江苏省2012届高三特长班数学二轮复习专练：线性规划与基本不等式

第1讲基本不等式与线性规划一、填空题'2x+3y—3三0,1.（2017-全国II卷改编）设兀，y满足约束条件<2兀一3y+3N0,则z=2x+y的最小值是<}?+3>0,解析可行域如图阴影部分所示，当直线2兀+z经过点A（—6, —3）时，所求最小值为T5.、）二_2 兀+z答案T52. _______________________________________________ 若0<无<1,则当/（x）=x（4-3x）取得最大值时%的值为_________________________ .11（3x+4 —4解析因为0<尤<1,所以/⑴=兀（4一3尤）=亍<3兀（4—3兀）£亍<（~ -J =-,当且仅当3兀2 =4—3兀，即％=彳时取等号.嗾安 -口木33.（2017-海门中学检测）已知d>0, b>0, a,方的等比中项是1,且m=b+^, n=a+^,则m~\~n的最小值是________ .解析由题意知ab=\,所以?n=b+£=2b, n=a+^=2a,所以m+n = 2（a+b）^4y[ab=4,当且仅当d=b=l时取等号.答案44.（2017-宿迁调研）若实数兀，y满足xy+3x=3^0<x<|j,贝氏+占的最小值是 __________ .3 1 3 1解析由厂+3兀=3可得y+3=p又0<卅运，则y+3>6, y>3,所以匚+芦=『+3 +、丄3 =(V-3)+、,J_3+(y —3) ^J_^ + 6 = 8,当且仅当 y=4 时取等号，故中+丫厶的 最小值是8.答案8x>l,5. (2017-无锡期末)设不等式组｛兀一)00,表示的平面区域为M,若直线y=kx~2上存在M 、x+)04内的点，则实数k 的取值范围为 _______ .解析 平面区域M 是以点(1, 1), (1, 3)和(2, 2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线丁= y 十2 kx_2,即k=^—表示区域M 内的点(兀，y)与点(0, —2)连线的斜率.当经过点(2, 2)时，£取 得最小值2；当经过点(1, 3)时，k 取得最大值5,故实数k 的取值范围为［2, 5］.答案[2, 5]6•已知 x, >ER,且 x 2+2xy+4y 2 = 69 贝ij z=x 1+4y 2的取值范围是 __________ .& + 4 丫2 工2 4 丫2解析 因为 2xy =6—(x 2+4y 2),而 2x )W ，所以 6 — (x 2+4y 2),所以 x 2 +4于$4,当且仅当x=2y 时取等号，又因为(x+2y)2 = 6+2xy20,即2兀6,所以z=x 2 +4J / = 6—2xyW12.综上可得 4.答案[4, 12] 7. ____________________________________________________________ (2017-北京卷)已知心0,庐0,且x+y=l f 则?+/的取值范围是 _________________________________ ・解析 法一 Vx^O,0 且 x+y = 1./.2y[x)^x+y = 1,从而 0WxyW*,因此 x 2+y 2 = (x+y)2—2xy = 1—2xy,所以㊁£/+)?£i.法二 可转化为线段AB±的点到原点距离平方的范围，AB 原点距离的范围为［半，1 ,则x 2+/的取值范围为甘，1. 答案住，18. (2016-全国I 卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料lkg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙 材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品8的利润为900元. 该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产 品B 的利润之和的最大值为 元.上的点到y O A解析 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元,目标函数为z=2 100x+900y.作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内（包括边界）的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 10（h+900y 经过点M 时，z 取得最大值. fl0x+3y=900,联立方程组仁， 得M 的坐标为（60, 100）, 15 无+3y=600,所以当x=60, y=100时，z max = 2 100x60+900x100 = 216 000（元）.答案216 000二、解答题"2 兀一y +1>0,9.设关于x, y 的不等式组<x+m<0, 表示的平面区域内存在点卩（也，沟），满足也一 ^y —nt>02刃）=2,求实数加的取值范围.解先根据约束条件^2x~y+1>0,< x+m<09画出可行域（图略），j —加 >0要使可行域存在，必有m<-2m+l,要求可行域包含直线y=Y~ 1上的点，只要边界点 "1.5 兀+0.5*150,兀+0.3 必 90, 5兀+3)0600,jGN, yWN,「3x+)W300, 10x+3j<900,5x+3)<600,（—〃2, 1—2加）在直线y=*—1的上方，且（一加，加）在直线y=*—1的卜方，r m< —2m+1，故得不等式组V 1—2加>—尹一1,解之得肌<—|.m<—^nr— 1,故实数加的取值范围是（一◎—扌）10.（1）当点（x，y）在直线兀+3y—4 = 0上移动时，求3"+27〉'+2的最小值；（2）已知兀，y都是止实数，且兀+y—3xy+5 = 0,求小的最小值.解（1）由兀+3），—4 = 0,得兀+3y=4,所以3”+27）'+2 = 3“+3"+2上2百芋+2=2好莎+2 = 2好+2 = 20,当且仅当3V=33V且x+3y—4 = 0,即兀=2, 彳时取等号，此时所求的最小值为20.（2）由兀+y—3xy+5 = 0,得x+y+5 = 3与，所以2ylxy+5^x+y+5 = 3xy,所以3xy—2y[xy'—5 0,所以1）（3&^—5）20,所以7云鼻亍，即xy^-g-,5 ?5当且仅当兀=y=扌时取等号，故厂的最小值是等.11.（2017-天津卷）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.己知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用无，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（1）用兀，y列出满足题目条件的数学关系式，并画岀相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，兀，y 满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:⑵设总收视人次为Z 万，则目标函数为z=60x+25y.又因为兀，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z=6(k+25y 经过可行域上的点M 时，截距去最大，即z 最大.解方程组J 7x +6＞，-60'得点M 的坐标为(6, 3). [x —2y=0,所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 厂 70兀+60)0600, 5兀+5吃30, <x<2y,x>0, <y>0, F+6)060, x+y>6, 即< x-2><0,%>0, <y>0,线, 考虑 z=6(k+25.y, 将它变形为y= 一¥尤+衣' 京为直线在y 轴上的截距, 12 这是斜率为一¥，当圭取得最大值时，Z 的值最大.随Z 变化的一族平行直 .V。

