高考数学复习课时练习直线的倾斜角斜率与直线的方程理北师大版

第一部分课时作业 第一章 直线与圆§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练知识点一 直线的倾斜角与斜率1.直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°3．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 24．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________.知识点二 直线的斜率公式5.已知直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．－2C ．12D ．－126．(1)如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率；(2)求经过两点A (a ，2)，B (3，6)的直线的斜率．知识点三 斜率公式的应用7.若点P (x ，y )在函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象上运动，则yx的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，32C ．⎣⎡⎦⎤32，52D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 8．设点A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则实数m 的值为________.9．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列命题中，正确的是( ) A ．任意一条直线都有唯一的倾斜角B ．一条直线的倾斜角可以是－π3C ．倾斜角为0的直线有无数条D ．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2，2)与(－2，5)4．已知直线经过点A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，则a 的值为( )A ．－6B ．－145C ．45D ．45．[易错题]直线l 经过点A (1，2)，与x 轴交点的横坐标的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－1，15 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 ∪(1，＋∞) 二、填空题6．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________.7．已知斜率为12的直线经过A (3，5)，B (x ，－1)，C (7，y )三点，则x ，y 的值分别为________.8．已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________.三、解答题9．[探究题]已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，试用图示法比较f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c的大小关系．学科素养升级练1.已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________.2．[学科素养——数学运算]已知一条光线从点A (－1，3)出发，射在x 轴上又反射出去，反射光线经过点B (2，7)，求x 轴上光照点的坐标．§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练1．解析：∵直线x ＝1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：C2．解析：如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.答案：D3．解析：由题图可知，直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0，所以k 2>k 3>k 1.答案：D4．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补． 答案：互补5．解析：因为直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，所以直线l 的斜率为1－（－1）1－0 ＝2.故选A.答案：A6．解析：(1)l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－3 . (2)当a ＝3时，斜率不存在； 当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a .7．解析：已知函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象是一条线段，设为AB ，其中A (2，5)，B (－2，－3).yx 的几何意义是线段AB 上的任意一点P (x ，y )与坐标原点O (0，0)连线的斜率，易得k OA ＝52 ，k OB ＝32 ，根据图象可知，yx的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ . 答案：D8．解析：依题意知直线AC 的斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －（－1） ＝3×m －1－42－（－1），所以m ＝4. 答案：49．解析：由题意可知直线AB ，AC 的斜率存在，∴a ≠2.由k AB ＝k AC 得2－02－a ＝2－b2－0，即a ＋b ＝12 ab ，又ab ≠0，∴1a ＋1b ＝12.关键能力综合练1．解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角α的范围为[0，π)，故sin α∈[0，1]，倾斜角为0的直线有无数条，因此A 正确，B 错误，C 正确，D 错误．故选AC.答案：AC 2．解析：由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图).答案：D3．解析：两点(－2，2)，(－2，5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在． 答案：D4．解析：∵A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，∴k AB ＝－a －42－a ＝4，解得a ＝4.答案：D5．解析：过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为3，此时k ＝2－01－3＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为－3，此时k ＝2－01＋3 ＝12 .数形结合(如图所示)可知满足条件的直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .答案：B6．解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].答案：[0，2]7．解析：由题意可知k AB ＝k AC ＝12 ，即5＋13－x ＝y －57－3 ＝12 ，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 78．解析：由题意知k P A ＝－1.设x 轴上点P 1(m ，0)，y 轴上点P 2(0，n )满足题意．由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3.所以点P 的坐标为(3，0)或(0，3). 答案：(3，0)或(0，3) 9.解析：f （x ）x 表示经过点O (0，0)和点A (x ，f (x ))的直线的斜率，所以我们可以赋予f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c几何意义：表示3个斜率．作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象如图所示． 因为a >b >c >0，在函数图象上找到对应点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，将这三点与原点相连，可得f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a.学科素养升级练1．解析：如图所示，过点P 作直线PC ⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线P A ，PB .①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k ≤k P A .②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是k ≥k PB .因为k P A ＝－3－12－1 ＝－4，k PB ＝－2－1－3－1 ＝34 ，所以直线l 的斜率k 满足k ≥34 或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．解析：设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则A ′(－1，－3)，连接A ′B ，与x 轴交于点C ，则点C 即为光照点．不妨设C (a ，0)，由题意可知A ′，B ，C 三点共线，∴k A ′C ＝k BC ，即0－（－3）a －（－1）＝0－7a －2 ，解得a ＝－110 .∴x 轴上光照点的坐标为⎝⎛⎭⎫－110，0 .。

第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行时，它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式 ≠0 平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B[直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y ＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.【导学号：66482370】1或－2[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2 a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．3x－2y＝0或x－y＋1＝0[当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值范围是________．(2)(2017·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. (2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.] [规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )【导学号：66482371】A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a .由题意得M (3,2). 2分 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1，因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a ＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y 5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3). 2分令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k . 5分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23. 8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分则所求直线的倾斜角为2α. 5分∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 8分又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 12分A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，3分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 5分(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，7分 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4. 10分当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 12分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分 ∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分则S 四边形OBAC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小. 12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.11。

