2017-2018学年江阴南菁高中高一(上)期中数学试卷(每题含详细解答)

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |x ＜﹣2}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣2，3]B ．[﹣2，+∞）C ．[﹣2，3）D ．（﹣3，+∞）2．化简(a 23⋅−1−12−12⋅b 13√56（a ＞0，b ＞0）的结果是（ ）A ．1aB ．aC ．abD ．1ab3．下列选项中，使|x ﹣1|＜2成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．﹣1＜x ＜3B ．﹣3＜x ＜3C ．0＜x ＜3D ．0＜x ＜44．已知f （2x +1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝7，则a ＝（ ） A ．2B ．3C ．5D ．75．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想．在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)=x 21+x 4的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若函数f(x)={ax，x ＞1，(2−a)x +3，x ≤1在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2，52] B ．(0，52]C ．[52，+∞)D ．∅7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（0，2）∪（8，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）∪（6，+∞）8．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义A∗B={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，若A＝{1，2}，B＝{x|（x+a）（x3+ax2+2x）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（）A．4B．3C．2D．1二、多项选择题本小题共4小题，每小题5分，共20分9．已知0＜a＜b，且a+b＝1，则（）A．a＜12＜b B．2ab＜1＜a2+b2C．2ab＜a＜b D．a＜a2+b2＜b10．给出以下四个命题，其中真命题是（）A．集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，集合B＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则A＝BB．∀x∈R，√x2=xC．若log23＝a，log27＝b，则log4256=3+ba+b+1D．∅∈{0}11．下列说法不正确的是（）A．命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6D．已知x＞0，y＞0，x+y﹣xy+8＝0，则x+4y的最小值为1612．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={2x−1，x＞2x2−2x+2，0＜x≤2，下列叙述正确的是（）A．当2√2−2＜k＜1时，关于x的方程f（x）＝kx有6个不相等的实数根B．当x1＜x2＜﹣2时，有f（x1）＞f（x2）C．当0＜x≤a时，f（x）的最小值为1，则1≤a≤3D．若关于x的方程f(x)=32和f（x）＝m的所有实数根之和为零，则m=−32三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若log（a﹣1）（5﹣a）有意义，则实数a的取值范围是．14．不等式1x−2＞−2的解集是．15．若函数f （x ）满足∀x ∈R ，f （x +1）＝f （1﹣x ），且∀x 1，x 2∈[1，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0(x 1≠x 2)，若f （m ）＞f （﹣1），则m 的取值范围是 ．16．设a ，b ∈Z ，若对任意x ≤0，都有（ax ﹣3）（﹣x 2+b ）≤0成立，则a +b 的值是 ． 四、解答题17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝{x |m ＜x ＜2m +3}． （1）求集合A 中的所有整数；（2）若（∁R A ）∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 18．（12分）设m 为实数，f （x ）＝（m +1）x 2﹣mx ﹣1． （1）当m ＝﹣3时，解不等式f （x ）≤0；（2）若不等式f （x ）+m ＞0的解集为∅，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=mx+nx 2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝1． （1）求m ，n 的值；判断函数f （x ）的单调性并用定义加以证明； （2）求使f （a ﹣1）+f （a 2﹣1）＜0成立的实数a 的取值范围．20．（12分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产x （x ∈N *）台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则t =12x 2+60x ；若年产量不小于100台，则t =152x +24200x−4700，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完． （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 21．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣1）x +3（a ≠0）， （1）若不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3），求2a +b 的值； （2）若f （1）＝5，b ＞﹣1，求1|a|+4|a|b+1的最小值；（3）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＜﹣2x +1的解集．22．（12分）设a ＞1，m ∈R ，f(x)=a m x，当x ∈[a ，2a ]时，f （x ）的值域为[a 2，a 3]．（1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使（x +t ）2+2（x +t ）≤（a +1）x 对任意的x ∈[0，s ]恒成立，求实数s 的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |x ＜﹣2}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣2，3]B ．[﹣2，+∞）C ．[﹣2，3）D ．（﹣3，+∞）解：由题意可得∁R B ＝{x |x ≥﹣2}，所以A ∪∁R B ＝{x |x ＞﹣3}． 故选：D ．2．化简(a 23⋅−1−12−12⋅b 13√a⋅b56（a ＞0，b ＞0）的结果是（ ）A ．1aB ．aC ．a bD ．1ab解：根据实数指数幂的运算法则得原式=a −13⋅b 12⋅a −12⋅b 13a 16⋅b 56=a −56b 56a 16⋅b 56=a ﹣1=1a ．故选：A ．3．下列选项中，使|x ﹣1|＜2成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．﹣1＜x ＜3B ．﹣3＜x ＜3C ．0＜x ＜3D ．0＜x ＜4解：不等式|x ﹣1|＜2解得﹣1＜x ＜3，根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A ，﹣1＜x ＜3是充要条件，A 错误；对于B ，（﹣1，3）⫋（﹣3，3），﹣3＜x ＜3是|x ﹣1|＜2成立的一个必要不充分条件，B 正确； 对于C ，（0，3）⫋（﹣1，3），0＜x ＜3是|x ﹣1|＜2成立的一个充分不必要条件，C 错误； 对于D ，（0，4）与（﹣1，3）没有包含关系，0＜x ＜4是既不充分也不必要条件，D 错误． 故选：B ．4．已知f （2x +1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝7，则a ＝（ ） A ．2B ．3C ．5D ．7解：令t ＝2x +1，则x =t−12，所以f(t)=3⋅(t−12)−2=32t −72， 所以函数f （x ）的解析式为f(x)=32x −72，又因为f （a ）＝7， 所以f(a)=32a −72=7，解得a ＝7． 故选：D ．5．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想．在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)=x 21+x 4的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．解：由题意可知，函数f （x ）定义域为R ， 所以f(−x)=(−x)21+(−x)4=x 21+x 4=f(x)， 所以f （x ）为偶函数，排除选项A 和C ；当x ＝0时，f(0)=021+04=0， 当x ≠0时，f(x)=x 21+x 4=11x2+x 2≤12√1x2⋅x 2=12，所以f(x)≤12，排除选项D ． 故选：B ． 6．若函数f(x)={ax，x ＞1，(2−a)x +3，x ≤1在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2，52] B ．(0，52]C ．[52，+∞)D ．∅解：根据题意，函数f(x)={ax，x ＞1，(2−a)x +3，x ≤1在R 上为减函数， 则有{a ＞02−a ＜02−a +3≥a，解得2＜a ≤52，所以实数a 的取值范围为(2，52]． 故选：A ．7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2）∪（8，+∞）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，0）∪（6，+∞）解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|={−x ，−2≤x ＜0x +4，x ＜−2，作出f （x ）的图象，如图所示，y ＝f （x +a ）的图象可以看成是y ＝f （x ）的图象向左（a ＞0时）或向右（a ＜0时）平移|a |个单位而得． 观察图像可得：当a ＞0时，y ＝f （x ）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）， 才能满足f （x +a ）＞f （x ）对任意的x ∈[﹣1，2]成立，当a ＜0时，y ＝f （x ）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）， 才能满足f （x +a ）＞f （x ）对任意的x ∈[﹣1，2]成立． 故实数a 的取值范围是（﹣2，0）∪（6，+∞）． 故选：D ．8．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，若A ＝{1，2}，B ＝{x |（x +a ）（x 3+ax 2+2x ）＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C （S ）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1解：由已知得C （A ）＝2，因为A *B ＝1，所以C （B ）＝1或C （B ）＝3．当C （B ）＝1时，若要满足题意，则x （x +a ）（x 2+ax +2）＝0有一个实根，即a ＝0， 此时x 2+ax +2＝x 2+2＝0没有实根，所以a ＝0符合题意；当C （B ）＝3时，若要满足题意，x （x +a ）＝0⇒x ＝0，x ＝﹣a 有两个不等实根，则x 2+ax +2＝0有两个相等且异于上面两个根的实根，即a 2＞0且Δ＝a 2﹣8＝0，所以a =±2√2， 此时x （x +a ）（x 2+ax +2）＝0的三个根为0，−a ，−a2，符合题意． 综上，a ＝0或±2√2，故C （S ）＝3．故选：B ．二、多项选择题本小题共4小题，每小题5分，共20分 9．已知0＜a ＜b ，且a +b ＝1，则（ ） A ．a ＜12＜b B ．2ab ＜1＜a 2+b 2 C ．2ab ＜a ＜bD ．a ＜a 2+b 2＜b解：根据题意，依次分析选项：对于A ，0＜a ＜b ，且a +b ＝1，则2a ＜a +b ＜b +b ，即a ＜12＜b ，A 正确； 对于B ，0＜a ＜b ，且a +b ＝1，则a 2＜a ，b 2＜b ，则有a 2+b 2＜a +b ＝1，B 错误； 对于C ，由于b ＞12，则2ab ＞2a ×12=a ，C 错误； 对于D ，设a =12−t ，b =12+t ，（0＜t ＜12），则a 2+b 2=12+2t 2， 则有a 2+b 2＞a ，又由t ﹣2t 2＝t （1﹣2t ）＞0，则b ＞a 2+b 2， 故有a ＜a 2+b 2＜b ，D 正确； 故选：AD ．10．给出以下四个命题，其中真命题是（ ）A ．集合A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，集合B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则A ＝BB ．∀x ∈R ，√x 2=xC ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则log 4256=3+b a+b+1D ．∅∈{0}解：对于选项A ，A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }＝{x |x ＝2（n ﹣1）+1，n ∈Z }＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，又B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，所以选项A 正确；对于选项B ，√x 2=|x|={x ，x ≥0−x ，x ＜0，所以选项B 错误；对于选项C ，因为log 23＝a ，log 27＝b ，log 4256=log 256log 242=log 27+log 28log 26+log 27=3+b log 22+log 23+b =3+ba+b+1，所以选项C 正确；对于选项D ，因为集合与集合间的关系是包含与不包含，∅⊆{0}，所以选项D 错误． 故选：AC ．11．下列说法不正确的是（ ）A ．命题“∀x ＜1，都有x 2＜1”的否定是“∃x ≥1，使得x 2≥1”B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2} C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6 D．