试卷模板高一下期中试卷

重庆市渝西中学2023-2024学年高一下学期期中考试生物试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．呼气实验是检测幽门螺杆菌常用的方法，用14C标记的尿素胶囊，吞服之后被幽门螺杆菌产生的脲酶催化，产生NH3和CO2，然后通过呼气实验检测呼出的气体中是否存在14C，从而达到对幽门螺杆菌检测的目的。

该实验与没有催化剂相比，尿素分解的速率提高10倍。

下列相关叙述错误的是( )A.与没有催化剂相比，脲酶可以将尿素分解的速率提高10倍，说明脲酶具有高效性B.幽门螺杆菌核糖体合成脲酶所需ATP可能来自细胞质基质C.脲酶的活性可用单位质量的酶在单位时间内催化分解尿素的量来表示D.温度、pH以及口服尿素浓度都会影响脲酶催化反应的速率2．为探究酵母菌的细胞呼吸方式，可利用酵母菌、葡萄糖溶液等材料进行实验。

下列关于该实验的叙述，正确的是( )A.酵母菌用量和葡萄糖溶液浓度是本实验的自变量B.酵母菌可利用的氧气量是本实验的无关变量C.可选用酒精和CO2生成量作为因变量的检测指标D.不同方式的细胞呼吸消耗等量葡萄糖所释放的能量相等3．某研究小组对菠菜绿叶中的色素进行提取，并用纸层析法进行分离，分离结果如图所示。

下列叙述正确的是( )A.甲、乙色素带主要吸收蓝紫光和红光，几乎不吸收绿光B.乙色素带最宽，丙次之，紧接着是甲，最窄的是丁C.色素提取时加入碳酸钙可防止色素被破坏，过滤时用滤纸效果更好D.色素提取和分离的原理是色素易溶于有机溶剂无水乙醇中4．如图所示装置可用来探究光照强度对光合作用强度的影响。

根据该图的材料及设置，下列说法错误的是( )A.叶圆片上浮说明叶肉细胞的光合作用强度等于呼吸作用强度B.可通过调整台灯与叶圆片之间的距离来改变光照强度C.可根据相同时间内叶圆片上浮数量来判断光合作用强度D.此装置也可以用于探究CO2浓度对光合作用强度的影响5．在两种光照强度下，不同温度对某植物CO2吸收速率的影响如图。

