x 1= –1，y 1 = 4，得P 1 的坐标为（– 1，4），过P 0 ，P 1的直线即为所求，如上图.学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件： （1）一个定点； （2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.x y6 421–1 –2 0 P 0 P 1教师备课系统──多媒体教案4续上表概念深化7．已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0， b ），求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程：y = kx + b （2） 在此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵. 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是其中一种特殊的情形.8．观察方程y = kx + b ，它的形式具有什么特点？ 学生讨论，教师及时给予评价. 深入理解和掌握斜截式方程的特点.9．直线y = kx + b 在x 轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价. 使学生理解“截距”与“距离”的区别.方法探究 10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b ？一次函数中k 和b 的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x ，y = –x + 3图象的特点吗？ 学生思考、讨论，教师评价.归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 应用举例11．例2 已知直线l 1：y = k 1 + b 1，l 2：y 2 = k 2 x + b 2 . 试讨论： （1）l 1∥l 2的条件是什么？ （2）l 1⊥l 2的条件是什么？ 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考（1）l 1∥l 2时，k 1，k 2；b 1，b 2有何关系？（2）l 1⊥l 2时，k 1，k 2；b 1，b 2有何关系？在此由学生得出结论；l 1∥l 2⇔k 1 = k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1k 2 = –1. 例2 【解析】（1）若l 1∥l 2，则k 1 = k 2，此时l 1、l 2与y 轴的交点不同，即b 1 = b 2；反之，k 1 = k 2，且b 1 = b 2时，l 1∥l 2 .于是我们得到，对于直线l 1：y = k 1x + b 1，l 2：y = kx + b 2 l 1∥l 2⇔k 1 = k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1k 2 = –1. 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k ，b 的几何意义.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）5续上表概念的 形成 概念的 深化12.根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）)1(232-=-x y ，（2）211121().y y y y x x x x --=--13.当21y y ≠时，方程可以写成1112122121(,).y y x x x x y y y y x x --=≠≠--由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少种方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程：1.x ya b+= 14.a b ，的几何意义是什么？什么是截距式方程？教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC 所在的直线方程和该边上中线所在的直线方程.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.1. 利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ，求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程.2. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？3. 例3 教学已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程.4. 例4教学已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C（0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律.使学生在已有的知识基础上获得新结论，以温故知新.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.使学生会根据条件选择恰当的直线方程解决问题.教师备课系统──多媒体教案6续上表小结 教师引导学生概括：直线方程四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解.学生归纳后老师补充．使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.课堂作业1. 求倾斜角是直线31y x =-+的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程是：（1）经过点(3,1)-； （2）在y 轴上的截距是–5.【解析】∵直线31y x =-+的斜率3k =， ∴其倾斜角α=120°，由题意，得所求直线的倾斜角11304αα==，故所求直线的斜率13tan 303k ==.（1）∵所求直线经过点(3,1)-，斜率为33， ∴所求直线方程是31(3)3y x +=-，即3360x y --=. （2）∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为–5， ∴所求直线的方程为353y x =-，即33150x y --=. 2. 直线l 过点P （–2，3）且与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】设直线l 的斜率为k ，∵直线l 过点（–2，3），∴直线l 的方程为y – 3 = k [x – （–2）]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0，得32x k=--. ∴A 、B 两点的坐标分别为A 3(2,0)k--，B （0，2k + 3）. ∵AB 的中点为（–2，3），∴32023.2202332k k k ⎧--+⎪=-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解之得，人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）7∴直线l 的方程为33(2)2y x -=+，即直线l 的方程为3x – 2y +12 = 0.3. 已知∆ABC 三个顶点坐标A （-1，8）、B （6，4）、C （0，0），求与BC 边平行的∆ABC 的一条中位线所在直线的方程．【解析】 设AB 、AC 边的中点分别为E 、F ，则EF 即为所求直线.由中点坐标公式可得E （25，6）、F （21-，4）， 由直线方程的两点式可得直线EF 的方程为252125646---=--x y ， 即为2x -3y+13=0.第2课时教学内容：3.2.3 直线的一般式方程 教学目标一、知识与技能1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 二、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题. 三、情感、态度与价值观1. 认识事物之间的普遍联系与相互转化；2. 用联系的观点看问题． 教学重点、难点教学重点：直线方程的一般式.教学难点：对直线方程一般式的理解与应用.教学关键：通过直线一般式方程与其他形式方程的互化，理解在直线的一般式方程条件下，直线平行与垂直的条件.