第九章 假设检验

右侧检验： 右侧检验： H0：μ≤μ0 H1 ：μ＞μ0 P值= P(Z ≥ Z c µ = µ 0 )
根据P值进行假设检验： 根据P值进行假设检验： 通过样本观察数据计算检验统计量的值， 通过样本观察数据计算检验统计量的值，查表得到该 统计量值的概率即P值，然后将P值与所给的显著性水平α 统计量值的概率即P 然后将P值与所给的显著性水平α 对比，如果P值小于α 则拒绝原假设；如果P值大于α 对比，如果P值小于α，则拒绝原假设；如果P值大于α， 则接受原假设。 则接受原假设。
第九章
假设检验
本章内容
第一节 第二节 假设检验的一般问题 单总体参数的假设检验
第一节 假设检验的一般问题
假设检验（ text） 假设检验（hypothesis text）是先对总体参数提出某种 假设，然后进行随机抽样，并根据样本的信息来验证该假 假设，然后进行随机抽样， 设是否成立。 设是否成立。 假设检验可分为参数检验和非参数检验两种。 假设检验可分为参数检验和非参数检验两种。参数检 验是对总体的参数进行检验， 验是对总体的参数进行检验，可进一步区分为单总体参数 检验和多总体参数检验。 检验和多总体参数检验。而非参数检验是对总体的分布形 随机变量独立性等方面进行检验。 式、随机变量独立性等方面进行检验。 本章只讨论单总体均值、比例、方差等参数的检验。 本章只讨论单总体均值、比例、方差等参数的检验。
图9-1 1%概率示意图（α=0.01） 1%概率示意图（α=0.01） 概率示意图
解:在本例中， =248，σ=4，n=50，假设μ=250 在本例中， =248，σ=4，n=50，假设μ=250 x 也就是说，对于一次抽样的结果，小概率事件发生了， 也就是说，对于一次抽样的结果，小概率事件发生了， 这是不合常理的，所以可认为总体平均数μ 250这一 这是不合常理的，所以可认为总体平均数μ＝250这一 假设不成立，即该包装饮料的容量不足250毫升， 假设不成立，即该包装饮料的容量不足250毫升，厂商 250毫升 有欺诈故意。 有欺诈故意。
一、假设检验的一般原理 假设检验的依据是小概率原理：在一个已知假设下，如 假设检验的依据是小概率原理：在一个已知假设下， 果某个事件发生的概率非常小，我们通常认为， 果某个事件发生的概率非常小，我们通常认为，这个假设可 能是不成立的。 能是不成立的。 小概率原理是对人们日常思维习惯的抽象概括。 小概率原理是对人们日常思维习惯的抽象概括。在日常 生活中，人们习惯于把概率非常小的事件， 生活中，人们习惯于把概率非常小的事件，当作在一次观察 中是不可能出现的事件。当然， 中是不可能出现的事件。当然，如果我们认为某个事件是小 概率事件，但在一次观察中却发生了， 概率事件，但在一次观察中却发生了，合理的解释自然是我 们原来的看法有问题，也就是说， 们原来的看法有问题，也就是说，我们原来认定的事件可能 并不是小概率事件。 并不是小概率事件。
抽样误差范围是与概率保证程度相联系的。 抽样误差范围是与概率保证程度相联系的。对于正态分布 总体，若取概率保证程度为99%，则样本平均数与总体平均 总体，若取概率保证程度为 ， 之差大于抽样平均误差的2.33倍，即，也就是说，或发 也就是说， 数µ之差大于抽样平均误差的 之差大于抽样平均误差的 倍 生的概率只有1%（见图9-1）。因此，是一个小概率事件， ）。因此 生的概率只有 （见图 ）。因此，是一个小概率事件， 这一事件在100次抽样中只发生一次，而对于一次抽样而言， 次抽样中只发生一次， 这一事件在 次抽样中只发生一次 而对于一次抽样而言， 可认为小概率事件实际上不会发生。 可认为小概率事件实际上不会发生。
