全国百强名校 ”2020-2021学年高三数学重难点训练 (83)

高考解答题突破(三)立体几何突破“两建”——建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系．建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型．建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．考向一证明线、面平行与垂直1．几何法：利用线、面平行与垂直的定义、定理进行推理论证．2．向量法：建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量及平面的法向量间的关系进行推理论证．[证明]证法一：(1)在直三棱柱中有BB1⊥AB.又AB⊥BC，BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵B1D⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1D.在矩形BCC1B1中，D为CC1的中点，且DC＝BC＝DC1＝2，∴∠BDC＝∠B1DC1＝45°，立体几何的内容在高考中的考查总体上比较稳定，因此在复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依．其中平行、垂直关系的判定和性质仍是立体几何的核心内容，在学习时除了利用判定定理性质定理将局部空间问题转化为平面模型，还可以利用空间向量将几何问题代数化、坐标化．在原图中建立适当的坐标系，将点、线坐标化，通过空间向量的坐标化运算，转化为空间直线、平面的位置关系．1．(2019·福州质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，P A ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°，E 是P A 的中点．(1)求证：直线PC ∥平面BDE ；(2)求证：BD ⊥PC .[证明] 设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，AB ＝2，底面ABCD 为菱形，所以BO ＝1，AO ＝CO ＝3，AC ⊥BD .如图，以O 为坐标原点，以OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点O 且平行于P A 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (0，－3，1)．(1)设平面BDE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，因为BE →＝(－1，－3，1)，BD →＝(－2,0,0)，由⎩⎨⎧ n 1·BD →＝0，n 1·BE →＝0，得⎩⎨⎧ －2x 1＝0，－x 1－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝3，得y 1＝1，所以n 1＝(0,1，3)．又PC →＝(0,23，－2)，所以PC →·n 1＝0＋23－23＝0， 即PC →⊥n 1，又PC ⊄平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)因为PC →＝(0,23，－2)，BD →＝(－2,0,0)，所以PC →·BD →＝0.故BD ⊥PC .考向二 求空间角1．求异面直线所成的角(1)定义法：平移两条异面直线中的一条或两条成相交直线，其所成锐角(或直角)即为所求．(2)向量法：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |. 2．向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. 3．向量法求二面角求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2||n1||n2|.[解](1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC2＝BC2＋PB2－2BC·PB cos(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|；②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角；③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化．2．(2019·南昌摸底)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线C 1D 与平面ABC 所成角的正弦值．[解] (1)证明：由题意，tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22，由图可知0<∠ABD ，∠AB 1B <π2，所以∠ABD ＝∠AB 1B ，所以∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π2，所以AB 1⊥BD ，又CO ⊥侧面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO . 又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD ， 又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1.(2)如图，以O 为原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－33，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，33， B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，0，0， 又因为CC 1→＝2AD →，所以C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫63，233，33. 所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，33，33， DC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66，233，33. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则根据⎩⎨⎧ AB →·n ＝0，AC →·n ＝0可得⎝ ⎛ －63x ＋33y ＝0，33y ＋33z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量，设直线C 1D 与平面ABC 所成角为α， 则sin α＝|DC 1→·n||DC 1→||n |＝35555.考向三 立体几何中的探索性问题1．条件追溯型解决此类问题的基本策略是执果索因．其结论明确，需要求出使结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找出切入点．2．存在判断型解决此类问题的策略：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．[解](1)证明：连接BD，由于四边形ABCD是菱形，∠DAB＝π3，E是AB的中点，向量法解决探索性问题的4步第一步建立坐标系：根据条件建立空间直角坐标系，必要时需证明线线垂直，求出相应点的坐标．第二步求向量坐标：求直线的方向向量或平面的法向量的坐标，存在性问题一般用参数表示．第三步求参数值：利用公式得出空间角的三角函数值或参数值．第四步下结论：根据角的范围核查结果，存在性问题依据参数值作出判断．3.(2019·山东济宁模拟)如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)如图所示，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz .依题意得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM →＝(－1，0,1)，因为|cos 〈NE →，AM →〉|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN .连接AE ，如(1)中图所示．因为AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)，又EA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－1，0，所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ.由ES ⊥平面AMN ， 得⎩⎨⎧ ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋λ＝0，(λ－1)＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22. 经检验，当|AS |＝22时，ES ⊥平面AMN .故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时|AS |＝22.专题强化训练(二十)1．(2019·安徽合肥一模)如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 的中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B .(2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．[解] (1)证明：连接AC .∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°， ∴△ACD 为等边三角形．又∵点M 为CD 的中点，∴AM ⊥CD . 由CD ∥AB 得，AM ⊥AB .∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，∴AM ⊥AA 1.又∵AB ∩AA 1＝A ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，AA 1⊂平面AA 1B1B ，∴AM⊥平面AA 1B 1B .(2)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2，∴DM ＝1，AM ＝3，∠AMD ＝∠BAM ＝90°.又∵AA 1⊥底面ABCD ，则可分别以AB ，AM ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，D (－1，3，0)，D 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2， ∴DD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，2，BD →＝(－3，3，0)，A 1B →＝(2,0，－2)． 设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·A 1B →＝0，得⎩⎨⎧ －3x ＋3y ＝0，2x －2z ＝0，即y ＝3x ＝3z .令x ＝1，则n ＝(1，3，1)．∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值为sin θ＝|cos 〈n ，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DD 1→|n |·|DD 1→|＝15. 2．(2019·山东青岛模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π4，点E 在棱BB 1上．(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)试确定点E 的位置，使二面角A －C 1E －C 的余弦值为55.[解] (1)证明：∵BC ＝2，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π4，∴由余弦定理，可求得C 1B ＝2，∴C 1B 2＋BC 2＝C 1C 2，即C 1B ⊥BC .∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，C 1B ⊂侧面BB 1C 1C ，∴AB ⊥C 1B .又CB ∩AB ＝B ，∴C 1B ⊥平面ABC .(2)由(1)知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (0,2,0)，C (2，0,0)，C 1(0,0，2)，B 1(－2，0，2)，∴C 1A →＝(0,2，－2)．设BE →＝λBB 1→(0≤λ≤1)，则C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝(0,0，－2)＋λ(－2，0，2)＝(－2λ，0，－2＋2λ)．设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)，由⎩⎨⎧ m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0得⎩⎨⎧ 2y －2z ＝0，－2λx －2(1－λ)z ＝0，取z ＝2，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2(λ－1)λ，1，2. 又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12(λ－1)2λ2＋3＝55，解得λ＝12. ∴当λ＝12，即点E 是棱BB 1的中点时，二面角A －C 1E －C 的余弦值为55.3．(2019·石家庄二中期末)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠B 1A 1A ＝∠C 1A 1A ＝60°，AA 1＝AC ＝4，AB ＝2，P ，Q 分别为棱AA 1，AC 的中点．(1)在BC 上是否存在点M ，使得AM ∥平面B 1PQ ？请证明你的结论．(2)若侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，求直线A 1C 1与平面B 1PQ 所成角的正弦值．[解] (1)在BC 上存在点M ，为靠近点B 的三等分点，使得AM ∥平面B 1PQ .证法一：如图，在平面ABB1A1内，过点A作AN∥B1P交BB1于点N，连接BQ，在△BB1Q中，取BQ的中点H，连接NH，则NH∥B1Q.∵AN∩NH＝N，B1P∩B1Q＝B1，且AN，NH⊂平面AHN，B1P，B1Q⊂平面B1PQ，∴平面AHN∥平面B1PQ.又AH⊂平面AHN，∴AH ∥平面B1PQ.连接AH并延长交BC于点M，∴AM∥平面B1PQ.在△ABC中，取BC的中点R，连接HR，可知HRAC ＝14＝MRMC，从而CM＝2MB，则点M即为所求．证法二：在平面ABB1A1内延长BA交B1P于点D，连接DQ并延长交CB于点R，连接RB1，则平面B1PQ与平面DRB1重合．在平面ABC内，过点A作DR的平行线交CB于点M，则AM∥平面DRB1，即AM∥平面B1PQ.在平面ABB1A1内，易知AP为△DBB1的中位线，则A是BD的中点；在平面ABC内，由平面几何性质可得，R是CB上靠近点C的三等分点．于是可知，点M 为CB 上靠近点B 的三等分点．(2)连接PC 1，AC 1.∵AA 1＝AC ＝A 1C 1，∠C 1A 1A ＝60°，∴△AC 1A 1为等边三角形．∵P 为AA 1的中点，∴PC 1⊥AA 1.又∵侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，且平面ACC 1A 1∩平面ABB 1A 1＝AA 1，PC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴PC 1⊥平面ABB 1A 1.在平面ABB 1A 1内过点P 作PH ⊥AA 1交BB 1于点H ，分别以PH →，P A 1→，PC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)，A 1(0,2,0)，A (0，－2,0)，C (0，－4,23)，C 1(0,0,23)，∴A 1C 1→＝(0，－2,23)．∵Q 为AC 的中点，∴点Q 的坐标为(0，－3，3)，∴PQ →＝(0，－3，3)．∵A 1B 1＝AB ＝2，∠B 1A 1A ＝60°，∴B 1(3，1,0)，∴PB 1→＝(3，1,0)．设平面B 1PQ 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧ PQ →·m ＝0，PB 1→·m ＝0得⎩⎨⎧ －3y＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－3，z ＝－3，∴平面B 1PQ 的一个法向量为m ＝(1，－3，－3)．设直线A 1C 1与平面B 1PQ 所成角为α，则sin α＝|cos 〈A 1C 1→，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A 1C 1→·m |A 1C 1→||m |＝3913， 即直线A 1C 1与平面B 1PQ 所成角的正弦值为3913.4．(2019·长春调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝3，AC ＝2，点E 是PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC .(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M －AC－E 的余弦值为1010？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF .由面ABCD 为平行四边形，可知F 为BD 的中点．在△PBD 中，∵E ，F 分别为PD ，BD 的中点，∴EF ∥PB .又EF ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC .(2)由题意知，AC ，AB ，AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (0,3,0)，C (2,0,0)，D (2，－3,0)，P (0,0,3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，∴AC →＝(2,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32. 设M (x 0，y 0，z 0)，PM →＝λPB →(0<λ<1)，则(x 0，y 0，z 0－3)＝λ(0,3，－3)，得M (0,3λ，3－3λ)，∴AM →＝(0,3λ，3－3λ)．设平面AEC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎨⎧ n 1·AE →＝0，n 1·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－32y 1＋32z 1＝0，2x 1＝0，取y 1＝1，得n 1＝(0,1,1)．设平面MAC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎨⎧ n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，得⎩⎨⎧ 3λy 2＋(3－3λ)z 2＝0，2x 2＝0，取z 2＝1，得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1λ，1. 设二面角M －AC －E 的大小为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1λ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ2＋1＝1010， 化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝13或λ＝23.∵二面角M －AC －E 的余弦值为1010，∴PM →＝13PB →.故PM →＝13PB →时，二面角M －AC －E 的余弦值为1010.。

