福建省福州三中2020~2021学年高一第一学期期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为() A ． B ． C ． D ．2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－155．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(),3-∞ D ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e8．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]9．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 10．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12x f x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12C ．13D ．－1212．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞ 二、填空题13．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．14．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.16．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．三、解答题21．已知函数()10()m f x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =（1）求函数()f x 的解析式（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；23．已知函数sin ωφf xA xB (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 32，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移22个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 24．已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)26．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ．故答案为C 。

2020-2021学年福建省福州三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.43754．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.57．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）二、多选题（共4小题）.9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝110．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增三、填空题（共4小题）.13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是．三、解答题（共6小题）.17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x\x＞﹣1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|x＞0}＝（0，+∞）．故选：A．2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．解：sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝sin78°sin18°+cos78°cos18°＝cos（78°﹣18°）＝cos60°＝．故选：C．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375解：由表格可知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的近似根在（1，1.5），（1.25，1.5），（1.375，1.5），（1.375，1.4375），（1.40625，1.4375），故程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为：1.4375，故选：D．4．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解：log20.8＜log21＝0，0＜0.82＜1，20.8＞20＝1；∴a＜b＜c．故选：A．5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（x）≥0恒成立，排除C，D，f（﹣x）＝＝＝f（x），即函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，故选：A．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.5解：设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，则lgE1﹣lgE2＝4.5，∴，∴．故选：D．7．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣解：设﹣x＝θ，则x＝﹣θ，则sinθ＝，则cos（x+）＝cos（﹣θ+）＝cos（﹣θ）＝﹣cos（﹣θ）＝﹣sinθ＝﹣，故选：C．8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）解：当x∈（﹣2π，2π），f（x）＝a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0），则有f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，偶函数的对称性，只需研究x∈（0，2π）时，f（x）＝a cos2x+2sin x﹣a+2＝0有两个零点，设t＝sin x，则h（t）＝at2﹣2t﹣2有一个根t∈（﹣1，1），①当a＜0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向下，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，这与a＜0矛盾，不符合题意；②当a＞0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向上，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，则存在t∈（﹣1，0），只需h（1）＝a﹣2+2＜0，解得a＜4，所以0＜a＜4，综上所述，实数a的取值范围为（0，4）．故选：D．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1解：，∴A正确；f（x）在R上是增函数，∴f（﹣2）＜f（3），∴B错误；，＝，∴f（2x）＝2f（x）g（x），∴C正确；[f（x）]2﹣[g（x）]2＝，∴D错误．故选：AC．10．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．解：将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象，故g（x）的周期为，且g（x）的最大值为2，最小值为﹣2，若g（x1）•g（x2）＝﹣4，所以g（x1）和g（x2）是函数g（x）的最大值和最小值，所以|x1﹣x2|＝+，k∈Z，当k＝0时，|x1﹣x2|＝；当k＝1时，|x1﹣x2|＝．故选：BD．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．解：设，则a+b＝log26+log3＝log26﹣log36＞0，故A错误；﹣＝log62+log63＝log66＝1，故B正确；∵a＝log26＞0，b＝log3＜0，∴ab＜0，故正确；+＝（log62）2+（﹣log63）2＝（log62）2+（log63）2＝（log62+log63）2﹣2log62log63＞1﹣2×（）2＝1﹣＝，故D正确．故选：BCD．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增解：对于A，由于ω＞0，f（0）＝sin＞sin0，设t＝ωx+，则t∈[，2ωπ+]，因为f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以5π≤2ωπ+＜6π，解得≤ω＜，故A正确，对于B，f（x）＝1即此时f（x）取最大值，则满足ωx+＝，，的x是f（x）＝1的解，共3个，故B正确，对于C，f（x）＝﹣1，即此时f（x）取最小值，则满足ωx+＝，的x是f（x）＝﹣1的解，但当ω接近时，ωx+＝＜6π，也是f（x）＝﹣1的解，这时f（x）＝﹣1有3个解，故C错，对于D，当x∈（0，）时，由ω×+＝（ω+2）×＜＜，所以f（x）是递增的，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r＝9，∵圆心角为1rad的弧长l＝r，∴3r＝9，则r＝3，l＝3，则对应的扇形的面积S＝lr＝×3×3＝．故答案是：．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝ 2.5．解：根据题意，f（x）为偶函数且满足f（x+4）＝f（x），则f（5.5）＝f（﹣2.5）＝f（2.5），又由当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（2.5）＝2.5，则有f（5.5）＝f（2.5）＝2.5，故答案为：2.5．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝7．解：因为角θ的终边经过点P（﹣4，3），所以，所以＝．故答案为：7．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝1；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是[0，1）．解：∵f（x）＝，∴f（﹣3）＝sin（）+1＝2，则f[f（﹣3）]＝f（2）＝|log22|＝1；作出函数f（x）的图象如图，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），不妨设a＜b＜c＜d，由图可知，|log2c|＝|log2d|，得log2（cd）＝0，即cd＝1．a+b＝﹣2，且﹣1＜b≤0，则abcd＝（﹣b﹣2）b＝﹣（b+1）2+1∈[0，1），故答案为：2；[0，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．解：（1）＝（2﹣2lg2）+3+（﹣）+lg2＝4．（2）因为，，两边平方可得1﹣2sinαcosα＝，可得2sinαcosα＝，可得sinα+cosα＝＝＝，可得＝＝＝﹣．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，故＝；（2）因为，由（1）可知，＝，所以，因为，所以，又，所以，故＝＝＝19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？解：（1）因为函数y＝ka x（k＞0，a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越快，而函数y＝log a（x+1）+q（a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越慢，依题意应选择函数y＝ka x（k＞0，a＞1），则有，解得k＝8，a＝，所以函数的解析式为y＝8•（）x（x∈N）；（2）由（1）可知，当x＝0时，y＝8，设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则有8，所以x＝log≈11.36，所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；解：（1）函数＝＝＝所以函数f（x）的最小正周期为π，令，解得，所以函数f（x）的单调递减区间为；（2）因为函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，所以有，解得，又因为m＞0，所以m的最小值为．21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由函数图象知，A＝1，T＝﹣，∴T＝π，所以ω＝＝2，∵x＝时，f（）＝cos（2×+φ）＝1，∴2×+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴f（x）的解析式为f（x）＝cos（2x﹣）；（2），2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）∈[，1]，要使2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，恒成立，令t＝f（x），则t∈[，1]，即2t2﹣mt﹣1≥0，因为g（t）＝2t2﹣mt﹣1图象开口向上，且g（0）＝﹣1，∴要使t∈[，1]时，2t2﹣mt﹣1≥0，则有，解得m≤﹣1，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）由题意可得y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，在[0，π]上，2x﹣∈[﹣，]，①当a＞1或a＜﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上无交点；②当a＝1或a＝﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝2021；③当﹣1＜a＜或＜a＜1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有2个交点，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上有偶数个交点，不可能有2021个交点；④当a＝时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有3个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝1010．综上可得，当a＝1或﹣1时，n＝2021；当a＝时，n＝1010．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．解：（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，则任意x∈R，使得f（x）＝x2+ax+＞0，所以△＝a2﹣4×1×＜0，解得﹣1＜a＜1，所以实数a的取值范围为（﹣1，1）．（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，又因为g（x）在（0，+∞）上为减函数，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数且任意x∈（1，+∞），f（x）＞0，所以﹣≤1，且f（1）＞0，即﹣≤1，且1+a+＞0，解得a＞﹣，所以a的取值范围为（﹣，+∞）．（3）因为当x＞1时，g（x）＝﹣lnx＜0，所以h（x）＝min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上无零点，①当a≥0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣≤0，作出h（x）的图象，可得h（x）只有一个零点x＝1，②当a＜0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣＞0，当△＝a2﹣4×1×＜0，即﹣1＜a＜0时，h（x）只有一个零点x＝1，当△＝a2﹣4×1×＝0，即a＝﹣1时，f（x）的零点为x＝﹣＝，h（x）由两个零点x＝，x＝1，当△＝a2﹣4×1×＞0，即a＜﹣1时，令f（x）＝0，解得x1＝，x2＝，且0＜x1＜1，0＜x2，若x2＝＜1，即﹣＜a＜﹣1时，函数h（x）有3个零点x＝x1，x＝x2，x＝1，若x2＝＞1，即a＜﹣时，函数h（x）有1个零点x＝x1，若若x2＝＝1，即a＝﹣时，函数h（x）有2个零点x＝x1，x＝1，综上所述，当a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）时，h（x）只有一个零点，当a＝﹣1或﹣时，h（x）有两个零点，当a∈（﹣，﹣1）时，h（x）有三个零点．。