第2讲 线性规划与基本不等式[考情考向分析] 1.线性规划的要求是A 级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上．热点一 简单的线性规划问题例1 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________． 答案 －5解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2在y 轴上的截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，其在y 轴上的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1,1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则yx的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝y x ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3,2)时取得最大值23，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23. 思维升华 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练1 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________. 答案 －2解析 约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当a ≥－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(1,1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. (2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲 3 5 乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg. 答案 30解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ＞0，y ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 取最小值为20＋10＝30. 热点二 利用基本不等式求最值例2 (1)(2018·苏北六市模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 答案 8解析 ∵abc ＝4(a ＋b )， ∴c ＝4()a ＋b ab，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4()a ＋b ab ＝a ＋b ＋4b ＋4a≥2a ·4a＋2b ·4b＝4＋4＝8.(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)(2)设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c ＋cb的取值范围是____________________． 答案 [2，5]解析 因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ， 所以S △ABC ＝12a 2＝12bc ·sin A ，所以sin A ＝a 2bc.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ，所以b c ＋cb ＝2cos A ＋sin A ≤5，同时b c ＋c b ≥2(当且仅当b ＝c 时，等号成立)， 所以b c ＋c b∈[2，5]．思维升华 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．跟踪演练2 (1)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 ∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.(2)(2018·兴化三校联考)已知函数f (x )＝e x －e －x ＋x 3＋3x ，若正数a ，b 满足f (2a －1)＋f (b －1)＝0，则2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为________．答案 94解析 由题意得f (－x )＝－f (x )，且f (x )为单调增函数，最多有一个零点， 所以f (2a －1)＋f (b －1)＝0，即f (2a －1)＝－f (b －1)， 所以2a －1＝1－b ，即 2a ＋b ＝2，所以 2a 2a ＋1＋b 2＋1b ＝2()a ＋12－4()a ＋1＋2a ＋1＋b ＋1b＝2()a ＋1＋b ＋2a ＋1＋1b －4＝2a ＋1＋1b. 又2a ＋1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋1b []2()a ＋1＋b ×14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋2b a ＋1＋2()a ＋1b ≥94， 当且仅当a ＝13，b ＝43时取等号．所以2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为94.热点三 基本不等式的实际运用例3 (2018·苏州期末)如图，长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN ＝θ，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； (2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．解 (1)在Rt△NFP 中，因为PF ＝3，∠FPN ＝θ， 所以NF ＝3tan θ，所以S △NAP ＝12NA ·PF ＝12()1＋3tan θ×3，在Rt△MEP 中，因为PE ＝1，∠EPM ＝π3－θ，所以ME ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ， 所以S △AMP ＝12AM ·PE ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ×1， 所以S ＝S △NAP ＋S △AMP ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋3，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.(2)因为S ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋ 3＝32tan θ＋3－tan θ2()1＋3tan θ＋3， 令t ＝1＋3tan θ，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得t ∈[]1，4，所以S ＝3＋3t 2－4t ＋423t＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋43t ＋33 ≥32×2×t ×43t ＋33＝2＋33，当且仅当t ＝43t ，即t ＝233时，即tan θ＝2－33时等号成立，此时，AN ＝233，S min ＝2＋33.答案 当AN ＝233时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2＋33.思维升华 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)注意当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．跟踪演练3 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，则这批物资全部运送到灾区最少需____ h.答案 10解析 时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t ＝400＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋25v400≥225＝10，当且仅当v ＝80时等号成立．1．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)，一年的总存储费用为4x 万元， 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．2．(2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________． 答案 9解析 方法一 如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋ 12a ×1×sin 60°， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac＋5≥2c a ·4ac＋5＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1c ＝1，c a ＝4ac ，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝32时取等号．方法二 如图，以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫c2，－32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a .又A ，D ，C 三点共线， ∴c2－1－32c ＝a2－132a ，∴ac ＝a ＋c .以下同方法一．3．已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a －c )≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174解析 由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得 x ＋y ＝2(xy －2)，则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0，即a 2≥a ·c ， 所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4， 则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)(*)恒成立． 