第1课时 三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋k ·2π)＝sin x (k ∈Z )． (2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋k ·2π)＝cos x (k ∈Z )． 上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？ 提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．1．周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y ＝tan x 也是周期函数，并且最小正周期是π.问题：由周期函数的定义可知y ＝sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝sin 3x ，y ＝sin x 2，y ＝sin x3的周期分别为2π，π，2π3，4π，6π.你能猜出y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期吗？那么y ＝sin ωx (ω>0)的周期又是什么？提示：y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期分别为π2，8π；y ＝sin ωx (ω>0)的周期为2πω.(1)若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T|ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x ”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )成立，那么T 就不是函数f (x )的周期．例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，但是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，也就是说，π2不能对x 在定义域内的每一个值都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x 成立，因此π2不是函数y ＝sin x 的周期． 2．从等式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)来看，应强调的是与自变量x 相加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是最小正周期，而应写成f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，则T2是f (x )的最小正周期．3．若f (x )是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．[例1] 求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3；(4)f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [思路点拨] 直接利用周期公式求解．[精解详析] (1)T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π.(2)T ＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3.(3)T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π.(4)T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |.[一点通] 利用公式求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的最小正周期为________． 解析：T ＝π|－3|＝π3.答案：π33若f (x )＝－5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k . 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10.[例2] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6. [思路点拨] 利用奇偶性、周期性将－5π6转化可求．[精解详析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1. [一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________. 解析：∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1. ∴f (2 015)＝f (4×504－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1. 答案：15．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案：－16．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1．求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的周期直接用公式T ＝2πω求解； (2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法．2．周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .课下能力提升(七)一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3.答案：π33．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.答案：134．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12的函数④f (x )是周期为π的函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2.答案：②5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．解：由诱导公式知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3.8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.第2课时 三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线．问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．问题3：若在直角坐标系的x 轴上取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 问题4：由此你能作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．因sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )，这样只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y ＝sin x ，x ∈R 的图象．1．正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：2．正弦曲线的作法(1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法．用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .想一想，你能通过y ＝sin x ，x ∈R 的图象变换得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．只要把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位即可．1．余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：2．余弦曲线的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin(x ＋π2)．(2)用“五点法”画出余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．1．正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐．(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对y ＝sin x 取(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、(2π，0)；对y ＝cos x 取(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)． 然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]内的简图． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )．[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析] (1)列表：描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：描点、连线得y ＝sin(x －π3)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象．1．作出函数y ＝|sin x |的图象． 解：由y ＝|sin x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，－sin x ， 2k π＋π<x ≤2k π＋2πk ∈Z (k ∈Z )．其图象如图所示，2．作出函数y ＝sin|x |的图象．解：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0.－sin x ， x <0，其图象如图所示，3．用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示：[例2] 求方程sin x ＝1x在区间[－π，π]内的解的个数．[思路点拨] 利用数形结合，画出两个函数y ＝sin x 和y ＝1x在[－π，π] 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数．[精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出y ＝sin x 与y＝1x在区间[－π，π]上的图象．如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根．[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x 轴与y 轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数．4．求方程x 2＝cos x 的实数解的个数．解：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．5．判断方程x4－cos x ＝0的根的个数．解：设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点， 故方程x4－cos x ＝0有三个根.[例3] 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．[思路点拨] 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [精解详析] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立．所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： (1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去．6．求满足cos x ≤12的x 集合．解：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．由图形可以得到，满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，5π3＋2k π(k∈Z )．7．求满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围．解：令z ＝x ＋π4，sin z ≤12，在同一直角坐标系中作出y ＝sin z ，z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2与直线y ＝12的图象，如图所示，然后观察图象可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2内适合sin z ≤12的z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，π6，故当z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ， 即－7π6＋2k π≤x ＋π4≤π6＋2k π，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12成立．∴17π12＋2k π≤x ≤－π12＋2k π，k ∈Z . 即满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π12＋2k π，－π12＋2k π，k ∈Z .1．“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解sin x >a 的方法(1)作出直线y ＝a 和正弦函数y ＝sin x 的图象； (2)在一个周期内确定sin x ＝a 的x 值； (3)确定sin x >a 的解集．课下能力提升(八)一、填空题1．已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知， －1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.答案：0≤m ≤2 2．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z }． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z } 3．方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π 5．若cos x ≥22，则x 的取值范围为________． 解析：当cos x ＝22时， x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z .借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y ＝sin x ； (2)y ＝2sin x ； (3)y ＝2sin x2.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围． 解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．第3课时 正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图．问题1：你能说出正弦函数y ＝sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？ 提示：能．定义域为R ，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数． 问题2：你能写出正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的单调区间吗？提示：能．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上为减函数．正、余弦函数的性质1．正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1；类似地，余弦函数在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.2．正弦函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数．例如x 1＝π6＋2π，x 2＝π3，都是第一象限角，而sin x 1＝12，sin x 2＝32，从而有x 1>x 2，sin x 1<sin x 2，这不符合增函数定义．所以正弦函数、余弦函数的单调性，只能针对区间而言，不能针对象限而言．3．正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小．[例1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3；(2)y ＝cos 2x .[思路点拨] 可依据y ＝sin x (x ∈R )和y ＝cos x (x ∈R )的单调区间．[精解详析] (1)令u ＝x －π3，函数y ＝sin u 的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，⎣⎢⎡2k π＋π2，⎦⎥⎤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，2k π＋5π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增区间、递减区间分别是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z . ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．[一点通] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)；②根据A 的符号选取y ＝sin x 的单调区间．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．解析：2k π≤2x －π3≤2k π＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋4π3，k ∈Z . 