2020-2021学年福建省福州三中高一（上）期中数学试卷一、选择题，本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0D．∀x∈R，x2+x+1≥02．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．83．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）若f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣B．C．0D．15．（5分）以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（）A．f（m+n）＝f（m）f（n）B．f（mn）＝f（m）+f（n）C．f（mn）＝f（m）f（n）D．f（m）+f（n）＝f（m+n）6．（5分）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a7．（5分）设a＞0，b＞0，不等式恒成立，则实数k的最大值等于（）A．0B．8C．9D．108．（5分）已知函数，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A．f（x）＝|x|与B．f（x）＝x+1与C．f（x）＝与g（x）＝D．与10．（5分）如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝a t，则下列说法正确的是（）A．蓝藻面积每个月的增长率为200%B．蓝藻每个月增加的面积都相等C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80m2D．若蓝藻面积蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1+t3 11．（5分）已知ab＞0且，则下列不等式一定成立的有（）A．a＜b B．C．D．2a+a＜2b+b 12．（5分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f（x），下列命题中真命题的有（）A．对任意x∈R，都有f[f（x）]＝1B．对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0C．若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}＝{x|f（x）＜b}D．存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等腰三角形三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f（f（4））＝．x12345 f（x）54312 14．（5分）＝．15．（5分）已知函数满足对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）方程x2+2x﹣1＝0的解可视为函数y＝x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4＝0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i ＝1，2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣8x＜0}，．（1）求A∪B，（∁U A）∩B．（2）若集合C＝{x|a﹣3＜x＜2a，a∈R}，B∩C＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝且f（f（1））＝0．（1）求a的值，并在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象．（2）若方程f（x）﹣b＝0有三个实数解，求实数b的取值范围．19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意t∈R，不等式f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．（12分）已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．21．（12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）＝+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？22．（12分）已知幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．2020-2021学年福建省福州三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0D．∀x∈R，x2+x+1≥0【分析】特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即“∀x∈R，x2+x+1＞0”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是全称命题：“∀x∈R，x2+x+1＞0”．故选：B．【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可，属基础题．2．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．8【分析】根据真子集的定义，写出所有的真子集即可．【解答】解：根据题意，A＝{0，1，2}，集合A的真子集有{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，∅共7个．故选：C．【点评】本题考查集合的真子集．3．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）若f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣B．C．0D．1【分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】解：f（2）＝f（2×）＝＝．故选：A．【点评】本题考查函数的基本知识的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．（5分）以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（）A．f（m+n）＝f（m）f（n）B．f（mn）＝f（m）+f（n）C．f（mn）＝f（m）f（n）D．f（m）+f（n）＝f（m+n）【分析】由有理指数幂的运算性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：∵f（x）＝2x，∴f（mn）＝2mn，f（m）f（n）＝2m•2n＝2m+n，f（m+n）＝2m+n，f（m）+f（n）＝2m+2n，则f（m+n）＝f（m）f（n）．故选：A．【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．6．（5分）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】利用幂函数的性质比较a，c的大小，利用指数函数的性质比较a，b的大小即可．【解答】解：设a＝，b＝，c＝＝3，由于y＝x在（0，+∞）上为增函数，则a＜c，由于y＝2x为增函数，则b＜a，则b＜a＜c，故选：B．【点评】本题是基础题，考查指数函数与对数函数的单调性的应用，考查基本知识的掌握情况．7．（5分）设a＞0，b＞0，不等式恒成立，则实数k的最大值等于（）A．0B．8C．9D．10【分析】由恒成立，得，然后利用基本不等式求出的最小值，再得到k的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴由恒成立，得，∴只需，∵，当且仅当，即a＝2，b＝1时取等号，∴k≤9，∴k的最大值为9．故选：C．【点评】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．8．（5分）已知函数，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：由可得f（﹣x）＝|﹣x|﹣＝|x|﹣＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣单调递增，由f（2x﹣1）＜f（x）可得|2x﹣1|＜|x|，解得，．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A．f（x）＝|x|与B．f（x）＝x+1与C．f（x）＝与g（x）＝D．与【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．【解答】解：对于选项A：函数g（x）＝＝|x|，两函数的定义域都、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数，对于选项B：函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠1}，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，对于选项C：函数f（x）＝，两函数的定义域都、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数，对于选项D：函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，函数g（x）的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故选：AC．【点评】本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．10．（5分）如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝a t，则下列说法正确的是（）A．蓝藻面积每个月的增长率为200%B．蓝藻每个月增加的面积都相等C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80m2D．若蓝藻面积蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1+t3【分析】由函数y＝a t图象经过（1，3）可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．【解答】解：由图可知，函数y＝a t图象经过（1，3），即a1＝3，则a＝3，∴y＝3t；∴3t+1﹣3t＝3t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的3倍，则每个月的增长率为200%，A对、B错；当t＝4时，y＝34＝81＞80，C对；若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则3＝2，3＝4，3＝8，∴（3）2＝3•3，则t1+t3＝2t2，D对；故选：ACD．【点评】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．11．（5分）已知ab＞0且，则下列不等式一定成立的有（）A．a＜b B．C．D．2a+a＜2b+b【分析】根据不等式的基本性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：∵ab＞0，，∴﹣＝＞0，∴b＞a，即a＜b，故A正确；对于B：∵ab＞0，∴a＜b＜0时，a2＞b2，0＜a＜b时，a2＜b2∴﹣＝，无法比较大小，故B错误；对于C：∵ab＞0，a＜b，∴＞0，＞0+＞2＝2，故C正确；对于D：∵a＜b，∴a﹣b＜0，2a﹣2b＜0，∴2a+a﹣2b﹣b＝（2a﹣2b）+（a﹣b）＜0，故D正确：故选：ACD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．12．（5分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f（x），下列命题中真命题的有（）A．对任意x∈R，都有f[f（x）]＝1B．对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0C．若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}＝{x|f（x）＜b}D．存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等腰三角形【分析】根据狄利克雷函数，分别讨论当x∈Q和x∈∁R Q时，对应命题是否成立即可．【解答】解：当x∈Q，则f（x）＝1，f（1）＝1，则[f（x）]＝1，当x∈∁R Q，则f（x）＝0，f（0）＝1，则[f（x）]＝1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]＝1，故A正确，当x∈Q，则﹣x∈Q，则f（﹣x）＝1，f（x）＝1，此时f（﹣x）＝f（x），当x∈∁R Q，则﹣x∈∁R Q，则f（﹣x）＝0，f（x）＝0，此时f（﹣x）＝f（x），即恒有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，故B错误，∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|f（x）＞a}＝{x|f（x）＞b}＝R，故C正确，当x1∈Q，x2∈Q，x3∈Q，此时f（x1）+f（x2）＝f（x3）＝1；ABC够不成三角形，故D 不正确，故选：AC．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及新定义，正确理解狄利克雷函数的分段函数意义是解决本题的关键．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f（f（4））＝5．x12345 f（x）54312【分析】推导出f（4）＝1，从而f（f（4））＝f（1），由此能求出结果．【解答】解：由题意得：f（4）＝1，f（f（4））＝f（1）＝5．故答案为：5．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）＝．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：原式＝﹣﹣（3﹣）＝﹣3＝，故答案为：．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．15．（5分）已知函数满足对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是[，）．【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得函数f（x）在R上为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足对任意x1≠x2，都有成立，则函数f（x）在R上为减函数，而函数，则，解可得≤a＜，即a的取值范围为[，），故答案为：[，）．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意分析函数f（x）的单调性，属于基础题．16．