一、知识梳理 １．直线的倾斜角（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．（２）倾斜角的范围为[0，π）． ２．直线的斜率（１）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．（２）过两点的直线的斜率公式经过两点P １（x １，y １），P ２（x ２，y ２）（x １≠x ２）的直线的斜率公式为k ＝错误!＝错误!. ３．直线方程的五种形式名称 已知条件方程适用范围 点斜式斜率k 与点（x １，y １） y —y １＝k （x —x １） 不含直线x ＝x １ 斜截式 斜率k 与直线在y 轴上的截距by ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式两点（x １，y １），（x２，y ２）错误!＝错误! （x １≠x ２，y １≠y ２）不含直线x ＝x １（x １＝x ２）和直线y ＝y １（y １＝y ２） 截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b错误!＋错误!＝１ （a ≠0，b ≠0）不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A ２＋B ２≠0）平面直角坐标系内的直线都适用常用结论１．直线倾斜角和斜率的关系不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈错误!时，α越大，斜率k就越大，同样α∈错误!时也是如此，但当α∈[0，π）且α≠错误!时就不是了．２．五种特殊位置的直线方程（１）x轴：y＝0．（２）y轴：x＝0．（３）平行于x轴的直线：y＝b（b≠0）．（４）平行于y轴的直线：x＝a（a≠0）．（５）过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化１．若过点M（—２，m），N（m，４）的直线的斜率等于１，则m的值为________．解析：由题意得错误!＝１，解得m＝１．答案：１２．直线３x—４y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为２，则实数k＝________．解析：令x＝0，得y＝错误!；令y＝0，得x＝—错误!，则有错误!—错误!＝２，所以k＝—２４．答案：—２４一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（）（２）直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.（）（３）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．（）（４）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y—y0＝k（x—x0）表示．（）（５）经过任意两个不同的点P１（x１，y１），P２（x２，y２）的直线都可以用方程（y—y１）（x２—x）＝（x—x１）（y２—y１）表示．（）１答案：（１）×（２）×（３）×（４）×（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）由直线方程求斜率的思路不清；（２）忽视斜率和截距对直线位置的影响；（３）忽视直线斜率不存在的情况；（４）忽视截距为0的情况．１．直线l：x sin ３0°＋y cos １５0°＋a＝0的斜率为________．解析：设直线l的斜率为k，则k＝—错误!＝错误!.答案：错误!２．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距—错误!>0，在y轴上的截距—错误!>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三３．过直线l：y＝x上的点P（２，２）作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为２，则直线m的方程为________．解析：１若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝２，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为２，符合题意；２若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；３若直线m 的斜率k≠0，设其方程为y—２＝k（x—２），令y＝0，得x＝２—错误!，依题意有错误!×错误!×２＝２，即错误!＝１，解得k＝错误!，所以直线m的方程为y—２＝错误!（x—２），即x—２y＋２＝0．综上可知，直线m的方程为x—２y＋２＝0或x＝２．答案：x—２y＋２＝0或x＝２４．过点P（２，３）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为３x—２y＝0；当截距不为0时，设直线方程为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，解得a＝５，所以直线方程为x＋y—５＝0．答案：３x—２y＝0或x＋y—５＝0[学生用书P１５0]直线的倾斜角与斜率（典例迁移）（１）直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!∪错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!（２）直线l过点P（１，0），且与以A（２，１），B（0，错误!）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．【解析】（１）设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝—sin α.因为sin α∈[—１，１]，所以—１≤tan θ≤１，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤错误!或错误!≤θ＜π，故选Ｂ．（２）如图，因为k AP＝错误!＝１，k BP＝错误!＝—错误!，所以直线l的斜率k∈错误!∪错误!.【答案】（１）B （２）错误!∪错误!【迁移探究１】（变条件）若将本例（２）中P（１，0）改为P（—１，0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P（—１，0），A（２，１），B（0，错误!），所以k AP＝错误!＝错误!，k BP＝错误!＝错误!.如图可知，直线l斜率的取值范围为错误!.【迁移探究２】（变条件）若将本例（２）中的B点坐标改为（２，—１），其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解：如图，直线PA的倾斜角为４５°，直线PB的倾斜角为１３５°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，４５°]∪[１３５°，１80°）．错误!（１）求倾斜角的取值范围的一般步骤１求出斜率k＝tan α的取值范围；２利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．（２）斜率的求法１定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；２公式法：若已知直线上两点A（x１，y１），B（x２，y２），一般根据斜率公式k＝错误!（x１≠x２）求斜率．[提醒] 直线倾斜角的范围是错误!，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分错误!，错误!与错误!三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈错误!时，斜率k∈错误!；当α＝错误!时，斜率不存在；当α∈错误!时，斜率k∈错误!.１．若点A（４，３），B（５，a），C（6，５）三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝错误!＝１，k AB＝错误!＝a—３．由于A，B，C三点共线，所以a—３＝１，即a ＝４．答案：４２．已知点（—１，２）和错误!在直线l：ax—y＋１＝0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．解析：点（—１，２）和错误!在直线l：ax—y＋１＝0同侧的充要条件是（—a—２＋１）错误!>0，解得—错误!<a<—１，即直线l的斜率的范围是（—错误!，—１），故其倾斜角的取值范围是错误!.答案：错误!求直线的方程（师生共研）根据所给条件求直线的方程：（１）直线过点（—４，0），倾斜角的正弦值为错误!；（２）直线过点（—３，４），且在两坐标轴上的截距之和为１２；（３）直线过点（５，１0），且与原点的距离为５．【解】（１）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝错误!（0≤α＜π），从而cos α＝±错误!