3~~4 微分方程方法建模

微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。

本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。

二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。

具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。

2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。

3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。

4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。

三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。

以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。

2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。

3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。

4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。

5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。

四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。

假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。

使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。

通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。

数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。

微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。

下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。

微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。

微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。

微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。

例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。

通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。

微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。

人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。

化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。

电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。

在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。

边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。

例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。

通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。

微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。

例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。

概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。

在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。

对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。

数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。

常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。

总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。

第三章 微分法建模微分概念是高等数学中的基本概念，它表示两个变量之间的变化率.尽管大多数学过高等数学的同学对微分概念很熟悉，但灵活地将微分概念运用于数学建模并不是件容易的事情. 3.1 微分法 3.1.1纯增长率概念 纯增长率(pure growth rate)也叫净增长率(net growth rate)，它是微分法建立数学模型最常用的概念之一. 令)(t x 记某个量在t 时刻的值.我们可以设想这个量是某生物种群中个体总数.其实它也可以是地球上人类人口数，或是某集团公司的资本总量等等.这个量可以用不同方式计量，例如人口数量以百万计算；厂商资本的总量以百万元计算；植物的净重以公斤计算；某鱼类种群的数量以公斤计算等等.我们假设它的值可以取某个区间内的任何实数，也就是认为它是一个连续的量. 令b 表示在单位时间现有每单位种群诞生或新加入种群的单位数，并称它为瞬时出生率(instantaneous birth rate)，又令x 记现有种群单位数.于是，在长度为t 的无穷小时间区间中，实际增加的种群单位数近似的为t bx ∆.这里之所以说t bx ∆是近似值，是因为b 通常随时间而变化，即 )(t b b =， 因而我们在出生率前面加上了形容词“瞬时的”. 在无穷小区间),[t t t ∆+内，b 从)(t b 变到)(t t b ∆+. 类似地，x 从)(t x 变到)(t t x ∆+.另一方面，区间),[t t t ∆+又如此之短，以至于在此区间中b 的值与)(t b 的值没有多大区别，而x 与)(t x 的值也同样没有多大的不同. 通常认为，b 和x 对t 至少连续，并且假设x 对t 还是可微的.因此当 0→∆t 时， )()()(t O t b t t b ∆+=∆+,)()()(t O t x t t x ∆+=∆+,这里“大O ”定义为当0→∆t 时的无穷小量，即 时趋于零的量当0)(→∆≡∆t t O . 现在我们可以更确切地写出在无穷小区间),[t t t ∆+内种群实际增加的单位数，这就是 t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ 令d 记在单位时间现有每单位种群中死亡或离开种群的单位数，并称它为瞬时死亡率(instantaneous death rate).