对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2时，(*)恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<－1，(*)恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库面积S 的最大允许值是________平方米． 答案 100解析 设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy ， 依题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故0<S ≤10，从而0<S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧40x ＝90y ，xy ＝100，即x ＝15，y ＝203时等号成立．所以S 的最大允许值是100平方米．A 组 专题通关1．(2018·江苏无锡一中期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥0，则z ＝9x ·3y的最大值是________． 答案 27解析 由题意得z ＝9x·3y＝32x·3y ＝32x ＋y.不等式组对应的可行域如图所示的△OAB 及其内部，设u ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋u ，当直线y ＝－2x ＋u 经过点A (1,1)时，直线在y 轴上的截距最大，u max ＝2×1＋1＝3， 所以z max ＝33＝27.2．(2018·连云港期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________． 答案 12解析 先根据实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内点到原点的距离的平方，由图可知，z ＝x 2＋y 2的最小值就是直线x －y ＋1＝0与原点的距离的平方， 所以最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12. 3．已知x >1，则函数y ＝2x ＋42x －1的最小值为________．答案 5解析 ∵x >1，∴2x －1>0， ∴y ＝2x －1＋42x －1＋1≥2(2x －1)·42x －1＋1＝5， 当且仅当2x －1＝42x －1，即x ＝32时，等号成立．4．(2018·常州期末)各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________． 答案3解析 因为{}a n 是各项均为正数的等比数列，且a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，所以a 33－a 3＝a 2＋a 4，则a 33－a 3＝a 2＋a 4≥2a 2a 4＝2a 3，(当且仅当a 2＝a 4，即数列{a n }为正数常数列时取等号)即()a 23－3a 3≥0，即a 23≥3，a 3≥3，即a 3的最小值为 3.5．若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________．答案 3解析 点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3＋n 422，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”， 所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.6．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析 因为y ′＝12x (x ＋1)＋x ＝3x ＋12x＝32x ＋12x ≥232x ·12x＝3， 当且仅当32x ＝12x，即x ＝13时“＝”成立． 所以切线的斜率k ＝tan θ≥3， 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 7．已知正数a ，b ，满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________． 答案 36 解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5， ∴ab －5≥21a ×9b ， 化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，当且仅当1a ＝9b ，1a ＋9b＝ab －5，即a ＝2，b ＝18时取等号，解得ab ≥36. 8．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 5＋2 6解析 正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，1x ＋1y＝1， 3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y， 故得到3x x －1＋2y y －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫31－1x ＋21－1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1y 1－1x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1－1y≥5＋26， 等号成立的条件为1－1x ＝1－1y，即x ＝y ＝2. 9．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案 6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，及正弦定理得a ＋2b ＝2c .又由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 当且仅当34a 2＝b 22时等号成立， 故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 10．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建造宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800， 故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x (0≤x ≤8)． (2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5＝75， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即当x ＝5时f (x )min ＝75. 所以宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．B 组 能力提高11．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值为________．答案 4解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．12．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案 10解析 由f (x )的值域为[0，＋∞)可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0， 所以c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号． 故所求的最小值为10.13．(2018·江苏如东高级中学等五校联考)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则(a 2＋b 2＋c 2)2＋52bc ＋ac的最小值为________．答案 4 解析 a 2＋b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋15c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋45c 2 ≥25ac ＋45bc ，即ac ＋2bc ≤52()a 2＋b 2＋c 2，当且仅当a ＝c 5，b ＝2c 5时等号成立， 则()a 2＋b 2＋c 22＋5ac ＋2bc ≥()a 2＋b 2＋c 22＋552()a 2＋b 2＋c 2≥25()a 2＋b 2＋c 252()a 2＋b 2＋c 2＝4(经验证两次等号可同时取得)，所以 ()a 2＋b 2＋c 22＋52bc ＋ac 的最小值为4.14．已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (2x ＋1)≥6；(2)已知a ＋b ＝1(a ，b ＞0)，且对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＋f (2x ＋1)＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3x ，x ＜12，x ＋1，12≤x ≤2，3x －3，x ＞2， 当x <12时，由3－3x ≥6，解得x ≤－1； 当12≤x ≤2时，x ＋1≥6不成立； 当x ＞2时，由3x －3≥6，解得x ≥3. ∴不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)∵a ＋b ＝1(a ，b ＞0)， ∴4a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24b a ·a b＝9， 当且仅当a ＝23，b ＝13时等号成立， ∴对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b恒成立等价于对∀x ∈R ，|x －2－m |－|－x －2|≤9， 即[|x －2－m |－|－x －2|]max ≤9，∵|x －2－m |－|－x －2|≤|(x －2－m )－(x ＋2)|＝|－4－m |，∴－9≤m ＋4≤9，∴－13≤m ≤5.。