2022-2023学年山东省济宁一中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sin α=√32，则cos2α＝（ ） A ．12B ．√32C ．−√32D ．−122．若cos α•tan α＜0，则角α在（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限3．已知向量a →，b →不共线，若AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线4．已知点A （﹣1，2），B （2，y ），向量a →=(2，1)，若AB →⊥a →，则实数y 的值为（ ） A ．12B ．72C ．7D ．﹣45．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC =√10，则AC →⋅CB →=（ ） A ．−34B ．−172C ．172D ．346．如图，在△ABC 中，BM →=12BC →，NC →=λAC →，直线AM 交BN 于点Q ，若BQ →=57BN →，则λ＝（ ）A ．35B ．25C ．23D ．137．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =√13，c ＝3，且2ab sin C =√3(b 2+c 2−a 2)，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√3B ．3√32C ．√3D ．6√38．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）是在区间(π18，5π36)上的单调减函数，其图象关于直线x =−π36对称，且f （x ）的一个零点是x =772π，则ω的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，金部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于直线x =π12对称 B ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称C ．将函数f （x ）图象上所有的点向右平移π6个单位，得到函数g （x ），则g （x ）为奇函数D ．函数f （x ）在区间[−π4，π12]上单调递增10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（ ） A ．若a 2+c 2﹣b 2＞0，则△ABC 为锐角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形D ．若b =3，a =4，B =π6，则此三角形有2解 11．下列说法正确的是（ ）A ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ使得a →=λb →B ．两个非零向量a →，b →，若|a →−b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →共线且反向C ．已知a →=(1，2)，b →=(1，1)，且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞)D ．点O 在△ABC 所在的平面内，若AO →=14AC →+12AB →，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ：S △ABC ＝1：212．已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A ．若P 为△ABC 的垂心，AB →•AC →=2，则AP •AB →=2B ．若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA →•（PB →+PC →）的最小值为﹣1C ．若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP →=x AB →+y AC →且x +2y ＝1，则AB ＝BCD ．若AP →=（1|AB →|cosB+12）AB →+（1|AC →|cosC+12）AC →，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（1，2），b →=（2，﹣2），c →=（1，λ）．若c →∥（2a →+b →），则λ＝ ． 14．已知cos(π6−θ)=13，则cos(5π6+θ)+2sin(5π3−θ)的值为 ． 15．已知向量a →=(1，2)，b →=(−1，3)，则a →在b →方向上的投影向量是 ．16．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 ．四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，且|3a →−2b →|=√7． （1）求a →与b →的夹角； （2）求|2a →+3b →|的大小．18．（12分）如图，甲船A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行． （1）求甲船用多少小时能尽快追上乙船；（2）设甲船航行的方向为南偏东θ，求θ的正弦值．19．（12分）如图所示，在边长为2的等边△ABC 中，点M ，N 分别在边AC ，AB 上，且M 为边AC 的中点，设AB →=a →，AC →=b →．（1）若AN →=12NB →，用a →，b →表示MN →；（2）求CN →⋅MN →的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=2sin 2(ωx +π4)−√3cos(2ωx)−1(ω＞0)，f （x ）的最小正周期为π． （1）求f （x ）的对称中心； （2）方程f （x ）﹣2n +1＝0在[0，7π12]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围． 21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3bsin(B +C)+acosB =c ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，且b ＝6，求△ABC 面积的取值范围． 22．（12分）已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)+2sin 2(ωx+φ2)−1(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，且f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2．（1）求h （x ）＝f （x ）+sin x +cos x 的最大值．（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，记方程g(x)=43在x ∈[π6，4π3]上的根从小到依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ﹣1，x n 试确定n 的值，并求x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n 的值．2022-2023学年山东省济宁一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若sin α=√32，则cos2α＝（ ）A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12解：∵sin α=√32，∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（√32）2=−12．故选：D ．2．若cos α•tan α＜0，则角α在（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限解：∵cos α•tan α＜0，∴α在第三或第四象限， 故选：C ．3．已知向量a →，b →不共线，若AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解：向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →， ∴BD →=BC →+CD →=（﹣3a →+7b →）+（4a →−5b →）=a →+2b →=AB →， ∴BD →∥AB →，∴A ，B ，D 三点共线． 故选：B ．4．已知点A （﹣1，2），B （2，y ），向量a →=(2，1)，若AB →⊥a →，则实数y 的值为（ ） A ．12B ．72C ．7D ．﹣4解：因为A （﹣1，2），B （2，y ），所以AB →=(3，y −2)，向量a →=(2，1)， 若AB →⊥a →，则AB →⋅a →=3×2+y −2=0，解得：y ＝﹣4． 故选：D ．5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC =√10，则AC →⋅CB →=（ ） A ．−34B ．−172C ．172D ．34解：在△ABC 中，由余弦定理可得：AB 2＝BC 2+AC 2﹣2BC •AC •cos C ， 即32=(√10)2+42−2×√10×4cosC ，解得cosC =810， 所以AC →⋅CB →=|AC →|⋅|CB →|cos(π−C)=−|AC →|⋅|CB →|cosC =−4×√10178√10=−172．故选：B ．6．如图，在△ABC 中，BM →=12BC →，NC →=λAC →，直线AM 交BN 于点Q ，若BQ →=57BN →，则λ＝（ ）A ．35B ．25C ．23D ．13解：根据图示可知，A ，M ，Q 三点共线，由共线定理可知， 存在实数μ使得BQ →=μBM →+(1−μ)BA →，又BM →=12BC →，BQ →=57BN →，所以57BN →=12μBC →+(1−μ)BA →，又A ，N ，C 三点共线，所以57=12μ+1−μ，解得μ=47，即可得BN →=25BC →+35BA →，所以(BA →+AN →)=25(BA →+AC →)+35BA →，所以AN →=25AC →，即AC →−NC →=25AC →，可得NC →=35AC →，又NC →=λAC →，即可得λ=35． 故选：A ．7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =√13，c ＝3，且2ab sin C =√3(b 2+c 2−a 2)，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√3B ．3√32C ．√3D ．6√3 解：由2ab sin C =√3（b 2+c 2﹣a 2），得2ab sin C =√3•b 2+c 2−a 22bc•2bc ＝2√3bc cos A ，a sin C =√3c cos A ，即sin A sin C =√3sin C cos A ，则tan A =√3，则A =π3， 由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即13＝b 2+9﹣6b ×12， 整理得b 2﹣3b ﹣4＝0，得b ＝4或b ＝﹣1（舍）， 则三角形的面积S =12bc sin A =12×4×3×√32=3√3， 故选：A ．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）是在区间(π18，5π36)上的单调减函数，其图象关于直线x =−π36对称，且f （x ）的一个零点是x =772π，则ω的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．8解：因为函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的图象关于直线x =−π36对称， 所以−ω⋅π36+φ=π2+nπ，n ∈Z ，所以φ=(12+ω36+n)π，n ∈Z ． 根据π18＜x ＜5π36，则ωπ18＜ωx ＜5ωπ36，所以ωπ18+φ＜ωx +φ＜5ωπ36+φ，因为f （x ）＝sin （ωx +φ）是在区间(π18，5π36)上的单调减函数．所以{ωπ18+φ≥π2+2kπ，k ∈Z 5ωπ36+φ≤3π2+2kπ，k ∈Z ， 所以{ωπ18+(12+ω36+n)π≥π2+2kπ，n ∈Z ，k ∈Z 5ωπ36+(12+ω36+n)π≤3π2+2kπ，n ∈Z ，k ∈Z ，即{ω18+(12+ω36+n)≥12+2k ，n ∈Z ，k ∈Z 5ω36+(12+ω36+n)≤32+2k ，n ∈Z ，k ∈Z ， 解得12（2k ﹣n ）≤ω≤6（2k ﹣n +1），n ∈Z ，k ∈Z ， 因为ω＞0，所以2k ﹣n ＝0或2k ﹣n ＝1，当2k ﹣n ＝0时，0＜ω≤6，当2k ﹣n ＝1时，12≤ω≤12； 由于π18＜7π72＜5π36，且f （x ）的一个零点是x =772π，所以ω×7π72+φ=(2m +1)π，m ∈Z ， 所以ω×7π72+(12+ω36+n)π=(2m +1)π，m ∈Z ，n ∈Z ， 即ω＝8（2m ﹣n ）+4，m ∈Z ，n ∈Z ．根据0＜ω≤6或12≤ω≤12，可得ω＝4，或ω＝12，所以ω的最小值为4． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，金部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于直线x =π12对称 B ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称C ．将函数f （x ）图象上所有的点向右平移π6个单位，得到函数g （x ），则g （x ）为奇函数D ．函数f （x ）在区间[−π4，π12]上单调递增 解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知， A ＝2，14T =7π12−π3=π4，解得T ＝π，所以ω=2πT =2，所以f （x ）＝2sin （2x +φ），过点（7π12，﹣2），所以7π6+φ=3π2+2k π，k ∈Z ，又0＜|φ|＜π，所以φ=π3， 所以f （x ）＝2sin （2x +π3），对于A ，当x =π12时，f （π12）＝2sin （2×π12+π3）＝2，f （x ）的图象关于直线x =π12对称，A 正确；对于B ，当x =−π12时，f （−π12）＝2sin[2×（−π12）+π3]＝1，f （x ）的图象不关于点（−π12，0）对称，B 错误；对于C ，由题意知g （x ）＝f （x −π6）＝2sin2x ，所以g （x ）是奇函数，C 正确； 对于D ，x ∈[−π4，π12]时，2x +π3∈[−π6，π2]，f （x ）＝2x +π3在[−π4，π12]内单调递增，D 正确．故选：ACD ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（ ） A ．若a 2+c 2﹣b 2＞0，则△ABC 为锐角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形D ．