倍角公式与半角公式-常考题型专题练习(机构专用)

第三章 第六节 倍角公式和半角公式一、选择题1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sinπ6cos π6＝ ( )A ．－12＋34B ．－12－34C ．1＋34D ．1－34解析：sinπ6cos π6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34. 答案：B2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45解析：∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：C3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于 ( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25解析：原式＝1＋2(cos2αcos π4＋sin2αsin π4)cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2×(cos α＋sin α)＝2×(35＋45)＝145. 答案：C4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)等于 ( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：原式＝(－sin2α)·cos 2α(1＋cos2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 答案：D5．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为 ( )A ．2B ．23 C ．4 D ．43解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos xsin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝±12时，取等号．∵0<x <π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min＝4. 答案：C6．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．d ＞a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞d ＞b 解析：a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°＝sin9°，d ＝12(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10°，∴b ＞a ＞d ＞c . 答案：B 二、填空题7．(2010·黄冈模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析：cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1，且cos(π3＋α)＝sin(π6－α)＝13.所以cos(2π3＋2α)＝－79.答案：－798．设f (x )＝1＋cos2x 2sin(π2－x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.答案：±39．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是______．解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝12－x .∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤12＋x ≤1－1≤12－x ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12－12≤x ≤32，∴－12≤x ≤12.法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin2α·sin2β＝2x .由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12.答案：[－12，12]三、解答题10．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)． (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×(－2425)－55×725＝－11525. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. ∵0≤x ≤23π，∴－π6≤2x －π6≤76π，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]． 12．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， c ＝(12，－12)．(1)若a ·b ＝22，a ·c ＝3－14，求角2β－α的值；(2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．解：(1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22， ①a ·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14. ②又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，得β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34，∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α>0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

教材习题点拨练习A1．(1)错误!；(2)错误!;（3）错误!；（4）－错误!；(5)1;(6）错误!。

2．由cos α＝－1213,α∈错误!，解得sin α＝错误!，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×错误!2－1＝错误!。

(由cos 2α＝1－2sin2α也可以求得）sin 2α＝2sin αcos α＝2×错误!×错误!＝－错误!。

3．因为tan α＝错误!,所以tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!，cot 2α＝错误!＝错误!。

4．y＝cos2x－sin2x＝cos 2x,则该函数的周期是π，最大值是1，最小值是－1。

练习B1．（1)(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α；(2)sin错误!cos错误!＝错误!sin θ；(3)cos4φ－sin4φ＝（cos2φ－sin2φ）(cos2φ＋sin2φ）＝cos 2φ；(4）错误!－错误!＝错误!＝tan 2θ.2．因为cos(α－β）＝－错误!，而且α－β＝错误!,所以sin(α－β）＝错误!.因为cos(α＋β)＝错误!,而且α＋β∈错误!，所以sin(α＋β)＝－错误!. 所以cos 2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos （α＋β）cos(α－β）－sin （α＋β）·sin(α－β）＝－错误!。

3．原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝错误!＝错误!＝错误!。

4．设∠AOC ＝θ,θ∈(0°，60°)．OC ＝1，OF ＝cos θ，CF ＝sin θ，OE ＝错误!＝错误!＝错误!，EF ＝OF －OE ＝cos θ－错误!。

专题十三倍角公式和半角公式一、单选题1．（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A． B． C． D．【答案】B【解析】故答案为B.2．设则=A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得.故答案为：B3．已知，，则A．B．C． D．【答案】D【解析】由及，故．故选D．4．下列各式中的值为的是（）A． B．C． D．【答案】C5．（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得的最小正周期故选C.6．已知，则cos4θ=（）A．18- B．18C．716- D．716【答案】A【解析】由题意可得：，则：3sin24θ=-，利用二倍角公式有：.本题选择A选项.7．已知，则 ( )A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即，∴sinθcosθ=，∴===．故选：C．8．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，所以，又由，故选C.9．已知计算的值A． B． C． D．【答案】B【解析】由条件可得，∴．故选B．（Ⅱ）若函数的图像的一条对称轴为，求的值．【答案】(1) 增区间为，．(2)或【解析】（Ⅰ），∵的最小正周期是，∴，，∴，令，，得，，∴的单调增区间为，．。