微专题六 解不等式及线性规划一、 填空题1. 不等式|x 2－2|<2的解集是________．2. 设实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧|x |≤1，|y |≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x ＋1|，x ≤1，(x －1)2， x >1，函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________．5. 已知实数x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－x 2－y 2的最大值为________．6. 已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________．________．8. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1,3]，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．9. 设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 4n 的最小值为________．10. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．二、 解答题11. 解下列不等式： (1) |x 2－2|<2； (2) x －12x ＋1≤0.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．13. 十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植， 2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018年初开始，若该村抽出 5x 户(x ∈Z,1 ≤x ≤ 9) 从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据： 1.13 ＝ 1.331,1.153 ≈ 1.521，1.23＝ 1.728)．(1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．14. 已知函数f (x )＝2x 2＋ax －1，g (log 2x )＝x 2－x2a －2.(1) 求函数g (x )的解析式，并写出当a ＝1时，不等式g (x )＜8的解集； (2) 若f (x )，g (x )同时满足下列两个条件：① ∃t ∈[1,4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )； ②∀x ∈(－∞，a ]，g (x )<8. 求实数a 的取值范围．。

线性规划及基本不等式一、知识梳理（一）二元一次不等式表示的区域1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得（二）基本不等式1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立2.、已知x 为正数，求2x+x 1的最小值3、 已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1的最小值.（提示：1的替换）二、高考链接1、（08山东）16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ．2、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．3、（09山东）.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品已知设备甲每天的租赁费为,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.4、（07山东）已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为___________ 5、函数y=a x -1 (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0上，其中mn >0,则nm 21+的最小值为 . 6、（山东）本公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？三、抢分演练1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )A 、22a b <B 、22a b ab <C 、2211ab a b< D 、b a a b <2、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，3、.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.4、若变量x,y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ 则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)45、设x,y 满足241,22x y x y z x yx y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值6、设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）27、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥8、不等式组所表示的平面区域的面积等于A.B.C.D.9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 310、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元12、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，≥，则z 的最小值是____________ ．13、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为______14、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15、若0x >，则2x x +的最小值为______________16、（江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14。