高考解答题突破(二)数列的综合应用突破“两归”——化归、归纳1．由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法．2．对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．考向一等差、等比数列的证明证明数列是等差(比)数列的两种基本方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇒{a n}是等差数列；a n＋1 a n＝q(q是非零常数)⇒{a n}是等比数列．(2)等差(比)中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇒{a n}是等差数列；a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*，a n≠0)⇒{a n}是等比数列．[解](1)由题意知，2S n＝(n＋1)2a n－n2a n＋1，2S n＋1＝(n＋2)2a n＋1－(n＋1)2a n＋2，(2)由题意知，b n b n ＋1＝λ·2a n ＝λ·22n ， b n ＋1b n ＋2＝λ·2a n ＋1＝λ·22(n ＋1)，两式相除，可得b n ＋2＝4b n ，即{b 2n }和{b 2n －1}都是以4为公比的等比数列．∵b 1b 2＝λ·2a 1＝4λ，b 1＝1，∴b 2＝4λ，b 3＝4b 1＝4，∴b 2n ＝2·4n －1＝22n －1，b 2n －1＝22n －2，即b n ＝2n －1，则b n ＋1＝2b n ， 因此存在λ＝12，使得数列{b n }是等比数列．巧造等差或等比判定方法(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n 项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.1．(2019·常州一模)已知n 为正整数，数列{a n }满足a n >0,4(n ＋1)a 2n－na 2n ＋1＝0，设数列{b n }满足b n ＝a 2nt n .(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列；(2)若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值．[解] (1)证明：∵数列{a n }满足a n >0,4(n ＋1)a 2n －na 2n ＋1＝0，∴2n ＋1a n ＝na n ＋1.即a n ＋1n ＋1＝2a nn .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以2为公比的等比数列．(2)由(1)可得a nn＝a 1×2n －1，∴a 2n ＝na 21·4n －1. ∵b n ＝a 2n t n ，∴b 1＝a 21t ，b 2＝a 22t 2，b 3＝a 23t 3. ∵数列{b n }是等差数列，∴2×a 22t 2＝a 21t ＋a 23t 3.∴2×2a 21×4t ＝a 21＋3a 21×42t 2，即16t ＝t 2＋48，解得t ＝12或t ＝4.经检验，当t ＝12时，b 2，b 3，b 4不成等差数列，故舍去． 当t ＝4时，b n ＝a 2n 4n ＝na 214，数列{b n }为等差数列，所以t 的值为4.考向二 数列的通项与求和 1．求数列的通项公式的方法(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知a n 与S n间关系式时适合用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得．2．求数列的前n 项和的方法结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法．[解] (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，求解数列通项和前n 项和的关键步骤2．(2019·南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(n ＋2)log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，且q >0， ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 1＋3a 2＝2a 3， 即2a 1＋3a 1q ＝2a 1q 2，化简得2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12. ∵q >0，∴q ＝2.∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *. (2)∵b n ＝(n ＋2)log 2a n ＝n (n ＋2)， ∴1b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＋1b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n 2＋3n ＋2).考向三数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合问题主要体现在以下三方面：(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应函数的单调性比较大小，还可以作差或作商比较大小；(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题，此类问题常通过构造函数证明，或者直接利用放缩法证明．[解](1)∵4S n＝a n·a n＋1，n∈N*，∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4.当n≥2时，4S n－1＝a n－1·a n，得4a n＝a n·a n＋1－a n－1·a n.即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k；②当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1－a2k－1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n >14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋4.“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列．审题时应注意归纳法的运用，要看清项及下标的特征，要注意下标的范围．3．(2019·长春模拟)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．[解] (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由已知得，⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝72，d ＝0(舍去)，所以a n ＝n ＋1.(2)由(1)知1a n a n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2(n ＋2).又λT n ≤a n ＋1恒成立，所以λ≤2(n ＋2)2n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8，而2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8≥16，当且仅当n ＝2时等号成立． 所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.专题强化训练(十六)1．(2019·安徽六安3月联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，∴S 2n ＝(S n ＋1－S n )2－λS n ＋1，∴S n ＋1(S n ＋1－2S n －λ)＝0，∵a n >0，∴S n ＋1>0，∴S n ＋1－2S n －λ＝0，∴S n ＋1＝2S n ＋λ.(2)存在．∵S n ＋1＝2S n ＋λ，∴S n ＝2S n －1＋λ(n ≥2)，相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，∴{a n }从第二项起成等比数列，∵S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ，∴a 2＝1＋λ>0，得λ>－1，∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，(λ＋1)2n －2，n ≥2，若使{a n }是等比数列，则a 1a 3＝a 22，∴2(λ＋1)＝(λ＋1)2，∴λ＝1，经检验，符合题意．故存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，λ的值为1.2．(2019·江西宜春联考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＝3×3n －1＝3n .(2)由(1)，得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n .∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，①3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②，得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1 ＝－6－(2n －2)×3n ＋1.∴T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.3．(2019·广东汕头模拟)已知数列{a n }为递增数列，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n －2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n ·a n ＋1，其前n 项和为T n ，若T n >919成立，求n 的最小值．[解] (1)由2S n ＝a 2n －2S n －1＋1知，2S n －1＝a 2n －1－2S n －2＋1(n ≥3)，两式相减得，2a n ＝a 2n －a 2n －1－2a n －1，即2(a n ＋a n －1)＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)，又数列{a n }为递增数列，a 1＝1，∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2(n ≥3)，又当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 22－2a 1＋1，即a 22－2a 2－3＝0，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍)，a 2－a 1＝2，符合a n －a n －1＝2，∴{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．(2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－12n ＋1， 又∵T n >919，即12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－12n ＋1>919， 解得n >9，又n ∈N *，∴n 的最小值为10.4．(2019·杭州模拟)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等，且a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1na 21 a 22 a 23 … a 2na 31 a 32 a 33 … a 3n… … … … …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d ，设每一行依次组成的等比数列的公比为q .依题意a 31＋a 61＝(1＋2d )＋(1＋5d )＝9，∴d ＝1，∴a n 1＝a 11＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N *)，∵a 31＝a 11＋2d ＝3，∴a 35＝a 31·q 4＝3q 4＝48，∵q >0，∴q ＝2，又∵a 41＝4，∴a 4n ＝a 41q n －1＝4×2n －1＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n a n 1 ＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋1－1)＋(－1)n ·n ＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＋(－1)n ·n ＝12n －1－12n ＋1－1＋(－1)n ·n ， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－115＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n n ]，当n 为偶数时，S n ＝1－12n ＋1－1＋n 2， 当n 为奇数时，S n ＝1－12n ＋1－1＋n －12－n ＝1－12n ＋1－1－n ＋12＝1－n 2－12n ＋1－1.。

2020届高三数学小题狂练三姓名 得分1．若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 . 2．抛物线2y ax =（a 为非零常数）的准线方程为 .3．设函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）满足(9)2f =，则(9)af 的值是 .4．曲线C ：()sin x f x x e =+在0x =处的切线方程为 .5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 为 .6．若a ，b≤m 的最小值是 . 7．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点(1,1)A ，点M 是椭圆上的任意一点，则2MA MF +的最小值为 .8．设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 . 9．若直线l 与圆224x y +=相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且12122x x y y +=，则AB = .10．小张、小李、小王三位同学在足球场上做传球训练，规定：持球的任何一人必须将球传给另两位同学中的一人．开始时球在小王脚下，传球4次后，则球仍然回到小王脚下的概率为 .11．已知()f x =||2x x a x -+，若()f x 在R 上恒为增函数，则a 的取值范围是 .12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在准线上，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则该双曲线的离心率等于 .答案1．38 2．14y a =-3．64．210x y -+=5．2-67．38． 16（去分母）9．2（2OA OB ⋅=，3AOB π∠=） 10．38（树状图，616） 11．[2,2]-（x a ≥：0x a ≤；x a <：0x a ≥）12（由射影公式得222()a m c c c =+2222c a =+，222()a n c c c =-22b =，代入222216m n a b =）或（2ab h c =，中线PO c =，2222()a h c c =-）。

第一讲直线与圆[高考导航]1．求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题．2．结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点．考点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.1．(2019·湖北重点中学联考)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2[解析] 若a ≠0，则由l 1∥l 2得，a ＋11＝－a 2a ，求得a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以实数a 的值为－32或0.故选C.[答案] C2．(2019·沈阳一模)过点(0,1)且与直线x －2y ＋1＝0垂直的直线方程是( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．x －2y ＋2＝0D ．x －2y －1＝0[解析] 设与直线x －2y ＋1＝0垂直的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，代入点(0,1)的坐标，得0＋1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴所求的直线方程为2x ＋y －1＝0.故选A.[答案] A3．(2019·广东佛山一中期末)若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，60°)B ．(30°，60°)C ．(30°，90°)D ．(60°，90°)[解析]易知k >0，联立两直线方程得⎩⎨⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ，∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋31＋k，3k －31＋k ，∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋31＋k>0，3k －31＋k >0，得k >33，设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33，∴θ∈(30°，90°)．故选C.[答案] C4．(2019·长沙二模)直线l 经过点M (2,1)，若点P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．3x －2y －4＝0B ．x ＝2或3x －2y －4＝0C ．x ＝2或x －2y ＝0D ．x ＝2或3x －2y －8＝0[解析] 解法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二：由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x ＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0.[答案] B5．(2019·湖北黄冈中学月考)已知△ABC 的顶点A (1,2)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为x ＋2y －1＝0，∠ABC 的平分线BH 所在直线的方程为y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x －2y －1＝0D ．3x －2y ＋1＝0[解析] 由题意可知，点B 在直线y ＝x 上，可设点B 的坐标是(m ，m )，则AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋12，m ＋22在直线CM 上，所以m ＋12＋2×m ＋22－1＝0，解得m ＝－1，故点B (－1，－1)．设点A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－1，y 0＋22＝x 0＋12，得⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝1，则A ′(2,1)．易知A ′在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＋11＋1＝x ＋12＋1，即3(y ＋1)＝2(x ＋1)，即2x －3y －1＝0，故选A.[答案] A6．(角度创新)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的射影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，那么|MN |的最小值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12[解析] ∵动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0过定点Q (1,3)，点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的射影为点M ，∴当点M 与点Q 不重合时，∠PMQ ＝90°，则M 在以PQ 为直径的圆上，∴此圆的圆心A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，半径r ＝12|PQ |＝12(1＋3)2＋32＝52，又N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴|AN |＝(2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－322＝3>52，则点N 在圆外，∴|MN |的最小值为3－52＝12，故选D.[答案] D直线方程及应用问题应注意的两点(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件． (2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．考点二 圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．1．(2019·绍兴5月适应性考试)若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23[解析] a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.[答案] D2．(2019·天津联考)已知A (1,0)，B (0,3)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＋3y ＝0C ．x 2＋y 2＋x －3y ＝0D ．x 2＋y 2－x ＋3y ＝0[解析] 因为圆以AB 为直径，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径为102，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52，即x 2＋y 2－x －3y ＝0.故选A.[答案] A3．(2019·河北九校第二次联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0[解析] 由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选C.[答案] C4．(2019·兰州一模)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则n －3m ＋2的最大值为( )A ．3＋ 2B ．1＋2C ．1＋ 3D ．2＋3[解析] 由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，其中n －3m ＋2＝k ，将圆C 的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2,7)，半径r ＝22，由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋3，故选D.[答案] D5．(2019·皖南八校联考)设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.[解析] 因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，则y ＝x ＋1，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，m 2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2，从而得圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6.[答案]66．(2019·山西运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为____________________________________．[解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．2．与圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.3．相交两圆的公共弦所在直线方程相交两圆公共弦所在直线方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．【例】(1)(2019·武汉模拟)已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a 的取值范围为()A．(0,3] B．[1,3]C．[2,3] D．[1,2](2)(2019·大连模拟)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形P ACB的面积的最小值是2，则k的值为()A．1 B. 2 C. 3 D．2(3)(2019·常州模拟)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝255，则直线l的方程为________________．