已知x＞0，y＞0，x+y﹣xy+8＝0，则x+4y的最小值为16解：对于A，命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x＜1，使得x2≥1”，故A错误，对于B，当a＝0时，B＝∅满足题意，故B错误，对于C，令f（x）＝3x2+a（a﹣6）x﹣3，由f（1）＜0，得a2﹣6a＜0，即0＜a＜6，故C正确，对于D，因为x+y﹣xy+8＝0，所以（x﹣1）（y﹣1）＝9，所以x=9y−1+1(y＞1)，所以x+4y=9y−1+1+4y=9y−1+4(y−1)+5≥17，当且仅当9y−1=4(y−1)，即y=52时取等号，所以x+4y的最小值为17，故D错误．故选：ABD．12．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={2x−1，x＞2x2−2x+2，0＜x≤2，下列叙述正确的是（）A．当2√2−2＜k＜1时，关于x的方程f（x）＝kx有6个不相等的实数根B．当x1＜x2＜﹣2时，有f（x1）＞f（x2）C．当0＜x≤a时，f（x）的最小值为1，则1≤a≤3D．若关于x的方程f(x)=32和f（x）＝m的所有实数根之和为零，则m=−32解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜﹣2时，﹣x＞2，f（x）＝﹣f（﹣x）=−2−x−1=2x+1，当﹣2≤x＜0时，0＜﹣x≤2，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）+2]＝﹣x2﹣2x﹣2，当x＝0时，f（x）＝0，所以，f（x）={2x−1，x＞2x2−2x+2，0＜x≤2 0，x=0−x2−2x−2，−2≤x＜02 x+1，x＜−2，画出函数f（x）的图象，如图所示：不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有6个不相等的实数根，理由如下：如图1，当k＝1时，直线l1：y＝x与f（x）的图象有5个交点，联立y＝kx与f（x）＝x2﹣2x+2，x2﹣（2+k）x+2＝0，由Δ＝（2+k）2﹣8＝0且k＞0得：k＝2√2−2，且此时y＝（2√2−2）x与f（x）＝﹣x2﹣2x﹣2联立，﹣x2﹣2√2x﹣2＝0，其中Δ=(−2√2)2−8＝0，所以k＝2√2−2时，直线l2：y＝（2√2−2）x与两抛物线刚好相切，有5个交点，则当2√2−2＜k＜1时，y＝kx与f（x）的图象有7个交点，即关于x的方程f（x）＝kx有7个不相等的实数根，选项A错误；当x＜﹣2时，y＝f（x）单调递减，当x1＜x2＜﹣2时，有f（x1）＞f（x2），选项B正确；由图象可知：f（1）＝1，令2x−1=1，解得：x＝3，当0＜x≤a时，f（x）的最小值为1，则1≤a≤3，选项C正确；令f（x）=32，当0＜x≤2时，x2﹣2x+2=32，设两根为x1，x2，则x1＝1+√22，x2＝1−√22，当x＞2时，2x−1=32，解得：x3=73，故f（x）=32的所有实数根之和为x1+x2+x3=133，当x＜﹣2时，2−133+1=−35，当m =−35时，方程f （x ）=32和f （x ）＝m 的所有实数根之和为零，由对称性可知m =−32时，方程f （x ）=32和f （x ）＝m 的所有实数根之和为零， 综上：m =−35或m =−32，选项D 错误． 故选：BC ．三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若log （a ﹣1）（5﹣a ）有意义，则实数a 的取值范围是 ． 解：要使log （a ﹣1）（5﹣a ）有意义， 则{5−a ＞0a −1＞0a −1≠1，解得1＜a ＜5且a ≠2，即实数a 的取值范围是（1，2）∪（2，5）． 故答案为：（1，2）∪（2，5）． 14．不等式1x−2＞−2的解集是 ．解：由1x−2＞−2⇔2x−3x−2＞0⇔(2x −3)(x −2)＞0，解得x ＜32或x ＞2，则不等式的解集为(−∞，32)∪(2，+∞)． 故答案为：(−∞，32)∪(2，+∞)．15．若函数f （x ）满足∀x ∈R ，f （x +1）＝f （1﹣x ），且∀x 1，x 2∈[1，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0(x 1≠x 2)，若f （m ）＞f （﹣1），则m 的取值范围是 ． 解：因为∀x 1，x 2∈[1，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0(x 1≠x 2)，所以f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∀x ∈R ，f （x +1）＝f （1﹣x ），则函数图像关于x ＝1对称， 若f （m ）＞f （﹣1），则|m ﹣1|＞|﹣1﹣1|，解得m ＞3或m ＜﹣1． 所以m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．16．设a ，b ∈Z ，若对任意x ≤0，都有（ax ﹣3）（﹣x 2+b ）≤0成立，则a +b 的值是 ． 解：若a ≥0时，当x ≤0时，ax ﹣3＜0，此时﹣x 2+b ≥0 恒成立，即x 2≤b ， 不存在这样的实数b ；当b ≤0时，﹣x 2+b ≤0，此时ax ﹣3≥0即ax ≥3对任意x ≤0恒成立，不存在这样的实数a ；所以a ＜0，b ＞0，当a ＜0，b ＞0时，函数y ＝ax ﹣3是减函数，与x 轴的交点为 (3a，0)， 函数y ＝﹣x 2+b 与x 轴的交点为 (−√b ，0)，(√b ，0)，在同一直角坐标系内，画出函数 y ＝ax ﹣3，y ＝﹣x 2+b 的图象，如下图所示：数形结合可得，若满足题意，则 −√b =3a，即a 2b ＝9， 又a ，b ∈Z ，a ＜0，b ＞0，所以{a =−3b =1或{a =−1b =9，所以a +b ＝﹣2或a +b ＝8． 故答案为：﹣2或8． 四、解答题17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝{x |m ＜x ＜2m +3}． （1）求集合A 中的所有整数；（2）若（∁R A ）∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：（1）不等式x 2﹣2x ﹣8＜0⇒（x ﹣4）（x +2）＜0， 解得﹣2＜x ＜4， 得A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，∴集合A 中的所有整数为﹣1，0，1，2，3； （2）∵（∁R A ）∩B ＝∅，∴B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ≥2m +3，即m ≤﹣3，B ⊆A 成立； ②当B ≠∅时，由B ⊆A ，有﹣2≤m ＜2m +3≤4， 解得−2≤m ≤12，所以实数m 的取值范围为(−∞，−3]∪[−2，12]． 18．（12分）设m 为实数，f （x ）＝（m +1）x 2﹣mx ﹣1． （1）当m ＝﹣3时，解不等式f （x ）≤0；（2）若不等式f （x ）+m ＞0的解集为∅，求实数m 的取值范围． 解：（1）当m ＝﹣3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ﹣1≤0， 解得x ≥1或x ≤12，故不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤12}；（2）由题意可得，（m +1）x 2﹣mx +m ﹣1≤0恒成立， 则{m +1＜0Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≤−2√33，故m 的取值范围为（﹣∞，−2√33]． 19．（12分）已知函数f(x)=mx+nx 2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝1． （1）求m ，n 的值；判断函数f （x ）的单调性并用定义加以证明； （2）求使f （a ﹣1）+f （a 2﹣1）＜0成立的实数a 的取值范围． 解：（1）解法一：因为函数f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数， 所以f （0）＝0，即n ＝0； 又f （1）＝1，即m 1+1=1，解得m ＝2；经检验m ＝2，n ＝0时，f(x)=2xx 2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数．解法二：f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即−mx+n x 2+1=−mx−n x 2+1，则n ＝0，所以f(x)=mxx 2+1， 又因为f （1）＝1，得m ＝2，所以m ＝2，n ＝0； 设∀x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 12+1−2x 2x 22+1=2x 1(x 22+1)−2x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=2(x 2−x 1)(x 1x 2−1)(x 12+1)(x 22+1)； 因为﹣1≤x 1＜x 2≤1，所以x 2−x 1＞0，x 1x 2−1＜0，(x 12+1)(x 22+1)＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在[﹣1，1]上是增函数；（2）由（1）知f(x)=2xx 2+1，f （x ）在[﹣1，1]上是增函数， 又因为f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，由f （a ﹣1）+f （a 2﹣1）＜0，得f （a ﹣1）＜f （1﹣a 2）， 所以{−1≤a −1≤1−1≤a 2−1≤1a −1＜1−a 2，即{0≤a ≤2−√2≤a ≤√2−2＜a ＜1，解得0≤a ＜1．所以实数a 的取值范围是[0，1）．20．（12分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产x （x ∈N *）台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则t =12x 2+60x ；若年产量不小于100台，则t =152x +24200x−4700，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完． （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？解：（1）由题意，当0＜x ＜100时，y ＝150x ﹣t ﹣600＝150x −12x 2−60x −600=−12x 2+90x −600； 当x ≥100时，y ＝150x ﹣t ﹣600＝150x ﹣152x −24200x +4700−600=−2x −24200x+4100． ∴y ={−12x 2+90x −600，0＜x ＜100，x ∈N ∗−2x −24200x +4100，x ≥100，x ∈N ∗； （2）当0＜x ＜100，x ∈N *时，x ＝90，y max ＝3450； 当x ≥100，x ∈N *时，y ＝4100﹣（2x +24200x ）≤4100−2√2x ⋅24200x=4100﹣440＝3660． 当且仅当2x =24200x，即x ＝110时，y max ＝3660， ∵3660＞3450，∴当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元． 21．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣1）x +3（a ≠0）， （1）若不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3），求2a +b 的值； （2）若f （1）＝5，b ＞﹣1，求1|a|+4|a|b+1的最小值；（3）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＜﹣2x +1的解集．解：（1）由不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3）， 得：方程ax 2+（b ﹣1）x +3＝0的两根为﹣1，3且a ＜0， 由根与系数的关系可得a ＝﹣1，b ＝3，所以2a +b ＝1． （2）由已知得f （1）＝5，a +b ＝3，a +（b +1）＝4， 则1|a|+4|a|b+1=a+(b+1)4|a|+4|a|b+1=a 4|a|+b+14|a|+4|a|b+1≥a 4|a|+2√b+14|a|⋅4|a|b+1=a 4|a|+2，当a ＞0时，a |a|=1，所以1|a|+4|a|b+1≥94（当且仅当a =45，b =115时等号成立）； 当a ＜0时，a|a|=−1，所以1|a|+4|a|b+1≥74（当且仅当a =−43，b =133时等号成立）； 所以1|a|+4|a|b+1的最小值为74；（3）由f （x ）＜﹣2x +1得ax 2+（b ﹣1）x +3＜﹣2x +1， 又因为b ＝﹣a ﹣3，所以不等式f （x ）＜﹣2x +1化为ax 2﹣（a +2）x +2＜0，即（x ﹣1）（ax ﹣2）＜0， 当a ＜0时，2a ＜1，原不等式⇔(x −2a )(x −1)＞0⇔x ＜2a 或x ＞1．若a ＞0，原不等式⇔(x −2a )(x −1)＜0．此时原不等式的解的情况应由2a 与1的大小关系决定，所以①当a ＝2时，不等式(x −2a)(x −1)＜0的解集为∅； ②当a ＞2时，2a ＜1，不等式(x −2a)(x −1)＜0⇔2a＜x ＜1；③当0＜a ＜2时，2a＞1，不等式(x −2a )(x −1)＜0⇔1＜x ＜2a ．综上所述，不等式的解集为： ①当a ＜0时，{x|x ＜2a 或x ＞1}； ②当0＜a ＜2时，{x|1＜x ＜2a}； ③当a ＝2时，∅；④当a ＞2时，{x|2a ＜x ＜1}．22．（12分）设a ＞1，m ∈R ，f(x)=a mx ，当x ∈[a ，2a ]时，f （x ）的值域为[a 2，a 3]． （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使（x +t ）2+2（x +t ）≤（a +1）x 对任意的x ∈[0，s ]恒成立，求实数s 的取值范围．解：（1）∵f （x ）在[a ，2a ]上单调递减且值域为[a 2，a 3]， ∴f(x)max =f(a)=a m a =a m−1=a 3，f(x)min =f(2a)=a m 2a =12a m−1=a 2， ∴{a m−1=a 312a m−1=a 2，即{m −1=3a 3=2a 2，解得：{m =4a =2， ∴a ＝2；（2）由（1）知：（x +t ）2+2（x +t ）≤3x 对任意的x ∈[0，s ]恒成立， 整理得：x 2+（2t ﹣1）x +t 2+2t ≤0对任意的x ∈[0，s ]恒成立， 令μ（x ）＝x 2+（2t ﹣1）x +t 2+2t ，则μ（x ）max ≤0，x ∈[0，s ]， 又μ（x ）max ＝max {μ（0），μ（s ）}， ∴{μ(0)=t 2+2t ≤0μ(s)=s 2+(2t −1)s +t 2+2t ≤0， 由μ（1）＝t 2+2t ≤0，得﹣2≤t ≤0， 令g （t ）＝t 2+（2s +2）t +s 2﹣s ，则问题转化为：存在t ∈[﹣2，0]，使得g （t ）≤0，则当t ∈[﹣2，0]时，g （t ）min ≤0． ∵s ＞0，∴g （t ）的对称轴t ＝﹣s ﹣1＜﹣1，①当﹣1﹣s ＜﹣2，即s ＞1时，g(t)min =g(−2)=s 2−5s ≤0，解得：0≤s ≤5，∴1＜s ≤5； ②当﹣2≤﹣s ﹣1＜﹣1，即0＜s ≤1时，g （t ）min ＝g （﹣1﹣s ）＝﹣1﹣3s ≤0，解得：s ≥−13，∴0＜s ≤1．综上所述：实数s 的取值范围为（0，5]．。

