正交各向异性带型中裂纹诱导的温度场分析

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正交各向异性功能梯度材料中的运动裂纹

收稿日期：２０１３一一基金项目：山西省自然科学基金（２０１１０１１０２１ —３）
作者简介：隋中合（１９７０一），男，山东广饶县人，硕士，海南省工业学校讲师，主要从事偏微分方程理论及应用研究
模型Ｉ４］，研究了功能梯度材料中裂纹运动速度和材料物性双参数对运动裂纹尖端应力强度因子的影响．
１材料物性参数模型
研究无限大正交各向异性功能梯度材料，内含一长度为２ａ的裂纹，如图１．
图１无限大ＦＧＭ运动裂纹模型
究．近年来有文献［３将材料物性参数采用指数函数模型，研究了非均匀材料中材料非均匀性对运动裂纹尖端
应力强度因子的影响，还很少看到别的函数模型被采用ｒ３］．本文将材料物性参数采用任意次幂双参数幂函数
１１４
太原师范学院学报（自然科学版）
第１２卷
（３ａ）
（３ｂ）
ｒ（ｘ，０，）一ｒ（ｚ，０）一一
０≤ ＩｚＩ＜ｎ
ｗ（Ｘ，０，）一ｗ（ｘ，０）一０ＩＩｚＩ ≥ ａ
增大．
［关键词］功能梯度材料；正交各向异性；Ｙｏｆｆｅ型运动裂纹；对偶积分方程；动应力强度因子
（文章编号］１６７２ — ２０２７（２０１３）０２ — ０１１３－０４［中图分类－Ｎ－３Ｏ３４６．１［文献标识码］Ａ

正交各向异性材料裂纹疲劳扩展的扩展有限元法研究

F（l x）b
l k
k=1
l
（1）
式（1）中，n 为常规节点数，mh 为裂纹面增强节
点数，mt 为裂尖增强节点数，N（i x），N（j x）与 N（k x）为
对应节点的形函数，H（x）为 Heaviside 增强函数，
F（l x）为裂尖增强函数，ui 为常规有限元自由度，aj 为
《装备制造技术》2019 年第 12 期
正交各向异性材料裂纹疲劳扩展的扩展有限元法研究
徐建新，郝宇
（中国民航大学航空工程学院，天津 300300）
摘要：介绍了复合材料的发展与扩展有限元的基础，通过使用最大周向应力准则确定裂纹的扩展方向，使用 Paris 公式确定裂纹的扩展速度，求得裂纹的疲劳扩展规律。用对比验证算例确定了程序的正确性。对不同的加载条件和材料主方向角度进行模拟，得到材料的 S-N 曲线。随着循环次数的增加，裂纹的长度增长的越来越快，同时应力强度因子增长的越来越快。随着材料主方向角度的增加，裂纹扩展速度在 60°时为最慢，同时扩展角度变化为反正弦变化。关键词：扩展有限元法；正交各向异性材料；疲劳；裂纹扩展；复合材料
以表示为传统有限元节点位移 uFE 和增强节点位移
uenr，uenr 又可分为裂纹面附加位移 uh 和裂尖附加位移
utip，则有
u（h x）= uFE + uenr
= uFE + uh + utip
n
mh
移移 = N（i x）ui + N（j x）H（x）aj +
i=1

j=1
蓸蔀 mt
4
移移 N（k x）
裂纹面附加自由度，blk 为裂尖附加自由度。Heaviside

空天飞行器再入过程中关键热结构的热分析

2006年6月强度与环境 Jue.2006 第33卷第2期STRUCTURE & ENVIRONMENT ENGINEERING V ol.33, No.2空天飞行器再入过程中关键热结构的热分析沈玲玲吕国志姚磊江（西北工业大学航空学院，西安 710072）摘要：可重复使用的空天飞行器再入过程中关键热结构的热分析可为结构设计、选材等提供参考依据。