[解题指导](1)求以AB为直径的圆→与已知圆有公共点→求出a的范围(2)四边形面积S＝2S Rt△PBC→|PB|最小时S最小→|PC|最小→CP与直线垂直→求出k(3)求出直线方程→利用弦长公式求解[解析] (1)以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，则由题意知圆(x －3)2＋(y －1)2＝1与圆x 2＋y 2＝a 2有公共点，则|a －1|≤(3)2＋12≤a ＋1，解得1≤a ≤3，故选B.(2)由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，四边形P ACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形P ACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2.(3)直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1， 由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2，得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1. [答案] (1)B (2)D (3)y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1[探究追问1] 在本例(3)中若把条件“|MN |＝255”，改为OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，则|MN |＝________.[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由题意得直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8， 由题设可知4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1， 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2. [答案] 2[探究追问2] 在本例(3)中若圆C 的方程不变，且过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是________．[解析] 由题意知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，要使直线l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需直线l 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝4有公共点，所以|2k －3＋1|k 2＋(－1)2≤2，即|2k －2|1＋k 2≤2，解得k ≥0.[答案] [0，＋∞)直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．1．(2019·广东厦门模拟)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由题意可知反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线所在直线与圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.[答案] D2．(2019·湖北四地七校联考)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆的公共弦长为________．[解析] 联立两圆的方程得⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减整理得x －2y ＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．解法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(0＋4)2＋(2－0)2＝25，即公共弦长为2 5.解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， 得圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝5 2.圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|12＋(－2)2＝35，设两圆的公共弦长为l ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，得l ＝2r 2－d 2＝2(52)2－(35)2＝25，即两圆的公共弦长为2 5. [答案] 251．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 解法一：由点到直线的距离公式得d ＝|cos θ－m sin θ－2|1＋m 2，cos θ－m sin θ＝1＋m 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫11＋m 2cos θ－m 1＋m 2sin θ，令sin α＝11＋m 2，cos α＝m1＋m 2，∴cos θ－m sin θ＝1＋m 2sin(α－θ)，∴d ≤|－1＋m 2－2|1＋m 2＝1＋m 2＋21＋m 2＝1＋21＋m 2，∴当m ＝0时，d max ＝3，故选C.解法二：∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x －my －2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x ＝2的距离即为d 的最大值．故选C.[答案] C2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32][解析] 由圆(x －2)2＋y 2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2，△ABP 的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有S ＝12|AB |·d ，易知|AB |＝22，d max ＝|2＋0＋2|12＋12＋2＝32，d min ＝|2＋0＋2|12＋12－2＝2，所以2≤S ≤6，故选A.[答案] A3．(2019·浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.[解析] 解法一：设直线2x －y ＋3＝0为l ，则AC ⊥l ，又k l ＝2， ∴k AC ＝m ＋10＋2＝－12，解得m ＝－2，∴C (0，－2)， ∴r ＝|AC |＝(0＋2)2＋(－2＋1)2＝ 5.解法二：由题知点C 到直线的距离为|－m ＋3|5，r ＝|AC |＝22＋(m ＋1)2.由直线与圆C 相切得 22＋(m ＋1)2＝|－m ＋3|5，解得m ＝－2，∴r ＝22＋(－2＋1)2＝ 5. [答案] －254．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，或k ＝1， 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16.解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16 或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．热点课题4与圆有关的最值问题1．(2019·厦门模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1 C．6－2 2 D.17[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.故选A.[答案] A2．(2019·宁夏银川一中检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________________．[解析] 验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0. [答案] x ＋y －3＝0专题强化训练(二十一)一、选择题1．(2019·合肥检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π [解析] 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B. [答案] B2．(2019·沈阳质量监测)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0[解析] 由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，故选D.[答案] D3．(2019·河北五个一联盟联考)已知直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是l 1平行于l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当m ＝2时，直线l 1：2x －2y ＋1＝0，直线l 2：x －y －1＝0，此时直线l 1与l 2平行，所以充分性成立；当l 1∥l 2时，－m (m －1)＋2＝0，即m 2－m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－1，经检验m ＝－1时，直线l 1与直线l 2重合，故l 1∥l 2时，m ＝2，故必要性成立．综上，“m ＝2\”是l 1平行于l 2的充分必要条件．故选C.[答案] C4．(2019·陕西西安高三质检)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋22[解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为1＋d ＝1＋2，故选A.[答案] A5．(2019·宁夏银川质检)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切[解析] 易知圆C 2的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心的距离为32＋42＝5，又两圆半径之和为2＋3＝5，所以圆C 1与圆C 2外切，故选B.[答案] B6．(2019·辽宁第一次质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，即|－1＋3k |＝1＋k 2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.[答案] D7．(2019·武汉调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510 C.910 D ．－910[解析] 解法一：圆心(0,0)到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝15，则弦长|AB |＝2×4－15＝2195，在△ABO 中，由余弦定理得，cos ∠AOB＝4＋4－7652×2×2＝－910. 解法二：圆心(0,0)到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝15， cos ∠AOB 2＝d |OA |＝152＝125，所以cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOB 2－1＝2×120－1＝－910.[答案] D8．(2019·福建龙岩质检)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16[解析] 由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b2＝(1＋b )21＋b2＝1＋2b 1＋b2≤ 1＋2|b |1＋b2≤2，当且仅当b ＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.故选B.[答案] B9．(2019·泰州模拟)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)， 所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以k MN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)． 即x ＋y －5＝0. [答案] A10．(2019·福州质检)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－14[解析] 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.[答案] B11．(2019·河南名校第二次联考)已知m ，n ，a ，b ∈R ，且满足3m ＋4n ＝6,3a ＋4b ＝1，则(m －a )2＋(n －b )2的最小值为( )A. 3B. 2 C ．1 D.12[解析] 此题可理解为点A (m ，n )和点B (a ，b )分别在直线l 1：3x ＋4y ＝6与l 2：3x ＋4y ＝1上，求A 、B 两点距离的最小值，|AB |＝(m －a )2＋(n －b )2，因为l 1∥l 2，所以|AB |min ＝|6－1|32＋42＝1，故选C.[答案] C12．(2019·四川成都二模)已知直线l 的方程是y ＝k (x －1)－2，若点P (－3,0)在直线l 上的射影为H ，O 为坐标原点，则|OH |的最大值是( )A ．5＋ 2B ．3＋22 C.5＋ 2 D.3＋32[解析] 因为直线l 的方程是y ＝k (x －1)－2，所以直线l 过定点M (1，－2)．则点P (－3,0)在直线l 上的射影H 在以PM 为直径的圆上．|PM |＝(1＋3)2＋(－2)2＝25，线段PM 的中点即圆心C (－1，－1)，则|OC |＝ 2.因此，当O ，C ，H 三点共线时，|OH |取得最大值＝5＋ 2. [答案] C 二、填空题13．(2019·大同一模)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________________．[解析] 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.[答案] x ＋2y －5＝014．(2019·昆明模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m 的值为________．[解析] 因为圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，又因为圆C 1与圆C 2外切，所以25－m ＋1＝5，解得m ＝9.[答案] 915．(2019·河北衡水中学模拟)已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．[解析] 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1.[答案] ±116．(2019·广西南宁测试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线MN ，其中N 为切点，若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值是________．[解析] 解法一：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M (x ，y )，则|MO |＝x 2＋y 2，|MN |＝(x －2)2＋(y －2)2－1.由|MN |＝|MO |，得4x ＋4y －7＝0，即y ＝74－x ，所以|MN |＝|MO |＝x 2＋y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫74－x 2＝2x 2－72x ＋4916＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －782＋4932，当x ＝78时，|MN |取得最小值4932＝728.解法二：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M (x ，y )，则|MO |＝x2＋y2，|MN|＝(x－2)2＋(y－2)2－1.由|MN|＝|MO|，得4x＋4y－7＝0，即点M的轨迹为4x＋4y－7＝0，则由题意知，要使|MN|取得最小值，即|MO|取得最小值，此时|MO|的最小值就是原点到直线4x＋4y－7＝0的距离，即742＋42＝728，故|MN|的最小值为728.[答案]72 8。

第二讲点、直线、平面之间的位置关系[高考导航]1．利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断．2．以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体考查线线、线面与面面平行和垂直关系．考点一空间线面位置关系的判定1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b，⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b，⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α，⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α，⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，⇒a⊥β.1．(2019·四川乐山一模)经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面()A．有且仅有一个B．恰有两个C．至多有一个D．至少有一个[解析]①当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；②当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，所以a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C．[答案]C2．(2019·广东八校联考)m，n是两条不同的直线，α是平面，n ⊥α，则m∥α是m⊥n的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当m∥α时，在平面α内存在一条直线b，使得b∥m，结合n⊥α，知n⊥b，所以n⊥m，所以m∥α是m⊥n的充分条件；当n ⊥α，m⊥n时，m∥α或m⊂α，所以m∥α是m⊥n的不必要条件．综上，m∥α是m⊥n的充分不必要条件，故选A．[答案]A3．(2019·江西红色七校联考(一))设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β[解析]若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；由面面平行的性质、线面垂直的性质知选项C正确；若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C．[答案]C4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[解析]过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N 在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，易得EQ＝3，QN＝1，则EN＝EQ2＋QN2＝3＋1＝2，BE＝BC2＋CE2＝4＋4＝2 2.易知BE＝BD，又∵M为DE的中点，∴BM⊥DE，∴BM＝BE2－EM2＝8－1＝7，∴BM＝7>2＝EN.∴BM≠EN.又∵点M、N、B、E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED 内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线，故选B．[答案]B5．(2019·太原二模)已知三个平面α，β，γ，α∥β∥γ，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于点G，连接CD交平面β于点H，则四边形BGEH的形状为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形[解析]平面α∥β∥γ，A，D∈α，连接AD，∴AD⊂平面α，同理BH⊂平面β，∴BH∥AD．同理GE∥AD，∴BH∥GE.同理BG∥HE，∴四边形BGEH是平行四边形．故选A．[答案]A6．(2019·黄冈质检)如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确结论的序号是________．[解析]①由于P A⊥平面ABC，因此P A⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面P AC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.[答案]①②③空间线面位置关系判定的三种方法(1)定理法：借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)模型法：借助空间几何模型，如在长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理作出选择．(3)反证法：当从正面较难入手时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．考点二空间中平行、垂直关系的证明1．平行关系的相互转化2．垂直关系的相互转化【例1】(2019·南京一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AH⊥平面DEF.[证明](1)取PD的中点M，连接FM，AM.∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝12CD．∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝12CD，∴AE∥FM且AE＝FM，则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，∵EF⊄平面P AD，AM⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD．(2)∵侧面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，∴P A⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥P A．∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH，∵P A⊂平面P AH，AH⊂平面P AH，P A∩AH＝A，∴DE⊥平面P AH，∵DE⊂平面EFD，∴平面P AH⊥平面DEF.