于是类似于上面的讨论，在无穷小区间),[t t t ∆+内，实际离开种群的单位数为 t t O t x t O t d ∆∆+∆+)}()()}{()({ 显然，上面两式之差就是在无穷小区间),[t t t ∆+内种群纯增加的单位数，这也正好是)(t x 增加的数量，所以有 =-∆+)()(t x t t x t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ t t O t x t O t d ∆∆+∆+-)}()()}{()({ 现在定义纯增长率μ为单位时间现有每单位种群中纯增加的种群单位数.因为μ为瞬时出生率b 与瞬时死亡率d 之差，亦即d b -=μ. 于是，得到 )]()()][()([)]()()][()([)()(t O t x t O t d t O t x t O t b t t x t t x ∆+∆+-∆+∆+=∆-∆+取极限0→∆t 即得 x x d b dx bx dt dx μ=-=-=)( 从而有 dt dx x 1=μ 如果用)(t o ∆表示当0→∆t 时t ∆的高阶无穷小量，即 时仍趋于零的量之后当除以0)(→∆∆≡∆t t t o . 则(3.1.1)式的右端可改写为)()(t o t x d b ∆+∆-(3.1.2)式本身并不是一个数学模型，而只是纯增长率μ的定义，它通常是t x ,函数.但是一旦对这个函数的具体形式作出假设，它就成为一个数学模型. 3.1.2 微分方程及其初等解法 用微分法建立的数学模型通常都可以用微分方程来表示，因此模型的求解会利用到微分方程的解法.大多数情形下，由于建立的模型比较复杂，很难用初等积分方法来求精确解，这时需要用数值方法来近似求解.但对于较为简单的情形，可以用分离变量法、常数变异法等方法来求得精确解.这些方法在常见的常微分方程书中都可以找到，所以这里不再重复. 3.2 Malthus 模型及其修改 3.2.1 连续Malthus 人口模型 设某地区的人口总数为)(t P .1798年，英国人T.J.Malthus 在研究了百余年的人口统计资料之后，他发现了单位时间人口的净增长与人口总数成正比的规律，即 t t kP t P t t P ∆=-∆+)()()( (3.2.1) 当0→∆t 时，上式变为微分方程)()(t kP dtt dP = (3.2.2) 根据现实状况，配以适当的初始条件如：00)(P t P = (3.2.3)系统(3.2.2) (3.2.3)可求解为： )(00)(t t k e P t P -= (3.2.4) 这就是著名的Malthus 人口模型. 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好的吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异.人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口数量比较符合该模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却与此模型相去很远. 在理论上，当∞→t 时，∞→)(t P .这意味着该地区人口数量可以无限制地增大，这与现实是相矛盾的. 3.2.2 湖泊污染的减退 考虑一个受某种物质污染的湖水.假设这个湖的湖水体积V （以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中.以)(t x 记在任意时刻t 每立方米湖水中所含污染物质的克数，这是污染程度的一种合理量度，习惯上称之为污染浓度.令r 表示每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量.我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，此时流入湖里的全部是干净水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5或环保要求？ 考虑在时间段],[t t t ∆+上湖水污染浓度的变化.因为湖水所含污染物的量的减少是由污水流出造成的，故 t r t x V t x t t x ∆-≈-∆+)()]()([ (3.2.5) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()(t x V r dt t dx -= (3.2.6) 考虑如下的初始条件： 0)0(x x = (3.2.7) 于是(3.2.6) (3.2.7)可求解为： t V r e x t x -=0)( (3.2.8) 这是Malthus 模型的另一个版本. 利用(3.2.8)我们可以解决前面提出的问题.式(3.2.8)告诉我们： ))(ln(0t x x r V t = (3.2.9) 将2005.0/1)(/0==t x x 代入(3.2.9),就可以计算出污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5所需的时间为： r V r V t 320ln 05.0≈= 我们把此结果应用于北美的两大湖：安大略湖和伊利湖.这两个湖的湖水体积分别为121064.1⨯和111058.4⨯立方米，而平均流量分别为每天81073.5⨯和81080.4⨯立方米.因此安大略湖的305.01059.8⨯≈t 天或23.5年，伊利湖的305.01086.2⨯≈t 天或7.8年.由于建立模型时有两个假设； 一、污染物质均匀的混合在湖水中. 二、流入（或流出）湖水的流量是一个常数. 故我们建立的模型与现实是有差距的.当然，如果实际流量的季节性变化对污染没有太大的影响，而污染物质与湖水混合不均匀尽可能延长净化时间的话，上面的结果就可能看成是所需净化时间的一个下限.这是我们从这个简单的模型中所得到的一个很有用的信息. 3.2.3 Malthus 模型的修改——Verhulst 模型 对Malthus 模型的修改中最著名的是Verhulst 模型.考虑到单位时间单位人口的净增长率并不一定是一个常数，那么最简单的假设是线性关系.理论上，如果没有自然灾害、疾病或战争，人类的总数会不断增加，这样必然导致人类生存竞争的加剧和人类生存环境的恶化.事实上，单位时间单位人口的净增长率呈下降趋势.因此人口数量的变化可以考虑关系： )()()()(t bP a t t P t P t t P -=∆-∆+ (3.2.10) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()](1[)(t P t cP a dt t dP -=(3.2.11) 其中a ，b ，a b c /=都是正常数.边界条件(3.2.2)在这里是同样适合.从方程发现，如果c P 10<，则0)(>dt t dP ，从而)(t P 单调增加趋于最大群体数c 1；如果c P 10>，则0)(<dt t dP ，从而)(t P 单调减少趋于最大群体数c 1.事实上，令)(1)(t Q t P =，方程(3.2.11)变为线性方程 ac t aQ dt t dQ =+)()( 其解为： at e c Q c t Q --+=)()(0 ，其中001P Q = 从而 at m me P P P t P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0(3.2.13) 其中b a c P m ==1.显然，当∞→t 时，m P t P →)(.当0P 分别取m m m P P P P P P ><=000,,时图形如图3.1所示.并称m P P <0的图像为Logistic （逻辑斯提克）曲线，而相应的微分方程也称为Logistic （逻辑斯提克）方程. 3.2.4 植物的生长模型 令)(t x 为某种植物在时刻t 的净重（或干重，即不包含水分的重量）.设这种植物吸取一种养料而生长，记这种养料在时刻t 的重量为)(t S .一般而言，养料越多，植物生长得就越快；反之，养料越少，植物生长得就越慢.