高一第一学期期中考试数学参考答案一、选择题： A BC A B D二、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请将答案写在答题卷的横线上）｛－1｝ ]4,0[ )2,2( 92<<-a (3)+∞， ]3,23[ 21- 543<<a 3,1,1-=m 0 )1,21( ① ③ 三、19.解：（1）由01>+x 得1->x ，则{=A }1|->x x ………2分由|12||{--==x y y B 得{}|0B y y =≤…… 4分∴A B =}01|{≤<-x x ………6分（2） 因为集合M 只有一个元素，则当0a =时，方程210x +=只有一个实数解，符合题意；…8分当0a ≠时，44()0a ∆=--= 解得1a =- ………10分∴{}1,0N =- 则N ⊆A∩B …………12 分20．解:（1）当0 0>=x a 时，解为 …2分（2）当0>a 时，244a -=∆①时，时，即100<<>∆a 方程022=+-a x ax 的两根为a-a 211±， ∴不等式的解为a-a x a -a 221111+<<- ②φ∈==∆x a 时，此时时，即10③φ∈><∆x a 时，此时时，即10 … 6分(3) 当0<a 时，①时，时，即010<<->∆a ∴不等式的解为a-a x a -a x 2211,11->+<或 ②110-≠∈-==∆x R x a ，且时，此时时，即 ③R x a ∈-<<∆时，此时时，即10 …10分 综上(略) … 12分21． (1) (2,+∞) (左端点可以闭)(2)x =2时，y min =4(3) 设0<x 1<x 2<2，则f (x 1)- f (x 2)= )44()()4(4(21212211x x x x x x x x -+-=+-+=41)((44)(2121211221x x x x x x x x x x --=-+- ，∵0<x 1<x 2<2 ∴x 1-x 2<0,0<x 1x 2<4 ∴1421>x x ∴04121<-x x ，∴ f (x 1)- f (x 2)>0 ∴f (x 1)> f (x 2)，∴f (x)在区间(0,2)上递减. (4) 有最大值-4，此时x= -2(5)图略22.解： 0≤x≤9, 0≤x 2≤9⇒0≤x≤3, 即函数F （x ）的定义域[0,3] ………2分f （x ）＝2x －4 ⇒ F （x ）＝2x 2－2mx ＋4m －4该函数的对称轴是x ＝2m ， ……… 3分10当2m ≤0即m≤0时， 函数F （x ）在[0,3]上是增函数 F （x ）max ＝F （0）＝4m －4, 故4m －4＝4⇒m ＝2这与m≤0矛盾，故舍去。

