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考点03函数的概念与基本性质一、考纲要求1、理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域和值域2、理解简单的分段函数，能求出给定自变量所对应的函数值，会画出函数的图像3、理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性4、了解函数奇偶性的含义5、会运用函数的图像理解和研究函数的性质。
理解二次函数的图像和性质。
能运用数形结合的思想结合在区间上的最值。
二、近五年高考分析从近几年江苏高考可以看出，函数的性质是近几年江苏的热点也是重点考查的知识点。
函数的定义域在这几年多次考查，函数的性质几乎每年都要进行考查，在大题中经常与导数等知识点结合考查，因此，对应本章要重点复习，要引起足够的重视。
三、考点总结函数是江苏高考的重点和热点，在填空题和解答题中多以压轴题的形式出现，试题的区分度很强。
在高考和各类考试中重点考查函数的定义域和值域以及函数的性质即函数的周期性、单调性和奇偶性。
因此，在复习中要注意一下几点：①函数的解析式主要有待定系数法、换元法、构造方程组的方法；②求函数的定义域要特别注意结果一定要写成集合的形式；函数的值域的方法有图像法、配方法、换元法、基本不等式、单调性以及运用导数等方法；③函数的性质有单调性要注意区间若含有多个区间用逗号或者和连接、周期性要记住一些常见的结论，奇偶性要注意定义域要关于原点对称。
注意题目的综合运用。
四、五年真题1、(2019江苏卷)函数y =_____. 【答案】[1,7]-.【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.2.(2019江苏卷)设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】13⎡⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 3、（2018年江苏卷）. 函数满足，且在区间上，则的值为________． 【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 解析：由得函数的周期为4，所以因此4、（2018年江苏卷） 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.5、（2017年江苏卷） 设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．【答案】8解析：首先f (x )∈[0,1)，所以方程f (x )＝lg x 的解x 0∈[1,10)．由图像可知，在[9,10)上方程无解，方程在[1,9)上的整数解只有x ＝1.再按x －k ∈D 和x －k ∉D 两种情况，讨论f (x )＝lg x 在(k ，k ＋1)上的解，其中k ＝1,2， (8)① 若x －k ∈D ，且x ∈(k ，k ＋1)，其中k ＝1,2,3，…，8，设x －k ＝n －1n ，n ∈N *且n ≥2.则方程为()221n n -＝lg ⎝⎛⎭⎫k ＋1－1n ，即10(n －1)2＝⎝⎛⎭⎫k ＋1－1n n 2，这样的n 不存在． ②若x －k ∉D ，且x ∈(k ，k ＋1)，其中k ＝1,2，…，8，则方程为x －k ＝lg x .记g (x )＝x －lg x －k ，则g ′(x )＝1－1x ln10＞1－1ln10＞0，所以g (x )在(k ，k ＋1)上递增．因为g (k )＝－lg k ，g (k ＋1)＝1－lg(k ＋1)＞0，所以在(1,2)内无解，当k ＝2,3，…，8时，在x ∈(k ，k ＋1)内各恰有一解，共有7解． 与①类似，可证这些解都是无理数，从而满足x －k ∉D . 综上所述，方程共有8解．解后反思 对于解答题，尽量不用“由图像可知”，可把“思路分析”中的内容并入①②，并稍作改动，例如在①中允许n ＝1，则k ＝1，得x ＝1.试试写一下．另外，若把题中的D 改为区间[0,1)中的所有有理数组成的集合，再试做一下．6、（2017年江苏卷） 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】思路分析 先容易判断f (x )是奇函数，再确定f (x )的单调性．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又因为f (x )是奇函数，所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (2a 2)≤f (1－a )⇔2a 2≤1－a .即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.解后反思 这类题的解题思路是：先确定所给“特定函数”的奇偶性和单调性，再用“一般函数”的性质解“抽象的不等式”，而不是去解一个“具体的不等式”．7、（2016年江苏卷） 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 【答案】[－3,1]【解析】由3－2x －x 2≥0得－3≤x ≤1，所以函数y ＝3－2x －x 2的定义域为[－3,1]．8、（2016年江苏卷） 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝()()(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25【解析】因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝a －12，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝110，从而得a －12＝110，解得a ＝35，所以f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.五、三年模拟题型一：函数的定义域和表示1、(2019泰州期末） 函数y ＝1－x 2的定义域是________． 【答案】[－1，1]【解析】要使函数式有意义，则有1－x 2≥0，即x 2－1≤0，解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]． 易错警示 定义域、值域、解集一定要写成集合或区间的形式，否则会产生不必要的扣分． 2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 函数y ＝4x －16的定义域为________． 【答案】[2，＋∞)【解析】由4x －16≥0，得4x ≥16＝42，解得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．【答案】log 23【解析】当a －1≤0，即a≤1时，f(a －1)＝log 2(4－a)＝12，解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a －1－1＝12，解得a ＝log 23.解后反思 本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想． 4、(2018苏北四市期末） 函数y ＝log 12x 的定义域为________． 【答案】(0，1]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 12x≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x≤1，所以0<x≤1，即该函数的定义域为(0，1]．5、(2017常州期末） 函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．【答案】(－2,1]【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2＞0，解得－2＜x ≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．6、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 函数f (x )＝－x 2的定义域是________．【答案】[－2,2]【解析】思路分析 被开方数lg(5－x 2)非负．由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2－4≤0，解得－2≤x ≤2.题型二：函数的值域1、(2018南京三模）．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为 ． 【答案】2【解析】周期为3，所以2)1()1(0),0()3(==+∴==f a f a f f2、(2018南京、盐城一模） 设函数y ＝e x ＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]【解析】因为e x >0 ，所以y ＝e x ＋1ex －a≥2e x ·1ex －a ＝2－a ，当且仅当e x ＝1，即x ＝0时取等号．故所求函数的值域A ＝[2－a ，＋∞)．又A ⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.3、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x ＋ax (a>0)，当x ∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A ，若A ⊆[8，16]，则a 的值是________． 【答案】15【解析】思路分析 题设“当x ∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A ，若A ⊆[8，16]”等价于“对于任意的x ∈[1，3]，不等式8≤x ＋ax≤16恒成立．解法1(分离变量法) 由题意，对于任意的x ∈[1，3]，不等式8≤x ＋ax ≤16恒成立，也就是说，不等式x(8－x)≤a≤x(16－x)恒成立，故[x(8－x)]max ≤a≤[x(16－x)]min ，即15≤a≤15，所以a ＝15.解法2(特值法) 由题意，当x ＝1，3时，⎩⎪⎨⎪⎧8≤f （1）＝1＋a≤16，8≤f （3）＝3＋a3≤16，即⎩⎪⎨⎪⎧7≤a≤15，15≤a≤39，所以a ＝15. 本题命题的根源是用“两边夹法则”化不等式为等式．两边夹法则的内容是：如果x ，a 是实数，且a≤x≤a ，那么x ＝a.两边夹法则的变式有：①若(x －y)2≤0，则x ＝y ；②若a≤f(x)≤a ，则f(x)＝a ；③若g(x)≤f(x)≤g(x)，则f(x)＝g(x)．两边夹法则体现了由不等向相等、由变量向常量的转化思想．本题是“知不等式求值”问题，故可从两边夹法则思路来考虑．4、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________． 【答案】(－2，0)【解析】思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数y ＝f(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1； 当a >－12时，f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2.综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)． 令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0.5、(2018扬州期末） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|，x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎦⎤12，2【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，①当x ∈[－1，k]时，f(x)＝log 12(－x ＋1)－1，它在[－1，1)上是单调递增的，且f(－1)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，因为该函数在[－1，a]上的值域为[－2，0]，所以必须有－1<k≤12；②当x ∈(k ，a]时，f(x)＝－2|x －1|，在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝f(2)＝－2，f(1)＝0，因为函数的值域为[－2，0]，所以必须有0≤k<a≤2.综合①②，要求存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则必须0≤k≤12<a≤2.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.易错警示 这里易错写成⎣⎡⎦⎤12，2，对于区间端点究竟是开还是闭，可通过检验的方式判定，这里若a ＝12，f(a)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，因为k<a ＝12，f(k)<0，这样函数f(x)的值域里就不含有函数值0，与题意值域为[－2，0]不符，故a≠12.题型三： 函数的性质1、(2019南京学情调研）若函数f(x)＝a ＋12x－1是奇函数，则实数a 的值为________． 【答案】12【解析】解法1(特殊值法) 因为函数f(x)为奇函数，且定义域为{x|x≠0}，所以有f(1)＋f(－1)＝0，即(a ＋1)＋(a －2)＝0，解得a ＝12.解法2(定义法) 因为函数f(x)为奇函数，所以有f(x)＋f(－x)＝0，即a ＋12x －1＋ a ＋12－x －1＝0，即2a －1＝0，解得a ＝12.易错警示 本题由于是填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．2.(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≥0，－x 2＋ax ，x<0，为奇函数，则实数a 的值等于________．【答案】－2【解析】解法1(特殊值法) f(－1)＝－1－a ，f(1)＝－1, 因为f(x)为奇函数，所以－1－a ＝1，则a ＝－2. 解法2(定义法) 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x 2＋2x ＝－f(x)，即x 2＋2x ＝x 2－ax 对x<0恒成立，所以a ＝－2.3.(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )．当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为________． 【答案】. 2【解析】因为f(x ＋2)＝f(x)，则f(－1)＝f(1)，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，则有f (1)＝－f (1)，即f (1)＝0，所以1－a ＋1＝0，则a ＝2，故答案为2.4.(2019镇江期末） 已知函数f(x)＝12x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．【答案】(2，3)【解析】思路分析 用函数的单调性和奇偶性解答．函数f(x)的定义域为R ，且f (－x )＝12－x －2－x ＝－12x ＋2x ＝－f (x )，故f (x )在R 上是奇函数．又12x 与－2x 在R上都是单调递减的，从而f (x )在R 上单调递减，从而由题意可得f (x 2－5x )>－f (6)＝f (－6)，故x 2－5x <－6，解得2<x <3.5、(2018南京学情调研）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是________． 【答案】(－∞，2]【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f (x )在R 上为单调增函数．又因为f (－1)＝－2，所以f (1)＝2，故f (2x －3)≤2＝f (1)，即2x －3≤1，解得x ≤2.6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－1，1)解法1(奇偶性的性质) 因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f (a )＋f (－a )＝2 f (|a |)<4，即f (|a |)<2，即|a |2＋|a |<2，(|a |＋2)(|a |－1)<0，解得－1<a <1.解法2(奇偶性的定义) 当x≤0时，－x≥0，又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ≤0.