若b =3，a =4，B =π6，则此三角形有2解 解：对于A ：∵a 2+c 2﹣b 2＞0，∴由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac ＞0，即B ∈(0，π2)， 但无法判定A 、C 的范围，故A 错误；对于B ，∵A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理得2R sin A ＞2R sin B （R 为△ABC 外接圆的半径）， ∴sin A ＞sin B ，故B 正确；对于C ：若sin2A ＝sin2B ，由正弦函数的性质得2A ＝2B +2k π或2A +2B ＝π+2k π，k ∈Z ， 又A 、B ∈（0，π），故A ＝B 或A +B =π2，故C 错误； 对于D ：∵a 2+c 2﹣b 2＞0， ∴由正弦定理得a sinA=b sinB，即sinA =a b sinB =23，又12＜23＜√32，则12＜sinA ＜√32， 又0＜A ＜π， 又A ∈(π6，5π6)，则符合题意得有2个A 的值，即三角形有2个解，故D 正确． 故选：AC ．11．下列说法正确的是（ ）A ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ使得a →=λb →B ．两个非零向量a →，b →，若|a →−b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →共线且反向C ．已知a →=(1，2)，b →=(1，1)，且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) D ．点O 在△ABC 所在的平面内，若AO →=14AC →+12AB →，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ：S △ABC ＝1：2解：对于A ：当b →=0→，a →≠0→时，a →∥b →，但是不存在实数λ使得a →=λb →，故A 错误； 对于B ：由|a →−b →|=|a →|+|b →|可得|a →−b →|2=(|a →|+|b →|)2， 整理可得−2a →⋅b →=2|a →||b →|，所以cos ＜a →，b →＞=−1， 即＜a →，b →＞=π，则a →与b →共线且反向，故B 正确；对于C ：因为a →=(1，2)，b →=(1，1)，则a →+λb →=（1+λ，2+λ）， 又a →与a →+λb →的夹角为锐角，所以a →⋅(a →+λb →)=1+λ+2(2+λ)＞0，即3λ+5＞0，解得λ＞−53，又当1×（2+λ）＝2×（1+λ），即λ＝0时，a →与a →+λb →同向， 故λ＞−53且λ≠0，即C 错误；对于D ：因为AO →=14AC →+12AB →，取AC 的中点D ，则AO →=12(AB →+AD →)，所以O 为BD 的中点，连接OC ， 因为D 是AC 的中点，所以S △ABD =S △BDC =12S △ABC ，O 是BD 的中点，所以S △ADO =S △ABO =12S △ABD ，S △CDO =S △CBO =12S △CBD ， 所以S △AOC =S △ADO +S △CDO =12S △ABD +12S △CBD =12S △ABC ，故D 正确． 故选：BD ．12．已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）A ．若P 为△ABC 的垂心，AB →•AC →=2，则AP •AB →=2B ．若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA →•（PB →+PC →）的最小值为﹣1C ．若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP →=x AB →+y AC →且x +2y ＝1，则AB ＝BCD ．若AP →=（1|AB →|cosB+12）AB →+（1|AC →|cosC+12）AC →，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心解：对A 选项，∵P 为△ABC 的垂心，∴CP ⊥AB ，又AB →•AC →=2，∴由向量数量积的几何意义可得：AP •AB →=AB →•AC →=2，∴A 选项正确； 对B 选项，设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ， 又△ABC 为边长为2的正三角形，∴易得|AE |=√32， ∵PA →•（PB →+PC →）＝2PA →⋅PE →，∴根据向量数量积的极化恒等式可得：PA →•（PB →+PC →）＝2PA →⋅PE →= 2（|PE |2﹣|AE |2）＝2（|PE |2−34）， ∴当|PE |＝0时，PA →•（PB →+PC →）取得最小值−32，∴B 选项错误； 对C 选项，设AC 的中点为F ，则AC →=2AF →， ∵AP →=x AB →+y AC →=xAB →+2yAF →，又x +2y ＝1，∴P ，B ，F 三点共线，又△ABC 为锐角三角形且外心为P ， ∴BF 垂直平分AC ，∴AB ＝BC ，∴C 选项正确； 对D 选项，设BC 的中点为M ，则AM →=12(AB →+AC →)， ∵AP →=（1|AB →|cosB+12）AB →+（1|AC →|cosC+12）AC →，∴AP →−12(AB →+AC →)=AB →|AB|cosB +AC→|AC|cosC ，∴AP →−AM →=AB →|AB|cosB +AC→|AC|cosC，∴MP →=AB →|AB|cosB +AC→|AC|cosC，∴MP →⋅BC →=AB →⋅BC →|AB|cosB+AC →⋅BC→|AC →|cosC=−|BC →|+|BC →|=0，∴MP ⊥BC ，又BC 的中点为M ，即P 在BC 的垂直平分线上， ∴动点P 的轨迹经过△ABC 的外心，∴D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（1，2），b →=（2，﹣2），c →=（1，λ）．若c →∥（2a →+b →），则λ＝ 12．解：∵向量a →=（1，2），b →=（2，﹣2），∴2a →+b →=（4，2）， ∵c →=（1，λ），c →∥（2a →+b →），∴14=λ2，解得λ=12．故答案为：12．14．已知cos(π6−θ)=13，则cos(5π6+θ)+2sin(5π3−θ)的值为 ﹣1 ． 解：原式＝cos[π﹣（π6−θ）]+2sin[3π2+（π6−θ）]=−cos(π6−θ)−2cos(π6−θ)=−3cos(π6−θ)=−1．故答案为：﹣1．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(−1，3)，则a →在b →方向上的投影向量是 (−12，32) ．解：向量a →=(1，2)，b →=(−1，3)，则a →在b →方向上的投影向量是|a →|cos〈a →，b →〉|b →|b →=(−12，32)．故答案为：(−12，32)．16．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 5 ．解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则A （2，0），B （1，a ），C （0，a ），D （0，0）设P （0，b ）（0≤b ≤a ）则PA →=（2，﹣b ），PB →=（1，a ﹣b ）， ∴PA →+3PB →=（5，3a ﹣4b ）∴|PA →+3PB →|=√25+(3a −4b)2≥5． 故答案为5．四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，且|3a →−2b →|=√7．（1）求a →与b →的夹角； （2）求|2a →+3b →|的大小．解：（1）∵|a →|=|b →|=1，|3a →−2b →|=√7；∴(3a →−2b →)2=9a →2+4b →2−12|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=9+4−12cos ＜a →，b →＞=7；∴cos ＜a →，b →＞=12；又0≤＜a →，b →＞≤π；∴a →与b →的夹角为π3；（2）∵a →⋅b →=12，a →2=b →2=1；∴(2a →+3b →)2=4a →2+12a →⋅b →+9b →2=4+6+9=19； ∴|2a →+3b →|=√19．18．（12分）如图，甲船A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行． （1）求甲船用多少小时能尽快追上乙船；（2）设甲船航行的方向为南偏东θ，求θ的正弦值．解：（1）设用th ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇． 设∠ABC ＝α，∠BAC ＝β，在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∴α＝180°﹣45°﹣15°＝120°，由余弦定理可得(28t)2=81+(20t)2−2×9×20t ×(−12)， ∴128t 2﹣60t ﹣27＝0，即（4t ﹣3）（32t +9）＝0，∴t =34； （2）由（1）得：AC =28×34=21海里，BC =20×34=15海里 根据正弦定理，得sinβ=BCsinαAC =5√314，∴cosβ=1114， ∴sinθ=sin(45°−β)=√22×1114−5√314×√22=11√2−5√628．19．（12分）如图所示，在边长为2的等边△ABC 中，点M ，N 分别在边AC ，AB 上，且M 为边AC 的中点，设AB →=a →，AC →=b →．（1）若AN →=12NB →，用a →，b →表示MN →；（2）求CN →⋅MN →的取值范围．解：（1）因为M 为边AC 的中点，所以AM →=12AC →，又AN →=12NB →，所以AN →=13AB →， 所以MN →=AN →−AM →=13AB →−12AC →=13a →−12b →．（2）设AN →=λAB →，λ∈[0，1]，所以CN →⋅MN →=（AN →−AC →）•（AN →−AM →）＝（λAB →−AC →）•（λAB →−12AC →）＝λ2AB →2−32λλAB →•AC →+12AC →2=4λ2−32λ×2×2×12+12×4＝4λ2﹣3λ+2＝4[（λ−38）2]+2316， 当λ=38时，CN →⋅MN →取得最大值2316，当λ＝1时，CN →⋅MN →取得最小值3， 故CN →⋅MN →的取值范围为[2316，3]．20．（12分）已知函数f(x)=2sin 2(ωx +π4)−√3cos(2ωx)−1(ω＞0)，f （x ）的最小正周期为π． （1）求f （x ）的对称中心； （2）方程f （x ）﹣2n +1＝0在[0，7π12]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围． 解：（1）由f(x)=−cos(2ωx +π2)−√3cos(2ωx)=sin(2ωx)−√3cos(2ωx)=2sin(2ωx −π3)， 因为f （x ）的最小正周期为π，即T =2π2ω=π， 故ω＝1，所以f(x)=2sin(2x −π3)，令2x −π3=kπ，k ∈Z ，则x =kπ2+π6，k ∈Z ，故函数对称中心为(kπ2+π6，0)，k ∈Z ； （2）令t =2x −π3，当x ∈[0，7π12]时t ∈[−π3，5π6]， 所以y ＝2sin t 在[−π3，5π6]的图象如下，由图知：f （x ）＝2n ﹣1在[0，7π12]上有且只有一个解，则−√3≤2n −1＜1或2n ﹣1＝2， 所以1−√32≤n ＜1或n =32，故n ∈[1−√32，1)∪{32}． 21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3bsin(B +C)+acosB =c ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，且b ＝6，求△ABC 面积的取值范围．解：（1）因为√3bsin(B +C)+acosB =c ，所以√3bsinA +a ⋅a 2+c 2−b22ac=c ， 则2√3bcsinA +a 2+c 2−b 2=2c 2，即a 2=b 2+c 2−2√3bcsinA ． 又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以√3sinA =cosA ，即tanA =√33， 又A ∈（0，π），所以A =π6． （2）因为c sinC=b sinB，所以c =6sinC sinB ，S △ABC =12bcsinA =9sinC sinB =9sin(B+π6)sinB =9√32+92tanB， 因为△ABC 为锐角三角形，所以{0＜B ＜π2，0＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2，则tanB ＞√3，故9√32＜9√32+92tanB＜6√3，即△ABC 面积的取值范围为(9√32，6√3)． 22．（12分）已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)+2sin 2(ωx+φ2)−1(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，且f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2．（1）求h （x ）＝f （x ）+sin x +cos x 的最大值．（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，记方程g(x)=43在x ∈[π6，4π3]上的根从小到依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ﹣1，x n 试确定n 的值，并求x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n 的值．解：（1）由题意，函数f(x)=√3sin(ωx +φ)+2sin 2(ωx+φ2)−1 =√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=2sin(ωx +φ−π6)因为f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝π，可得ω＝2，又由函数f （x ）为奇函数，可得f(0)=2sin(φ−π6)=0，所以φ−π6=kπ，k ∈Z ， 因为0＜φ＜π，所以φ=π6，所以函数f （x ）＝2sin2x ， 所以h （x ）＝f （x ）+sin x +cos x ＝2sin2x +sin x +cos x ， 令t =sinx +cosx =√2sin(x +π4)，t ∈[−√2，√2]， 则t 2＝1+sin2x ，y ＝2t 2+t ﹣2，t ∈[−√2，√2]， 因为对称轴t =−14，所以当t =√2时，y max =2+√2， 即h （x ）的最大值为2+√2．（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，可得y =2sin(2x −π3)，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y =g(x)=2sin(4x −π3)的图象，由方程g(x)=43，即2sin(4x −π3)=43，即sin(4x −π3)=23， 因为x ∈[π6，4π3]，所以4x −π3∈[π3，5π]， 设θ=4x −π3，其中θ∈[π3，5π]，即sinθ=23， 结合正弦函数y ＝sin θ的图象，如图，可得方程sinθ=23在θ∈[π3，5π]有5个解，即n＝5，其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即4x1−π3+4x2−π3=3π，4x2−π3+4x3−π3=5π，4x3−π3+4x4−π3=7π，4x4−π3+4x5−π3=9π，解得x1+x2=11π12，x2+x3=17π12，x3+x4=23π12，x4+x5=29π12，所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=20π3．。

