2017-2018学年河北省石家庄市届高三数学下学期四月一模考试试题文【有答案】

高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()(){}1,2,3,4,5,|140A B x N x x ==∈--<，则A B = （ ） A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,4 2.若复数z 满足23zi i =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．32i -- B ．32i -+ C ．23i + D ．32i -3.已知向量()()()2,1,1,,2,4a b m c === ，且()25a b c -⊥，则实数m =（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．3104. 已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =（ ） A ．95 B ．90 C. 85 D ．805.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-，则输出的S 的值为 （ ）A ．4B ．5 C. 8 D ．96. 某几何体的三视图如图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．6 7. 若,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin cos f x x x ωω=+图象的一个对称中心，则ω的一个取值是（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．8 8. 设函数()22,1log ,1x n x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，若324f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数n 为（ ） A ．54-B ．13- C. 14 D ．529.若,x y 满足103220x y mx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩且3z x y =-的最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．13 B ． 23C. 1 D ．2 10. 已知圆()221:24C x y +-=，抛物线()221:20,C y px p C =>与2C 相交于,A B 两2C 的方程为（ ） A ．285y x =B ．2165y x = C. 2325y x = D ．2645y x = 11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，点P 在棱AC 上运行，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ． C.D ．12.已知函数()21,f x x ax x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是 （ ）A ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,e e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．1,e e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知20,,cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos α= ． 14.已知直线():00,0l ax by ab a b +-=>>经过点()2,3，则a b +的最小值为 ．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 为1121231234121,,,,2334445555n n n n- ,,,,,,,,,,,，若14k S =，则k a = ． 16.已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于,M N 两点，且0,MF NF MNF =∆的面积为ab ，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()2234a cb ac -=-.（1）求cos B 的值；（2）若b =，且sin sin sin A B C 、、成等差数列，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,,2,3,4,AD BC CD BC AD AB BC PA M ⊥====为AD 的中点，N 为PC 上一点，且3PC PN =.（1）求证：//MN 平面PAB ； （2）求点M 到面PAN 的距离. 19. （本小题满分12分）某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹琴的人数，并以组距为5将数据分组成[)[)[)[]0,5,5,10,,30,35,35,40 ，作出频率分布直方图如下.（1）由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；（2）若会弹钢琴的人数为[)35,40的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为[)30,35的班级作为第二类备选班级，现要从这两备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率. 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比.21. （本小题满分12分）已知函数()()()2ln bx,,,xf x x axg x xe b a b R e =-+=-∈为自然对数的底数，且()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =-.（1）求实数,a b 的值； （2）求证：()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 2sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； （2）在（1）的条件下，若6AP AQ =，求直线l 的普通方程. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()3f x x x m x R =-++∈. （1）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；f x≤的解集不是空集，求参数m的取值范围.（2）若不等式()52016石家庄市质检一数学文科答案一、选择题：1-5 ABDBC 6-10 ACDDC 11-12 AA二、填空题：13. 14.15. 16.三、解答题：本大题共5小题，共60分。

河北省石家庄市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，则复数=( )A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．∅3．p：若sinx＞siny，则x＞y；q：x2+y2≥2xy，下列为假的是( )A．p或q B．p且q C．q D．￢p4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣25．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( )A．﹣B．C．±D．﹣k6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( )A．﹣B．C．1 D．7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( )A．2 B．2C．4 D．68．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( )A．1 B．C．D．与M点的位置有关9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A．1﹣B．C．1﹣D．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( )A．B．C．1+D．1+11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．11212．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( )A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．[0，3]D．（0，3）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=__________．14．已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为__________．15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是__________．16．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为__________．三、解答题（共8小题，满分70分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量8 9 10 11 12频数9 11 15 10 5若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．24．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，则复数=( )A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=，故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可．解答：解：∵集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}={y|y＞0}，∴P∩Q={1，2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．p：若sinx＞siny，则x＞y；q：x2+y2≥2xy，下列为假的是( )A．p或q B．p且q C．q D．￢p考点：复合的真假．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说p是假，而根据基本不等式即可判断出q为真，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答：解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；∴p是假；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴q是真；∴p或q为真，p且q为假，q是真，￢p是真；∴是假的是B．故选B．点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明p是假，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）为偶函数，以及x＞0时f（x）的解析式即可得到f（﹣）=．解答：解：f（x）为偶函数；∴f（）=f（）又x＞0时，f（x）=log2x；∴=；即f（﹣）=．故选B．点评：考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），以及对数的运算．5．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( )A．﹣B．C．±D．﹣k考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( )A．﹣B．C．1 D．考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据条件求出函数的周期和ω，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，∴函数的周期T=，即=，则ω=2，则f（x）=tan2x则f（）=tan（2×）=tan=，故选：D点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据条件求出函数的周期和ω是解决本题的关键．7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( )A．2 B．2C．4 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=1满足条件i≤4，S=1，i=2满足条件i≤4，S=，i=3满足条件i≤4，S=2，i=4满足条件i≤4，S=2，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( )A．