平行、垂直关系的基础是线线平行、线线垂直，其常用方法如下：(1)证明线线平行的4种常用方法①利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理证线线平行；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直的3种常用方法①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②利用勾股定理；③利用线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面．(2019·湛江模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面P AD．[证明](1)取BD的中点O，连接CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO.因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．(2)由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，又EO⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，所以EO∥平面P AD．由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以CO∥平面P AD．又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，所以平面CEO∥平面P AD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面P AD．考点三立体几何中的翻折问题翻折前后位于同一个半平面内的直线间的位置关系、数量关系不变，翻折前后分别位于两个半平面内(非交线)的直线位置关系、数量关系一般发生变化．【例2】(2019·广州调研)如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE 的位置，如图2所示．(1)求证：DE⊥平面PCF；(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．[解题指导](1)折叠前DE⊥AC→折叠后DE⊥PF，DE⊥CF→DE⊥平面PCF(2)证明四边形DEBC为平行四边形→CB∥DE →结合(1)证明CB⊥平面PCF→平面PBC⊥平面PCF(3)存在PD，BC的中点M，N→FC∥EN，MF∥PE →平面CFM∥平面PEN[解](1)证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC⊥DE，所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，又PF∩CF＝F，PF，CF⊂平面PCF，所以DE⊥平面PCF.(2)证明：因为四边形AECD为菱形，所以DC∥AE，DC＝AE.又点E为AB的中点，所以DC∥EB，DC＝EB，所以四边形DEBC为平行四边形，所以CB∥DE.又由(1)得，DE⊥平面PCF，所以CB⊥平面PCF.因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCF.(3)存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点．如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM.因为四边形DEBC为平行四边形，所以EF∥CN，EF＝12BC＝CN，所以四边形ENCF为平行四边形，所以FC∥EN.在△PDE中，M，F分别为PD，DE的中点，所以MF∥PE.又EN，PE⊂平面PEN，PE∩EN＝E，MF，CF⊂平面CFM，MF∩CF＝F，所以平面CFM∥平面PEN.(1)解翻折问题的关键是辨析清楚“不变的位置关系和数量关系”、“变的位置关系和数量关系”．(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论．1．(2019·豫西南五校3月联考)已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝22，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直[解析]矩形在翻折前和翻折后的图形如图(1)(2)所示．在图(1)中，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，由边AB，BC不相等可知点E、F不重合；在图(2)中，连接CE，对于选项A，若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故选项A错误；对于选项B，若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，由AB <BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB 与直线CD 垂直，故选项B 正确；对于选项C ，若AD ⊥BC ，又知DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，已知AB ＝2，BC ＝22，则BC >AB ，所以不存在这样的直角三角形，故选项C 错误；由以上可知选项D 错误．因此选B ．[答案] B2．(2019·聊城二模)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE (A 1∉平面ABCD )，若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折的过程中，下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①V A －A 1DE ∶V A 1－BCDE ＝1∶3；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③总有BM ∥平面A 1DE ；④线段BM 的长为定值．[解析] ①设A 1到平面EBCD 的距离为h ，D 到AB 的距离为h ′，则V A －A 1DE ∶V A 1－BCDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×S △ADE ×h ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫13×S 梯形EBCD ×h ＝S △ADE ∶S 梯形EBCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×h ′∶⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CD ＋BE 2×h ′＝1∶3，故①正确；②A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，AC 与DE 不垂直，∴DE 与A 1C 不垂直，故②错误；③取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A1D，FB∥ED且FB＝ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM ∥平面A1DE，故③正确；易知∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，故④正确．故答案为①③④.[答案]①③④1．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m ∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵m⊄α，n⊂α，m∥n，∴m∥α，故充分性成立．而由m∥α，n⊂α，得m∥n或m与n异面，故必要性不成立．故选A．[答案]A2．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[解析]A、C、D选项中α与β可能相交，故选B．[答案]B3．(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________.[解析]把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．[答案]若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)4．(2019·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[证明](1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED．又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC．又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.1.高考对此部分的命题一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题或填空题与一道大题，或一道大题．2．解答题多出现在第18,19题的位置，且为第(1)、(2)问，难度中等．专题强化训练(十八)一、选择题1．(2019·河南洛阳4月联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是() A．若α⊥β，则l⊥βB．若l⊥m，则α⊥βC．若α∥β，则l∥βD．若l∥m，则α∥β[解析]对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l ⊂α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误．[答案]C2．(2019·福建福州3月质检)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是()A．若c⊂平面α，则a⊥αB．若c⊥平面α，则a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α[解析]对于A，满足c⊂平面α，且c与异面直线a，b均垂直，则a可能在α内，也可能与α斜交，故A错误；对于B，满足c⊥平面α时，直线a与直线b可能其中一条在平面α内，故B错误；对于C，若b∥α，则α内一定存在一条直线b′，使得b∥b′，又知a ⊂α，且a与b为两条异面直线，所以a与b′一定相交，又知c⊥b，b∥b′，所以c⊥b′，又知c⊥a，a与b′相交，所以c⊥α，故C 正确；对于D，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，这与条件中a，b是两条异面直线相矛盾，故D错误，因此选C．[答案]C3．(2019·内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题中正确命题的个数为()①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4[解析]①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，不正确；②若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或为异面直线，不正确；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，由面面垂直的性质定理得n⊥α，因此正确．综上可知只有②④正确．故选B．[答案]B4．(2019·陕西西安一模)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．2条B．4条C．6条D．8条[解析]如图，过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中点)，易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C24＝6种，故选C．[答案]C5．(2019·东北三校联考)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是()A．直线A1C1与AD1为异面直线B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥ACD ．三棱锥D 1－ADC 的体积为83[解析] 对于A ，直线A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，D 1∉直线A 1C 1，则易得直线A 1C 1与AD 1为异面直线，故A 正确；对于B ，因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，所以A 1C 1∥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，连接BD ，因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，BD ∩DD 1＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1，所以BD 1⊥AC ，故C 正确；对于D ，三棱锥D 1－ADC 的体积V 三棱锥D 1－ADC ＝13×12×2×2×2＝43，故D 错误．综上，选D ．[答案] D6．(2019·洛阳统考)正方形ABCD 和等腰直角三角形DCE 组成如图所示的梯形，M ，N 分别是AC ，DE 的中点，将△DCE 沿CD 折起(点E 始终不在平面ABCD 内)，则下列说法一定正确的是( )A ．MN ∥平面BCEB ．在折起过程中，一定存在某个位置，使MN ⊥ACC ．MN ⊥AED ．在折起过程中，不存在某个位置，使DE ⊥AD[解析] 折起后的图形如图所示，取CD 的中点O ，连接MO ，NO ，则在△ACD 中，M ，O 分别是AC ，CD 的中点，∴MO ∥AD ∥BC ，同理NO ∥CE ，又BC ∩CE ＝C ，MO ∩NO ＝O ，∴平面MON ∥平面BCE ，∴MN ∥平面BCE ，故A 正确；易知MO ⊥CD ，NO ⊥CD ，又MO ∩NO ＝O ，∴CD ⊥平面MNO ，∴MN ⊥CD ，若MN ⊥AC ，又AC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥MO ，又MO ＝12AD ＝12EC ＝NO ，∴MN 不可能垂直于MO ，故MN ⊥AC 不成立，故B 错误；取CE 的中点Q ，连接MQ ，则在△ACE 中，M ，Q 分别是AC ，CE 的中点，∴MQ ∥AE ，由图知MQ 与MN 不可能始终垂直，故C 错误；当平面CDE ⊥平面ABCD 时，平面CDE ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊥CD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面CDE ，∴AD ⊥DE ，故D 错误．[答案] A二、填空题7．(2019·豫北名校4月联考)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点，若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，则AD DC ＝________.[解析] 如图所示，连接A 1B ，与AB 1交于点O ，连接OD 1，∵平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，平面BC 1D ∩平面A 1BC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，∴BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，同理AD 1∥DC 1，∴A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，∴A 1O OB ＝DC AD ，又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.[答案] 18．(2019·江西八校4月联考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .其中正确命题的序号是________．[解析] 对于①，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，也可能平行，所以命题①错误；对于②，在两个相互垂直的平面内的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，所以命题②错误；对于③，若m ∥α，n ⊂α，则直线m 与n 可能平行，也可能异面，所以③错误；对于④，由面面平行的性质定理可知命题④正确．故正确命题的序号是④.[答案] ④9．(2019·济南模拟)如图，在以角C 为直角顶点的三角形ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，F 为PB 上的点，在线段AB 上有一点E ，满足BE ＝λAE .若PB ⊥平面CEF ，则实数λ的值为________．[解析] ∵PB ⊥平面CEF ，∴PB ⊥CE ，又P A ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC，∴P A⊥CE，而P A∩PB＝P，∴CE⊥平面P AB，∴CE⊥AB，∴λ＝EBAE ＝EB·ABAE·AB＝BC2AC2＝916.[答案]9 16三、解答题10．(2019·深圳调研)如图，多面体ABCDE中，AB＝AC，BE∥CD，BE⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．(1)若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD；(2)若N是AE上的动点且BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE ⊥MN.[证明](1)如图，取AB的中点P，连接PM，PN，由P，N分别为AB，AE的中点得，PN∥BE∥CD，∵PN⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，∴PN∥平面ACD，同理可得，PM∥平面ACD，又PN∩PM＝P，∴平面MNP∥平面ACD，∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面ACD．(2)连接EM，AM，DM.∵AB＝AC且M为BC的中点，∴AM⊥BC．∵平面BCDE⊥平面ABC，∴AM⊥平面BCDE，∴AM⊥DE.在直角梯形BCDE中，BE＝1，BC＝2，CD＝3，∴DE＝22，EM＝2，DM＝10，∴DE2＋EM2＝DM2，即DE⊥EM，又AM∩EM＝M，∴DE⊥平面AEM，∵MN⊂平面AEM，∴DE⊥MN.11．(2019·西宁模拟)如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M为线段BD的中点，MC∥AE，且AE ＝MC＝ 2.(1)求证：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC．[证明](1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，∴AM＝12BD＝2，AM⊥BD．∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD，∵AM⊂平面ABD．∴MC⊥AM，又MC∩BD＝M，∴AM⊥平面BCD．又AE＝MC＝2，∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面BCD，∵EC⊂平面CDE，∴平面BCD⊥平面CDE.(2)∵M为BD的中点，N为DE的中点，∴MN∥BE.∵MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC．∴MN∥面BEC．由(1)知EC∥AM，∵EC⊂平面BEC，AM⊄平面BEC．∴AM∥面BEC，又∵AM∩MN＝M.AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN.∴平面AMN∥平面BEC．12．(2019·南昌二中月考)如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF 沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD．所以在题图(2)中，A1E⊥EF.又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC．因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之江苏专版(2020版)专题12 概率与统计一.选择题1．【2021届南京大学附属中学检测】《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A．1191077B．160359C．9581077D．289359【答案】C【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y，则360241200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得120240xy=⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为21202360958 11077CC-=.故选C2．【2021届南通如皋、盐城射阳检测】《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）A．18B．14C．38D．12【答案】C【解析】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦，∴概率为38.故选：C.3．【2021届南京市六校联合体】某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】∴()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ．4．【2020届二轮专项提升】设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.5．【2021届扬州市江都区大桥高级中学检测】下列说法正确的是( )A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），则P （ξ＞1）=0.5 【答案】BD【解析】对于选项A ：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的a 2倍，故错误.对于选项B ：若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确.对于选项C ：线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误. 