当a ≥0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2＋a )＋(－a )2－(－a )＝2a 2＋2a <4，解得0≤a <1；当a ≤0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2－a )＋(－a )2＋(－a )＝2a 2－2a <4，解得－1<a ≤0.综上，－1<a <1.解后反思 解法2是从函数的奇偶性定义入手，先求函数解析式，再对a 分类求解，没有充分运用函数的奇偶性，而解法1借助了函数奇偶性的性质，即对于R 上偶函数f (x )有f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，把自变量化成非负值，避免分类讨论．7、(2017苏州暑假测试） 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (－1)＝________. 【答案】－1【解析】因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(2－1)＝－1，因此f (0)＋f (－1)＝－1.8、(2017苏北四市期末）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________． 【答案】(－∞，－3]【解析】当x ＞0时，f (x )＝2x －3＞－2；因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝2－x －3，f (x )＝－2－x ＋3，此时不等式f (x )≤－5可化为－2－x ＋3≤－5，解得x ≤－3.综上所述，该不等式的解集为(－∞，－3]．9、(2017无锡期末）已知()()()()23,0,0xx f x g x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则f (g (－2))＝________. 【答案】1【解析】因为f (x )是奇函数，所以g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－1，从而f (g (－2))＝f (－1)＝－f (1)＝1. 解后反思 解决本题的关键是充分利用奇函数的性质进行恰当赋值．题型四：函数性质的综合运用1、(2019泰州期末）、已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－1，＋∞)【解析】函数f(x)＝2x 4＋4x 2为偶函数，因为f′(x)＝8x 3＋8x ＝8x(x 2＋1)，所以当x ∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x ∈(－∞，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a ＋3)>f(a －1)，得f(|a ＋3|)>f(|a －1|)，即(a ＋3)2>(a －1)2，解得a>－1，所以实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．2、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．【答案】(－2，3)【解析】解法1 f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则当x <0时，有－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－5(－x )]＝－x 2－5x ，即()()()225x,05x,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，. ①当x ≥1时，由f (x －1)>f (x )得(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得x <3，所以1≤x <3；②当0≤x <1时，由f (x －1)>f (x )得－(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得－1<x <2，所以0≤x <1；③当x <0时，由f (x －1)>f (x )得－(x －1)2－5(x －1)>－x 2－5x ，解得x >－2，所以－2<x <0.综上，由①②③得不等式f (x －1)>f (x )的解集为(－2，3)．解法2 在同一坐标系中分别作出函数y ＝f(x)与y ＝f(x －1)的图像(将函数y ＝f(x)的图像向右平移一个单位长度得到y ＝f(x －1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－2，6)，(3，－6)，从图像可得f(x －1)>f(x)的解集为(－2，3)．3、(2019苏北三市期末）已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x 的不等式f (2－x )>0的解集为________．【答案】(0，4) f(x)＝(x －2)(ax ＋b)＝ax 2＋(b －2a)x －2b.因为函数f(x)是偶函数，所以b ＝2a, 故f(x)＝ax 2－4a.又函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.解法一(代数角度) f(2－x)＝a(2－x)2－4a>0，即(2－x)2<4，即－2<2－x<2，即0<x<4，故所求不等式的解集是(0，4)．解法二(数形结合) 作出函数f(x)的示意图，如图．从图像可知f(x)>0，需－2<x<2，故f(2－x)>0，只需－2<2－x<2，解得0<x<4，故所求不等式的解集是(0，4)．4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x 的值为________．【答案】337【解析】思路分析 去绝对值化简f(x)，由f(x)的图像得到函数f(x)在R 上单调递增且关于点⎝⎛⎭⎫－a 2，0对称，根据f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，求得a 的值，再解不等式，求得x 的值．【解析】f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--<<+--≥++a x a x a a x a a x a x a x ,2),2(32,)2()2(22，结合函数的图像可知：函数f (x )在R 上单调递增且关于点⎝⎛⎭⎫－a 2，0对称，因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，所以1＋6722＝－a 2，解得 a ＝－673.由f (x )＝2019，当x ≤－673时，f (x )＝－(2x ＋a )2≤0，不成立；当－673<x <1346时，(－3)×(－673)(2x －673)＝2019，解得x ＝337，又因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2019有唯一解x ＝337，故所求x 的值为337.5、(2018苏州暑假测试） 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，－32 【解析】思路分析 在函数性质问题中，出现“双f”特征“f(x ＋a)≥f 2(x)”应联想到直接代入解析式求解(解法1)、用函数的单调性求解(解法2)，故法1只需根据条件求出函数f(x)的解析式；法2的难点在于是否能够把f 2(x)写成f(t)的形式，易知f 2(x)＝f(2x)．解法1(利用解析式) 当x≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32.解法2(偶函数的性质) 当x≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同解法1.6、(2018扬州期末） 已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f(1－x 2)＋f(5x －7)<0的解集为________．【答案】{x|2<x<3}【解析】因为函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x 2x 的定义域为R ，且f (－x )＝sin(－x )－(－x )＋1－4－x2－x ＝－sin x ＋x ＋4x －12x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，所以由奇函数的定义可知f (x )为R 上的奇函数．又f ′(x )＝cos x －1－1＋4x 2x ln2.因为－1≤cos x ≤1，ln2>0，则有f ′(x )<0，所以f (x )为R 上的减函数，因此不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0，即f (1－x 2)<－f (5x －7)，亦即f (1－x 2)<f (7－5x )，即1－x 2>7－5x ，解得2<x <3，故不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0的解集为{x |2<x <3}．解后反思 解此类抽象不等式，很少运用函数表达式，通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f ，将它转化为关于变量x 的具体不等式来解．。
解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2018课标Ⅱ,6,5分余弦定理二倍角公式★★★2017课标Ⅱ,17,12分余弦定理及面积公式二倍角公式和同角三角函数的平方关系2.解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017课标Ⅰ,17,12分正弦定理、余弦定理和三角形面积公式两角和的余弦公式★★★2018课标Ⅲ,9,5分余弦定理和三角形面积公式特殊角的函数值2016课标Ⅰ,17,12分正弦、余弦定理和三角形面积公式两角和的正弦公式分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.破考点【考点集训】考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sinB,c=√5,且cos C=56,则a=( )A.2√2B.3C.3√2D.4答案 B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=2√23,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π 答案 C3.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c 分别是△ABC 内角A,B,C 的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(A +A )sin2A= .答案 1考点二 解三角形及其综合应用1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A +A +A sin A +sin A +sin A =2√33,A=π3,b=1,则△ABC的面积为( )A.√32B.√34C.12D.14答案 B2.如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于( )A.10 mB.5√3 mC.5(√3-1)mD.5(√3+1)m 答案 D3.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC 中,边AB 的垂直平分线交边AC 于D,若C=π3,BC=8,BD=7,则△ABC 的面积为 . 答案 20√3或24√3炼技法 【方法集训】方法1 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2017广东珠海调研,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=12asin C,则sin B=( ) A.√74 B.34 C.√73 D.13答案 A2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=√3c,则角C 的大小为 . 答案π33.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC 中,D 为线段BC 上一点(不能与端点重合),∠ACB=π3,AB=√7,AC=3,BD=1,则AD= . 答案 √7方法2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状1.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若tan A -tan A tan A +tan A =A -AA,则这个三角形必含有( ) A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角答案 B2.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A 的大小;(2)若sin B+sin C=√3,试判断△ABC 的形状. 解析 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得2a 2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b 2+c 2-a 2, 所以cos A=A 2+A 2-A 22AA =12,因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°. 由sin B+sin C=√3,得sin B+sin(120°-B)=√3, 所以sin B+sin 120°cos B -cos 120°sin B=√3. 所以32sin B+√32cos B=√3,即sin(B+30°)=1.因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°. 所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC 为等边三角形. 方法3 与面积、范围有关的问题1.(2018河南中原名校联考,9)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2absinC=√3(b 2+c 2-a 2),若a=√13,c=3,则△ABC 的面积为( ) A.3 B.3√3 C.2√3 D.3√32答案 B2.(2018吉林长春一模,15)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(12b -sin A )cos A=sin Acos C,且a=2√3,则△ABC 面积的最大值为 . 答案 3√3过专题 【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 正弦定理和余弦定理1.(2014课标Ⅱ,4,5分,0.472)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( ) A.5 B.√5 C.2 D.1答案 B2.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 答案2113考点二 解三角形及其综合应用1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为A 2+A 2-A 24,则C=( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C2.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理得AA sin∠A =AAsin∠AAA . 由题设知,5sin45°=2sin∠AAA ,所以sin∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25. 所以BC=5.3.(2017课标Ⅲ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD⊥AC,求△AB D 的面积. 解析 (1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4ccos 2π3,即c 2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4. (2)解法一:由题设可得∠CAD=π2, 所以∠BAD=∠BAC -∠CAD=π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3.