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固. 教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法.教师围绕直线方程的一般式提出一系列有针对性的问题，要求学生思考并回答.通过一定的练习对本节知识达到巩固和提高的目的.学习方法：自主探究，合作交流.学生通过思考并回答教师所提出的问题，达到对教师备课系统──多媒体教案8直线方程一般式的理解应用. 教学准备教师准备：多媒体幻灯片.学生准备：回顾初中所学的二元一次方程及其解的概念. 教学过程问 题设计意图 师生活动1.（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？使学生理解直线和二元一次方程的关系.教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程.对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式.为此要对B 分类讨论，即当0≠B 时和当B=0时两种情形进行变形.然后由学生去变形判断，得出结论： 关于y x ,的二元一次方程，它都表示一条直线.教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个y x ,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）.2. 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线方程一般式与其他形 式的不同点.学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与y 轴垂直的直线.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）9续上表3. 在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合.使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响. 教师引导学生回顾前面所学过的与x 轴平行和重合、与y 轴平行和重合的直线方程的形式.然后由学生自主探索得到问题的答案.4. 例5 教学 已知直线经过点A （6，-4），斜率为43-，求直线的点斜式和一般式方程. 使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点. 学生独立完成，然后教师检查、评价、反馈.指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特别加以要求时，直线方程的结果写成一般式.5. 例6 教学把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法.先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书.然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率和直线在y 轴上的截距.求直线与x 轴的截距，即求直线与x 轴交点的横坐标，为此可在方程中令y =0，解出x 值，即直线在x 轴的截距.在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两个坐标轴的交点. 6. 二元一次方程的每一个解与坐标平面中的点有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？ 使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解.教师备课系统──多媒体教案10续上表7. 课堂练习第105练习第2题和第3（2）. 巩固所学知识和方法. 学生独立完成，教师检查、评价.8. 小结使学生对直线方程的理解有一个整体的认识.（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系. （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围.（3）求直线方程应具有多少个条件？ （4）学习本节用到了哪些数学思想方法？课堂作业1. 直线3x +y +1=0与x 轴的夹角为 ，与y 轴的夹角为 .【解析】其斜率为-3，倾斜角为120°，所以直线与x 的夹角为60°，与y 轴的夹角为30°.2. 已知两点A （2，2）， B （-2，4），则线段AB 的垂直平分线方程为 ．【解析】AB 中点为（0，3），AB 斜率为21-，则AB 的垂直平分线的斜率为2，其方程为y =2x +3.3. 已知直线2x -y +4=0， 则其斜率 ，与x 轴的交点坐标为 . 【解析】k=2， （-2，0）.4. 直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.【解析】（1）当A ≠0，B ≠0时，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0时，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）教案 B第1课时教学内容：3.2.1 直线的点斜式方程教学目标一、知识与技能1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.二、过程与方法经历在已知直角坐标系内确定一条直线的点斜式方程的过程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别.三、情感、态度与价值观通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：推导直线点斜式方程的过程.教学过程一、情境引入1.情境1：过定点P（x0，y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？2.问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？二、新课教学（一）点斜式方程1.学生思考、讨论问题1.学生可能的回答：（1）两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；（4）直线在x轴和y轴上的截距（学生没有学过直线在x轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）.2.建构数学问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l.（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？直线上的任意一点P（x，y）（除P1点外）和P1（x1，y1）的连线的斜率是一个不11教师备课系统──多媒体教案12变量，即为k ，即：11x x y y k --=， 即y -y 1=k （x -x 1） （1）学生在讨论的过程中：（1） 强调P （x ，y ）的任意性.（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与.问题3：（1）P 1（x 1，y 1）的坐标满足方程吗？（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上.让学生感受直线的方程和方程的直线的意义. 如此，我们得到了关于x ，y 的一个二元一次方程.这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，今后称其为直线的点斜式方程.3. 数学运用例1 一条直线经过点P 1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程. 【解析】由直线的点斜式方程得y -3=2（x +2），即2x -y +7=0. 变1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o ”，求这条直线的方程； 变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o ，这条直线的方程是什么？ 例2 已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是P （0，b ），求直线l 的方程. 