对于选项D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x =1对称，则P （ξ＞1）=0.5，正确. 故选：BD6．【2021届扬州市江都区大桥高级中学检测】下列说法中，正确的命题是（ ） A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1 B ．()()2323E X E X +=+，()()232V X V X += C ．已知随机变ξ服从正态分布()21,N δ，()30.6P ξ<=，则()130.2P ξ<<=D ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c 、k 的值分别是4e 和0.3【答案】AD【解析】对于A 选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，A 选项正确； 对于B 选项，由期望和方差的性质可得()()2323E X E X +=+，()()234V X V X +=，B 选项错误； 对于C 选项，已知随机变ξ服从正态分布()21,N δ，()30.6P ξ<=，则()130.60.50.1P ξ<<=-=，C 选项错误；对于D 选项，在等式kxy ce =两边取对数得ln ln y c kx =+，即ln 0.34z kx c x =+=+，0.3ln 4k c =⎧∴⎨=⎩，解得40.3k c e=⎧⎨=⎩，D 选项正确. 故选：AD. 二．填空题7．【2021届南通如皋、盐城射阳检测】高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为__________. 【答案】18【解析】∴高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16， 而且三好学生中女生占一半.，∴本班有40名男生，男生中有5名三好学生， 由题意知，本题可看做一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果， 满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果， ∴没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是540＝18， 故答案为：188．【2021届扬州市检测】某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为_______． 【答案】35【解析】由题意，基本事件为机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名，共有3510n C ==种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为2132326m C C ==⨯=种， 由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为63105m P n ===， 故答案为：359．【2020届全真模拟（九）】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____【答案】【解析】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=，应填16. 10．【2021届南通市如皋市检测】某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为__________. 【答案】56【解析】由题得甲乙都不被选择的概率为222416C C =,由对立事件的概率公式得甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为15166-=. 故答案为：5611．【2021届南通检测】设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且() 1.6,() 1.28E X D X ==，则n = ，p = ； 【答案】8，0.2【解析】∴随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28， ∴EX ＝1.6＝np ，∴ D ξ＝1.28＝np （1﹣p ），∴ ∴与∴相除可得1﹣p 1.281.6==0.8， ∴p ＝0.2，n 1.60.2==8． 故答案为8；0.212．【2021届讲练测】设X 为随机变量，X ～B 1,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________. 【答案】80243. 【解析】由二项分布X ～B (),n p 的数学期望E (X )=np ,知23n =，得6n =，即X ～B 16,3⎛⎫⎪⎝⎭，那么P (X ＝2)=262261180133243C -⎛⎫⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：80243.13．【2021届讲练测】随机变量X 的分布列为()(),1,2,3,4.1cP X k k c k k ===+为常数， 则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为____________【答案】56【解析】∴P∴X=k∴=∴=()1ck k +∴k=1∴2∴3∴4∴ ∴c 1261220c c c +++=∴ ∴c=54∴∴P∴12∴X∴52∴=P∴X=1∴+P∴X=2∴=555+=8246∴ 故答案为56∴14．【2021届讲练测】设服从二项分布(),B n p 的随机变量ξ的期望与方差分别是15和454，则n =____，p =____．【答案】6014【解析】由二项分布的性质：E （X ）＝np ＝15，D （X ）＝np （1﹣p ）454=解得p 14=，n ＝60 故答案为60 14．三．解答题15．【2021届新高考质量检测模拟】某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 【解析】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩. （2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.16．【2021届盐城市第一中学检测】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求袋中原有白球的个数：（2）求取球次数X 的分布列和数学期望. 【解析】（1）设袋中原有n 个白球，由题意知()()2271112=767672n n n n n C C --==⨯⨯，所以()1=6n n -.解得3n = (2n =-，舍去). 即袋中原有3个白球.（2）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4,5.()317P X ==；()4322767P X ⨯===⨯；()4336376535P X ⨯⨯===⨯⨯；()432334765435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；()43213157654335P X ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯.所以，取球次数X 的分布列为.所以()3263112345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．【2020届高考押题数】五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列． （1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【解析】（1）记“2和4不相邻”为事件A ，则()32345535A A P A A ==； （2）ξ的所有可能取值为0,1,2，()22322355125A A A P A ξ===，()222223552215A A A P A ξ===，()121212242424225522205C A C A C A A P A ξ++===， ξ∴的分布列如下：()22140125555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．18．【2021届扬州中学检测】2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率． 附：临界值表参考公式：22()=)()()()n ad bc K a b c d a c b d （-++++，+n a b c d =++．【解析】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关． （2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名， 不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则 基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d ），（c ，1），（c ，2），（d ，1），（d ，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个， 故其概率为P （A ）=60.415= 19．【2021届通市海安高级中学检测】一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到()*n n ∈N分的概率.【解析】（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===， 其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面． 因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323n n P P --=--．于是23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32n +-． 20．【2021届扬州市宝应县检测】某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： mm ）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布()65,4.84N ∴(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm ,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6mm 69.4mm -为合格品（合格品的概率精确到0∴01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．（参考数据：若()2,X N μσ-,则()P 0.6826X μσμσ-<≤+=∴ ()()P 220.9544;330.9974X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=∴【解析】（1）()65, 2.2,358.4,371.6733μσμσμσμσ==-=+=∈++∞，，,()()158.471.610.997471.60.001322P X P X -<≤-∴>===. 此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理.(2)65, 2.2,260.6,269.4μσμσμσ==-=+=,由题意可知钢管直径满足：2X 2μσμσ-<≤+为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.9560根钢管中，合格品57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数Y 的可能取值为:0,1,2,3.()()0312357357336060P Y 0,1C C C C P Y C C ====， ()()21303573573360602,3C C C C P Y P Y C C ====. 则次品数Y 的分布列列为：得：()03122130357357357357333360606060Y 01230.15C C C C C C C C E C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯=.。

第二篇 基础小题、练透篇第一讲 集合与常用逻辑用语[高考导航]1．高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算，并且以集合的运算为主．试题往往与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等相互交汇，试题难度不大．2．高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词，并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主，对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点．考点一 集合的概念与运算A B 或B A∈B }∈B }(1)若已知A ∩B ＝∅，要注意到特殊情况：A ＝∅或B ＝∅； (2)若已知A ⊆B 时，要注意不要漏掉“A ＝∅”这种情况；(3)若有限集合A 有n 个元素，则A 的子集个数是2n ，A 的真子集个数是2n －1.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}[解析] ∵N ＝{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}， M ＝{x |－4<x <2}，∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. [答案] C 2．(2019·郑州模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝log 2(－x 2＋2x )}，B ＝{y |y ＝1＋x }，那么A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |x <0}C ．{x |x >2}D ．{x |1<x <2}[解析] 由－x 2＋2x >0得0<x <2，所以集合A ＝{x |0<x <2}，因为集合B 为函数y ＝1＋x 的值域，所以B ＝{y |y ≥1}，则∁U B ＝{y |y <1}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0<x <1}，故选A. [答案] A3．(2019·兰州模拟)R 表示实数集，集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3>0}，则下列结论正确的是( )A ．M ⊆(∁R N )B ．(∁R M )⊆NC ．M ⊆ND ．(∁R M )⊆(∁R N )[解析] 由题意得N ＝{x |x <－1或x >3}，所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤3}．又知M ＝{x |0≤x ≤2}，所以M 是∁R N 的子集，故选A. [答案] A4．(2019·湖南衡阳八中一模)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8[解析] ∵x ∈A ，y ∈A ，A ＝{0,1}， ∴x ＝0或x ＝1，y ＝0或y ＝1， ∴z ＝x ＋y ＝0或1或2， ∴B ＝{0,1,2}，∴集合B 的子集个数为23＝8.故选D. [答案] D5．(2019·许昌一模)设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 因为x ∈S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，故x 的取值有四种情况．若x ＝A 0，根据定义A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则(x ⊕x )⊕A 2＝A 0⊕A 2＝A 2，不符合题意，同理可以验证x ＝A 1，x ＝A 2，x ＝A 3三种情况，其中x ＝A 1，x ＝A 3符合题意，故选C.[答案] C6．(2019·长春四校联考)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由A ∪B ＝A 知B ⊆A .因为A ＝{x |－2≤x ≤5}，①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时A ∪B ＝A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5，解得－3≤m ≤3.又因为m ≥2，所以2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A .[答案]m≤3解决集合问题的3个注意点(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质．(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论．(3)“端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．考点二充分与必要条件的判断1．充分条件与必要条件(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分非必要条件．(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要非充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．2．充要条件的判断方法1．(2019·云南昆明4月质检)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇔－π12<θ－π12<π12⇔0<θ<π6， sin θ<12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ∴“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] A2．(2019·湖北宜昌三校5月模拟)已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈pD ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] A3．(2019·山东日照3月联考)“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] 当m <0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A. [答案] A4．(2019·北京卷)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] |AB →＋AC →|>|BC →|⇔|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔AB →·AC →>0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC 〉→∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故AB →·AC →>0⇔AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.[答案] C 5．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．[解析] p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.[答案] m ≥1或m ≤－76．(2019·湖南浏阳三校联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由p 得(x －3a )(x －a )<0， 当a <0时，3a <x <a .由q 得x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，则－2≤x ≤3或x <－4或x >2，则x <－4或x ≥－2.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．设A ＝(3a ，a )，B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 可知A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. [答案] (－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0(1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．(2)在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．考点三 命题及逻辑联结词1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 2．复合命题真假的判断方法含逻辑联结词的命题的真假判断：“p ∨q ”有真则真，其余为假；“p ∧q ”有假则假，其余为真；“綈p ”与“p ”真假相反．3．全称量词与存在量词(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0)．(2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．1．(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是( )A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1”B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题[解析] 对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D. [答案] D2．(2019·河北衡水二中模拟)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数[解析] 将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，所以选C.[答案] C3．(2019·四川成都一诊)“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－πx <0 B ．∀x ∈R ，x 2－πx ≤0C ．∃x 0∈R ，x 20－πx 0≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－πx 0<0[解析] 全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－πx 0<0”．故选D.[答案] D4．