解法二:由余弦定理得cos C=7,在Rt△ACD 中,cos C=AAAA ,∴CD=√7,∴AD=√3,DB=CD=√7,∴S △ABD =S △ACD =12×2×√7×sin C=√7×√3√7=√3.解法三:∠BAD=π6,由余弦定理得cos C=√7,∴CD=√7,∴AD=√3,∴S △ABD =12×4×√3×sin∠DAB=√3.解法四:过B 作BE 垂直AD,交AD 的延长线于E,在△ABE中,∠EAB=2π3-π2=π6,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D 为BC 中点,∴S △ABD =12S △ABC =12×12×2×4×sin∠CAB=√3.4.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcosA)=c. (1)求C;(2)若c=√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.解析 (1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2cos Csin C=sin C.(4分) 可得cos C=12,所以C=π3.(6分)(2)由已知,得12absin C=3√32.又C=π3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5.(10分) 所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 正弦定理与余弦定理1.(2017山东,9,5分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案 A2.(2016天津,3,5分)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A3.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;3 4.(2018天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos (A -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC 中,由正弦定理A sin A =Asin A ,可得bsin A=asin B, 又由bsin A=acos (A -π6),得asin B=acos (A -π6), 即sin B=cos (A -π6),可得tan B=√3. 又因为B∈(0,π),可得B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3, 有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7.由bsin A=acos (A -π6),可得sin A=√3√7.又a<c,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin Acos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314.解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos (A -π6)是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a<c 确定cos A>0是求解第(2)问的关键. 失分警示 (1)由于忽略a<c 这一条件,从而导致cos A 有两个值,最终结果出现增解; (2)由于不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错. 考点二 解三角形及其综合应用1.(2018江苏,13,5分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 . 答案 92.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos∠BDC= . 答案√152;√1043.(2018北京,15,13分)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A; (2)求AC 边上的高.解析 (1)在△ABC 中,因为cos B=-17,所以sin B=√1-cos 2B =4√37.由正弦定理得sin A=A sin A A=√32. 由题设知π2<∠B<π,所以0<∠A<π2. 所以∠A=π3.(2)在△ABC 中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3√314,所以AC 边上的高为asin C=7×3√314=3√32.方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.4.(2017天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在△ABC 中,因为a>b,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B=13,所以b=√13. 由正弦定理A sin A =Asin A,得sin A=A sin A A =3√1313. 所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313.(2)由(1)及a<c,得cos A=2√1313,所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin 2A=-513.故sin (2A +π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7√226.方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.C 组 教师专用题组考点一 正弦定理与余弦定理1.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010答案 C2.(2015天津,13,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 答案 83.(2015广东,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=√3,sin B=12,C=π6,则b= . 答案 14.(2015重庆,13,5分)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC= . 答案 √65.(2015北京,12,5分)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2A sin A= .答案 16.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 答案 77.(2014天津,12,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为 . 答案 - 148.(2014广东,12,5分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则AA = . 答案 29.(2016浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C 的值.解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0<A-B<π, 所以,B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.(2)由cos B=23得sin B=√53, cos 2B=2cos 2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=4√59,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.评析 本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 10.(2015安徽,16,12分)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.解析 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=A sin∠AAA A ==√1010, 由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AA ·sin Asin(π-2A )=6sin A2sin A cos A=3cos A =√10.11.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos∠ADC=17. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC 的长.解析 (1)在△ADC 中,因为cos∠ADC=17, 所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC -∠B) =sin∠ADCcos B -cos∠ADCsin B =4√37×12-17×√32=3√314.(2)在△ABD 中,由正弦定理得BD=AA ·sin∠AAA sin∠AAA =8×3√314437=3,所以BC=5.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos B =82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.评析 本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识,考查分析推理、运算求解能力. 考点二 解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.若c 2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√3答案 C2.(2015课标Ⅰ,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案 (√6-√2,√6+√2)3.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为 . 答案 √34.(2014江苏,14,5分)若△ABC 的内角满足sin A+√2sin B=2sin C,则cos C 的最小值是 . 答案√6-√245.(2014山东,12,5分)在△ABC 中,已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A,当A=π6时,△ABC 的面积为 . 答案 166.(2017北京,15,13分)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a, 所以由正弦定理得sin C=A sin A A =37×√32=3√314. (2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×12, 解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.7.(2016山东,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tan A cos A +tan Acos A . (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值.解析 (1)证明:由题意知2(sin Acos A +sin Acos A )=sin Acos A cos A +sin Acos A cos A , 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=A +A 2,所以cos C=A 2+A 2-A 22AA =A 2+A 2-(A +A 2)22AA=38(AA +A A )-14≥12,当且仅当a=b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12. 8.(2016北京,15,13分)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求∠B 的大小;(2)求√2cos A+cos C 的最大值. 解析 (1)由余弦定理及题设得cos B=A 2+A 2-A 22AA =√2ac 2AA =√22. 又因为0<∠B<π, 所以∠B=π4.(6分) (2)由(1)知∠A+∠C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π4-A )=√2cos A-√22cos A+√22sin A =√22cos A+√22sin A =cos (A -π4).(11分)因为0<∠A<3π4,所以当∠A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.(13分)9.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin∠A sin∠A;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长. 解析 (1)S △ABD =12AB·ADsin∠BAD, S △ADC =12AC·ADsin∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠A sin∠A =AA AA =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos∠ADB①, AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos∠ADC②. ①+2×②得AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.10.(2015陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.解析 (1)因为m∥n,所以asin B-√3bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0, 又sin B≠0,从而tan A=√3, 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 及a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0, 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32.解法二:由正弦定理,得√7sinπ3=2sin A ,从而sin B=√217, 又由a>b,知A>B,所以cos B=2√77.故sin C=sin(A+B)=sin (A +π3)=sin Bcos π3+cos Bsin π3=3√2114.所以△ABC 的面积为12absin C=3√32.11.(2015湖南,17,12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A=π2;(2)求sin A+sin C 的取值范围.解析 (1)证明:由a=btan A 及正弦定理,得sin A cos A =A A =sin Asin A ,所以sin B=cos A,即sin B=sin (π2+A ).又B 为钝角,因此π2+A∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A +π2)=π2-2A>0,所以A∈(0,π4).于是sin A+sin C=sin A+sin (π2-2A )=sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1 =-2(sin A -14)2+98.因为0<A<π4,所以0<sin A<√22,因此√22<-2(sin A -14)2+98≤98.由此可知sin A+sin C 的取值范围是(√22,98].12.(2015浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知A=π4,b 2-a 2=12c 2.(1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.解析 (1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π4,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=2√55,cos C=√55.又因为sin B=sin(A+C)=sin (π4+C ), 所以sin B=3√1010.