江苏省南菁高级中学2017届高三上学期期中考试时间：120分钟 分值：160分一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1．过点(2，-2)，(-2，6)的直线方程是 ．2．命题“∃x ∈[-1，1]，x 2-3x ＋1＜0”的否定是 ．3．椭圆171622=+y x 的准线方程为 ． 4. 某人5 次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ,8,10, 11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ___．5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是 ．6．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则使得a ∈{a |－a 2＋a +2＞0}的概率为_______．7．已知△ABC 和△DEF ，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的 条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．8．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积是 ．9. 定义某种新运算⊗：a S =⊗b 的运算原理如下边流程图所示，则5⊗4－3⊗4＝ ．10．已知变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，则2z x y =+的最大值______ _____．11．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为23，一条准线方程为y ＝－1，则其渐近线方程为 ．12．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,M N 两点， 以MN 为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于 ．13．若“(x －a )(x －a －1)＜0”是“1＜2x ＜16”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率21=e ，A ,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ,B 的一点，直线P A ,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）. 二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题14分）.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1) 当a ＝4时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，4]，f (x )>6恒成立，试求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知0a >且1a ≠.设命题:p 函数x y a =是定义在R 上的增函数；命题:q 关于x 的方程210x ax ++=有两个不等的负实根.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.17.（本小题15分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2) 根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；(3) 用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50,60)的概率．18．（本题满分15分）(文科做)已知椭圆：（）的焦距为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程；Γ12222=+by a x 0>>b a 4Γ)2,2(A Γ（2）设、为椭圆上关于轴对称的两个不同的动点，求的取值范围． （理科做）已知圆M : ,1)2(22=-+y x 直线1:-=y l ，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切.设动圆圆心P 的轨迹为E.（1） 求E 的方程；（2） 若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且16-=⋅，求证：直线AB 恒过定点.19．（本小题16分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km 时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为x km.P Q Γy AQ AP ⋅(1) 试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；(2) 若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每km 的收益y 取得最大值？20．（本小题16分）设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切．(1) 求证：1a 2＋1b 2=1； (2) P 是椭圆E 上异于A 1、A 2的一点，直线P A 1、P A 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3) 直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM →·ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．参考答案一、填空题1．2x ＋y －2＝0 2．∀x ∈[－1，1]，x 2－3x ＋1≥0 3．161633x x -==或 4．2 5．y 2＝2x 或x 2＝－2y 6．0. 3 7．充分不必要 8．24 9. 9 10. 1211．y ＝±33 x 12． 12- 13．1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 14．71二、解答题15．(本小题14分)解：(1) 由a ＝4，∴f (x )＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x＋2≥6，当x ＝2时，取得等号． 即当x ＝2时，f (x )min ＝6.……………………………………………………6分 (没有写等号成立的条件扣2分，如用函数单调性需要证明）(2) x ∈[1，4]，x 2＋2x ＋a x>6恒成立，即x ∈[1，4]，x 2＋2x ＋a >6x 恒成立． 等价于a >－x 2+4x ，当x ∈[1，4]时恒成立，令g (x )＝－x 2+4x =-(x -2)2+4，x ∈[1，4]，………………………………10分 ∴a >g (x )max ＝g (2)=4，即.∴a 的取值范围是a >4…………………………………………14分16.解：p 真：依题意， 1a > ………………4分q 真：0x < 12a x x∴=--> （法二：002(0)0a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ 2a ∴>）用韦达也可以 …………………6分p 或q 为真，p 且q 为假,p q ∴一真一假 …………………7分10122a a a a ><<⎧⎧∴⎨⎨≤>⎩⎩或 …………………11分 12a ∴<≤ …………………14分17.（本小题15分）解：(1) 分数在[70,80)内的频率为1-(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1-0.7＝0.3.又0.310＝0.03，补出的图形如下图所示．…………………4分平均分为：x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答：估计这次考试的平均分是71分．…………………8分由题意，[40,50)分数段的人数为0.10×60＝6人；[50,60)分数段的人数为0.15×60＝9人； 在[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40,50)分数段抽取2人，分别记为m ，n ；[50,60)分数段抽取3人，分别记为a ，b ，c ，设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,60)为事件A ，则基本事件空间包含的基本事件有(m ，n )、(m ，a )、(m ，b)、(m ，c)、…、(b ，c)共10种，则事件A 包含的基本事件有(m ，a )、(m ，b)、(m ，c)、(n ，a )、(n ，b)、(n ，c)、(a ，b)、(a ，c)、(b ，c)共9种，所以P(A)＝109=0.9.…………………………………………15分18．（本题满分15分）(文)（1）解法一：由已知得， …………（1分）因为椭圆过点，所以 …………………（3分）解得 …………………………………………………………（5分） 所以，椭圆的方程为． ………………………（7分） 解法二：由已知得，所以椭圆的两个焦点是，，……（1分） 所以，故， …………（5分）2=c Γ)2,2(A ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,4,1242222b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==.4,822b a Γ14822=+y x 2=c Γ)0,2(1-F )0,2(2F 24223||||221=+=+=AF AF a 22=a所以． ………………………………………（6分）所以，椭圆的方程为． ………………………………（7分） （2）设，则（）， ，， ………………（8分）由，得，所以 ， ................................................（12分） 由题意，，所以． ...............（14分） 所以，的取值范围是． .....................（15分） (理)解：（1）设P (x ,y)，则1)1()2(22++=-+y y x (3)所以y x 82=即为E 的方程 (6)（2）设直线AB ：),(),,(,2211y x B y x A b kx y +=讲直线AB 的方程带入y x 82=中得0882=--b kx x ，所以b x x k x x 8,82121-==+…………………………………………（10） 16864221212121-=+-=+=+=⋅b b x x x x y y x x ，所以4=b .........（13） AB 方程为：4+=kx y 所以直线AB 恒过点（0,4） (15)19. 解：(1) F (x )＝⎩⎨⎧≥-+≤<3),3(4.2730,7x x x ， 即F(x )＝⎩⎨⎧≥-≤<3,2.04.230,7x x x .………………………………2分 设折旧费z ＝k x 2，将(100,0.1)代入，4222=-=c a b Γ14822=+y x ),(y x P ),(y x Q -0≠x )2,2(--=y x AP )2,2(---=y x AQ 14822=+y x 2228y x -=2223)2(4222--=-+-=⋅y y y x AQ AP 383232-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y 22<<-y 241038323382+<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-y ⋅⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-2410,38得0.1＝1002k 解得k ＝1105…………………………………4分 ，所以C (x )＝2.3＋1.6x ＋1105x 2.…………………………………………………………6分 (2) 由题意得y ＝⎩⎨⎧ 4.7x －1105x －1.6， 2≤x ≤30.8－⎝⎛⎭⎫2.5x ＋1105x ， x >3，…………………9分 ①当x >3时，由基本不等式，得y ≤0. 8－225106＝0.79(当且仅当x ＝500时取等号)… 12分 ②当2≤x ≤3时，由y 在[2,3]上单调递减， 得y max ＝4.72－2105－1.6＝0.75－2105<0.79.………………………………………15分 答： 该市出租汽车一次载客路程为500km 时，每km 的收益y 取得最大值．……16分20．（本小题16分） (1) 证明：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A 1、A 2与B 分别为椭圆E 的左右顶点与上顶点，所以A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，B (0，b)，直线A 2B 的方程是x a ＋y b＝1. 因为A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，所以11a 2＋1b 2＝1， 即1a 2＋1b2＝1.…………………………4分 (2) 解：设P (x 0，y 0)，则直线P A 1、P A 2的斜率之积为k PA1·k PA2＝20002200013y y y x a x a x a ⋅==-+--· 即22002231x y a a +=，而2200221x y a b+=， 所以b 2＝13a 2.…………………8分 结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝43. 所以，椭圆E 的方程为x 24＋3y 24＝1………………………10分 (3) 解：设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．① 若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，由y ＝kx ＋m 代入22221x y a b+=，得2222()1x kx m a b ++=.化简，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0(Δ＞0)．∴ x 1x 2＝2222222a m ab b a k -+， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝222222222a k m a k b b a k -+＋k m 22222()a km b a k -+＋m 2＝22222222b m a b k b a k-+. 因为OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.代入，得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0.结合(1)的1a 2＋1b 2＝1，得m 2＝1＋k 2. 圆心到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝1，所以直线l 与圆C 相切……………14分 ② 若直线l 的斜率不存在，设直线l ：x ＝n .代入22221x y a b+=，得y ＝±b 1－n 2a 2. ∴ |n |＝b1－n 2a 2，∴ a 2n 2＝b 2(a 2－n 2)．………………………………………16分。

