2020广东省中考数学第一轮复习课件 2.题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算

则MN＝AD，FH＝AB，∴MN＝FH，
在△AMN和△EFH中，
∠MAN＝∠HEF, ∠ANM＝∠EHF, MN＝HF
∴△AMN≌△EFH(AAS)，∴AM＝EF；
第1题解图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(2)解：在Rt△ADM中，根据勾股定理得： AM＝ AD2＋DM 2 ＝ 102＋62＝ 2 34， 则EF＝AM＝ 2 34 .
2. (2019温州)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 CF∥AB交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF; (2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
第2题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD. 在△BDE与△CDF中，
第3题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：∵ AC ＝ 3 ，BC ＝ 6＝ 3 ， (2)解：在Rt△ABC中，AB＝ 32＋62 ＝ 3 5，
DC 2 EC 4 2
∴ AC ＝
DC
BC CE
.
在Rt△CDE中，DE＝ 22＋42 ＝ 2 5 .
又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°. ∴∠B＝∠ADF＝90°. 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF； (2)解： ∵△ABE≌△ADF， ∴AF＝AE＝5，∠DAF＝∠BAE . ∴∠FAE＝∠BAD＝90°. ∴EF＝ 52＋52 ＝ 5 2.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC. ∵AB＝AD，BE＝DF， ∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF. ∴△AEF是等腰三角形． 又∵∠BAC＝∠DAC， ∴AC⊥EF；
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(2)解：如解图，过连BD，延长EF交CD的延长线于点G.
∴FC＝HB. ∴ AE ＝ AD ＝ AD ＝ AG .
FE FC HB HG
∴EG∥FH.∴∠1＝∠AHB，∴∠1＝∠DFC.
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
类型三 与折叠有关的证明与计算
（2018.22,2015.21,2012.21） 1. 将边长为10的正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于点E， 交BC于点F，边AB折叠后与BC边交于点G. (1)求证：AM＝EF； (2)当DM＝6时，求EF的长．
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
4. (2019梧州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC， BC的延长线于点E，F，连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H. (1)求DE的长； (2)求证：∠1＝∠DFC.
第4题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
第1题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：由折叠的性质得：∠AEF＝∠MEF，EF⊥AM，AE＝ME，
∴∠EAM＝∠EMA，∠EAM＋∠AEF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝10，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠EAM＋∠MAB＝90°，∴∠MAB＝∠AEF，
如解图，过点M作MN⊥AB于点N，过点F作FH⊥AD于点H，
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
2. (2019徐州)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D 落在点G处，折痕为EF. 求证：(1)∠ECB＝∠FCG； (2)△EBC≌△FGC.
第2题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠BCD.由折叠性质知∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG. ∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF. ∴∠ECB＝∠FCG； (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC，由折叠的性质可得 ∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG. 在△EBC和△FGC中，
（2018.22,2017.21,2015.21,2013.22,2015.15、21） 1. (2019内江) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一 点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF. (1)求证：△ABE≌△ADF; (2)若AE＝5，请求出EF的长．
第1题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
2. (2019北京)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE ＝DF，连接EF. (1)求证：AC⊥EF； (2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝ 1 ，求AO
2
的长．
第2题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
2
2
2
2
第4题解图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥FB，∴△ADE∽△FC，△ADG∽△HBG.
∴
AE ＝ AD ，AD
＝
AG
.
FE FC HB HG
∵AH∥DF，
∴四边形AHFD是平行四边形，∠DFC＝∠AHB.
∴FH＝AD＝BC.
∵FC＝FH＋HC，HB＝BC＋CH，
∵BM∥CD，
∴∠MBC＝∠BCD＝90°.
∴在Rt△MBC中，由勾股定理得CM＝ BM 2＋BC 2 ＝ 16＋12 ＝ 2 7，
∵BM∥CD，
∴△MNB∽△CND.
∴ MN
CN
＝
BM CD
，即
2
MN 7－MN
＝
4 6
.
解得MN＝ 4 7 . 5
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
类型二 与四边形有关的证明与计算
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝
1 2
OB，DF＝
1 2
OD.
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
第3题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：由折叠可知△FBE≌△CBE，EF＝EC，FG＝GC， ∠FEG＝∠CEG， ∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠GEC， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴EF＝FG， ∴FG＝GC＝CE＝EF， ∴四边形CEFG是菱形；
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
∴BD＝ 4 3 .
在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝ BD2－CD2＝
∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB＝∠ADB.
∴DM＝BM.
∵∠ADB＋∠A＝∠MBD＋∠MBA＝90°，
∴∠A＝∠MBA.
∴AM＝BM＝DM＝
1 2
AD＝4.
48－36 ＝ 2 3.
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)解：如解图，过E作EM⊥AC，垂足为M.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°，AC＝ AB2＋BC 2＝ 42＋32 ＝5.
∵EM⊥AC，
∴∠AME＝90°.
∵AF平分∠DAC，∠AME＝∠ADE＝90°，
∴DE＝EM.
∵S△ADE＋S△AEC＝S△ADC，
∴ 1 DE×3＋ 1 DE×5＝ 1 ×3×4，解得DE＝ 3 ；
∠BED＝∠CFD, ∠EBD＝∠FCD, BD＝CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS)；
(2)解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝2. ∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3. ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3.
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
3. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格 点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F. (1)求证：△ACB∽△DCE； (2)求DF的长．
10 3
3
×2＝
20 3
.
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
4. 在矩形ABCD中，AB＝10，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对 应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F. (1)求证：BP＝BF； (2)当BP＝8时，求BE·EF的值．
第4题图
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
3. (2019青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB， OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
第3题图
1
(2)解：当AB＝ 2 AC时，四边形EGCF是矩形． 理由：∵AB＝ 1 AC，AO＝OC，∴AB＝ AO.
2
∵BE＝OE，∴AE⊥BO. ∴∠FEG＝90°. 由(1)得△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF. ∵∠AEB＝∠FEG，∴∠CFD＝∠FEG.∴EG∥FC. ∵AE＝CF，EG＝AE，∴EG＝CF.∴四边形EGCF是平行四边形． 又∵∠FEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形．
题型十 与三角形或四边形有关的证明与计算
(1)证明：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∵△BPC沿PC折叠得到△GPC， ∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC， ∵BE⊥CG， ∴BE∥GP， ∴∠GPF＝∠PFB， ∴∠BPF＝∠PFB， ∴BP＝BF；