(2019·陕西师大附中模拟)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x <x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )[解析] 因为当x <0时，⎝⎛⎭⎫23x>1，即2x >3x，所以命题p 为假命题，从而綈p 为真命题；因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，x >sin x ，所以命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C. [答案] C5．(2019·豫西南五校联考)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________．[解析] 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3可得－1≤tan x ≤3，∴1≤tan x ＋2≤2＋3，∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，∴实数m 的最大值为1.[答案] 16．(2019·石家庄质检)已知命题p ：∀x ∈[2,4]，log 2x －a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧綈q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] 命题p ：∀x ∈[2,4]，log 2x －a ≥0⇒a ≤1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0⇒a ≤－2或a ≥1，由p ∧綈q 为真命题，得－2<a <1.[答案] －2<a <1解决命题的判定问题应注意的3点(1)判断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假．(2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．(3)含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不可．1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝()A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}[解析] 化简A ＝{x |x <－1或x >2}，∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B. [答案] B 2．(2019·浙江卷)已知全集U ＝{－1,0,1,2,3}，集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{－1}B ．{0,1}C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,1,3}[解析] ∵∁U A ＝{－1,3}，∴(∁U A )∩B ＝{－1}，故选A. [答案] A3．(2019·浙江卷)设a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a >0，b >0，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立，故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A. [答案] A4．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由⎪⎪⎪⎪x －12<12得－12<x －12<12，解得0<x <1. 由x 3<1得x <1.当0<x <1时能得到x <1一定成立；当x <1时，0<x <1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件． [答案] A5．(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．[解析] 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域 为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x ，0<x ≤2等． [答案] f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)1.集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题．专题强化训练(七)一、选择题1．(2019·衡水二中模拟)已知集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] a ＝1时，A ＝{0,2,1}，B ＝{1,1}，不合题意；a ＝2时，A ＝{0,2,2}，B ＝{1,4}，不合题意；a ＝3时，A ＝{0,2,3}，B ＝{1,9}，A ∪B ＝{0,1,2,3,9}，不合题意；a ＝4时，A ＝{0,2,4}，B ＝{1,16}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，符合题意．故选D. [答案] D2．(2019·长沙一中三模)已知函数g (x )＝lg(2x 2－x )，集合A ＝{x |g (x )≤0}，B ＝{g (x )|－2≤x ≤－12}，则A ∩(∁R B )＝( )A.⎣⎡⎦⎤－12，0∪{1}B.⎣⎡⎭⎫－12，0C.⎝⎛⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤－12，1[解析] ∵g (x )＝lg(2x 2－x )≤0，∴0<2x 2－x ≤1，∴－12≤x <0或12<x ≤1，∴A ＝⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎦⎤12，1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，∴2x 2－x ∈[1,10]，0≤g (x )≤1，故B ＝[0,1]，∴∁R B ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，∴A ∩(∁R B )＝⎣⎡⎭⎫－12，0，故选B. [答案] B3．(2019·河南开封模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 易知A ＝{x |2x (x －2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．[答案] B4．(2019·福建福州模拟)下列命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∃x 0∈N *，(x 0－1)2>0C ．∀x ∈R ，lg x <1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 [解析] 对于C ，x ＝10时，lg10＝1，是假命题． [答案] C5．(2019·山东日照期中)设向量a ＝(x －1,1)，b ＝(3，x ＋1)，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵a ∥b ，∴x 2－1＝3，即x ＝±2，∴“a ∥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选C.[答案] C6．(2019·江西抚州七校联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－2,1)[解析] 命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2. [答案] C7．(2019·郑州二模)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x |5<x <52，x ∈Z }，M ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，则M ＝( )A ．{1,2}B ．{6,7}C ．{1,2,6,7}D ．{3,4,5}[解析] 由题意知，B ＝{3,4,5,6,7}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ∩B ＝{3,4,5}，∴M ＝{1,2,6,7}． [答案] C8．(2019·江西红色七校联考)已知直线m ，n ，平面α，β，命题p ：若α∥β，m ∥α，则m ∥β；命题q ：若m ∥α，m ∥β，α∩β＝n ，则m ∥n .下列是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q[解析] 对于命题p ，若α∥β，m ∥α，则还需m ⊄β才能推出m ∥β，所以命题p 为假命题，命题綈p 为真命题；对于命题q ，若m ∥α，m ∥β，α∩β＝n ，则由线面平行的性质可推出m ∥n ，所以命题q 为真命题，命题綈q 为假命题．所以(綈p )∧q 为真命题，故选D. [答案] D9．(2019·陕西西安二模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x 24－y 23＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．{(－2,4)，(2,4)}D ．[2，＋∞)[解析] 由A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x 24－y 23＝1，得A ＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 由B ＝{y |y ＝x 2}，知集合B 表示函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)．故选D.[答案] D10．(2019·江西南昌二中4月月考)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}[解析] ∵“p 且q ”是真命题，∴p 真q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1. [答案] A11．(2019·山西五校联考)下列四个结论：①命题“∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0<1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1”；②若p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；③“a >5且b >－5”是“a ＋b >0”的充要条件；④当a <0时，幂函数y ＝x a 在区间(0，＋∞)上单调递减．其中正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④[解析] ①根据特称命题的否定是全称命题，可知结论正确；②p ∧q 是真命题，则p 是真命题，綈p 是假命题，故结论不正确；③取a ＝4，b ＝－3，满足a ＋b >0，故结论不正确；④根据幂函数的图象与性质，可知结论正确．故选A. [答案] A12．(2019·广东八校联考)下列命题中真命题的个数是( )①“在三角形ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题； ②p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的必要不充分条件；③“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；④“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”．A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①逆命题为“在三角形ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在同一三角形中有A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，所以①正确；②因为命题“若x ＝2且y ＝3，则x ＋y ＝5”为真命题，所以逆否命题“若x ＋y ≠5，则x ≠2或y ≠3”为真命题，所以“x ≠2或y ≠3”是“x ＋y ≠5”的必要不充分条件，所以②正确；③“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”，所以③错误；④“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”，所以④正确．故选C.[答案] C二、填空题13．(2019·成都模拟)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，即1<x <3，所以A ＝(1,3)，由|x －a |<2得a －2<x <a＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)，因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1a ＋2≥3，解得1≤a ≤3，所以实数a 的取值范围为[1,3]．[答案] [1,3]14．设命题p ：c 2<c 和命题q ：∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1<0，且p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数c 的取值范围是________．[解析] 解不等式c 2<c ，得0<c <1，即命题p ：0<c <1，所以命题綈p ：c ≤0或c ≥1.又由(4c )2－4<0，得－12<c <12， 即命题q ：－12<c <12， 所以命题綈q ：c ≤－12或c ≥12， 由p ∨q 为真，知p 与q 中至少有一个为真，由p ∧q 为假，知p 与q 中至少有一个为假，所以p 与q 中一个为真命题，一个为假命题．当p 真q 假时，实数c 的取值范围是12≤c <1. 当p 假q 真时，实数c 的取值范围是－12<c ≤0. 综上所述，实数c 的取值范围是－12<c ≤0或12≤c <1. [答案] ⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎦⎤12，1 15．(2019·江西南昌一模)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：“x 2＋y 2≤r 2”，q ：“|x |＋|y |≤1”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数r 的取值范围是________．[解析] 如图，x 2＋y 2≤r 2(r >0)表示的平面区域是以原点为圆心，r 为半径的圆上和圆内的部分，|x |＋|y |≤1表示的平面区域是正方形ABCD 及其内部，其中A (1,0)，B (0,1)，C (－1,0)，D (0，－1)，因为p 是q 的充分不必要条件，所以由图可知，原点到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1|12＋12＝22≥r ，所以r 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22.[答案] ⎝⎛⎦⎤0，22 16．(2019·东北三校联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y ＝1x ； ②M ＝{}(x ，y )|y ＝e x －2；③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中是“Ω集合”的所有序号为________．[解析] 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．[答案] ②③。

第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积[高考导航]1．由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，以三视图为载体，考查面积、体积的计算．2．空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体与球进行交汇考查，或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态中．考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝2 4S.1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析]两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A．故选A．[答案]A2．(2019·河北衡水中学调研)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()[解析]过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C．[答案]C3．(2019·江西南昌二中模拟)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A．8 B．4C．4 3 D．42[解析]由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD ＝12×42×2＝42，故选D．[答案]D4．(2019·湖北恩施二模)某圆锥的母线长为2，高为423，其三视图如图所示，圆锥表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆锥表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆锥侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．2B ．22C ．8＋2 3D ．22－3[解析] 因为圆锥的母线长为2，高为423，所以底面半径r ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＝23，所以底面周长为2πr ＝43π，所以侧面展开图中扇形中心角为2πr 2＝43π2＝23π，所以从M 到N 的路径中，最短路径的长度为22＋22－2×2×2cos π6＝22－ 3.[答案] D5．(2019·湖南衡阳二模)如图，正方体AC 1的顶点A ，B 在平面α上，AB ＝2，若平面A 1B 1C 1D 1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体AC 1在平面α上的俯视图的面积为( )A ．2B ．1＋ 3C ．2 3D ．22[解析] 依题意知，直线AB 在平面α内，且平面α与平面ABCD 所成的角为30°，与平面B 1A 1AB 所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S ＝2(cos30°＋cos60°)＝1＋ 3.[答案] B6．(2019·山西运城联考)如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析] 直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.[答案] 2＋2(1)根据空间几何体的三视图还原空间几何体时，要善于把空间几何体放置在长方体、正方体中，既容易得出空间几何体的实际形状，又容易进行计算；(2)根据空间几何体得出其三视图时，要抓住其顶点在投影面上的正投影，并注意几何体的轮廓线“眼见为实、不见为虚”，在数量关系上注意“高平齐、长对正、宽相等”的原则．考点二 空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)； (3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)． 3．球的表面积和体积公式S 表＝4πR 2(R 为球的半径)，V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．1．(2019·唐山摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4 B ．3＋π2 C ．2＋π4D ．4[解析] 由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D ． [答案] D2．(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324[解析] 由三视图知该柱体的直观图为如图所示的五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1，取CD 中点G ，连接AG ， 由侧视图知AG ⊥CD ，AG ＝6，∴底面积S ＝S 梯形AGCB ＋S 梯形AGDE ＝12×(2＋6)×3＋12×(4＋6)×3＝27，∴该柱体体积V ＝Sh ＝27×6＝162.故选B ．[答案] B3．(2019·河北唐山统考)某几何体的三视图如图所示(在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．54C ．60D ．64[解析] 还原几何体如图所示，该几何体是底面为矩形的四棱锥．∴该几何体的表面积S ＝3×6＋12×6×4＋12×5×3×2＋12×6×5＝18＋12＋15＋15＝60.故选C ．[答案] C4．(2019·福建泉州模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，高为2的四棱锥．由于正视图是一个上底边为2，下底边为4，高为2的直角梯形，故该四棱锥的底面积S ＝12×(2＋4)×2＝6，则V ＝13Sh ＝13×6×2＝4.故选D ．[答案] D5．(2019·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B ．(24＋2)π4＋1C ．(23＋2)π4＋12D ．(23＋2)π4＋1[解析] 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝(23＋2)π4＋1，故选D ． [答案] D6．(2019·广州调研)如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．6B ．7C ．223D ．233[解析] 如图，根据三视图可画出对应多面体的直观图，该多面体是由棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被截去三棱锥A －PQA 1和三棱锥D －PC 1D 1之后得到的一个几何体，其中P ，Q 分别是棱A 1D 1，A 1B 1的中点．故所求多面体的体积V ＝V正方体－V 三棱锥A －PQA 1－V 三棱锥D －PC 1D 1＝23－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝7.