本文针对全C/SiC复合材料襟翼结构，考虑传导与辐射耦合换热，建立了其再入过程热分析的有限元模型。

由有限元计算结果的分析发现：辐射换热在整个温度场中起主导作用，并且对于采用防热－结构一体化设计的可重复使用的空天飞行器，C/SiC是比较理想的结构材料。

关键词：空天飞行器；热分析；有限元；辐射；C/SiC中图分类号：V214 文献标识码：A文章编号：1006-3919(2006)02-0017-06Thermal analysis of the primary hot structure forre-entry space vehicleSHEN Ling-ling LV Guo-zhi YAO Lei-jiang(Aviation School，NorthWestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China)Abstract：The thermal analysis of the primary hot structure is necessary to the structure design and material selection for re-entry space vehicle. The finite element model, considering the coupled conduction-radiation heat transfer, was established for the thermal analysis of the all-ceramic body flap. It is found that the radiation heat transfer has dominant influence on the temperature distribution. It could be conclude that the carbon fiber reinforced silicon carbide (C/SiC) is an ideal material for the primary hot structure of re-entry space vehicle.Key words: re-entry space vehicle；thermal analysis；finite element；radiation；C/SiC1 前言可重复使用空天飞行器是新一代天地往返运输系统的发展方向，对于降低空间运输成本具有重要的意义。

正交各向异性介质平面问题的基本解

正交各向异性介质平面问题的基本解
正交各向异性介质体的平面问题，首先要明确的是其存在的基本物理规律，即紫外线在介质内的传播路线是依照光的折射率在各向异的方向而变化的。

考虑的基本问题就是在介质内可以得到哪些类型的波导解，以及这些解的性质如何。

从经典电磁理论出发，介质上波导解的性质完全由折射率所决定，即折射率（ε）、内在电容(μ)和外空气电容（ε0）。

在正交各向异性介质中，折射率是在横向和纵向上存在不同变体的，因此得到的波导解会存在一定的各向异性。

针对这个问题，可以采用电磁场积分的方法，解得一维正交各向异性介质的基本解，包括TE型和TM型的解。

TE型波导中，场线状态呈圆柱形分布，且其各向异性特性体现在横向和纵向受强度的不同程度。

TM型波导将电场和磁场的分布呈球体的分布状态，并且在横向和纵向上磁畴和电畴都是有差别的。

基于上述推导，我们可以得出结论：一维正交各向异性介质上，存在TE型和TM型的基本波导解，其横向和纵向的磁畴和电畴存在不同程度的强度差别。

而这种差别就是正交各向异性介质的特性。

热应力下功能梯度条共线裂纹断裂问题分析

热应力下功能梯度条共线裂纹断裂问题分析潘海珠;宋天舒【摘要】To discuss the effect of temperature variation on functional graded material (FGM) with cracks,the modeI thermomechanical fracture problem in an FGM strip with two collinear cracks is studied in this paper.The hierarchical method is applied for the analysis of the FGM strip under steady state thermal loads so as to obtain the analytical solution to the problem of fracture mechanics in which different themomechanical properties are described by different functions.The thermal stress intensity factors (TSIFs) at the tips of both cracks are solved by means of the Lobatto-Chebyshev value method.Meanwhile,some examples are presented to investigate thermal property influences,the temperature distribution changes at the free surfaces of the strip and the change in geometric parameters of the cracks on the TSIF.In particular,the interaction of cracks is discussed,which may affect the TSIF.The results show that different themomechanical properties described by different functions have significant effects on the TSIFs of both cracks.The results can provide a reference for the design of FGMs used in extreme temperature conditions.%为了探讨温度变化对含裂纹的功能梯度材料(FGM)的影响,本文研究了含有两个共线裂纹的功能梯度条的I-型热应力断裂问题.对于稳态热应力下的功能梯度条应用分层方法进行分析,使得不同函数形式表示热机械属性变化下的断裂力学问题能够得到解析解.应用Lobatto-Chebyshev数值方法求得两个裂纹裂尖的热应力强度因子(TSIF).通过一些算例研究材料热力属性、功能梯度条自由表面温度变化及裂纹几何参数变化对TSIF的影响,特别是对两裂纹间交互对热应力强度因子的影响进行了探讨.结果表明:用不同函数形式描述热机械属性对含有两个裂纹的功能梯度条TSIF有显著影响,该结果可为设计极端温度条件下使用的FGM提供参考.【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》【年(卷),期】2017(000)002【总页数】7页(P201-206,229)【关键词】断裂分析;功能梯度材料;热机械属性;共线裂纹;热应力强度因子【作者】潘海珠;宋天舒【作者单位】哈尔滨工程大学航空与建筑工程学院,黑龙江哈尔滨 150001;齐齐哈尔大学计算机与控制工程学院,黑龙江齐齐哈尔 161006;哈尔滨工程大学航空与建筑工程学院,黑龙江哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】O343.6在工程实际中，复合材料的一个缺陷就是其不同组分的热膨胀系数不同，这种不匹配所产生的残余应力会造成材料开裂[1]，使用功能梯度材料(FGM)可以降低这种不匹配。

