2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：三章 第二节 导数在研究函数中应用与生活中优化问题举例版含解析

课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

2019年高考数学(理科)一轮【学案14】导数在研究函数中的应用(含答案)3．(20xx·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(20xx·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.探究点一函数的单调性例1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x ∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二函数的极值例2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－4 3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．变式迁移2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三求闭区间上函数的最值例3(20xx·六安模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例(12分)(2009·辽宁)已知函数f(x)＝1 2x2－ax＋(a－1)ln x，a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有f(x1)－f(x2)x1－x2>－1.多角度审题(1)先求导，根据参数a的值进行分类讨论；(2)若x1>x2，结论等价于f(x1)＋x1>f(x2)＋x2，若x1<x2，问题等价于f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，故问题等价于y＝f(x)＋x是单调增函数．【答题模板】(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－a＋a－1x＝x2－ax＋a－1x＝(x－1)(x＋1－a)x.[2分]①若a－1＝1，即a＝2时，f′(x)＝(x－1)2x.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a－1<1，而a>1，故1<a<2时，则当x ∈(a－1,1)时，f′(x)<0；当x∈(0，a－1)及x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(a－1,1)上单调递减，在(0，a－1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a－1>1，即a>2时，同理可得f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0,1)，(a－1，＋∞)上单调递增．[6分](2)证明考虑函数g(x)＝f(x)＋x＝12x2－ax＋(a－1)ln x＋x.则g′(x)＝x－(a－1)＋a－1x≥2x·a－1x－(a－1)＝1－(a－1－1)2.由于1<a<5，故g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而当x1>x2>0时，有g(x1)－g(x2)>0，即f(x1)－f(x2)＋x1－x2>0，故f(x1)－f(x2)x1－x2>－1.[10分]当0<x1<x2时，有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f(x2)－f(x1)x2－x1>－1.综上，若a<5，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2有f(x1)－f(x2)x1－x2>－1.[12分]【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(20xx·大连模拟)设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b 时，有() A．f(x)g(b)>f(b)g(x)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(x)>f(b)g(b)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．(20xx·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－1D ．a <－1二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f(x)在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f(x)＝2x＋1x2＋2的极值．10．(12分)(20xx·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(20xx·汕头模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a ＋1)内的极值．答案自主梳理1．(1)增增(2)减减(3)增减2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值自我检测1．C 2.D 3.C 4.C5．18解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意⎩⎨⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0， 得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3.但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值，∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18.课堂活动区例1 解题导引 (1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0在定义域内有解．这样就可以把问题转化为解不等式问题．(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个恒成立问题，方法有①分离参数法，②利用二次函数中恒成立问题解决．(3)一般地，可导函数f (x )在(a ，b )上是增(或减)函数的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是否可以取到．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立． 设h (x )＝x 2－(a －2)x －a只须满足⎩⎨⎧ h (－1)≤0h (1)≤0，解得a ≥32. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a－2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而x 2－(a －2)x －a ≤0不可能恒成立，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．变式迁移1 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23. 又f (x )在(－1,1)上不单调， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎨⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎨⎧ －5<a <1，a ≠－12. 所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 例2 解题导引 本题研究函数的极值问题．利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解．判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎨⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎨⎧a ＝13，b ＝4故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283， 当x ＝2时，f (x )有极小值－43， 所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围为(－43，283)． 变式迁移2 解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎨⎧f ′(1)＝a ＋2b ＋1＝0f ′(2)＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x 3)＋1＝－(x －1)(x －2)3x. 函数定义域为(0，＋∞)，列表 x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x) － 0 ＋ 0 －f (x ) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．例3 解题导引 设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23， ∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤23，1是函数的增区间． 又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝9527，f (1)＝4， ∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527. 变式迁移3 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0， 因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ， 所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43. 因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423， 最小值为g (2)＝43. 课后练习区1．C 2.A 3.A 4.A 5.B6．3解析 ∵f ′(x )＝(x 2＋a x ＋1)′ ＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)′(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2， 又∵x ＝1为函数的极值，∴f ′(1)＝0.∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3.7．②④解析 观察函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断．8．(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，则Δ＝4m2－12×(m＋6)>0，∴m>6或m<－3.9．解f′(x)＝(2x＋1x2＋2)′＝－2(x＋2)(x－1)(x2＋2)2，由f′(x)＝0得x＝－2,1.………………(4分)当x∈(－∞，－2)时f′(x)<0，当x∈(－2,1)时f′(x)>0，故x＝－2是函数的极小值点，故f(x)的极小值为f(－2)＝－1 2；…………………………………………………………………(8分)当x∈(－2,1)时f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)<0，故x＝1是函数的极大值点，所以f(x)的极大值为f(1)＝1.……………………………………………………………(12分)10．解(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax－4.…………………………………………………………………(4分)(2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12， 所以f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.又f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92， f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.………(12分) 11．解 (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－ 3. ①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.…………………………………………………………(4分)于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)；由f′(x)<0，得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2)．…………………………………………………………(8分)(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：……………………………………………………………………………………………(10分) 由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．……………………………………………(12分)综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………………………………(14分)。