常考问题10 不等式及线性规划问题[真题感悟]1．(2012·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c . ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 9 2．(2012·江苏卷)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e a c .作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ， 得a ＝c 2，b ＝72c . 此时⎝⎛⎭⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1. 此时⎝⎛⎭⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a∈[e,7]． 答案 [e,7]3．(2010·江苏卷)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析 根据不等式的基本性质求解.⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎡⎦⎤18，13，x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，x 3y 4的最大值是27. 答案 274．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2][考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．。

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)1.(必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为.(第1题)【答案】1 4【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得yD=12，所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.2.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+1x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为. 【答案】-4【解析】因为x<0，所以f(x)=-1(-)(-)xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时取等号.4.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值为. 【答案】23【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y11·x y=213=23.5.(必修5 P91习题3改编)函数224x+.【答案】5 2【解析】设t=24x +(t ≥2)，易知y=t+1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=24x +=2，即x=0时，y min =52.【课堂导学】运用基本不等式求最值例1 (2016·泰州期末)若正实数x ，y 满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y 的最大值是 .【点拨】设x+12y =z 进行整体代换.【分析】处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题，思考方向一，可以设x+12y =z ，代入之后转化为关于y 的方程(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z 的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x 再用基本不等式去处理；思考方向三，通过等比中项，引用一个新的参数q ，把x+12y 用q 来表示后再整理求最值.【答案】32-1【解析】方法一：令x+12y =z ，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z 2-5)≥0，化简得2z 2+4z-7≤0，故0<z ≤-1+.检验：当z=-1时，方程(*)可化为(17-)y 2-(12-16)y+8=0，此时y 1+y 2>0，y 1·y 2>4，故方程必有大于2的实根，所以x+12y的最大值为-1. 方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5111-22y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12-1y ，x-1522y ，+1y 成等比数列，设公比为q (q>1)，将x ，1y 用q 表示，则x+12y =23(-1)1q q ++12=32-12-1q q +++12≤-1，当且仅当q-1=2-1q ，即+1时等号成立.【点评】处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟2a b+a ，b>0)和ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b+(a ，b ∈R ).变式1(2016·天一中学)设x，y∈R，a>1，b>1，若a x=b y=2，a+b=4，则2x+1y的最大值为.【答案】4【解析】因为x=log a2，y=log b2，所以2x+1y=2log2a+1log2b=log2a2+log2b=log2(a2b).又4=a+b≥2a b，当且仅当a=b时取等号，所以a2b≤16，所以log2(a2b)≤4.变式2(2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】5-1【解析】方法一：由x2+2xy-1=0，得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2516-12=5-1，当且仅当x=±415时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0，得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=5-1，n=51+，从而x2+y2≥512+=5-1.变式3 (2015·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy 的最小值为 .【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg 4lg z x+lg lg z y=lgz 14lg x ⎛ ⎝+1lg y ⎫⎪⎭=lg lg 2x y +·114lg lg x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=58+12lg lg x y ⎛ ⎝+lg 4lg y x ⎫⎪⎭≥58+12·lg lg ·lg lg x yy x =98当且仅当lg lg x y =lg 4lg y x ，即y=x 2时取等号.线性规划中的最值问题例2 (2016·全国卷Ⅲ)若实数x ，y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x y x y =⎧⎨+=⎩，，得A 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当直线z=x+y 过点A 时，z 取得最大值，所以z max =1+12=32.(例2)变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.(变式1)【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x yx y+=⎧⎨=⎩，，得3-1xy=⎧⎨=⎩，，由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2016·苏州中学)若实数x，y满足约束条件-30--3001x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x yx y++的最小值为.(变式2)【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21yx y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，.基本不等式的实际应用例3 (2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (单位：万元)与x 的函数关系式； (2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3，问：P 能否大于120?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk (ax+5)，x ∈N *. (2)方法一：依题意知x=0.2a.