故选B ．[答案] B求几何体表面积和体积关键过好“两关”(1)还原关，即利用“长对正、宽相等、高平齐”还原空间几何体的直观图，不规则几何体采取分割和补形的方法．(2)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积．考点三 多面体与球1．多面体与球的切接问题处理方法与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．2．重要结论(1)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．(2)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．(3)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． 【例】 (1)(2019·安徽蚌埠二模)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2 C ．6πD ．32π3(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4>3，不合题意．球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大． 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π. (2)解法一：∵E 、F 分别是P A 、AB 的中点， ∴EF ∥PB ．∵∠CEF ＝90°，∴EF ⊥EC ，∴PB ⊥EC ，又∵三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴PB ⊥AC ，从而PB ⊥平面P AC ，∴三条侧棱P A 、PB 、PC 两两垂直．∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴P A ＝PB ＝PC ＝2， 则球O 是棱长为2的正方体的外接球，设球O 的半径为R ， 则2R ＝3×2，R ＝62，∴球O 的体积V ＝43πR 3＝6π.故选D ． 解法二：令P A ＝PB ＝PC ＝2x (x >0)，则EF ＝x ，连接FC ，由题意可得FC ＝ 3.在△P AC 中，cos ∠APC ＝4x 2＋4x 2－42×4x 2＝2x 2－12x 2.在△PEC 中，EC 2＝PC 2＋PE 2－2PC ·PE cos ∠EPC ＝4x 2＋x 2－2×2x ·x ·2x 2－12x 2＝x 2＋2，在△FEC 中，∵∠CEF ＝90°，∴FC 2＝EF 2＋EC 2，即x 2＋2＋x 2＝3，∴x ＝22，∴P A ＝PB ＝PC ＝2x ＝ 2.∵AB ＝BC ＝CA ＝2，∴三棱锥P －ABC 的三个侧面为等腰直角三角形，∴P A 、PB 、PC 两两垂直，故球O 是棱长为2的正方体的外接球，设球O 的半径为R ，则2R ＝3×2，R ＝62，∴球O 的体积V ＝43πR 3＝6π.故选D ．[答案] (1)B (2)D“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面．(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．(2019·皖中摸底考试)将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A ．2π3B ．3π3C ．4π3D ．2π[解析] 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π3×3，∴r ＝1，∴h ＝32－12＝2 2.设圆锥内切球的半径为R ，则R 22－R＝13，∴R ＝22，∴V 球＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π，故选A ． [答案] A2．(2019·武汉调研)一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A ．16πB ．9πC ．4πD ．π[解析] 三棱锥如图，设外接球半径为R ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点．SD ⊥面ABC ．球心O 在SD 上，SD ＝2.在直角△ODC 中，OC ＝R ，OD ＝2－R ，DC ＝ 2.则(2－R )2＋(2)2＝R 2，即R ＝32，故V －ABC 的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝9π，选B ．[答案]B1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2[解析]由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示，设ME与FN为圆柱的两条母线，沿FN将圆柱的侧面展开，如图2所示，连接MN，MN即为从M到N的最短路径，由题意知，ME＝2，EN＝4，∴MN＝42＋22＝2 5.故选B．[答案]B2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由三视图得四棱锥的直观图如图所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB⊂底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB ⊥SD ，AD ，SD ⊂平面SAD ，AD ∩SD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，∴AB ⊥SA ，即△SAB 也是直角三角形，从而SB ＝SD 2＋AD 2＋AB 2＝3，又BC ＝22＋12＝5，SC ＝22，∴BC 2＋SC 2≠SB 2，∴△SBC 不是直角三角形，故选C ．[答案] C3．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm ，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V ＝1＋22×2×2＝6 cm 3.[答案] C4．(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．[解析]如图所示，圆柱的高O 1O ＝12PO ＝12P A 2－AO 2＝12×5－1＝1，圆柱的底面半径r ＝12AO ＝12.所以圆柱的体积V ＝πr 2·O 1O ＝π×14×1＝π4.[答案] π45．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.[解析] 依题意，知该模型是长方体中挖去一个四棱锥，故其体积V ＝V 长方体－V 四棱锥＝6×6×4－13×12×4×6×3＝132(cm 3)． 又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm 3，故制作该模型所需原料的质量为0.9×132＝118.8(g)． [答案] 118.81.该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．热点课题3 补形法求几何体的表面积与体积1．(2019·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．83C ．4D ．209[解析] 观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A 1－ABEF ，如图所示，其体积为V正方体－V AFD －BEC －V A 1－BEC 1B 1－V A 1－FEC 1D 1＝2×2×2－12×2×1×2－13×2×(1＋2)×2×12－13×1×2×2＝83.[答案]B2．(2019·合肥联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为()A．24π B．29πC．48π D．58π[解析]如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A－BCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.[答案]B专题强化训练(十七)一、选择题1．(2019·辽宁沈阳二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2 B．2 3C．2 2 D．2[解析]由三视图得该四棱锥的直观图如图中S－ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB ⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B．[答案]B2．(2019·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC －DEF 截去一个三棱锥A －BCD ，得到几何体BCDEF ，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )[解析] 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB ⊥平面DEF ，△DEF 是等边三角形，所以CD 在后侧面上的投影为AB 的中点与D 的连线，CD 的投影与底面不垂直．故选C ．[答案] C3．(2019·益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A ．23 B ．43 C ．83D ．4[解析] 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥A －PBC (放到棱长为2的正方体中)，则V A －PBC ＝13×S △PBC ×AB ＝13×12×2×2×2＝43.故选B ．[答案] B4．(2019·安徽六校第二次联考)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A ．92πB ．9πC ．454πD ．544π[解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体，其中圆柱的高等于半球的半径r ，所以该几何体的体积V ＝πr 2×r －12×43πr 3＝13πr 3＝98π，∴r 3＝278，又知r >0，∴r ＝32，∴该几何体的表面积S ＝πr 2＋2πr ×r ＋12×4πr 2＝5πr 2＝5π×94＝454π，故选C ．[答案] C5．(2019·辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．36B ．48C ．64D ．72[解析] 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B ．[答案] B6．(2019·河南濮阳二模)已知三棱锥A －BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A －BD －C 为直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( )A ．10π3B ．5πC ．6πD ．20π3[解析] 取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，取△ABD ，△CBD 的中心即AM ，CM 的靠近BD 的三等分点P ，Q ，过P 作面ABD 的垂线，过Q 作面CBD 的垂线，两垂线相交于点O ，则点O 为外接球的球心，其中OQ ＝33，CQ ＝233，连接OC ，则外接球的半径R ＝OC ＝153，则外接球的表面积为4πR 2＝20π3，故选D ．[答案] D7．(2019·洛阳市高三第一次联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A ．823πB ．833πC ．863πD ．1623π[解析] 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长，其长为22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A ．[答案] A8．(2019·湖北武汉2月调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为( )A ．323B ．16C ．32D ．48[解析] 由三视图知，该四面体可以看作正方体中的三棱锥P －ABC ，如图，由已知得AB ＝4，AC ＝4，△ABC 是直角三角形，所以S △ABC ＝12AB ×AC ＝12×4×4＝8，所以四面体P ABC 的体积V ＝13×8×4＝323，故选A ．[答案] A9．(2019·湖南长沙一中第八次月考)《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离．用现代语言描述：在羡除ABC －A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1∥CC 1，AA 1＝a ，BB 1＝b ，CC 1＝c ，两条平行线AA 1与BB 1间的距离为h ，直线CC 1到平面AA 1B 1B 的距离为h ′，则该羡除的体积为V ＝h ′h6(a ＋b ＋c )．已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为( )A ．3 3B ．43C ．53D ．23[解析] 如图，由三视图还原几何体可知，羡除ADE －BCF 中，AB ∥CD ∥EF ，四边形ABCD 是矩形，AB ＝AD ＝2，EF ＝1，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ，CD 间的距离h ＝AD ＝2，取AD 的中点G ，连接EG ，∵平面ADE ⊥平面ABCD ，∴EG ⊥平面ABCD ，由正视图及侧视图知直线EF 到平面ABCD 的距离h ′＝1.∴V ＝1×26×(2＋2＋1)＝53，故选C ．[答案] C10．(2019·河北衡水中学3月联考)已知半球内有一个内接正四棱柱，其三视图如图所示，则该内接正四棱柱的体积最大值为( )A ．12 6B ．6 6C ．24 3D ．123[解析] 由三视图可知，半球的半径为3，设内接正四棱柱底面正方形的边长为2a ，正四棱柱的高为h ，底面中心为O ，则OC ＝2a ，所以h 2＝OC ′2－OC 2＝32－(2a )2＝9－2a 2，a 2＝9－h 22.正四棱柱体积V ＝(2a )2h ＝4a 2h ＝18h －2h 3，设f (x )＝18x －2x 3(0<x <3)，则f ′(x )＝18－6x 2＝6(3－x 2)，易知f (x )在x ＝3处取得最大值，即当h ＝3时，V 最大为123，所以该内接正四棱柱的体积的最大值为123.故选D ．[答案] D11．(2019·安徽A10联盟3月联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为( )A ．17＋2＋5B ．17＋2＋9C ．17＋2＋10D ．217＋22＋10[解析] 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥(侧棱P A 垂直于底面ABCD )，其直观图如图所示，CD ＝(AD －BC )2＋AB 2＝(3－1)2＋22＝22，PB ＝P A 2＋AB 2＝22＋22＝22，PD ＝P A 2＋AD 2＝22＋32＝13，PC ＝PB 2＋BC 2＝(22)2＋12＝3，在△PCD 中，cos ∠PCD ＝PC 2＋CD 2－PD 22·PC ·CD ＝32＋(22)2－(13)22×3×22＝26，∴sin ∠PCD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝346.∴S △PCD ＝12PC ·CD ·sin ∠PCD ＝12×3×22×346＝17，又S △P AB ＝12P A ·AB ＝12×2×2＝2，S △P AD ＝12P A ·AD ＝12×2×3＝3，S △PBC ＝12PB ·BC ＝12×22×1＝2，∴该四棱锥的侧面积S ＝S △PCD ＋S △P AB ＋S △P AD ＋S △PBC ＝17＋2＋3＋2＝17＋2＋5.故选A ．[答案] A12．(2019·广东惠州二模)已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA ＝SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( )A ．33 B ．1 C ． 3D ．332[解析] ∵三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA ＝SB ＝SC ＝2，∴S 在底面ABC 内的射影为AB 的中点，设AB 的中点为H ，连接SH ，CH ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等，易知SH ＝3，CH ＝1，∴Rt △SHC 中，∠HSC ＝30°.在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，交SH 于点O ，交SC 于点M ，则O 为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．∵SC ＝2，∴SM ＝1，又∠OSM ＝30°，∴SO ＝233，OH ＝33，∴球心O 到平面ABC 的距离为33，故选A ．[答案] A 二、填空题13．(2019·成都二诊)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析] 由三视图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成．V ＝2×2×2－13×12×2×2×1＝223.[答案] 22314．(2019·广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为________．[解析] 由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表＝5×22＋2π·2·1＋2π·(2)2－22＝2(2＋2)π＋16.[答案] 2(2＋2)π＋1615．(2019·福建三明三校12月联考)已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝33，AC ＝6，∠BAC ＝30°.若四面体ABCD 体积的最大值为272，则这个球的表面积为________．[解析] 在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(33)2＋62－2×33×6×cos30°＝9，∴BC ＝3，∴BC 2＋AB 2＝AC 2，即△ABC 为直角三角形，且AC 为斜边，其面积S ＝12×3×33＝932，为定值．要使四面体ABCD 的体积最大，则高h 最大，设AC 的中点为Q ，则Q 为△ABC 外接圆的圆心，连接DQ ，所以当DQ ⊥面ABC ，且球心O 在DQ 上时，高h 最大，即体积取得最大值272，∴V max ＝13×932×DQ ＝272，∴DQ ＝3 3.设球的半径为R ，则在Rt △AQO 中，OA 2＝AQ 2＋OQ 2，即R 2＝32＋(33－R )2，解得R ＝2 3.∴球的表面积S ＝4πR 2＝48π.[答案] 48π16．(2019·河南百校联盟4月联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为________．[解析] 根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1－MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M＝22＋22＋12＝3，故最长的棱的长度为3.[答案]3。