一、选择题1．函数f (x )＝e x －x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞) 解析：选A.由题意知，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )>0，解得x >0，故选A.2．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A.因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )． 所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得 f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数． 所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 4．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)解析：选B.由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.5.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：选B.依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0 解析：选A.因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0， 所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )． 二、填空题7．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)8．(2018·张掖第一次诊断考试)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋1，因为函数f (x )在区间(12，3)上单调递减，所以f ′(x )≤0在区间(12，3)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（12）≤0f ′（3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－a 2＋1≤09－3a ＋1≤0，解得a ≥103，所以实数a 的取值范围为[103，＋∞)．答案：[103，＋∞)9．(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 10．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2) 三、解答题11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )＝m （x －1）x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋（2m －2）x －1x （x ＋1）2≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．12．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又因为f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x ，设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．1．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′（x ）＋m2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x. 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x. 所以g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t ，3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（t ）＜0，g ′（3）＞0.由g ′(t )＜0，得3t 2＋(m ＋4)t－2＜0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9. 2．设函数f (x )＝x 2＋ax －ln x .(1)若a ＝1，试求函数f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝f （x ）ex ，若函数g (x )在区间(0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝2x 2＋x －1x＝（x ＋1）（2x －1）x，所以当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，当x ＞12时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．(2)g (x )＝f （x ）e x ＝x 2＋ax －ln xe x ，定义域为(0，＋∞)．则g ′(x )＝－x 2＋（2－a ）x ＋a －1x ＋ln xex， 令h (x )＝－x 2＋(2－a )x ＋a －1x ＋ln x ，则h ′(x )＝－2x ＋1x 2＋1x ＋2－a ，令m (x )＝h ′(x )，x ∈(0，＋∞)，则m ′(x )＝－2－2x 3－1x2＜0，故h ′(x )在区间(0，1]上单调递减，从而对任意的x ∈(0，1]，h ′(x )≥h ′(1)＝2－a . ①当2－a ≥0，即a ≤2时，h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，1]上单调递增， 所以h (x )≤h (1)＝0，即g ′(x )≤0，所以g (x )在区间(0，1]上是减函数，满足题意；②当2－a <0，即a >2时，h ′(1)<0，h ′⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a ＋a 2＋2>0，0<1a<1， 所以y ＝h ′(x )在区间(0，1]上有唯一零点，设为x 0， 所以h (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，1]上单调递减，所以h (x 0)>h (1)＝0，而h (e －a )＝－e －2a ＋(2－a )e －a ＋a －e a ＋ln e －a <0，所以y ＝h (x )在区间(0，1)上唯一零点，设为x ′，即函数g ′(x )在区间(0，1)上有唯一零点， 所以g (x )在区间(0，x ′)上单调递减，在(x ′，1)上单调递增，不满足题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，2]．。