，则k＝tan α＝±错误!.故所求直线方程为y＝±错误!（x＋４），即x＋３y＋４＝0或x—３y＋４＝0．（２）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为错误!＋错误!＝１，又直线过点（—３，４），从而错误!＋错误!＝１，解得a＝—４或a＝9．故所求直线方程为４x—y＋１6＝0或x＋３y—9＝0．（３）当斜率不存在时，所求直线方程为x—５＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y—１0＝k（x—５），即kx—y＋１0—５k＝0．由点线距离公式，得错误!＝５，解得k＝错误!.故所求直线方程为３x—４y＋２５＝0．综上，所求直线方程为x—５＝0或３x—４y＋２５＝0．错误!求直线方程的注意事项（１）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．（２）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）．（３）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：（１）经过点A（—５，２），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的２倍；（２）经过点B（３，４），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：（１）当直线不过原点时，设所求直线方程为错误!＋错误!＝１，将（—５，２）代入所设方程，解得a＝—错误!，所以直线方程为x＋２y＋１＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则—５k＝２，解得k＝—错误!，所以直线方程为y＝—错误!x，即２x＋５y＝0．故所求直线方程为２x＋５y＝0或x＋２y＋１＝0．（２）由题意可知，所求直线的斜率为±１．又过点（３，４），由点斜式得y—４＝±（x—３）．所求直线的方程为x—y＋１＝0或x＋y—7＝0．直线方程的综合问题（典例迁移）（一题多解）已知直线l过点P（３，２），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】法一：设直线l的方程为错误!＋错误!＝１（a>0，b>0），将点P（３，２）代入得错误!＋错误!＝１≥２错误!，得ab≥２４，从而S△AOB＝错误!ab≥１２，当且仅当错误!＝错误!时等号成立，这时k＝—错误!＝—错误!，从而所求直线l的方程为２x＋３y—１２＝0．所以△ABO的面积的最小值为１２，所求直线l的方程为２x＋３y—１２＝0．法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，可设直线l的方程为y—２＝k（x—３）（k<0），则A错误!，B（0，２—３k），S△ABO＝错误!（２—３k）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!×（１２＋１２）＝１２，当且仅当—9k＝错误!，即k＝—错误!时，等号成立．此时直线l的方程为２x＋３y—１２＝0．所以△ABO的面积的最小值为１２，所求直线l的方程为２x＋３y—１２＝0．【迁移探究１】（变问法）若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时l的方程．解：法一：由原例题法一知错误!＋错误!＝１．因为|OA|＋|OB|＝a＋b，所以（a＋b）错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!.当且仅当错误!a＝错误!b，且错误!＋错误!＝１，即a＝３＋错误!，b＝２＋错误!时，|OA|＋|OB|的最小值为５＋２错误!.此时，直线l的方程为错误!＋错误!＝１，即错误!x＋３y—6—３错误!＝0．法二：由原例题解法二知|OA|＋|OB|＝３—错误!＋２—３k（k<0）＝５＋错误!＋（—３k）≥５＋２错误!＝５＋２错误!.当且仅当—错误!＝—３k，即k＝—错误!时，|OA|＋|OB|取最小值５＋２错误!.此时直线l的方程为y—２＝—错误!（x—３），即错误!x＋３y—6—３错误!＝0．【迁移探究２】（变问法）若本例条件不变．求错误!·错误!的最大值及此时直线l的方程．解：由原例题法二知A（３—错误!，0），B（0，２—３k），错误!·错误!＝（—错误!，—２）·（—３，—３k）＝错误!＋6k＝—[（—错误!）＋（—6k）]≤—２错误!＝—１２，当且仅当—错误!＝—6k时，即k＝—１时等号成立，此时直线l的方程为x＋y—５＝0．所以错误!·错误!的最大值为—１２，所求直线l的方程为x＋y—５＝0．错误!（１）给定条件求直线方程的思路１考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；２在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；３重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．（２）与直线有关的最值问题的解题思路１借助直线方程，用y表示x（或用x表示y）；２将问题转化成关于x（或y）的函数；３利用函数的单调性或基本不等式求最值．１．已知直线（a—１）x＋y—a—３＝0（a>１），当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a 的值是（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｄ．当x＝0时，y＝a＋３，当y＝0时，x＝错误!，令t＝a＋３＋错误!＝５＋（a—１）＋错误!.因为a>１，所以a—１>0．所以t≥５＋２错误!＝9．当且仅当a—１＝错误!，即a＝３时，等号成立．２．已知直线l１：ax—２y＝２a—４，l２：２x＋a２y＝２a２＋４，当0＜a＜２时，直线l１，l２与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．解析：由题意知直线l１，l２恒过定点P（２，２），直线l１的纵截距为２—a，直线l２的横截距为a２＋２，所以四边形的面积S＝错误!×２×（２—a）＋错误!×２×（a２＋２）＝a２—a＋４＝错误!错误!＋错误!，当a＝错误!时，面积最小．答案：错误![学生用书P１５２]巧构造，妙用斜率求解问题一、比较大小已知函数f（x）＝log２（x＋１），且a>b>c>0，则错误!，错误!，错误!的大小关系为________．【解析】作出函数f（x）＝log２（x＋１）的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以错误!<错误!<错误!.【答案】错误!<错误!<错误!错误!对于函数f（x）图象上的两点（a，f（a）），（b，f（b）），比较错误!与错误!的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．二、求最值已知实数x，y满足y＝x２—２x＋２（—１≤x≤１），试求错误!的最大值和最小值．【解】如图，作出y＝x２—２x＋２（—１≤x≤１）的图象（曲线段AB），则错误!表示定点P（—２，—３）和曲线段AB上任一点（x，y）的连线的斜率k，连接PA，PB，则k PA≤k≤k PB.易得A（１，１），B（—１，５），所以k PA＝错误!＝错误!，k PB＝错误!＝8，所以错误!≤k≤8，故错误!的最大值是8，最小值是错误!.错误!对于求形如k＝错误!，y＝错误!的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．三、证明不等式已知a，b，m∈（0，＋∞），且a<b，求证：错误!>错误!.【证明】如图，设点P，M的坐标分别为（b，a），（—m，—m）．因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．连接OP，PM，则k OP＝错误!，k MP＝错误!.因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以k MP>k OP，即错误!>错误!.错误!根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．[学生用书P３70（单独成册）][基础题组练]１．倾斜角为１２0°，在x轴上的截距为—１的直线方程是（）Ａ．错误!x—y＋１＝0 Ｂ．错误!x—y—错误!＝0Ｃ．错误!x＋y—错误!＝0 Ｄ．错误!x＋y＋错误!＝0解析：选Ｄ．由于倾斜角为１２0°，故斜率k＝—错误!.又直线过点（—１，0），所以方程为y＝—错误!（x＋１），即错误!x＋y＋错误!＝0．２．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）Ａ．ab>0，bc<0 Ｂ．ab>0，bc>0Ｃ．ab<0，bc>0 Ｄ．ab<0，bc<0解析：选Ａ．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝—错误!x—错误!.