（5分）方程x2+2x﹣1＝0的解可视为函数y＝x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4＝0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i ＝1，2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【分析】原方程等价于x3+a＝，分别作出y＝x3+a与y＝的图象：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程x4+ax﹣4＝0，等价为方程x3+a＝，原方程的实根是曲线y＝x3+a与曲线y＝的交点的横坐标；曲线y＝x3+a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i＝1，2，k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y＝交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：或，解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，利用数形结合是解决本题的关键．注意合理地进行等价转化．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣8x＜0}，．（1）求A∪B，（∁U A）∩B．（2）若集合C＝{x|a﹣3＜x＜2a，a∈R}，B∩C＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，求出A∪B，∁U A∩B．（2）由B∩C＝B，得B⊆C，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣8x＜0}＝{x|0＜x＜8}，＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜8}，∁U A＝{x|x≤0或x≥8}，∴∁U A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}．（2）∵集合C＝{x|a﹣3＜x＜2a，a∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，B∩C＝B，∴B⊆C，∴，解得1≤a≤2，故a的取值范围是[1，2]．【点评】本题考查并集、交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查并集、交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝且f（f（1））＝0．（1）求a的值，并在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象．（2）若方程f（x）﹣b＝0有三个实数解，求实数b的取值范围．【分析】（1）通过函数的解析式，求出函数值，然后推出a，即可得到函数的解析式．（2）【解答】解：（1）f[f（1）]＝f（0）＝1﹣a＝0，则a＝1；所以．（2）的图象如图，方程f（x）﹣b＝0有三个实数解，根据图象可知b的取值范围是（﹣1，0]．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意t∈R，不等式f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，解得b，检验可得所求值；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．运用函数的单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；（3）由函数的奇偶性和单调性，可得kt2＜1﹣2kt对一切t∈R恒成立，讨论k＝0，k＜0且判别式小于0，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，即，解得b＝1，经检验b＝1时，是R上奇函数；（2），则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则＝，因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（3）因为f（x）是R上奇函数，所以f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0等价于f（kt2）＜﹣f（2kt﹣1），即f（kt2）＜f（1﹣2kt），因为f（x）为R上增函数，则kt2＜1﹣2kt对一切t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0恒成立，①k＝0显然成立，②，解得﹣1＜k＜0．综上所述，k的取值范围是（﹣1，0]．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（12分）已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．【分析】（1）根据函数f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a的解析式，可将f（x）＞0化为（2x﹣a）（x﹣1）＞0，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2⇒a＞1，利用韦达定理可得+＝＝＝，再结合均值不等式即可．【解答】解：（1）由f（x）＞0得（2x﹣a）（x﹣1）＞0，当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（，+∞），当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≠1}，当a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（2）方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，等价于2x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0有两个正实数根x1，x2，∴⇒a＞1，则+＝＝＝[（a﹣1）+]+2＝2+≥6当且仅当a＝5时取等号，故+的最小值为6．【点评】本题考查了二次函数的λ性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于中档题．21．（12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）＝+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【分析】（1）根据题意结合“利润＝销售收入﹣成本”，即可列出函数关系式；（2）利用二次函数性质及基本不等式，求出分段函数各段函数上的最大值即可求解．【解答】解：（1）当0＜x＜90时，；当x≥90时，，∴．（2）①当0＜x＜90时，≤1600，②当x≥90时，＞1600，当且仅当，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．【点评】本题是一道关于分段函数的实际应用题，关键是熟练掌握二次函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．22．（12分）已知幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据幂函数f（x）是幂函数，可得p2﹣3p+3＝1，求解p，可得解析式；（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3），求解h（x）的解析式，判断其单调性，根据在[a，b]上的值域为[a，b]，转化为方程有解问题求解n的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，∴得p2﹣3p+3＝1，解得：p＝1或p＝2当p＝1时，f（x）＝，不满足f（2）＜f（4）．当p＝2时，f（x）＝，满足f（2）＜f（4）．∴故得p＝2，函数f（x）的解析式为f（x）＝；（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），即g（x）＝，令t＝，∵x∈[1，9]，∴t∈[1，3]，记k（x）＝t2+mt，其对称在t＝，①当≤1，即m≥﹣2时，则k（x）min═k（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1；②当13时，即﹣6＜m＜﹣2，则k（x）min═k（）＝＝0，解得：m＝0，不满足，舍去；③当时，即m≤﹣6时，则k（x）min═k（3）＝3m+9＝0，解得：m＝﹣3，不满足，舍去；综上所述，存在m＝﹣1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3）＝n﹣在定义域内为单调递减函数，若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]则h（x）＝两式相减：可得：＝（a+3）﹣（b+3）．∴③将③代入②得，n＝a+＝a+1令，∵a＜b，∴0≤t，得：n＝t2﹣t﹣2＝（t﹣）2﹣故得实数n的取值范围（，﹣2]．【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．。

福建省福州市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A ．BC ．5D ． 2．一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（ ） A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π3．函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()27,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 4．已知平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为()4,6A 、()2,1B -、()4,1C -，G 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（ ） A ．()2,2B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,45．sin4，4cos ，tan4的大小关系是（ ） A ．sin4tan4cos4<< B ．tan4sin4cos4<< C ．cos4sin4tan4<<D ．sin4cos4tan4<<6．将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数22sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()0f x f x π++=，且当()0,x π∈时，()sin f x x =，则233f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ． D二、多选题8．下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ） A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ 9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC C ．a b⊥D ．()6a b BC +⊥10．以下函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数的有（ ）A ．sin cos y x x =+B ．sin cos y x x =-C ．sin cos y x x =D ．sin cos xy x=11．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形三、填空题12．已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1sin cos αα=________.13．已知tan 2α=，()tan αβ+=tan β=_________. 14．已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______.四、双空题15．已知O 为ABC ∆的外心，6AB =，10AC =，AO x AB y AC =+，且263x y +=；当0x =时，cos BAC ∠=______；当0x ≠时，cos BAC ∠=_______.五、解答题16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.17．已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）请描述如何由函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 18．某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()16cos1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于17C ，则在哪个时间段实验室需要降温？ 19．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为2π；_______________； （Ⅰ）在①()f x 的一条对称轴3x π=-；②()f x 的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭；③()f x 的图象经过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线[]()0,x t t π=∈与()f x 和()cos g x x x =的图象分别交于P 、Q 两点，求线段PQ 长度的最大值及此时t 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，4AB =，2BC =，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上（含端点），且BE mBC =，DF nDC =且（m 、n 为常数），设AB a =，BC b =.（Ⅰ）试用a 、b 表示AE 和AF ； （Ⅱ）若1m n +=，求AE AF ⋅的最小值. 21．已知函数()()()()22f x x m x m R =-+∈.（Ⅰ）对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m 取最小值时，讨论函数()()2cos 15F x f x a =+-在[)0,2x π∈时的零点个数.参考答案1．A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义得出sin α和cos α的值，由此可计算出sin cos αα-的值. 【详解】由三角函数的定义得cos α=，sin α=，因此，sin cos αα-=故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案. 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=， 因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间. 【详解】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：D. 【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】设点G 的坐标为(),x y ，根据向量的坐标运算得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数，可得出点G 的坐标. 【详解】设点G 的坐标为(),x y ，()6,5AB =--，()0,7AC =-，()4,6AG x y =--，()()()1160,572,433AG AB AC =+=-+--=--，即4264x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，因此，点G 的坐标为()2,2. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【分析】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出sin4、4cos 、tan4的大小关系. 【详解】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则sin MP α=，cos OM α=，tan AT α=，其中虚线表示的是角54π的终边， 544π>，则0MP OM AT <<<，即sin4cos4tan4<<. 故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6．