倍角公式和半角公式一、选择题（共12小题；共60分）1. 计算的结果等于A. B. C. D.2. 已知，则A. B. C. D.3. 已知，则的值为A. B. C. D.4. 若，则A. B. C. D.5. 若，则的值为A. B. C. D.6. 已知，则A. B. C. D.7. 已知，则A. B. C. D.8. 已知，则的值为A. B. C. D.9. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为A. B. C. D.10. 函数是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为的偶函数D. 最小正周期为的偶函数11. 若，且，则的值为A. B. C. D.12. 给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数．其中真命题是A. ①②B. ①③C. ②③D. ②二、填空题（共5小题；共25分）13. 若角的终边经过点，则的值为．14. 已知，则的值为．15. 已知角的终边经过点，则， .16. 若，则．17. 已知，，则的值为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于，两点），，分别为，在过点的直线上的射影（，在直线的上方），记，，向量 直线．（1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值；（2）若，用表示向量，在向量方向上的投影之和的绝对值，试问，满足什么条件时，有最大值?（3）若，，，求的值．19. 已知，求的值．20. 已知，，求的值．21. 已知，求的值．22. （1）已知，且，求的值；（2）已知，的值．。

倍角公式和半角公式1、已知532cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则αα22cos sin -的值为（） A257 B 259-C259 D 257-2、若224sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παα，则ααcos sin +的值为（） A 27- B 21-C 21 D27 3、若1tan 2tan 1=-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为（）A 3B -3C -2D 21-4、若0cos sin 3=+αα，则αα2sin cos 12+的值为（）A 310 B 35 C 32 D -25、︒-︒10cos 270sin 32等于（） A21 B 22C 2D 236、已知222tan =θ，πθπ22<<，则θtan 的值为（）A2B 22-C 2D2或22-7、︒-︒80sin 310sin 1的值是（）A 1B 2C 4D41 8、求值︒-︒︒20sin 135cos 20cos 等于（）A 1B 2C2 D39、已知2cos sin =-αα，()πα,0∈，则=α2sin （） A -1B 22-C22 D 110、设向量()αcos ,1=a与()θcos 2,1-=b 垂直，则θ2cos 等于（）A22 B21 C 0 D -111、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则θ2cos 等于（） A 54-B 53-C53 D54 12、函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是（） A 最小正周期为π的奇函数 B 最小正周期为π偶函数 C 最小正周期为2π的奇函数 D 最小正周期为2π偶函数 13、已知α为第二象限角，53sin =α，则θ2sin 等于（） A 2524-B 2513- C 2512D252414、设314sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，则θ2sin 等于（） A 97-B 91-C91 D97 15、若54cos -=α，α是第三象限角，则=-+2tan12tan 1αα（）A 21- B 21C 2D -216、若4cot tan =+x x ，则x 2sin 等于（） A 51 B 41 C31D21 二、填空题 17、若⎪⎭⎫⎝⎛+θπ2sin =53，则=θ2cos 。

考研数学必备公式之倍角公式与半角公式在高等数学中，倍角公式和半角公式是非常常用的一类公式，它们可以用于简化复杂的数学运算，解决各种问题。

首先，我们来看倍角公式。

倍角公式是将角度的两倍表示为原来角度的函数形式。

下面是常见的倍角公式：1.正弦倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1 = 1 -2sin^2(θ)3.正切倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan^2(θ))倍角公式可以在解题中应用广泛，比如用来简化三角函数的运算、求解等式、证明等等。

接下来，我们来看半角公式。

半角公式是将角度的一半表示为原来角度的函数形式。

下面是常见的半角公式：1.正弦半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)2.余弦半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)3.正切半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ)))半角公式可以在解题中应用广泛，特别是在三角函数的复合函数、积分、微分等问题中常常用到。

举个例子来说明倍角公式和半角公式的应用。

例题：已知cos(θ) = 1/3，求sin(2θ)的值。

解析：根据倍角公式cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 1 -2sin^2(θ)，我们可以先求出sin^2(θ)，再代入公式求解。

cos(θ) = 1/3，那么sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ) = 1 - (1/3)^2 = 8/9代入cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ)，我们可以求得c os(2θ) = 1 - 2 * 8/9 = -5/9根据sin^2(2θ) + cos^2(2θ) = 1，我们可以解得sin^2(2θ) = 1 - (cos(2θ))^2 = 1 - (-5/9)^2 = 24/81所以sin(2θ) = ±√(24/81)通过倍角公式的运用，我们可以简化原来的题目，求解sin(2θ)的值。

倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式sin2α=cos 2α=1cos sin tan2sin 1cos ααααα-===+ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2）升次功能 ： 3）降次功能： 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017•南充模拟）函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．2．（2017春•韶关期末）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=1﹣cos2α=．又∵α是第二象限角，得sinα＞0，∴sinα=，由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．故选：D．3．（2016春•天台县月考）若f（cosx）=cos2x，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，令cosx=1，得到f（1）=2﹣1=1；故选：A．4．（2016•诸暨市模拟）已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：∵sinθ+cosθ=①，θ为钝角，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：2sinθcosθ=﹣，∵由θ∈（，π），得到sinθ﹣cosθ＞0，可得：sinθ﹣cosθ===，②∴由①+②可得：sinθ=，由①﹣②可得：cosθ=﹣，∴tanθ==﹣，∴tan2θ==．法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，又sinθ+cosθ=＞0，可得：θ∈（，），可得：2θ∈（π，），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：sin2θ=﹣，∴tan2θ=．故选：B．5．（2015秋•潮州期末）已知，则=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵，∴=．故选：C．6．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．7．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．8．（2012春•锦州期末）已知sinα=，＜α＜π，则tan的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵已知sinα=，＜α＜π，∴＜＜，且cosα=﹣．再由二倍角公式可得2﹣1=﹣，求得cos=，∴sin=，则tan==2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2018春•杨浦区校级月考）已知cos（α+）=，≤α≤，则cos（2α+）=﹣．【解答】解：∵≤α≤，cos（α+）=＞0，∴＜α+≤，∴sin（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）﹣cos（α+）=﹣，cosα=﹣=﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，sin2α=2sinαcosα=，则cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=﹣．故答案为：﹣10．（2018春•小店区校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，，，则f （x）的单调递增区间为，（或，）．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵，，可得：2x+∈（，），∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈，或，时，f（x）单调递增．∴f（x）的单调递增区间为，（或，）．故答案为：，（或，）．11．（2018春•福田区校级期中）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．故答案为：﹣．12．（2018春•海州区校级月考）求cos cos cos cos cos=．【解答】解：cos cos cos cos cos=﹣cos cos cos cos cos=====，故答案为：．13．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴＜＜，∴1＞＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．14．（2016春•陕县校级月考）已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin=．【解答】解：∵α∈（π，），∴∈（，），∴sin＞0．∵cosα=1﹣2sin2=﹣，∴sin=．故答案是：．15．（2016春•浦东新区校级期中）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．16．（2014•新余二模）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵tanα+=，∴=，∴，∴sin2α=，∵α∈（，），∴cos2α=﹣，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2018春•沙市区校级期中）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，，，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，，，，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．18．（2018•临川区校级模拟）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ﹣（k∈Z），∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（﹣）=．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，]，∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．19．（2017秋•湛江月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1+0=1．（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=﹣，∴cos2α=±．∵α∈（0，π），sin2α=﹣，∴2α∈（π，π），∴cos2α＜0，故cos2α=﹣．20．（2017春•如东县校级期中）由倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；（2）已知3×18°=90°﹣2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．【解答】解：（1）cos2x═cos（2x+x）=cos2xcosx﹣sin2xsinx=（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx=2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx=4cos3x﹣3cosx，（2）因为cos（3×18°）=cos（90°﹣2×18°），所以4cos318°﹣3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3=2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=（舍去）．21．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f（x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．22．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或23．（2010春•闸北区期末）已知，，，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．【解答】解：由题意，…（3分）…（3分）…（3分）用万能公式求对同样给分．24．（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2）因为，又，则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=。

.两角和与差的三角函数1．若 cos 4 0, ，则 tg．，且252．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) A sin( x 6 )(A0 ,0)的最小正周期为 T 6，且 f (2 )2．（ 1）求f (x)的表达式；,[0, ] f (3 ) 16 f (3 5 ) 20)的值． （ 2）设 2 ， 5 ，2 13 ，求 cos( 3．在非等腰△ ABC 中， a ， b ， c 分别是三个内角 A ， B ， C 的对边，且 a=3，c=4， C=2A ． （Ⅰ）求 cosA 及 b 的值； （Ⅱ）求 cos(– 2A) 的值．31，则cos 2(4．已知 sin()) 的值是（）633A ．7B．1C． 1D．7933 941 tan5．若 cos， 是第三象限的角 , 则2=（）51 tan2A ．1B ．122 3C ．D．-256．己知 a R,sin a 3cos a5 ，则 tan 2a=_________ ．7．已知 cos()4 ,则 sin 2 .4 58．已知 cos() 4,则 sin 2 .4 59．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 且 a b ，已知 cosC4， c 3 2 ，5sin Acos 2Bsin Bcos 2A2 1 sin C ．222（Ⅰ）求 a 和 b 的值；（Ⅱ）求 cos(B C) 的值．10．已知函数f ( x) 2sin( x)(0, x R )的最小正周期为.6（ 1）求 的值；（ 2）若 f ( )2 (0, ) ，求 cos2 的值 .，3811．已知函数 f ( x)2sin x cos x 2sin 2x 1(x R) ．.（ 1）求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a3 错误 ! 未找到引用源。