易知—错误!<0且—错误!>0，故ab>0，bc<0．３．两直线错误!—错误!＝a与错误!—错误!＝a（其中a为不为零的常数）的图象可能是（）解析：选Ｂ．直线方程错误!—错误!＝a可化为y＝错误!x—na，直线错误!—错误!＝a可化为y＝错误!x—ma，由此可知两条直线的斜率同号．４．直线x—２y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b的取值范围是（）Ａ．[—２，２] Ｂ．（—∞，—２]∪[２，＋∞）Ｃ．[—２，0）∪（0，２] Ｄ．（—∞，＋∞）解析：选Ｃ．令x＝0，得y＝错误!，令y＝0，得x＝—b，所以所求三角形的面积为错误!错误!|—b|＝错误!b２，且b≠0，错误!b２≤１，所以b２≤４，所以b 的取值范围是[—２，0）∪（0，２]．５．若直线ax＋by＝ab（a>0，b>0）过点（１，１），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（）A．１Ｂ．２C．４Ｄ．8解析：选Ｃ．因为直线ax＋by＝ab（a>0，b>0）过点（１，１），所以a＋b＝ab，即错误!＋错误!＝１，所以a＋b＝（a＋b）错误!＝２＋错误!＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当a＝b＝２时上式等号成立．所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为４．6．直线l经过点A（１，２），在x轴上的截距的取值范围是（—３，３），则其斜率k的取值范围是________．解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y—２＝k（x—１），直线在x轴上的截距为１—错误!.令—３＜１—错误!＜３，解不等式得k＜—１或k＞错误!.答案：k＜—１或k>错误!7．已知直线l：ax＋y—２—a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．解析：由题意可知a≠0．当x＝0时，y＝a＋２．当y＝0时，x＝错误!.所以错误!＝a＋２，解得a＝—２或a＝１．答案：—２或１8．设点A（—１，0），B（１，0），直线２x＋y—b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝—２x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝—２x＋b过点A（—１，0）和点B（１，0）时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[—２，２]．答案：[—２，２]9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为３，分别求满足下列条件的直线l的方程：（１）过定点A（—３，４）；（２）斜率为错误!.解：（１）设直线l的方程为y＝k（x＋３）＋４，它在x轴，y轴上的截距分别是—错误!—３，３k ＋４，由已知，得（３k＋４）×错误!＝±6，解得k１＝—错误!或k２＝—错误!.故直线l的方程为２x＋３y—6＝0或8x＋３y＋１２＝0．（２）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝错误!x＋b，它在x轴上的截距是—6b，由已知，得|—6b·b|＝6，所以b＝±１．所以直线l的方程为x—6y＋6＝0或x—6y—6＝0．１0．已知射线l１：y＝４x（x≥0）和点P（6，４），试在l１上求一点Q使得PQ所在直线l和l１以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．解：设点Q坐标为（a，４a），PQ与x轴正半轴相交于M点．由题意可得a＞１，否则不能围成一个三角形．PQ所在的直线方程为：y—４＝错误!（x—6），令y＝0，x＝错误!，因为a＞１，所以S△OQM＝错误!×４a×错误!，则S△OQM＝错误!＝１0错误!＝１0错误!≥４0，当且仅当（a—１）２＝１时取等号．所以a＝２时，Q点坐标为（２，8），所以此时直线l的方程为：x＋y—１0＝0．[综合题组练]１．若直线l：kx—y＋２＋４k＝0（k∈R）交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB 的面积取最小值时直线l的方程为（）A．x—２y＋４＝0 Ｂ．x—２y＋8＝0C．２x—y＋４＝0 Ｄ．２x—y＋8＝0解析：选Ｂ．由l的方程，得A错误!，B（0，２＋４k）．依题意得错误!解得k>0．因为S＝错误!|OA|·|OB|＝错误!错误!·|２＋４k|＝错误!·错误!＝错误!错误!≥错误!（２×8＋１6）＝１6，当且仅当１6k＝错误!，即k＝错误!时等号成立．此时l的方程为x—２y＋8＝0．２．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（—１，３），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（）Ａ．３x—y—6＝0 Ｂ．３x＋y＋6＝0Ｃ．３x—y＋6＝0 Ｄ．３x＋y—6＝0解析：选Ｃ．因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以k MN＝—k MO ＝３，所以直线MN的方程为y—３＝３（x＋１），即３x—y＋6＝0，选Ｃ．３．已知动直线l：ax＋by＋c—２＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（１，m）且点Q（４，0）到动直线l的最大距离为３，则错误!＋错误!的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．9解析：选Ｂ．因为动直线l：ax＋by＋c—２＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（１，m），所以a＋bm＋c—２＝0，又点Q（４，0）到动直线l的最大距离为３，所以错误!＝３，解得m＝0，所以a＋c＝２，则错误!＋错误!＝错误!（a＋c）·错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!，当且仅当c＝２a＝错误!时取等号，故选Ｂ．４．已知直线l：x—my＋错误!m＝0上存在点M满足与两点A（—１，0），B（１，0）连线的斜率k MA与k MB之积为３，则实数m的取值范围是____________．解析：设M（x，y），由k MA·k MB＝３，得错误!·错误!＝３，即y２＝３x２—３．联立错误!得错误!x２＋错误!x＋6＝0．要使直线l：x—my＋错误!m＝0上存在点M满足与两点A（—１，0），B（１，0）连线的斜率k MA 与k MB之积为３，则Δ＝错误!错误!—２４错误!≥0，即m２≥错误!.所以实数m的取值范围是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!５．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成４５°和３0°角，过点P（１，0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝错误!x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得k OA＝tan ４５°＝１，k OB＝tan（１80°—３0°）＝—错误!，所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝—错误!x.设A（m，m），B（—错误!n，n），所以AB的中点C错误!，由点C在直线y＝错误!x上，且A，P，B三点共线得错误!解得m＝错误!，所以A（错误!，错误!）．又P（１，0），所以k AB＝k AP＝错误!＝错误!，所以l AB：y＝错误!（x—１），即直线AB的方程为（３＋错误!）x—２y—３—错误!＝0．6．已知直线l：kx—y＋１＋２k＝0（k∈R）．（１）证明：直线l过定点；（２）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（３）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值，并求此时直线l的方程．解：（１）证明：直线l的方程可化为k（x＋２）＋（１—y）＝0，令错误!解得错误!所以无论k取何值，直线l总过定点（—２，１）．（２）直线方程可化为y＝kx＋１＋２k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，则有错误!解得k≥0；当k＝0时，直线为y＝１，符合题意．综上，k的取值范围是k≥0．（３）依题意得A错误!，B（0，１＋２k），且错误!解得k>0．所以S＝错误!·|OA|·|OB|＝错误!·错误!·|１＋２k|＝错误!·错误!＝错误!错误!≥错误!×（２×２＋４）＝４，“＝”成立的条件是４k＝错误!，此时k＝错误!，所以S min＝４，此时直线l的方程为x—２y＋４＝0．。