2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。

深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA= 3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A45 B. 45-C.35D. 35-4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1B. π,2C. 2π,1D. 2π,25. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线6. 已知,αβ都锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）.为A. 65-B.25C. 25-D.65或25-8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4B. 5C. 7D. 1011. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．14. 设,D E 分别是ABC 边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）15.=________ .16. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.18 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.的.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.22. 悬索桥外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.的深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-【答案】B 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.【详解】()i 25i 25i 52i i 1z ---===--，则z 的虚部为2-．故选：B .2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA=【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据零向量的定义可判断；对于B ，根据向量平行的传递性可判断；对于C ，举反例00= ，即可判断；D ，根据AB BA =-即可判断.【详解】对于A ，零向量的方向是任意方向的，A 错误；对于B ，当0AB = 时，CD 与EF可以不平行，B 错误；对于C ，00=，C 错误；对于D ，AB BA BA =-=，D 正确.3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A.45 B. 45-C.35D. 35-【答案】C 【解析】【分析】根据倍角余弦公式可得29cos25α=，再根据π02α<<，开方即可求解.【详解】因为27cos 22cos 125αα=-=-，所以29cos 25α=，又π02α<<，则3cos 5α=.故选：C4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1 B. π,2C. 2π,1D. 2π,2【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】()1π2cos2sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππT ω==，振幅为1.故选：A.5. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线【解析】【分析】根据共线定理即可判断各项.【详解】对于A ，令tMN NP = ，即()()524b t a b a -+-=，所以258t t =-⎧⎨=⎩，所以不存在t ，使得tMN NP = ，A 错误；对于B ，由于2(4)NP a b =--，3()PQ a b =-，所以5NQ NP PQ a b =+=+ ，所以MN NQ = ，又,MN NQ相交于点N ，故 M 、N 、Q 三点共线.B 正确；对于C ，13MP MN NP a b =+=-+，令mMP PQ = ，即()()133b m b a a -+=-，所以3133m m -=⎧⎨=-⎩，所以不存m ，使得mMP PQ = ，C 错误；对于D ， 令nNP PQ = ，即()()243b n a b a --=- ，所以2383n n -=⎧⎨=-⎩，所以不存在n ，使得nNP PQ = ，D 错误.故选：B6. 已知,αβ都为锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦的差角公式，结合()βαβα=+-,同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为,αβ都为锐角，即π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈因为12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，在所以5sin 13α=，()3sin 5αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦124536313513565=⨯+⨯=.故选：A7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A. 65-B.25C. 25-D.65或25-【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为tan 2θ=-，所以cos 0θ≠，所以()222sin 1sin 2sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++222sin sin cos sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22tan tan 2tan 15θθθ+==+，故选：B8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-【答案】B 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求出点P 的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP AB ⋅的取值范围.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，设点(),P x y ，易知，以AD 为半径的左半圆的方程为()()221110x y x +-=-≤≤，以BC 为半径的右半圆的方程为()()()2221123x y x -+-=≤≤，所以点P 的横坐标x 的取值范围是[]1,3-，又因为(),AP x y =，()2,0AB = ，所以，[]22,6AB AP x ⋅=∈- .故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =【答案】AD 【解析】【分析】因为22a b a b +=-，两边平方可得0a b ⋅= ，即可求得1m =-，从而可判断选项ABC ，进而求得()1,1b =-，从而可判断选项D.【详解】因为22a b a b +=- ，两边平方可得()()2222a ba b +=- ，所以22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= .对于A ，220a b m ⋅=+=，解得1m =-，A 正确；对于B ，因0a b ⋅= ，所以π,2a b =，B 错误；对于C ，因为0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，C 错误；对于D ，由选项A 可知()1,1b =-，所以b == ，D 正确故选：AD10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 10【答案】BC 【解析】【分析】由题意画出图形，可知sin c B a c <<，求出a 的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使ABC 有两个解，则sin c B a c <<，即π8sin86a <<，解得：48a <<，故选：BC11. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 【答案】AB 【解析】【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.为.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，所以1a == ，1b == ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ-=--，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ+=+++ ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=++=+-，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ-=-+- ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=-+=--，若π2θϕ=+，此时222a b a b +=-= ，故a b a b +=- ，A 可能正确；若π3θϕ=+，此时21a b -= ，1a b -= ，B 选项可能正确；()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b θϕθϕθϕθϕ+⋅-=++⋅--()()22222222cos cos sin sin cos sin cos sin 110θϕθϕθθϕϕ=-+-=++-+=-=，故C 一定不正确；[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b×=×=Î-，故D 一定不正确.故选：AB12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++= ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG ，()13AB AC +，即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ；求出AG ，再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得到GA GB ⋅的最值情况.【详解】设AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,2A ，()0,3E ，设(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，,,,R m n x y ∈，且,0m n ≠，所以(),1AC m =，(),2AB n =- ，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2,0B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++=，所以2230355303m mx m x my y ⎧+⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩=⎪⎩，因为()211,333m m AB AC ⎛⎫+ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，A 错误；因为0GA GB GC ++= ，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =- ，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GABABC S S AC AB ==⋅==23=≥=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，故B 正确；因为()211,333m m AG AB AC ⎛⎫+ ⎪=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224mm =，即m =时取等，故1AG ≥，C 正确；因为32,15,3334,m m m m GA GB ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎛⎫+- ⎪=- ⎪⎭⎪⎝⎭⎝ ，所以245339m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⋅=--⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222288275999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()87,0f x x x x=-->，()2810f x x'=+>，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．【解析】【分析】利用21cos30cos 152+=即可得到答案.【详解】211cos302cos 1522++===.【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.14. 设,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）【答案】1263a b -+ 【解析】【分析】利用三角形法则，结合12,23AD AB BE BC ==即可.【详解】如图:因为12,23AD AB BE BC ==，所以()12122323DE DB BE AB BC AB AC AB =+=+=+-12212122336363AB AB AC AB AC a b -+=-+=-+，故答案为：1263a b -+15.=________ .【答案】1【解析】【分析】=，再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.=1===故答案为：116. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD = ，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果.【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-2231162AD AB AB AD=--⋅ 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.【答案】（1）z =，1i z =+（2）1,0a b ==【解析】【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；（2）将复数z 代入(),az b z a b R +=∈，利用复数相等求解；【小问1详解】解：因为复数1i z =-（i 是虚数单位），所以z ==，1i z =+；【小问2详解】因为复数1i z =-（i 是虚数单位），且(),az b z a b R +=∈，所以()1i 1i a b -+=-，即i 1i a b a +-=-，则11a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩.18. 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．【答案】（1（2）π4【解析】【分析】（1）先算出a r，再按照数量积的公式计算即可（1）根据()-⊥a b b r r r 得到()0a b b -=r r r g ，计算出a b ⋅ ，再根据cos θa b a b=即可【小问1详解】()1,1a =-，所以a =，所以π1cos 132a b a b ⋅==⨯=【小问2详解】因为()a b b -⊥ ，所以()0a b b -⋅=，所以20a b b -= ，所以1a b = ，令θa b ⋅=所以cos θa b a b⋅== 因为[]θ0,π∈，所以πθ4=故a 与b的夹角为π4．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.【答案】（1）π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）⎡-⎣【解析】【分析】（1）求得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期公式可求得最小正周期，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈可求得单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意知：()()2π22sin 2sin cos 1sin 2cos 224f x a a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，所以πT =，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，则π3πππ,Z88k x k k -≤≤+∈所以()f x 的最小正周期为π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由题意知：()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()g x ⎡∈-⎣.即()g x的值域为⎡-⎣.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观的测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．【答案】（1）)236km +;（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】ABD △ 中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：si n si n AD ABABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以)sin 4512km sin 60AD AB ︒=⋅==︒,()1sin sin 75sin 45302BAD ⎫∠=︒=︒+︒=+=⎪⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为)211sin 1236km 22ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=+．在【小问2详解】由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos30AC ∴== ．在ACD中由余弦定理，得2222cos 3631662602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=,所以)km CD =．即点C ，D之间的距离为．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.【答案】（1）1 （2）11p p+，最大值为12【解析】【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得()tan p αβ+=，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为()()22tan 11tan 11p p p pαβαβ+==++++，利用基本不等式即可求得最大值.【小问1详解】当1p =时，2430x x --=由题意知：tan tan 4αβ+=，tan tan 3αβ=-所以()tan tan 4tan 11tan tan 13αβαβαβ++===-+【小问2详解】由题知：tan tan 4p αβ+=，tan tan 3αβ=-，则()tan tan 4tan 1tan tan 13ppαβαβαβ++===-+因为()()()()222222cos 2cos 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin αβαβααββαβαβ+-=--+-2222222222cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβ=--++-22cos sin αβ+2222cos cos sin sin 2sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-()()2222cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ=-+-()()cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos αβαβαβαβαββα=-+-()()()()()22222cos 1cos sin cos tan 1αβαβαβαβαβ+=+==+++++，所以()()()()222tan 1tan cos 2cos 2sin 1tan 11p p p pαβαβαβαβαβ+⎡⎤++-===⎣⎦++++而12p p +≥=，当且仅当1p =时，等号成立，所以当1p =时，取得最大值为12.22. 悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.【答案】（1）()e e 2x x f x -+=，()e e 2x xg x --= （2）（i ）30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）[]4,4-【解析】【分析】（1）根据()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，由()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求解；（2）由（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，证明其单调性即可；（ii ）令cos t x =，将x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，转化为()22e e e e 20t t t t a --+--+≥恒成立求解.【小问1详解】解：由()()()()e exx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：()e e 2x xf x -+=，()2x x e eg x --=；【小问2详解】（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e exxh x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212e eee xx x x h x h x ---=-+-，()12121e e 1ex x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[)12,0,x x ∈+∞，所以12e 1x x +>，则12110e x x +->，因为12x x <，所以12e e x x <，所以()()120h x h x -<，所以函数()h x 在[)0,∞+为增函数，又()()ee e e xx x x h x h x ---=+=+=，所以()h x 是偶函数，则cos sin x x ≥，又因为[]0,πx ∈，所以不等式解集为30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）令cos t x =，则1,t ⎤⎡∈⋃-⎥⎢⎣⎦⎣⎦，由()()2cos cos 10f x ag x -+≥，得()22e ee e 20ttt t a --+--+≥，当t ⎤∈⎥⎦时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立，因为()2ee44e e 4e e e ett t t t tt t-----+=-+≥≥--，当且仅当e e 2t t --=时，等号成立，所以4a ≤，当1,t ⎡∈-⎢⎣时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立；，()2ee 44e e e e e ett t t t tt ta -----+=-+≥--，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t tt t-----+⎛⎫=--+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当e e 2t t --=-时，等号成立，所以4a ≥-，综上：a 的取值范围是[]4,4-.。