2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切优化训练新人教B 版必修5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知cosα=-cos 2，则cos 等于( )A.±B.C.D.±解析：由二倍角余弦公式，得3cos 2=1，所以cos=±.答案:A2.若cosα=，则sin 等于( )A. B. C.± D.±解析：sin=±=±或由1-2sin 2=cosαsin=±.答案:C3.设α∈（π，2π），则等于（ ）A.sinB.cosC.-sinD.-cos 解析：2cos 2cos 12)cos(12αααπ=+=+-=｜cos ｜，又α∈（π，2π)， ∴∈（，π).∴｜cos ｜=-cos.答案:D4.已知sinθ=，θ为第三象限的角，则tan=______________.解析：由条件，求得cosθ=，于是tan=-2.答案:-210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各式与tanα相等的是（ ）A. B.C. D.解析：由于αααααcos sin 2sin 22sin 2cos 12=-=tanα. 答案:D2.设5π＜θ＜6π，cos=a ，那么等于（ ）A. B.C. D.解析：由于5π＜θ＜6π，∴＜＜.∴s in=2122cos1a --=--θ. 答案:B3.已知sinα=，且α为第三象限角，则tan 等于（ ）A. B. C. D.解析：由sinα=，且α为第三象限角，则cosα=，所以tan 3425712524cos 1sin 2-=--=+=ααα.答案:A4.已知sin-cos=，450°＜α＜540°，则tan=______________.解析：由sin-cos=，∴（sin-cos)2=（)2,得sinα=.又450°＜α＜540°，∴cosα=. ∴tan=253154cos 1sin =-=+αα.答案:25.若＜α＜2π，且cosα=，则的值是多少？解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cosα=，∴cos=. ∴ααcos 21212cos 21212121•+=++=｜cos ｜=-cos=.答案:6.已知tanα=a，求的值.解：∵tan，∴tanα=.利用比例性质，∴=tanα=a.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设α∈（π，2π），则等于（ ）A.sinB.cosC.-sinD.-cos解析：∵α∈（π，2π)，∴∈（，π).∴sin＞0. ∴2cos 12)cos(1ααπ-=++=｜sin ｜=sin.答案:A2.设＜α＜π，且cos α=a ，则等于（ ）A. B. C.± D.±解析：sin=.答案:B3.化简等于（ ）A.tan2θB.cot4θC.tan4θD.cot2θ 解析：由tan=得tan4θ=，∴=tan4θ.答案:C4.若sin θ=，3π＜θ＜，则tan 等于（ ）A.3B.-3C.D.解析：∵sinθ=，3π＜θ＜，∴cosθ=-.∴＜＜. ∴tan=.3)54(1)54(1cos 1cos 1-=-+---=+--θθ 答案:B5.tan15°+cot15°等于( )A.2B.C.4D.解析：∵tan=，∴原式=.4323230cos 130sin 30sin 30cos 1=++-=︒-︒+︒︒- 答案:C6.y=cos 2x+cosxsinx 的值域是_____________.解析：y=cos 2x+cosxsinx=sin2x=sin2x+cos2x+=sin （2x+)+，∴y∈［+，+］.答案:［+，+］7.已知sin α=，2π＜α＜3π，那么sin+cos=______________.解析：（sin+cos)2=1+sin α=，又2π＜α＜3π，∴π＜＜.∴sin+cos=.答案:8.已知α为三角形内角,sin α=,则cot=____________.解析：由条件,得cos α=±,cot=31353541sin cos 12sin 2cos 或=±=+=αααα. 答案:3或9.化简：cos 2A+cos 2（-A ）+cos 2（+A ）.解：原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A +++-+++ππ ［cos2A+cos （-2A)+cos （+2A)］=+［cos2A+coscos2A+sinsin2A+coscos2A-sinsin2A ］=+［cos2A+2coscos2A ］=+（cos2A-cos2A)=.10.已知sin （+2α）·sin（-2α）=，α∈（，），求2sin 2α+tan α--1的值.解：由sin （+2α)·sin（-2α)=，∴2sin（+2α)cos （+2α)=，即sin （+4α)=.∴cos4α=.而2sin 2α+tan α--1=-cos2α+=-（cos2α+).∵α∈（，)，∴2α∈（，π).∴cos2α=，tan2α=.∴-（cos2α+)=-（33223-+-)=.。