课后限时集训 49直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时： 45 分钟一、选择题1．(2019 ·合肥模拟 ) 直线 l ： x sin 30 °＋ y cos 150 °＋ 1＝ 0 的斜率是 ( )A ．3B ． 333C ．－ 3D ．－ 3sin 30 °3A [ 设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－ cos 150 ° ＝ 3 .]2. 如图中的直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k 1， k 2， k 3，则()A ． k 1<k 2<k 3B ． k 3<k 1<k 2C ． k 3<k 2<k 1D ． k 1<k 3<k 2D [ 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1<0，直线 l 2与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且α2 >α3，所以 0<k 3<k 2，所以 k 1<k 3<k 2.]3. 若 ( －2,3) ， (3，－2) ，1的值为C ， m 三点在同一条直线上，则 AB 2m()A ．－ 2B ． 211 C ．－ 2D ． 2－2－ 3＝ 1m －3D [ 由于 A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以 3－ － 2 ，2－ － 21解得 m ＝ 2. 应选 D.]4．直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到本来地点，那么 l 的斜率为 ()1 B ．－ 3A ．－31C ． 3D ． 3[答案] A5．过点 A (4,1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x ＋y ＝ 5B ． x －y ＝ 5C ． x ＋y ＝ 5 或 x － 4y ＝ 0D ． x －y ＝ 5 或 x ＋ 4y ＝ 0C [ 若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为 x － 4y ＝0；x y若直线在两坐标轴上的截距不为0 ，设为 a ( a ≠0) ，则直线的方程为 a ＋ a ＝ 1.又直线过点(4,1) ，则 a ＝ 5，故直线的方程为x ＋ ＝ 5. 综上所述，应选 C.]Ay二、填空题6．直线 kx ＋ y ＋ 2＝－ k ，当 k 变化时，全部的直线都过定点 ________．( －1，－ 2) [ kx ＋y ＋ 2＝－ k 可化为 y ＋ 2＝－ k ( x ＋ 1) ，依据直线方程的点斜式可知， 此类直线恒过定点 (－1，－ 2) ．]7．已知 A (3,4) ， B ( － 1,0) ，则过 AB 的中点且倾斜角为 120°的直线方程是 ________． 3 x ＋ y － 2－ 3＝ 0 [ 设 AB 的中点为 M ，则 M (1,2) ，又斜率 k ＝－ 3，直线的方程为y － 2＝－ 3( x － 1) ．即 3x ＋ y － 2－ 3＝ 0.]8．若直线l 过点 ( －3,2) ，且与以 ( － 2，－ 3) ， (3,0) 为端点的线段订交，则直线PA Bl 的斜率的取值范围是 ________．－ 5，－ 1[ 由于 P ( － 3,2) ， A ( －2，－ 3) ， B (3,0) ，3－ 3－ 2则 k PA ＝－ 2－ －3 ＝－ 5，0－21k PB ＝ 3－ － 3 ＝－ 3.如下图，当直线l 与线段 AB 订交时，直线 l 的斜率的取值范围为1－ 5，－ 3 .]三、解答题9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求知足以下条件的直线 l 的方程：(1) 过定点 A ( －3,4) ；1(2) 斜率为 6.[ 解 ] (1) 由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 3) ＋ 4，它在 x 轴， y4k ＋ 4，轴上的截距分别是－ － 3,3k4由已知，得 (3 k ＋ 4) k ＋ 3 ＝± 6，2 8解得 k 1＝－或 k 2＝－ .3 3故直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 6＝ 0 或 8x ＋ 3y ＋ 12＝ 0.(2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，1则直线 l 的方程为 y ＝ 6x ＋ b ，它在 x 轴上的截距是－ 6b ， 由已知，得 | － 6b | ·|b | ＝ 6，∴ b ＝± 1.∴直线 l 的方程为 x － 6y ＋ 6＝ 0 或 x － 6y － 6＝ 0.10．过点 P (3,0) 作一条直线，使它夹在两直线l 1： 2x － y － 2＝0 与 l 2：x ＋ y ＋3＝ 0 之间的线段 AB 恰巧被点 P 均分，求此直线的方程．[ 解 ] 设点 A ( x ， y ) 在 l 1上，点 B ( x ，y ) 在 l 2上．BBx ＋ x B＝ 3由题意知2则点 B (6 － x ，－ y ) ，y ＋ y B＝ 022x －y － 2＝ 0，x ＝11，解方程组 得3166－ x ＋ － y ＋ 3＝ 0，y ＝ 3 ，163 － 0则所求直线的斜率k ＝ 11＝ 8，3 － 3故所求的直线方程为y ＝8( x － 3) ，即 8x －y － 24＝ 0.1．在等腰三角形 AOB 中， AO ＝ AB ，点 O (0,0) ，A (1,3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直 线 AB 的方程为 ()A ． y －1＝ 3( x －3)C ． y －3＝ 3( x －1)B ． y －1＝－ 3( x － 3)D ． y －3＝－ 3( x － 1)D [ 由于 AO ＝ AB ，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以 k AB ＝－ k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为y － 3＝－ 3( x －1). ]2．若直线x－ 2 ＋ ＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么b 的取值范y b围是 ()A ． [ －2,2]B ． ( －∞，－ 2] ∪ [2 ，＋∞)C ． [ －2,0) ∪ (0,2]D ． ( －∞，＋∞)b1 b1 2C [ 令 x ＝ 0，得 y ＝ 2，令 y ＝ 0，得 x ＝－ b ，所以所求三角形面积为2 2 | －b | ＝ 4b ，1 且 b ≠0，由于 4b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范围是 [ － 2,0) ∪ (0,2] ． ]3．已知直线 l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线l 0： x －2y － 2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为 ________．4x － 3y － 4＝ 0 [ 由题意可设直线 l 0， l 的倾斜角分别为 α， 2α，1 1由于直线 l： x － 2y － 2＝ 0 的斜率为 2，则 tan α＝ 2，12tan α2×4所以直线 l 的斜率 k ＝ tan 2 α 2＝2＝1 ＝ ，1－ tan α2 31－ 24所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y － 0＝ 3( x － 1) ，即 4x － 3y － 4＝0.]4．已知直线 l ： kx － y ＋1＋ 2k ＝ 0( k ∈ R) ．(1) 证明：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围．[ 解 ] (1) 证明：直线 l 的方程可化为 y ＝ k ( x ＋ 2) ＋1，故不论 k 取何值，直线 l 总过定点 ( － 2,1) ．(2) 直线 l 的方程可化为 y ＝ kx ＋ 2k ＋ 1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k ＋ 1，k ≥0，要使直线 l 不经过第四象限，则解得 k ≥0，1＋ 2k ≥0，故 k 的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．ππ1．已知函数 f ( x ) ＝ a sin x －b cos x ( a ≠0， b ≠0) ，若 f 3－x ＝ f 3 ＋ x ，则直线 ax－by ＋ c ＝0 的倾斜角为 ()ππ A. 4 B. 32π3π C. 3D. 4π－x ＝ f π＋x 知函数 f ( x ) 的图像对于π2π C [ 由 f33 x ＝ 3 对称，所以 f (0) ＝ f 3 ，a2π 所以 a ＝－ 3b ，由直线 ax － by ＋ c ＝ 0 知其斜率 k ＝ b ＝－ 3，所以直线的倾斜角为 3 ，应选 C.]2．设P 为曲线 ： ＝ x 2＋ 2 x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为C yπ，则点 P 的横坐标的取值范围为0，()41B.[ － 1,0]A. － 1，－21C ． [0,1]D. 2， 1A [ 由题意知 y ′＝ 2x ＋ 2，设 P ( x 0， y 0) ，则 k ＝ 2x 0＋ 2.由于曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π ，所以 0≤ k ≤1，4即 0≤2x ＋2≤1.1≤－ 2. 应选 A.]所以－ 1≤ x。