1 B．C．D．与M点的位置有关考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出．解答：解：如图所示，连接BC1，取=，则PN∥D1C1，，PN=1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A．1﹣B．C．1﹣D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( )A．B．C．1+D．1+考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．解答：解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．112考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×故该几何体的体积是64+8=72故选B点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( )A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．[0，3]D．（0，3）考点：分段函数的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．解答：解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0，所以b+c的取值范围为（0，3），故选：D．点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出=||•||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可．解答：解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1，∴=||•||cos=2×=﹣1，∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1﹣2=3，即|+|=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14．已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为24．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求．解答：解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，得，由已知得a4＞a2，∴解得a2=1，a4=5，∴d=，则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1，∴．故答案为：24．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题．15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围．解答：解：由题意作出其平面区域，当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形，当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0＜k＜1；故答案为：（0，1）．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题．16．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．解答：解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．三、解答题（共8小题，满分70分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，a n=λS n﹣1+1，可得a n+1=（1+λ）a n，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n=λS n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3=（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1．∴a n=2n﹣1，b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）a n b n=（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n=（3n﹣5）×2n+5．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量8 9 10 11 12频数9 11 15 10 5若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，（2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率．解答：解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100，当n＞10时，y利润=50×10+（10﹣n）×30=800﹣30n，所以函数解析式y利润=，（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380，日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×=440，日需求量为10，频数9，利润为50×10=500，日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560，∴当天的利润在区间[400，500]有11+9=20天，故当天的利润在区间[400，500]的概率为=．点评：本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清关系，正确代入数据即可．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直．解答：解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE，此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥CD，过D作DH⊥BC，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD，BD∩PF=F，所以CD⊥平面PBD．点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线的定义求得抛物线方程．（2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于m的函数，利用导数求得最大值．解答：解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x=﹣1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：y2=4x．（2）由题意，可设l的方程为y=x﹣m，其中，0＜m＜5．由方程组，消去y，得x2﹣（2m+4）x+m2=0，①当0＜m＜5时，方程①的判别式△=（2m+4）2﹣4m2=16（1+m）＞0成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴又∵点A到直线l的距离为∴令f（m）=m3﹣9m2+15m+25，（0＜m＜5）f'（m）=3m2﹣18m+15=3（m﹣1）（m﹣5），（0＜m＜5）∴函数f（m）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减．当m=1时，f（m）有最大值32，故当直线l的方程为y=x﹣1时，△AMN的最大面积为点评：本题主要考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线的综合应用，属中档题，在2015届高考中属于常考题型．21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域，再求导f′（x）=2（a+1）﹣a=，从而由题意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题；（2）由二次函数的性质易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x1＞x2，从而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，从而利用导数证明H（x）=f（x）+g （x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数即可．解答：解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（a+1）﹣a=，∵f′（2）=1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立，即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立，故，解得，﹣1≤a≤0；（2）证明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，则g（x1）＞g（x2）；则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=，令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1），①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2，故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数，故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1+2a+2=a+2＞0，②1＜a＜7时，M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x=∈（1，+∞），故M（x）≥（）2﹣（a+1）+2（a+1）=（a+1）（7﹣a）＞0，故﹣1＜a＜7时，M（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即H′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，故f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），故原式成立．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，属于难题．22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答：证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．解答：解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．24．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．考点：基本不等式；函数的定义域及其求法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题 文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.复数121ii-=+（ ） A ．i B ．i - C ．132i -- D ．332i- 3.已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b = 或a b =-；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4.若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2018a 的值为（ ） A ．2 B ．-3 C ．12-D ．135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．84平方里B ．108平方里C ．126平方里D ．254平方里 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(3)f x f -≥的解集为（ ）A ．[3,3]-B ．[2,4]-C ．[1,5]-D ．[0,6] 10.抛物线C ：214y x =的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2 C．．4 11.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则AC +的最大值为（ ）A．．．12.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1 B．