正交各向异性功能梯度材料板I型裂纹应力、应变分析

Ｅ
Ｉ
Ｅ
２ｅ
。１
。
。
对于二维线弹性体，答方程为：相
＋ａ＝ａｘＴ，ｙ
（）７
将（）入方程（），２带７中得到正交各向异性材料板的控制方程：
）
ｄｙ
２
）
㈤）
ｄｘｔ－Ｏ＇
√ ｃ
－
。
一
＝
＋
２，（ｏＢ２Ｚ）＋Ｂ６Ｚ）２６（ｏ）
当 △＜０时，方程（０的解为：Ｉ＝ａ＋Ｉ２＝一ａ１），
２ａ＝
＋
，
ＩＩ４，ｚ
２
（４１）
２２Ｚ）＋Ｂ６Ｚ）ＢＩ０（６ｏ２
（）９
这一双次程判式．（是个二方，别为＝其 △ 浆
的解为：。＝。２＝，，＝／，，＝一ｚ２
一
４
（１１）
（２１）
其中： ≤＾ｈ０≤ ，是材料板的厚度。对于选定的分析平面＝０把＝。Ｚ，：带入（１则当△ ＞０方程（０１）时，１）
式中：。：８，０为常数；。８，，，８，５８Ｅ为弹性主方向与轴方向平行时，梯度材料板参考平面（＝）Ｚ０时材料的弹性常数。对于正交各向异性材料板由（）３式和（）５式得到柔度矩阵［（）为：８ｚ］
Ｅｅ
Ｉ
ｌ
Ｅ２
。
［（）８ｚ］＝
摘要：对含Ｉ文章型裂纹的正交各向异性功能梯度材料板沿其板厚的弹性常数表达式呈指数函

各向异性与正交异性双材料Ⅲ型界面裂纹分析

ｄ
＋２（Ｑ４５）－
ｏｙ
＋（
ｄｙ
＿０
（１）
基金项目：山西省自然科学基金（２０１１０１１０２１— ３）；山西省高校科技项目（２０１１１０９３）作者简介：冀亚仙（１９８８一）女，硕士研究生，主要研究方向为偏微分方程理论及应用。
者的重视。由于结合材料的破坏多发生在界面附
近，因此，界面裂纹的分析对结合材料的强度和可靠性评价具有重要意义。文献［１］对各向同性双材料界面裂纹进行研究，得到Ｉ型和 Ⅱ型裂纹尖端应力具有振荡奇异性。文献［２］采用函数变量方法，对含有边缘界面裂纹的不同正交各向异性平板在
，
（２
１．２）
（４）
其中
＝＋ｓｉＹ＝ｒ（ｃｏｓ０＋ｓｉｓｉｎ０），
第３４卷
第１期
太
原
科
技
大
学
学
报
Ｖｏ１．３４Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．２０１３
２０１３年２月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
随着复合材料的工业应用范围不断扩大，由不
同材料组成的界面力学行为越来越受到国内外学