课时规范练38直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.直线l过原点和(1，-1)，则它的倾斜角是()A.45°B.60°C.120°D.135°2.(2021北京八中月考)如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是()A.l1B.l2C.l3D.l43.直线l1过两点A(0，0)，B(√3，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为()A.√33B.2√33C.1D.√34.直线方程为kx-y+1=3k，当k变动时，直线恒过定点的坐标为()A.(0，0)B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)5.已知直线l过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为()A.[0,12] B.[0，1]C.[0，2]D.(0,12)6.若直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.87.已知直线l的方程为ax+by-2=0，下列判断错误的是()A.若ab>0，则l的斜率小于0B.若b=0，a≠0，则l的倾斜角为90°C.l可能经过坐标原点D.若a=0，b≠0，则l的倾斜角为0°8.(2021河南洛阳月考)已知点A(-2，1)，B(4，-2)，C(1，1+2a)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为.9.过点(1,14)，且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为.综合提升组10.过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为()A.x-y+1=0或x+y-7=0B.x+y+7=0C.2x-y-2=0D.2x+y-10=011.若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程不可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=012.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A，点A在直线mx+ny+2=0上，其中m，n均为正数，则1m +2n的最小值为()A.2B.4C.8D.613.已知直线l过点P(2，-1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b，则直线l的方程为.14.若直线ax-y+1=0与线段AB 相交，其中A (2，3)，B (3，2)，则实数a 的取值范围是 .创新应用组15.已知点A (-2，0)，点P (x ，y )满足x+y=√2sin θ+π4，x-y=√2sin (θ-π4)，则直线AP 的斜率的取值范围为( ) A.[-√33,√33]B.[-√3,√3]C.[-12,12]D.[-2，2]16.已知数列{a n }的通项公式为a n =1n(n+1)(n ∈N *)，其前n 项和S n =910，则直线x n+1+yn =1与坐标轴所围成的三角形的面积为 .课时规范练38 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.D 解析:设倾斜角为α，则tan α=-1-01−0=-1.因为0°≤α<180°，所以α=135°.故选D .2.D 解析:由图可知，直线l 3斜率为负，直线l 2斜率为0，直线l 1，直线l 4的斜率为正.又直线l 4的倾斜程度大于直线l 1，所以直线l 4的斜率最大.故选D .3.D 解析:因为直线l 1的斜率为√3-0=√33， 所以直线l 1的倾斜角为π6.又因为直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍， 所以直线l 2的倾斜角为π3， 所以l 2的斜率为tan π3=√3. 故选D .4.C 解析:把直线方程整理为k (x-3)-y+1=0，令{x -3=0,-y +1=0,得{x =3,y =1,所以定点坐标为(3，1).故选C .5.C 解析:如图所示，当直线l 位于阴影区域内(含边界)时满足条件，由图可知，当直线l 过点A 且平行于x 轴时，直线l 的斜率k 取最小值k min =0;当直线l 过A (1，2)，O (0，0)时，直线l 的斜率k 取最大值k max =2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].故选C .6.C 解析:由ax+by=ab ，得xb +ya =1，故直线在x 轴、y 轴上的截距分别为b ，a. 因为直线过点(1，1)，所以1a +1b =1.又a>0，b>0，所以a+b=(a+b )1a+1b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab =4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C . 7.C 解析:若ab>0，则l 的斜率-ab <0，故A 正确;若b=0，a ≠0，则l 的方程为x=2a ，其倾斜角为90°，故B 正确;若l可能经过坐标原点，则-2=0，这显然不成立，故C错误;若a=0，b≠0，则l的方程为y=2b，其倾斜角为0°，故D正确.故选C.8.-34解析:因为A，B，C三点共线，所以-2-14−(−2)=1+2a-11−(−2)，解得a=-34.9.x+4y-2=0解析:因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数，所以可设直线方程为xa+ay=1(a≠0).又直线过点(1,14)，所以1a+14a=1，解得a=2，所以所求直线方程为12x+2y=1，即x+4y-2=0.10.A解析:由题意可知，所求直线的斜率为±1，且过点(3，4).由点斜式得y-4=±(x-3)，故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.故选A.11.D解析:当直线l过原点时，直线l的方程为y=2x，即2x-y=0.当直线l不过原点时，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则设直线l的方程为xa +ya=1(a≠0).因为直线l过点A(1，2)，所以1a +2a=1，解得a=3，所以直线l的方程为x3+y3=1，即x+y-3=0.若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则设直线l的方程为xb +y-b=1(b≠0).因为直线l过点A(1，2)，所以1b +2-b=1，解得b=-1，所以直线l的方程为x-y+1=0.综上可知，直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0.故选D.12.B解析:已知直线kx-y+2k-1=0，整理得y+1=k(x+2)，故直线恒过定点A(-2，-1).因为点A在直线mx+ny+2=0上，所以2m+n=2，整理得m+n2=1.由于m，n均为正数，则1m +2n=m+n21m+2n=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m·2mn=4，当且仅当m=12，n=1时，等号成立.故选B.13.x+2y=0或x+3y+1=0解析:若a=0，则直线l过原点(0，0)，此时直线l的斜率k=-12，故直线l的方程为x+2y=0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a+y b=1，即x3b+y b=1.因为点P (2，-1)在直线l 上，所以23b+-1b=1，解得b=-13，所以直线l 的方程为x+3y+1=0.综上可知，直线l 的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.14.[13,1] 解析:易知直线ax-y+1=0过定点P (0，1).连接PA ，PB ，则k PA =3−12−0=1，k PB =2−13−0=13.因为直线ax-y+1=0与线段AB 相交，所以13≤a ≤1，即a 的取值范围是[13,1].15.A 解析:由{x +y =√2sin (θ+π4),x -y =√2sin (θ-π4)得{x =sinθ,y =cosθ,所以x 2+y 2=1，所以点P (x ，y )的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，如图所示.过点A 向该圆作切线，易知两切线的斜率分别为√33，-√33.由图可知，直线AP 的斜率k ∈[-√33,√33].故选A . 16.45 解析:由a n =1n(n+1)可知a n =1n −1n+1，所以S n =1-12+12−13+13−14+ (1)−1n+1=1-1n+1.又S n =910，所以1-1n+1=910，所以n=9，所以直线方程为x10+y9=1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9=45.。