所以P=mx y =(5)x k ax +=20.2(0.25)ak a +=2(25)a k a + ≤23(25)a a +=1253a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2532a a ⨯⨯130<120. 答：P 不可能大于120.方法二：依题意得x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+.假设P>120，得ka2-20a+25k<0.因为k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假设矛盾，故P≤120.答：P不可能大于120.【课堂评价】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】23【解析】因为0<x<1，所以f(x)=x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤13×234-32x x+⎛⎫⎪⎝⎭=43，当且仅当3x=4-3x，即x=23时取等号.2.(2016·海门中学)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是.【答案】4【解析】由题意知ab=1，所以m=b+1a=2b，n=a+1b=2a，所以m+n=2(a+b)≥4ab=4.3.(2016·北京卷)若实数x，y满足约束条件2-03x yx yx≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x+y的最大值为. 【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y 变为y=-2x+z，当目标函数的图象过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x+y的最大值是4.(第3题)4.(2016·扬州期末)已知a>b>1且2log a b+3log b a=7，则a+21-1b的最小值为. 【答案】3【解析】因为2log a b+3log b a=7，所以2(log a b)2-7log a b+3=0，解得log a b=12或log a b=3.因为a>b>1，所以log a b∈(0，1)，故log a b=12，从而b=a，因此a+21-1b=a+1-1a=(a-1)+1-1a+1≥3，当且仅当a=2时等号成立.5.(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域-20-340xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=.(第5题)【答案】2【解析】易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=2，故AB=32.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、 填空题1.(2015·福建卷)若直线x a +yb =1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 .2.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .3.(2015·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .4.(2015·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1a x (x>1)的最小值为3，则a 的值为 .5.(2016·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .6.(2016·新海中学)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (-2，0)的距离相等，则2x +4y 的最小值为 .7.(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.8.(2016·上海卷)设a>0，b>0.若关于x，y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b的取值范围是.二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?(第10题)11.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，b=22x xy y++xy m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.4【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b)1a⎛⎝+1b⎫⎪⎭=1+ab+ba+1≥2+2·a bb a=4，当且仅当a=b=2时等号成立.2.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以zmax=2×5-3=7.(第2题)3.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立-13y xx y=⎧⎨+=⎩，，解得12xy=⎧⎨=⎩，，即A(1，2)，故zmax=1+3×2=7.(第3题)4. 1 【解析】因为f (x )=x-1+-1ax +1，且x-1>0，所以f (x )≥2a +1=3，当且仅当x-1=a ，即x=a +1>0时取等号，此时a=1.5. [4，12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2)，而2xy ≤2242x y +，所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +，所以x 2+4y 2≥4，当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0，即2xy ≥-6，所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12. 6. 42【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x +4y ≥224xy⋅=222x y+=42，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x +4y 的最小值为42.7. 216 000 【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则1.50.51500.39053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，， 即330010390053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，目标函数为z=2 100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 100x+900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得M的坐标为(60，100)，所以当x=60，y=100时，z max=2 100×60+900×100=216 000.8.(2，+∞)【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b≠0，所以ab=1且b≠1，所以由基本不等式得a+b>2，故a+b的取值范围是(2，+∞).二、解答题9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+2≥2+2=2+2=2=20，当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以5≤x+y+5=3xy，所以3xy-5≥0，所以5)≥0，53，即xy≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy的最小值是259.10. (1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=xy，所以S≤22x y +⎫⎪⎝⎭=2 500，S max =.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m ，AQ=y m ，由题意得100×(x+1.5y )=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40000=1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值，此时x=2007.11. ①因为，c>0，故a+c>b 恒成立.②若a+b>c 恒成立，即恒成立.=2+，得m<2.故当m<2时，a+b>c 恒成立.③若b+c>a 恒成立，即恒成立.令(t ≥2)，则-， 当t=2时，取得最大值，得m>2，故当m>2时，b+c>a恒成立.综上，2<m<2+.由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