正交各向异性C

2023年第47卷第4期Journal of Mechanical Transmission正交各向异性C/SiC汽车通风式制动器仿真分析朱玉玲1,2王优强1,2赵涛1,2李梦杰1,2何彦1,2（1 青岛理工大学机械与汽车工程学院，山东青岛266520）（2 工业流体节能与污染控制教育部重点实验室，山东青岛266520）摘要运用热力耦合及传热学相关理论，利用有限元软件Abaqus建立正交各向异性C/SiC材料的汽车通风式制动器模型；以此为基础，对该模型在紧急制动过程中不同制动初速度、不同制动压力以及制动盘的不同纵向膨胀系数进行了模拟和分析。

结果显示，在热力耦合作用下，制动盘节点单元温度曲线呈现出“锯齿状”波动，热应力主要出现在摩擦副接触的中间区域；在紧急制动过程中，制动压力和初速度越大，制动盘面温度上升越明显，而不同制动盘膨胀系数对制动盘最高温度的影响不显著。

关键词C/SiC 制动盘热力耦合Abaqus 温度场Simulation Analysis of Orthotropic Anisotropic C/SiC for Automotive Ventilated Brakes Zhu Yuling1,2Wang Youqiang1,2Zhao Tao1,2Li Mengjie1,2He Yan1,2（1 School of Mechanical and Automotive Engineering, Qingdao University of Technology, Qingdao 266520, China）（2 Key Lab of Industrial Fluid Energy Conservation and Pollution Control Ministry of Education, Qingdao 266520, China）Abstract Using the theory related to thermal coupling and heat transfer, the finite element software Abaqus is used to establish an orthogonal anisotropic C/SiC model of an automotive ventilated brake disc. Based on this model, different braking initial velocities, different braking pressures and different longitudinal expan⁃sion coefficients of the brake disc during emergency braking are simulated and analyzed. The results show that the temperature profile of the nodal unit of the brake disc exhibited "sawtooth" fluctuations under the effect of thermal coupling, and the thermal stresses mainly appeared in the middle region of the friction contact. The high⁃er the braking pressure and initial speed during emergency braking are, the higher the temperature rise of the disc surface will be. However, the effect of different disc expansion coefficients on the maximum disc tempera⁃ture is not significant.Key words C/SiC Brake disc Thermodynamic coupling Abaqus Temperature field0 引言拥有一个安全高效的制动系统是汽车稳定行驶的重要前提。

各向异性裂缝

5.2.5叠前各向异性（方位P波）裂缝检测5.2.5.1叠前方位P波裂缝方法原理目前已经发展起来的裂缝性油气藏勘探技术有：横波勘探、P-S转换波、多分量地震、多方位VSP、纵波AVAZ等。

其中最有效的方法当属横波分裂技术。

但横波采集和处理的费用极高，油田投资风险大，因此不能成为常用技术。

多分量地震、多方位VSP、P-S转换波技术有不错的效果，但要么勘探成本高，要么是非常规地震采集项目，在国内现阶段难于广泛应用。

因此AVAZ发展成为商业化技术。

FRS裂缝检测方法是基于纵波的一种地震检测方法，当地震P波在遇到裂缝地层产生反射时，由于P波与裂缝的方位角不同，产生的反射就不同，如图7-1，利用三维地震资料宽方位角的特点，提取不同方位角的地震P波响应特征，就可以用于检测裂缝发育的相对程度，该方法尤其对开启的高角度裂缝效果明显。