因此最简单的假设是：t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 成正比，即 t t x t kS t x t t x ∆=-∆+)()()()( (3.2.14) 这里k 是正常数.我们也可以假设别的，例如t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 的平方成正比，或与养料在时刻t 的重量)(t S 的二分之三次方成正比等等.但在缺少有关该植物本身进一步信息的情况下，我们区分不出哪一个假设更正确，因此我们采用其中最简单的假设.当然，这也可能是一个很好的假设，如果不是，以后还可以修改. 由式(3.2.14)即得 k S x dt dx = (3.2.15) 此时，由于养料在时刻t 的重量)(t S 未知，所以(3.2.15)还不能单独求解.我们必须寻求其它的量关系.为此，我们假设养分被植物吸收后全部转化成了植物的净重量，没有丢弃任何东西.这意味着，任意时刻单位时间养分减少的重量与植物净重量的增加相等，此关系可表示为： dx dS -= (3.2.16) 上式中“负号”表示植物的净重量x 增加时养分的重量S 减少.从(3.2.16)中马上可以得到xx S f -=(3.2.17) 其中常数f x 为对应于0=S 时x 的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.将(3.2.17)代入(3.2.15)，得到 x x x k dt dx f )(-= (3.2.18) 这就是植物生长的数学模型.它的解为： t kx f f f e x x x x x t x --+=))0(()0()0()( (3.2.19) 其解曲线如图3.2所示. 注意到曲线是S 形的，先向上弯曲到拐点 )0()0(ln 1x x x kx t f f -=，2fx x =，然后向下弯曲，并且当∞→t 时逼近于水平渐近线f x x =.不难发现，我们又一次得到了Logistic 方程和Logistic 曲线，即方程(3.2.18)和曲线(3.2.19).这是生态学中最重要的数学模型之一.实践中，植物的生长会在有限时间内达到它的最大净重量，而在(3.2.19)中说明只有当∞→t 时)(t x 才逼近于f x .这说明该模型只是抓住现象的本质特点，而不是现实过程的模仿.实际测量数据是判断模型有效性的唯一根据.当适当选择k 和f x 的值之后，上述模型对一年生的植物生长给出了很好的描述. 练习 １．蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比.如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半.然而，由于要产幼蚁，出生率也同现有总数成正比变化，并且两周内蚁群总数翻一番.试确定每周该群体的出生率. ２．一个大罐装有50升的盐水，其内溶有50公斤的盐，水以每分钟2升的速度注入该罐，并且搅拌好的溶液以同样的速度流进原先装有50升纯水的二级罐，试确定25分钟后二级罐内溶液的浓度. ３．假设Verhulst 方程(3.2.11)变为)(])(1[)(2t P t cP a dtt dP -= 试求解之.并比较(3.2.11)的解.如果2)(t P 变为nt P )(又如何？ ４．两棵植物种在一起，按比例吸取养分，试建立它们的生长模型. 3.3 传染病传播的数学模型 人们将传染病的统计数据进行处理和分析发现，在某一地区某种传染病传播时每次所涉及的人数大体上是一个常数.这一现象如何解释呢？下面我们建立传染病传播的数学模型并用我们建立的数学模型来解释这种现象. 传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如果还要考虑人员的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么传染病的传播变得非常复杂. 如果一开始就把所有的因素统统考虑进去，那么我们将陷入多如乱麻的头绪中而不能自拔，倒不如舍弃众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原假设，再建立一个与实际比较吻合的模型.下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可从中得到很好的启发. 模型一 考虑最简单的情形. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数是常数0K ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人. 记 )(t i 表示t 时刻病人数， 0K 表示每个病人单位时间内传染的人数， 0)0(i i =，即最初有)0(i 个传染病人，则在t ∆时间内增加到病人数为 t t i K t i t t i ∆=-∆+)()()(0 于是得微分方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (3.3.1) 这也是一个Malthus 模型.其解为： t K e i t i 00)(= (3.3.2) 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的. 这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长. 但由(3.3.2)式可知， 当∞→t 时，∞→)(t i ， 这显然与实际情况不能相符. 问题在于两条假设均不合理.特别是假设（1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际不符. 因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多.而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的. 为了更好的吻合实际情况，我们在原有基础上修改假设建立新的模型. 模型二 用)(t i ，)(t s 表示t 时刻传染病人数与未被传染人数.0)0(i i =. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数与这时未被传染人数成正比，比例系数是常数0K ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人； 假设（3），该地区总人数不变，设为n .即n t i t s =+)()(. 由以上假设得微分方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=00)0()()()()()(i i n t i t s t i t s K dt t di(3.3.3) 注意到该模型与植物的生长模型一致.因此，可以类似地 求解此模型.其解为： nt K e i n n t i 0)1(1)(0--+=(3.3.4)其图形如图3.3所示.模型(3.3.3)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间. 医学上称t dt di /为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图3.4所示.由(3.3.4)式可解出20020])1(1[)1(00n tK n tK e i n e i n n K dt di ---+-=(3.3.5) 令0)(22=dt t i d ，得极大值点为：n K i n t 001)1ln(-= (3.3.6) 由此可见，当传染病强度0K 或总人数n 增加时，1t 都将变小，即传染病高峰来的快.这与实际情况吻合.同时，如果知道了传染病强度0K （由统计数据得出），即可预报传染病高峰1t 到来的时间，这对于防治传染病是有益的. 模型二的缺点： 当∞→t 时，由(3.3.4)式可知，n t i →)(.