高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第7讲三角恒等变换与解三角形练习

第4讲 不等式、线性规划[考情分析] 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．热点题型分析热点1 不等式的性质及解法1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．2.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．3.简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0≤0，g x ≠0.1.已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B ．①②④ C.①③④ D ．②③④答案 A解析 解法一：由a >b >0可得a 2>b 2，所以①成立； 由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，所以②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，所以③成立； 若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，有a 3＋b 3<2a 2b ，所以④不成立．故选A. 解法二：令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.2.函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A.[0,3] B.(0,3)C.(－∞，0]∪[3，＋∞)D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 A解析 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0⇔x (x －3)≤0，解得0≤x ≤3，故选A.3.不等式2x －4x －1≤1的解集为( )A.{x |x <1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C.{x |1<x ≤3} D ．{x |1<x <3}答案 C解析 由2x －4x －1≤1，移项得2x －4x －1－1≤0，即x －3x －1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3x －1≤0，x ≠1，解得1<x ≤3，故选C.1.判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a 与a －b 或者a －b 与0的大小判断易出错，利用不等式的性质a ＞b ＞0，∴a －b ＞b －b ＝0，即a －b ＞0.2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x －x 2≥0得出选项C.3.解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x －4≤x －1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.热点2 基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2.(简记：和定积最大)2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路： (1)通过变形直接利用基本不等式解决．(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：①若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2mnab (字母均为正数)；②x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a ≥a ＋2b (x >a ，b >0)．1.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋1x ≥2D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值 答案 C解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.故选C.2.已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．所以x (4－3x )的最大值为43，取得最大值时x 的值为23.3.设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值为________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝x＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取“＝”(由于x >－1，故x ＝－3舍去)，∴y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值为9.4.(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析 由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin60°＋12c ×1×sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，1a ＋1c ＝1，因此4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c 的最小值为9.1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可．2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.热点3 简单的线性规划问题1.解决线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值．2.常见代数式的几何意义(1)z ＝Ax ＋By 表示与直线y ＝－A B x ＋z B 在y 轴上的截距z B成比例的数； (2)z ＝(x －a )2＋(y －b )2区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方； (3)z ＝y －bx －a表示区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3.求解线性规划中含参问题的基本方法 (1)首先把不含参数的平面区域确定好；(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．4.解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．题型1 已知约束条件，求目标函数的最值1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.2.(2019·晋城一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≤0，y ≥2，则z ＝x 2＋y 2－4x －6y ＋13的最小值为________． 答案 12解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于z ＝x 2＋y 2－4x －6y ＋13＝(x －2)2＋(y －3)2，故z 表示可行域内的点A (x ，y )与定点P (2,3)间距离的平方，即z ＝|PA |2.由图形可得|PA |的最小值即为点P (2，3)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋3－4|2＝22，所以z min ＝d 2＝12.第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形. 题型2 已知目标函数的最值求参数1.(2019·华南师大附中一模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12 B.13 C ．1 D ．2答案 A解析 由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3得B (1，－2a )．当直线2x ＋y －z ＝0过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12，故选A.2.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4， 则y ＝－ax ＋z 截距的最大值为4. ①若a <0，则不满足条件；②若a >0，当－a <－1，即a >1时，x ＝2，y ＝0是最优解，此时a ＝2；当－a >－1，即0<a <1时，x ＝1，y ＝1是最优解，此时a ＝3>1(舍)．故选B.第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y ＝a (x －3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y ＝－ax ＋z 截距最值相同，易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.题型3 线性规划的实际应用(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y.作出可行域(如图阴影部分所示)．当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2,2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600.1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B ．a <c <b C.c <a <b D ．b <c <a答案 B解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以b >c >a .故选B.2.(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A.－15 B ．－9 C ．1 D ．9答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.3.(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C.[－23，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 答案 A解析 关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.故选A. 4.(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b，因为对于任意x,2x>0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a＋2－3b≥22a ×2－3b＝22－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a＝2－3b，a －3b ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上可得2a＋18b 的最小值为14.专题作业一、选择题1.(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A.－7 B ．1 C ．5 D ．7答案 C解析 由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x＋y ，则y ＝－3x ＋z .作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.2.不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A 解析x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，x ≠－12，即－12<x ≤1.故选A.3.(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1.∵a >b >0且ab ＝1，∴a 2>ab >b 2，则a >1,0<b <1， 于是2a>2，∴0<12a <12，则b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B. 解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b.故选B. 4.(2019·北京师范大学附中模拟)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A.16 B ．9 C ．5 D ．4答案 A解析 ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立．∴a ＋9b 的最小值为16，故选A.5.已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0)∪(4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2＋2a ＝4，2－2a ＝0，解得a ＝1，故选C.6.(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >c B ．b >a >c C.c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D. 7.已知x ，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A.8 B ．9 C ．10 D ．11答案 B解析 ∵x ，y >0且x ＋4y ＝1，∴1x ＋1y＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋4·y x ＋x y≥5＋24·y x ·xy＝5＋4＝9，当且仅当4·y x ＝x y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝12(舍去)时等号成立．故选B.8.