(g(x) HO).第三章 导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算本节主要包括2个知识点：1•导数的概念及运算； 2.导数的儿何意义.突破点（一）导数的概念及运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1. 瞬时速度和瞬时加速度‘ ‘ △ S △s⑴瞬时速度：对于tE [心，to+ A 刃时的平均速度v =R:,当A f-*o 时，v 趋 近于一个常数，这个常数就是t=t.的瞬时速度.-------------------------------------------------- △ V -- △ V （2）瞬时加速度：对于tE [ to, to+ A 刃时的平均加速度a =冬〒，当A r-*0时，a =冬〒趋近于一个常数，这个常数就是t=h 的瞬时加速度.2. 函数y=f （x ）在/=*）处的导数A / 设函数尸心）在区|'可（臼，b ）上有定义，心b ）,若厶/无限趋近于0吋，比值二函数fd ）在处的导数，记作尸（心）.3. 函数厂（0的导函数若函数f （x ）在区间（曰，方）内任意一点都可导,则代方在各点的导数也随着自变量丸 的变化而变化，因而也是自变量/的函数,该函数称为fd ）的导函数,记作尸3.4. 基本初等函数的求导公式原函数a X R (日>0,且 N HI)log^(c?>0,且占1)X eIn x sin x cos X导函数a xaln a1 x\x\ aeA丄 Xcos X — sin x5.导数运算法则(1) [fd)±g3]‘ =f (方 ±呂’ 3；(2) [f (动 g(x) ]' =f (x)g(x)+f(x)g‘(力；(3) [g)]‘ =Cf C Y )(C 为常数)；f Xo+ A X — f XoA T无限趋近于 个常数昇,则称f （x ）在X=Ab 处可导,并称常数A 为In xI IIx — x fIn x= 2X一 • x~ln x x1 —In x= 2 ・ Xsin x ' cos x —sin xcos xcos"cos xcos x —sin x —sin /coshIICOS X(4)/ =(3VT — (2')‘ +(e)z= (3・ e”+3W)' —(2・ = 3A (ln 3)・ e'+3 e A -2v ln 2 = (ln 3+1) • (3e)J-2'ln 2.［方法技巧］导数的运算方法考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”"一已知函数的解析式求导数［例1］求下列函数的导数:(3)y=tan x\ ⑷ y=3e x -2v +e.(3)/pin x (cos x.(2)/(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导.(4)根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导.(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.二导数运算的应用［例2］(1) (2017 •济宁二模)已知函数f3=/(2 017+ln 方，F仏)=2 018,则Xa= ________ .(2)已知£(力=*#+2/尸(2 017) +2 0171n %,则f' (1)= .［解析］(1)由题意可知尸(^) = 2 017 + ln x+x• ~=2 018 +In x.由尸(%o) =2 018, x得］n Ao=O,解得Xo=［.9 ni7(2)由题意得尸(力=才+2尸(2 017)+ ------------- ,2017所以尸(2 017)=2 017 + 2尸(2 017)+亍而■即f (2 017) =-(2 017 + 1)=-2 018.故尸(1)=1+2X (-2 018)+2 017 = -2 018.［答案］仃)1⑵-2 018［方法技巧］能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.［考点二 1 (2018 •太仓中学月考)已知£(A) = sin x+cos “ iE fi(x)= f i(x),石3 =f 2(方，…，力(劝n-dx)且刀22),则彳£+彳£------------ _________________ •解析：fig = f i(x)=cosx—sin “ fi(x) = f 2(A r) = —sin cos x, f\3=f‘ 3(方= sin cos x, =f 4(x)=sin x+cos x.故周期为4,前四项和为0,所以原式=答案：12.［考点X］（2018 •徐州期初检测）记定义在R上的函数y =f（0的导函数为f （0.如果存在刃£3,方］,使得flS = F（心）。

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.11 导数在研究函数中的应用（二）课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.11 导数在研究函数中的应用（二）课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

11 导数在研究函数中的应用(二)［重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2017·安庆二模）若函数y＝a e x＋3x在R上有小于零的极值点,则实数a的取值范围是（）A．（－3,＋∞）B．(－∞，－3)C。

错误!D。

错误!答案B解析y＝a e x＋3x，求导，y′＝a e x＋3,由若函数y＝a e x＋3x在R上有小于零的极值点，则y′＝a e x＋3＝0有负根,则a≠0，则e x＝－错误!在y轴的左侧有交点，∴0<－错误!〈1，解得：a〈－3，实数a的取值范围为(－∞，－3）．故选B。

2．（2018·太原模拟)设f(x），g(x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x<0时，f′（x)g（x）－f(x)g′（x)>0,且f（－3）＝0,则不等式错误!<0的解集是( ）A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．（－3，0）∪（0,3)C．（－∞，－3)∪(3,＋∞) D．（－∞，－3）∪（0,3）答案D解析∵f（x)，g(x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴错误!为奇函数，错误!的图象关于原点对称．当x〈0时,f′(x)g（x）－f(x)g′(x)〉0，∴错误!′＝错误!〉0，∴当x〈0时，错误!是增函数,故当x〉0时,错误!也是增函数.函数错误!的单调性的示意图,如图所示：∵f（－3）＝0，∴f（3)＝0，∴由不等式错误!〈0,可得x<－3或0〈x〈3，故原不等式的解集为{x|x<－3或0〈x〈3｝，故选D.3．(2017·冀州月考)函数f(x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则x错误!＋x错误!等于( ）A。