由正弦定理得c=2√23b,又因为A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2,故b=3.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 13.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos∠CAD 的值; (2)若cos∠BAD=-√714,sin∠CBA=√216,求BC 的长.解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD=AA 2+A A 2-C A 22AA ·AA ==2√77. (2)设∠BAC=α,则α=∠BAD -∠CAD. 因为cos∠CAD=2√77,cos∠BAD=-√714,所以sin∠CAD=√1-cos 2∠CAD =√1-(2√77)2=√217,sin∠BAD=√1-cos 2∠BAD =√1-(-√714)2=3√2114.于是sin α=sin(∠BAD -∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD -cos∠BADsin∠CAD=3√2114×2√77-(-√714)×√217=√32. 在△ABC 中,由正弦定理,得AA sin A =AAsin∠AAA , 故BC=AA ·sin A sin∠AAA =√7×√32√216=3.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边,若2sin C=sin A+sin B,cos C=35且S △ABC =4,则c=( ) A.4√63B.4C.2√63D.5答案 A2.(2018山东菏泽3月联考,8)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-A2=0,a 2=72bc,b>c,则AA =( ) A.32 B.2 C.3 D.52 答案 B3.(2018江西赣州2月联考,7)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B,且b+c=4,则a 的最小值为( ) A.2 B.2√2 C.3 D.2√3 答案 A4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos B+√3asin B=b+c,b=1,点D 是△ABC 的重心,且AD=√73,则△ABC 的外接圆的半径为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A5.(2018河南郑州一模,11)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC 的面积S=√3c,则ab 的最小值为( ) A.28B.36C.48D.56答案 C6.(2018山东济宁二模,12)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcosA=23c,则tan(A-B)的最大值为( ) A.2√55B.√55C.√33 D.√3答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019届安徽黄山11月八校联考,15)在△ABC 中,∠B=60°,b=√3,则当c+2a 取最大值时,sin C= . 答案2√778.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,cos A=√55,cos B=√1010,c=√2,则a= .答案4√55三、解答题(共45分)9.(2019届广东佛山顺德第二次质检,17)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccos A+asin A=2csin B. (1)证明:△ABC 为等腰三角形;(2)若D 为BC 边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b 的值. 解析 (1)证明:由正弦定理得2bccos A+a 2=2cb, 由余弦定理得2bc·A 2+A 2-A 22AA+a 2=2bc,化简得b 2+c 2=2bc,所以(b-c)2=0,即b=c,故△ABC 为等腰三角形.(2)如图,由已知得BD=2,DC=1, ∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,∴AA 2+B A 2-A A 22AA ·AA =-AA 2+C A 2-A A 22AA ·AA ,即12+22-A 22×2×1=-12+12-A 22×1×1,得2b 2+c 2=9,由(1)知b=c,∴b=√3.10.(2019届湖北、山东重点中学一联,17)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 所对的边,已知acos A=R,其中R 为△ABC 外接圆的半径,S 为△ABC 的面积,a 2+c 2-b 2=4√33S.(1)求sin C;(2)若a-b=√2-√3,求△ABC 的周长.解析 (1)由正弦定理得a=2Rsin A,由已知得2Rsin Acos A=R,∴sin 2A=1.又∵0<2A<2π,∴2A=π2,则A=π4. S=12acsin B,∴a 2+c 2-b 2=4√33·12·acsin B,由余弦定理得2accos B=2√33acsin B,∴tan B=√3.又0<B<π,∴B=π3.∴sin C=sin(A+B)=sin (π4+π3)=√2+√64. (2)由正弦定理得A A =sin A sin A =√23,∵a -b=√2-√3,∴{A =√2,A =√3,∴c=√2√22·√2+√64=√2+√62, ∴△ABC 的周长为a+b+c=3√22+√3+√62.方法总结 本题主要考查正弦定理和余弦定理的边角互化与特殊角的三角函数值,属于简单题.对于余弦定理,一定要熟记两种形式:(1)a 2=b 2+c2-2bccos A;(2)cos A=A 2+A 2-A 22AA .11.(2019届清华大学能力诊断测试,17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知A 2+A 2-A 2AA =2sin A -sin Asin A. (1)求角C 的值;(2)若a+b=4,当边c 取最小值时,求△ABC 的面积. 解析 (1)由条件和正弦定理可得A 2+A 2-A 2A=2b-a,整理得b 2+a 2-c 2=ab,由余弦定理得cosC=12.又∵C 是三角形的内角,∴C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2-ab. ∵a+b=4,∴c 2=a 2+b 2-ab=(a+b)2-3ab=16-3ab, ∴c 2=16-3ab≥16-3·(A +A 2)2=4(当且仅当a=b=2时等号成立).∴c 的最小值为2,故S △ABC =12absin C=√3.12.(2018河南顶级名校联考,17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a 2+c 2+√2ac=b 2,√5sin A+cos B=0. (1)求cos C;(2)若△ABC 的面积S=52,求b.解析 (1)由a 2+c 2+√2ac=b 2,得a 2+c 2-b 2=-√2ac,∴cos B=A 2+A 2-A 22AA =-√2ac 2AA =-√22.∵0<B<π,∴B=3π4.又∵√5sin A+cos B=0,∴sin A=-√55cos B=-√55×(-√22)=√1010,又0<A<π4,∴cos A=√1-sin 2A =√1-(√1010)2=3√1010.∴cos C=cos (π4-A )=√22cos A+√22sin A=√22×3√1010+√22×√1010=2√55. (2)由(1)可得sin C=√1-cos 2C =√1-(2√55)2=√55.由S=12acsin B 及题设条件,得12acsin 3π4=52,∴ac=5√2.由A sin A =A sin A =A sin A ,得√1010=√22=√55,∴b 2=5√22ac=5√22×5√2=25,∴b=5.。
§6.4数列的综合应用挖命题【考情探究】分析解读综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一数列求和1.(2017湖南湘潭三模,9)已知T n为数列的前n项和,若m>T10+1013恒成立,则整数m的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.1023答案C2.(2017福建福州八中第六次质检,17)在等比数列{a n}中,公比q≠1,等差数列{b n}满足b1=a1=3,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)记c n=(-1)n b n+a n,求数列{c n}的前2n项和S2n.解析(1)设等差数列{b n}的公差为d.则有解得或(舍去),所以a n=3n,b n=2n+1.(2)由(1)知c n=(-1)n(2n+1)+3n,则S2n=(3+32+33+…+32n)+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=-+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=-+2n.-3.(2017湖南郴州二模,17)已知等差数列{a n}满足:a n+1>a n(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n+2log2b n=-1.(1)分别求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.解析(1)设d为等差数列{a n}的公差,则d>0.由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以a n=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*),又因为a n+2log2b n=-1,所以log2b n=-n,则b n=(n∈N*).(2)由(1)知a n·b n=(2n-1)·,则T n=+++…+-①,T n=+++…+-②,①-②,得T n=+2×…--.∴T n=+2×-----,∴T n=1+2----=3--=3-.考点二数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比均为3,则++=()A.64B.32C.38D.33答案D2.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1-a n≥2(n∈N*),且S n为{a n}的前n项和,则()A.a n≥2n+1B.S n≥n2C.a n≥2n-1D.S n≥2n-1答案B3.(2018福建福州八校联考,17)已知公差不为0的等差数列{a n}的前三项和为6,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求使S n<的n的最大值.解析(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),依题意可得即-∵d≠0,∴a1=1,d=1,∴a n=n.(2)由(1)可得b n==-.∴S n=-+-+…+-=1-.令1-<,得n<14,∴n的最大值为13.4.(2018广东佛山一中期中考试,17)在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.(1)求a n与b n;(2)证明:≤++…+<.解析(1)设数列{a n}的公差为d.因为所以解得q=3或q=-4(舍),d=3.故a n=3+3(n-1)=3n,b n=3n-1.(2)证明:因为S n=,所以==-.故++…+=---…-=-.因为n≥1,所以0<≤,所以≤1-<1,所以≤-<,即≤++…+<.炼技法【方法集训】方法数列求和的方法1.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N*),且f(1)=2,则f(40)=()A.95B.97C.105D.392答案D2.(2019届吉林长春模拟,7)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n,则数列·的前6项和为() A. B. C. D.答案A3.(2018广东珠海二中期中,18)已知数列{a n}与{b n}满足a n+1-a n=2(b n+1-b n),n∈N*,b n=2n-1,且a1=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设c n=-,T n为数列{c n}的前n项和,求T n.解析(1)因为a n+1-a n=2(b n+1-b n),b n=2n-1,所以a n+1-a n=2(b n+1-b n)=2(2n+1-2n+1)=4,所以{a n}是等差数列,首项a1=2,公差为4,所以a n=4n-2.(2)c n=-=---=(2n-1)·2n.∴T n=c1+c2+c3+…+c n=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n①, 2T n=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1②,①-②得-T n=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)·2n+1=2+2×----(2n-1)·2n+1=-6-(2n-3)·2n+1,∴T n=6+(2n-3)·2n+1.4.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=a n(-+1),求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)设数列{a n}的公差为d,则S n=na1+-d=n2+-n,又S n=n2+Bn+C-1,两式对照得-解得又因为a1=C,所以a1=1,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1. (2)由(1)知b n=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,则T n=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,2T n=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得T n=(2n-1)·2n+1-2(22+23+…+2n)-2=(2n-1)·2n+1-2×----2=(2n-3)·2n+1+6.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一数列求和1.(2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n=2.所以a n=-(n≥2).又由题设可得a1=2,从而{a n}的通项公式为a n=-(n∈N*).(2)记的前n项和为S n.由(1)知=-=--.则S n=-+-+…+--=.2.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{a n}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以{a n}的通项公式为a n=n+1.(2)设的前n项和为S n,由(1)知=,则S n=++…++,S n=++…++.两式相减得S n=+…-=+---.所以S n=2-.考点二数列的综合应用(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.解析(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2,(3分)所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=,(7分)因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记{b n}的前n项和为S n,则S n=--=--.(12分)B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一数列求和1.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.解析(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}的前n项和为S n.