安徽省宿州市省市示范高中2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面内作用于点O 的三个力123,,f f f ，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，A O B '''V 是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且△AOB 的面积为12，则O B ''的长度为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产､中国最大古树群落､国家AAAA 级旅游景区､国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一庭院顶部可以看成一个正四棱锥，其底面四边形倍，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A ．2B C D 4．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“iπe 10+=”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+的一种特殊情况.根据欧拉公式，则π5πi i 66e e+=（）A ．2B ．1CD 5．已知{},x y 可以作为平面向量的一组基底，集合{},R A aa y λλ==∈∣，{}2,R B b b x y λμλμ==+∈∣､，则关于集合,A B 说法正确的是（）A ．B A ⊆B ．A B⊆C ．0A∉D ．A B =6．已知ABC 的重心为O ，若向量13BO m AB AC =+，则m =（）A ．23-B ．23C ．13-D ．137．已知向量()()1,2,,1a b m =-= ，若2a b +与2a b - 垂直，则实数m =（）A ．12-或7B ．72或-2C ．72-或2D ．12-8．将一直径为的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足35=cos α，则这块四边形木板周长的最大值为（）A ．20cm B ．C ．D ．30cm二、多选题9．在下面的四个命题中，正确的命题为（）A ．复数12z i =-（i 为虚数单位)的虚部为2i-B ．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台C ．角,,A B C 为ABC 三个内角，则“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的充要条件D ．在复平面内，若复数i z x y =+（,x y 均为实数），则满足i 3z -≤的点Z 的集合表示的面积为9π10．唐朝诗人罗隐在《咏蜂》中写到：不论平地与大山，无限风光尽被占：采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，且其边长为1.下列说法正确的是（）A ．AC AE BF-= B ．32AC AE AD += C ．2||AD AB AB ⋅= D ．五边形ABCDE 的外接圆面积为π11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点kmC ．当船行驶至B 处时，该船距观测点kmD ．该船在由A 行驶至B 的这5min12．如图所示，一圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，SA 为圆锥的一条母线，AB 为底面圆的一条直径，O 为底面圆的圆心，设rlλ=，则（）A ．过SA 的圆锥的截面中，SAB △的面积最大B ．当12λ=时，圆锥侧面的展开图的圆心角为πC ．当13λ=时，由A 点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A D ．当14λ=时，点C 为底面圆周上一点，且AC =，则三棱锥O SAC -的外接球的表面积为217r π三、填空题13．在ABC 中，若命题p ：sin sin sin a b cA B C==，命题q ：ABC 是等边三角形，则命题p 是命题q 的________条件（指充分必要性）．14．在复平面内，复数()()cos1sin1sin2cos2i,(i z =-+-为虚数单位)的共轭复数对应的点在第__________象限.15．已知平面内非零向量,a b，满足π,,||2,||13a b a a a b <+>==+=r r r r r r ，则a b -=__________.16．甲烷分子式为4CH ，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，用C 表示碳原子的位置，用1234,,,H H H H 表示四个氢原子的位置，设14,CH CH α=，则cos2α=__________.四、解答题17．如图所示，在平面四边形ABCD 中，,2,120,AB AD AB BC B AD ⊥====(1)求tan ACD ∠的值；(2)将四边形ABCD 绕着边AD 所在的直线旋转一周所形成的几何体为Ω，求Ω的体积.18．萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：34.64cm AB =，10cm,14cm,6AD BE A B π====. 1.732=）(1)求三角形瓷器片另外两边的长；(2)求,D E 两点之间的距离.19．平面内给定三个向量()()()2,2,1,4,,3a b n c k ==+=，且()()2//a c b a +- .(1)求实数k 关于n 的表达式；(2)如图，在ABC 中，G 为中线AM 的中点，过点G 的直线与边,AB AC 分别交于点,P Q （,P Q 不与A 重合）.设向量()3,AP k AB AQ m AC =+=，求2m n +的最小值.20．在斜三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 4sin cos sin sin a A b C A b B c C +=+．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，且BC 上的中线ADABC 的面积．21．（1）证明：平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和；（2）在平行四边形ABCD 中，若2220AC BD +=，求ABC 面积的最大值.22．研究表明：正反粒子碰撞会湮灭.某大学科研团队在如下图所示的长方形区域ABCD 内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A ､O 两处同时释放甲､乙两颗粒子.甲粒子在A 处按AM方向做匀速直线运动，乙粒子在O 处按ON 方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P ，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知AB 长度为6分米，O 为AB 中点.(1)已知向量AM 与ON 的夹角为π3，且AD 足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，当A 点距碰撞点P 处多远时？两颗粒子运动路程之和的最大，并求出最大值；(2)设向量AM与向量AO 的夹角为α（0πα<<），向量ON 与向量OB 的夹角为β（0πβ<<），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问AD 的长度至少为多少分米，才能确保对任意的()0,πβ∈，总可以通过调整甲粒子的释放角度α，使两颗粒子能成功发生碰撞？参考答案：1．D【分析】由平行四边形法则判断即可.【详解】因为123f f f +=- ，所以1f 与2f 的合力与3f方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D 项满足.故选：D 2．B【分析】画出△AOB 的原图，根据三角形△AOB 的面积为12可得答案.【详解】画出△AOB 的原图为直角三角形，且6''==OA O A ，因为1122⨯=OB OA ，所以4OB =，所以122''==O B OB .故选：B.3．B【分析】由已知条件和正四棱锥的定义，以及面积公式即可求解.【详解】如图所示，将庭院顶部可以看成一个正四棱锥P ABCD -,PO 是正四棱锥P ABCD -的高，设底面边长为a，侧棱长为a ，则底面面积为21S a =，侧面PAB是正三角形，其面积22S =，22214S S a ∴==.故选：B.4．B【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.【详解】由题设，π5πi i 66ππ5π5π11e e cosi sin cos i sin i i 1666622+=+++-=.故选：B 5．B【分析】向量的共线定理：a b λ=；向量基本定理：平面内一组基底向量可表示出该平面内所有向量，12a e e λμ=+，根据上述向量性质进行判断两集合元素范围即可选出答案.【详解】根据向量的共线充要条件可知，集合A ={与y共线的所有向量}，根据平面向量基本定理可知：集合B ={平面内所有向量}，故集合A 是集合B 的子集.故选：B 6．A【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可.【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得1221()2333BO BA AO BA AB AC AB AC =+=+⨯+=-+，则23m =-.故选：A7．C【分析】确定()221,4a b m +=-，()22,3a b m -=-- ，根据垂直得到()()220a b a b +⋅-= ，代入数据计算得到答案.【详解】()()1,2,,1a b m =-=，则()221,4a b m +=- ，()22,3a b m -=-- ，2a b + 与2a b - 垂直，则()()()()()()222122,310,4212a b m a b m m m +⋅=-⋅---=---+=，解得2m =或72m =-.故选：C 8．D【分析】根据正弦定理得42sin 5AC R D ===，进而由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】如图：不妨设3,cos 5D D αα=∠==cos ,则4sin 5D =,由正弦定理可得42sin 45AC R D ===在三角形ACD 中，由余弦定理可得()2222162cos 805AC AD CD AD CD D AD CD AD CD =+-⋅⇒=+-⋅,由于()24AD CD AD CD +⋅≤,所以()()221616802055AD CD AD CD AD CD AD CD ++-=⋅≤⨯⇒+≤，当且仅当10AD DC ==时，等号成立，在ABC 中，3π,cos 5B D B --==,由余弦定理可得()222242cos 805AC AB CB AB CB B AB CB AB CB =+-⋅⇒=+-⋅,由于()24AB CB AB CB +⋅≤,所以()()22448010554AB CB AB CB AB CB AB CB ++-=⋅≤⨯⇒+≤，当且仅当5AB BC ==时，等号成立，故这块四边形的周长201030AD DC AB BC ≤+=+++，所以这块四边形木板周长的最大值为30.故选：D9．CD【分析】由复数定义判断A ，由圆锥与圆台的结构特征判断B ，根据三角形性质，结合充分、必要性定义判断C ，由复数模的几何意义，数形结合法判断D.【详解】A ：复数12z i =-的虚部为2-，错误；B ：用平行于底面的平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台，错误；C ：在三角形中，由sin sin A B >知：A B >，若π2B A <<时则cos cos A B <，若π2B A <<时则cos cos A B <，故充分性成立；若cos cos 0B A >>时，则π2B A <<，故sin sin A B >；若cos 0cos B A >>时，则π2B A <<，此时ππ2A B >->，故sin(π)sin sin A A B -=>，所以必要性成立，正确；D ：由i 3z -≤，故22(1)9x y +-≤，所以点Z 在以(0,1)为圆心，半径3的圆（含圆内），其面积为9π，正确.故选：CD 10．BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，由正六边形的特点确定五边形ABCDE 的外接圆的半径，进而判断D.【详解】对A ，AC AE EC -=u u u r u u u r u u u r ，显然由图可得EC 与BF为相反向量，故A 错误；对B ，由图易得AE AC = ，直线AD 平分角EAC ∠，且ACE △为正三角形，根据平行四边形法则有2AC AE AH += 与AD共线且同方向，易知,EDH AEH 均为含π6的直角三角形，故,3EH AH DH === ，则4AD DH = ，而26AH DH = ，故232AH AD = ，故32AC AE AD += ，故B 正确；对C ，2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，π6BDC DBC ∴∠=∠=，则π2ABD ∠=，又AD //BC ，π3DAB ∴∠=，2AD AB = ，221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯= ，故C正确；对D ，五边形ABCDE 的外接圆就是正六边形ABCDEF 的外接圆，其半径为112r AD ==，则五边形ABCDE 的外接圆面积为2ππr =，故D 正确；故选：BCD 11．ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=，故C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即km ，故D 正确.故选：ABD ．12．BD【分析】对于选项A ，利用斜三角形面积公式即可判断；对于选项B ，由于圆锥侧面的展开图为扇形，可利用扇形圆心角公式进行计算；对于选项C ，由于圆锥侧面的展开图为扇形，利用两点之间直线最短即可知，由A 点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A 点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长；对于选项D ，由三棱锥外接球的性质可知，此外接球的直径为外接长方体的体对角线.【详解】对于选项A ：设点C 是底面圆上异于点B 的任意一点，则21sin 2SAB l ASB =∠△S ，21sin 2SAC l ASC =∠△S .且ASB ASC ∠>∠.当090ASB <∠≤ 时，sin sin ASB ASC ∠>∠，此时SAB △的面积最大；当90180ASB <∠< 时，若90ASC ∠= ，则sin sin ASB ASC ∠<∠，此时SAB △的面积不是最大；故选项A 错误.对于选项B ：当12λ=时，12r l =，即2l r =.圆锥侧面的展开图的圆心角为222r rl rππαπ===.故选项B 正确.对于选项C ：如图，由A 点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A 点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长AA '.当13λ=时，13r l =，即3l r =.圆锥侧面的展开图的圆心角为22233r r l r ππαπ===，此时的弦长为2sin 23sin33l r ππ=⋅=，故选项C 错误.对于选项D ：当14λ=时，14r l =，即4l r =.当AC =时，90AOC ∠= .因为SO ===，所以三棱锥O SAC -=，则三棱锥O SAC -的外接球的表面积为224172r r ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故选项D 正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：几何体内接于球的问题，解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关系。