B 【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数22sin y x =-的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出ϕ的表达式，利用赋特殊值可得出结果. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为()sin 221y x ϕ=+-，22sin cos 21sin 212y x x x π⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，()222k k Z πϕπ∴=+∈，解得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】先推导出函数()y f x =的周期为2π，可得出2333f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用函数()y f x =的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，且()()0f x f x π++=，()()f x f x π∴+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以，函数()y f x =的周期为2π，则23sin 33332f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题. 8．AC 【分析】分别求出函数()y f x =的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈， 则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题. 9．ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．BD 【分析】先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以，函数sin cos y x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于B 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 对于C 选项，1sin cos sin 22y x x x ==，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈， 所以，函数sin cos y x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan cos x y x x ==，所以，函数sin cos x y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BD. 【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 12．52【分析】利用诱导公式化简等式()()sin 2cos 0παπα-++=，可求出tan α的值，将所求分式变形为221sin cos sin cos sin cos αααααα+=，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，将所求分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52. 【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于基础题. 13．4【分析】利用两角差的正切公式可计算出()tan tan βαβα=+-⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】由两角差的正切公式得()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-==⎡⎤⎣⎦++=. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14．18 【分析】利用向量数量积的几何意义得出2a b ⋅=，在等式24a b -=两边平方可求出b 的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出()2b a b ⋅+的值. 【详解】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．35 59【分析】（1）由0x =可得出O 为AC 的中点，可知AC 为ABC ∆外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出cos BAC ∠；（2）推导出外心的数量积性质212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由题意得出关于x 、y 和AB AC ⋅的方程组，求出AB AC ⋅的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出cos BAC ∠的值. 【详解】当0x =时，由263x y +=可得12y =，12AO xAB y AC AC ∴=+=， 所以，AC 为ABC ∆外接圆的直径，则2ABC π∠=，此时3cos 5AB BAC AC ∠==； 如下图所示：取AB 的中点D ，连接OD ，则⊥OD AB ，所0DO AB ⋅=，()212AO AB AD DO AB AD AB AB ∴⋅=+⋅=⋅=，同理可得212AO AC AC ⋅=. 所以，()()221212263AO AB xAB y AC AB AB AO AC xAB y AC AC AC x y ⎧⋅=+⋅=⎪⎪⎪⋅=+⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，整理得361810050263x y AB AC xAB AC y x y ⎧+⋅=⎪⋅+=⎨⎪+=⎩，解得356x =，2756y =，1003AB AC ⋅=，因此，5cos 9AB AC BAC AB AC ⋅∠==⋅. 故答案为：35；59. 【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.16．（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-.【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】 （Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析. 【分析】 （Ⅰ）分别令23x π+取0、2π、π、32π、2π，列表、描点、连线可作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则可得出函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的变换过程.【详解】（Ⅰ）列表如下：函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图如下图所示：（Ⅱ）总共有6种变换方式，如下所示： 方法一：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法二：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法三：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象向左平移6π个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法四：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法五：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法六：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象向左平移3π个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18．（Ⅰ）4C ；（Ⅱ）从中午12点到晚上20点. 【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数()y f t =的解析式为()162sin 126f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得出实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）由[)0,24t ∈，得出13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()17f t >，得到1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，解此不等式即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）()16cos162sin 1261212f t t t t ππππ⎛⎫+ ⎪-=-⎝=-⎭，[)0,24t ∈. 因此，实验室这一天的最大温差为4C ； （Ⅱ）当[)0,24t ∈时，13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 令()162sin 17126f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以71161266t ππππ<+<，解得1220t <<，因此，实验室从中午12点到晚上20点需要降温. 【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．（Ⅰ）选①或②或③，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【分析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数()y f x =的最小正周期，进而得出2ω=. 选①，根据题意得出()232k k Z ππϕπ-+=+∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选②，根据题意得出()56k k Z πϕπ+=∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选③，根据题意得出51sin 32πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，利用三角恒等变换思想化简函数()y h x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出()h t 在[]0,t π∈上的最大值和最小值，由此可求得线段PQ 长度的最大值及此时t 的值. 【详解】（Ⅰ）由于函数()y f x =图象上两相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，222T ππωπ∴===，此时()()2sin 21f x x ϕ=++. 若选①，则函数()y f x =的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ-+=+∈，得()76k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，当1k =-时，6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； 若选②，则函数()y f x =的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，则()56k k Z πϕπ+=∈， 得()56k k Z πϕπ=-∈，22ππϕ-<<，当1k =时，6π=ϕ， 此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选③，则函数()y f x =的图象过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，7513636πππϕ∴<+<， 51136ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.综上所述，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）令()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x x π⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 21022x x x x ⎛⎫=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，()cos21PQ h t t ∴==+， []0,t π∈，[]20,2t π∴∈，当20t =或22t π=时，即当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．（Ⅰ）AE a mb =+，12n AF a b +=+；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，证明出2AM BM CD ===，从而得出2AB CD =，然后利用向量加法的三角形法则可将AE 和AF 用a 、b 表示；（Ⅱ）计算出2a 、a b ⋅和2b 的值，由1m n +=得出1n m =-，且有01m ≤≤，然后利用向量数量积的运算律将AE AF ⋅表示为以m 为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出AE AF ⋅的最小值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，由于ABCD 为等腰梯形，则2AD BC ==，且60BAD ABC ∠=∠=，//AB DC ，即//CD BM ，又//DM BC ，所以，四边形BCDM 为平行四边形，则2DM BC AD ===，所以，ADM ∆为等边三角形，且2AM =，2CD BM AB AM ∴==-=，2AB CD ∴=， AE AB BE AB mBC a mb =+=+=+，()()111122n AF AB BC CF AB BC n CD a b n a a b +=++=++-=+--=+； （Ⅱ）2216a AB ==，1cos1204242a b AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，224b BC ==， 由题意可知，01m ≤≤，由1m n +=得出1n m =-， 所以，1112222n m mAF a b a b a b +-+-=+=+=+， ()()22222222m m m m AE AF a mb a b a a b a b mb---⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭()222812224m m m =-+=-+，令()()2224f m m =-+，则函数()y f m =在区间[]0,1上单调递减，所以，()()min 16f m f ==，因此，AE AF ⋅的最小值为6. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．