图7-1 垂直裂缝储层与三维地震方位数据采集示意图AVAZ（或AVOZ）：即3D地震资料的振幅随偏移距（入射角）和方位角变化关系。

沈凤教授等的研究表明，地震频率的衰减和裂缝密度场的空间变化有关。

沿裂缝走向方向随offset衰减慢,而垂直裂缝走向方向随offset衰减快,裂缝密度越大衰减越快。

据Thomsen的研究，AVO梯度较小的方向是裂缝走向，梯度最大的方向是裂缝法线方向，并且差值本身与裂缝的密度成正比，因此裂缝的密度可以标定出来。

Gray等的研究描述了AVAZ分析法并表明AVO随方位角的变化关系(即AVO梯度)反映了岩石硬度的变化。

Ramos等的研究表明，纵波垂直于裂缝带传播会有明显的旅行时延迟和衰减，并有反射强度降低和频率变低等现象。

贺振华等通过岩石物理模型实验结果表明，地震P波沿垂直于裂缝方向的传播速度小于沿平行于裂缝方向的传播速度。

并且地震波的动力学特征如振幅、主频、衰减等比运动学特征如速度对裂缝特征的变化更为敏感。

这些研究为AVAZ的发展奠定了基础。

并且表明，利用叠前地震资料提取方位地震属性如振幅、速度、主频、衰减等检测裂缝型储层是完全可行的，比基于叠后地震资料的裂缝检测技术有更大的优越性。

不同地震属性的方位各向异性分析及裂缝预测

不同地震属性的方位各向异性分析及裂缝预测王洪求;杨午阳;谢春辉;郑多明;王海龙;张喜梅;蒋春玲【摘要】通过对塔里木盆地热瓦普区块宽方位地震资料分析认为,在方位角划分时应尽可能多地利用远炮检距信息,有利于提高裂缝预测精度.通过计算和分析不同地震属性的各向异性表明:旅行时差相对于旅行时,其各向异性受上覆地层的影响更小,较真实地反映目的层裂缝发育情况;振幅的各向异性预测裂缝的规律性较好,且与区域断裂分布特征吻合程度高;AVO梯度的各向异性预测裂缝精度高于常规属性,且在串珠位置(即缝洞发育处)裂缝发育,与实际地质情况吻合.对旅行时差、振幅、AVO 梯度等有利属性的各向异性结果进行融合,可提高裂缝预测精度,有利于指导高产井的部署.【期刊名称】《石油地球物理勘探》【年(卷),期】2014(049)005【总页数】7页(P925-931)【关键词】方位角;裂缝预测;旅行时;AVO梯度;各向异性【作者】王洪求;杨午阳;谢春辉;郑多明;王海龙;张喜梅;蒋春玲【作者单位】中国石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州730020;CNPC油藏描述重点实验室,甘肃兰州730020;中国石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州730020;中国石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州730020;中国石油塔里木油田分公司勘探开发研究院,新疆库尔勒841000;中国石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州730020;中国石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州730020;中国石油勘探开发研究院西北分院,甘肃兰州730020【正文语种】中文【中图分类】P6311 引言在碳酸盐岩地层中，裂缝的存在有利于岩溶作用形成孔、洞、缝等储集空间，通过沟通周围的缝洞体，从而使储层在空间上连通范围更大，有利于井点油气的高产、稳产，因此裂缝预测显得非常重要。

利用地震资料进行裂缝预测的技术较多，包括相干分析、曲率分析、倾角检测、应力场分析等非常成熟的技术［1～4］，以及多波勘探、横波勘探、VSP地震、纵波勘探等技术［5～8］。