2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z =1−√2i ，则（ ） A ．z 的实部为﹣1 B ．z 的虚部为−√2 C ．z 的虚部为−√2iD ．z 的虚部为12．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC =√15，则cos A ＝（ ） A ．−16B ．16C ．−112D ．1123．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线D 1E 异面的共有（ ） A ．5条B ．6条C ．7条D ．8条4．在四面体ABCD 中，已知底面ABC 为正三角形，则“三棱锥D ﹣ABC 为正三棱锥”是“△ABD 与△BCD 均为等腰三角形”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（1+i ）4+i 57＝（ ） A ．4+iB ．﹣4+iC ．4﹣iD ．﹣4﹣i6．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm 、下底面半径为3cm 且母线为√10cm 的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g ，则该不倒翁的总质量为（ ）A ．370gB ．490gC ．650gD ．730g7．在空间中，a ，b ，c 为互不重合的三条直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a ∥b ，a ∥c B ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a →⊥b →，a ⊥c C ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β D ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ∥α，a ⊥β8．如图，已知AB ＝AC ，∠BAC =π6，分别以AB ，AC 为直径作半圆弧，D 是半圆弧的中点，E 为半圆弧上靠近点C 的三等分点，则向量AE →在向量AD →上的投影向量为（ ）A ．√3−38AD →B ．√2−√38AD →C ．√3−34AD →D ．√2−√34AD →二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．在△ABC 中，AC =√2BC ，sin A =√24，则B 可能为（ ）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π610．已知四边形ABCD 用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A ′B ′C ′D ′，如图所示，A ′B ′＝1，A ′D ′＝2，B ′C ′＝3，A ′B ′⊥B ′C ′，A ′D ′∥B ′C ′，则（ ）A ．AB ＝3B ．AB ＝2√2C ．DC ＝2√5D ．DC ＝2√311．如图，E ，H 分别在线段P A ，PD 上，C 是线段AD 的中点，F 是线段EH 的中点，AB →=2BC →，PC 与EH 交于点G ，则PG →=（ ）A ．14PE →+34PH →B ．35PF →+25PH →C ．13PE →+23PH →D ．23PF →+13PH →12．已知圆锥PO （P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的母线长为3cm ，高为2√2cm ，线段AB 为底面圆的一条直径，C 为线段PB 的中点，则（ ）A ．底面圆的周长为4πcmB ．圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形C ．直线AC 与圆锥底面所成角的正切值为2√23D ．沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C 的最短距离是3√32cm 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若复数z ＝1+3i ，且z +m （m ∈R ）为纯虚数，则m ＝ ，（z ﹣m ）2在复平面内对应的点位于第 象限．14．已知向量a →=(x ，1)，b →=(x ，−9)，且a →，b →的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ． 15．已知球O 的表面积为20π，平面α截球O 所得的截面面积为3π，则以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ．16．罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔“之誉．如图，为测量罗星塔的塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面的两个测量基点C 与D ．现测得∠BCD ＝31.58°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高AB ＝ m ．（参考数据：取sin28.42°＝0.476，结果精确到0.1m ）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知a →，b →是两个单位向量，且a →与b →的夹角为5π6．（1）求|2√3a →+b →|；（2）求a →与2√3a →+b →的夹角的余弦值．18．（12分）（1）在复数范围内解方程x 2﹣10x +27＝0； （2）若复数z 满足|z |＝|z ﹣2|，z −z ＝2i ，求z 3+2i．19．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的底面为菱形，EA ⊥底面ABCD ，且AE ＝2，AC ＝4，∠ABC =π3． （1）若点P ∈平面ABE ，且P ∈平面ADE ，证明P ∈AE ，并求PC 的最小值； （2）求点A 到平面CDE 的距离．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是AC 的中点． （1）证明：AB 1∥平面MBC 1．（2）若△ABC 是正三角形，AB ＝2，BM ＝MC 1，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积．21．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sin 2A ＝sin B sin C ． （1）求cos A 的最小值； （2）若a =√15，cos(B −C)=116，求△ABC 外接圆的周长 22．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△BCP 与△CDQ 均为正三角形，将△ABD ，△BCP 与△CDQ 向上折起，使得A ，P ，Q 三点重合于点A 1，得到三棱锥A 1﹣BCD ．（1）证明：平面BCD ⊥平面A 1BD ．（2）设E 为棱A 1D 上一点，二面角D ﹣BC ﹣E 为45°，求三棱锥A 1﹣BCE 的体积．2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z=1−√2i，则（）A．z的实部为﹣1B．z的虚部为−√2C．z的虚部为−√2i D．z的虚部为1解：复数z=1−√2i的实部为1，虚部为−√2．故选：B．2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC=√15，则cos A＝（）A．−16B．16C．−112D．112解：因为AB＝2，AC＝3，BC=√15，所以由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22×AB×AC=22+32−152×2×3=−16．故选：A．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线D1E异面的共有（）A．5条B．6条C．7条D．8条解：如图与直线D1E异面的直线为AB，AD，AA1，CD，B1C1，BB1，CC1，A1B1，共8条．故选：D．4．在四面体ABCD中，已知底面ABC为正三角形，则“三棱锥D﹣ABC为正三棱锥”是“△ABD与△BCD均为等腰三角形”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，若三棱锥D﹣ABC为正三棱锥，则AD＝BD＝CD，∴△ABD与△BCD均为等腰三角形，充分性成立；反之，若△ABD 与△BCD 均为等腰三角形，满足AB ＝BC ＝AC ＝CD ＝2，AD ＝BD ＝3，此时三棱锥D ﹣ABC 不是正三棱锥，必要性不成立；“三棱锥D ﹣ABC 为正三棱锥”是“△ABD 与△BCD 均为等腰三角形”的充分不必要条件． 故选：C ．5．（1+i ）4+i 57＝（ ） A ．4+iB ．﹣4+iC ．4﹣iD ．﹣4﹣i解：（1+i ）4+i 57＝[（1+i ）2]2+i 1+14×4＝（2i ）2+i ＝﹣4+i ． 故选：B ．6．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm 、下底面半径为3cm 且母线为√10cm 的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g ，则该不倒翁的总质量为（ ）A ．370gB ．490gC ．650gD ．730g解：根据题意，如图，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，且过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则由题意得：AB =√10cm ，AD ＝4cm ，BC ＝6cm ， 所以BH =12(BC −AD)=1cm ，AH =√AB 2−BH 2=3cm ，故圆台的体积V 1=13×3×(22×π+√22×π×32×π+32×π)=19πcm 3，又半球的体积V 2=12×4π3×33=18πcm 3， 因为半球的密度为圆台密度的3倍， 所以半球的重量为V 2V 1×190×3=1819×190×3=540g故该不倒翁的总重量为190+540＝730g ． 故选：D ．7．在空间中，a ，b ，c 为互不重合的三条直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a ∥b ，a ∥c B ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a →⊥b →，a ⊥c C ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β D ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ∥α，a ⊥β解：当直线b 与c 不平行时，不存在直线a ，使得a ∥b ，a ∥c ，故A 错误； 当b ∥c 时，存在直线a ，满足a →⊥b →，a ⊥c ；当直线b 与c 相交时，存在直线a 垂直于直线b ，c 所确定的平面时，即可满足a →⊥b →，a ⊥c ； 当b ，c 异面时，存在直线a 垂直于与直线b ，c 均平行的平面，满足a →⊥b →，a ⊥c ． 即对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a →⊥b →，a ⊥c ，故B 正确； 当α与β不平行时，不存在直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β，故C 错误； 当α∥β时，不存在直线a ，使得a ∥α，a ⊥β，故D 错误． 故选：B ．8．如图，已知AB ＝AC ，∠BAC =π6，分别以AB ，AC 为直径作半圆弧，D 是半圆弧的中点，E 为半圆弧上靠近点C 的三等分点，则向量AE →在向量AD →上的投影向量为（ ）A ．√3−38AD →B ．√2−√38AD →C ．√3−34AD →D ．√2−√34AD →解：设AB ＝AC ＝a ，则AE =√32a ，AD =√22a ，∠DAE =7π12，∴向量AE →在向量AD →上的投影为：|AE →|cos∠DAE =√32a ×√2−√64=√6−3√28a ，∴向量AE →在向量AD →上的投影向量为：√6−3√28a ×AD →|AD →|=√3−34AD →．故选：C ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．在△ABC 中，AC =√2BC ，sin A =√24，则B 可能为（ ）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6解：因为在△ABC 中，ACsinB=BC sinA，AC =√2BC ，所以sinB =ACsinA BC =√2×√24=12， 又0＜B ＜π，所以B =π6或B =5π6． 故选：AD ．10．已知四边形ABCD 用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A ′B ′C ′D ′，如图所示，A ′B ′＝1，A ′D ′＝2，B ′C ′＝3，A ′B ′⊥B ′C ′，A ′D ′∥B ′C ′，则（ ）A ．AB ＝3B ．AB ＝2√2C ．DC ＝2√5D ．DC ＝2√3解：根据斜二测画法可还原四边形ABCD 的平面图，过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，如下图所示， OA =2OA ′=2√2A′B′=2√2，OB ＝O ′B ′＝A ′B ′＝1， 所以AB =√OA 2+OB 2=√8+1=3，选项A 正确，选项B 错误；因为BC ＝B ′C ′＝3，AD ＝A 'D '＝2，所以HC ＝BC +OB ﹣AD ＝3+1﹣2＝2，又DH =OA =2√2，所以DC =√DH 2+HC 2=√8+4=2√3，选项C 错误，选项D 正确． 故选：AD ．11．如图，E ，H 分别在线段P A ，PD 上，C 是线段AD 的中点，F 是线段EH 的中点，AB →=2BC →，PC 与EH 交于点G ，则PG →=（ ）A ．14PE →+34PH →B ．35PF →+25PH →C ．13PE →+23PH →D ．23PF →+13PH →解：设PE →=λPA →，PH →=μPD →，因为F 是线段EH 的中点，则有PF →=12(PE →+PH →)=λ2PA →+μ2PD →，由AB →=2BC →，可得AB →=13AD →，设PF →=tPB →=t （PA →+AB →）＝t （PA →+13AD →）＝t PA →+t 3(PD →−PA →)=2t 3PA →+t 3PD →， 则由平面向量基本定理可得{λ2=2t 3μ2=t 3，解得λ＝2μ， 又E ，G ，H 三点共线，故可设PG →=mPE →+(1−m)PH →=m λPA →+（1﹣m ）μPD →， 设PG →=nPC →，由C 为AD 中点可知PG →=n 2(PA →+PD →)，∴{mλ=n2(1−m)μ=n 2，将λ＝2μ代入可得m =13，即PG →=13PE →+23PH →．又PG →=λ3PA →+2μ3PD →=2μ3(PA →+PD →)， PF →=λ2PA →+μ2PD →=μPA →+μ2PD →， PH →=μPD →， 设PG →=x PF →+y PH →，则有2μ3(PA →+PD →)=x （μPA →+μ2PD →）+y μPD →，即{x =23x 2+y =23，解得x =23，y =13，故PG →=23PF →+13PH →．故选：CD ．12．已知圆锥PO （P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的母线长为3cm ，高为2√2cm ，线段AB 为底面圆的一条直径，C 为线段PB 的中点，则（ ） A ．底面圆的周长为4πcmB ．圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形C ．直线AC 与圆锥底面所成角的正切值为2√23D ．沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C 的最短距离是3√32cm解：对于A ，设圆锥的底面半径为r ，则r =√32−(2√2)2=1(cm)， 所以圆锥的底面圆的周长为2πr ＝2π（cm ），A 错误；对于B ，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为α，则其侧面展开图面积S =12α×32=92α， 又圆锥侧面展开图面积S ＝3πr ＝3π，所以92α=3π，所以α=2π3，B 正确；对于C ，取OB 的中点H ，连接CH ，因为C ，H 分别为BP ，OB 中点， 所以CH ∥OP ，又OP ⊥底面圆O ， 所以CH ⊥底面圆O ，所以直线AC 与底面所成的角为∠CAH ， 因为CH =12OP =√2，AH =32r =32， 所以直线AC 与底面所成角的正切值为CHAH=√232=2√23，C 正确；对于D ，圆锥PO 的侧面展开图如图所示，在△APC 中，AP ＝3，PC =32，∠APC =π3， 所以AC =√AP 2+PC 2−2AP ⋅PCcos π3=3√32， 所以沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C 的最短距离是3√32cm ，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若复数z ＝1+3i ，且z +m （m ∈R ）为纯虚数，则m ＝ ﹣1 ，（z ﹣m ）2在复平面内对应的点位于第 二象限．解：∵z +m ＝m +1+3i 为纯虚数，∴m +1＝0，解得：m ＝﹣1； ∵（z ﹣m ）2＝（2+3i ）2＝﹣5+12i 对应的点为（﹣5，12）， ∴（z ﹣m ）2在复平面内对应的点为与第二象限． 故答案为：﹣1；二．14．已知向量a →=(x ，1)，b →=(x ，−9)，且a →，b →的夹角为钝角，则x 的取值范围为 （﹣3，0）∪（0，3） ．解：∵向量a →=(x ，1)，b →=(x ，−9)，且a →，b →的夹角为钝角， ∴a →⋅b →＜0且a →，b →不共线，即{x 2−9＜0−9x ≠x ，解得﹣3＜x ＜3且x ≠0， 所以x 的取值范围为（﹣3，0）∪（0，3）． 故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．15．已知球O 的表面积为20π，平面α截球O 所得的截面面积为3π，则以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 √2π ．解：设球O 的半径为R ，截面圆O 1的半径为r ，球心O 到平面α的距离为d ， ∵4πR 2＝20π，πr 2＝3π，∴R 2＝5，r 2＝3，∴d =√R 2−r 2=√2， ∴以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为V =13πr 2d =√2π． 故答案为：√2π．16．罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔“之誉．如图，为测量罗星塔的塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面的两个测量基点C 与D ．现测得∠BCD ＝31.58°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高AB ＝ 31.5 m ．（参考数据：取sin28.42°＝0.476，结果精确到0.1m ）解：因为∠BCD ＝31.58°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ， 由题意可知∠CBD ＝180°﹣120°﹣31.58°＝28.42°， 由正弦定理可得：CB =CD sin∠CBD ×sin∠BDC =100.476×√32=5√30.476，所以AB =CB ⋅tan60°=5√30.476×√3=150.476， 因为150.476≈31.5，所以罗星塔的塔高AB 约为31.5m ．故答案为：31.5．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知a →，b →是两个单位向量，且a →与b →的夹角为5π6．（1）求|2√3a →+b →|；（2）求a →与2√3a →+b →的夹角的余弦值． 解：（1）∵a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos〈a →，b →〉=cos5π6=−√32， ∴|2√3a →+b →|2=12a →2+4√3a →⋅b →+b →2=12−6+1=7，∴|2√3a →+b →|=√7； （2）∵a →⋅(2√3a →+b →)=2√3a →2+a →⋅b →=2√3−√32=3√32， ∴cos〈a →，2√3a →+b →〉=a →⋅(2√3a →+b →)|a →|⋅|2√3a →+b →|=3√327=3√2114． 18．（12分）（1）在复数范围内解方程x 2﹣10x +27＝0； （2）若复数z 满足|z |＝|z ﹣2|，z −z ＝2i ，求z 3+2i．解：（1）由x 2﹣10x +27＝（x ﹣5）2+2＝0， 可得(x −5)2=−2=(√2i)2，则x −5=±√2i ，所以方程x 2﹣10x +27＝0的解为x =5−√2i 或5+√2i ．（2）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则由|z |＝|z ﹣2|，得√a 2+b 2=√(a −2)2+b 2，解得a ＝1． 又z −z =−2bi =2i ，所以b ＝﹣1， 所以z 3+2i=1−i 3+2i=(1−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3−2−2i−3i9+4=1−5i 13=113−513i ．19．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的底面为菱形，EA ⊥底面ABCD ，且AE ＝2，AC ＝4，∠ABC =π3． （1）若点P ∈平面ABE ，且P ∈平面ADE ，证明P ∈AE ，并求PC 的最小值； （2）求点A 到平面CDE 的距离．解：（1）证明：因为平面ABE ∩平面ADE ＝AE ， 又点P ∈平面ABE ，且P ∈平面ADE ，所以P ∈AE ． 因为EA ⊥底面ABCD ，所以EA ⊥AC ， 设P 到A 的距离为d ，则PC =√d 2+AC 2=√d 2+16≥4， 所以当d ＝0时，PC 取得最小值4．（2）因为四边形ABCD 为菱形，且AC ＝4，∠ABC =π3， 所以AD ＝CD ＝AC ＝4，因为EA ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ， 所以EA ⊥AD ，因为AE ＝2，所以DE =2√5， 同理可得CE =2√5，所以，S △CDE =12×4×√(2√5)2−22=8， 设点A 到平面CDE 的距离为h ， 由V A ﹣CDE ＝V E ﹣ACD ， 得13×8ℎ=13×12×42×√32×2， 解得ℎ=√3．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是AC 的中点． （1）证明：AB 1∥平面MBC 1．（2）若△ABC 是正三角形，AB ＝2，BM ＝MC 1，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积．（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，则O 是B 1C 的中点．因为M 是AC 的中点，所以MO ∥AB 1．又MO ⊂平面MBC 1，AB 1⊄平面MBC 1，所以AB 1∥平面MBC 1 （2）解：因为△ABC 为正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ． 因为AB ＝2，所以BM =√3．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，则CC 1⊥AC ， 因为BM ＝MC 1，所以CC 1=√C 1M 2−MC 2=√(√3)2−12=√2， 所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为√34×22×2+2×√2×3=2√3+6√2．21．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sin 2A ＝sin B sin C ． （1）求cos A 的最小值；（2）若a =√15，cos(B −C)=116，求△ABC 外接圆的周长 解：（1）∵2sin 2A ＝sin B sin C ，∴由正弦定理可得：2a 2＝bc ，由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−bc 22bc ≥2bc−bc 22bc =34（当且仅当b ＝c 时取等号）， ∴cos A 的最小值为34；（2）∵cos(B−C)=cosBcosC+sinBsinC=116，cos A＝﹣cos（B+C）＝﹣cos B cos C+sin B sin C，∴cosA+116=2sinBsinC=4sin2A=4−4cos2A，解得：cosA=78或cosA=−98，又cosA≥34，∴cosA=78，又A∈（0，π），∴sinA=√1−cos2A=√158，设△ABC外接圆半径为r，由正弦定理得：2r=asinA=√15√158=8，∴r＝4，∴△ABC外接圆的周长为2πr＝8π．22．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCP与△CDQ均为正三角形，将△ABD，△BCP与△CDQ向上折起，使得A，P，Q三点重合于点A1，得到三棱锥A1﹣BCD．（1）证明：平面BCD⊥平面A1BD．（2）设E为棱A1D上一点，二面角D﹣BC﹣E为45°，求三棱锥A1﹣BCE的体积．（1）证明：取BD的中点M，连接A1M，CM，则A1M⊥BD，依题意可得A1C＝PC＝2，A1M=√2，CM=√2，所以A1M2+CM2=A1C2，所以A1M⊥CM，又BD∩CM＝M，BD⊂平面BCD，CM⊂平面BCD，所以A1M⊥平面BCD，又因为A1M⊂平面A1BD，所以平面BCD⊥平面A1BD；（2）解：如图，作EF∥A1M交BD于F，作FG⊥BC于G，连接EG，因为A1M⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD，所以EF⊥BC，又FG⊥BC，FG∩EF＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，所以BC⊥平面EFG，所以BC⊥EG，则∠EGF是二面角D﹣BC﹣E的平面角，则∠EGF＝45°，因此△EFG是等腰直角三角形，设EF＝GF＝x，则EFA1M =FDMD，得FD＝x，由GFCD =BFBD，得x2=√2−x2√2，得x=4−2√2，V A1−BCD =13S△BCD⋅A1M=13×12×2×2×√2=2√23，V E−BCD=13S△BCD⋅EF=13×12×2×2×(4−2√2)=8−4√23，故V A1−BCE =V A1−BCD−V E−BCD=2√23−8−4√23=6√2−83．。