【解析】根据直线的点斜式方程，得直线l 的方程为y -b =k （x -0），即y =kx +b . （二）斜截式方程如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0，b ），代入直线的点斜式方程：y －b ＝k （x －0），即y ＝kx ＋b （2）几何意义：k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距.我们把直线l 与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标b 叫直线l 在y 轴上的截距.方程（2）由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程（2）叫直线的斜截式方程，简称斜截式.例3 已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，试讨论：（1）l 1∥l 2的条件是什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？【解析】（1）l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2，且b 1＝b 2. （2）l 1⊥l 2⇔ k 1k 2＝-1.思考：y ＝kx ＋b 是我们学过的一次函数的表达式，它的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度去认识一次函数？k 和b 的几何意义是什么？说一说函数y =2x －1，y ＝3x ，y ＝-x ＋3的图象特点. 三、小结（1）本节课我们学过哪些知识点；人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）13（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 四 布置作业P95练习：1，2，3，4.P100习题3.2 A 组：1，5，6，10.第2课时教学内容：3.2.2 直线的两点式方程 教学目标一、知识与技能1. 掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 二、过程与方法在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.三、情感、态度与价值观认识事物之间的普遍联系与相互转化；学会用联系的观点看问题. 教学重点、难点：教学重点：直线方程两点式.教学难点：两点式推导过程的理解. 教学过程一、复习回顾师:上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，这一节，我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式.二、讲授新课1. 直线方程的两点式:1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标.推导:因为直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，并且21x x ≠，所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式，教师备课系统──多媒体教案14得 )(112121x x x x y y y y ---=-.当21y y ≠，时，方程可以写成112121y y x x y y x x --=--． 说明：①这个方程由直线上两点确定；②当直线没有斜率（21x x =）或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.2. 直线方程的截距式:1=+bya x ，其中a ，b 分别为直线在x 轴和y 轴上的截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式;②截距式的推导由例1给出. 三、例题讲解例1 已知直线l 与x 轴的交点为（a ，0），与y 轴的交点为（0，b ），其中a ≠0，b ≠0，求直线l 的方程.【解析】因为直线l 经过A （a ，0）和B （0，b ）两点，将这两点的坐标代入两点式，得:.1,000=+--=--bya x a a xb y 就是 说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.例2 三角形的顶点是A （-5，0）、B （3，-3）、C （0，2），求这个三角形三边所在直线的方程.【解析】直线AB 过A （-5，0）、B （3，-3）两点，由两点式得0(5)303(5)y x ---=----，整理得：01583=++y x ，即直线AB 的方程. 直线BC 过C （0，2），斜率是3530)3(2-=---=k ，由点斜式得:52(0)3y x -=--，整理得:0635=-+y x ，即直线BC 的方程.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）15直线AC 过A （-5，0），C （0，2）两点，由两点式得:0(5)200(5)y x ---=---，整理得：01052=+-y x ，即直线AC 的方程.说明：例2中用到了直线方程的点斜式与两点式，说明求解直线方程的灵活性，应让学生引起注意.四、课堂小结1. 请学生归纳直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系.2. 师生讨论比较各种直线方程的形式特点和适用范围.3. 求直线方程应具有多少个条件？4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 五、布置作业P99、100练习：1，2.P101习题3.2B 组：1，2，5.第3课时教学内容：3.2.3 直线的一般式方程 教学目标一、知识与技能1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 二、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题. 三、情感、态度与价值观认识事物之间的普遍联系与相互转化；用联系的观点看问题. 教学重点、难点教学重点：直线方程的一般式.教学难点：对直线方程一般式的理解与应用. 教学过程：一、创设问题情境，导入新课 1．求过点（2，1），斜率为1的直线的方程，并观察方程属于哪一类？2．当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角α＝90°时，直线的方程怎样表示？ 二、探究新知，师生互动 1．一般式（1）直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程教师备课系统──多媒体教案16在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在90α≠和90α=两种情况下，直线方程可分别写成y kx b =+及1x x =这两种形式，它们又都可变形为0=++C By Ax 的形式，且,A B 不同时为0，即直线的方程都是关于,x y 的二元一次方程．（2）关于,x y 的二元一次方程的图形是直线因为关于,x y 的二元一次方程的一般形式为0=++C By Ax ，其中,A B 不同时为0．在0B ≠和0B =两种情况下，一次方程可分别化成BC x B A y --=和A C x -=，它们分别是直线的斜截式方程和与y 轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．这样我们就建立了直线与关于,x y 二元一次方程之间的对应关系．我们把0=++C By Ax （其中,A B 不同时为0）叫做直线方程的一般式．一般地，需将所求的直线方程化为一般式． 三、拓展创新，应用提高例1 已知直线过点(6,4)A -，斜率为43-，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．【解析】经过点(6,4)A -且斜率43-的直线方程的点斜式44(6)3y x +=--，化成一般式，得： 43120x y +-=， 化成截距式，得：134x y+=． 练习：根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：经过点A （8，－2），斜率是－12；经过点B （4，2），平行于x 轴； 经过点P （3，－2），Q （5，－4）；在x 轴，y 轴上的截距分别是32，－3.例2 求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴，y 轴上的截距，并作图．。

