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数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。
答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。
答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。
答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。
3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。
答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。
《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。
考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。
A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。
A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。
A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。
A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。
A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。
A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。
试题(1卷)一．填空（每小题3分,共15分）1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出，且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ;3。
Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,0>s ；4。
二重积分的中值定理为：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时,曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是： 。
二.完成下列各题(每小题5分，共15分)1。
设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,； 2。
设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ；3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三。
计算下列积分(每小题10分，共50分）1。
⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段；2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向；3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(， 其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4。
⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域;5.dSy xS)(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分。
四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧。
自考数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = ln(x)D. y = x^2答案：A2. 函数f(x) = x^3 + 2x在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数答案：A3. 极限lim (sin(x))/x 当x→0时的值是：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 0/0 型不定式B. ∞/∞ 型不定式C. 0•∞ 型不定式D. ∞ - ∞ 型不定式答案：B5. 函数f(x) = 1/x在x=0处是：A. 连续的B. 可导的C. 有界的D. 无界的答案：D6. 以下哪个序列是收敛的？A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 2, 2, 2, ...C. -1, 1, -1, 1, ...D. -1, -2, -3, ...答案：B7. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)表示：A. 函数在该点的斜率B. 函数在该点的切线方程C. 函数在该点的值D. 函数在该点的二阶导数答案：A8. 以下哪个选项是泰勒级数的基本形式？A. f(x) = Σ[(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!]B. f(x) = Σ[f^(n)(a) * (x-a)^n / n!]C. f(x) = Σ[f^(n)(0) * x^n / n!]D. f(x) = Σ[f(a) * (x-a)^n]答案：C9. 以下哪个选项是定积分的几何意义？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点的集合C. 曲线的长度D. 曲线的斜率答案：A10. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = y/x的一个解？A. y = x^2B. y = e^xC. y = xD. y = 1/x答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3的最小值是______。
数学分析题库一． 选择题１． 函数712arcsin 162-+-=x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２． 函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）.（A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定.３． 点0=x 是函数xe y 1=的（ ）.（A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.４． 当0→x 时，x 2tan 是（ ）.（A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小;(C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５． x x x x 2)1(lim -∞→的值（ ）． （A ）e; (B)e 1; (C)2e ; (D)0. ６． 函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ ）．（A ）00)()(x x x f x f -- ; (B)xx f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 0 ; (C) ()()xf x f x ∆-→∆0lim 0 ; (D)()()x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆2lim 000. ７． 若()()2102lim 0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C)21; (D)41,８． 过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）.（A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ;(D)x y =-1.９． 若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（ ）.（A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的;(C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的.10．函数()x x x x f 933123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（ ）.（A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.11．函数()x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-t t e y e x 35确定，则=dx dy （ ）. （A ）t e 253; (B)t e 53; (C) t e --53 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是),(b a 上的（ ）（A ） 递增函数 ; （ B ） 递减函数;（C ） 严格递增函数; （D ） 严格递减函数.13．()n =（A ） 21; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1;14．极限01lim sin x x x →=（ ） （A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ）。
《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。