(2019·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，y ≥x ，x ≥0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．[0，2]答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)为最大值点，故x 2＋y 2的取值范围是[0,2]．故选B.9.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为( )A.1 B ．－1 C ．3 D ．0答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故选C.10.若直线l ：kx －y ＋1＝0上不存在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，x －4y －4≤0的点(x ，y )，则实数k 的取值范围为( )A.(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，74C.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74答案 D解析 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，x －4y －4≤0，对应的可行域如图中阴影部分：直线l ：kx －y ＋1＝0可化为y ＝kx ＋1，故直线l 过定点C (0,1)，由图可知，当直线l 过⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0的交点A (1,1)时，k ＝0；当直线l 过⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －4y －4＝0的交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－43时，k ＝74.由此可知当0<k <74时，直线与不等式组无交点，即直线l 上不存在满足不等式组的点．故选D.11.若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，∴a >1且b >1.1a ＋1b ＝1可变形为a ＋bab＝1，∴ab ＝a ＋b ，∴ab－a －b ＝0，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝1b －1，∵a －1>0， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时取“＝”⎝ ⎛⎭⎪⎫由于a >1，故a ＝23舍去，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 12.(2019·太原模拟)已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[3，＋∞) B ．(－∞，3] C.(－∞，6] D ．[6，＋∞)答案 D解析 ∵a >0，b >0，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋2b a ·9ab ＝16， 当且仅当b a＝9ab，即a ＝4，b ＝12时等号成立，所以(a ＋b )min ＝16.若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则－x 2＋4x ＋18－m ≤16，即m ≥－x 2＋4x ＋2对任意实数x 恒成立，∵－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6≤6，∴m ≥6. ∴实数m 的取值范围是[6，＋∞)．故选D. 二、填空题13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.14.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.15.(2019·衡水中学检测)设满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0的实数x ，y 所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是______________．答案 (x －1)2＋(y －3)2＝10解析 作出不等式组表示的平面区域Ω，如图阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO (含内部及边界)．易知BC ⊥AB ，则外接圆的圆心为AC 的中点，又A (0,6)，C (2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r ＝12|AC |＝10.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.16．若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 x 2＋y 2≤1表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，易得直线6－x －3y ＝0与圆相离，故|6－x －3y |＝6－x －3y ，当2x ＋y －2≥0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝x －2y ＋4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z ＝x －2y ＋4，则可知当x ＝35，y ＝45时，z min ＝3，当2x ＋y －2≤0时，|2x ＋y －2|＋|6－x－3y |＝8－3x －4y ，可行域为大的弓形内部，目标函数z ＝8－3x －4y ，同理可知当x ＝35，y ＝45时，z min＝3，综上所述，(|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |)min ＝3.。

第1讲 解答题的解法研究一 数形结合思想方法数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面的内容：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来说明函数的性质；二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，比如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质．我们在解决数学问题时，应将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的互化，从而得到原题的解．总体目标：通过数形结合，抽象问题具体化，复杂问题简单化．解题途径：根据问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简．常见的手段：构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1 记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }的最大值．【方法点睛】 利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则．典例2 关于x 的方程sin2x ＋3cos2x ＝a ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上有两个不同的根，求实数a 的取值范围．【方法点睛】 本题要解的是一个带参数的三角方程，直接解比较困难，可以从函数的角度来研究本方程的解．通过变形，左边看成函数y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的一部分，右边看成y 2＝a ＋12的图象．因此，方程的解可通过“数形结合”方法轻松获得．对于三角方程的解的个数问题，经常可考虑此思想方法解决．典例3 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【方法点睛】本题的想法看似简单，即设P(x0，y0)，分别写出直线AP和BP的方程，根据已知条件用x0，y0分别表示出△PAB与△PMN的面积，从而得到x0，y0的一个关系式，再结合点P(x0，y0)在椭圆x2＋3y2＝4上，得到第二个方程，从而问题转化为解方程组，这是很多学生很容易想到的做法，可是这看似简单的想法计算却非常不简单．如果能先作出图形，根据△PAB与△PMN的面积相等，得到M是NC中点，易知B为AC中点，从而AM，BN都是中线，因此P为△ANC的重心，而A，N，C三点横坐标易求得，故P点的横坐标也就易求出来了．代入椭圆，很快求出P点的纵坐标．在解析几何求解过程中，如果适当考虑其中的几何关系，计算量将大大减少，“数形结合”，事半功倍，提高解题效率．典例4 已知函数f(x)＝|2x－3|－|x＋1|.(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；(2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求实数t的取值范围．【方法点睛】本题如果从不等式角度进行考虑，非常不好描述，而且不易求出正确解．根据题意，将不等式恒成立问题和存在性问题转化为函数值域与参数的比较问题，思路清晰明了，再通过数形结合，很快求出相关函数的值域，继而求出参数的取值范围．在求解过程中，“数形结合”大大简化了计算量．二转化与化归思想数学思想中的一条重要原则是转化与化归，不断地变更数学问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把某一数学分支中的问题转化为另外一个数学分支中的问题，最终求出原题的解．总体目标：化难为易，化生为熟，化繁为简．解题途径：函数、方程、不等式间的转化；数与形间的转化；一般与特殊的转化；整体与局部的转化；正面与反面的转化等等．常见的方法：换元法、数形结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等．典例1 设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．【方法点睛】将不等式恒成立问题转化为求函数的值域问题，在转化过程中，用到了构造函数法，次元、主元调换法，最后通过解不等式得到答案．典例2 (2017·浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，求|a＋b|＋|a－b|的最小值和最大值．【方法点睛】 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．典例3 已知函数f (x )＝x ＋1e 2x . (1)当x ≥0时，f (x )≤m 2x ＋1(m >0)恒成立，求实数m 的取值范围； (2)求证：f (x )ln x <x ＋1e x ＋2.【方法点睛】 对于恒成立问题和存在性问题，经常可考虑用分离变量的办法将不等式问题转化为两个函数值域的问题．在求函数值域时，经常用构造法，通过导数来分析单调性，求得函数的值域，继而建立与参数有关的不等式，最终求得参数的取值范围．当然在本题中导函数的零点不易求出，我们用了设而不求的方法，间接解决问题．实际上，在解决数学题时“无处不转化”．典例4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线y ＝x 2－8与x 轴的交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AD ⊥BD ，且D (3,0)，求△ABD 面积的最大值．【方法点睛】在求椭圆方程时，经常把条件转化为方程组，方程组解出来即得到椭圆方程．在解答圆锥曲线相关问题时，经常借助相关点的坐标来研究相关性质，如定点、共线、最值等问题．转化的基本方向：消元，降次，化简．三分类整合思想方法在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类整合思想方法．分类整合是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思维条理性和概括性，因此在高考试题中占有重要的位置．总体目标：大化小，整体化为部分，一般化为特殊．解题途径：根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别进行研究，研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起．常见的方法：化整为零、积零为整、构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1 (2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．【方法点睛】本题(1)(2)问都涉及到绝对值不等式，要把绝对值去掉，解答才得以继续进行，在第(1)问中，通过对变量x进行分类讨论，绝对值不等式转化为一次不等式，原不等式从而得到解答；(2)问中对参数a进行讨论，去掉绝对值，求出参数范围．典例2 设b∈R，数列{a n}的前n项和S n＝3n＋b，试判断{a n}是否是等比数列？并说明理由．【方法点睛】本题中参数b的值影响着a1的值，进而影响着数列的通项公式．因此需要对参数b分类讨论，并以a1的值是否满足a n＝2·3n－1为标准．典例3 设a>0，求f(x)＝2a(sin x＋cos x)－sin x cos x－2a2的最大值和最小值．【方法点睛】本题通过作变量代换t＝sin x＋cos x，将原函数变成关于t的二次函数(带参数a)，然后根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，继而求出原函数的最大值．典例4 已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【方法点睛】参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．四函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的．总体目标：动态化静态，抽象化具体，函数方程相互转化．解题途径：根据研究问题的需要，通过构造方程或函数，然后研究方程和函数的性质，从而解决原问题．常见的方法：构造法、转化法、动静结合、数形结合、分离变量法等等．典例1 (2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．【方法点睛】 本题已知数列的属性(等差或等比数列)，因此可以构造关于a 1和d (q )的方程组，通过a 1和d (q )，从而求出数列的通项公式，将前n 项和S n 表示为n 的函数，继而求出其最小值．求解过程体现方程思想和函数思想．典例2 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求tan θ的值．【方法点睛】 本题表面看是一个未知数θ，但是很难直接求出其大小．本题通过韦达定理构造一个一元二次方程，其两根分别为sin θ，cos θ，求出方程的两个解(也就是sin θ，cos θ的值)，从而求出tan θ的值．典例3 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【方法点睛】 本题第(1)问是个不等式问题，我们将其转化为函数问题解决．通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最大值为0，从而证明了原不等式，充分体现了函数思想的应用．第(2)问是函数零点个数问题，通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值，从而讨论出不同a 的值得到不同的零点个数．典例4 设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．【方法点睛】 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法．典例5 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【方法点睛】 本题第(1)问先将直线和椭圆的参数方程化为普通方程，然后联立，求出交点坐标．第(2)问先将C 上的点到直线的距离用θ表示出来，判断3cos θ＋4sin θ的范围，讨论a ，去掉绝对值得到距离的最大值的方程，求得a 最后结果．。