必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1。

2子集、全集、补集1。

3交集、并集第二章函数2。

1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2。

5函数与方程2。

6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1。

1空间几何体1。

2点、线、面之间的位置关系1。

3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2。

2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1。

4算法案例第二章统计2。

1抽样方法2。

2总体分布的估计2。

3总体特征数的估计2。

4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3。

2古典概型3。

3几何概型3.4互斥事件必修四第一章三角函数1。

1任意角、弧度1。

2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2。

2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2。

4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3。

1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3。

3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1。

2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用第二章2.1数列2。

2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式3。

3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1。

2充分条件与必要条件1。

3简单的逻辑联结词1。

4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2。

1椭圆2。

2双曲线2。

3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3。

2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1。

1回归分析的基本思想及其初步应用1。

2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2。

1合情推理与演绎推理2。

2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3。

2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2—1第一章常用逻辑用语1。

直线的方程教学设计
教学目标：
1了解直线的参数方程的推导过程，进一步理解参数方程的重要性；
2体会参数方程在解题中的应用；
3通过本节学习，进一步明确求曲线的参数方程的一般步骤
教学重点：
直线的参数方程的推导过程及其参数方程在解题中的应用
教学难点：
直线的参数方程的推导过程
授课类型：
新授课
教学过程：
一、复习引入：
我们学过的直线的普通方程都有哪些？
1点斜式：2斜截式：
3两点式：4截距式：
5一般式：
二．新课讲解：
经过点M00，0，倾斜角为α的直线的普通方程是-0=tanα-0，怎样建立直线的参数方程呢？
经过点M00，0，倾斜角为α的直线的参数方程是
思考：参数方程中t的几何意义是什么？三．例题讲解
探究：
思考：
例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点〞改为“三等分点〞，直线的方程怎样求？
处生成，并以40m/以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？
思考：
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？
如果台风侵袭的半径也发生变化比方：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大，那么问题又该如何解决？
四．课堂小结：
本节课主要学习了直线的参数方程及其参数方程在解题中的应用
五．作业布置：。

2．1．2 直线的方程一、双基诊断1．过点（2，-3），且与y 轴平行的直线的方程是 。

2．已知直线y=kx+b 经过第二、三、四象限，则 （ ）A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＞0，b ＞0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 3．已知两点A(a,b),B(b,a),其中a ≠b ，则直线AB 的方程为 （ ）A ．x +y-a -b=0B ．x +y+a -b=0C ．x -y-a -b=0D ．x -y+a -b=0 4．直线y=k(x+1)+2经过的定点是 （ ） A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（-1，-2）5．若不管t 取怎样的实数，点（-1+4t ，2+3t ）均在同一条直线上，这条直线的方程是1． 基本内容直线方程有5种不同的形式（1）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)，点斜式方程表示经过点(x 0，y 0)且不垂直于x 轴的直线。