二、假设检验的步骤 1．建立假设
建立假设应注意的问题
2．选择检验统计量及其分布
检验统计量的选择
3．确定显著性水平、临界值、接受域、拒绝域，计 确定显著性水平、临界值、接受域、拒绝域， 算检验统计量的值，检验原假设是否成立。 算检验统计量的值，检验原假错误 假设检验容易犯两类错误： 假设检验容易犯两类错误： 第一类错误（ ），即 弃真的错误” 第一类错误（tape Ⅰ error ），即“弃真的错误”， 是指根据小概率原理，当原假设真时拒绝原假设而犯的错误。 是指根据小概率原理，当原假设真时拒绝原假设而犯的错误。 犯第一类错误的概率为α 即显著性水平。 犯第一类错误的概率为α，即显著性水平。 第二类错误（tape Ⅱ error ），即“纳伪的错误”， ），即 纳伪的错误” 第二类错误（ 是指原假设假时没有拒绝原假设所犯的错误 。犯第二类错误 的概率记为β 的概率记为β。 应当注意：只有当原假设被拒绝时，才会犯第一类错误； 应当注意：只有当原假设被拒绝时，才会犯第一类错误； 只有当原假设未被拒绝时，才会犯第二类错误。 只有当原假设未被拒绝时，才会犯第二类错误。
Industries，Ltd.曾经提供了一种称为 性别选择” 曾经提供了一种称为“ 例1：ProCare Industries，Ltd.曾经提供了一种称为“性别选择”的产 根据广告上的说法，这种产品可以使夫妇“ 品，根据广告上的说法，这种产品可以使夫妇“将生一个男孩的概率增加 85％，生一个女孩的概率增加到80％。”对于想要男孩的夫妇， ％，生一个女孩的概率增加到80％。 到85％，生一个女孩的概率增加到80％。”对于想要男孩的夫妇，“性别 选择”就装在一个蓝色的包装里，对于想要女孩的夫妇，“性别选择”就 选择”就装在一个蓝色的包装里，对于想要女孩的夫妇， 性别选择” 装在一个粉色的包装里。假设我们对100对想要女孩的夫妇进行了一项实验， 100对想要女孩的夫妇进行了一项实验 装在一个粉色的包装里。假设我们对100对想要女孩的夫妇进行了一项实验， 他们都遵照了在“性别选择”粉色包装上描述的“户内方便使用说明” 他们都遵照了在“性别选择”粉色包装上描述的“户内方便使用说明”。 使用常识和非正规统计学方法来判断，如果100 100个婴儿中包含以下数量的女 使用常识和非正规统计学方法来判断，如果100个婴儿中包含以下数量的女 我们应该对“性别选择”的有效性得出什么结论？ 孩，我们应该对“性别选择”的有效性得出什么结论？
实际情况 决策结果 未拒绝H 未拒绝H0 拒绝H 拒绝H0 原假设H 原假设H0真 正确决策 第一类错误α 第一类错误α 原假设H 原假设H0假 第二类错误β 第二类错误β 正确决策
两类错误的概率α和β存在着一定的关系：α增大，则β减 存在着一定的关系： 增大 增大， 两类错误的概率 和 存在着一定的关系 减 减小， 增大。 小；α减小，则β增大。我们当然希望犯这两类错误的概率 减小 增大 都尽可能的小，但实际上很难做到， 都尽可能的小，但实际上很难做到，唯一的办法是扩大样本 容量，但扩大样本容量又受到各种因素的限制， 容量，但扩大样本容量又受到各种因素的限制，因此我们往 往是在两类错误之间进行平衡，以使α和 控制在能够接受 往是在两类错误之间进行平衡，以使 和β控制在能够接受 的范围内。 的范围内。