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设向量(1,2)a m = ，(1,1)b m =+，若a b ⊥ ，则m = ．14.x ，y 满足约束条件：11y x x y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值；（Ⅱ）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()x f x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.答案一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题 13. 13-14. 3 15. 乙16. 三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-. （2）由（1）得1(32)(31)n n n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+， 12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+11(1)33131n n n =-=++. 18．（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //，所以四边形BCDM 为平行四边形，又CD AB 2=，所以M 为AB 的中点. 因为λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD 平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中，因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥，由已知求得AD =，所以1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥，又求得SAD 的面积为2，所以由B ASD S ABD V V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为：N ,100∈+=n n y ，乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ，（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲（）=155.4， ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙（）=155.6， ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②、答案一：由以上的计算可知，虽然x x <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x x <乙甲，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF的斜率不存在时，设(A -，则(1,B -， 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --=，275x ∴=，210y =-7(,)510D -，∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--，直线OA的斜率为22k =-，121(626k k ∴⋅=-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x ，设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=， 又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---，∴直线BD 的斜率为00000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11xf x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11xg x x e x =+--，()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<， 当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-， ()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 故()()2()(0)011xg x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+.法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11xf x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+， 令()()()11xg x x e x =+--，()()22x g x x e '=+-，令当时，，单调递减，且； 当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故()()2()(0)011xg x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+，故2()f x mx x ≥+. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y +，曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+.(2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>），6πS MON =∆，，当12πθ=时， 32+≤∆MO N S ， 所以△MON面积的最大值为223. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-； （2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=， 222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.答案一、选择题 （A 卷答案）1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD （B 卷答案）1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13. 13-14. 3 15. 乙16. 三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，……………4分 所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分 （2）由（1）得1(32)(31)n n n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，…………………………8分 12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+…………………10分11(1)33131n n n =-=++.………………………12分. 18．（1）因为//BC 平面SDM, BC ⊂平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又，CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二） 文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}|33,B x x x R =-<<∈，则A B =（ ）A ．(2,3)B ．[2,3)C ．(3,)+∞D ．(2,)+∞2.若复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i --D ．1i -+3.已知命题p ：13x <<，q ：31x>，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数2sin ()1xf x x =+的部分图像可能是（ ）5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆221124x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22162x y -=D ．22126x y -=6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为1:一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（ ）A． B． C．1 D．17.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A．4849B．5051C．4951D．49508.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．83B．23C．43D．29.将函数()2sinf x x=图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x=图象，若关于x的方程()g x a=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．[]2,2-B．[2,2)-C．[1,2)D．[1,2)-10.若函数()f x，()g x分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足()2()xf xg x e+=，则（）A ．(2)(3)(1)f f g -<-<-B ．(1)(3)(2)g f f -<-<-C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A．2BC1 D12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()l n ()0x f x x f x +>（其中'()f x 为()f x 的导函数），若10a b >>>，则下列各式成立的是（ ）A ．()()1f a f b ab >> B ．()()1f a f b a b <<C ．()()1f a f b a b << D ．()()1f a f b a b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角是3π，||1a =，1||2b =，则向量2a b -与a 的夹角为 ． 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ．15.设变量x ，y 满足约束条件4,326,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则22(1)x y -+的取值范围是 ．16.三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两成60︒，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积为，求b c +的值．18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男55女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．20.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．21.已知函数()x xf x e =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()y f x =的极值点为0x x =，若12()()f x f x =，且12x x <，求证：0122x x x e +>请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）文科数学答案 一、选择题1-5:ACAAD 6-10:CBBCD 11、12：DD 二、填空题13.3π 14.52- 15.9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.112π 三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2)1sin 22ABCSbc A bc ====又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc =+-∴=+- 所以，2()4, 2.b c b c +=+=． 18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率710p =.19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB.∵PB ⊥PD ，CD ∩PD=D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD. ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD. （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接OP 、OE. ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==，∵PB PC =，∴PO BC⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD,∴PO ⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE ⊥AE. ∵PO ∩PE=P ，∴AE⊥平面POE ，∴AE ⊥OE.∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD, ∴Rt OCERt EDA ∆∆，∴OC CEED AD =．∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅112132=⨯⨯=．20.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x k x x +=⎧∴⎨⋅=-⎩， 112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=， 22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±，∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=．PCB AEDO法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩直线'l 的方程为012y x x =+，过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x - 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MABSAB d x ==⨯+=01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+． 21.解：(1)'21()()x x x xe xe xf x e e --==，令'()0f x =，则1x =， 当(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <， 则函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞.（2）由可得()()10x f x x -'=-=e ，所以()y f x =的极值点为01x =.于是，0122x x x +>e 等价于122x x +>e ,由()()12f x f x =得1212x x x x --=e e 且1201x x <<<.由1212x x x x --=e e 整理得，1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-.等价于()()()1212122ln ln x x x x x x +-<-e ，① 令12x t x =，则01t <<.式①整理得()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<.设()()()21ln 1g t t t t =+--e ,01t <<. 只需证明当01t <<时，()max 0g t <.又()12ln 2g t t t '=++-e ，设()h t =()12ln 2g t t t '=++-e，则()222121t h t t t t -'=-=当10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '<，()h t 在10,2骣÷ç÷çç÷桫上单调递减；当1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '>，()h t 在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增.所以,()min 142ln 202g t g ⎛⎫''==--< ⎪⎝⎭e ；注意到，()222212ln 220g e e e e e ---'=++-=-->e ，()130g '=->e ，所以，存在12110,,,122t t ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120g t g t ⅱ==， 注意到，10g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭e ，而110,e 2骣÷çÎ÷ç÷ç桫，所以11t e =. 于是，由()0g t ¢>可得10e t <<或21t t <<；由()0g t ¢<可得21e t t <<. ()g t 在()210,,,1t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递增，在21,t ⎛⎫⎪⎝⎭e上单调递减.于是，()(){}max 1max ,1g t g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，注意到，()10g =，1220g ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭e e e ，所以，()max 0g t <，也即()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<.于是，0122x x x +>e .22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23，则曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=，整理得22149x y+=，∴曲线2C 的参数方程2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线l的参数方程化为标准形式为''1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t ''--+=整理得27()183604t t ''++=. 12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==，72111714427PA PB PA PB PA PB++===．23.解:（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-；当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤； 当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<<综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<（2）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴--> 1ab a b∴+>+.。

河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}2<=x x A ，集合{}x y x B -==3，则=B A （ ）A ．{}2≤x xB ．{}2<x xC ．{}3≤x xD ．{}3<x x 【答案】B考点：集合的运算. 2.设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．21D ．2-【答案】A 【解析】试题分析：根据复数的运算有i a a i i i i a i i a 2121)1)(1()1)((1+--=-+--=+-，i i a +-1为纯虚数，即实部为零，所以有1021=⇒=-a a ，故本题的正确选项为A. 考点：复数的运算.3.设函数x x x f -=sin )(，则)(x f （ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是增函数且有零点D ．是减函数且没有零点 【答案】A 【解析】试题分析：首先函数的定义域为实数，又)(][sin sin )()sin()(x f x x x x x x x f -=--=+-=---=-，所以函数为奇函数，因为01cos )(≤-='x x f ，由导函数的性质可知函数在定义域上为减函数，存在唯一零点0=x ，所以本题正确选项为A.考点：函数的奇偶性与导函数的运用.4.xy y x p 2:≥+，:q 在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >.下列为真的 是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．q p ∨D ．q p ∧ 【答案】C考点：判断的真假及逻辑词语. 5.已知⎩⎨⎧>+-≤=,0,1)1(,0,cos 2)(x x f x x x f π则)34(f 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．25 【答案】B 【解析】试题分析：因为034>，所以2)32(1)31()34(+-=+=f f f ，当0≤x 时，x x f πcos 2)(=，所以1)32cos(2)32(-=-=-πf ，所以有12)32()34(=+-=f f ，本题正确选项为B.考点：分段函数求函数的值.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11=a ，公差15,21=-=+n n S S d ，则n 的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】试题分析：因为数列的前n 项和n S 与n a 满足关系式n n n S S a -=++11，所以有151=+n a ，又{}n a 为等差数列，所以715211=⇒=+=+n n a n ，所以本题的正确选项为C. 考点：等差数列前n 项和的性质.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．41 B ．31 C ．32D ．1【答案】B 【解析】试题分析：有三视图可知，该几何体为四面体，其下表面为一等腰直角三角形，直角边为1，底面积为21=S ,其中一条与底面垂直的棱长为2，所以四面体的体积为3131=⨯=Sh V ,故本题的正确选项为B.考点：三视图与几何体的体积. 8.若实数y x ,满足149≤+y x ，则y x z -=2的最小值为（ ）A ．18-B ．4-C ．4D ．102- 【答案】A考点：线性约束.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种情况：1,直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率，2，直线斜率一定而在可行域中平移时的截距的最值.可以再直角坐标系中画出可行域，然后在画出直线，通过观察求出待求量的最值；因为直线在可行域中的最值都是在围成可行域的顶点处取得，所以也可以先求得可行域顶点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值，本题中需要将含绝对值不等式转化成不等式组，在根据线性约束条件来求目标函数的最值.9.运行下面的程序框图，输出的结果是（ ）A ．7B ．4-C ．5-D ．6【答案】D考点：程序框图.10.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111,1++-==n n n S S a a ，则使22101nnS nS +取得最大值时n 的值为 （ ）A.2B.5C.4D.3 【答案】D 【解析】试题分析：因为n n n S S a -=++11，所以有111111=-⇒-=-+++n n n n n n S S S S S S ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为首项等于1公差为1的等差数列所以nS n S n n 11=⇒=，则222222211()1111011010110()110()nn n nS n n n n S n n n n ====+++++ 110n n=+，因为,10210≥+n n 当且仅当10=n 时取等号，因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10=n 相邻的两个整数中求最大值，193101,31,322=+==n n n S nS S n ，132101,41,422=+==n n n S nS S n ，所以最大值为193，此时3=n ，故本题正确选项为D. 考点：数列的通项，重要不等式与数列的最值.11.在正四棱锥ABCD V -中（底面是正方形，侧棱均相等），6,2==VA AB ，且该四棱锥可绕着AB 作任意旋转，旋转过程中∥CD 平面α.则正四棱锥ABCD V -在平面α内的正投影的面积的取值范围是（ ）A ．]4,2[B ．]4,2(C ．]4,6[D ．]62,2[【答案】A 【解析】试题分析：由题可知正四棱锥ABCD V -在平面α内的正投影图形为平面α截ABCD V -所得横截面图形，其中平面是平行于CD 的平面，四棱锥底面积为421==AB S ,任意一个侧面的高为51)6(22=-，则侧面面积为52=S ,四棱锥的高为2)2()6(22=-，所以过V 且垂直于底面的截面面积为23=S ,经分析可知四棱锥绕AB 旋转过程当底面与平面α平行时，投影面积最大，当底面与平面α垂直时，投影面积最小，所以投影面积的取值范围为]4,2[，故本题正确选项为A. 