用点斜式表示直线方程的前提条件是直线的斜率必须存在。

（2）斜截式：y=kx+b ，斜截式方程是点斜式方程的特例，即该点必须取在y 轴上。

用斜截式表示直线方程的条件也是直线的斜率必须存在。

关于直线在y 轴上的截距b ，就是直线与y 轴交点的纵坐标，因此b 的取值范围为R ，它可以取正，取负，也可取0。

截距不是距离，因距离是非负的，而截距的取值是任意的。

相对于直线在y 轴上的截距，也有直线在x 轴上的截距a ，同样的直线方程可写为x=my+a ，它回避一类垂直于x 轴的直线，但不能表示重合或平行于y 轴的直线，它具有同直线斜截式一样的优越性。

（3）两点式：y -y 1y 2-y 1 = x -x 1x 2-x 1 ，由于x 1≠x 2，y 1≠y 2，故两点式方程不能表示垂直于坐标轴（含x 轴与y 轴）的直线。

当x 1=x 2时，直线方程为x= x 1（= x 2）；当y 1=y 2时，直线方程为y= y 1（= y 2）。

2.1.2 直线的方程（2）学习目标（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

问题导学问题1点斜式方程和斜截式方程的形式及适用范围－1，3，B 1，1的坐标，写出直线方程学生活动探究：若直线经过两点P 1（1，1），P 2（2，2）（1≠2），点P 在直线上运动，那么点P 的坐标，满足什么样条件？ 直线的斜率为1212x x y y k --=，由直线的点斜式方程，得，当1≠2时，方程可以写成，这个方程是由直线上两点确定的．建构数学1直线的两点式方程：一般地，设直线经过点P 11，1，P 22，2，则方程叫做直线的两点式方程．思考：（1）两点式方程使用的范围？例1已知直线经过两点Aa ，0，B 0，b ，其中ab ≠0，求直线的方程．2直线的截距式方程：在上面例1中，我们称b 为直线在轴上的截距，a 称为直线在轴上的截距．这个方程由直线在轴和轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫做直线的截距式方程．例2已知三角形的顶点是A－5，0，B3，－3，C0，2，试求这个三角形三边所在直线的方程．例3已知直线过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．练习：的方程．1 经过两点P11，2，P23，5；2 经过两点P11，3，P22，3；3 经过两点P13，2，P23，1；4 经过两点P13，0，P2021．2求满足下列条件的直线方程．1直线在轴上的截距为3,与轴的交点为（0,2）；2直线过点-3,4，在轴上的截距为3；3直线过点1,5，在轴上的截距为631直线经过点5，2，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．2已知直线经过点P5，2，且直线在，轴上的截距互为相反数，求直线的方程．3直线经过点5，2，且与两坐标轴围成等腰三角形，求直线的方程．反思。

直线的方程（1） 导学案学习目标1. 理解直线方程的含义；2. 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，会求直线的点斜式方程和斜截式方 程；3. 了解直线的点斜式方程和斜截式方程适用的条件；4. 体会特殊与一般的关系。

课前准备若三点()4,3A ,()6,5B ,(),4C a 在同一直线上，则a 的值为 。

课堂学习一、重点难点重点：直线的点斜式方程、斜截式方程的形式，根据条件熟练的写出直线的方程。

难点：直线的方程的含义，直线的点斜式方程与斜截式方程适用的条件。

二、知识建构问题1：直线l 经过点(1,3)A -，(0,1)B ，则（1）直线l 的斜率是 ；（2）当(,)P x y 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 应满足什么条件？ 问题2：直线l 上所有点的坐标都满足这个条件吗？以满足这个条件的所有实数对(,)x y 为坐标的点都在直线l 上吗？问题3：直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k ，直线l 上所有的点的坐标满足 。

直线方程概念：直线l 上的每个点（包括点()111,P x y 的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上。

直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的点斜式方程是 。

思考：（1）直线l 经过点111(,)P x y 的倾斜角为0，直线l 的方程是 ； （2）直线l 经过点111(,)P x y 的倾斜角为90，直线l 的方程是 。