江苏专用2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2利用导数研究函数的单调性课时作业理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)． 答案 (0,1)2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述：①f (b )>f (c )>f (d )； ②f (b )>f (a )>f (e )； ③f (c )>f (b )>f (a )； ④f (c )>f (e )>f (d )．其中正确的是________(填序号)．解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 答案 ③3．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为________．解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，524．已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x. 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)． 答案 (－2，2)5．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3)6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a >1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立． ∵函数y ＝x －2与函数y ＝－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴a ≥4－2×12＝3.答案 [3，＋∞)7．(2017·南京、盐城模拟)已知f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c 在区间(m ，m ＋1)上为递减函数，则m 的取值范围为________．解析 由f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c ，得f ′(x )＝2x＋2x －5，又函数f (x )在区间(m ，m ＋1)上为递减函数， ∴f ′(x )≤0在(m ，m ＋1)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2m －5≤0，2m ＋1＋m ＋－5≤0，解得12≤m ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 8．(2017·南通、扬州、泰州调研)设f (x )是R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x >0时，(x2＋1)·f ′(x )－2x ·f (x )<0，则不等式f (x )>0的解集为________． 解析 因为当x >0时，(x 2＋1)·f ′(x )－2x ·f (x )<0恒成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 2＋1′<0恒成立，所以函数g (x )＝f xx 2＋1在(0，＋∞)上单调递减．又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，所以f (1)＝0，g (1)＝0，所以在(0,1)上恒有f (x )>0，在(1，＋∞)上恒有f (x )<0.由图象易知在(－∞，－1)上恒有f (x )>0，在(－1,0)上恒有f (x )<0，即不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案 (－∞，－1)∪(0,1) 二、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2017·泰州模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ＋c (其中f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23为f (x )在点x ＝23处的导数，c 为常数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]e x，若函数g (x )在[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，令x ＝23，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，由f ′(x )>0，得x <－13或x >1；由f ′(x )<0，得－13<x <1.故f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. (2)∵g (x )＝(－x 2－x ＋c )·e x， ∴g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x.当函数g (x )在区间[－3,2]上单调递增时，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11. 故c 的取值范围是[11，＋∞)．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0， 则f (x )在(－∞，1)上为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .答案 c <a <b12．(2016·全国Ⅰ卷改编)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x－1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立． 令t ＝cos x ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1,1]上恒成立．∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立． 令g (t )＝4t 2－3at －5， 则⎩⎪⎨⎪⎧g ＝－3a －1≤0，g－＝3a －1≤0，解之得－13≤a ≤13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1313．(2017·石家庄质检)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析 令g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xfx －f xx 2>0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又g (－x )＝f －x －x ＝－f x －x ＝f xx＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)．则f (x )＝xg (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，gx或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，gx ，解得x >2或－2<x <0，故不等式f (x )>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案 (－2,0)∪(2，＋∞)14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )＝m x －x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，∴φ′(x )＝－x 2＋m －x －1x x ＋2≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2].。

专题7：导数及其应用问题归类篇类型一：切线方程一、前测回顾1．曲线y ＝x 3上在点(－1，－1)的切线方程为 ． 答案：y ＝3x ＋2．解析：y ′＝3x 2，则切线的斜率是3×(－1)2，再利用点斜式． 2．曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 过点(0，0)的切线方程为 ． 答案：y ＝2x 或y ＝－14x ．解析：y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为（x 0，x 03－3x 02＋2x 0），则切线的斜率为3x 02－6x 0＋2．切线方程为y －(x 03－3x 02＋2x 0)＝(3x 02－6x 0＋2)(x －x 0)，（0，0）代入，得x 0的值，从而得到切线方程．二、方法联想涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．三、归类巩固*1．若曲线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为 . (已知切线方程求参数值) 答案：ln2－1，**2．曲线y ＝－1x(x ＜0)与曲线y ＝ln x 公切线（切线相同）的条数为 .（求两曲线的公切线条数） 答案：1***3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x ＞0)和y ＝x 3(x ＞0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2),则x 1x 2的值是（已知两曲线的公共切线，求切点） 答案 43．解析：由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12，函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89．所以 x 1x 2＝43．**4．若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，求a 的值． (已知公切线，求参数的值) 答案：－2564或－1．解析：设曲线y ＝x 3的切点(x 0，x 30)，则切线方程为y －x 30＝3x 20 (x －x 0)，切线过点(1，0)，所以－x 30＝3x 20 (1－x 0)，所以x 0＝0或x 0＝32， 则切线为y ＝0或y ＝274x －274，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，则ax 2＋154x －9＝0，所以a ≠0且△＝0； 由或y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，则ax 2＋154x －9＝274x －274，所以a ≠0且△＝0。