由c n=--解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)·-,故b n-b n-1=(4n-5)·-,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·-+(4n-9)·-+…+7·+3.设T n=3+7·+11·+…+(4n-5)·-,n≥2,T n=3·+7·+…+(4n-9)·-+(4n-5)·-(n≥2),所以T n=3+4·+4·+…+4·--(4n-5)·-(n≥2),因此T n=14-(4n+3)·-,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)·-.2.(2017山东,19,12分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.解析(1)设{a n}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又a n>0,解得a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)由题意知:S2n+1==(2n+1)b n+1,又S2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n=2n+1.令c n=,则c n=.因此T n=c1+c2+…+c n=+++…+--+,又T n=+++…+-+,两式相减得T n=+…--,所以T n=5-.3.(2017北京,15,13分)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n-1.(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=-.4.(2016天津,18,13分)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且-=,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.解析(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1·--=63,知q≠-1,所以a1·--=63,得a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n=(log2a n+log2a n+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{b n}是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为T n,则T2n=(-+)+(-+)+…+(--+)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.考点二数列的综合应用1.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n 为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.答案272.(2018北京,15,13分)设{a n}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求++…+.解析(1)设{a n}的公差为d.因为a2+a3=5ln2,所以2a1+3d=5ln2.又a1=ln2,所以d=ln2.所以a n=a1+(n-1)d=nln2.(2)因为=e ln2=2,-=--=e ln2=2,所以{}是首项为2,公比为2的等比数列.所以++…+=2×--=2(2n-1).3.(2017天津,18,13分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以,{a n}的通项公式为a n=3n-2,{b n}的通项公式为b n=2n.(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,有T n=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2T n=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-T n=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=---4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得T n=(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a2n b n}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.4.(2016浙江,17,15分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.解析(1)由题意得则又当n≥2时,由a n+1-a n=(2S n+1)-(2S n-1+1)=2a n,得a n+1=3a n.又因为a2=3=3a1,所以数列{a n}是首项为1,公比为3的等比数列.所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)设b n=|3n-1-n-2|,n∈N*,则b1=2,b2=1.当n≥3时,由于3n-1>n+2,故b n=3n-1-n-2,n≥3.设数列{b n}的前n项和为T n,则T1=2,T2=3.当n≥3时,T n=3+-----=--,经检验,n=2时也符合.所以T n=--∈C组教师专用题组考点一数列求和1.(2015湖北,19,12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)由题意有,即解得或故--或·-(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2n-1,故c n=--,于是T n=1+++++…+-,①-T n=+++++…+-.②①-②可得--=3-,T n=2+++…+-.故T n=6--2.(2015安徽,18,12分)已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,又a1+a4=9,可解得或(舍去).由a4=a1q3得公比为q=2,故a n=a1q n-1=2n-1.=2n-1,又b n==-=-,(2)S n=--所以T n=b1+b2+…+b n=-+-+…+-=-.=1--的前n项和为.3.(2015山东,19,12分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列·(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)设数列{a n}的公差为d.令n=1,得=,所以a1a2=3.令n=2,得+=,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)由(1)知b n=2n·22n-1=n·4n,所以T n=1·41+2·42+…+n·4n,所以4T n=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+…+4n-n·4n+1-n·4n+1=--=-×4n+1-.所以T n=-×4n+1+=-.4.(2014湖北,19,12分)已知等差数列{a n}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记S n为数列{a n}的前n项和,是否存在正整数n,使得S n>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列{a n}的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n=2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.当a n=4n-2时,S n=-=2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;当a n=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.5.(2014安徽,18,12分)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:由已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以a n=n2.从而b n=n·3n.∴S n=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①3S n=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②得-2S n=31+32+…+3n-n·3n+1-n·3n+1=-·-.=·--所以S n=-·.6.(2014山东,19,12分)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.解析(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题意知b n==n(n+1).所以b n+1-b n=2(n+1),所以当n为偶数时,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n-1+b n)=4+8+12+ (2)==,当n为奇数时,若n=1,则T1=-b1=-2,若n>1,则T n=T n-1+(-b n)=--n(n+1)=-,n=1时,满足上式.所以T n=-为奇数为偶数7.(2013重庆,16,13分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=3a n,n∈N+.(1)求{a n}的通项公式及前n项和S n;(2)已知{b n}是等差数列,T n为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.解析(1)由题设知{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n=3n-1,S n=--=(3n-1).(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以公差d=5,故T20=20×3+×5=1010.8.(2013安徽,19,13分)设数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(a n-a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x满足f'=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=2,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)由题设可得,f'(x)=a n-a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2·cos x.对任意n∈N*,f'=a n-a n+1+a n+2-a n+1=0,即a n+1-a n=a n+2-a n+1,故{a n}为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,解得{a n}的公差d=1,所以a n=2+1·(n-1)=n+1.(2)由b n=2=2=2n++2知,S n=b1+b2+…+b n=2n+2·+--=n2+3n+1-.9.(2013湖南,19,13分)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a1≠0,2a n-a1=S1·S n,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前n项和.解析(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.解得a2=2.当n≥2时,2a n-1=S n,2a n-1-1=S n-1,两式相减得2a n-2a n-1=a n.即a n=2a n-1.于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.因此,a n=2n-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)知na n=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为B n,于是B n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-B n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而B n=1+(n-1)·2n.考点二数列的综合应用1.(2018江苏,20,16分)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).解析本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)由条件知a n=(n-1)d,b n=2n-1.因为|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得≤d≤.因此,d的取值范围为.(2)由条件知:a n=b1+(n-1)d,b n=b1q n-1.若存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,即|b1+(n-1)d-b1q n-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).即当n=2,3,…,m+1时,d满足---b1≤d≤--b1.因为q∈(1,],所以1<q n-1≤q m≤2,从而---b1≤0,--b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.因此,取d=0时,|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.下面讨论数列---的最大值和数列--的最小值(n=2,3,…,m+1).①当2≤n≤m时,-----=----=----,当1<q≤时,有q n≤q m≤2,从而n(q n-q n-1)-q n+2>0.因此,当2≤n≤m+1时,数列---单调递增,故数列---的最大值为-.②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0.所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.当2≤n≤m时,--=-≤-=f<1.因此,当2≤n≤m+1时,数列--单调递减,故数列--的最小值为.因此,d的取值范围为-.2.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.证明(1)证明:因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.3.(2016四川,19,12分)已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求++…+.解析(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n==-.由e2==2解得q=所以,++…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+--=n+(3n-1).4.(2015天津,18,13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.解析(1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有--消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=(2n-1)·2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)·2n+3,n∈N*.5.(2015浙江,17,15分)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.解析(1)由a1=2,a n+1=2a n,得a n=2n(n∈N*).由题意知,当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n≥2时,b n=b n+1-b n,整理得=,所以b n=n(n∈N*).(2)由(1)知a n b n=n·2n,因此T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,所以T n-2T n=2+22+23+…+2n-n·2n+1.