直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标称为直线l 在y 轴上的 。

直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线l 的截距式方程为 。

三、典型例题例1．一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线方程。

例2．直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程。

例3．（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。

2.1.2 直线的方程（1）教学目标：1•掌握点斜式直线方程，能根据条件求出直线方程；2•感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3•掌握斜截式方程是点斜式的一种特殊情况，并理解其中参数的几何意义.教材分析及教材内容的定位：点斜式方程的推导蕴含了求轨迹方程的思想，应该向学生渗透，这对于后继的学习有帮助；从点斜式到斜截式实际上是从一般到特殊；通过本节课的学习应明确：求直线的方程只需要两个独立的条件.教学重点：本节课的重点是点斜式直线方程的求解.教学难点：理解直线方程与直线的对应关系.教学方法：合作交流.教学过程：一、问题情境1•复习回顾：（1）直线的斜率；（2）直线的倾斜角.2•问题情境：（1）已知直线I过点A—1, 3）且斜率为一2,试写出直线上另一点B的坐标.（2）问题：这样的点唯一吗？它们的共同点是什么呢？本节课研究的问题是：――如何写出直线方程？一一两个要素（点与方向）.――已知直线上的点的坐标和直线的斜率，如何描述直线上点的坐标的关系？二、学生活动探究：若直线I经过点A—1, 3)，斜率为—2，点P在直线I上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么样条件？当点Rx，y)在直线I上运动时(除点A外)，点P与定点A( —1，3)所确定的直线的斜率等于—2，故有_y_3=—2,即y—3=—2[x—( —1)].x ( 1)显然，点A—1, 3)的坐标也满足此方程.因此，当点P在直线I上运动时，其坐标(x, y)满足2x+ y—1 = 0.反过来，以方程2x+ y—1= 0的解为坐标的点都在直线I 上.三、建构数学直线的点斜式方程.一般地，直线I经过点R(X1，yj，斜率为k，设I上任意一点P的坐标为(x，y).当点Rx，y)(不同于点R)在直线I上运动时，PR的斜率恒等于k，有y y1= k，x x1即y—y1= k(x—X1).方程y—y= k(x —x"叫做直线的点斜式方程.说明：(1)可以验证，直线I上的每个点(包括点R)的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线I上；(2)此时我们给出直线的一对要素：直线上的一个点和直线的斜率，从而可以写出直线方程；(3)当直线I 与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为I上每一点的横坐标都等于X1，所以它的方程是x = X1.四、数学运用例1已知一直线经过点P( —2, 3)，斜率为2，求这条直线的方程.例2已知直线I的斜率为k，与y轴的交点是P (0, b),求直线I的方程. 直线的斜截式方程y= kx + b：直线I的方程由直线的斜率和它在y轴上的截距确定.练习：1.求下列直线的方程：(1)在y轴上的截距为一1,斜率为4 ； (2)过点耳一•、2 , 2)，倾斜角为30°；(3)过点C(4，—2)，倾斜角为0°; (4)过点D( —1 , 0)，斜率不存在.2.若一直线经过点R1 , 2)，且斜率与直线y=—2x + 3的斜率相等，则该直线的方程是.3.下列图象，能作为直线y = k(x+ 1)( k >0)的图象的是( )A B C D4.已知直线I经过点F(1 , 2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线I的方程.35.已知直线I的斜率为一Y ,且与两坐标轴所围成的三角形的周长为12,求直线I的4方程.五、要点归纳与方法小结直线方程的解与直线上的点的关系？——--- 对应.如何利用直线上的点和斜率写出直线方程？点斜式和斜截式.。

2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。

高中数学必修2教案苏教版
教学重点：直线与平面的位置关系、直线与平面的夹角关系。

教学难点：直线与平面的方程。

教学准备：教材、教学课件、黑板、教具等。

教学步骤：
一、导入：通过引入一个实际生活中的问题来引起学生的兴趣，如：一个飞机在空中飞行时，飞机的飞行轨迹与地面的关系是怎样的呢？
二、讲解直线与平面的位置关系：首先，向学生介绍直线与平面的基本概念，然后讲解直线与平面的相互位置关系，即直线与平面可能相离、相切或相交。

三、讲解直线与平面的夹角关系：介绍直线与平面之间的夹角，包括直线与平面的垂直、平行和倾斜的夹角关系，并讲解相关理论知识。

四、解题演练：通过几个实例让学生进行实际问题求解，巩固所学知识，培养学生的解题能力。

五、作业布置：布置相关练习题，巩固学生所学内容，并激发他们对数学的兴趣。

六、小结：对本节课学习的重点知识进行总结，并提醒学生注意相关知识点。

教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和实际运用知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

同时，要根据学生的实际情况灵活调整教学方法，提高教学效果。