第1讲选填题的解法研究一选择题、填空题在高考中的地位选择题、填空题在当今数学高考(全国卷)中，题目数量多且占分比例高(选择12题，填空4题，共16题，共计80分，其中选择题60分，填空题20分，占全卷总分的53.3%)．二选择题、填空题难度及排序规律就一套试卷而言，选择题1～10题相对较简单，考查知识点明显，学生比较容易入手，11,12题对思维要求较高，重视对数学素养的考查，学生需要综合运用多种数学思想方法才能解决．填空题13～15题难度比较低，很常规，主要考查基础知识，解题思路清晰，16题难度相对较大，同样重视对数学素养的考查．今年的高考题设置了组合型选择题，为实现设置多选题过渡，填空题出现了一题双空，难度增加，思维量加大．三选择题、填空题特点及考查功能从解答形式上看，选择题、填空题都不要过程，形式灵活，选择题还有选项可以提供额外的信息；从考查知识点上看，选择题、填空题都能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；从运算因素上看，选择题、填空题都对运算要求较低，呈现多想少算的特点．四选择题、填空题解答策略选择题、填空题的结构特点决定了解答选择题、填空题的方法，除常规方法外，还有一些特殊的方法．解答选择题、填空题的基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、排除法、构造法、特例法、代入验证法、数形结合法等．填空题虽然没有选项提供参考，但依然可以根据其特点，考虑直接法、构造法、特例法等．五选择题、填空题答题禁忌选择题、填空题答题时，一定要注意认真审题，理解清楚题意后再作答．选择题确定选项后，其余选项也应该看一看，弄清楚它们错在哪里．不要一味图快，还是要以保证正确率为主．如果某题不太好解答，应及时调整策略，去解答下一题．切忌在某一道题上花费过多时间．这样很容易影响答题的心理状态，产生紧张、焦虑等负面情绪．另外涂答题卡时，要注意题号排列规律，不要出现答串行等低级失误．选择题要修改的话，一定要先把原有选项擦除干净，再用2B铅笔涂黑新选项．方法汇总选填通用方法一直接法直接法是指直接从题目条件出发，利用已知的条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨的推理、准确的运算、合理的验证，从而直接得出正确结论的解题方法．解答选择题、填空题时，此方法一般都会是考生最先考虑的方法，也是解题最常用的方法之一．但是此种方法并没有充分利用选择题、填空题的题型特点，因此多用于解答一些比较容易的选、填题．题型一(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32思维启迪首先利用正方体的棱是3组且每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成的角相等，只需与从同一个顶点出发的3条棱所成的角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果．解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，同理，平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为22，所以其面积为S＝6×12×32×⎝⎛⎭⎪⎫222＝334，故选A.答案A特教评析该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果． 题型二 设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 思维启迪 本题以数列为背景，综合考查等比数列的通项公式，幂的运算性质，等比数列求和公式等多个知识点．数列是高中数学的一个重要模块，对数列的考查，在历年全国卷中都能见到．此类问题，多直接利用题目条件，结合数列的相关公式计算解决．本题中首先根据题目的两个条件，结合等比数列的通项公式，可以列出方程，解出首项及公比，进而可以将a 1a 2…a n 表示为关于n 的函数，利用函数的相关知识求解其最大值．解析 解法一：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，两式相除，解得q ＝12，a 1＝8， 则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4，所以a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝ 由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，因此当n n －72最小时，a 1a 2…a n 最大，即n ＝3或n ＝4时，a 1a 2…a n 有最大值26＝64. 解法二：同解法一，解得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4. 设b n ＝a 1a 2…a n ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≥b n ＋1，b n ≥b n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋1≤1，a n ≥1，解得3≤n ≤4.所以当n ＝3或4时，b n 有最大值b 3＝b 4＝64.答案 64特教评析本题是根据题目条件，利用数列的相关公式，直接解决数列的最值问题．解法一是从数列是特殊函数这个角度予以求解的，解法二是利用数列本身的一些特性予以求解．这两种都是直接解决数列最值问题的常用方法．『针对训练』1.(2019·河南郑州一模)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A.18 B ．20C.21D ．25答案 C 解析 由题意知该女每天所织布的尺数可构成一个等差数列{a n }，且a 1＝5，S 30＝390，设该女最后一天织布尺数为a 30，则有30×5＋a 302＝390，解得a 30＝21.故选C. 2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．答案 x 216＋y 28＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 二 特例法特例法的原理：如果结论对一般情况成立，那么对特殊情况一定也成立．因此解选择、填空题时，可以考虑对题目条件特殊化，用特殊化后的条件解出问题的答案．这种方法主要用来解决选择和填空题中结论唯一或其值为“定值”的问题，常常取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置，特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等等)来确定其结果，从而节省推理、论证、演算的过程，加快解题速度．特例法是解决选填题的一种很好用的方法．大多数时候，都能化繁为简，快速找到问题的答案．但是，需要指出的是，特例法本身存在一定风险，即如果某题答案不唯一，那么用特例法有可能漏解．此时最好多举几个特例验证．题型一 已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －1)<f (x )对任意的x >1恒成立，则k 的最大值为( )A.2 B ．3 C ．4 D ．5思维启迪 本题是以函数和导数为背景的恒成立问题，考查函数的单调性、最值与导数的关系等知识点．直接做的话，可以转化为y ＝f x x －1的最小值大于k ；或者y ＝f (x )－k (x －1)的最小值大于0等，步骤繁琐，运算量较大；使用特例法更快捷，即原式对x >1恒成立，那么对类似x ＝2,3等这些特值也成立，从而可以缩小k 的范围．解析 解法一：(直接法)设g (x )＝x －ln x －2，可得g ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，而g (3)＝1－ln 3<0，g (4)＝2－ln 4>0，所以g (x )存在唯一一个零点x 0∈(3,4)，且当x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>g (x 0)＝0，由题意得x >1时，x ln x ＋x x －1>k 恒成立，设h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2x －12＝g x x －12.所以h ′(x )与g (x )同号，即x ∈(1，x 0)时，h ′(x )<0；x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，所以h (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0ln x 0＋1x 0－1＝x 0x 0－1x 0－1＝x 0. 故k <h (x )min ＝x 0，又k ∈Z ，则k 的最大值为3，故选B.解法二：(特例法)由题意可知，当x ＝2时，k (x －1)<f (x )恒成立，即k (2－1)<f (2)，解得k <2＋2ln 2<2＋2＝4，因此k 的最大整数值为3，而当k ＝3时，令g (x )＝f (x )－k (x －1)＝x ln x －2x ＋3，g ′(x )＝ln x －1，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (e)＝3－e>0，于是g (x )>0恒成立，即k ＝3满足题意，故选B.答案 B特教评析解法一是直接法．计算量较大，对数学能力要求较高；解法二巧妙的利用x ＝2时的特殊情况，成功得到k ＝3.当然，从严谨性的角度出发，还需要检验一下k ＝3是否成立．就算如此，其计算量、思维量也远远小于直接法．解选择、填空题，用好特例法往往能起到事半功倍的作用．题型二 (2019·河北一模)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为△PF 1F 2的内心，满足S △MPF 1＝S △MPF 2＋λS △MF 1F 2，若该双曲线的离心率为3，则λ＝________(注：S △MPF 1，S △MPF 2，S △MF 1F 2分别为△MPF 1，△MPF 2，△MF 1F 2的面积)．思维启迪 本题以双曲线为背景，综合考查了双曲线定义，三角形内心的性质，三角形面积计算公式等多个知识点，综合性较强．本题涉及双曲线焦点，一般需要考虑双曲线定义，由于M 是内心，因此涉及的三个三角形如果分别以PF 1，PF 2，F 1F 2为底，则高相等，离心率提供了双曲线a ，b 的关系．综合利用这些条件，可以完成本题求解．另一方面，本题属于结论为定值，且题干中未对双曲线方程及P 点位置作过多限制，因此可以考虑特例法，能更高效快捷地解答此题．解析 解法一：(直接法)设△PF 1F 2内切圆半径为r ，由S △MPF 1＝S △MPF 2＋λS △MF 1F 2得：12|PF 1|·r ＝12|PF 2|·r ＋λ·12|F 1F 2|·r ， ∴|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，∴|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，∵点P 为双曲线右支上一点，∴2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c， ∵c a ＝3，∴λ＝13.解法二：(特例法)设双曲线为x 2－y 28＝1，则F 1(－3，0)，F 2(3,0)，取P (3,8)，如图，则此时△PF 1F 2为直角三角形，由勾股定理得|PF 1|＝10；所以S △PMF 1＝5r ，S △PMF 2＝4r ，S△MF 1F 2＝3r ，易得λ＝13. 答案 13特教评析解法一是直接法．需要用双曲线定义得到2a ＝2λc ，对数学能力有一定要求；解法二巧妙的利用特殊双曲线和特殊点，能快捷的得出λ的值，思维量小于直接法．解选择、填空题，用好特例法常常能化难为易．『针对训练』1.(2019·长春一模)已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线C ：x 2－y 2＝λ(λ为正常数)上，过点M 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则|ON |·|MN |的值为( )A.λ4B.λ2C.λD ．无法确定答案 B 解析 因为点M 为双曲线上任一点，所以可取点M 为双曲线的右顶点，由渐近线y ＝x 知△OMN 为等腰直角三角形，此时|OM |＝λ，|ON |＝|MN |＝λ2，所以|ON |·|MN |＝λ2. 2.(2019·佛山调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．答案 332 解析 解法一：当△ABC 为等边三角形时，满足题设条件，则c ＝6，C ＝π3且a ＝b ＝ 6. ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝332. 解法二：∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 三 构造法构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、形式、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题． 题型一 (2019·惠州市高三第一次调研考试)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x (其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 思维启迪 本题主要考查函数的单调性与导数，以及利用单调性比较函数值大小等知识点．难点是f (x )解析式未知，抽象性较强，可以根据所给条件特点，构造函数，然后利用其单调性解决问题．解析 (构造法)设g (x )＝f x cos x ，则g ′(x )＝f ′x cos x ＋f x sin x cos 2x， 因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，所以g ′(x )＝1＋ln x cos 2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2时，g ′(x )>0；所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2递增． 因为1e <π6<π4<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，选B. 答案 B特教评析本题解法即利用积商函数求导法则以及三角函数求导的特点构造出函数g (x )＝f x cos x，然后利用其单调性比较大小．题型二 已知实数μ，ν，x ，y 满足μ2＋ν2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，x ≤2，则z ＝μx ＋νy 的最大值是________． 思维启迪 本题中第一个方程可以联想到圆或同角三角函数等，第二个不等式组可以转化为平面区域，而z 从形式上看，可以看成直线方程或者向量的数量积等．根据形式上的特点，可以考虑构造直线、向量等解决本题．另外，本题也可以直接使用柯西不等式求解．解析 解法一：(构造向量数量积)设a ＝(μ，ν)，b ＝(x ，y )，则z ＝a·b ＝|a ||b |cos θ≤|b |，结合图象知，当x ＝2，y ＝2时，|b |max ＝22，因此z max ＝22，此时a ，b 同向，即μ＝ν＝22. 解法二：(柯西不等式)(μx ＋νy )2≤(μ2＋ν2)(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2；又因为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，x ≤2，则结合图形知当x ＝2，y ＝2时，x 2＋y 2＝22，因此所求最大值为22，此时μ＝ν＝22.解法三：(构造几何图形)z ＝μx ＋νy 可以看作一条直线，原点到此直线的距离d ＝|z |μ2＋ν2＝|z |，因此|z |的几何意义是原点到此直线的距离，所以问题转化为何时原点到直线z ＝μx ＋νy 的距离最大，结合图形知，当直线过(2,2)点，且斜率为－1时，|z |最大，此时z ＝|z |＝2 2.答案 22特教评析解法一根据题目所求式子的形式，构造向量的数量积，成功将问题简化为两个向量何时数量积最大，结合图形，一目了然；如果学习过柯西不等式，那么解法二直接利用柯西不等式求解，也比较简洁．解法三考虑到z 的几何意义，构造几何图形解决问题．恰当的构造，可以使原问题中隐含的关系、性质等，清晰的展现出来，从而帮助我们简洁的处理原问题．『针对训练』1.(2019·河北石家庄高三一模)已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x 的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A.a <－eB ．a >1 C.a <－3或a >1D ．a >e 答案 B解析 (构造方程)由f (x )＝g (x )得e 2⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋e(a －1)ln x x ＋1－a ＝0，令h (x )＝ln x x ＝t (x >0且x ≠e)，则h ′(x )＝1－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ， ∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，又当x →＋∞时，h (x )→0，作出函数h (x )的大致图象，如图所示．e 2t 2＋e(a －1)t ＋1－a ＝0，因为原方程有三个解，故此方程两根满足0<t 1<1e ，t 2<0，令F (t )＝e 2t 2＋e(a －1)t ＋1－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧F 0<0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >0，∴a >1.故选B.2.f (x )为定义在R 上的可导函数，且f ′(x )>f (x )，对任意正实数a ，则下列式子成立的是( )A.f (a )<e af (0) B ．f (a )>e af (0) C.f (a )<f 0eaD ．f (a )>f 0ea答案 B 解析 令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex>0.所以g (x )在R 上为增函数．又a >0，故g (a )>g (0)，即f aea>f 0e，即f (a )>e af (0)．故选B.四 数形结合法中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些问题直接从“形”上解决起来比较困难，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等，借助代数方法研究并解决问题．“以形助数”就是有些“数”的问题直接解决比较困难，这时就需要结合代数式所表达的几何意义，从“形”上予以解决．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的．题型一 已知a ＝1b>1，如果方程a x ＝log b x ，b x ＝log a x ，b x＝log b x 的根分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( )A.x 3<x 1<x 2 B ．x 3<x 2<x 1 C.x 1<x 3<x 2D ．x 1<x 2<x 3思维启迪 本题考查指数、对数函数的性质．题目所给的三个方程都是超越方程，直接从代数上解出x 1，x 2，x 3是难以实现的．因此可以考虑“以形助数”，绘制出涉及函数的图象，借助图象解决问题．解析 解法一：(数形结合)由a ＝1b>1，可知0<b <1，因此函数y ＝a x ，y ＝b x，y ＝log b x ，y ＝log a x 图象如图所示，由图可以看出点A ，B ，C 对应的横坐标分别为x 1，x 3，x 2，故x 1<x 3<x 2.故选C.解法二：(直接法)不妨设a ＝e ，b ＝1e，答案 C 特教评析本题无论哪种方法，都必须绕开解方程．数形结合法巧妙的借助了指数、对数函数的单调性，简洁明了的比较出了三个数的大小．第二种方法，直接从“数”的角度比较三者大小，综合利用了指数、对数函数的单调性，反证法等多种知识、方法．难度较大，而且没有第一种方法直观．题型二 (2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为________．思维启迪 本题考查点到直线的距离的最值问题，由于题目涉及两个变量θ和m ，因此难度较大．可以从代数角度，直接利用点到直线距离公式计算d ，然后利用不等式放缩等代数技巧求解d 的最大值．也可以数形结合地分析问题，将问题转化为圆上动点到某直线的距离的最值问题．解析 解法一：(直接法)d ＝|cos θ－m sin θ－2|m 2＋1＝|m 2＋1sin θ＋φ－2|m 2＋1≤ m 2＋1＋2m 2＋1＝1＋2m 2＋1≤3，当sin(θ＋φ)＝－1且m ＝0时，取等号．解法二：(数形结合)如图，d ＝PM ≤OP ＋ON ≤OP ＋OA ＝3，当A ，N 重合，且O ，P ，N 共线时取等号．答案 3 特教评析本题解法二，利用点到直线之间垂线段最短，及直角三角形中斜边大于直角边等简单的几何定理，很快的求出了d 的最大值，运算量非常小．在解决类似问题的过程中，应该数形结合地分析问题．『针对训练』 1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，fx ＋1，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 答案 B解析 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.2.(2019·湖北八校高三联考)若函数y ＝f (x )图象上不同两点M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对[M ，N ]与[N ，M ]看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ＜0，x 2－4x ，x ＞0，则此函数的“和谐点对”有________对．答案 2解析 作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ＜0，x 2－4x ，x ＞0的图象，f (x )的“和谐点对”数可转化为y ＝e x(x <0)与y ＝－x 2－4x (x <0)的图象的交点个数(如图)．由图象知，函数f (x )有两对“和谐点对”. 五 极限法极限法是解选择题、填空题的一种有效方法，它根据题干及选项的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案．极限法是一种基本而重要的数学方法，通过考察问题的极端状态，灵活地借助极限思想解题，往往可以避开抽象复杂运算，探索解题思路，优化解题过程，降低解题难度．题型一 (2019·郑州一模)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x ·cos x 的图象大致为( )思维启迪 本题考查根据解析式寻找函数的图象，所给函数学生较陌生，不好直接得出其图象．本题用直接法不好解答，可以考虑利用f (x )的性质，或者特殊点的函数值、导数值等，排除干扰项，从而选出正确答案．观察A ，B ，C ，D 四个选项，发现在原点附近的函数值，四个选项都不同，因此可以利用极限思想，估算x 在原点左侧，并且无限接近原点时的函数值和x 在原点右侧，并且无限接近原点时的函数值，利用这两个极限值，便能一次性排除干扰项．解析 解法一：(极限法)当x →0＋时，2x>1，所以1－2x1＋2x <0，又cos x >0，所以f (x )<0，排除A ，D.当x →0－时，2x<1，所以1－2x1＋2x >0，又cos x >0，所以f (x )>0，排除B ，所以选C.解法二：(排除法)观察发现A ，B 为偶函数，C ，D 为奇函数，因此可以考虑利用奇偶性排除干扰项．计算f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－12x＋1cos x ＝－f (x )，因此f (x )为奇函数，排除A ，B.观察C ，D 发现二者在原点处导数符号不同，因此计算f ′(0)的值来排除干扰项，但是直接求f ′(x )计算过于繁琐，设h (x )＝1－2x1＋2x ＝21＋2x －1，显然h (x )单调递减；设g (x )＝cos x ，则f (x )＝h (x )g (x )，所以f ′(0)＝h ′(0)g (0)＋g ′(0)h (0)＝h ′(0)<0，排除D ，故选C.答案 C 特教评析两种解法都是排除法，但是第一种解法是利用极限思想，计算f (x )在原点左、右两侧的函数值，通过其符号排除干扰项；第二种解法比较常规，利用奇偶性排除两个选项，再利用特殊点导数值排除一个选项．两种方法比较，明显第一种解法更快捷．题型二 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是( )A.(－∞，0)B ．(1，＋∞)C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)思维启迪 本题以双曲线为背景，考查双曲线的渐近线，直线的倾斜角、斜率等知识要素，以点P 在双曲线的左支下半支上运动来解决本题．解析 由题意条件知双曲线的其中一条渐近线y ＝x 的倾斜角为45°，当点P 向双曲线左下方无限移动时，直线PF 逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；当点P 逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°.所以直线PF 的倾斜角的范围是(45°，180°)．由此可知直线PF 的斜率的变化范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案 C 特教评析本题运用运动变化的观点，灵活的用极限思想来思考，避免了复杂的运算，简化了解题过程，节省了解题时间．『针对训练』1.(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；ca的取值范围是________． 答案π3(2，＋∞) 解析 解法一：(直接法)由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，又S △ABC ＝12ac sin B ，所以12ac sin B ＝34×2ac cos B ，化简得tan B ＝3，因为0<B <π2，所以B ＝π3，又c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3sin A ＝12＋32tan A ， 又因为C 为钝角，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，所以tan A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，所以c a ∈(2，＋∞)． 解法二：(极限法)同解法一得B ＝π3.当C →π2时，ca→2，固定a 不变，当C → 2π3时，c a →＋∞，所以ca∈(2，＋∞).2.