上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．M有最小值，N有最大值B．M有最大值，N有最小值C．M有最大值，N有最大值D．M有最小值，N有最小值．π2【分析】根据正弦型函数的周期【详解】因为()sinf x læ=çèπæö（3）1122111222a x a x xb x b x x l l +=ìí+=î，可得()()111222,,0x a b x a b l l -+-=．因为12,x x 都不为0，从而向量()11,a b l -与()22,a b l -平行，所以存在实数l 满足()()1221a b a b l l --=，即()21212210a b a b a b l l -++-=．要使l 存在且唯一，则1212a a b b ､､､应满足：()21221Δ40a b a b =-+=．当()f x l l =r r 时，f 有唯一的特征值，且||f l =‖‖．具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x l =，所以l 为特征值．此时2112,0,0,b a a b l l ====满足：()2122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值．在22121x x +=的条件下()()22212x x l l l +=，从而有||f l =‖‖．【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.。

2022～2023学年度第二学期高一年级期中考试语文试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．。

．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效4.本卷命题范围：人教版必修下册第一至第三单元、第八单元。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：建筑之始，本无所谓一定形式，更无所谓派别。

所谓某系或某派建筑，其先盖完全由于当时彼地的人情风俗、政治情况之情形，气候及物产材料之供给，和匠人对于力学知识、技术巧拙之了解等复杂情况总影响所产生。

一系建筑之个性，犹如一个人格，莫不是同时受父母先天的遗传和后天朋友师长的教益而形成的。

中国的建筑，在中国整个环境影响之下，虽各个时代各有其特征，其基本的方法及原则，却始终一贯。

数千年来的匠师们，在他们自己的潮流内顺流而下，如同欧洲中世纪的匠师们一样，对于他们自己及他们的作品都没有一种自觉。

19世纪末叶及20世纪初年，中国文化屡次屈辱于西方坚船利炮之下以后，中国却忽然到了“凡是西方的都是好的”段落，又因其先已有帝王骄奢好奇的游戏，如郎世宁辈在圆明园建造西洋楼等事为先驱，于是“洋式楼房”“洋式门面”如雨后春笋，酝酿出光宣以来建筑界的大混乱。