江苏省南菁高级中学高一（1）、（2）班期中化学试卷考试时间100分钟共120分原子量：H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 Cl-35.5 S-32 Zn-65 Mg-24 Fe-56 Cu-64 Ba-137一、选择题（每题有一个或两个答案，每小题3分，共60分）1．中国科学技术大学的钱逸泰教授等以CCl4和金属钠为原料，在700℃时制造出纳米级金刚石粉末。

该成果发表在世界权威的《科学》杂志上，立刻被科学家们高度评价为“稻草变黄金”。

同学们对此有下列一些理解，其中错误的是A．金刚石属于金属单质 B．制造过程中元素种类没有改变C．CCl4是一种化合物 D．这个反应是置换反应2．苹果汁是人们喜爱的饮料。

由于此饮料中含有Fe2＋，现榨的苹果汁在空气中会由淡绿色变为棕黄色。

若榨汁时加入维生素C，可有效防止这种现象发生。

这说明维生素C具有A．氧化性 B．还原性 C．碱性 D．酸性3．下列物质的分类正确的是4．下列除去杂质的方法错误的是A．除去KCl中混有的KI：溶于水通入过量氯气，蒸发结晶B．除去BaSO4固体中混有的BaCO3：加过量盐酸后，过滤C．除去Na2CO3固体中的NaHCO3：加热至恒重D．除去CO2中混有的HCl：将气体通过饱和Na2CO3溶液5．认识反应条件对化学反应的影响，对学好化学具有重要意义，下列说法中正确的是A．偏铝酸钠溶液中加入一定量的盐酸，最终一定得到Al(OH)3沉淀B．钠在敞口容器中存放或在空气中燃烧的产物都是Na2O2C．向NaOH溶液中通入少量CO2或过量CO2都只生成Na2CO3D．氯化铝和少量的氨水或过量的氨水反应都得到Al(OH)3沉淀6. 在天平的左右两个托盘上放有两个烧杯，两个烧杯中分别盛有盐酸和氢氧化钠溶液，天平处于平衡状态，当分别向两烧杯中加入等质量的铝(酸和碱都是足量的)充分反应后A．天平保持平衡 B．左高右低 C．左低右高D．无法确定7．氧化还原反应中，水的作用可以是氧化剂、还原剂、既是氧化剂又是还原剂、既非氧化剂又非还原剂等，下列反应与Br2＋SO2＋2H2O=H2SO4＋2HBr相比较，水的作用不相同的是①2Na2O2＋2H2O=4NaOH＋O2↑②4Fe(OH)2＋O2＋2H2O=4Fe(OH)3③2F2＋2H2O=4HF＋O2④2Al＋2NaOH＋2H2O=2NaAlO2＋3H2↑A．①③ B．①④ C．③④ D．②④8．设N A代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．室温下，32gO2和O3的混合气体中含有的氧原子数为2N AB．浓盐酸与MnO2共热产生22.4L Cl2时，转移电子数为2N AC． 0.5 mol·Lˉ1MgCl2溶液中，含有Clˉ个数为N AD．18 g NH4+ 中所含的质子数为10N A9．在强酸性溶液中，下列各组离子不能大量共存的是A．Na＋、K＋、SO42ˉ、Clˉ B．Na＋、Clˉ、SO42ˉ、Fe3+C．Ba2＋、K＋、HCO3ˉ、NO3ˉ D．Ba2＋、Na＋、SO42ˉ、AlO2ˉ10．在200mL氯化镁和氯化铝的混合液中，Mg2+的物质的量浓度为0.2mol/L，Cl-的物质的量浓度为1.3 mol/L。

江苏省南菁高级中学2017—2018学年第一学期高三数学摸底考试试卷一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计80分.请把答案填写在答题．．卷．相应的位．．．．置上．．. 1．若复数a ＋3i 1＋2i(a ∈R , i 为虚数单位)错误！未找到引用源。

是纯虚数, 则实数a 的值为____▲____．2．矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，以BC 所在直线为轴旋转一周，则形成几何体的侧面积为 ▲ ． 3．已知集合A ＝{0, 1}, B ＝{a 2, 2a }, 其中a ∈R , 我们把集合{x | x ＝x 1＋x 2, x 1∈A , x 2∈B }记作A ＋B ， 若集合A ＋B 中的最大元素是2a ＋1，则a 的取值范围是_____▲_____．4．若命题“∃x ∈R ，x 2+(a −1)x +1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是_____▲_____． 5．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于D 内的任意x 1，x 2，…，x n 有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤ ，若y ＝sin x 在区间(0, π) 上是凸函数，那么根据上述结论，在△ABC 中sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是___▲_____．6．若从集合{}1,1,2,3-中随机取出一个数m ，放回后再随机取出一个数n ，则使方程22221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为_____▲_____．7．设函数f (x )＝cos x ，把f (x )的图象向右平移m (0＜m ＜π)个单位后，图象恰好为函数y ＝－f ' (x )的图象，则m 的值为__▲___．8．设a ＞0，b ＞0. 若3是3a 与3b 的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为 ▲ ．9．等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－12a 10的值为_____▲____．10．已知P 是直线x +y +6=0上的动点，P A , PB 是圆x 2+y 2−2x −2y +1=0的两条切线，A , B 为切点，C 为圆心，那么四边形P ACB 面积最小时P 点的坐标为 ____▲_____． 11．函数f (x )的定义域为R ，f （－1）＝2，对任意x ∈R ，f ' (x )＞2，则f (x )＞2x+4的解集为______▲______． 12．在△ABC 中，∠ACB ＝60°, sin A ∶sin B ＝8∶5, 则以A 、B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为___▲___． 13．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为____▲_____．14．已知二次函数f (x )＝ax 2+x . 对于∀x ∈[0, 1]，都有 |f (x )|≤1成立，则实数a 的取值范围是____▲____． 15．若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为______▲______． 16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，且f (－3)＝－2， 当x 1,x 2∈[0，2]且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则给出下列命题：① 函数y ＝f (x )图象的一条对称轴为x ＝2； ② f (2011)＝－2；③ 函数y ＝f (x )在[−6, −4]上为减函数； ④ 方程f (x )＝0 在[−6，6]上有4个根 ， 上述命题中的所有正确命题的序号是 ▲ ．二、解答题：本大题共5小题，共计80分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17．（本题满分16分）(注意：高三(1)班同学只做（2）（3）小题，其余班级只做（1）（3）小题)（1）已知矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3（2）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E .OE 交AD 于点F .① 求证：DE 是⊙O 的切线；② 若AC AB = 35，求AFDF的值.（3）在极坐标系中，圆C 的方程为)4ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,12x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．18．（本题满分16分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19．（本题满分16分）是否存在数列}{n b 使得n C n b C n b C n b C n b n n n n n n=-++-+-+-)2()2()2()2(332211 对一切n ∈N *成立？若存在，求数列}{n b 的通项公式；若不存在，请说明理由。