即最后人人都要生病. 这显然是不符合实际情况的.造成的原因是假设（2）中假设了人得病后经久不愈. 为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染给别人，因为其中一部分会被隔离. 还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈. 为此作出新的假设，建立新的模型.模型三在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍然要把问题简单化.设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形.并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者.在这种情况下，把居民分成三类： 第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的.用)(t I 表示t 时刻第一类人数. 第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的.用)(t s 表示t 时刻第二类人数. 第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人.用)(t R 表示t 时刻第三类人数. 假设疾病传染服从以下法则： （1）在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入与迁出等情况. （2）易受传染者人数)(t s 的变化率正比于第一类的人数)(t I 与第二类人数)(t s 的乘积. （3）由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比. 由假设（1）（2）（3）得微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=I dtdR IrsI dtdI rsIdt ds γγ(3.3.7) 其中γ,r 为两个比例常数，r 为传染率，γ为排除率. 由个方程相加得 0)]()()([=++t R t I t s dt d 则)()]()()([人口总数，是常数N t R t I t s =++ 故)()()(t I t s N t R --=. 由此可知，只要知道了)(t s 和)(t I ，即可求出)(t R . 而(3.3.7)式的第一和第二个方程与)(t R 无关，因此由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=I rsI dt dI rsI dt ds γ (3.3.8) 得 rs rsI I rsI ds dI γγ+-=--=1， (3.3.9) 从而 c s r s s I ++-=ln )(γ当0t t =时， 0000)(,)(s t s I t I ==，记r γρ=，有000ln )(s s s s I s I ρ+-+= 下面讨论积分曲线(3.3.10)的性质. 由(3.3.9)知 ⎪⎩⎪⎨⎧<>==><+-=ρρρρs s s s s I ,0,0,01)(' 所以当ρ<s 时，)(s I 是s 的增函数，ρ>s 时，)(s I 是s 的减函数. 0)()0(00>=-∞=I s I I 由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点∞s ，00s s <<∞时，使得0)(=s I .而当0s s s ≤<∞时，0)(>s I . 由(3.3.8)式知0=I 时，0/,0/==dt dI st ds ，所以)0,(∞s 为方程组(3.3.8)的平衡点. 当0t t ≥时，方程(3.3.10)的图像如图3.5.图3.5 当t 由0t 变化到∞时，点))(),((t I t s 沿图3.5中诸条曲线移动，并沿s 减少的方向移动，因为)(t s 随时间的增加而单调减少.因此，如果ρ<0s ，则)(t I 单调减小直到零，)(t s 单调减小直到∞s .所以，如果为数不多的一群传染者0I 分散在居民0s 中，且ρ<0s ，则这种传染病会很快被消灭. 如果ρ>0s ，则随着)(t s 减小到ρ时，)(t I 增加，且当ρ=s 时，)(t I 达到最大值.当ρ<)(t s 时，)(t I 才开始减小. 由以上分析可以得出如下结论： 只是当居民中的易受传染者的人数超过阈值r γρ=时传染病才会蔓延. 用一般的常识来检验上面的结论也是合理的.当人口拥挤、密度高、缺乏应有的科学文化知识、缺乏必要的医疗条件、隔离不好而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低、社会条件好、有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭. 如果起初易受传染的人数0s 大于但接近于阈值ρ，即如果)(0ρ-s 与ρ相比是小量，则最终患病的人数近似于2)(0ρ-s .这就是著名的传染病学中的阈值定理.生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理. 定理（传染病学中的阈值定理）设r s +=ρ0，且假设ρ/r 与1比相是小量.并设最初传染者人数0I 很小，则最终患病的人数为r 2.即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少. 根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数.这个定理揭示了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一个常数的现象. 在传染病发生的过程中，不可能准确地调查每一天或每一星期得病的人数.因为只有那些来医院就医的人才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染.因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数.所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(3.3.7)的第三个方程. )(s R N I dt dR --==γγ (3.3.11) 因为 ργγs s r I r s I dt dR dt ds dR ds -=-=-== 即得 ρdR s ds -= 所以ρ/0)(R e s R s -=代入(3.3.11)得 )(/0ργγR e s R N I dt dR ---== (3.3.12) 方程(3.3.12)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解. 如果传染病不严重，则ρ/R 是小量，取泰勒级数 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2/211ρρρR R e R 的前三项，近似得 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=20211ρργR R s R N dt dR⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=200021ρργR s R s s N其解为 )]21tanh(1[)(002ϕαγαρρ-+-=t s s t R 其中 2/10020])(2)1[(ρραs N s s -+-=，)1(1tanh 01-=-ραϕs 因此 )21(sec 22022ϕαγργα-=t h s dt dR (3.3.13)方程（3.3.13）在dt dR t -平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线.