（Ⅰ）[)0,+∞；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由[]sin 12,0α-∈-可知，区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，由此可得出实数m 的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，0m =，则()224f x x x =+，令()0F x =，可得出()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，先讨论方程()15a f t -=的根的个数及根的范围，进而得出方程2cos t x =的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ）1sin 1α-≤≤，2sin 10α∴-≤-≤，对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，则区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，02m ∴≥，解得0m ≥， 因此，实数m 的取值范围是[)0,+∞；（Ⅱ）0m ≥，由题意可知，0m =，()()22224f x x x x x =+=+， 令()0F x =，得()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，则()15a f t -=，作出函数15y a =-和函数()y f t =在[]2,2t ∈-时的图象如下图所示：作出函数2cos t x =在[)0,2x π∈时的图象如下图所示：①当152a -<-或1516a ->时，即当1a <-或17a >时，方程()15a f t -=无实根， 此时，函数()y F x =无零点；②当152a -=-时，即当17a =时，方程()15a f t -=的根为1t =-，而方程2cos 1x =-在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ③当2150a -<-<时，即当1517a <<时，方程()15a f t -=有两根1t 、2t ，且()12,1t ∈--，()21,0t ∈-，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，方程22cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有四个零点；④当150a -=时，即当15a =时，方程()15a f t -=有两根分别为2-、0，方程2cos 2x =-在区间[)0,2π上只有一个实根，方程2cos 0x =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有三个零点；⑤当01516a <-<时，即当115a -<<时，方程()15a f t -=只有一个实根1t ，且()10,2t ∈，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ⑥当1516a -=时，即当1a =-时，方程()15a f t -=只有一个实根2，方程2cos 2x =在区间[)0,2π上只有一个实根，此时，函数()y F x =只有一个零点. 综上所述，当1a <-或17a >时，函数()y F x =无零点；当1a =-时，函数()y F x =只有一个零点；当115a -<<或17a =时，函数()y F x =有两个零点；当15a =时，函数()y F x =有三个零点；当1517a <<时，函数()y F x =有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.。

2020-2021福州市高中必修一数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞2．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2785．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．2C ．14，2 D ．14，4 6．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．函数21y x x =-++的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________． 14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．16．函数()()4log 5f x x =-+________.17．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．18．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 19．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是[]0,1时求函数()f x 的值域.23．已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围. 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围.25．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.26．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示； t0 10 20 30 ()f t 0270052007500阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题5．A解析：A试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=e x+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选B．考点：函数奇偶性的性质．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a⩾21xx--对于一切x∈(0,12)成立，即a⩾−x−1x对于一切x∈(0,12)成立，设y=−x−1x,则函数在区间(0,12〕上是增函数∴−x−1x<−12−2=52-，∴a⩾5 2 -.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x>就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．14．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,，当0a ≥时，可知()a g x x x =+的值域为(),22,a a ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U ， 所以，此时有22a ≤，解得01a ≤≤，当0a <时，()a g x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞.故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.15．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】【分析】【详解】设， 则， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7. 16．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 521x f x x =-+-有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集. 17．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．18．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】 因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I .故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.19．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】函数()22x f x b =--有两个零点，和的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析：5【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ， cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）g (x )＝22x －2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【分析】【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设． ∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4； 当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．22．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18]【解析】【分析】【详解】（1）832,323,5b a ab a b a a----+=--⨯=∴=-=Q ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减， 所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当所以函数()f x 的值域为[12,18]【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．23．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(2lg 1f x x x-=-++， 所以()()((22lg 1lg 1lg10x x x x f x f x =++-+=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，21u x x =+，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证21u x x =+在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.24．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解.【详解】 （1）由101x x ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-，∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1a t f t t-=+； ②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.25．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++- =28012000t t -++=()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600．当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+ =213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =，所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数，所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．。

2020-2021学年福建省福州市八县（市、区）一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.sin315°的值为( )A. −√32B. √32C. √22D. −√222.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB3.角π5和角6π5有相同的( )A. 正弦线B. 余弦线C. 正切线D. 不能确定4.已知α是第一象限角，tanα=34，则sinα等于( )A. 45B. 35C. −45D. −355.如果函数f(x)=2sinx +acosx 的图象关于直线x =π6对称，那么a =( )A. −2√3B. 2C. 2√3D. √36.函数f(x)=sinx 的图象向右平移3个单位长度，再将图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，所得图象的函数解析式为( )A. y =3sin(3x −3)B. y =3sin(3x −9)C. y =13sin(13x −3)D. y =3sin(13x −3)7.若tanθ=−13，则cos2θ=( )A. −45B. −15C. 15D. 458.已知△ABC ，点G ，M 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =79BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +29BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=79BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 9.已知函数f(n)={n −3,n ≥10f(f(n +5)),n <10，其中n ∈N ，则f(8)=( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 已知函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=1，φ=B. ω=1，φ=−C. ω=2，φ=D. ω=2，φ=−11. 已知a 是实数，则函数f(x)=acosax −1的图象不可能是( )A.B.C.D.12. P 、Q 、R 是等腰直角△ABC(A 为直角)内的点，且满足∠APB =∠BPC =∠CPA ，∠ACQ =∠CBQ =∠BAQ ，AR 和BR 分别平分∠A 和∠B ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >RA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >RA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. RA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. RA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如下图所示，在平面直角坐标系xoy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，A 的纵坐标为，则cosα=________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．若α∈[0,2π3]，则弓形AB 的面积S 的最大值为______．15. 若a ⃗ =(cosx,sinx),b ⃗ =(√3,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tan2x =______． 16. 已知α∈(0,π2)，且2cosα=cos(π2−α)，则sin2α的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数轴x 上，点A ，B 的坐标分别为a ，b ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为a −2． (1)求BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；(2)若b =5，求|2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.18. 已知函数f(x)=sinxcos(x −π2)−cosxsin(x +π2)，x ∈R ． (1)求f(π12)的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19. 已知△ABC 的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(−3,−1)，D 在直线BC 上． (Ⅰ)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标； (Ⅱ)若AD ⊥BC ，求点D 的坐标．20. 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm ，上栏和下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a(cm)，b(cm)，铝合金的透光部分的面积为S(cm2).