考点：投影.【思路点睛】解答本题要清楚平面α与AB 的关系，因为二者平行，所以可以直接把四棱锥底面ABCD 看做平面α，这样能够便于研究投影的面积，当四棱锥没有转动时，投影为底面正方形，当逆时针旋转且不超过2π时，投影由矩形变为三角形，其中三角形面积越来越小；当旋转角度超过2π时，投影逐渐由三角形变为矩形，最后为正方形，所以只要求得中间三个特殊的投影面积，即可求得投影的取值范围.12.已知实数0>p ，直线0234=-+p y x 与抛物线px y 22=和圆4)2(222p y p x =+-从上到下的交点依次为D C B A ,,,，则BDAC 的值为（ ）A ．81B ．165C ．83D ．167 【答案】C考点：函数的图象.【思路点睛】本题主要考察函数图象的的交点间线段的比值问题.首先要分别求得直线与两曲线的交点横坐标，即联立方程组，并解方程，便可求得交点横坐标.根据横坐标的大小确定D C B A ,,,的横坐标，（也可通过两曲线的交点，来判断抛物线与圆的位置关系，从而确定D C B A ,,,的坐标）再利用相似三角形的性质，便可通过线段在水平方向上的投影比值来求得BDAC .第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 【答案】54 【解析】试题分析：因为双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为x a b y ±=，所以14222=+-m y m x 的渐近线为x m m y 24+±=，则有54324=⇒=+m m m . 考点：双曲线的渐近线.14.将一枚硬币连续抛掷三次，它落地时出现“两次正面向上，一次正面向下”的概率为______. 【答案】475.0 【解析】试题分析：抛出的硬币落地式正面朝上与朝下的概率是相等的，设朝上为5.0=p ，则朝下为5.01=-=p q ，投掷三次，两次正面朝上的概率为475.05.033223=⨯=q p C .考点：独立事件的概率及组合的运用.15.在ABC Rt ∆中，2,4==AC AB ，点P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，点O 为ABC ∆的外心，则⋅的值为_____. 【答案】6考点：向量的运算.【思路点睛】根据向量的运算，分别求得，便可求得其数量积，首先根据向量垂直的性质有0=⋅，其次点P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，所以要求先求得,才能进一步求得,而根据三角形外心是三角形中线的三等分点，及三角形中线为两邻边向量和的一半，便可求得向量AO ,分别代入⋅便可求得数量积.16.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的两条切线，则实数t 的值为 ______. 【答案】62或- 【解析】试题分析：x x x f 3)(3-=的导函数为33)(2-='x x f 假设过点),2(t M 的切线斜率为k ，则有2333003020---=-=x t x x x k ，可得06622030=++-t x x ，有两条切线，即06622030=++-t x x 有两个不等的实数根，可令t x x y ++-=66223，则该函数恰好有两个零点，x x y 1262-='，有导函数的性质可知函数存在两个极值点,2,021==x x 极值分别为,2,621-=+=t y t y 当且仅当极值点为零点时函数才刚好有两个零点，所以有2602062121=-=⇒=-==+=t t t y t y 或或所以t 的值为62或-.考点：导函数的运用，直线的斜率.【方法点睛】过某点可做函数图象的切线，可根据导函数的性质，即导函数值等于切线的斜率，求得切线的斜率，还可通过两点式来求得切线的斜率，这样所求的两个斜率相等便可建立有关切点横坐标的方程，题中说明有两条切线，即有两个切点，也就是方程有两个不等的实数解，再利用函数的零点个数与函数的单调性（导函数性质，极值点）便可求得t 的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且满足C b a cos 3=. （Ⅰ）求BCtan tan 的值； （Ⅱ）若3tan ,3==A a ，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）3.试题解析：（I ）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===可得： 2sin =32sin cos R A R B C ⨯ …………………1分A B C π++=sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+， -------------------------3分即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ cos sin =2sin cos B CB C∴故tan =2tan CB． -------------------------5分（II ）（法一）由A B C π++=得tan()tan()3B C A π+=-=-, 即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23t a n312t a nB B =--，-------------------------7分 解得tan 1B =或1tan 2B =-， 根据tan 2tan C B =得tan tan C B 、同正， 所以tan 1B =,tan 2C =. ……………………8分 则tan 3A =，可得sin sin sin B C A ===2，∴b =-------------------------10分所以11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯=.-------------------------12分 （法二）由A B C π++=得tan()tan()3B C A π+=-=-,即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23t a n312t a nB B =--，-------------------------7分 解得tan 1B =或1tan 2B =-，根据tan 2tan C B =得tan tan C B 、同正， 所以tan 1B =,tan 2C =． ………………………8分 又因为3cos 3a b C ==所以cos 1b C =，∴cos 3ab C =cos tan 6ab C C ∴=． -------------------------10分11sin 6322ABC S ab C ∆∴==⨯=．-------------------------12分 考点：正弦定理的运用，三角函数的恒等变换. 18.（本小题满分12分）为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各10人组成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反 之即为正常.（Ⅰ）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，完成下列22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过10.0的前提下认为此项血液指标与性别有关系？正常 偏高 合计 男性 女性 合计（Ⅱ）现从该样本中此项血液指标偏高的人中随机抽取2人去做其它检测，求男性和女性被抽到的概率. 参考数据：)(02k K P ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）【答案】（I ）列联表见解析，能犯错误的概率不超过0.10的前提下认为此项血液指标与性别有关系；（II ）13. 【解析】试题分析：（I ）由茎叶图可得男性数据45,37,36,25,24,23,22,19,7,5，女性数据53,48,46,44,42,21,16,14,13,2可知正常数据男性为9，女性为5，将列表数据代入22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++求值，并用2k 与706.2比较，可知在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为此项血液指标与性别有关系；（II ）血液指标偏高的人当中有男性1人，女性5人，分别列出所抽取两人的可能事件共有15种，而有男性的事件为5种，所以抽到男性与女性的概率为31. 试题解析：（I ）由茎叶图可得二维列联表…………………4分（填错一个数，扣2分，错两个以上扣4分）22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++2209551= 3.8101010146⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯（） 2.706> 所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为此项血液指标与性别有关系. ………………6分考点：茎叶图与概率的综合运用. 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为矩形，22=AB ，2=BC ，点P 在底面上的射影在AC 上，E ，F 分别是BC AB ,的中点.（Ⅰ）证明：⊥DE 平面PAC ；（Ⅱ）在PC 边上是否存在点M ，使得∥FM 平面PDE ？若存在，求出PCPM的值；若不存在，请说明 理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，理由见解析.试题解析：（I ）在矩形ABCD 中，:AB BC =，且E 是AB 的中点，∴tan ∠ADE =tan ∠CAB =………………1分 ∴∠ADE =∠CAB ,∵∠CAB +∠DAC 90=,∴∠ADE +∠DAC 90=,即AC ⊥DE .…………3分 由题可知面PAC ⊥面ABCD ，且交线为AC ，∴DE ⊥面PAC .…………5分（II ）作DC 的中点G ， GC 的中点H ，连结GB 、HF .……………6分 ∵DG ∥EB ，且DG =EB ∴四边形EBGD 为平行四边形，∴DE ∥GB ∵F 是BC 的中点，H 是GC 的中点，∴HF ∥GB ，∴HF ∥DE .…………8分 作H 作HM ∥PD 交PC 于M ，连结FM ，∵HF ∥DE ,HM ∥PD ，∴平面HMF ∥平面PDE ，∴FM ∥平面PDE .………10分 由HM ∥PD 可知：∴3PM DHMC HC==…………12分 考点：直线与平面的垂直（平行）的性质与判定. 20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为21F F 、，D 为该椭圆上任意一点，且21DF DF ⋅的最大值为42a .（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）已知椭圆的上顶点为)1,0(A ，动直线)1(:≠+=m m kx y l 与椭圆E 交于不同的两点C B 、，且AC AB ⊥，证明：动直线l 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（I ）e =（II ）证明见解析，3(0,)5-.试题解析：（I ）120000(,)(,)DF DF c x y c x y ∙=-----2222222002c x c y x b c a=-+=+-，………2分因为2200x a ≤≤，所以当220x a =时，12DF DF ∙得最大值2b .………………………………3分所以224a b =,故离心率e =4分（II ）由题意知1b =，可得椭圆方程为：2214x y +=， 设),(),(2211y x C y x B 由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 122814kmx x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+ ……………………………6分由0AB C ∙=A 得：1212(1)(1)0x x y y +--=即221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=，……………………………8分将韦达定理代入化简可得：35m =-……………………………10分 所以动直线l 的方程为：35y kx =-，即直线恒过定点3(0,)5-……………12分考点：椭圆的离心率，向量的运算，函数图象的交点. 21.（本小题满分12分）设函数e a x e x f x ),)(1()(--=为自然对数的底数.（Ⅰ）当1=a 时，函数)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ，证明：除切点))1(,1(f 外，函数)(x f y =的图像恒在切线l 的上方；（Ⅱ）当0=a 时，证明：01ln )(>++ex x x f . 