正在这个时期，有少数真正或略受过建筑训练的外国建筑家，在香港、上海、天津……乃至许多内地都邑里，将他们的希腊罗马哥特等式样，似是而非地移植过来。

同时还有早期的留学生，敬佩西洋城市间的高楼霄汉，帮助他们移植这种艺术。

这可说是中国建筑术由匠人手中升到“士大夫”手中之始；但是这几位先辈留学建筑师，多数对于中国式建筑根本鄙视。

2022-2023学年江西省宜春市高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（）A ．255B ．55C ．23D ．13【答案】B【分析】根据终边上的点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设2215cos 512α==+.故选：B2．已知向量()1,2a =- ，()3,b λ= ，若2a b + 与2a b - 平行，则实数λ的值为（）A ．23-B ．23C ．6D ．6-【答案】D【分析】先求2a b +与2a b - 的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得.【详解】因为()1,2a =-，()3,b λ= ，所以2(5,22)a b λ+=+，2(5,4)a b λ-=-- 又2a b +与2a b - 平行，所以5(4)5(22)λλ-=-+，解得6λ=-.故选：D3．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13C ．32D ．33【答案】A【分析】根据三角恒等变换，利用两角差的余弦公式即可得出原式为1cos602=.【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A4．函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值和最小正周期分别是（）A ．3-，πB ．1-，πC ．3-，2πD ．1-，2π【答案】B【分析】根据三角函数有界性可知其最小值为1-，周期2πT ω=即可求解.【详解】三角函数()πcos 216f x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，所以其最小值为1-，周期2π2ππ2T ω===.故选：B5．将函数()1π3sin 312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 的图象上各点向右平移π12个单位长度得函数()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为（）A ．5π22π2π,2π,33⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z B ．5π4π4π,4π,33⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z C ．5π4π6π,6π,33⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z D ．[]4π,9π【答案】C【分析】先由图象平移变换得到()g x ，再由正弦函数的性质求出()g x 的单调递增区间.【详解】将()1π3sin 312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 的图象向右平移12π个单位长度后，得到()1ππ3sin 31212⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x ，即()1π3sin 318⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 的图象，令π1ππ2π2π23182-≤+≤+k x k ，k ∈Z ，解得5π4π6π6π33-≤≤+k x k ，k ∈Z ，所以()g x 的单调递增区间为5π4π6π,6π33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，k ∈Z .故选：C.6．已知函数()()22cos 3sin210f x x x ωωω=+->在[]0,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1723,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2329,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，然后求得整体π26x ω+的范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，从而得参数范围．【详解】由题意可得π()cos 23sin 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，因为[]0,πx ∈，所以πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，则π3π2π4π6ω≤+<，解得17231212ω≤<．故选：A ．7．如图，一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是（）A ．h (t )＝－8sin 6πt ＋10B ．h (t )＝－cos6πt ＋10C ．h (t )＝－8sin 6πt ＋8D ．h (t )＝－8cos 6πt ＋10【答案】D【分析】由题意得出h 的最大值和最小值，以及最小正周期T ，可求出A 、B 、ω的值，再将点()0,2代入函数解析式求出ϕ的值，由此可得出h 与t 之间的函数关系式.【详解】设sin()h A t B ωϕ=++，由题意可得max 18h =，min 2h =，12T =，max min 82h h A -∴==，maxmin 102h h B +==，26T ππω==，8sin 106t h πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0=t 时，8sin 102ϕ+=，得sin 1ϕ=-，可取2πϕ=-，所以8sin 108cos 10626h t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.故选：D.8．在ABC 中，若sin 3cos cos A B C =，则22cos cos B C +的最大值为（）A ．3136+B ．3133+C ．2136+D ．2133+【答案】A【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值.【详解】sin 3cos cos A B C = ，2sin 2cos cos cos()cos()3A B C B C B C ∴==++-，2sin cos cos()3A A B C ∴+=-,221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)1cos()cos()22B C B C B C B C B C ++++==++=++⋅-2sin cos ))3A A C A AB =+-⋅-=-11cos 21sin 232A A +=--111111(sin 2cos 2)sin(2+)232294A A A ϕ=-+=-+，（其中3tan 2ϕ=）， 131113sin(2+)6946A ϕ-≤+≤，∴111113313sin(2+)294266A ϕ+-+≤+=，当3π22A ϕ+=时等号成立.22cos cos B C ∴+的最大值为3136+.故选：A二、多选题9．如果角α与角60γ+ 的终边相同，角β与角60γ- 的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．120B ．360C ．1200D ．3600【答案】AC【分析】由已知，表示出αβ-，再判断各选项．【详解】角α与角60γ+︒的终边相同，36060Z m m αγ=⋅++∈ ，，角β与角60γ-︒的终边相同，630,Z 60n n βγ+-⋅∈= ,∴()()()63606Z 6006033120,0,m n m n m n αγγβ-=⋅++-+-=⋅⋅∈-+，即αβ-与120 角终边相同，选项AC 符合题意.故选：AC ．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若π6A =，5a =，则ABC 外接圆半径为10C ．若2cos a b C =，则ABC 为等腰三角形D ．若6b =，2a c =，π3B =，则三角形面积63ABC S =△【答案】ACD【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A 正确，利用正弦定理可知B,C 的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D 正确.【详解】因为A B >，所以a b >，由正弦定理2sin sin a bR A B==，可得2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，A 正确；由正弦定理2sin aR A=可知210R =，所以ABC 外接圆半径为5，B 不正确；因为2cos a b C =，所以sin 2sin cos A B C =，即()sin 2sin cos B C B C +=，整理可得sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=，因为,B C 为三角形的内角，所以B C =，即ABC 为等腰三角形，C 正确；因为6b =，2a c =，π3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2223642c c c =+-，解得212c =，所以113sin 263222ABC S ac B c c ==⨯⨯⨯= ，D 正确.故选：ACD.11．函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B ．()y f x =在区间π[0,]2的最小值是32-；C ．直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴；D ．3(π)62f =【答案】BCD【分析】利用函数的对称中心得到π3ϕ=，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可求解.【详解】因为函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，所以π2π()sin()033f ϕ=+=，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则函数π()sin(2)3f x x =+，对于A ，因为5π(0,)12x ∈，所以ππ7π2(,)336x +∈，所以函数()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭先增后减，故选项A 错误；对于B ，因为π[0,]2x ∈，所以ππ4π2[,]323x +∈，当π4π233x +=时，函数取最小值32-，故选项B 正确；对于C ，函数π()sin(2)3f x x =+，因为5πππ()sin[2)]sin()11232f x =⨯+=-=-（-，所以直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴，故选项C 正确；对于D ，函数π()sin(2)3f x x =+，则函数πππ2π3()sin(2)sin 66332f =⨯+==，故选项D 正确；故选：BCD.12．在直角梯形ABCD 中，,2AB AD AB DC ⊥=，E 为AB 中点，,M N 分别为线段DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上任意一点，若AM AP AN λμ=+，则λμ+的值可能是（）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】ABC【分析】建立平面直角坐标系，设,01BP xBD x =≤≤ ，用坐标表示出,,AP AM AN，再根据AM AP AN λμ=+列方程可得2x λμ+=-，然后可得.【详解】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设6,3,0AB AD m m ==>，则()()()()()()0,0,6,0,0,3,3,0,2,,1,2A B D m E M m N m ，则(2,),(1,2),(6,3),(6,0)AM m AN m BD m AB ===-=设,01BP xBD x =≤≤，则(66,3)AP AB xBD x mx =+=- ∵AM AP AN λμ=+ ，∴(66,3)(2,)(1,2)(2,2)x mx m m m m λμλμλμ-=+=++，∴66232x mx m m λμλμ-=+⎧⎨=+⎩整理得2x λμ+=-，因为[0,1]x ∈，所以2[1,2]x λμ+=-∈故选：ABC三、填空题13．已知π3cos 65α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭．【答案】35/0.6【分析】根据π4π3π632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合诱导公式求解即可.【详解】解：因为π4π3π632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π3cos 65α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以4π3πππππ3sin sin sincos 3262665αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦故答案为：3514．函数πsin 2π6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为.【答案】1【分析】利用三角函数周期的公式即可求得函数πsin 2π6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期.【详解】πsin 2π6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2π12πT ==故答案为：115．设O 为ABC 的外心a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3b =，5c =，则OA BC ⋅=．【答案】8【分析】由三角形的外心的向量性质计算即可.【详解】如图所示，因为O 为ABC 的外心，取AB 中点E ，则OE ⊥AB ，则21125cos cos 222AO AB OA AB OAB AB OA OAC AB AB c ⋅=∠=∠=⋅== ，同理21922A b O AC =⋅= ，所以()()925822OA BC OA AC AB AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=-⋅-=-⋅+⋅=-+= ．故答案为：816．已知函数()2sin coscos 22f x x x x ωωω=-，（0ω>），R x ∈若函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围为.【答案】1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到()π2sin 4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再令()0f x =，得到ππ4k x ωω=+，Z k ∈，根据函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，得到()πππ,2π4k x ωω=+∉，然后由()πππ,2π4k ωω+∈，得到k 的范围，然后将函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，转化为在11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭内没有整数求解.【详解】解：()πsin cos 2sin 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()0f x =，得ππ4x k ω-=，即ππ4k x ωω=+，Z k ∈. 函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，()πππ,2π4k x ωω∴=+∉，若()πππ,2π4k ωω+∈.则11244k ωω-<<-，若函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，等价于在11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭内没有整数，则12π2πππ2ω⋅≥-=，即01ω<≤，若11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有整数，.则当0k =时，由110244ωω-<<-，得1418ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即1184ω<<若当1k =时，由111244ωω-<<-，得5458ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即5584ω<<，此时518ω<≤.当2k =时，由112244ωω-<<-，得9498ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即9984ω<<此时ω超出范围.即若11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有整数，则1184ω<<或518ω<≤.则若11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭内没有整数，则108ω<≤或1548ω≤≤，故答案为：1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.四、解答题17．求下列各式的值:(1)cos25π3+tan 15π4⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°.【答案】(1)32(2)4【分析】（1）（2）应用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）cos 25π3+tan 15π4⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos π8π3⎛⎫+ ⎪⎝⎭+tan π4π4⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=cos π3+tan π142=+1=32.（2）原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4.18．已知函数()2cos sin f x x x=+(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的最大值和最小值，并写出取最值时x 的值．【答案】(1)π23164f +⎛⎫=⎪⎝⎭(2)()max 54f x =，()π2π3x k k Z =+∈或()π2π3x k k Z =-∈，()min 1f x =-，()21πx k =+，Z k ∈【分析】（1）将π6x =代入函数解析式求解；（2）由()2215cos 1cos cos 24f x x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：22πππ31231cos sin 666224f +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2215cos 1cos cos 24f x x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，所以当1cos 2x =时，()max 54f x =，此时()π2π3x k k Z =+∈或()π2π3x k k Z =-∈当cos 1x =-时，()min 1f x =-，此时()21πx k =+，Z k ∈.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+.(1)求角B 的大小；(2)若sin 2sin C A =，且23ABC S = ，求a 和c ；(3)若3b =，1ac =，求ABC 的周长.【答案】(1)2π3(2)2a =，4c =(3)23+.【分析】（1）根据正余弦定理化简即可.（2）根据正弦定理结合三角形面积公式即可.（3）根据余弦定理求出a c +的值即可.【详解】（1）ABC 中，sin sin sin sin c A B b a A C+=-+，由正弦定理得：c a b b a a c +=-+，222ac c b a ∴+=-，即222c a b ac +-=-，2221cos 222c a b ac B ac ac +--∴===-，在三角形中，0πB <<，2π3B ∴=.（2）sin 2sinC A = ，由正弦定理得：2c a =，又1323sin 24ABC S ac B ac === ，8ac ∴=，2a ∴=，4c =.（3）由余弦定理：()222232cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，2a c ∴+=，故ABC 周长为23+.20．已知向量()1,0OA = ，34,55OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，17,55OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．(1)求OB 与OC 的值：(2)求OB 与OC 的夹角；(3)若OD mOA nOB =+ ，m ，R n ∈，且0OD AB ⋅= ，求m n -的值．【答案】(1)1OB = ，2OC = ；(2)45 ；(3)0【分析】（1）直接利用平面向量模长的坐标公式计算即可；（2）直接利用平面向量夹角的坐标公式计算即可；（3）根据平面向量数量积的坐标公式待定系数计算即可.【详解】（1）由34,55OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，17,55OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得2234155OB ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2217255OC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）设OB 与OC 的夹角为α，则314725555cos 45212OB OC OB OCαα-⨯+⨯⋅===⇒=⨯⋅（3）由题意可得34,55OD mOA nOB m n n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ ，84,55AB OB OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则()834480055555OD AB m n n m n ⎛⎫⋅=⇒-⨯-+⨯=--= ⎪⎝⎭ ，所以0-=m n .21．如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，12BE BC = ，2CF FD =．(1)若EF xAB y AD =+ ，求32x y +的值；(2)若6AB = ，18AC EF ⋅=- ，求边AD 的长．【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出x ，y ，即可得解；（2）设AD 长为x ，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD = ,所以1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ ，又EF xAB y AD =+ ，23x ∴=-，12y =，321x y ∴+=-.（2）设AD 长为x ，()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+-211241822x x =--=-，2120x x ∴--=，4x ∴=或3-（舍去），即4=AD .22．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b = 为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.(1)设函数5π3π()sin cos 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的伴随向量的坐标；(2)记向量(1,3)ON =uuu r 的伴随函数为()f x ，当8()5f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；(3)设向量()2,2OP λλ=- ，R λ∈的伴随函数为()u x ，()1,1OQ = 的伴随函数为()v x ，记函数()()()2h x u x v x =+，求()h x 在[]0,π上的最大值.【答案】(1)21,231OM ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(2)43310-(3)()2max 12,12,1222,2h x λλλλλλ-≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩【分析】（1）化简()g x 的解析式，从而求得伴随向量OM ；（2）先求得()f x ，由()85f x =求得πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而求得πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而求得sin x ；（3）先求得()h x ，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.【详解】（1）解：()5π3πsin cos 62g x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭3131sin cos sin 1sin cos 2222x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以21,231OM ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）解：依题意()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π8π42sin ,sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（3）解：由题知π()2sin 2cos 22sin 4u x x x x λλλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ππππ()sin cos 2sin 2sin 2cos 4424v x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()()22ππ22sin 2cos 44h x u x v x x x λ⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 22sin 244x x λ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]0,πx ∈，ππ3π,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以，π2sin ,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，令π2sin ,142t x ⎡⎤⎛⎫=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以，问题转化为函数222222,,12y t t t λ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的最值问题.因为函数222222,,12y t t t λ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的对称轴为22t λ=，所以，当2222t λ=≤-，即1λ≤-时，222222,,12y t t t λ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的最大值在22t =-处取得，为12λ-；当212t λ=≥，即2λ≥时，222222,,12y t t t λ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的最大值在1t =处取得，为22λ；当22122λ-<<，即12λ-<<时，222222,,12y t t t λ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的最大值在22t λ=处取得，为22λ+；综上，()h x 在[]0,π上的最大值为()2max 12,12,1222,2h x λλλλλλ-≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩.【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.。