江苏省南菁高级中学2017—2018学年第一学期期中考试高一数学试卷命题人 李永永 审题人 张 琳一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，注：答案写在答卷上）1. 已知{}1,2,3,4U=，{}1,4A =，则U C A = ▲ ．2. 函数x x y ln 2+-=的定义域为 ▲ ．3. 函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 ▲ ．4. 已知1sin 4α=，且(,)2παπ∈，则tan α＝ ▲ ．5. 已知函数()25x f x x =+-，方程()0f x =的解所在区间是(),1n n +，n Z ∈，则n = ▲ ．6. 函数2()23f x x x =--的单调增区间是 ▲ ．7. 设20.3a =，0.52b =，2log 4c =，则实数,,a b c 的大小关系是 ▲ ．（按从小到．．．大．的顺序用不等号连接） 8. 已知幂函数()22231m m y m m x --=--在x ∈(0,+∞)时为减函数，则该幂函数的解析式为▲ ． 9. 计算：2ln3325(0.125)e-++的值为 ▲ ．10. 化简：sin()cos()tan()παπαπα-+--= ▲ ．11. 函数2221()2xx y -+=的值域是 ▲ ．12. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 ▲ ．13. 已知函数()22121⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，x kx x f x x x ，若存在a ，∈R b ，且≠a b ，使得()()=f a f b 成立，则实数k 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数)(x f y =是定义域为R 上的偶函数，当0≥x 时，,2,432120,41)(2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤-=x x x x f x若关于x 的方程[]R a ax af x f ∈=++,0167)()(2有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15. （本小题满分14分）设,{|13},{|24},{|1}U R A x x B x x C x a x a ==≤≤=<<=≤≤+，a 为实数． （1）分别求,()U A B A C B ； （2）若B C C =，求a 的取值范围．16．（本小题满分14分）（1）求函数2y x =+，[0,2]x ∈的值域； （2）2cos501cos 50--.17. （本小题满分15分） 已知函数 f (x )＝2ax ＋1x（a ∈R ）． （1）当12a =时，试判断f (x )在]1,0(上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的(0,1]x ∈，使得f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分15分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且图象的最高点为(4,4)A ；观光带的后一部分为线段BC ．（1）求函数为曲线段OABC 的函数(),[0,10]y f x x =∈的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带仅由线段．．．．MQ ，QP ，PN 构成．．，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？19. （本小题满分16分）已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. (1) 当5a =时，解不等式()0f x >；(2) 若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3) 设0a >，若存在1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.20. （本小题满分16分）设函数()y f x =的定义域为D ，若存在正常数k ，使得对任意x ∈D .等式()()2kf kx f x =+恒成立，则称函数()y f x =具有性质()P k .(1) 函数2()log f x x =是否具有性质()P k ，若具有，请给出k 的一个值；若不具有，请说明理由；(2) 设21ea e <<，函数()log a g x x =. ①试比较2()ln g a 与1ln a的大小关系； ②证明：函数()log a g x x =具有性质()P k .江苏省南菁高级中学2017—2018学年第一学期期中考试高一数学试卷参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.{}2,3 2. ]2,0( 3.（2,1） 4. 5. 16. ()1,1-和()3,+∞(除∞开，其余可闭) 7. a b c << 8. 3y x -= 9. 11 10. 2sin α11. 1(0,]212. 35,0,22⎛⎫⎡⎫-∞-⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭13. ()()23-∞+∞，，∪ 14. )916,47(二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15. （本小题满分14分） 15. 解：（1）A ∩B ={x |2<x ≤3} ………2分U B ={x |x ≤2或x ≥4} ………4分A∪（U B）= {x |x ≤3或x ≥4} ………6分 （2）∵B∩C=C ∴C ⊆B………8分 ∴2<a <a +1<4 …11分 ∴2<a <3…14分16．（本小题满分14分）16．解：（1）t =，则22,x t t =-∈ 原函数可化为2244y t t =-++，t ∈ ……4分当0t =时，y 取得最小值4；当1t =时， y 取得最大值6 所以原函数的值域为[4,6] ……………7分（2）2cos501cos 50--＝2cos50sin 50-……10分 ＝cos50sin50cos50sin50--＝sin 50cos50cos50sin 50--＝－1. …………14分17. （本小题满分15分） 17.解：（1）∵12a =∴1()f x x x=+，()f x 在]1,0(上的单调递减 …………1分 证明：取任意的21,x x ，且1021≤<<x x(*))1()(11)()(212121211221221121x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=--+=-…………5分∵1021≤<<x x ∴021<-x x ，1021<<x x得 (*)式大于0 ，即0)()(21>-x f x f 所以()f x 在]1,0(上的单调递减 …7分 （2）由f （x ）≥6在]1,0(上恒成立，得2ax ＋1x≥6 恒成立. …8分 即2)1()1(62xx a -≥),1[)1(+∞∈x…10分 9))1()1(6(max 2=-⇒xx…13分2992≥≥⇒a a 即…………15分18. （本小题满分15分） 18. 解：（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为(4,4)A ，0164442c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩ ，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩（也可以设成顶点式） 所以，当[0,6]x ∈时，2124y x x =-+ ……………3分因为后一部分为线段BC ，(6,3),(10,0)B C ，当[6,1x ∈时，31542y x =-+ ……5分综上，212,[4()315,(6,10]42x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩…7分（2）设(0O M t t=<≤，则22112,244MQ t t PN t t =-+=-+ ………9分由213152442PN t t x =-+=-+， 得2181033x t t =-+，所以点218(10,0)33N t t -+ … ……11分所以，绿化带的总长度PN QP MQ y ++=103161)1031131()241(2222++-=+-++-=t t t t t t……13分 当1=t 时，661max =y 所以，当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长. …15分19. （本小题满分16分）19.解：（1）由21l o g 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭． (3)分（2）依题意，221log ()log [(4)25]a a x a x +=-+-，所以()14250a a x a x+=-+->①，可得()()24510a x a x -+--=，(1)[(4)1]0x a x +--=② .………….4分 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． .………….6分 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当11240a a x +=->，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当2110a a x +=->，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4． .………….9分（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log ()log ()a a x x +>+， 所以f (x )在(0,+∞)为减函数， .………….11分 所以f (x )在区间[t ,t +1]上最大值与最小值分别为f (t ),f (t +1).2211()(1)log ()log ()11f t f t a a t t -+=+-+≤+则()2110at a t ++-≥在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解. ….13分因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1t =时，y 有最大值2a ，由20a ≥，得0a ≥．得0a >故a 的取值范围为()0,+∞． ………….16分20. （本小题满分16分）20. 解：(1)要使函数2()log f x x =具有性质()P k ，即等式()()2kf kx f x =+成立， f (kx )= log 2(kx )= log 2k +log 2x =k 2+log 2x 必须恒成立，即关于k 的方程log 2k = k2有解. ……3分显然k =2或k =4满足上述方程.故函数2()log f x x =具有性质P (2)或P (4). ……………5分（2）①因为1<a <2e e ,所以0<ln a <2e ，于是2ln a >e ， ………..7分法一：ln 2ln a >1， 所以2ln12121ln ()log 0ln ln ln ln ln a a g a a a aa--=-=>故21().ln ln g a a> ……………10分法二：说明g (x )=log a x 为增函数，21()()log ln ln a g g e e a a>== .……………10分 ②()()2k g kx g x =+即log log a a k x +log 2a kx =+，得log 2a k k =，则问题转化为证明：关于k 的方程log 2a kk =有解.考查函数()log ().22a x xh x x g x =-=- ………12分只要证明函数h (x )存在零点. 由①知，212()()0ln ln ln h g a a a=-<而log 0h ==> ………14分 又因为函数h (x )连续，所以函数h (x )存在零点. 故函数()log a g x x =具有性质P (k ). ……………16分。

江苏省无锡市江阴南菁中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若正项数列{a n}的前n项和为S n，满足，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用，化简，即可得到，令，所以，,令，所以原式为数列的前1000项和，求和即可得到答案。

【详解】当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，由，可得①，所以②②—①可得，化简可得由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，令，所以，令所以原式故答案选A【点睛】本题主要考查数列通项公式与前项和的关系，以及利用裂项求数列的和，解题的关键是利用，求出数列的通项公式，有一定的综合性。