如图3.6.疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传染病.每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来. Kermack 和Mekendrick 把(3.3.13)得到的dt dR 的值与取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，模型值与实际值非常接近.这说明模型III 是很好的. 3.4 Lanchester 作战模型 问题：两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后的胜负状况. 这个问题提得很模糊.因为战争是一个很复杂的问题.涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多因素.因此，如果把战争所涉及到的所有因素都考虑进去，这样的模型是难以建立的.但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的.在第一次世界大战期间，Ｆ·Ｗ·Lancheste r(兰彻斯特)投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得出交战结果的数学模型.并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定理”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比. 对于一次局部战争，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备、指挥艺术.还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数.两军士兵都处于对方火力范围内.由于战斗紧迫、短暂，也不考虑支援部队. 根据问题的不同，Lanchester 将战争分成三种：正规战、游击战和混合战.正规战是指战斗双方都处于对方的视野中，没有掩护.游击战是指战斗双方都处于各自的掩体内不被对方看见，作战射击目标是一个范围而不是单个个人.混合战是指战斗双方其中一方处于自己的掩体内而另一方处于对方的视野中，即一方是游击战而另一方是正规战. 3.4.1正规战模型 令)(t x 表t 时刻甲军人数，)(t y 表t 时刻乙军人数. 在以上假设下，显然甲军人数的减员人数成正比，同样乙军人数的减员率与甲军人数成正比，可得正规部队的作战模型为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bx dtdy aydt dx (3.4.1)其中0,0>>b a ，均为常数，(3.4.1)式中两式作比值，可积分得 c bx ay bx ay =-=-202022 (3.4.2) 这就是“兰彻斯特平方定理”， (3.4.2)式在y x -平面上是一族双曲线.如图3.7所示，双曲线上箭头所指方向表示战斗力随着时间而变化的方向.图 3.7中，2=a ，1=b .0=c 是一条过原点的直线，它将平面分成两部分：0>c （直线上方的部分）和0<c （直线下方的部分）. 由图3.7知，当0>c 时，曲线与y 轴有一个交点.此时，因为甲部队的士兵人数先减少为０，因此，乙部队获胜.从(3.4.2)式我们知道，乙方要获胜，就要使不等式2020bx ay >成立.可采用两种方式：（1）增大a ，即配备更先进的武器.（2）增加最初投入战斗的人数0y .但是，值得注意的是：在上式中a 增大两倍，结果20ay 也增大两倍.但0y 增大两倍则会使20ay 增大四倍.这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定理的意义，说明兵力增加，战斗力将大大增加. 下面考虑一个具体的数值例子.设甲军有100=m 人，乙军有50=n 人，两军装备性能相同，即令1=b a ，于是(3.4.2)为 a c x y x y =-=-=-7500202022或750022=-y x 因为战斗结束时一方人数为０.显然，甲军获胜.最后，乙军被消灭即0=y ，从而由75002=x 解得87≈x .这说明甲方战斗死亡13人，剩余87人，乙方50人全部战斗死亡. 另外，如果考虑两军作战时有增援.令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率.所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率.即t 时刻单位时间增援的战士人数.此时正规战对正规战的作战模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dt dy t f ay dt dx(3.4.3)3.4.2 混合战模型如果甲军是游击战，乙军是正规战.由于游击战对当地的地形比较熟悉，常常处于不易被对方发现的有利地形.设游击部队占据区域R ，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R 射击，但并不知道杀伤情况.我们认为如下的假设是合理的：游击部队x 的战斗减员率与自己部队人数x 成正比.因为x 越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性就越大.另一方面，游击部队x 的战斗减员率还应当与对方部队人数y 成正比.因为y 越大，火力越强，x 的伤亡人数也就越大.因此游击部队x 的战斗减员率等于)()(t y t cx ，常数c 称为敌方y 的战斗有效系数.如果)(t f 和)(t g 分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dx dt dy t f cxy dt dx (3.4.4) 若无增援)(t f 和)(t g ，则(3.4.4)式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dx dt dy cxy dt dx(3.4.5)(3.4.5)式中两个方程相比，积分得M dx cy dx cy =-=-020222(3.4.6)(3.4.6)式在y x _平面上定义了一族抛物线，如图3.8所示. 如果0>M ，则正规部队胜.因为当)(t y 减小到c M /，部队x 已经被消灭.同样，如0<M ，则游击队胜. 3.4.3 游击战模型 甲乙双方都是游击部队，因而双方都隐藏在对方不易发现的区域内活动.由混合战部分的分析，得游击战数学模型 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dxy dt dy t f cxy dt dx (3.4.7) 其中)(t f 和)(t g 分别为甲军和乙军的增援率，c ，d 分别为乙军和甲军的战斗有效系数. 如果甲乙双方的增援率均为零，则游击战模型(3.4.7)变为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dxy dt dy cxy dt dx (3.4.8) (3.4.8)式中两个方程相比，积分得 L dx cy dx cy =-=-00 (3.4.9) (3.4.9)式在y x -平面上定义了一族直线，可通过修改图3.7或图3.8的程序来在计算机上输出这一族直线的图像.如图3.9，当0=L 时，它是这族直线中过原点的一条.此时甲乙双方战平（因为双方人数都减少为零），条件为00dx cy =；当0>L 时，即00dx cy >，此时乙方胜（因为甲方人数减少至零时，乙方还有士兵人数为c L /）.最后，当0<L 时，即00dx cy <，甲方胜（因为乙方人数减少至零时，甲方还有人数为d L /-）.。