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】试题分析：（I ）当1=a ，)1)(1()(--=x e x f x ，1)1()1()(-=-+-='x x x xe x e e x f ，可求得点))1(,1(f 及该点切线的斜率，得到切线的方程，函数图象在切线上方，即)1)(1()1)(1(-->--e x x e x 所以只要证明)1)(1()1)(1(-->--e x x e x 在1≠x 时恒成立，即可证得函数图象在切线上方；（II ）证明01ln )(>++ex x x f 成立，即证明01ln )1(>++-e x x x e x 恒成立，构造两函数ex x x q x e x p x 1ln )(,)1()(+=-=，则有)()(x q x p >恒成立，利用函数的单调性分别求得)()(x q x p ，在0>x 时的最小值，最大值，便可证明)()(x q x p >成立，从而证得01ln )1(>++-ex x x e x成立. 试题解析：（Ⅰ）当1a =时，()(1)(1)xf x e x =--，(1)0f =，(1)1f e '=-所以在(1,(1))f 处的切线方程是(1)(1)y e x =--…………2分 所证问题等价于(1)(1)(1)(1),(1)xe x e x x -->--≠…………3分 即()(1)0,(1)xe e x x -->≠当1x >时，0,10,()(1)0xxe e x e e x ->->--> 当1x <时0,10,()(1)0xxe e x e e x -<-<--> 得证！…………5分考点：函数的单调性，最值，导函数的运用.【思路点睛】证明)(x f 的图象始终切线的上方，即要证明函数的值始终大于或者等于切线的函数值，所以可由函数)(x f 减去切线方程构成一个新的函数，证明该函数的最小值为非负即可.在此要注意：)(x f 图象在切线上方，并不表示函数在切点处有最小值；对于不等式的证明，可以观察不等式形式，构造两个新的函数，从而将不等式恒成立问题转化为两个函数最值的大小问题.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC RT ∆内接于⊙O ，90=∠C ，弦BF 交线段AC 于E ，E 为AC 的中点，在点A 处作圆的切线与线段OE 的延长线交于D ，连接DF . （Ⅰ）求证：EB FE EO DE ⋅=⋅；（Ⅱ）若45=∠CEB ，⊙O 的半径r 为52，求切线AD 的长.【答案】(I)证明见解析；（II ）54. 【解析】试题分析：（I ）由相交弦定理有EC AE EB EF ⋅=⋅,又E 为中点，所以2FE EB AE ⋅=，只要证明2AE DE EO =⋅便可证得EB FE EO DE ⋅=⋅成立，在直角三角形ADO 中，由射影定理便可证得2AE DE EO =⋅；（II ） 45=∠CEB ，E 为AC 的中点，可知BC AC 2=,由半径r 为52，便可求得4BC =，从而求得OE AE ,在结合2AE DE EO =⋅求得DE ,利用勾股定理便可求得AD . 试题解析：（I ）证明：在O 中，弦AC BF 、相交于E ，FE EB AE EC ∴⋅=⋅，又E 为AC 的中点，所以2FE EB AE ⋅=，-------------------------2分又因为OA AD ⊥,OE AE ⊥，根据射影定理可得2AE DE EO =⋅,-------------------------4分∴DE EO FE EB ⋅=⋅， ------------------------5分（II ）因为AB 为直径，所以0=90C ∠，又因为o45CBE ∠=，所以BCE ∆为等腰直角三角形． ………………6分2AC BC ∴=，根据勾股定理得222580AC BC BC +==，解得4BC =，-------------------8分所以42AE OE ==，，由（I ）得2AE DE EO =⋅所以8DE =，所以AD == ------------------------10分考点：射影定理，勾股定理，相交弦的性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为θθρsin 3cos 2=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为为参数）ααα(sin 2,cos 2⎩⎨⎧==y x . （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若3πα=时，曲线2C 上对应点记为P ，过点P 作2C 的切线与曲线1C 相交于B A ,两点的，求线段AB中点M 与点P 之间的距离.【答案】（I ）2x =；（II ）3.【解析】试题解析：（I ）由2cos ρθθ=，得22cossin ρθθ=，………………2分∴曲线1C 的直角坐标方程为2x =， -----------------------------------4分（II ）将=3πα代入22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩得(1P ，由题意可知切线AB 的倾斜角为56π， --------------------------6分设切线AB的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2x =得：21(1))22t -=，即232042t --=， --------------------------8分 设方程的两根为1t 和2t可得：12t t += 所以21)](232[2121-=+-=t t x M 所以323121=--=MP --------------------------10分 考点：极坐标系，参数方程的运用.【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转化时满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 222，代入极坐标系方程，进行化简便可求得直角坐标系方程；对于直线上两点间距离，可以先求得两点横坐标（或者纵坐标）间的差值，再利用三角函数来求得两点间的距离，本题中利用了参数法直接求得B A ,两点的坐标关系，从而得到中点M 的坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0,0>>b a ，函数b x a x x f +--=)(的最大值为3. （Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）设函数b ax x x g ---=2)(，若对于a x ≥∀，均有)()(x f x g <，求a 的取值范围.【答案】（I ）3；（II ）132a <<.【解析】（II ）当x a ≥时，()||||=()f x x a x b x a x b a b =--+--+=--=-， ---------------------6分对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，max ()3g x <-成立，()g x 的对称轴为2ax a =-<，∴()g x 在[,)x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为222()23g a a a b a a =---=-+-，--------------------------8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >，又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<．--------------------------10分考点：绝对值不等式的应用，函数的单调性与最值.。

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一） 文科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5,6,7}C ．{1,3,4,7}D ．{1,4,7}2.复数121ii -=+（ ）A ．iB ．i -C ．132i --D ．332i-3.已知四个命题：①如果向量a r 与b r 共线，则a b =r r 或a b =-r r；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2xy =是增函数” 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.若数列{}n a 满足12a =，111nn n a a a ++=-，则2018a 的值为（ ）A ．2B ．-3C ．12-D ．135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：2222221[()]42c a b S c a +-=-a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．84平方里B ．108平方里C ．126平方里D ．254平方里8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(3)f x f -≥的解集为（ ）A ．[3,3]-B ．[2,4]-C ．[1,5]-D ．[0,6]10.抛物线C ：214y x=的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF =时，AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．411.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A 7B ．27C ．37D ．712.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B 2C ．2D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设向量(1,2)a m =r ，(1,1)b m =+r ，若a b ⊥r r ，则m = ．14.x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S.18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=u u u u r u u u r，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；日均派送单数 52 54 56 58 60 频数（天） 20 30 20 20 10 ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=o时，12F MF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值. 21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案 一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-.（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L 11(1)33131n n n =-=++. 18．（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM I 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //，所以四边形BCDM 为平行四边形，又CD AB 2=，所以M 为AB 的中点.因为AB AM λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD I 平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ，在Rt SEA V和Rt SED V 中， 因为SA SD =，所以AE DE ==，又由题知45EDA ∠=o， 所以AE ED ⊥，由已知求得AD =1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥， 又求得SAD V的面积为， 所以由B ASD S ABDV V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD的距离为3. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ，k.KS5U（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲（）=155.4， ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙（）=155.6， ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙， ②、答案一：由以上的计算可知，虽然x x <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x x <乙甲，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x yC x y ，当直线1AF 的斜率不存在时，设(1,)2A -，则(1,)2B --，直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --=，275x ∴=，210y =-，则7(,510D -，∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ---==--，直线OA的斜率为2k =，121()626k k ∴⋅=⋅-=-，当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x ，设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---，∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+，Q 直线OA 的斜率为20y k x =，∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1xf x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e '-=-=-+， 若1a e =，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，当2x >-时， 设()()()22x h x g x x e '==+-，()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=， 所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+. 法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，令当时，，单调递减，且；当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x≥=⇒+-≥≥+，故2()f x mx x ≥+. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为32y x =+，曲线C 是圆心为(3,1)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：33122r ⋅-+==；可知曲线C的方程为22(3)(1)4x y -+-=， 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>），6sin21πON OM S MON =∆，，当12πθ=时， 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为23.23. 【解析】 （1）由题意可知32x x m--≥恒成立，令3()2x g x x-=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=，当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立，所以222111123a b c +++++的最小值为35.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案选择题（A 卷答案）1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD （B 卷答案）1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，……………4分所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，…………………………8分12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L…………………10分11(1)33131n n n =-=++ (12)分.18．（1）因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM I 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又， CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)A 卷第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的•1.已知集合 A - lx |0 岂 x 乞 5f , B -\x N*|X -1E2.',V A B=( ) A . C X |1EX 乞 3?B . 7x|0 _ x _3lC . 「1,2,31D .10,1,2,3}12.设sin (二-打 ，则 cos2二=()4运 A .B .9 7 C .4.2D .7 999“一1 -2i3.若 z 是复数,z ,则z Z =()1 +iA .B .2_! 2 C . 52D .14. 下列说法错误的是()A .回归直线过样本点的中心(x, y)B •两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于144C .在回归直线方程 y=0.2x ・0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加 0.2个单位D •对分类变量X 与Y ,随机变量K 2的观测值k 越大,则判断“ X 与Y 有关系”的把握程度越 小 5.若定义在R 上的函数f (x)当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得f (-X )二f (x),则称f(x)为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是()23A . f(x) =cosxB . f(x)二 sinxC . f (x)二 x -2xD . f (x)二 x -2x6.已知三个向量a , b , c 共面，且均为单位向量，ab=0，贝V |a 'b-c|的取值范围是。

河北2017—2018学年度下学期高三年级一模考试（文科）数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}N 5U x x =∈≤，若{}N 250A x x =∈-<，则U A =ð A ．{}3,4 B ．{}3,4,5 C ．{}2,3,4,5 D ． {}4,52.设,R a b ∈，i 为虚数单位，当(2)a bi i i +=-时，b aia bi+=- A ．i B ． i - C ．1i + D ． 1i - 3.已知向量a ，b 满足||2=a ，||3=b ,()1-= a b a ，则a 与b 的夹角为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π4.《九章算术》在研究比率方面应用十分丰富，其中有著名的“米谷粒分”问题：粮仓收粮，粮农送来米1520石，为验其米内夹谷，随机取米一把，数得144粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为A ．170石B ．180石C ．190石D ．200石5.已知三角形ABC 的三个内角,,A B C 成等差数列,BC 边上的中线AD =2AB =，则三角形ABC 的面积为A ．3B ．C ．D ．6 6.执行如图所示的程序框图,则输出的b 值为 A ．8 B ．13 C ．21 D ．347.函数cos sin y x x x =-的部分图象大致为8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为AB ．CD9.设{}n a 是公差为2的等差数列，2n n b a =，若{}n b 为等比数列，则12345b b b b b ++++=A ．142B ．124C ．128D ．14410.已知函数()f x ax b =+，若0(1)2f <<，1(1)1f -<-<，则2a b -的取值范围是A ．35(,)22-B ． 35(,)22C ．57(,)22-D ．57(,)2211.已知点(,0)A a ，点P 是双曲线:C 2214x y -=的右支上任意一点，若PA 的最小值为3，则满足条件的A 点个数是A ．0B ．1C ．2D ．312.的正四面体ABCD （四个面都是正三角形），在侧棱AB 上任取一点P （与A B 、都不重合），若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为,a b ，则41a b+的最小值为A ．32B ．52C ．72D ．92二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足条件11040y x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是．14.某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真真.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是．15.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，(a =，2a b -= b = ．16.正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶是奇，已知72a =，{}n a 的前7项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值按从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18.如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知//AD BC ，60ASC ∠=，AD DC ==2SA SC SD ===.（1）求证：AC SD ⊥； （2）求三棱锥B SAD -的体积.19.一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：经计算得：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，()()61557i ii x x y y =--=∑，()62184ii x x =-=∑，()6213930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和 ()621236.64i ii y y =-=∑，8.06053167e ≈，其中i x ，i y 分别为观测数据中的温差和产卵数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归方程，求y 关于x 的回归方程 y bxa =+ （精确到0.1）； （2）若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为 0.23030.06x y e =，且相关指数20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好.（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其回归直线 y bxa =+ 的斜率和截距的最小二乘估计为()()()121n iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ， a y bx =- ；相关指数 ()()212211n i ii nii y y Ry y ==-=--∑∑20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c .（1）求椭圆的方程； （2）若直线l ：12y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足AB CD=，求直线l 的方程. 21.已知函数ln ()1xf x x =-. （1）确定函数()f x 在定义域上的单调性；（2）若()x f x ke ≤在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0ϕπ≤<），以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，l 与C 交于不同的两点1P ，2P . （1）求ϕ的取值范围；（2）以ϕ为参数，求线段12PP 中点M 的轨迹的参数方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()42f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若2xa M +≥的解集包含[0,1]，求a 的取值范围.高三数学十模试题（文科）答案一、选择题1—5 B A C C C 6—10 B C A B A 11—12 C D二、填空题13. 7 14. 甲 15. 2 16.64三、解答题17.解：（1）在ABD ∆中，222BD AB AD =+2cos AB AD BAD-⋅⋅∠1772127=+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD =∠，所以sin B ==（2）因为sin 7B =，B 是锐角，所以cos 7B = 设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=，即272167x x +-⋅=化简得：290x --=，解得x =或x =，则CD BC BD =-=由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin ADC ADB ∠=∠sin 7B ==， 所以ADC ∆的面积1sin 2S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠12==18.