高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。

（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。

满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。

2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。

规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。

范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。

（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。

（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。

（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。

3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。

符号：常用k 表示，即k ＝tan α。

注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。

（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。

（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。

4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。

yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。

1．1 直线的倾斜角和斜率填一填1.直线的倾斜角(1)概念：在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴相交，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角．(2)X 围：0°≤a ＜180°，当直线l 和x 轴平行时，倾斜角为0°. 2．直线的斜率(1)概念：斜率k 是直线的斜角α(α≠90°)的正切值，通常把tan_α叫作直线的斜率． (2)斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角 (X 围) α＝0° 0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率 (X 围)k ＝0k >0 不存在k <0(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x ≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1.判一判1.任何一条直线都有斜率．(×)2．斜率相等的两直线倾斜角相等．(√)3．直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大．(×) 4．与y 轴垂直的直线的斜率为0.(√)5．倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(×) 6．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×) 7．斜率公式与两点的顺序无关．(√) 8．若直线l 90°<α<180°.(√)想一想1. 提示：不一定，也可能与x 轴重合．2．用斜率公式解决三点共线的方法是什么？ 提示：3．求直线倾斜角的常用方法有哪些？提示：(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角．(2)分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0<α<90°，α＝90°及90°<α<180°.4．求直线斜率的两种方法是什么？提示：(1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得．要注意前提条件α≠90°，若α＝90°，则斜率不存在．(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．思考感悟：练一练1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,1)与(－4，－1) B ．(0,1)与(1,0) C ．(1,4)与(－1,4) D ．(－4,1)与(－4，－1) 答案：D2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B．60° C ．150° D．120° 答案：B3．若直线l 的斜率角为60°，则该直线的斜率为________． 答案： 34．经过两点A (3,2)，B (4,7)的直线的斜率是________． 答案：5知识点一直线的倾斜角1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值X 围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率解析：倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值X 围是[0,180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．故选D.答案：D2．已知直线l 的倾斜角为α，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为( ) A ．α B ．90°－αC ．180°－αD ．90°＋α解析：根据倾斜角的定义，结合图形知所求直线的倾斜角为180°－α. 答案：C知识点二 求直线的斜率3.若直线经过A (1,0)，B (4，3)两点，则直线AB 斜率为( )A.33 B ．1 C. 3 D ．－ 3解析：因为直线经过A (1,0)，B (4，3)两点，所以直线AB 斜率k ＝3－04－1＝33.故选A. 答案：A4．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4解析：过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，所以k ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.故选A.答案：A知识点三 倾斜角与斜率的关系5.当直线l 的倾斜角α满足0°≤α<120°，且α≠90°时，它的斜率k 满足( ) A ．－3<k ≤0 B．k >－ 3C ．k ≥0或k <－ 3D ．k ≥0或k <－33解析：当0°≤α<90°时，k ≥0；当90°<α<120°时，k <－ 3. 答案：C6．已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( )A. 3B.33C ．1 D.32解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝33－13－1＝3，α＝60°，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率为33.故选B. 综合知识 直线的倾斜角和斜率的综合应用解析：(1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，因为A (1,2)，所以直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.又直线PA 的倾斜角为60°，所以tan 60°＝－2a －1， 解得a ＝1－233，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.(2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )， 同理可得b ＝2－3，所以点P 的坐标为(0,2－3)．综上可知，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0,2－3)．8．(1)经过两点A (－m,6)，B (m ＋1,3m )的直线倾斜角的正切值为2，求m 的值；(2)求证：A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12三点共线． 解析：(1)∵A (－m,6)，B (m ＋1,3m )，∴k AB ＝3m －6m ＋1－－m ＝3m －62m ＋1.又直线AB 的倾斜角的正切值为2，∴k AB ＝2， 即3m －62m ＋1＝2，解得m ＝－8. (2)证明：∵A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12， ∴k AB ＝－2－33－－2＝－1，k AC ＝12－312－－2＝－1.∴k AB ＝k AC .∵直线AB 与直线AC 的倾斜角相同且过同一点A ， ∴直线AB 与AC 为同一直线． 故A ，B ，C 三点共线．基础达标一、选择题1．已知直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)，则该直线的倾斜角α是( ) A ．150° B．135° C ．75° D．45°解析：设该直线的倾斜角为α，则直线的斜率k AB ＝tan α＝3－0－5－－2＝－1，又α∈[0°，180°)，所以α＝135°.所以选B.答案：B2．过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2 D ．4解析：因为k AB ＝－4－m3－－2＝－2，所以m ＝6，故选A.答案：A3．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为( )A ．1 B. 3 C.233 D ．－ 3解析：因为斜率为33的直线的倾斜角为30°，所以直线l 的倾斜角为60°，故直线l 的斜率为 3.故选B.答案：B4．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：利用直线的倾斜角与斜率的关系，可知选D. 答案：D5．若直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ) A ．60° B．30°C ．120° D．60°或120° 解析：由|k |＝3，知k ＝tan α＝3或k ＝tan α＝－ 3.又倾斜角α∈[0°，180°)，故α＝60°或120°.答案：D6．若经过A (2,1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值X 围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)解析：由l 的倾斜角为锐角，可知k AB ＝m －11－2>0，即m <1.故选A.答案：A7．已知函数f (x )＝log 3(x ＋2)，若a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f cc的大小关系为( )A.f a a>fb b >fc c B.f a a <f b b <f cc C.f b b>f a a >f c c D.f a a <f c c <f b b解析：作出函数f (x )＝log 3(x ＋2)的大致图像，如图所示．由图像可知曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f a a <f b b <f cc，故选B. 答案：B二、填空题8．经过两点P (1，－4)，Q (－1，－4)的直线的倾斜角是________． 答案：0°9．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值X 围为________．解析：由k PQ ＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知斜率为12的直线经过A (3,5)，B (x ，－1)，C (7，y )三点，则x 的值为________，y 的值为________．解析：由题意，可知k AB ＝k AC ＝12，即5＋13－x ＝y －57－3＝12，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 711．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设点P (x ，y )，则y －3x －5＝2且y －2x ＋3＝－74，解得x ＝1，y ＝－5.故点P 的坐标为(1，－5)．答案：(1，－5)12．已知A (－2，－3)，B (3,0)，直线l 过点P (－1,2)且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值X 围是________．解析：如图，k PA ＝2＋3－1＋2＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12.