数学分析试题说 明1、本试题为闭卷试题，考试时间为150分钟，试卷总分为200分；2、学生考试不能带计算器，结果表示成最简洁形式；高等代数部分（满分100分）一．判断题（在正确的命题后面划“√”，错误的划“×”.每小题1分，共11分）1.设秩,r A =则 A 的r 阶子式不全为0; （ ）2.齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--+=-+-=-+-0550854013113044324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 有解(1,1,1,1),则系数矩阵A 的行列式.0≠A : （ ）3.232221131211333231333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a -= （ ）4.设v u 是整系数多项式)(x f 的有理根，则uv f u v f +--)1()1(与都是整数。
( ) 5.若)(P M A n ∈; )2(2-*=>n AA n 则 （ ）6.设ηζ,是欧氏空间中的两个向量，若,2=ξ1=η,则12,2>=-+<ηξηξ.( )7.若.)(,,,),(,111---=∈A B AB AB B A P M B A n 且也可逆则可逆且 （ ）8.若β不能由s ααα,,,21 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. （ ） 9．线性变换 σ的象空间和核空间都是 σ的不变子空间 （ ）10.设,1|⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a d c b a W 则W 对于矩阵的加法与数乘不是子空间. （ ）11.n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ，把V 的标准正交基变为标准正交基.（ ）二、选择题(本题9分,答对每小题3分,答错不得分,且每分小题有且仅有一个正确答案).1.设-A 为线性方程组B AX =的增广矩阵,已知该方程组无解,且}4,3,2{∈-A rank ,问以下哪个数不可能是rankA 的取值?（ ）)(A 1; )(B 2; )(C 3; )(D 4. 2.以下四个命题中哪个是错误的?（ ）)(A 若向量组中含有零向量,则该向量组线性无关; )(B 若向量组线性无关,则其部分线性无关; )(C 若向量组线性相关, 则其延伸组线性相关;)(D 若向量组的秩等于其向量的个数,则该向量组线性无关. 3. 设,333231232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a aa a a a a a A ,222232221331332123111131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=a a a a a a a a a a a a B ,0101000011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P ,1000120012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P ,1020100013⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P 则). (=B; )(21AP P A ; )(12A P P B ; )(13A P PC . )(31P P AD 三、 填空题(本大题满分10分,每小题答对得2分,答错不得分)1.若14,2,1),(,-=-=∈B A B A P M B A T 则矩阵且的行列式等于 .2.已知()()()()x r x g x h x f +=，则()()()=x g x f , .3.A 是n 阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*AA = 。
4.设 ,,,21n ααα 及 ,,,21n βββ 是n 维线性空间V 的两个基，它们的关系是()() ,,,,,,2121T n n αααβββ =，那么秩() =T .5.在2F 中，若线性变换 ,τσ分别为()()()() ,,,2,,x y y x y y x y x -=+=τσ，则()=y x ,στ .四、（本题满分12分）选择λ，使线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+,46224321321321x x x x x x x x x λ 有解，并求它的全部解.五、（本题满分8分）设,45x 2g(x ) ;951624)(23234+--=++--=x x x x x x x f 求)).(),((x g x f六、（本题满分8分）求下列行列式的值.1111111111111111321na a a a ++++七、（本题满分5分）设3][x P 表示由次数小于3的多项式添加零多项式构成的数域P 上的线形空间.定义线性变换)())(('x f x f D =.求D 在基21 ,1 1x x x ，+++下的矩阵.八、（本题满分18分）已知二次型 322322213212334),,(x x x x x x x x f +++=. 1.求二次型对应的矩阵A ；)3('2.求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角形；)10('3.用正交变换将二次型化为标准形（要求写出所用的变换）； )2('4.求二次型的秩r 及正惯性指数p .)2('九、（本题满分10分）设,,),(,可逆且B A P M B A n ∈1. 证明：.)(***=A B AB2. 对,)(1*-A 你能得出什么结论？如何证明.十、证明题（本题满分10分）1.令σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换.如果n ξξξ,,,21 分别是σ的属于互不相同的本征值n λλλ,,,21 的本征向量,那么n ξξξ,,,21 线性无关.3. 设σ为线性空间3R V =的线性变换，且，x z y x ),0,0(),,(-=σ若取321,,e e e 是线性空间V 的标准基,证明σ的核空间为:).,( 32e e L数学分析部分（总分100分）十一、填空题（本题共5个小题，每小题2分，计10分）1、函数()dt ttx f x ⎰=22sin π的定义域是 。
2、已知函数()z y x f ,,在y x 0平面上有界闭区域S 上连续，则()=⎰⎰dxdy z y x f S,, 。
3、()A x f x x =→0lim 的归结原理是。
4、幂级数()0,01>>+∑∞=b a ba x n nnn的收敛域是 。
5、函数()0333>--=a y x axy u 的极值为 。
十二、选择题（共4个小题，单选题，每小题3分，计12分）1、若函数()x f 在a x =的某邻域内有定义，则函数()x f 在a x =处可导的一个充分条件是（ ）（A ）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a f n a f n n 1lim 存在。
（B ）()()n n a f n a f n +-+→2lim0存在。
（C ）()()n n a f n a f n 2lim--+→存在。
（D ）()()nn a f a f n --→0lim 存在。
2、若()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1s in ,22222222y x y x y x y x y x f , 则函数()y x f ,在点()0,0有（ ）（A ）偏导数不存在。
（B ）偏导数存在且连续。
（C ）可微。
（D ）不可微。
3、若x arctan 是函数()x f 的一个原函数，则()⎰-dx x xf 21等于（ ）（A ）()C x+-21arctan 。
（B ）()C x +--21arctan 21。
（C ）()C x x +-21arctan 。
（D ）()C x x +--21arctan 21。
4、反常积分()0sin 0≠⎰+∞b dx x bxλ，则（ ）（A ）10≤<λ时绝对收敛。
（B ）21<<λ时绝对收敛。
（C ）0≤λ时绝对收敛。
（D ）2≥λ时绝对收敛。
十三、判断题（正确打“√”，错误打“×”，共8个小题，每小题1分，计8分）1、 无界量一定是无穷大量。
（ ）2、 导函数若存在不连续点，只能是第一类不连续点。
（ ）3、费马定理说明了函数的极值点必为稳定点。
（ ）4、可积函数未必有原函数，有原函数的函数未必可积。
（ ）5、任一有界数集的上下确界必属于该数集。
（ ）6、二元函数()y x f ,在点),(00y x 的两个累次极限存在且相等，则函数()y x f ,在点),(00y x 的重极限必存在，反之未必成立。
（ ）7、当函数()P f 在点0P 可微时，函数()P f 在点0P 的梯度方向是()P f 的值增长最快的方向。
（ ）8、聚点定理在有理数集内其结论一般不成立。
（ ）十四、计算题（共5个小题，每小题6分，计30分）1、求极限nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→2111lim2、求极限()()dxdy e y xy xRy R x R 22,22lim +-≤≤+∞→⎰⎰+3、设()z y x f u ,,=有连续的一阶偏导数，又函数()x y y =及()x z z =分别由下列两式确定：2=-xy exy和dt t t e z x x ⎰-=0sin ，求dxdu4、计算⎰+-Ly x ydx xdy 22，其中L 为平面闭区域D 的边界线。
5、求三重积分⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22，其中V 是由平面 x y z x x ====,0,2,1及y z =围成的区域。
十五、解答题（共2个小题，第小题10分，共计20分）1、讨论级数()∑∞=+--1111n np n n 的绝对收敛与条件收敛性。
2、已知函数列()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤=11,0121,22210,2x n n x n x na a n x x na x f n n n n ， 2,1=n （1） 求极限函数()x f ；（2） 证明1≡n a 时，函数列()}{x f n 在[]1,0上非一致收敛；（3） 给出函数列()}{x f n 在[]1,0上一致收敛的条件；（4） 在什么条件下()()⎰⎰=∞→1010limdx x f dx x f n n ？你所得的结论说明了一个什么事实？十六、证明题（共二个小题，每小题10分，共计20分）1、证明：若函数()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f x +∞→lim 存在，则函数()x f 在[)+∞,a 上一致连续。
2、证明：若b a <<0，证明不等式aa b a b b a b -<<-ln 。