(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？21.已知函数f(x)=sin cos+sin2(其中ω>0，0<φ<).其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．(1)函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，S△ABC=2，角C为锐角．且满足f=，求c的值．22.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，x=R，|φ|<π)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，又f(2+x)=f(2−x)，f(0)<0．(1)求这个函数解析式；(2)设关于x的方程f(x)=k+1在[0,8]内有两个不同根a，β，求a+β的值及k的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：sin315°=sin(360°−45°)=−sin45°=−√22．故选：D ．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算、抛物线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．利用向量的三角形法则和数量积运算可得：CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当且仅当|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，只有当CM ⊥l 时，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值． 解：如图所示，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当且仅当|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值， 只有当CM ⊥l 时，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值， 故选：B ．3.答案：C解析：本题给出两个角π5和6π5，求证它们有相同的正切线，着重考查了终边相同的角、三角函数线的作法等知识，属于基础题．根据角π5和角6π5的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答案．解：∵6π5=π+π5，∴角π5和角6π5的终边互为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l，因此，过点A(1,0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T，可得tanπ5=tan6π5，都等于有向线段AT的长，即两角有相同的正切线．故选C．4.答案：B解析：解：由因为α是第一象限角，所以α∈(0,π2)，而根据同角三角函数间的基本关系得：tanα=sinαcosα=34①；sin2α+cos2α=1②；由①得到sinα=34cosα，因为α为锐角，将其代入②，得sinα=35．故选：B．根据同角的三角函数间的基本关系得到：tanα=sinαcosα=34；sin2α+cos2α=1；由于α是第一象限角，联立求出sinα大于0的值即可．考查学生会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，以及会根据象限角判断其三角函数的取值．5.答案：C解析：解：∵函数f(x)=2sinx+acosx=√4+a2(√4+a2√4+a2=√4+a2sin(x+θ)，其中，cosθ=√4+a2，sinθ=√4+a2，由于的图象关于直线x=π6对称，则π6+θ=π2，即θ=π3，sinθ=√4+a2=sinπ3，解得a=2√3，故选：C．由题意利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得a的值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：解：函数f(x)=sinx 的图象向右平移3个单位长度，得到：y =sin(x −3)， 再将图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，得到：y =3sin(13x −3)， 故解析式为：y =3sin(13x −3)． 故选：C ．直接利用三角函数的关系式的平移和伸缩变换求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数图象的平移和伸缩变换．7.答案：D解析：本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，属于基础题． 解：由tanθ=−13， 得cos2θ=cos 2θ−sin 2θ =cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−(−13)21+(−13)2=45，故选D ．8.答案：D解析：解：G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以G 为△ABC 的重心， 因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −79AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：D ．由已知可知G 为△ABC 的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 本题主要考查了三角形的重心性质，还考查了向量的线性运算，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵函数函数f(n)={n −3,n ≥10f(f(n +5)),n <10，∴f(8)=f[f(13)]，则f(13)=13−3=10，∴f(8)=f[f(13)]=f(10)=10−3=7，故选：C．根据解析式先求出f(8)=f[f(13)]，依次再求出f(13)和f[f(13)]，即得到所求的函数值．本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．10.答案：D解析：试题分析：由图像知：函数的周期为，所以，又点在图像上，代入得φ=−。

2020-2021学年福建省福州市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．将300°化为弧度是（ ） A ．3π-B ．76π C ．116πD ．53π 答案：D利用角度制与弧度制的互化即可求解. 解：53001803ππ⋅=， 故选：D2．已知24sin 225α=-，(,0)4πα∈-，则sin cos αα+等于（ ） A ．15- B ．15 C ．75- D ．75答案：B解：试题分析：(,0)sin 0,cos 1422πααα∈-⇒-<<<<⇒sincos 0αα+> sin cos αα⇒+=15=,故选B ． 三角恒等变换． 3．1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-答案：A利用两角和的正切公式可求得tan α的值.解：1tan 1143tan tan 214411tan 34παππααπα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦---⎪⎝⎭. 故选：A.4．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>答案：A利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.解：指数函数xy e =为增函数，则0.501a e e =>=；对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<； 对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A.点评：本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题.5．函数()33f x log x x 9=+-的零点所在区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4答案：C根据函数零点存在性定理进行判断即可．解：∵3(2)log 210f =-<，3(3)log 3279190f =+-=>， ∴(2)(3)0<f f ，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 故选C ．点评：求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．6．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．C D ．2答案：C只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．解：因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴== 2ω=，2A =，又()4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π= 故选C ．点评：本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ． 7．已知锐角α的终边上一点0(sin 40,1cos 40)P +，则锐角α＝（ ）A ．080B ．020C ．070D ．010答案：C∵锐角α的终边上一点()00sin40,1cos40P +，∴0201cos402cos 20cos20tan αtan70sin402sin20cos20sin20y x +︒︒=====︒︒︒︒∴α＝70° 故选C8．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2x xe e x -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2x xe e x --=，则（ ）A ．sinh cosh y x x =+是奇函数B ．sinh cosh y x x =是偶函数C ．cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y +=-D ．sinh()sinh cosh sinh cosh x y x y y x +=+ 答案：D根据奇偶性的定义以及指数的运算性质逐一判断即可.解：由cosh 2x x e e x -+=，sinh 2x xe e x --=，对于A ，()sinh cosh 22x x x xe e e e yf x x x ---+==+=+，定义域为R ， ()()2222x x x x x x x xx x e e e e e e e e f x f x e e ------+-++-=+++=+，故A 不正确；对于B ，()22sinh cosh 4x x e e y f x x x --===，()()224x xe ef x f x ---==-，所以函数为奇函数，故B 不正确.对于C ，()cosh()2x y x y e e x y -++++=，cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅()4x y x y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--+++---+=2x y x ye e --++=，故C 不正确；对于D ，()sinh()2x y x y e e x y -++-+=，sinh cosh sinh cosh 2222x x y y y y x xe e e e e e e e x y y x -----+-++=⋅+⋅()24x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e e e +--+--+-+----++-+--++--==，故D 正确. 故选：D9．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．右移512π个单位 B ．左移712π个单位 C ．右移56π个单位 D ．左移6π个单位 答案：A将目标函数解析式化为5cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用三角函数图象变换规律可得出结论.解：55sin 2cos 2cos 2cos 2332612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象右移512π个单位. 故选：A. 二、多选题10．已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+- 则（ ） A ．()f x 在(2,6)上单调递减 B ．()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2 C ．()f x 在(2,6)上无最小值 D ．()f x 的图象关于直线4x =对称答案：BCD化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断，即可得出结果.．解：[]()ln(2)ln(6)ln (2)(6)f x x x x x =-+-=--，由2060x x ->⎧⎨->⎩得，函数的定义域为(2,6)；令(2)(6)t x x =--，则ln y t =，二次函数2(2)(6)812t x x x x =--=-+-开口向下，其对称轴为直线4x =， 所以(2)(6)t x x =--在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减， 所以(](2)(6)0,4t x x =--∈， 又函数ln y t =在(]0,4∈t 上单调递增；由复合函数的单调性，可得()f x 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减； 故A 错；因为(]0,4∈t 时，(]ln ,2ln 2y t =∈-∞，即(],2ln 2()f x ∈-∞，所以()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2，无最小值； 故BC 正确； 因为(4)ln(42)ln(64)ln(2)ln(2)f x x x x x -=--+-+=-++，(4)ln(42)ln(64)ln(2)ln(2)f x x x x x +=+-+--=++-，即(4)(4)f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线4x =对称，故D 正确. 故选：BCD ． 点评：思路点睛：求解对数型复合函数的单调性及最值时，一般根据对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判定方法，先判断函数单调性，再由函数单调性，即可求出最值等.11．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论其中所有正确结论的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在()0,π单调递减D ．()f x答案：AD利用函数周期性的定义可判断A 选项的正误；利用4f π⎛⎫-⎪⎝⎭和4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值可判断B 选项的正误；化简函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的解析式，可判断C 选项的正误；由()0f 的值可判断D 选项的正误. 