过点P 且与x 轴垂直的直线PC 与线段AB 相交，但此时直线l 的斜率不存在，当直线l 绕P 点逆时针旋转到PC 处的过程中，l 的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l 的斜率的取值X 围是[5，＋∞)；当直线l 由PC (不包括PC )逆时针绕P 点旋转到PB 处的过程中，斜率为负且逐渐变大，此时l 的斜率的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. 综上，k 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 三、解答题13．一束光线从点A (－2,3)射入，经过x 轴上点P 反射后，通过点B (5,7)，求点P 的坐标．解析：如图，设P (x,0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，即∠1＝∠2， ∴α＝β.因此k AP ＝－k BP ，即0－3x －－2＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. 14．如果三点A ⎝⎛⎭⎪⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )在同一条直线上，求常数m 的值． 解析：由于三点A ，B ，C 所在直线不可能垂直于x 轴， 因此设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .由斜率公式，得k AB ＝－1－524－2m ＝74m －8，k BC ＝－m －－1－4－4＝m －18.因为点A ，B ，C 在同一条直线上，所以k AB ＝k BC .所以74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0.解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.所以m 的值是3＋572或3－572.能力提升15.已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)，(1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化X 围．解析：(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－－1＝0，k AC ＝3＋1－12－－1＝33.(2)如图所示．设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，又k CB ＝3＋1－12－1＝3，所以k 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.16．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值X 围．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率． 因为点M 在y ＝3－12x 的图像上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. 由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案一、选择题1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k 为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C解析：k ＝0－23－0 ＝－23 .2．直线x ＋ 3 y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．23 πD ．56 π答案：D解析：由x ＋ 3 y ＋1＝0，得y ＝－33 x －33 ，∴直线的斜率k ＝－33 ，其倾斜角为56 π.3．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－34 ，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A解析：由点斜式得y －5＝－34 (x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0．4．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3 ”是“k> 3 ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵当π2 <α<π时，k<0，∴α>π3 D ⇒/k> 3 ； 当k> 3 时，π3 <α<π2 ，∴k> 3 ⇒π3 <α<π2 ，∴α>π3是k> 3 的必要不充分条件． 5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ． 3 x －y ＋1＝0B ． 3 x －y － 3 ＝0C ． 3 x ＋y － 3 ＝0D ． 3 x ＋y ＋ 3 ＝0答案：D解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3 .又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y ＝－ 3 (x ＋1)，即： 3 x ＋y ＋ 3 ＝0.6．经过点P(1，2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝0答案：D解析：若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab>0，bc<0B ．ab>0，bc>0C ．ab<0，bc>0D ．ab<0，bc<0答案：A解析：ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b ，又直线过一、二、四象限，∴－a b<0且－c b>0，即ab>0，bc<0. 8．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎝⎛⎭⎫π2，π 答案：B解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π .9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤34，2B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案：B解析：直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞).二、填空题10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a 的值为________．答案：4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4 ＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．答案：45°解析：y′＝3x 2－2，当x ＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k ＝1，其倾斜角为45°.12．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率为1，则m ＝________.答案：1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题一、选择题1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° 【解析】【解析】 由对称性知θ＝180°－45°＝135°135°.. 【答案】【答案】 C2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．135°或225°D ．0°【解析】【解析】 由k ＝－1－0－1－0＝1，知tan α＝1，α＝45°45°. . 【答案】【答案】 A3．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( ) A ．－8 B ．10 C ．2 D ．4 【解析】【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】【答案】 B4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C èæøö5，k 2在同一条直线上，则k 的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．12 【解析】【解析】 若A 、B 、C 三点在同一条直线上，则k AB ＝k AC ，即3＋34－2＝k2＋35－2，解得k ＝12. 【答案】【答案】 D5．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.ëéûù0，12D.ëéøö0，12 【解析】【解析】 如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，∴由k OA ＝2－01－0＝2，知k ∈[0,2]． 【答案】【答案】 A 二、填空题二、填空题6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．【解析】【解析】 k ＝2a －＋a 3－－a＝a －12＋a ，因为倾斜角为钝角，，因为倾斜角为钝角， 所以k <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.【答案】【答案】 (－2,1)7．已知点M 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N ，若k MN ＝2，则N 点的坐标为________. 【导学号：10690041】【解析】【解析】 设N (x,0)或(0，y )，k MN ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1或y ＝－2，∴N 点的坐标为(1,0)或(0，－2)．【答案】【答案】 (1,0)或(0，－2)8．已知直线l 的倾斜角为60°，将直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转80°到l ′，则l ′的倾斜角为________．【解析】【解析】 如图，如图，顺时针旋转顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l ′的倾斜角为60°＋100°＝160°160°..【答案】【答案】 160° 三、解答题三、解答题9．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值．的值．【解】【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1， k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.10．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：相交，求： (1)直线l 的倾斜角α的取值范围；的取值范围； (2)直线l 的斜率k 的取值范围．的取值范围． 【解】【解】k PM ＝1＋15－3＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°45°.. 又k PN ＝1＋11－3＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°135°.. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若图2-2-1-1-1-44中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )图2-2-1-1-1-4 4 A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【解析】 由图可知，l 1的倾斜角α1>90°，所以k 1<0，l 2，l 3的倾斜角满足0°0°<<α3<α2<90°，所以k 3<k 2，于是可得k 1<k 3<k 2，故选D.【答案】【答案】 D2．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A.54B.45 C ．－54 D ．－45【解析】【解析】 设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.【答案】【答案】 C3．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 【解析】【解析】 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°180°))， 当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°90°<<α<180°，∴α∈[0°，45°45°]]∪(90°，180°180°))． 【答案】【答案】 [0°，45°45°]]∪(90°，180°180°) ) 4．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．的最大值和最小值．【解】【解】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，的斜率， 且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.。