线性规划与基本不等式练习含答案1. 线性规划简介线性规划是数学中的一种优化问题求解方法，通过线性函数的最大值或最小值来确定一组变量的最优解。

线性规划广泛应用于工程、经济、管理等领域，可以帮助决策者做出最优决策。

2. 基本不等式基本不等式是线性规划中的基础概念，用于描述约束条件。

一般形式为ax + by ≤ c，其中a、b、c为常数，x、y为变量。

通过将不等式转化为等式或者标准形式，可以更方便地进行线性规划的求解。

3. 线性规划与基本不等式练习题下面给出一些线性规划与基本不等式的练习题，每题都包含了详细的解答过程和答案。

题目1：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为8元。

工厂的生产能力为每天生产A产品100个，B产品50个。

产品A的生产需要1小时，产品B的生产需要2小时。

工厂每天最多可工作8小时。

问如何安排生产，使得利润最大化？解答：设工厂生产A产品x个，B产品y个。

目标函数：最大化利润，即最大化5x + 8y。

约束条件：1. 生产能力约束：x ≤ 100，y ≤ 50。

2. 时间约束：x + 2y ≤ 8。

3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

根据以上约束条件，可以得到线性规划模型如下：最大化5x + 8y约束条件：x ≤ 100y ≤ 50x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0题目2：某公司生产两种产品X和Y，产品X每单位利润为10元，产品Y每单位利润为12元。

公司的生产能力为每天生产X产品200个，Y产品150个。

产品X的生产需要1小时，产品Y的生产需要2小时。

公司每天最多可工作10小时。

问如何安排生产，使得利润最大化？解答：设公司生产X产品x个，Y产品y个。

目标函数：最大化利润，即最大化10x + 12y。

约束条件：1. 生产能力约束：x ≤ 200，y ≤ 150。

3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

根据以上约束条件，可以得到线性规划模型如下：最大化10x + 12y约束条件：x ≤ 200y ≤ 150x + 2y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 0题目3：某农场种植两种作物A和B，作物A每亩产量为1000kg，作物B每亩产量为1500kg。

高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。

本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。

练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。

希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。

复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。

在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。

基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。

因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。

希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。

不等式及线性规划1.设0x ≥,0y ≥且21x y +=,则223x y +的最小值为______.2.已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数,且对任意实数)(,2121x x x x ≠,恒有()()02121>--x x x f x f ,且()x f 的最大值为1,则满足()1log 2<x f 的解集为______3.若正实数x,y 满足26xy x y =++ ,则xy 的最小值是______.4.如果22log log 1x y +=,则2x y +的最小值是___________.5.已知正项等比数列{}n a 满足:6542a a a =+,若存在两项m a ,n a 使得12m n a a a =,则14m n+的最小值为________.6.若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2﹣a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是__ _____.7.已知方程01222=+--n x m x (其中0,0>>n m )有两个相等的实根,则nm 11+的最小值为________.8.不等式13x x +<的解集为______.9.若2x >,则12x x +-的最小值为______.10.已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+x -6<0的解集是B ,不等式x 2+ax +b <0的解集是A ∩B ,那么a +b 等于___________.11.二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则11a c c a +++的最小值为_____.12.设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z++++的最小值为________________.13.已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于_________.14.过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为_______.15.设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.16.常数,a b 和正变量,x y 满足16a b ⋅=,x a +2b y =12,若2x y +的最小值为64,则b a =________.17.已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,+∞),则1a +9c的最小值是________.18.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,则实数c 的值为____.19.不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-∞,-2)∪(-1,+∞),则a ∶b ∶c =__________.20..已知点P(x,y)在不等式表示的平面区域上运动,则z x y =+的最大值是____21.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ,则xy x y u 22-=的取值范围是__★__.22已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D,若直线y=kx +1将区域D 分成面积相等的两部分,则实数k 的值是____.23.已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是____.。

高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。

以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。

### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。

工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。

如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。

设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。

2. 目标函数为：\( P = 50x + 80y \)。

3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：\( 3x + 2y \leq 100 \)- 人工时间：\( 2x + 4y \leq 80 \)- 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)4. 画出可行域，找到可行域的顶点。

5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。

### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。

产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。

公司每月有原材料预算3000元。

如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。

2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。

3. 约束条件为原材料成本：\( 10x + 15y \leq 3000 \)4. 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)5. 画出可行域，找到顶点。

6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。

### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。