解：（1）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ， ∵SA SC =，∴OS AC ⊥， ∵DA DC =，∴DO AC ⊥，又,OS OD ⊂平面SOD ，且OS OD O = ，AC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，∴AC SD ⊥.（2）连接BD ，在ASC ∆中，∵SA SC =，60ASC ∠= ，O 为AC 的中点， ∴ASC ∆为正三角形，且2AC =，OS =∵在ASC ∆中，2224DA DC AC +==，O 为AC 的中点， ∴90ADC ∠= ，且1OD =，∵在SOD ∆中，222OS OD SD +=，∴SOD ∆为直角三角形，且90SOD ∠= ， ∴SO OD ⊥又OS AC ⊥，且AC DO O = ，∴SO ⊥平面ABCD . ∴B SAD S BAD V V --=13BAD S SO ∆=⋅⋅ 1132AD CD SO =⨯⋅⋅⋅1132=⨯=19.解：（1）由题意得，()()()121n iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ 557 6.684=≈，∴ 33 6.626138.6a=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为 6.6138.6y x =-.（2）（i ）由所给数据求得的线性回归方程为 6.6138.6y x =-，相关指数为()()212211n i ii nii y y Ry y ==-=--∑∑236.6413930=-10.06020.9398≈-=.因为0.93980.9522<，所以回归方程 0.23030.06x y e =比线性回归方程 6.6138.6y x =-拟合效果更好. （ii ）由（i ）得当温度35x C = 时， 0.2303350.06y e ⨯=8.06050.06e =⨯. 又∵8.06053167e ≈，∴ 0.063167190y ≈⨯≈（个）. 即当温度35x C = 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.20.解：（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=. （2）由题设，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， ∴圆心(0,0)到直线l的距离d =由1d <，得m <(*).∴CD ===.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m -+-=， 由根与系数的关系得12x x m +=，2123x x m =-，∴AB ==.由ABCD=1=，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-或12y x =-.21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞ ，211ln '()(1)x x f x x --=-， 令1()1ln g x x x =--，则有21'()x g x x -=， 令21'()0xg x x-==，解得1x =，所以在(0,1)上，'()0g x >，()g x 单调递增，在(1,)+∞上，'()0g x <，()g x 单调递减.又(1)0g =，所以()0g x ≤在定义域上恒成立，即'()0f x <在定义域上恒成立， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）由()x f x ke ≤在(1,)+∞上恒成立得：ln 1x xke x ≤-在(1,)+∞上恒成立. 整理得：ln (1)0x x k x e --≤在(1,)+∞上恒成立.令()ln (1)x h x x k x e =--，易知，当0k ≤时，()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立不可能，∴0k >， 又1'()x h x kxe x=-，'(1)1h ke =-， 1 当1k e ≥时，'(1)10h ke =-≤，又1'()xh x k x e x=-在(1,)+∞上单调递减，所以'()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立，则()h x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)0h =，所以()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立.2当10k e <<时，'(1)10h ke =->，11'0k h k e k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，又1'()xh x k x ex =-在(1,)+∞上单调递减，所以存在0(1,)x ∈+∞，使得0'()0h x =， 所以在0(1,)x 上'()0h x >，在0(,)x +∞上'()0h x <， 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 又(1)0h =，所以()0h x >在0(1,)x 上恒成立， 所以()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立不可能. 综上所述，1k e≥.22.解：（1）2(,)33ππ（2）sin 21cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=--⎩（ϕ为参数） 23.解：（1）(,2)(4,)-∞+∞ （2）1a ≥。

2016-2017学年度石家庄市第一次模拟考试数学文科答案一、选择题(A 卷)1-5：CBCDD; 6-10:ACBCB; 11-12:CB选择题(B 卷)1-5：DBDCC; 6-10:ADBDB; 11-12:DB二、填空题13 0200,2nn N n ∃∈≥ 14 57 15 31 16 (-∞，2] 三、解答题17.（1）sin sin sin C a b A B a c +=-- 由正弦定理可得c a b a b a c+=-- ()()()c a c a b a b ∴-=-+ 即222a c b ac +-= ………………………2分又 2222cos a c b ac B +-=1cos 2B ∴= ……………………………4分 ()0,3B B ππ∈∴= ……………………………6分2)法一：在ABD ∆中由余弦定理知：()2202222cos603c a a c +-⋅⋅⋅= ………………8分()222932222a c a ca c a c ∴+-=⋅⋅+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭………………………………………………10分 ()()2232924a c a c ∴+-≤+ ()2236a c +≤即当且仅当2a c = 即3,32a c ==时 2a c + 的最大值为6……………………………………12分法二：由正弦定理知23sin sin sin 60o acBAD ADB ===∠∠2,,a BAD c ADB ∴=∠=∠2a c BAD ADB ∴+=∠+∠…………………………8分))0sin sin sin sin(120)3sin 2216sin cos 226sin()6BAD ADB BAD BAD BAD BAD BAD BAD BAD π=∠+∠=∠+-∠⎫=∠+∠⎪⎪⎭⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭=∠+……………………………………10分250,,3666BAD BAD ππππ⎛⎫⎛⎫∠∈∴∠+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即当且仅当62BAD ππ∠+=即3BAD π∠= 时 2a c + 的最大值为6……………………………………12分18.（1）在三角形ABD 中，sin sin AB ADADB DBA =∠∠，由已知 60=∠DBA，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠= ， 即AD BD ⊥， …………………………………………2分可求得2=BD在三角形SBD 中， 32=SD ，4=BS ，2=BD222BS SD DB =+∴，BD SD ⊥∴………………………4分AD BD S 面⊄ ，D AD SD =⋂AD BD S 面⊥∴………………………………6分（2）由题意可知：，面SA B //CD 则C 到面SAB 的距离等于D 到面SAB 的距离， 在三角形SAD 中，易求6=SA ，33120sin 323221=⨯⨯⨯=︒∆SAD S ，………………………8分 且737621=⨯⨯=∆SAB S ， …………………10分BD ⊥面SAD ，则SAB -D SAD -B V V =，即h ⨯⨯=⨯⨯733123331则7212=h 即点C 到平面ABF 的距离为7212=h ………………………12分 19.解析：（1） 2.512312 3.517420 4.515513 5.5863100a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………3分4=……………………………………6分（2）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则024024x y <<⎧⎨<<⎩， 若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则4y x -<，……………8分…………………………10分所以必须等待的概率为：22201112436P =-= 答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136……………………12分20．解析：（1（1）法一：设(0,)M m ， (0,)N n ， ∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-∵12MFN S MF FN ∆=2分 ==1≥= 当且仅当||1,|| 1.m n =⎧⎨=⎩时等号成立. ∴三角形MFN 的面积的最小值为1…………………………………4分法二：1122AMFN S AF MN MN ==，…………………2分 222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⨯ ，当且仅当||||MF NF =时等号成立. min ||2MN ∴= ∴min 1=12MFN S MN =（） ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1………………………4分（2）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为：y x m =+由2222y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：2222(1)2(1)0m x x m +++-=由222(1)1E m x m -=+，得221)1E m x m -=+，①……………………………6分同理可得：221)1D n x n -=+…………………………7分222211)1111D m m m n x m m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭-⎥⎣⎦=-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，② 故由①②可知：E D x x =-，…………………………………9分代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF ⊥NF ，故,N M 分别在x 轴两侧，E D y y =-…………………………11分 ∴E D E Dy y x x =，所以,,E O D 三点共线.…………………………12分21.：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+¥. 由题意2()1+,0a x x a f x x x x x-+¢=-=>， 14a ∆=-………………………………………………………2分①若140a ∆=-≤，即14a ≥，则20x x a -+≥恒成立，则()f x 在()0,+¥上为单调减函数，……………………………………………………………………3分②若140a ∆=->，即14a <，方程20x x a -+=的两个根为1211,22x x -+==，当21,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时/()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当()2,+x x ∈∞时/()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意。