故T n=(n-1)2n+1+2(n∈N*).6.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且S n满足-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析(1)∵-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,∴令n=1,得+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.又a n>0,∴a1=2.(2)由-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)](S n+3)=0,又a n>0,所以S n+3≠0,所以S n=n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+n-1]=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以a n=2n.(3)证明:由(2)知,=,所以++…+=++…+<+++…+--=+--…-=+-<+×=.7.(2013课标Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解析(1)设{a n}的公差为d.由题意得,=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故a n=-2n+27.(2)令S n=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.8.(2013山东,20,12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足++…+=1-,n∈N*,求{b n}的前n项和T n.解析(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2a n+1得解得a1=1,d=2.因此a n=2n-1,n∈N*.(2)由已知++…+=1-,n∈N*,得当n=1时,=;=.当n≥2时,=1----所以=,n∈N*.由(1)知,a n=2n-1,n∈N*,所以b n=-,n∈N*,又T n=+++…+-,T n=++…+-+-,两式相减得T n=+…----,=--所以T n=3-.【三年模拟】时间:50分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建厦门第一学期期末质检,7)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n+1a n=2,则其前100项和为()A.250B.200C.150D.100答案D2.(2017山西孝义模考,9)已知数列{a n},{b n},其中{a n}是首项为3,公差为整数的等差数列,且a3>a1+3,a4<a2+5,a n=log2b n,则{b n}的前n 项和S n为()A.8(2n-1)B.4(3n-1)C.(4n-1)D.(3n-1)答案C3.(2017陕西渭南二模,9)设S n为等差数列{a n}的前n项和,a2=3,S5=25,若的前n项和为,则n的值为()A.504B.1008C.1009D.2017答案B4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n∈N*时,a n=-,记数列{a n}的前n 项和为S n,当S n=时,n的值为()A.7B.6C.5D.4答案D,数列{b n}的前n项和为5.(2019届河南信阳模拟,6)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n+1+m,且a1,a4,a5-2成等差数列,b n=-T n,则满足T n>的最小正整数n的值为()A.11B.10C.9D.8答案B二、填空题(每小题5分,共10分)为奇数6.(2019届江苏南京模拟,15)已知数列{a n}的通项公式为a n=则数列{a n}前15项和S15的值为.-为偶数答案7.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为.答案三、解答题(共30分)8.(2019届广东模拟,17)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a5=40,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,S n是数列{b n}的前n项和,对任意正整数n,不等式S n+>(-1)n·a恒成立,求a的取值范围.解析(1)由得·因为等比数列{a n}的公比q>1,所以q=2,a3=8,所以a n=a3·q n-3=2n.(2)由于a n=2n,b n=,所以b n==,则S n=+++…+①,S n=+++…+②,①-②得S n=…-,所以S n=1+++…+--=---=2-,所以S n+>(-1)n·a即2->(-1)n·a.设f(n)=2-(n∈N*),由于f(n)=2-单调递增,故当n为奇数时,f(1)=1为最小值,所以-a<1,则a>-1,当n为偶数时,f(2)=为最小值,所以a<.所以a的取值范围为-.9.(2018云南昆明一中调研,17)在等差数列{a n}中,公差d≠0,前5项和S5=15,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a2+a8+a26+…+-(k∈N*)的值.解析(1)根据题意得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d=n+.(2)解法一:由(1)得-=(3n-1)+=×3n,所以a2+a8+a26+…+-=×(31+32+33+…+3k)=×--=(3k-1).解法二:设b n=-=(3n-1)+=×3n,则=3(n∈N*).所以数列{b n}是首项为,公比为3的等比数列,所以数列{b n}的前k项和T k=--=(3k-1).10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,a1=b1=1,且b3S3=36,b2S2=8(n∈N*).(1)求a n和b n;(2)若a n<a n+1,求数列的前n项和T n.解析(1)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题意得解得或-∴a n=2n-1,b n=2n-1或a n=(5-2n),b n=6n-1.(2)若a n<a n+1,由(1)知a n=2n-1,则=-=--,∴T n=--…--=.。
第一章集合与常用逻辑用语【真题典例】§1.1集合挖命题【考情探究】分析解读 1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一集合的含义与表示1.(2018广东佛山顺德学情调研,1)若A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D2.(2017湖南长沙长郡中学高考模拟冲刺,1)已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列说法正确的是()A.0∉AB.1⊆AC. AD.3∈A答案D3.(2019届河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案2考点二集合的基本关系1.(2018山东济宁第一次模拟,1)已知集合A={x∈Z|x2+3x<0},则满足B⊆A的集合B的个数为()A.2B.3C.4D.8答案C2.(2017陕西西安一模,2)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是()A.M=NB.M∩N=NC.M∪N=ND.M∩N=⌀答案B3.(2018广东珠海调研,13)设集合A={1,},B={a},若B⊆A,则实数a的值为.答案0考点三集合的基本运算1.(2018课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}答案C2.(2019届云南昆明9月调研,1)已知集合A={1,2,3},集合B={x|x2-5x+4<0},则集合A∩B的子集的个数为()A.4B.3C.2D.1答案A3.(2016山东,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=()A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}答案A4.(2017安徽合肥二模,2)已知A=[1,+∞),B=x∈R a≤x≤2a-1,若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞)B.C. D.(1,+∞)答案A炼技法【方法集训】方法1集合间基本关系的判断方法1.设集合M={x∈Z||x-1|<2},N={y∈N|y=-x2+2x+1,x∈R},则()A.N∈MB.M⫋NC.N⫋MD.M=N答案D2.(2019届辽宁师大附中9月月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D方法2利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1.(2019届安徽安庆调研,2)已知全集U={x|x≤-1或x≥0},集合A={x|0≤x≤2},B={x|x<-1或x>1},则集合A∩(∁U B)等于()A.{x|x>0或x<-1}B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x≤2}答案C2.(2019届河南安阳调研,1)已知M,N为集合U的非空真子集,且M,N不相等,若M∩(∁U N)=⌀,则M∩N=()A.MB.NC.UD.⌀答案A3.(2018宁夏银川一中11月模拟,2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠⌀,若A∪B=A,则()A.-3≤m≤4B.-3<m<4C.2<m<4D.2<m≤4答案D4.(2019届湖北黄冈重点中学联考,13)全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}答案A2.(2018课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案C3.(2017课标全国Ⅱ,1,5分)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=()A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案A4.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B5.(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则()A.A∩B=B.A∩B=⌀C.A∪B=D.A∪B=R答案A6.(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}答案B7.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}答案C8.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}答案D9.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)答案A10.(2015课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案D11.(2014课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}答案B12.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=()A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)答案BB组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2018天津,1,5分)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}答案C2.(2018北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案A3.(2018浙江,1,4分)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案C4.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}答案B5.(2017北京,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案C6.(2017山东,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案C7.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=()A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}答案A8.(2016四川,2,5分)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.6B.5C.4D.3答案B9.(2015天津,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B=()A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}答案B10.(2015四川,1,5分)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案A11.(2014湖北,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=()A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}答案C12.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.答案{1,8}13.(2017江苏,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.答案1C组教师专用题组1.(2016浙江,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}答案C2.(2015陕西,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案A3.(2015安徽,2,5分)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁U B)=()A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}答案B4.(2015山东,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)·(x-3)<0},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案C5.(2015北京,1,5分)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=()A.{x|-3<x<2}B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}答案A6.(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]答案A7.(2015福建,2,5分)若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于()A.{0}B.{1}C.{0,1,2}D.{0,1}答案D8.(2015湖北,10,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案C9.(2015广东,10,5分)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.200B.150C.100D.50答案A10.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案D11.(2014江西,2,5分)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁R B)=()A.(-3,0)B.(-3,-1)C.(-3,-1]D.(-3,3)答案C12.