一、填空题1．已知曲线y ＝1x 上一点A (1,1)，则该曲线在点A 处的切线方程为________． 解析：y ′＝(1x )′＝－1x 2，故曲线在点A (1,1)处的切线的斜率为－1，故所求的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝－2. 答案：－23．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝4x 3－1，∴f ′(x 0)＝4x 30－1，由题意知4x 30－1＝3，∴x 0＝1，则y 0＝0.即P (1,0)． 答案：(1,0)4．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最短距离为________．解析：y ＝x 2－2ln x ＝x 2－ln x ，y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，即2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y ＝x ，其到直线y ＝x －2的距离2即为所求． 答案： 25．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．解析：因为f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)·sin π4＋cos π4⇒f ′(π4)＝2－1，故f (π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4⇒f (π4)＝1. 答案：16．设直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，则实数b 的值是________． 解析：求导可得y ′＝3x 2－6x ，由于直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，所以3x 2－6x ＝－3，解得x ＝1，所以切点为(1，－2)，同时该切点也在直线y ＝－3x ＋b 上，所以代入直线方程可得b ＝1. 答案：17．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 答案：2128．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是________．解析：f ′(1)＝(sin θx 2＋3cos θ·x )|x ＝1 ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)． ∵θ∈[0，5π12]， ∴θ＋π3∈[π3，3π4]， ∴sin(θ＋π3)∈[22，1]， ∴f ′(1)∈[2，2]． 答案：[2，2]9．如图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝________.解析：∵ f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图． 由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1. 故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：－13 二、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2.解析：(1)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)·(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .11．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解析： (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94b ＝－83.由a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)在曲线上任取一点(x 0，x 0＋1x 0－1)．由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝[1－1(x 0－1)2](x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为(1，x 0＋1x 0－1)． 令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12|x 0＋1x 0－1－1|·|2x 0－1－1|＝12|2x 0－1||2x 0－2|＝2.所以所围三角形的面积为定值2.12．设函数f (x )＝x 2－a ln x 与g (x )＝1a x －x 的图象分别交直线x ＝1于点A ，B ，且曲线y ＝f (x )在点A 处的切线与曲线y ＝g (x )在点B 处的切线斜率相等． (1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)当a >1时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值；(3)当a <1时，不等式f (x )≥m ·g (x )在x ∈[14，12]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由f (x )＝x 2－a ln x ， 得f ′(x )＝2x 2－a x .由g (x )＝1a x －x ， 得g ′(x )＝2x －a2a x. 又由题意可得f ′(1)＝g ′(1)， 即2－a ＝2－a2a ， 故a ＝2或a ＝12.所以当a ＝2时，f (x )＝x 2－2ln x ， g (x )＝12x －x ；当a ＝12时，f (x )＝x 2－12ln x ， g (x )＝2x －x . (2)当a >1时， h (x )＝f (x )－g (x ) ＝x 2－2ln x －12x ＋x ， 所以h ′(x )＝2x －2x －12＋12x＝2(x －1)(x ＋1)x －x －12x＝(x －1)[4(x x ＋x ＋x ＋1)－x2x ]．由x >0，得4(x x ＋x ＋x ＋1)－x2x>0.故当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以函数h (x )的最小值为 h (1)＝1－2ln 1－12＋1＝32. (3)当a ＝12时，f (x )＝x 2－12ln x ，g(x)＝2x－x.当x∈[14，12]时，f′(x)＝2x－12x＝4x2－12x<0，f(x)在[14，12]上为减函数，f(x)≥f(12)＝14＋12ln 2>0.当x∈[14，12]时，g′(x)＝2－12x＝4x－12x>0，g(x)在[14，12]上为增函数，g(x)≤g(12)＝1－22，且g (x)≥g(14)＝0.要使不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[14，12]上恒成立，当x＝14时，m为任意实数；当x∈(14，12]时，m≤f(x)g(x).而[f(x)g(x)]min＝f(12)g(12)＝2＋24ln(4e)，所以m≤2＋24ln(4e)．实数m的取值范围为(－∞，2＋24ln 4e)。