解：对于A选项，()()()[][]()2sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x 的一个周期为2π，A 选项正确；对于B 选项，sin cos sin 0cos 01422f π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦，()sin cos sin 0cos 1cos14f π⎡⎛⎫-=+=+-=⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 44f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 不是偶函数，B 选项错误；对于C 选项，当02x π<<时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，则[][]sin cos 0x x ==，则()sin0cos01f x =+=，所以，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是常函数，C 选项错误；对于D 选项，()[][]0sin cos0cos sin 0sin1cos01sin1f ∴=+=+=+>，D 选项正确. 故选：AD.点评：关键点点睛：本题考查三角函数的新定义——取整函数，解题时充分利用正弦函数、余弦函数的有界性化简函数解析式，在推导命题不成立时，可充分利用特殊值法来进行验证.12．已知函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1x 、2x 、[]30,x π∈，且[]0,x π∀∈都有()()12()f x f x f x ≤≤，满足()30f x =的实数3x 有且只有3个.则下述四个结论正确的是（ ）A ．满足题目条件的实数1x 有且只有一个B ．满足题目条件的实数2x 有且只有一个C ．()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：ACD由[]0,x π∈可求得23x πω-的取值范围，设23t x πω=-，根据题意作出函数cos y t=的图象，可判断AB 选项的正误；根据已知条件可得出关于ω的不等式，解出ω的取值范围，可判断D 选项的正误；由0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭计算出23x πω-，利用余弦函数的单调性可判断C 选项的正误. 解：由[]0,x π∈可求得222,333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 设23t x πω=-，则22,33t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，作出函数cos y t =的图象如下图所示：因为[]0,x π∀∈都有()()12()f x f x f x ≤≤，则()()1min f x f x =，()()2max f x f x =，且满足()30f x =的实数3x 有且只有3个，由图象可知，满足题目条件的实数1x 有且只有一个，A 选项正确； 由图象可知，满足题目条件的实数2x 有一个或两个，B 选项错误； 由图象可得325232πππωπ≤-<，解得131966ω≤<，D 选项正确； 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22233103x πππωπω-<-<-， 由上可知，131966ω≤<，所以，9272010320ππωππ-≤-<-， 所以，函数()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 选项正确. 故选：ACD.点评：方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．三、填空题13．函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是__________． 答案：2π.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 解：函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 点评：本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.14．函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为______.答案：()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭根据三角函数图象依次求得,,A ωϕ的值.解：由图象可知1A =，2,23622T T πππππ⎛⎫=--=== ⎪⎝⎭，所以2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，将点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭代入上式得sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=.故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭点评：本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题. 15．已知()351abk k ==≠，且2a b ab +=，则k =______．15由已知两边取常用对数，根据对数运算法则化简即可求值. 解：因为()3501abk k ==>≠，所以lg3lg5lg a bk ==，所以lg lg ,lg 3lg 5k ka b ==， 因为2a b ab +=，所以112a b+=， 即lg 3lg 5lg152lg lg lg k k k+==， 所以2lg152lg lg k k ==，所以215k =，解得k =，四、双空题16．已知函数()2log ,02,x x a f x x a x<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩.（1）当2a =时，函数()f x 的值域是______.（2）若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是______.答案：(],1-∞ ()1,+∞（1）利用对数函数和反比例函数的基本性质可求得函数()f x 的值域；（2）分01a <≤、1a >两种情况讨论，可知直线y b =与函数()f x 的图象有两个交点，数形结合可得出结果.解：（1）当2a =时，则()2log ,022,2x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩.当02x <<时，()22log log 21f x x =<=； 当2x ≥时，()(]20,1f x x=∈. 综上所述，当2a =时，函数()f x 的值域为(],1-∞；（2）由题意可知，存在实数b ，使得函数y b =与函数()f x 的图象有两个交点. ①当01a <≤时，如下图所示：此时，不存在实数b ，使得函数y b =与函数()f x 的图象有两个交点； ②当1a >时，如下图所示：此时，存在实数b ，使得函数y b =与函数()f x 的图象有两个交点.综上所述，当1a >时，存在实数b ，使得函数y b =与函数()f x 的图象有两个交点. 故答案为：(],1-∞；()1,+∞.点评：方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 五、解答题17．（1）计算：2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++（2）已知tan1tan1αα=--，计算35cos()cos sin cos2223sin()sin(2)cos2ππππααααπαππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---⎪⎝⎭的值.答案：（1）1；（2）9-（1）利用对数的运算性质即可求解.（2）利用诱导公式以及齐次式的运算即可求解.解：（1）原式()2lg2lg32lg2lg3lg1211lg6lg2lg121lg36lg100lg22++====++-+.（2）原式()()()()()23cos sin cos sin sin cos sinsin sin sin sinααααααααααα--++==----2222222cos12cos sin2tansin sin tanααααααα+++===---，又tan1tan1αα=--，解得1tan2α=，所以原式2292tan491tan4αα+-=-=-.18．已知函数()2sin24f x xπ⎛⎫-⎝=⎪⎭.（1）利用“五点法”完成以下表格，并在下图中画出函数()f x在区间9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（2）求出函数()f x的单调减区间.24xπ-02ππ32πx8π78π 98π ()f x2答案：（1）表格图象见解析；（2）()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （1）根据函数()f x 的解析式可完善表格，然后描点、连线，可作出函数()f x 在9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象； （2）解不等式()3222242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可得函数()f x 的单调递减区间. 解：（1）()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，如下表所示：24x π-2π π32π 2πx8π 38π 58π 78π 98π ()f x22-函数()f x 在区间9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：（2）由()3222242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()3788k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 因此，函数()f x 的单调递减区间为()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.19．已知函数()1tan ln1tan xf x x-=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若()()()1tan tan f xa x g x e x-=-在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围.答案：（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞.（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论；（2）由,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x=+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数a 的取值范围.解：（1）对于函数()1tan ln1tan x f x x -=+，有1tan 01tan xx->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<，解得()44k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()f x 的定义域为(),44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，()()()()11tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪+--++⎝⎭， 所以，函数()f x 为奇函数；（2）()()()()1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x ex x x---=-=-+， 04x π-<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1x xa x x x +-===-<+++， 所以，实数a 的取值范围是(),0-∞.点评：方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω）的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到的. （1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的与y 轴距离最近的对称轴方程； （2）若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，求ω的取值范围. 答案：（1）12x π=-；（2）512ω≤<. （1）由函数的()f x 的最小正周期求得ω，再根据图象的平移得出函数()f x 的解析式，由正弦函数的性质可得答案；（2）由图象平移得出：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，建立不等式组，解之可得范围. 解：解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，2ππω∴=，2ω∴=，()f x的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到，()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，得()f x 的对称轴方程为212k x π5π=+，k Z ∈， 要使直线212k x π5π=+（k Z ∈）与y 轴距离最近，则须5212k ππ+最小，1k ∴=-，此时对称轴方程为12x π=-，即所求对称轴方程为12x π=-.（2）由已知得：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()0f x =得：33x k ππωωπ+-=，k Z ∈，即33k x πππωω+-=，k Z ∈，()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，()()3321332133k k k πππωππωπππωπωπππωπω⎧+-⎪≤≤⎪⎪⎪-+-⎪∴<⎨⎪⎪++-⎪>⎪⎪⎩，k Z ∈，0ω>，3162268322k k k k ωωω-⎧≤≤-⎪⎪∴>-⎨⎪+⎪<⎩，0ω>，6203162232682k k k k k ⎧⎪->⎪-⎪∴≤-⎨⎪+⎪-<⎪⎩，解得：123k ≤<， k Z ∈，1k ∴=，512ω∴≤<. 点评：方法点睛：求解()()sin +f x A x ωϕ=的性质时，可采用将+x ωϕ整体看待，可求得函数的值域、对称轴、对称中心、单调性等性质以及求参数的范围. 21．如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且OA OD =.（1）若BOP α∠=，求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值.答案：（1）2sin AB α=；（2）矩形ABCD 面积的最大值为23. （1）由题意可得3DAO π∠=，过B 作OP 的垂线，垂足为N ，在ABN 中，即可求解.（2）由（1）可得2sin AB α=，sin BN α=，从而可得cos36AN AB πα==，cos 3sin OA ON AN αα=-=，根据矩形面积公式以及辅助角公式即可求解.解：（1）3POQ π∠=且OA OD =，AOD ∴为等边三角形，3DAO π∴∠=,又四边形ABCD 为矩形，2DAB π∴∠=，6BAP π∴∠=，在扇形OPQ 中，半径1OP =， 过B 作OP 的垂线，垂足为N ，sin sin BN OB αα∴==，在ABN 中，2sin sin sin 6BN BNAB BAP απ===∠. （2）矩形ABCD 面积S AB AD =，设BOP α∠=，由（1）可知2sin AB α=，sin BN α=，cos cos ON OB αα==，cos 36AN AB πα==，cos 3sin OA ON AN αα∴=-=，()2sin cos 3ABCD S AB AD AB OA ααα∴=⋅=⋅=矩形sin 23232sin 233πααα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,33ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴当232ππα+=，即12πα=时，矩形ABCD 面积的最大值，最大值为23.22．