(2014四川,1,5分)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案D13.(2014福建,1,5分)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于()A.{x|3≤x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3}答案A14.(2014山东,2,5分)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=()A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)答案C15.(2014浙江,1,5分)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=()A.(-∞,5]B.[2,+∞)C.(2,5)D.[2,5]答案D16.(2014大纲全国,1,5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为()A.2B.3C.5D.7答案B17.(2014陕西,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.(0,1)C.(0,1]D.[0,1)答案D18.(2013课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}答案A19.(2013课标Ⅱ,1,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-3,-2,-1}答案C20.(2012课标全国,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀答案B21.(2011课标,1,5分)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案B22.(2016江苏,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}23.(2015湖南,11,5分)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=.答案{1,2,3}24.(2014重庆,11,5分)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=.答案{3,5,13}【三年模拟】时间:45分钟分值:85分一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2019届湖北天门调研,1)集合M=∈,N=∈,则()A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M与N没有相同的元素答案B2.(2019届广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D3.(2019届河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=-},则A∩B=()A.∪(2,+∞)B.C.∪(2,+∞)D.R答案A4.(2019届云南昆明9月调研,2)已知集合A={x|x≥k},B=,若A⊆B,则实数k的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.[1,+∞)答案C5.(2018山东师大附中11月模拟,1)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.无数个B.3C.2D.1答案C6.(2018河北石家庄重点高中联考,2)已知集合M=,N=,则M∩N=()A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]答案D7.(2018辽宁五校协作体9月联考,2)已知集合P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q=R,则a的取值范围是()A.(-2,+∞)B.(4,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,4]答案C8.(2018广东佛山质量检测(二),1)已知全集U={0,1,2,3,4},若A={0,2,3},B={2,3,4},则(∁U A)∩(∁U B)=()A.⌀B.{1}C.{0,2}D.{1,4}答案B9.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),1)若集合M={(x,y)|x+y=0},N={(x,y)|x2+y2=0,x∈R,y∈R},则有()A.M∪N=MB.M∪N=NC.M∩N=MD.M∩N=⌀答案A10.(2018山东济南期末,2)已知集合A={x|ax-6=0},B={x∈N|1≤log2x<2},且A∪B=B,则实数a的所有值构成的集合是()A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}答案D11.(2018广东二模,3)已知x∈R,集合A={0,1,2,4,5},集合B={x-2,x,x+2},若A∩B={0,2},则x=()A.-2B.0C.1D.2答案B12.(2017安徽淮北二模,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为()A.a=B.a≤C.a=-D.a≥答案C二、填空题(共5分)13.(2018江西南昌三校联考,4)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M 的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个.答案17三、解答题(共20分)14.(2019届陕西西安高新第一中学9月月考,17)已知集合A=-∈,集合B={x||x-a|≤1,x∈R}.(1)求集合A;(2)若B∩∁R A=B,求实数a的取值范围.解析(1)由-≤1,得-≤0,解得-1<x≤2,所以A={x|-1<x≤2}.(2)∁R A=(-∞,-1]∪(2,+∞),B=[a-1,a+1],由B∩∁R A=B,得B⊆∁R A,所以a+1≤-1或a-1>2,解得a≤-2或a>3.所以a的取值范围为(-∞,-2]∪(3,+∞).15.(2018广东深圳四校联考,17)已知三个集合:A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1},B={x∈R|-=1},C={x∈R|x2-ax+a2-19>0}.(1)求A∪B;(2)已知A∩C≠⌀,B∩C=⌀,求实数a的取值范围.解析(1)∵A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1}={x∈R|x2-5x+8=2}={2,3},(2分)B={x∈R|-=1}={x∈R|x2+2x-8=0}={2,-4},(4分)∴A∪B={2,3,-4}.(5分)(2)∵A∩C≠⌀,B∩C=⌀,∴2∉C,-4∉C,3∈C.(6分)∵C={x∈R|x2-ax+a2-19>0},∴------(7分)即-----或,解得-3≤a<-2.(9分)所以实数a的取值范围是[-3,-2).(10分)。
4.2三角恒等变换挖命题【考情探究】分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.破考点【考点集训】考点三角函数的化简和求值1.(2018山西第一次模拟,3)已知tanα=3,则=()A.-3B.-C.D.3答案D2.(2017河北冀州第二次阶段性考试,8)(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A. B. C.2 D.答案C3.函数y=cos2-+sin2-1是()A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案C4.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,13)已知cos-=,则cos=. 答案炼技法【方法集训】方法三角函数化简、求值的解题方法1.(2018福建福州3月模拟,4)cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1D.答案D2.(2018安徽江淮十校第三次(4月)联考,7)已知tan-=,则sin2=()A. B. C. D.答案B3.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,则sin=()A.-B.C.-D.答案C4.(2018湖北八校联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+-=,则θ=()A.或B.或C.或D.或答案D过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=,则cos2α=()A. B. C.- D.-答案B2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos-=,则sin2α=()A. B. C.- D.-答案D3.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.-B.C.-D.答案DB组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan,则--=()A.1B.2C.3D.4答案C2.(2017江苏,5,5分)若tan-=,则tanα=.答案3.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=-=,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α=-=-.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=-= -.C组教师专用题组1.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.737)设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案C2.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=. 答案;14.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案5.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.答案36.(2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφ·cos(x+φ)的最大值为.答案17.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案8.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.271)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=. 答案-9.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos-的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=-=-=.由正弦定理知=,所以AB===5(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A=-=.因此,cos-=cos Acos+sin Asin=-×+×=-.评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力.10.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f-.解析(1)f=Asin=,∴A·=,A=.(2)f(θ)+f(-θ)=sin+sin-=,∴-=,∴cosθ=,cosθ=,又θ∈,∴sinθ=-=,∴f-=sin(π-θ)=sinθ=.11.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)当a=,θ=时,f(x)=sin+ cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin-,由x∈[0,π],知-x∈-.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得---由θ∈-知cosθ≠0,解得--【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届吉林高三第一次调研测试,5)已知tan(α+β)=,tan-=,则tan的值为()A. B. C. D.答案C2.(2019届湖南岳阳第一中学高三第二次质检,6)已知函数f(x)=是偶函数,则下列结论可能成立的是()A.α=,β=-B.α=,β=C.α=,β=D.α=,β=答案C3.(2019届江西九江高三第一次十校联考,8)已知cos-=,计算sin-的值为()A.-B.C.D.-答案B4.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,4)已知sin=cos-,则cos2α=()A.1B.C.0D.-1答案C5.(2019届广东深圳实验,珠海一中等六校第一次联考,8)已知A是函数f(x)=sin+cos-的最大值,若存在实数x1,x2对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为()A. B. C. D.答案B6.(2018山西长治二模,6)已知sinα=,α∈,则cos的值为()A.-B.C.-D.-答案A7.(2018广东揭阳二模,5)已知f(x)=sin x-cos x,实数α满足f'(α)=3f(α),则tan2α=()A.-B.-C.D.答案A=()8.(2017湖北新联考四模,6)-A. B. C. D.1答案A9.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atanα+b=(a-btanα)tanβ,且α+与β的终边相同,则的值为()A. B. C. D.答案B10.(2017湖南邵阳二模,9)若tan cos=sin-msin,则实数m的值为()A.2B.C.2D.3答案A二、填空题(共5分)11.(2018湖南G10教育联盟4月联考,16)已知cos=3sin,则tan =.答案2-4三、解答题(共10分)12.(2018山东桓台第二中学4月月考,16)已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).(1)求a,θ的值;(2)若α∈,f+cos cos2α=0,求cosα-sinα的值.解析(1)因为f(x)=cos(x+θ)是奇函数,所以cos(x+θ)=-cos(-x+θ),化简、整理得,cos xcosθ=0,则有cosθ=0,由θ∈(0,π),得θ=,所以f(x)=-sin x·.由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-sin2x,f+cos cos2α=0⇒sin=cos cos2α,因为cos2α=sin=sin=2sin cos,所以sin=cos2sin.又α∈,所以sin=0或cos2=.①由sin=0⇒α=,所以cosα-sinα=cos-sin=-;②由cos2=,<α+<,得cos=-⇒(cosα-sinα)=-⇒cosα-sinα=-.综上,cosα-sinα=-或cosα-sinα=-.。