第五讲选择题的解题方法T题型解读i xing jie du题型地位选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%，解选择题的快慢和成功率的高低对于能否进入做题的最佳状态以及整个考试的成败起着举足轻重的作用．如果选择题做得比较顺手，会使应试者自信心增强，有利于后续试题的解答．题型特点数学选择题属于客观性试题，是单项选择题，即给出的四个选项中只有一个是正确选项，且绝大部分数学选择题属于低中档题，一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．其主要体现在以下三个方面：(1)知识面广，切入点多，综合性较强；(2)概念性强，灵活性大，技巧性较强；(3)立意新颖，构思精巧，迷惑性较强．由于解选择题不要求表述得出结论的过程，只要求迅速、准确作出判断，因而选择题的解法有其独特的规律和技巧．因此，我们应熟练掌握选择题的解法，以“准确、迅速”为宗旨，绝不能“小题大做”．解题策略数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．其解法的基本思想有以下两点：(1)充分利用题干和选择支提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略．(2)既要看到通常各类常规题的解题思想，原则上都可以指导选择题的解答，更应看到，根据选择题的特殊性，必定存在着一些特殊的解决方法．其基本做法如下：①仔细审题，领悟题意；②抓住关键，全面分析；③仔细检查，认真核对．另外，从近几年高考试题的特点来看，选择题以认识型和思维型的题目为主，减少了繁琐的运算，着力考查逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，且许多题目既可用通性通法直接求解，也可用“特殊”方法求解．所以做选择题时最忌讳：(1)见到题就埋头运算，按着解答题的解题思路去求解，得到结果再去和选项对照，这样做花费时间较长，有时还可能得不到正确答案；(2)随意“蒙”一个答案．准确率只有25%！但经过筛选、淘汰，正确率就可以大副度提高．总之，解选择题的基本策略是“不择手段”．命题方向1直接法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．例1 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( A )A．63B．33C．23D．13[解析]由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b，∴ba ＝13，∴e＝ca ＝a2－b2a＝1－(ba)2＝1－(13)2＝63.『规律总结』直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．一般来说，涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法．G 跟踪训练en zong xun lian1．已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( D ) A．7B．5C．－5D．－7[解析] 解法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4·a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝8.∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8.∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.2．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )A ．|BF |－1|AF |－1B ．|BF |2－1|AF |2－1C ．|BF |＋1|AF |＋1D ．|BF |2＋1|AF |2＋1[解析] 由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1.命题方向2 特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或”小题巧做”的解题策略．例2 (1)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于( B )A ．34B ．－34C ．43D ．－43[解析] 取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又取M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34，故选B ． (2)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 [解析] 由题意知m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2，因为m 2＝n 2＋2，m >1，n >0，所以m >n ，(e 1e 2)2>1，所以e 1e 2>1.『规律总结』用特殊值法解题时要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件； (2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止．G 跟踪训练en zong xun lian1．如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( B )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1[解析] 将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13.故选B ．2．已知点E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．13[解析] 由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值，故可利用特殊直线确定所求值．解法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n ＝3.解法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3. 命题方向3 排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．例3 如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( B )[解析] 由已知得，当点P 在BC 边上运动时， 即0≤x ≤π4时，P A ＋PB ＝tan 2x ＋4＋tan x ，当点P 在CD 边上运动时，即π4≤x ≤3π4，x ≠π2时，P A ＋PB ＝⎝⎛⎭⎫1tan x ＋12＋1＋⎝⎛⎭⎫1－1tan x 2＋1； 当x ＝π2时，P A ＋PB ＝22；当点P 在AD 边上运动时，即3π4≤x ≤π时，P A ＋PB ＝tan 2x ＋4－tan x ，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x ＝π2对称，且f ⎝⎛⎭⎫π4>f ⎝⎛⎭⎫π2，且轨迹非直线型．故选B ．『规律总结』(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个，如本例的图象问题．(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项．(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一．等效命题应该同时排除． (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的． (5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断． G 跟踪训练en zong xun lian已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( A )[解析] 因为函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数，故排除C 、D ，又f (e)＝1－e ＋1<0，所以(e ，f (e ))在第四象限，排除B ，故选A ．命题方向4 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法，有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为(1,2).[解析] 作出函数f (x )的图象，根据图象观察出函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解．画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.当Δ＝0得(5－a )2－16＝0， 解得a ＝1或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1<a <2.『规律总结』数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．G 跟踪训练en zong xun lian1．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( C )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}[解析] 函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，所以不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．2．(2017·合肥二模)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2.若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x (x ≤0)，ln x (x >0)，则函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上零点的个数是( D ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10[解析] 函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点个数．根据函数y ＝f (x )的性质可知：当x ∈[1,3]时，x －2∈[－1,1]．所以f (x )＝2f (x －2)＝21－(x －2)2.当x ∈[3,5]时，x －2∈[1,3]， 所以f (x )＝2f (x －2)＝41－(x －4)2.当x ∈[－3，－1]时，x ＋2∈[－1,1]， 所以f (x )＝12f (x ＋2)＝121－(x ＋2)2.当x ∈[－5，－3]时，x ＋2∈[－3，－1]， 所以f (x )＝12f (x ＋2)＝141－(x ＋4)2.f (0)＝g (0)＝1，f (1)＝g (1)＝0，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．观察图象可知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点个数为10.命题方向5 构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( D )A ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0)B ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0)C ．e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0)D ．e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0) [解析] 构造函数g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，因为∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x >0， 所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )e x在R 上单调递减，所以g(－2 018)>g(0)，g(2 018)<g(0)，即f(－2 018)e－2 018>f(0)，f(2 018)e2 018<f(0)，也就是e2 018f(－2 018)>f(0)，f(2 018)<e2 018f(0)．『规律总结』构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究．G 跟踪训练en zong xun lian若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列五个命题：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确命题的个数是( B )A．2B．3C．4D．5[解析]构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x，y，z.对于①，需要满足x＝y＝z，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②正确，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立．故正确命题有②④⑤.命题方向6估算法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6 已知点P 是双曲线x 28－y 24＝1上的动点，F 1、F 2分别是此双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点．则|PF 1|＋|PF 2||OP |的取值范围是( B ) A ．[0,6]B ．(2，6]C ．(12，62)D ．[0，62] [解析] 当点P 趋于双曲线右支上的无穷远处时，|PF 1|，|PF 2|，|OP |趋于相等，从而原式的值趋于2.当点P 位于右支的顶点处时，|PF 1|＋|PF 2|＝43，|OP |＝2 2.从而原式的值为6，排除C 、D 选项，又易知原式的值不可能为0，排除A ．故选B ．『规律总结』估算省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间．它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，做到准确快速地解题．G 跟踪训练en zong xun lian如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( C )A ．92B ．5C ．6D ．152[解析] 该多面的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和，而V E －ABCD ＝13S ·h ＝13×9×2＝6，所以只能选C ．。

核心考点专题突破之三个“二次”的关系1.利用“三个二次关系”给出不等式解集；2.利用转化思想将参数问题、恒成立问题转化为不等式求解问题；3.利用根与系数的关系解决有关二次方程根的问题.热点一 解一元二次不等式1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是____________．2．不等式|x 2－2|＜2的解集是________________．3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．设二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为________． 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＜0，－x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x －1)≤3的解集是______________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f [f (x )]≤3的解集为________．7．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．8．已知集合{}260M x x x =+->，{}2230,0N x x ax a =-+≤>，若M N ⋂中恰有一个整数，则a 的最小值是 ▲ ．热点二 不等式恒成立问题1．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3．（1）当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． （2）当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．（3）设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立，则实数x 的取值范围是________．2.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 .3. （1）设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______．（2）若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax≤0对任意的正实数x 恒成立，则a 的取值集合是 ___．热点三 二次方程根的问题（1）已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是________．（2）已知函数()x e f x x=，关于x 的方程()()()2210f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是________．反馈练习1．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________．2．若不等式x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＞0对于一切m ∈[－1，1]恒成立，则x 的取值范围是________． 3.设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 4．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围． 5.若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．6. (2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．7.已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为________．核心考点专题突破之三个“二次”的关系(1)利用“三个二次关系”给出不等式解集；(2)利用转化思想将参数问题、恒成立问题转化为不等式求解问题； (3)利用根与系数的关系解决有关二次方程根的问题. 热点一 解一元二次不等式1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．不等式|x 2－2|＜2的解集是________________．3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．设二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为________． 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＜0，－x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x －1)≤3的解集是______________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f [f (x )]≤3的解集为________．7．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．8．已知集合{}260M x x x =+->，{}2230,0N x x ax a =-+≤>，若M N ⋂中恰有一个整数，则a 的最小值是 ▲ ．答案： 1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.(－2,0)∪(0,2) 3.(－7,3) 4.(－2,2) 4．6 5．{x |x ≥－3} 6．(－∞，3] 7．[－1,2] 8．2 答案：2热点二 不等式恒成立问题 1．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3．（1）当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． （2）当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．（3）设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立，则实数x 的取值范围是________．答案：（1）－6≤a ≤2． （2）－7≤a ≤2．（3）x ≤－3或x ≥0．2.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .答案：22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3. （1）设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______．（2）若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax ≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________． （1）答案23=a 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，得答案：23=a ．（2）若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax ≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________． （2）答案：{10}解析 由2ax＞0，x ＞0，得a ＞0，由不等式(ax －20)lg 2a x≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20a ，x ≥2a 或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a ＝2a ，a ＝10.热点三 二次方程根的问题（1）已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是________．【解析】考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()11f x =，()()20,1f x ∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--．（2）已知函数()x e f x x=，关于x 的方程()()()2210f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是________．【答案】21,21e e ⎛⎫-+∞⎪-⎝⎭反馈练习1．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________．2．若不等式x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＞0对于一切m ∈[－1，1]恒成立，则x 的取值范围是________．答案：1．[－3，1]； 2． (－∞，1)∪(3，＋∞)；3．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围为 ．3．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 【解析】要使f(x)＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g(x)＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max ＝g(3)＝7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，所以m ＜6，即m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 4.设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 答案：27；(考查不等式的基本性质).5．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．【答案】(],1-∞-【解析】显然0x =不是方程21()10x m x ++-=的解，02x <≤时，方程可变形为11m x x-=+， 又∵1y x x=+在(]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增， ∴1y x x=+在(]0,2上的取值范围是[2,)+∞，∴12m -≥，∴1m ≤-， 故m 的取值范围是(],1-∞-．6.若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．答案：12；(考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系).7. (2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．答案：(48)，，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8.已知a∈R，设函数222,1,()ln, 1.x ax a xf xx a x x⎧-+≤=⎨->⎩若关于x的不等式()0f x≥在R上恒成立，则a的取值范围为________．答案：[]0,e。