即递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 2．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .∴要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求y ＝sin z 的单调递减区间． 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ).[例2] 比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°； (2)cos 15π8与cos 14π9；(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.[思路点拨] (1)250°和260°在函数y ＝sin x 的单调递减区间[π2，3π2]内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为y ＝cos x 同一单调区间内，然后比较大小； (3)先转化为同名三角函数再比较大小．[精解详析] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 又因为y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数， 所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.[一点通] 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．3．比较下列各组数的大小．(1)sin 2016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝ sin(180°＋36°)＝－sin 36°.cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°＜sin 70°，∴－sin 36°＞－sin 70°， 即sin 2 016°＞cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74>cos 53.4．若△ABC 是锐角三角形，试比较sin A 与cos B 的大小．解：因为△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＝π－C ，且0<C <π2，所以A ＋B >π2，所以0<π2－B <A <π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，即cos B <sin A . 5．比较sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8的大小．解：∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1＜π2.而y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[例3] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 取值集合． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin x 的范围，求出1－12sin x 的范围．解答本题中的(2)可由2x ＋π3∈R ，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的范围．解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin 2x ＋cos 2x ＝1消去cos 2x 便可转化成关于sin x 的二次函数问题．[精解详析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1时，y min ＝22， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5， 此时2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π12＋k π(k ∈Z )，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π12＋k π，k ∈Z .当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1，此时2x ＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－5π12＋k π，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π12＋k π，k ∈Z .(3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 有最小值－9，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1，即x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y 有最大值1，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .[一点通] (1)求有关y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，x ∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y ＝sin x 的有界性，即|sin x |≤1.(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的最小值是________．解析：由π6≤x ≤2π3，得－π6≤x －π3≤π3，所以y ＝2cos(x －π3)在x ＝π3时有最大值2，在x ＝2π3时有最小值1.答案：17．求函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域． 解：y ＝cos 2x －4cos x ＋5＝(cos x －2)2＋1. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，y 取最大值(－1－2)2＋1＝10； 当cos x ＝1时，y 取最小值(1－2)2＋1＝2. ∴函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5.解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．正、余弦函数的单调性(1)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C ，或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C ，利用配方法求解．课下能力提升(九)一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12.∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°， 故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°. 答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]， ∴φ＝3π2.答案：3π2二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 解：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6；(2)y ＝6－sin x －cos 2x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]．即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]．(2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.第4课时 正切函数的图象和性质单位圆中的正切线如图所示．问题1：由三角函数的定义知tan α＝y x，此时x ≠0.试想y ＝tan α中，α有什么限制？ 提示：α≠π2＋k π，k ∈Z .问题2：如图甲，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上增大时，正切线AT 如何变化？正切值又如何变化？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大．问题3：如图乙，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上增大时，又该如何？ 提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步缩小，正切值增大．问题4：正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)单调性如何？提示：递增．函数y ＝tan x 的性质与图象1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }，这与正弦、余弦函数不同．2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．3．正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[例1] 观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x >0；(2)|tan x |≤1.[思路点拨] 画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，结合图象求解集． [精解详析] (1)设y ＝tan x ，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x >0的解集为 {x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z }．(2)设y ＝|tan x |，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸，但永远不与x ＝π2＋k π(k ∈Z )相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z )．1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________． 解析：作出y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象知有1个交点． 答案：12．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是________．解析：画出函数y ＝|tan x |的图象可知π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )[例2] 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的单调区间．[思路点拨] 利用换元法，把3x －π3看做一个整体来求其单调区间．[精解详析] 令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，值域为R .令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )．[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x 的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x 的范围即可．3．函数y ＝11＋tan x 的定义域是________．解析：要使函数y ＝11＋tan x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，k ∈Z ，tan x ≠－1，即x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z4．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间． 解：∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴只需求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的单调增区间，即为原函数的单调减区间．令μ＝x 4－π6，则μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k πk ∈Z ， 即－π2＋k π<μ<π2＋k π(k ∈Z )．∴－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π(k ∈Z )．解得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z ).[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π7； (2)tan(－1 280°)与tan1 680°.[思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内，再借助正切函数的单调性求解． [精解详析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7， 又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. (2)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， ta n 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(－20°)＜tan 60°， 即tan(－1 280°)＜tan 1 680°.[一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为： (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上； (2)运用单调性得到大小关系．6．记a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 三数的大小关系是________． 解析：∵tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)， 又∵－π2<2－π<3－π<0<1<π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调递增的，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案：a >c >b7．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan 13π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4 ＝－tan π4.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5. 又函数y ＝tan x 在( －π2，π2)上是增函数，且－π2<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.1．正切函数图象的性质函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0,0)三点，以直线x ＝±π2为渐近线，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图．2．正切函数的单调区间的求法正切函数y ＝tan x 在整个定义域上不具有单调性，但在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z )上具有单调性，是增函数．在求函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的单调区间时，首先保证ω>0，否则就先利用诱导公式化为正的，再利用整体换元的方法求出单调区间．课下能力提升(十)一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：03．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1. 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0.又btan θ＞b 0，∴b ＞1，又a tan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1. 答案：①4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝ sin x 的图象交点的个数为________个．解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tanx (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点．答案：35．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 二、解答题6．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4；(2)y ＝13tan 2x ＋1.解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z )，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z )，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z )．7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3，∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3.由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立，即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.。