10.2 二项式定理挖命题【考情探究】分析解读本节是高考命题的热点,主要考查二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等,一般以选择题和填空题的形式出现,分值为5分.主要考查学生的数学运算能力和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点二项式定理1.(2018广东肇庆三模,8)已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.1B.2C.-1D.-2答案 A2.(2018福建福州八校一模,13)(1+)6的展开式中有理项系数之和为.答案323.(2018广东茂名化州二模,13)在(1+2x)7的展开式中,是第项的二项式系数,第3项的系数是.答案3;844.(2017湖南永州二模,13)的展开式中各项系数的和为256,则该展开式的二项式系数的最大值为.答案6炼技法【方法集训】方法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1.(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于( )A. B. C.1 D.2答案 D2.(2017安徽合肥二模,15)在--的展开式中,常数项为.答案-5方法2 二项式系数的和与各项的系数和1.(2018湖南湘潭三模,9)若(1+x)(1-2x)8=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a9·29的值为( )A.29B.29-1C.39D.39-1答案 D2.(2017辽宁省实验中学四模)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )A.0B.1C.32D.-1答案 A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标Ⅲ,5,5分)的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80答案 C2.(2017课标Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.80答案 C3.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60答案 C4.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案) 答案105.(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .答案36.(2014课标Ⅰ,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案-20B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2018天津,10,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案2.(2018浙江,14,4分)二项式的展开式的常数项是.答案73.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .4.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .答案16;4C组教师专用题组1.(2015湖南,6,5分)已知-的展开式中含的项的系数为30,则a=( )A. B.- C.6 D.-6答案 D2.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=( )A.4B.5C.6D.7答案 C3.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10答案 C4.(2014湖南,4,5分)-的展开式中x2y3的系数是( )A.-20B.-5C.5D.20答案 A5.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45B.60C.120D.210答案 C6.(2016天津,10,5分)-的展开式中x7的系数为.(用数字作答)答案-567.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)8.(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .答案-29.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)答案4010.(2015安徽,11,5分)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)答案3511.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)答案8012.(2015广东,9,5分)在(-1)4的展开式中,x的系数为.答案613.(2015天津,12,5分)在-的展开式中,x2的系数为.答案14.(2014课标Ⅱ,13,5分,0.719)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)答案15.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .答案316.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案-40【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届湖南师范大学附属中学月考(二),7)已知-的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,记展开式中系数最大的项为第k项,则k=( )A.6B.7C.6或7D.5或6答案 B2.(2018广东广州一模,8)已知-的二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是( )A.-84B.-14C.14D.84答案 A3.(2018安徽马鞍山二模,10)已知的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )A.3B.5C.6D.7答案 D4.(2018湖北荆州一模,7)(2x-3)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( )A.-73B.-61C.-55D.-63答案 A(x+|x|)dx,则在-的展开式中,x的幂指数不是整5.(2017山西晋中一模,9)若a=2-数的项共有( )A.13项B.14项C.15项D.16项答案 C二、填空题(每小题5分,共25分)6.(2019届全国Ⅰ卷高三五省优创名校联考,15)在(x2-2x-3)4的展开式中,含x6的项的系数是.答案127.(2019届贵州遵义航天高级中学二模,15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32,则a= .答案38.(2017江西赣州十四县联考,14)若的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为.答案9.(2018湖南长沙第二次模拟,14)若x10-x5=a0+a1(x-1)+-+…+a10(x-1)10,则a5= .答案25110.(2018安徽合肥调研,14)已知(1+x)(1+ay)5(a为常数)的展开式中不含字母x的项的系数和为243,那么(1+x)(1+ay)5的展开式中xy2项的系数为.答案40。
专题十计数原理【真题典例】10.1 排列、组合挖命题【考情探究】分析解读从近五年的考查情况来看,本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用,一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查,有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现.主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D2.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A.85B.49C.56D.28答案 B3.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有( )A.6种B.8种C.12种D.48种答案 D炼技法【方法集训】方法1 求解排列问题的常用方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C3.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20方法2 分组、分配问题的求解策略1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C2.(2017河南豫南九校2月联考,10)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C4.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C3.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12604.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答) 答案660C组教师专用题组1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B2.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D3.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B4.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案15606.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C 不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C2.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是( )A.18B.16C.12D.9答案 D3.(2018河南商丘二模,8)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.×种B.×54种C.×种D.×54种答案 D4.(2017江西新余二模,9)2017年3月25日,中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C5.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种答案 B6.(2018河南豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B7.(2018山西长治二模,10)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )A.22种B.24种C.25种D.36种答案 C二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2019届河北衡水中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案1209.(2019届山东青岛高三9月期初调研检测,15)将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有种.答案1010.(2019届河南开封10月定位考试,15)从5名学生中选出4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为.答案3611.(2018山西太原第三次模拟,14)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种(用数字作答).答案12012.(2017广东佛山二模,14)有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12。
专题一物质的组成、性质和分类挖命题【考情探究】分析解读物质的组成、性质及分类多结合生产、生活实际及传统文化内容,以选择题的形式进行考查。
随着考试大纲的变化,预计高考对本部分内容的考查将有增大的趋势。
【真题典例】破考点【考点集训】考点一物质的组成、性质和分类1.(2019届湖北部分重点中学起点考试,1)中华优秀传统文化涉及很多化学知识。
下列有关说法不正确的是()A.“火树银花合,星桥铁锁开”,其中的“火树银花”涉及焰色反应B.古剑沈卢“以剂钢为刃,柔铁为茎干,不尔则多断折”,剂钢是铁的合金C.“青蒿一握,以水二升渍,绞取汁”,这种对青蒿素的提取方法属于物理变化D.《天工开物》中有“至于矾现五色之形,硫为群石之将,皆变化于烈火”,其中的矾指的是金属硫化物答案D2.(2019届广东惠州一调,7)下列说法正确的是()A.淀粉、纤维素、油脂都是高分子化合物B.石油分馏和煤的干馏都属于物理变化C.聚乙烯是无毒高分子材料,可用于制作食品包装袋D.甲烷、汽油、柴油、酒精都是碳氢化合物,都可作燃料答案C3.(2018吉林长春普通高中一模,1)化学与社会、技术、环境、生活密切相关。
下列有关说法中错误的是()A.石油裂解、煤的干馏和纳米银粒子的聚集都是化学变化B.天然气、沼气都是比较清洁的能源,它们的主要成分都是烃类C.碘酒、84消毒液、75%的酒精都可用于消毒D.高纯硅广泛应用于太阳能电池和计算机芯片答案A4.(2017江西上饶六校联考,7)我国晋朝傅玄的《傅鹑觚集·太子少傅箴》中写道:“夫金木无常,方园应行,亦有隐括,习与性形。
故近朱者赤,近墨者黑。
”这里的“朱”指的是下列物质中的()A.HgSB.CuC.Cu2OD.Fe2O3答案A5.(2017福建漳州八校2月联考,2)分类是科学研究的重要方法,下列物质分类不正确的是()A.化合物:干冰,冰水混合物,烧碱B.同素异形体:石墨,C60,金刚石C.非电解质:乙醇,四氯化碳,氯气D.混合物:漂白粉,纯净矿泉水,盐酸答案C6.[2018河北“名校联盟”质监(一),5]下列各项叙述正确的是()①氯水、氨水、水玻璃、水银、福尔马林、淀粉均为混合物②含有氧元素的化合物叫氧化物③CO2、NO2、P2O5均为酸性氧化物,Na2O、Na2O2均为碱性氧化物④C60、C70、金刚石、石墨互为同素异形体⑤强电解质溶液的导电能力一定强⑥在熔融状态下能导电的化合物为离子化合物A.全部正确B.①②⑤C.②③⑥D.④⑥答案D考点二分散系1.(2018陕西西安中学摸底,2)将饱和FeCl3溶液滴入沸水并煮沸一段时间可得到红褐色液体,此液体不具有的性质是()A.光束通过该液体时形成光亮的“通路”B.插入石墨电极通直流电后,有一极附近的液体颜色加深C.向该液体中加入硝酸银溶液,无沉淀产生D.将该液体加热、蒸干、灼烧后,有氧化物生成答案C2.(2018吉林四盟校期中联考,6)关于胶体,下列说法正确的是()A.胶体的聚沉是化学变化B.含有0.01mol FeCl3的溶液制成的胶体中,胶体粒子的数目约为6.02×1021个C.胶体的介稳性与胶体带有的电荷有关D.NaCl晶体既可制成溶液又可制成胶体答案D3.(2017湖北高三第四次联考,7)生产、生活中常涉及化学知识,下列说法正确的是()A.“海市蜃楼”现象是胶体的丁达尔效应造成的B.明矾可用于自来水的净化和消毒C.在香蕉箱中放入浸有KMnO4溶液的硅藻土可延长保鲜期D.碘单质受热易升华,所以炒菜时最后放碘盐答案C4.(2019届辽宁五校协作体联合模拟,1)化学与科技生产、生活环境等密切相关,下列说法不正确的是()A.“霾尘积聚难见路人”,雾和霾所形成的气溶胶具有丁达尔效应B.“天宫二号”使用的碳纤维是一种新型有机高分子材料C.绿色化学的核心是利用化学原理从源头上减少或消除工业生产对环境的污染D.“一带一路”是现代丝绸之路,丝绸的主要成分是蛋白质,属于天然高分子化合物答案B5.(2019届湖北石首一中一调,15)室温时,甲、乙两同学在实验室配制氯化钠溶液。
第一章 集合与常用逻辑用语第二节 常用逻辑用语第一部分 五年高考荟萃2020年高考题1.（2020浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C解析 对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 2.（2020浙江文）“0x >”是“0x ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．解析 对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件． 3.（2020安徽卷文）“”是“且”的A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案 A解析 易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有a d c b >>且，选A 。
4.（2020江西卷文）下列命题是真命题的为 A ．若11x y=,则x y = B ．若21x =,则1x =C ．若x y =,则x y =D ．若x y <,则 22x y <答案：A 解析 由11x y=得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,,x y 不一定有意义,而 x y <得不到22x y < 故选A.5.（2020天津卷文）设””是“则“x x x R x ==∈31,的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 A解析 因为1,1,0,3-==x x x 解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。