3.2 倍角公式和半角公式知识点一：倍角公式1.2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α等于A．tanα B．tan2α C．1 D.122．log2(sin15°cos15°)的值为A．－1 B.12C．2 D．－23．(2010全国高考Ⅱ，文3)已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于A．－53B．－19C.19D.534．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα＝__________.5.tanπ121－tan2π12＝__________.6．(2010全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角，sinα＝35，则tan2α＝__________.7．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．知识点二：半角公式8．已知cosθ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2等于A.105B ．－105 C.155 D ．－1559．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为A.335B.45C ．±35D ．±4710．已知sinθ＝35，5π2<θ<3π，那么tan θ2＋cos θ2的值为__________．11．(2010全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.12．已知sinα＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β2的值．能力点一：利用倍角、半角公式求值、化简13．若3sinα＋cosα＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为A.103 B.53 C.23D ．－2 14.1＋cos100°－1－cos100°等于 A ．－2cos5° B．2cos5° C ．－2sin5° D．2sin5°15．函数y ＝2cos 2x 的一个单调递增区间是 A ．(－π4，π4) B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)16．化简1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ等于A ．tan2θ B．cot4θ C ．tan4θ D．cot2θ17．已知α为锐角，且sinαcosα＝12，则11＋sinα＋11＋cosα＝__________.18．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，求2cos 2α2－sinα－12sin π4＋α的值．能力点二：倍角公式及半角公式的综合应用 19.已知x∈(－π2，0)，cosx ＝45，则tan2x 等于A.724B ．－724C.427D ．－24720．cos π17·cos 2π17·cos 4π17·cos 8π17的值为__________．21．已知函数f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1，x∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．22．(2010某某高考，理17)已知函数f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1(x∈R )． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．23.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 前进30 m 至C 点，测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进10 3 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．答案与解析1．B2．D 原式＝log 2(12sin30°)＝log 214＝－2.3．B cos(π－2α)＝－cos2α ＝－(1－2sin 2α) ＝－(1－2×49)＝－19.4.12 ∵cos2α＝cos 2α－sin 2α，sin(α－π4)＝22(sinα－cosα)， ∴cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α－22cosα－sinα＝cosα＋sinα－22＝－22.∴cosα＋sinα＝12.5.36 原式＝12×2tanπ121－tan2π12＝12tan π6＝36. 6．－247 ∵α为第二象限角，sinα＝35，∴cosα＝－45.∴tanα＝sinαcosα＝－34.∴tan2α＝2tanα1－tan 2α＝2×－341－－342＝－247.7．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx ＝2sinxcosx ＝sin2x ，∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)由－π6≤x≤π2，得－π3≤2x≤π.∴－32≤sin2x≤1， 即f(x)的最大值为1，最小值为－32. 8．D ∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2，∴sinθ＝－1－cosθ2＝－155. 9．C ∵sin(π－θ)＝2425，∴sinθ＝2425，θ为第二象限角．∴cosθ＝－725.θ2为第一、三象限的角，∴cos θ2＝±1＋cosθ2＝±35. 10．3－1010 cosθ＝－45，sin θ2＝－1－cosθ2＝－31010，cos θ2＝－1＋cosθ2＝－1010，∴tan θ2＝3. ∴tan θ2＋cos θ2＝3－1010.11．－12 tan(π＋2α)＝－43，tan2α＝－43，∴2tanα1－tan 2α＝－43. ∵α是第二象限的角， ∴tanα<0.∴tanα＝－12.12．解：∵0<α<π2，∴cosα＝1－sin 2α＝513.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π.∵sin(α＋β)<sinα，α＋β<α不可能， ∴π2<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－35.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－35×513＋45×1213＝3365.∴0<β<π2，即0<β2<π4.故cos β2＝1＋cosβ2＝76565. 能力提升13．A 由3sinα＋cosα＝0，有tanα＝－13.∴1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sinαcosα＝1＋tan 2α1＋2tanα＝103. 14．C 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.15．D 16．C17．4－2 2 ∵sin2α＝2sinαcosα＝1，∴α＝π4.∴原式＝11＋22＋11＋22＝4－22，18．解：2cos 2α2－sinα－12sin π4＋α＝cosα－sinαsinα＋cosα＝1－tanαtanα＋1.又tan2α＝－22＝2tanα1－tan 2α 22tan 2α－2tanα－22＝0. 解得tanα＝－22或 2. 又π4<α<π2， ∴tanα＝ 2.原式＝1－22＋1＝22－3.19．D ∵x∈(－π2，0)，cosx ＝45，∴sinx＝－35.∴tanx＝－34.∴tan2x＝2tanx 1－tan 2x ＝－247. 20.116原式＝ cos π17sin π17cos 2π17·co s 4π17·co s 8π17sin π17＝sin16π1724sinπ17＝116.21．解：(1)f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．因此，函数f(x)的最小正周期为π.(2)根据对f(x)在[π8，3π4]上的单调性进行研究，易知f(x)在[π8，3π8]上递增，在[3π8，3π4]上递减． 又f(π8)＝0，f(3π8)＝2，f(3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4＝－1，故函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.22．解：(1)由f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1，得 f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos 2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)． 所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x 0)＝2sin(2x 0＋π6)．又因为f(x 0)＝65，所以sin(2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin22x 0＋π6＝－45.所以cos2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310. 拓展探究23．解：由已知得BC ＝30 m ，CD ＝10 3 m ，∠ABE＝θ，∠ACE＝2θ，∠ADE＝4θ，在△ABE 中，BE ＝AE·cotθ，在Rt△ACE 中，CE ＝AE·cot2θ，∴BC＝BE －CE ＝AE(cotθ－cot2θ)，同理可得CD ＝AE(cot2θ－cot4θ)．∴BC CD ＝AE cotθ－cot2θAE cot2θ－cot4θ， 即cotθ－cot2θcot2θ－cot4θ＝30103＝ 3.而cotθ－cot2θcot2θ－cot4θ＝cosθsinθ－cos2θsin2θcos2θsin2θ－cos4θsin4θ＝sinθsinθ·sin2θsin2θsin2θ·sin4θ＝sin4θsin2θ＝2cos2θ. ∴2cos2θ＝3cos2θ＝322θ＝30°θ＝15°. ∴AE＝12AC ＝12BC ＝15 m.答：θ的大小为15°，建筑物的高为15 m.。