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= y 都有关的 θ1 ( x, y ) ，另一部分为只与 y 有关的 θ 2 ( y ) ，即 θ ( x, y ) θ1 ( x, y ) + θ 2 ( y ) 。其中 θ1 ( x, y ) 满足方
程 (1) ，对方程 (1) 两边取关于变量 x 的傅里叶余弦变换，求解后再作反变换，获得温度场方程 (1) 的解
收稿日期：2018年10月7日；录用日期：2018年10月22日；发布日期：2018年10月29日
摘
要
本文研究热荷载下正交各向异性带型中的裂纹问题。利用傅里叶变换，将热边值问题转化为奇异积分方程。采用Lobatto-Chebyshev公式得到线性代数方程系统。给出了裂纹诱导的温度场的数值解，通过数
Analysis of the Temperature Field Induced by a Crack in an Orthotropic Strip
Shanli Liao, Yuanbo Wu, Lihua Zhang
School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning Guangxi Received: Oct. 7 , 2018; accepted: Oct. 22 , 2018; published: Oct. 29 , 2018
Open Access
1. 引言
断裂力学是研究带有裂纹的物体在载荷的作用下裂纹扩展规律的一门学科[1]。我们要从晶体学的角度去认识断裂现象的本质。晶体一般由原子(或离子、分子)规则排列而成[2]。在一定条件下，比如温度、剪应力、均匀热流，晶体中原子的结合力遭到了破坏，从而诱导了裂纹的产生，当裂纹扩展到一定程度便会发生断裂。固体材料或结构在外力作用下会发生断裂，这不仅在生活中，甚至在工程上都是极为普遍的现象，一个看似简单的现象，其物理本质却难以完全认识透彻[2]。断裂现象的研究也因此成为了众多学者们孜孜不倦的追求。复合型材料在力、热、电、磁、光，作用下的断裂现象逐渐引起学者们的关注[3]。断裂力学发展至今，学者们已经研究了各种裂纹模式的断裂问题。例如，文献[4]中研究了正交各向异性体双线性裂纹的平面热弹性问题，文献[5]在开裂纹介质情况下提出了一种热介质裂纹模型，用于研究在热和机械载荷条件下横观各向同性材料的 Griffith 裂纹问题，文献[6]研究了机械、均匀热流载荷条件下正交各向异性体的共线双裂纹问题。再如文献[7] [8] [9]研究了单、双裂纹在不同材料、不同影响因子条件下的裂纹问题。本文侧重研究裂纹位置、裂纹尺寸对正交各向异性带型裂纹温度场的影响，基于热断裂物理边值问题转化为奇异积分方程的思想，通过数值计算求解奇异积分方程，获得了与实际生活的断裂现象较吻合的数值结果，表明了该方法的有效性。本文的研究不仅给出了裂纹位置、裂纹尺寸对温度场的影响，还为热弹性场的分析提供了研究基础，具有一定的实际意义。
(2) (3) (4) (5)
( x, 0 ) , x > a , ( x, 0 ) , x > a ,
qc , 0 < x < a.
= q (y ) ( x, 0 ) q (y
I
q (y ) ( x, 0= ) q(y
I
II )
) ( x, 0=
而 λ , λx , λ y 是方程热传导系数， qc 是热流密度，qx , q y 分别是 x 轴和 y 轴方向的热流分量，θ 是温度，它们具有重要的物理意义。我们将研究偏微分方程(1)在以上热物理边值条件下的数值解。综合考虑带型边界初始温度、裂纹位置、裂纹尺寸对温度场的影响。
(7)
= f c1e m1 y + c2 ye m1 y ,
其中 c1 ， c2 为任意常数。又由于指数函数与双曲函数之间的转换关系
(8)
= e x sinh ( x ) + cosh ( x ) ,
所以(7)、(8)可分别表示为
= f
∑ ci cosh ( mi y ) + sinh ( mi y ) ,
其特征方程为
(6)
m 2 + pm + q = 0.
DOI: 10.12677/app.2018.810056 441 应用物理
廖珊莉等
当特征方程存在两个不同实数根，设为 m1 ， m2 ，则该微分方程的通解可表为
= f c1e m1 y + c2 e m2 y ,
当特征方程存在两个相同的实数根，即 m1 = m2 ，则该微分方程的通解可表为
λ2
其中 λ 2 = λx λ y 。其热边界条件为：
∂ 2θ ∂ 2θ 0, + = ∂x 2 ∂y 2
(1)