微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。

本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。

1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。

通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。

将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。

2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。

根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。

对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。

3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。

求解方法包括解析解和数值解两种。

解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。

数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。

4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。

通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。

现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。

1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。

已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。

求解该问题。

解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。

根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。

将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。

然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。

2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。

第三章 微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。

例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。

本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。

这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。

提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。

最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。

因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。

事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。

§3.1 几个简单实例例3.1 （理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。

（图3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 sin mg ，根据牛顿第二定律可得：θθsin mg ml -= 从而得出两阶微分方程：sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ⎧+=⎪⎨⎪==⎩ （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。

（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。

根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：⎪⎩⎪⎨⎧===+∙∙∙0)0(,0)0(0ϑϑϑϑϑl g （3.2）（3.2）的特征方程为02=+lg λ 对应的特征根为i lg =λ，（其中i 为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： t c t c t ωωϑcos sin )(21+=，其中lg =ω 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解θ(t )= θ0cos ωt注意到当4T t =时，θ(t ) = 0，即可得出 24πω==T l g t 故有 l g T π2=这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。

微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。

本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。

微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。

一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。

微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。

建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。

明确要研究的变量和参数。

2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。

3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。

4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。

微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。

•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。

•光学：描述光的传播和折射。

经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。

•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。

生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。

•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。

工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。

•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。

微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。

解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。

常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。

微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。

通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。

本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。

基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。

微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。

通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。

常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。

解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。

解析解是指能够用数学公式精确表示的解。

解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。

一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。

数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。

微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。

微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。

一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。

它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。

变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。

2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。

常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。

3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。

微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。

4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。

初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。

5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。

常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。

二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。

1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。

通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。

2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。

通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。

3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。

通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。

4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。

通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。

5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。

通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。

以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。

在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。