2. 已知{a n}是等比数列，a4·a7=－512，a3+a8=124，且公比为整数，则公比q为( )A．2 B．-2C． D．－参考答案：B略3. 已知函数的最大值不大于，又当时，，则的值为( )A． 1 B. C.D .参考答案：D略4. 若，则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D.参考答案：D5. （5分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．y=参考答案：D考点：判断两个函数是否为同一函数．分析：函数y=x的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应法则是否相同即可．解答：A．函数的定义域{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．C．函数的定义域{x|x＞0}，两个函数的定义域不同．D．函数的定义域为R，对应法则相同，所以成立．故选D．点评：本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，只有判断函数的定义域和对应法则是否一致即可．6. 圆锥的表面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．B．C．D．参考答案：7. 直线2x﹣y﹣2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是（）A．﹣x+2y﹣4=0 B．x+2y﹣4=0 C．﹣x+2y+4=0 D．x+2y+4=0参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线2x﹣y﹣2=0绕它与y轴的交点（0，﹣2）逆时针旋转所得的直线方程为：y=x﹣2，即x+2y+4=0，故选：D．8. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15斤参考答案：D【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.9. 设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜}，若A B，则的取值范围是（）． B.C．D ．参考答案：D10. （4分）己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P?Q，则满足条件的集合P的个数是（）A． 3 B． 4 C．7 D．8参考答案：D考点：集合的包含关系判断及应用．分析：解出集合Q，再根据P?Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；解答：集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P?Q，又Q的子集的个数为23=8，∴P的个数为8，故选D；点评：此题主要考查集合的包含关系判断及应用，是一道基础题；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 化简的结果是．参考答案：﹣9a【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】利用同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．【解答】解：，=，=﹣9a，故答案为﹣9a．12. 在ABC中，若=4，则边AB的长为（）A．B．C．D．参考答案：C13. 函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且当x∈（0，+∞）时f（x）是减函数，则实数m= ．参考答案：﹣1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m2+m﹣3，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；综上，m=﹣1，故答案为：﹣114. 已知，，m的最小值为：，则m，n之间的大小关系为．参考答案：4, m ＞n.【考点】7F ：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质、指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴m=a﹣2++2≥2+2=4，当且仅当a=4时取等号．∵，∴n＜22=4．故答案为：4，m ＞n ．15. 已知集合，那么集合为▲ . 参考答案：16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知sinB ﹣sinC=sinA ，2b=3c ，则cosA= ．参考答案：【考点】HR ：余弦定理． 【分析】由已知可得b=，又利用正弦定理可得b ﹣c=a ，进而可得：a=2c ，利用余弦定理即可解得cosA 的值．【解答】解：在△ABC 中，∵2b=3c， ∴可得：b=，∵sinB﹣sinC=sinA ，∴由正弦定理可得：b ﹣c=a ，可得：﹣c=a ，整理可得：a=2c ，∴cosA===．故答案为：．17.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南菁高级中学2018-2019学年第一学期阶段考试高一数学一、选择题(共10小题，每小题5分，合计50分)1.已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合U=R，A={　2，　1，0，1，2}，B={x|x＜2，且x≠0}，从而C U B={x|x≥2或x=0}，由此能求出图中阴影部分表示的集合A∩（C U B）．【详解】：∵集合U=R，A={x∈Z|x2＜5}={　2，　1，0，1，2}，B={x|x2（2　x）＞0}={x|x＜2，且x≠0}，C U B={x|x≥2或x=0}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（C U B）={0，2}．故选：C．【点睛】本题考查集合的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】A．函数g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，所以两个函数的定义域不同，所以A不是相同函数B．g（x）==x﹣2，g（x）的定义域为{x|x≠　2}，所以两个函数的定义域不同，所以B不是相同函数．C．g（x）=（）2=x，x≥0，两个函数的定义域不相同，所以C表示的是不是相同函数．D．由 g（x）==|x|，得两个函数的定义域和对应法则相同，所以C表示的是相同函数．故选：D．【点睛】本题考查了判断两个函数是否是同一个函数．判断的标准是看两个函数的定义域和对应法则是否相同．3.设集合，，函数的定义域为，值域为，则函数的图象可以是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可用排除法，根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．【详解】M={x|（x+1）（x　3）≤0}=[　1，3]，N={y|y（y　3）≤0}=[0，3]A项定义域为[　1，0]，D项值域是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．故选：B．【点睛】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．4.已知函数定义域是，则的定义域是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知函数的定义域求得y=f（x）的定义域，再由2x+1在f（x）的定义域内求得x的范围得答案．【详解】∵函数y=f（x﹣1）定义域是[　3，2]，即﹣3≤x≤2，∴　4≤x　1≤1，即函数y=f（x）的定义域为[　4，1]，由﹣4≤2x+1≤1，得．∴y=f（2x+1）的定义域是[]．故选：B．【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 5.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．【详解】由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．6.设则使得成立的值是( )A. 10B. 0，10C. 1，　1，11D. 0，　2，10【答案】D【解析】【分析】因为是分段函数，所以分：当m＜1时，f（m）=（m+1）2=1和当m≥1时，f（m）=4﹣=1两种情况取并集．【详解】当m＜1时，f（m）=（m+1）2=1∴m=﹣2或m=0当m≥1时，f（m）=4﹣=1∴m=10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：D．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，主要涉及了已知函数值求自变量，同时，还考查了分类讨论思想和运算能力，属中档题．7.奇函数在上的解析式是，则在上有( )A. 最大值B. 最大值C. 最小值D. 最小值【答案】B【解析】【分析】利用二次函数的最值，以及函数的奇偶性判断求解即可．【详解】f（x）在（﹣∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），可知函数的对称轴为：x=，最小值为：，奇函数f（x）在（0，+∞）上有最大值为：．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的简单性质以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．8.已知是上的单调递增函数,则实数的取值范围是(　)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件利用函数的单调性的性质可得4﹣＞0，且a＞0，且4﹣+2≤a，由此求得实数a的取值范围．【详解】根据f（x）=是R上的单调递增函数，可得4﹣＞0，且a＞0，且4﹣+2≤a，求得4≤a＜8，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段也是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.9.已知函数，若，，则有(　)A. B.C. D. 和都有可能【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴和x1，x2的关系即可得到结论．【详解】∵0＜a＜3，∴　2＜1　a＜1，即﹣2＜x1+x2＜1，又x1＜x2，，抛物线的开口向上，对称轴是x=﹣1，∴f（x）在（﹣1，）上为增函数，故f（x1）＜f（x2），故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．10.已知奇函数是上的减函数,且,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性与单调性把抽象不等式转化为具体不等式即可.【详解】∵奇函数是定义在R上的减函数，且,若,，则g（m）＞　g（m-2）=g（2　m），∴m＜2　m，解得：m＜1，故选：A．【点睛】根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.二、填空题(共6小题，每小题5分，合计30分)11.已知，则这样的集合有____个．【答案】4【解析】集合可以为,共有个.12.若的定义域为，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】把的定义域为R，掌握kx2　6kx+k+8≥0对任意实数x恒成立，然后对k分类求解得答案．【详解】∵的定义域为R，∴kx2　6kx+k+8≥0对任意实数x恒成立，若k=0，不等式化为8≥0恒成立；若k≠0，则，解得0＜k≤1．∴实数k的取值范围是．故答案为：．【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．13.函数在上是增函数，函数是偶函数，则，，的大小关系是____.【答案】【解析】【分析】根据函数y=f（x+2）是偶函数，知x=2是其对称轴，又函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，可知其在（2，4）上为减函数，分析可得f（1）=f（3），结合函数的单调性分析可得答案．【详解】因为函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，所以x=2是对称轴，在（2，4）上为减函数，f（2.5）＞f（1）=f（3）＞f（3.5）．则有f（2.5）＞f（1）＞f（3.5）．故答案为：f（2.5）＞f（1）＞f（3.5）．【点睛】考查函数的奇偶性和单调性，并且根据函数的单调性比较函数值的大小，注意分析函数的对称轴．14.已知集合，且下列三个关系：①，②，③，有且只有一个正确，则____.【答案】312【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【详解】已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有100a+10b+c=312．故答案为：312．【点睛】题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏，是基础题．15.已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是____.【答案】或或【解析】分析：先根据图像确定在上异号的情况，再根据奇偶性性质讨论在上异号的情况,最后取并集得结果.详解：根据图像得当时异号；当时号；由是奇函数，是偶函数，得当时；因此不等式的解集是.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.16.设函数的定义域为，若存在非零实数满足对任意，均有，且，则称为上的高调函数. 如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的8高调函数，那么实数的取值范围为____.【答案】【解析】【分析】由已知求得分段函数f（x）的解析式，然后由f（x+8）≥f（x）分段得到a与x的不等关系，分离参数a 求得a的范围，取交集得答案．【详解】根据题意，，当x≥0时，由f（x+8）≥f（x），得|x+8　a2|　a2≥|x　a2|　a2，∴2x+8　2a2≥0，即a2≤x+4恒成立，故﹣2≤a≤2；当x≤﹣8时，由a2　|x+8+a2|≥a2　|x+a2|，得|x+8+a2|≤|x+a2|，∴2x+8+2a2≤0，即a2≤﹣x﹣4恒成立，故﹣2≤a≤2；当﹣8＜x＜0时，由|x+8　a2|　a2≥a2　|x+a2|，得|x+8　a2|+|x+a2|≥2a2，∴|a2　8+a2|≥2a2，解之得，，综上，实数a的取值范围是：．故答案为：．【点睛】本题是新定义题，考查了函数解析式的求解及常用方法，训练了利用分离变量法求解参数的取值范围，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．三、解答题(共5小题，合计70分)17.设全集为，，．(1)求；(2)若，，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据并集与补集的定义，计算即可；（2）根据A∩C=A知A⊆C，列出不等式组求出实数a的取值范围．【详解】（1）全集为，，，，；（2），且，知，由题意知，，解得，实数的取值范围是．【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18.已知函数，其中，且.(1)设，若函数图象与轴恰有两个不同的交点，试求的取值集合；(2)当时，求函数在上最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（2）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【详解】（1）若恰有一解，且解不为，即，解得；若有两个不同的解，且其中一个解为，代入得，解得，检验满足；综上所述，的取值集合为．（2）（i）若，即时，函数在上单调递增，故；（ii）若，即时，此时，且的图象的对称轴在上，且开口向上；故，综上所述， .【点睛】本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了二次函数的性质应用，属于中档题．19.函数为上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)若区间恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求b，再代值计算求出a；（2）求出函数f（x）的最大值即可，根据基本不等式即可求出．【详解】（1），，对一切成立，即恒成立，，．又，. ．（2）在区间上任取，，且，则，．，，，　又，，故知，，．故知，函数在上单调递减．．若区间恒成立，，即，，或，的取值范围是．【点睛】本题考查了函数恒成立的问题以及奇函数的性质和基本不等式，属于中档题．20.直角梯形如图1所示，动点从出发，由沿边运动，设点运动的路程为，的面积为，如果函数的图象如图2所示．试求图1 图2（1）的面积；（2）的长度的表达式．并求的最大值.【答案】（1）16；（2）.【解析】【分析】（1）由y=f（x）的图象可知，当x由0→4时，f（x）由0变成最大，说明BC=4，由x从4→9时f（x）不变，说明此时P点在DC上，即CD=5，由x从9→14时f（x）变为0，说明此时P点在AD上，即AD=5．所以可求AB的长，最后求出答案；（2）由题意得到的表达式，分段求最大值，最后取其中最大的即可.【详解】（1）由图2可知，当，时，的面积在逐渐增大，当时，可知的面积有最大值，由图1可知，此时，点与点重合，;图2还告诉我们，当时，三角形的面积没有变化，观看图1，知；而当时，的面积在逐渐减少到0为此，故知在图1中，过作于，则，故知的面积．（2）当，点在上时，在中，由勾股定理可得，；当时，点在上运动，此时，亦由勾股定理，得；当时，．,,【点睛】本题考查了函数的图象，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论21.已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②当时，，且．(1)求，的值，并判断函数的奇偶性；(2)判断函数在上的单调性；(3)求函数在区间上的最大值．【答案】（1）为偶函数；（2）在上是增函数；（3）2.【解析】【分析】（1）先求f（﹣1）的值，令y=﹣1，推出f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），f（﹣x）=f（x）．结合函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义，直接判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）通过（1），（2）奇偶性，单调性，直接求函数f（x）在区间[　4，0）∪（0，4]上的最大值；【详解】（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；再令x=y=﹣1，则f[（　1）×（　1）]=f（　1）+f（﹣1），得f（﹣1）=0．对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）=f（x）．又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则有．又∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f（）＞0而＞f（x1），所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2．又由（1）知函数f（x）在区间[　4，0）∪（0，4]上是偶函数且在（0，4]上是增函数，∴函数f（x）在区间[　4，0）∪（0，4]上的最大值为f（4）=f（﹣4）=2．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数的最值及其几何意义，抽象函数及其应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。