−θ 0 , x > 0, θ ( I ) ( x, hI ) = θ 0 ,θ ( II ) ( x, −hII ) = = θ ( ) ( x, 0 ) θ (
I II ) II )
关键词
正交各向异性带型，裂纹，傅里叶变换，奇异积分方程，Lobatto-Chebyshev公式
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
θ1 ( x, y ) ，可表示为：
θ1( ) ( x, y ) =
j
2 ∞ ( j) j A (ξ ) cosh ( λξ y ) + B ( ) (ξ ) sinh ( λξ y ) cos (ξ x ) dξ , π ∫0
其中 j = I , II 。此外， θ 2 ( y ) 满足如下 3 个方程
B(
j)
(14)
其中 A( j ) (ξ ) ， B ( j ) (ξ ) 为待求函数。将(14)应用于热边界条件(2)，得 A( j ) (ξ ) 与 B ( j ) (ξ ) 的关系
(ξ ) = δ { j} coth ( λξ hi ) A( j ) (ξ ) ,
442 应用物理
DOI: 10.12677/app.2018.810056
2. 研究对象
考虑如图 1 所示嵌入在正交各向异性带型中的 Griffith 裂纹问题，该裂纹与带型面平行。建立笛卡尔坐标系 xoy ，裂纹位于线段 x ∈ [ −a, a ] ，此时 y = 0 。假设正交各向异性带型的厚度为 hI + hII = 2h ，上下表面的温度分别为 θ 0 和 −θ 0 。研究裂纹的偏移位置、裂纹尺寸对温度场产生的影响，以及裂纹表面温度差的分布情况。正交各向异性带型的温度场满足以下方程[10]：
f (ξ ) =
2 +∞ f ( x ) cos (ξ x ) dx, π ∫0
+∞
f ( x ) = ∫0 f (ξ ) cos (ξ x ) dξ .
以及傅里叶变换的性质之一
f(
n)
( x ) = ( −iξ )
n
f (ξ ) .
同时，介绍如下求解常微分方程的特征值法。求解常微分方程
d2 f df 0, + p + qf = dy dy 2
q x = −λ x
其平衡方程为
∂θ ∂θ , ， q y = −λ y ∂y ∂x
∂qx ∂q y + = 0 ∂x ∂y
从而得到以下的控制偏微分方程
DOI: 10.12677/app.2018.810056 440 应用物理
廖珊莉等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Figure 1. A crack in an orthotropic strip 图 1. 正交异性带型中的裂纹
i =1
2
(9) (10)
f = ( c1 + c2 y ) cosh ( m1 y ) + sinh ( m1 y ) .
微分方程(6)的通解(9)或(10)将运用在温度场的求解过程中。
3.1. 温度场的求解
假设 I 和 II 分别表示在坐标系中 y > 0 和 y < 0 的区域。由于该裂纹关于 y 轴对称，所以本文只取 y 轴右侧的带型进行研究。为了满足温度场的物理边值条件，温度场的解由两部分组成[13]，一部分为与 x 和
Keywords
Orthotropic Strip, Crack, Fourier Transform, Singular Integral Equation, Lobatto-Chebyshev Formula
正交各向异性带型中裂纹诱导的温度场分析
廖珊莉，吴远波，张利花
广西大学数学与信息科学学院，广西南宁
Applied Physics 应用物理, 2018, 8(10), 439-447 Published Online October 2018 in Hans. /journal/app https:///10.12677/app.2018.810056
∂ 2θ 2 ( y ) ∂y
= 0,
(11) (12) (13)
θ 2 ( hI ) = θ 0 ,
θ 2 ( −hII ) = −θ
用特征方程法求解常微分方程(11)，获得 θ 2 ( y ) 的通解
θ 2 (= y ) A0 y + B0 ,
又根据(12)、(13)，求得
= A0
所以，温度场的解为
廖珊莉等
将上式代入(14)中，温度场的解可表示为
{ j} 2 ∞ sinh λξ h j + δ y ( j ) A (ξ ) cos (ξ x ) dξ + A0 y + B0 , θ ( x, y ) = π ∫0 sinh ( λξ h j ) ( j)