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β的值是________．答案π2解析 解法一：(极限法)令β →0，则tan α→1，所以α→π4，所以2α－β →π2，故2α－β的值是π2.解法二：(直接法)tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β2＋cos β22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β2－sin β2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β2＋sin β2＝sin β2＋cos β2cos β2－sin β2，所以tan α＝tan β2＋11－tanβ2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝β2＋π4，所以2α－β＝π2.方法汇总选择独用方法一排除法排除法是指通过快捷有效的手段将与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确的结论的解答选择题的方法．适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选项．它与特例法结合使用是解答选择题的常用方法．题型一过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线交于两点P和Q，则PQ中点轨迹方程是( )A.y2＝2x－1 B．y2＝2x－2C．y2＝－2x＋1 D．y2＝－2x＋2思维启迪本题是考查抛物线过焦点的弦的中点的轨迹方程，可以设出直线方程，用参数法求解，也可以考虑点差法．当然，最快捷的应该是使用排除法．解析解法一：(排除法)当弦PQ垂直于x轴时，易知此时PQ中点为(1,0)，而选项A，C所给曲线均不过(1,0)，所以排除A，C；又考虑极限位置，当x P→0时，显然x Q→＋∞，因此线段PQ中点横坐标趋于无穷大，即抛物线开口必须向右，排除D，综上选B.解法二：(直接法一)设PQ 的中点M (x ，y )， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)． 当x 1≠x 2时，有y 1－y 2x 1－x 2y ＝2， 所以y －0x －1·y ＝2，化简得y 2＝2(x －1)，x ≠1， 当x 1＝x 2时，有y ＝0，此时x ＝1，综上y 2＝2x －2，故选B.解法三：(直接法二)设PQ 的中点M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的方程为x ＝ty＋1，与抛物线联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋1，化简得y 2－4ty －4＝0，所以y 1＋y 2＝4t ，即y ＝2t ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2t ，x ＝2t 2＋1，消参得y 2＝2x －2，故选B.答案 B 特教评析三种解法里，解法一根据题目特点，利用特殊位置排除掉干扰项，选出了正确答案．由于本题涉及弦中点问题，因此如解法二那样采用点差法也可以很好的解决问题；解法三利用参数t ，先解出轨迹的参数方程，进一步得到普通方程．三者比较，就本题而言排除法更快捷．题型二 定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数记为f ′(x )，满足f (x )＋f (2－x )＝(x －1)2，且当x ≤1时，恒有f ′(x )＋2<x .若f (m )－f (1－m )≥32－3m ，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，1]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1 C ．[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 思维启迪 本题考查函数、导数的相关知识．由于不知道函数f (x )的解析式，导致此题有一定的困难．但是根据本题特点，通过m 取一些特殊的值进行排除，能回避此题难点，快速得到答案．解析 解法一：(直接法)∵f ′(x )＋2<x ，即f ′(x )－x ＋2<0，可构造函数g (x )＝f (x )－x 22＋2x .∵g (x )＋g (2－x )＝f (x )＋f (2－x )－x 22＋2x －2－x22＋2(2－x )＝3，∴g (x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中心对称． 又x ≤1时，g ′(x )＝f ′(x )－x ＋2<0，∴g (x )在R 上单调递减． ∵f (x )＝g (x )＋x 22－2x ，∴f (m )＝g (m )＋m 22－2m .f (1－m )＝g (1－m )＋1－m22－2(1－m )，∴f (m )－f (1－m )≥32－3m 等价于g (m )－g (1－m )≥0.∴g (m )≥g (1－m )．即m ≤1－m ，∴m ≤12.故选D.解法二：(排除法)因为f (x )＋f (2－x )＝(x －1)2，所以取x ＝1，易知f (1)＝0. 设g (x )＝f (x )－12x 2＋2x ，由题意可知当x ≤1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (1)<g (0)，即f (0)>32，所以f (1)－f (0)<－32，即m ≠1，排除A ，B ，C.故选D.答案 D 特教评析本题的难点在于，分析出函数g (x )的中心对称性，而排除法成功的回避了这个难点，极大的节省了解题时间．在解选择题时，用好排除法往往能取得很好的效果．『针对训练』1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510答案 B。

保温卷二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{a,2}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．0 B ．0或1 C ．2 D ．0或1或2答案 B解析 由B ⊆A ，可知B ＝{0,2}或B ＝{1,2}，所以a ＝0或1.故选B. 2．已知i 为虚数单位，若11－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a b ＝( ) A ．1 B ． 2 C.22 D ．2 答案 C解析 i 为虚数单位，11－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则11－i ＝1＋i 2＝a ＋b i ，根据复数相等得到⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，所以a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22.3．“k ＝33”是“直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以|2k |k 2＋1＝1，则k ＝±33. 所以“k ＝33”是“直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相切”的充分不必要条件．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x <0，4x ，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)＝( )A ．9B ．11C ．13D ．15答案 B解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，4x ，x ≥0，∴f (－3)＋f (log 23)＝log 24＋4log23＝2＋9＝11.5．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析 模拟执行循环结构的程序框图， 可得：n ＝6，i ＝1， 第1次循环：n ＝3，i ＝2； 第2次循环：n ＝4，i ＝3； 第3次循环：n ＝2，i ＝4，此时满足判断框的条件，输出i＝4.6．设不等式组⎩⎨⎧x－2≤0，x＋y≥0，x－y≥0表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则P点的坐标满足不等式x2＋y2≤2的概率为()A.π8B．π4C．12＋πD．12＋π答案 A解析画出⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，x＋y≥0，x－y≥0所表示的区域Ω如图中阴影部分所示，易知A(2,2)，B(2，－2)，所以△AOB的面积为4，满足不等式x2＋y2≤2的点在区域Ω内是一个以原点O为圆心，2为半径的14圆面，其面积为π2，由几何概型的公式可得所求概率为P＝π24＝π8.7．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为()A．20%,369 B．80%,369C．40%,360 D．60%,365答案 A解析设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b (1－a )2＝80，b (1－a )＋b (1－a )3＝164，b ＋80＋164＝m ，解得b ＝125，a ＝20%，m ＝369.8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83 B ．833C ．163D ．1633答案 B解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ ：y ＝3(x －1)与y 2＝4x 联立得34y 2－y －3＝0.∴y 1＋y 2＝433，y 1y 2＝－4.又∵S △MFN ＝12×2×|y 1－y 2|.∴S △MFN ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝833.故选B.9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则三个数a ＝f (－log 313)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1218，c ＝f (20.6)的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b答案 C解析 ∵2＝log 39<log 313<log 327＝3，log 1218＝log 28＝3,0<20.6<21＝2，∴0<20.6<log 313<log 1218，∵f (x )为偶函数，∴a ＝f (－log 313)＝f (log 313)， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 12 18>f (log 313)>f (20.6)，即b >a >c . 10．函数f (x )＝2x －ln x －1的图象大致为( )答案 A解析 由函数f (x )的定义域为{x |x >0且x ≠1}，可排除C ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >0，可排除B ；当x →＋∞时，f (x )>0，可排除D ，故选A.11．将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序．若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其他各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x ，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f [f (x )]－m 的零点个数至多有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．9个答案 A解析 当x <0时，f ′(x )＝(x ＋2)e x ，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数，f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示．令t ＝f (x )，则当t ∈(－1，1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f [f (x )]－m 的零点个数至多有3个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝________.答案 1解析 ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m ＝1.14．下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.答案 5.25解析 因为x －＝1＋2＋3＋44＝2.5，y －＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以点(2.5,3.5)在回归直线y ^＝－0.7x ＋a ^上， 即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________．答案 55解析设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a＝12，x ＝2c ，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b 2＝1，解得e ＝55. 16．已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________．答案 27π32a 2解析 设底面△ABC 的外接圆半径为r ，则asin π3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，所以R ＝64a .因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差是1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2an 的前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋8)，解得a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .(2)T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以12T n ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1. 所以T n ＝2－2＋n2n .18．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．解(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO＝O，DO，PO⊂平面PDO，所以AC⊥平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，点C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为12×2×1＝1.又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，故三棱锥P－ABC体积的最大值为13×1×1＝1 3.(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以PB＝12＋12＝ 2.同理PC＝2，所以PB＝PC＝BC.在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB 旋转至平面C′PB，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 的中点．从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62. 19．(本小题满分12分)为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数．他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示．(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：每天步数分组(千步)[6,8) [8,10) [10,14] 评价级别及格良好优秀现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率．解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05＋0.075＋x 2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5，所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步)．(2)设评价级别是及格的2天分别为a，b，评价级别是良好的3天分别为x，y，z，则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果：ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab，xy，xz，yz.所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P＝410＝2 5.20．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－83，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．解(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义知|QF|＝x0＋p 2，又|QF|＝2|PQ|，|PQ|＝x0，所以2x0＝x0＋p2，解得x0＝p2，将点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4代入抛物线方程，解得p ＝4.(2)证明：由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ， 所以点T 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝8x得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n >0. 所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ， 所以k MT ＋k NT ＝y 1＋2x 1－12＋y 2＋2x 2－12 ＝y 1＋2y 218－12＋y 2＋2y 228－12＝8y 1－2＋8y 2－2 ＝8(y 1＋y 2)－32y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝64m －32－8n －16m ＋4＝－83， 解得n ＝m －1，所以直线MN 的方程为x ＋1＝m (y ＋1)，恒过定点(－1，－1)． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解 (1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x . 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83. g ′(x )，g (x )的情况如下：所以g (x )的最小值为－6，最大值为0. 故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a <－3时，M (a )≥F (0)＝|g (0)－a |＝－a >3； 当a >－3时，M (a )≥F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a >3； 当a ＝－3时，M (a )＝3. 综上，当M (a )最小时，a ＝－3.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋2t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－16cos θ＝0，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P (1,3)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求1|P A |＋1|PB |的值．解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋2t (t 为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1， 曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－16cos θ＝0， 即ρ2sin 2θ－16ρcos θ＝0，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝16x . (2)直线的参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t(t 为参数)，代入y 2＝16x ，得45t 2－455t －7＝0，则t 1＋t 2＝5，t 1t 2＝－354， 1|P A |＋1|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝81035.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －3|. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 解 (1)f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋|x －3|≤x ＋1.①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5.又∵x>3，∴3<x≤5.综上所述，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5.∴原不等式的解集为[1,5]．(2)证明：由绝对值不等式的性质，得|x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2，当且仅当(x－1)(x－3)≤0，即1≤x≤3时，等号成立，∴c＝2，即a＋b＝2.令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，a2 a＋1＋b2b＋1＝(m－1)2m＋(n－1)2n＝m＋n＋1m＋1n－4＝4mn≥4⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝1.。

稳取120分保分练（一)一、选择题1．若z＝错误!，则|z|＝( ）A.错误!B．1C．5 D．25解析:选B z＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i，则｜z|＝错误!＝1。

2．设集合A＝{x∈Z｜｜x|≤2｝，B＝错误!，则A∩B＝（) A．{1，2} B．｛－1，－2}C．{－2,－1,2｝D．｛－2，－1，0,2}解析:选C A＝｛－2,－1，0,1，2｝，B＝错误!，所以A∩B＝{－2，－1,2｝．3．向量a，b满足|a|＝错误!，｜b|＝2,（a＋b)⊥(2a－b）,则向量a与b的夹角为（)A．45°B．60°C．90°D．120°解析:选C 因为(a＋b）⊥(2a－b），所以（a＋b)·（2a－b）＝2a2＋a·b－b2＝4＋a·b－4＝0，即a·b＝0,从而a⊥b,即向量a，b 的夹角为90°.4．已知一组数据（2,3)，(4，6），（6,9)，(x0，y0)的线性回归方程为错误!＝x＋2，则x0－y0的值为( ）A．2 B．4C．－4 D．－2解析：选D 由题意知错误!＝错误!(2＋4＋6＋x0)＝错误!（12＋x0）,错误!＝错误!(3＋6＋9＋y0)＝错误!（18＋y0），∵线性回归方程为错误!＝x＋2，∴错误!(18＋y0）＝错误!（12＋x0)＋2,解得x0－y0＝－2.5．已知a＝243，b＝425,c＝2513，则( ）A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析:选A ∵a＝243,b＝425＝245，错误!＞错误!,∴a＞b，又a＝2错误!＝错误!，c＝错误!,∴a＜c，故c＞a＞b。

6．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且a＝4，b＋c＝5，tan A＋tan B＋3＝错误!tan A tan B,则△ABC的面积为（）A。

错误!B．3错误!C。

新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编课 时 跟 踪 检 测[基 础 达 标]1．(2017届南宁质量检测)已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223D.326解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：C2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A.118 B.1718 C.89D.29解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718. 答案：B3．(2018届东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6＋α，则cos2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.答案：D4．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( )A ．－2B ．－1C ．－211D.211解析：由题意，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan (α－β)1＋tan2αtan (α－β)＝－2. 答案：A5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.② 由①②可得cos α＋sin α＝－15.③ 由①③可得sin α＝35. 答案：C7．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210D.7210解析：∵sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210.答案：A8．已知cos(α＋β)＝16，且cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________． 解析：因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：139．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴a ，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4. 答案：－3π410．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ()α＋β的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.11．(2017届广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 12．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f 4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 817×45－1517×35＝－1385.[能 力 提 升]1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18 解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20° ＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18. 答案：A2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝( )A ．－12 B.12 C ．－13D.2327解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.故选D. 答案：D3．(2018届合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