理解了小概率原理，就理解了假设检验的思想： 理解了小概率原理，就理解了假设检验的思想：首先对总 体参数建立某种假设（称为原假设） 体参数建立某种假设（称为原假设）H0，然后经过随机抽样取 得一组样本数据，如果根据样本数据计算的某个统计量（ 得一组样本数据，如果根据样本数据计算的某个统计量（或 多个统计量）在原假设H 成立的条件下发生的概率很小， 多个统计量）在原假设H0成立的条件下发生的概率很小，就拒 绝或否定这个原假设并继而接受其对立面——备择假设。 ——备择假设 绝或否定这个原假设并继而接受其对立面——备择假设。反 如果该统计量在原假设H 之，如果该统计量在原假设H0成立的条件下发生的可能性不是 很小，那么就接受原假设。 很小，那么就接受原假设。
例2：假设某种饮料的商标上标明的容量为250毫升，标准 假设某种饮料的商标上标明的容量为250毫升， 250毫升 差为4毫升。如果你从市场上随机抽取50 50瓶 差为4毫升。如果你从市场上随机抽取50瓶，发现其平均含 量为248毫升。据此，可否断定饮料厂商欺骗了消费者？ 248毫升 量为248毫升。据此，可否断定饮料厂商欺骗了消费者？ 分析：样本平均含量低于厂商声称的平均含量， 分析：样本平均含量低于厂商声称的平均含量，其原因不 外乎有两种：一是由抽样误差引起的。 外乎有两种：一是由抽样误差引起的。如果样本平均数与总 体平均数之差不大，未超出抽样误差范围， 体平均数之差不大，未超出抽样误差范围，则可认为两者之 差就是由抽样误差引起的，饮料厂商不存在欺诈行为。 差就是由抽样误差引起的，饮料厂商不存在欺诈行为。二是 由饮料厂商短斤少两引起的，即饮料厂商存在欺诈行为。 由饮料厂商短斤少两引起的，即饮料厂商存在欺诈行为。在 这种情况下， 这种情况下，样本平均数与总体平均数之差就会超出抽样误 差范围，因为其差异是厂商的有意行为。 差范围，因为其差异是厂商的有意行为。
四、利用P值进行假设检验 利用P 在原假设成立的条件下， 在原假设成立的条件下，检验统计量在某样本中至少达到 相应值的概率称为P值（P-value）。 相应值的概率称为P value）。 双侧检验： 双侧检验： H0 ：μ＝μ0 H1：μ≠μ0 P值＝ 2 P(Z ≥ Z C µ = µ 0 )
左侧检验： 左侧检验： H0：μ≥μ0 H1 ：μ＜μ0 P值= P(Z ≤ Z c µ = µ 0 )
例3：某研究机构估计，某地大学生中手机保有率（大学生 某研究机构估计，某地大学生中手机保有率（ 中拥有手机的比率）超过80％。为验证这一估计是否正确 80％。为验证这一估计是否正确， 中拥有手机的比率）超过80％。为验证这一估计是否正确，该 机构拟在该地大学生中抽取样本进行检验。 建立的假设为： 机构拟在该地大学生中抽取样本进行检验。 建立的假设为： 原假设H π≤80％ 原假设H0：π≤80％ 备择假设H 80％ 备择假设H1：π＞80％ 试描述第一类错误和第二类错误的含义。 试描述第一类错误和第二类错误的含义。 解：第一类错误意味着：该地大学生中手机实际保有率不 第一类错误意味着： 80％，但样本结果却拒绝了原假设， ％，但样本结果却拒绝了原假设 到80％，但样本结果却拒绝了原假设，认为大学生手机保有率 超过了80 80％。 超过了80％。 第二类错误意味着：该地大学生手机实际保有率超过了80 第二类错误意味着：该地大学生手机实际保有率超过了80 ％，但样本结果却接受了原假设 但样本结果却接受了原假设， ％，但样本结果却接受了原假设，认为大学生手机保有率不到 80％。 80％。