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，()f x 图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，______；（1）①()f x 的一条对称轴3x π=-且()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭； ②()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，且在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称且(0)0f > 从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （2）在（1）的情况下，令()()1cos 22h x f x x =-，()()g x h h x =⎡⎤⎣⎦，若存在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()()2230g g x a x a +-+-≤成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）选①②③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）)⎡+∞⎣. （1）根据题意可得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，根据所选的条件得出关于ϕ的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出ϕ的值，综合可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()sin 26h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可计算得出()[]0,1h x ∈，进而可得出()1,sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由参变量分离法得出()()211a g x g x ≥+++，利用基本不等式求得()()211g x g x +++的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.解：（1）由题意可知，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==. 选①，因为函数()f x 的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 解得()76k k Z πϕπ=+∈， ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 2162f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎题意；若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()2sin 2162f f ππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，合乎题意. 所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 选②，因为函数()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则()5212k k Z πϕπ⨯+=∈， 解得()56k k Z πϕπ=-∈， ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 此时，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，不合乎题意； 若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，532,622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 此时，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，合乎题意； 所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 选③，将函数()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称， 所得函数为2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得()32k k Z ππϕπ+=+∈， 解得()6k k Z πϕπ=+∈，ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()502sin 16f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不合乎题意； 若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()02sin 16f π==，合乎题意.所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以，()()11cos 2sin 2cos 22cos 2cos 2262h x f x x x x x x x π⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭12cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0262x ππ≤-≤，()01h x ∴≤≤，所以，()22666h x πππ-≤-≤-， 所以，()()()1sin 2,sin 2626g x h h x h x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-∈--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， ()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∴+∈+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2223ππ<<，2362πππ∴<-<sin 216π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， 由()()()2230gg x a x a +-+-≤可得()()()2231g x g x a g x ++≤+⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()()()()22122321111g x g x g x a g x g x g x g x ++⎡⎤++⎣⎦≥==+++++， 由基本不等式可得()()211g x g x ++≥=+当且仅当()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，等号成立，所以，a ≥点评：结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。

2020-2021高一数学上期末试卷带答案一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2020-2021学年福建省福州市闽侯一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.△ABC为锐角三角形，若角终边上一点P的坐标为，则的值是()A. 1B.C. 3D.2.如图，已知OPQ是半径为r，圆心角为π4的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点(不同于O，P，Q三点)，则关于△ABC的周长说法正确的是()A. 有最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值C. 无最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值3.函数f(x)=cos22x−sin22x的最小正周期是()A. π2B. πC. 2πD. 4π4.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i⃗、j⃗作为基底，若a⃗⃗=x i⃗+y j⃗，则向量a⃗⃗的坐标为()A. (−x,−y)B. (−x,y)C. (x,−y)D. (x,y)5.若0<x<π2，则4x与3sinx的大小关系是()A. 4x<3sinxB. 4x>3sinxC. 4x=3sinxD. 与x取值有关6.给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线x=π3对称，则下列函数中同时具有性质①、②的是()．A. y=sin(x2+π6) B. y=sin(2x−π6)C. y=|sinx|D. y=sin(2x+π6)7.已知函数f(x)是奇函数，满足x>0时，f(x)=2x，则f(log213)=()A. 3B. 13C. −13D. −3 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，DE =12EC ，F 为BC 的中点，G 为EF 上的一点，且AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数m 的值为( ) A. 79B. −29C. −19D. 59二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了2019年1月至2019年12月期间二手房成交均价(单位：元/平方米)的数据(均价=销售总额÷销售总面积)，绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有( ) A. 月均价的极差大于4000元/平方米B. 年均价一定小于18000元/平方米C. 月均价高峰期大致在9月份和10月份D. 上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳10. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗⃗+b ⃗⃗，则下列结论不正确的是( )A. |b ⃗⃗|=1B. a ⃗⃗⊥b ⃗⃗C. a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1D. (4a ⃗⃗+b ⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. 设函数f(x)=|cosx +a|+|cos2x +b|，a ，b ∈R ，则( )A. f(x)的最小正周期可能为π2B. f(x)为偶函数C. 当a=b=0时，f(x)的最小值为√22D. 存a，b使f(x)在(0,π2)上单调递增12.已知定义在R上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①f(x)是奇函数；②∀x∈R，f(x+π2)=−f(x)；③当x∈(0,π4]时，f(x)=2x−1；则下列结论正确的是()A. f(x)的最小正周期T=πB. f(x)在[−π4,π4]上单调递增C. f(x)的图象关于直线x=−π2对称D. 当x=kπ2(k∈Z)时，f(x)=0三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.sin15°⋅c15=______ ．14.已知sinα=13,cos(β+π6)=12,α,β∈(0,5π4)，则cos(α−β+π3)=______．15.已知向量a⃗⃗与b⃗⃗的夹角为60°，且a⃗⃗=(−2,−6)，|b⃗⃗|=√10，则a⃗⃗·b⃗⃗=______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知a⃗⃗+b⃗⃗+c⃗⃗=0⃗⃗，且|a⃗⃗|=3，|b⃗⃗|=4，|c⃗⃗|=5，则a⃗⃗⋅b⃗⃗+b⃗⃗⋅c⃗⃗+c⃗⃗⋅a⃗⃗=，a⃗⃗⋅b⃗⃗=．五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.锐角三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m⃗⃗⃗⃗=(2c,b−a)，n⃗⃗=(2a+2b,c−a)，若m⃗⃗⃗⃗//n⃗⃗．(1)求角B的大小；(2)求sinA+sinC的取值范围．18.如图是f(x)=Asin(ωx+ϕ),(ω>0,A>0,π2>|ϕ|)一段图象，求图象对应的f(x)的表达式．19.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|，记f(x)的最小值为k．(1)解不等式f(x)≤x+1；(2)是否存在正数a、b，同时满足：2a+b=k，1a +2b=4？并证明．20.已知向量a⃗⃗=(12sin2x,cos2x−12)，b⃗⃗=(sinφ,cosφ)，函数f(x)=a⃗⃗⋅b⃗⃗(0<φ<π)，其图象过点(π8,1 2 )(1)求φ的值和f(x)的图象的对称中心；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π4]上的最大值和最小值．21.如图，已知抛物线，直线与抛物线交于两点，，，与交于点．(Ⅰ)求点的轨迹方程；(Ⅱ)求四边形的面积的最小值．22. 已知函数f(x)=sin2(x2+π12)+√3sin(x2+π12)cos(x2+π12)−12．(Ⅰ)求f(x)的值域；(Ⅱ)若f(x)(x>0)的图象与直线y=1交点的横坐标由小到大依次是x1，x2…，x n，求数列{x n}的前2n2项的和．参考答案及解析1.答案：B解析：试题分析：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B>90°，得A>90°−B，∴sinA>sin(90°−B)=cosB，即sinA>cosB，sinA−cosB>0，同理可得sinC>cosA，cosA−sinC<0，点P位于第四象限，所以=−1+1−1=−1，故选B。

绝密★启用前福建省福州市第一中学2020届高三毕业班上学期期末教学质量检测数学(理)试题(解析版)2020年1月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，集合{}1|2,01A x x B x x ⎧⎫=≤=⎨⎬-⎩⎭，则()U C A B ⋂=（ ） A. []-2,1B. ()2+∞，C. (]1,2D. ()2-∞-， 【答案】B【解析】 试题分析：{}{}{}{}|2|22,1|22U A x x x x B x x C A x x x =≤=-≤≤=∴=-或 ()()2+U C A B ∴⋂=∞，，选B考点：集合的运算2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】 试题分析：由2(1)1i i z-=+,得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-,故选D. 考点：复数的运算.3.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个, 每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差是29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲命中个数的中位数是25【答案】D【解析】 分析：根据茎叶图计算极差、众数、平均数、中位数,再作出判断.详解：因为甲命中个数的极差是37-8=29,乙命中个数的众数是21, 甲命中个数的平均数比乙高,甲命中个数的中位数是23,所以选D.点睛：本题考查极差、众数、平均数、中位数,考查基本求解能力.4.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取一个灯球,则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A. 13B. 23C. 14D. 34【答案】B【解析】【分析】 设大灯下缀2个小灯为x 个,大灯下缀4个小灯有y 个,根据题意求得120,240x y ==,再由古典概型及其概率的公式,即可求解．【详解】设大灯下缀2个小灯为x 个,大灯下缀4个小灯有y 个,。