高考数学大二轮复习冲刺创新专题仿真模拟卷三文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤2，x ，y ∈N }，则A 中元素的个数为( ) A ．1 B ．5 C ．6 D ．无数个答案 C解析 由题得A ＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A 中元素的个数为6.2．已知i 是虚数单位，z －是z 的共轭复数，若z (1＋i)＝1－i 1＋i ，则z －的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i答案 A解析 由题意可得z ＝1－i 1＋i2＝1－i 2i ＝12i －12＝－12i －12，则z －＝－12＋12i ，据此可得z －的虚部为12.3．“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 方程x 2m ＋y22－m＝1表示椭圆，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2－m >0，m ≠2－m⇒0<m <2且m ≠1，所以“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0B ．3a<3bC ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln (a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，知B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．30B ．31C ．62D ．63答案 B解析 由流程图可知该算法的功能为计算S ＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S ＝1＋21＋22＋23＋24＝1×1－251－2＝31.6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32答案 C解析 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.7．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．52答案 B解析 由题意可得AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝1λAB →2＋13BC→2＋⎝⎛⎭⎪⎫13λ＋1AB →·BC →，且AB →2＝BC →2＝4，AB →·BC →＝2×2×cos120°＝－2，故4λ＋43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1×(－2)＝1，解得λ＝2.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则角A ＝( )A.2π3 B.π3 C.π6D.5π6答案 D解析 ∵a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0， ∴3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ， ∴3sin(A ＋C )＝3sin B ＝－b cos A ， ∴3a sin B ＝－b cos A ，由正弦定理可得3sin A sin B ＝－sin B cos A ， ∵sin B >0，∴3sin A ＝－cos A ，即tan A ＝－33， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f (x )＝x 4|4x －1|的图象大致是( )答案 D解析 因为函数f (x )＝x 4|4x －1|，f (－x )＝－x 4|4－x －1|＝x4|4－x －1|≠f (x )，所以函数f (x )不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，B ；又因为f (3)＝97，f (4)＝256255，所以f (3)>f (4)，而C 在x >0时是递增的，故排除C.10．在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC→≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．AC ＝BCB ．AB ＝AC C ．∠ABC ＝π2D ．∠BAC ＝π2答案 A解析 (直接法)由题意，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，取B (4,0)，则P 0(3,0)，设P (a,0)(a ∈[0,4])，C (x 0，y 0)，则PB →＝(4－a,0)，PC →＝(x 0－a ，y 0)，P 0B →＝(1,0)，P 0C →＝(x 0－3，y 0)，则(4－a )(x 0－a )≥x 0－3，即a 2－(4＋x 0)a ＋3x 0＋3≥0恒成立，所以Δ＝[－(4＋x 0)]2－4(3x 0＋3)≤0，即(x 0－2)2≤0，解得x 0＝2，则易知点C 在边AB 的垂直平分线上，所以AC ＝BC ，故选A.11．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )A ．1－3π6B ．1－3π12C ．1－3π9D ．1－3π18答案 A解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示．设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝π2，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6，故选A. 12．若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln (x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则非零实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x －2e ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫这里t ＝m x ＋1>0，令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et，令h (t )＝f ′(t )，则h ′(t )＝1t ＋2et2＞0，∴h (t )为增函数，即f ′(t )为增函数．当t ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0， 当0＜t ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0，∴f (t )≥f (e)＝－e ，且当t →0时，f (t )→＋∞， ∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e，故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________．答案 －2解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解得A (2,2)，z ＝y x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率． ∵k PA ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3的最小值是－2.14．已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________．答案 12π解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大．此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.15．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________．答案2＋1解析 设点M 的坐标是(x ，y )， ∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋y ＋22＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)， 则|OA →＋OB →＋OM →|＝x ＋12＋y ＋12，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离．又点P (－1，－1)在圆C 的外部， ∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1 ＝0＋12＋－2＋12＋1＝2＋1.16．函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝ex －1；②f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1－x ，x <0，x －13＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________．(填序号) 答案 ①② 解析 ①设φ(x )＝ex －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0. ∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，所以ex －1－x ≥0，ex －1≥x ，故∃a ＝1，使f (x )≥ax 在R 上恒成立，①中函数f (x )具有性质P ； ②易知f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝sin2x (x ≤0)．令φ(x )＝f (x )－2x ＝sin2x －2x (x ≤0)， 则φ′(x )＝2cos2x －2.∴φ′(x )≤0，∴φ(x )在(－∞，0]上是减函数， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，故f (x )≥2x 恒成立． ∴∃a ＝2，使得f (x )≥ax 在(－∞，0]上恒成立， ②中函数f (x )具有性质P ；③作函数y ＝f (x )与直线y ＝ax 的图象，显然当y ＝ax 过点O (0,0)，A (1,1)，B (2,2)时，。

第6讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 高考对三角函数的图象的考查有：利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的图象研究三角函数的性质、由三角函数的部分图象确定解析式等．三角函数的性质是高考的一个重要考点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题，常通过三角变换将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)．热点题型分析热点1 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系1.利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号，利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．3.已知tan α的值，求关于sin α与cos α的齐n 次分式的值：分子、分母同除以cos nα，转化为关于tan α的式子求解．1.若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625答案 A解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 2.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.答案 －79解析 由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )，sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.第1题中易忽略sin 2α＋cos 2α＝1的应用，想不到将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解．第2题易错点有二：一是不能把角α与角β的终边关于y 轴对称正确转化出角α与角β的关系；二是由α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )不能利用诱导公式正确得出角α与角β的正余弦之间的关系.热点2 三角函数的图象与解析式1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找到第一个零点的位置．2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．周期变换只是相对于自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．题型1 三角函数的图象与变换(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 解法一：因为C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把C 1：y ＝cos x 图象上各点的横坐标变为原来的12，得到y ＝cos2x ，再把y ＝cos2x 图象上各点的横坐标向左平移π12个单位得到C 2.故选D.解法二：因为C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把C 1：y ＝cos x 图象上各点的横坐标向左平移π6个单位得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标变为原来的12得到C 2.故选D.变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.