3~~4 微分方程方法建模

草地积水量的改变量＝ Q(t ) A
rAt aQ(t ) At , 0t c 流入量－流出量 ＝ aQ(t ) At bQ(t ) At , t c
t 0

dQ(t ) r aQ(t ) , 0t c aQ(t ) bQ(t ) , t c dt Q(0) 0
0.0015t
Q(t ) 0.124e
t 1800
(3)
（3）式能预测雨停后草 地中水是如何随时间变化 减少的
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3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型求解
本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得 Q(t1)=0。而由(3)式可知,当 t 趋于无穷大时,Q(t)趋于 零，所以这样的t1是不存在的。 但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％ 就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10% Q (1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1 满足(3)式，得
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3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
问题分析
开始时 下雨时 若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度 持续c小时
草地积了h厘米高的水量 草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变
导数意义的陈述 体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
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3.1.1 人的体重
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2012
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
w(t t ) w(t ) 体重的变化/天＝ (公斤/天) t
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2012
3.2 草地水量模型
问题陈述
草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水; 雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。 由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
2012
3.1 微分方程建模 3.1.1 人的体重
3.1.2 常微分方程建模基本准则
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2012
3.1.1 人的体重
问题
研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤· 天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
)
0 t 1800
Q(1800 0.00835 )
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3.2 草地水量模型
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2012
模型求解
t 1800 时
dQ (103 5 104 )Q(t ) dt Q(1800 0.00835 )
3.1.1 人的体重
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2012
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出 输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天) ＝5429(焦/天) 输出＝进行健身训练时的消耗 运动消耗/天＝69焦(/公斤· 天)×w(t)(公 斤)
两边的物理单位量纲一致，令
t 0
t 0
dw 1300 16 w dt 10000
lim
w(0) w0
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3.1.1 人的体重
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2012
模型求解
dw(t ) dt 1300 16w(t ) 10000
1300 1300 16w0 w(t ) ( ) exp(16t /10000) 16 16
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3.1.1 人的体重
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2012
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终 趋于一种平稳的值 1300 (公斤)
0.0835 10% 0.124e
0.0015t1
t1 3334秒
雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。
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2012
3.3 传染病模型 模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型）
r h / c 105 米/秒
为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数 值代入(2)式整理方程，得
dQ 105 103 Q(t ) , 0 t 1800 3 10 Q(t ) 5 104 Q(t ) , t 1800 dt
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
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3.2 草地水量模型
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2012
模型假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。 2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度； 3．降雨速度为常数。
分离变量法
16 ln t 1300 16 w(0) 10000 1300 16 w(t )
d(16w(t )) 16dt 1300 16w(t ) 10000
0到t 1300 16w(t ) 1300 16w(0) exp(16t /10000) 积分
) 1300 16w(t ) (1300 16w0 ) exp(16t / 10000
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3.2 草地水量模型
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2012ຫໍສະໝຸດ Baidu
模型求解
dQ 0 t 1800 时 105 103 Q(t ) dt Q(0) 0
Q(t ) 0.01(1 e
0.001t
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3.1.2 常微分方程建模基本准则
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2012
常微分方程建模应符合下面基本准则：
建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x 表达式
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3.1.1 人的体重
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问题分析
体重w
时间t 函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率” “导数”
微元法
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t 0 即得到
dx 的表达式 dt
单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。
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根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
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16
即t
,
w平稳 1300 (公斤) 81.25(公斤) 16
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3.1.2 常微分方程建模基本准则
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常微分方程建模应符合下面基本准则：
翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数； 转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变 率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等； 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率
＝ w / t（公斤/天） 将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝
焦/天
41868焦/公斤
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3.1.1 人的体重
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2012
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w 5429 （焦 / 天） 69 w （焦 / 天） (公斤 / 天） t 41868焦 / 公斤
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2012 2008
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 分析所研究对象特征的变化规律 预报所研究对象特征的未来性态
研究控制所研究对象特征的手段
微分方程建模方法
流出量(渗透、蒸发过程)
由此本模型应遵循下面的模式： 草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
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3.2 草地水量模型
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2012
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量 t, t t 时间内(1)式各量的描述:
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(2)
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3.2 草地水量模型
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2012
模型求解
注
若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)； 参数a, b可以通过参数辨识方法得到。
数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草 地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时
模型4（SIR模型）
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3.3 传染病模型
问题
描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
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2012 2008
第三章
微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
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2012
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.