江苏省南菁高级中学2017—2018学年第一学期高三数学摸底考试试卷答案一．填空题（每小题5分，共计80分）1．－6；2．12π ；3．（0, 2）； 4．[－1, 3]；5．332；6．516；7． π2 ； 8．3＋22；9．12；10．(−3, −3)；11．(－1，+∞)； 12．713 13．－34； 14． [−2, 0)； 15．2(,][2,)3a ∈-∞-+∞ ；16．①②③④.二．解答题（共计80分）17．解；（1）矩阵M 的特征多项式为 xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ因为31=λ方程0)(=λf 的一根，所以1=x 由04)1)(1(=---λλ得12-=λ， ………4分设12-=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α, 则⎩⎨⎧=--=--022022y x y x 得y x -=令1,1-==y x 则, 所以矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α ………8分（2）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为21y x =+； (10)分)4πρθ=+即2(sin cos )ρθθ=+，两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x x -+-=, ……………………13分 圆心C 到直线l的距离d ==l 和⊙C 相交． ………… 16分18．解（1）甲答对试题数ξ的概率分布为：…………………5分 甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59. ………………7分 （2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=1202060+=32， P (B )=310381228C C C C +=1205656+=1514. …………………11分 因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P (B A ⋅)=P (A )P (B )=（1－32)(1－1514)=451. …………………13分 ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P =1－P (B A ⋅)=1－451=4544. …………………15分答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. …………………16分（或P =P (A ·B )+P (A ·B )+P (A ·B )=P (A )P (B )+P (A )P (B )+P (A )P (B )=32×151+31×1514+32×1514=4544.） 19．解：原条件可化为13322112-⋅=++++n n n n n n nn C b C b C b C b ………3分易求的b 1=1, b 2=2, b 3=3, b 4=4, 由此猜想：b n ＝n ， ………7分下面证明：1321232-=++++n nn n n n n nC C C C 对n ∈N *都成立．法一： ∵ 11!(1)!!()!(1)!()!k k nn n n k C k n n C k n k k n k ---⋅=⋅=⋅=⋅⋅--⋅-∴12323n n n n n C C C nC +++012111111()2n n n n n n n C C C C n ------=++++=⋅ ………16分 法二：01230123nnnnnnS C C C C nC =+++++ ……… ①12(1)(2)0nn n nnnnnS nC n C n C C --=+-+-++ ……… ② 又 ∵(*)kn knnC C k N -=∈∴ 由①＋② ⇒ 01232()nnnnnnS n C C C C C =+++++ ⇒012312nn nnnnnS C C C C C n -=+++++=⋅ ………16分法三：(1＋x )n ＝0122C C C C n nn n n n x x x ++++ ，两边求导可得，n (1＋x )n −1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x-++++ ，令x ＝1, 有012312nn nnnnnC C C C C n -+++++=⋅ …16分 20．解：⑴ 由题意：设f (x )＝ax (x －4)(a ＞0)，即f (x )＝a (x －2)2－4a ， …………………2分 ∵f (x )在区间[－1, 4]上的最大值为5，且对称轴为x ＝2、a ＞0，∴f (－1)＝5a ＝5, ∴a ＝1, ∴f (x )＝x 2－4x …………………4分 ⑵ 设t ＝1－cosx (0≤t ≤2)，则原不等式化为f (2t )＜f (t －m )， …………………5分4t 2－8t ＜(t －m )2－4(t －m )， 3t 2＋(2m －4)t －m (m ＋4)＜0， ∴(t ＋m )(t －m +43)＜0 ……………7分① 当－m ＜m +43，即 m ＞－1时，－m ＜t ＜m +43此不等式对任意的t ∈[0, 2]恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－m ＜0m +43＞2，解得m ＞2 …………………10分② 当－m ＝m +43，即m ＝－1时，(t －1)2＜0, 不满足要求； …………………12分③ 当－m ＞m +43，即m ＜－1时，m +43＜t ＜－m ,此不等式对任意的t ∈[0, 2]恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－m ＞2m +43＜0，解得m ＜－4 …………………15分综上所述，实数的取值范围是(－∞, －4)∪(2, ＋∞) …………………16分21．解：（1）显然g (x ) =2x +1 (0≤x ≤1) 满足①x ∈[0, 1]， f (x)≥2；②f (1)=3； 若x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1，则g (x 1+x 2)－[g (x 1)+g (x 2)]=2x1+x2－2x 1－2x 2－1=(2x 1－1)(2x 2－1)－2≥－2即g (x 1+x 2)≥g (x 1)+g (x 2)−2成立，故为理想函数。