题型2 利用三角函数图象求解析式已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y ＝g (x )的图象重合，则( )A.g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C.g (x )＝2sin2x D ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 A解析 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象，可得34T ＝34·2πω＝2π3＋π12，∴ω＝2，利用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝0，可得ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y ＝g (x )的图象重合，故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.本题易错点有二：一是不能由图象得出34T 的值，从而不能正确得出ω；二是判断不准零点x ＝－π12对应的是ωx ＋φ＝0还是ωx ＋φ＝π，从而影响φ的正确得出．一般地，利用零点时，图象上升时与x 轴的交点：ωx ＋φ＝0；图象下降时与x 轴的交点：ωx ＋φ＝π.如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的.热点3 三角函数的性质(高频考点)求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识：(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的x ，采用整体代换求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.题型1 三角函数的定义域和值域1.(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析 ∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝23＋8k (k ∈Z )，∵ω>0，∴ω的最小值为23.2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.第2题易错点有二：一是变换的目标不明确，不能化为“一角一函数”的形式进而求解；二是换元之后忽略新元定义域而导致出错.题型2 三角函数的单调性(2019·汕头一模)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2内是增函数，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1 B ．f (x )的周期为π2C.ω的最大值为4 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0答案 C解析 解法一：由题知，π2－π4≤T 2，又T ＝2πω，∴π4≤πω，即14≤1ω，ω≤4，C 正确．故选C. 解法二：当ω＝1，φ＝0时，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＝sin x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22≠－1，排除A ；f (x )的最小正周期为2π，排除B ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝22≠0，排除D.故选C.本题对y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间求法不熟易导致无从下手. 题型3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(2019·青岛模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位后，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法错误的是( )A.y ＝g (x )的最小正周期为πB.y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π6对称C.y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 D.y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0答案 C解析 把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位后，得到y ＝g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，故g (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 正确；令x ＝π6可得g (x )＝1，为最大值，故y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故B 正确；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上没有单调性，故C 错误；由x ＝5π12，可得g (x )＝0，故y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，故D 正确．故选C.本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致g (x )解析式错求为g (x )＝sin2x ；二是不会利用y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的整体代换意识解决此类问题.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55 C.33D.255答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B.2.(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4 D ．π答案 A解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴由2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )， ∴[－a ，a ]⊂⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴－a <a ，－a ≥－π4，a ≤3π4，∴0<a ≤π4，从而a 的最大值为π4，故选A.3.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 4.(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．答案 －π6解析 由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，所以2π3＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.专题作业一、选择题1.(2019·河北唐山二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点A (2sin α，3)，则cos α＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 A解析 由三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，故选A.2.已知tan α＝－12，且α∈(0，π)，则sin2α＝( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 答案 B解析 由tan α＝－12，且α∈(0，π)，得sin α＝15＝55，cos α＝－255，由二倍角公式得sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45.故选B. 3.函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 y ＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，∵sin x ∈[－1,1]，当sin x ＝12时，y max ＝32.故选C.4.(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A.2B.32 C ．1 D.12答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知，12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.5.(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A.2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0，即2sin x －2sin x ·cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．故选B.6.(2019·衡水联考)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象向左平移π6个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )A.最小正周期为πB.图象关于直线x ＝π12对称C.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D.初相为π3答案 C解析 易求得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其最小正周期为π，初相为π3，即A ，D 正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin π2＝2.故函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π12对称，即B 正确，C 错误．故选C.7.(2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A.－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin2x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.故选C.8.(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24答案 A 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.9.(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 答案 C 解析 T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2x －π2＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．故选C.10.(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B ．②③ C.①②③ D ．①③④答案 D解析 已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x ∈[0,2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<πω10＋π5<49π100<π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，所以③正确．故选D.二、填空题11.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.答案 35 45解析 由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α ＝－cos α·(－sin α)，即sin α·cos α＝1225.又∵0<α<π4，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.12.(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为________．答案π12解析 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝－2cos2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)， 则由图象知，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z )． 又0<φ<π2，所以φ＝π12.13.(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎪⎫ω＞23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．(结果用区间表示)答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78解析 f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，∵函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则T 2＝πω≥2π－π，∴ω≤1，∴23<ω≤1.令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z )．∴3π4ω＋k πω≤π且3π4ω＋k ＋1πω≥2π(k ∈Z )， ∴ω≥34＋k 且ω≤k ＋12＋38(k ∈Z )，∴k ＝0.此时，ω≥34且ω≤78.综上，34≤ω≤78.14.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12解析 ∵f (x )＝1－23cos 2x －(sin x －cos x )2＝sin2x －3cos2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.。