1 / 23一、倍角公式：（一）知识精讲αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

建议学生推导：.αtan -1αtan 2)ααtan(α2tan ;αsin -αcos αsin αsin -αcos αcos )αα(cos α2cos α;cos αsin 2αsin αcos αcos αsin )ααsin(α2sin 222=+===+==+=+=（二）典型例题【例1】 求下列各式的值.（1）οο15cos 15sin （2）8sin 8cos 22ππ-（3）οο5.22tan 15.22tan 22- （4）ο75sin 212- 【难度】★【答案】（1）sin15cos15o o=121sin 304=o ；（2）22cos sin 88ππ-＝cos 4π=； （3）22tan 22.51tan 22.5-o o ＝tan 451=o ；（4）212sin 75-o＝cos150=o．【例2】︒︒︒︒168cos 96cos 48cos 24cos 16= 。

【难度】★ 【答案】-12 / 23【例3】已知是第则角x x x ,532cos ,542sin-== 象限的角。

【难度】★ 【答案】三【例4】若21cos sin =θθ，则 （ ） （A ）22sin -=θ（B ）22sin =θ （C ）1tan =θ（D ）1tan -=θ【难度】★ 【答案】C【例5】已知223sin 2sin 1,3sin 22sin 20αβαβ+=-=且,αβ都是锐角，求证22παβ+=【难度】★★★【答案】 证明：由223sin 12sin αβ=- 得 23sin cos 2αβ=……①由3sin 22sin 2αβ=得3sin cos sin 2ααβ=……② ,αβ都是锐角①②得sin cos 2cos sin 2αβαβ= ∴ cos cos 2sin sin 20αβαβ-= 即 cos(2)0αβ+= 又Q 3022παβ<+< 所以22παβ+=【例6】方程20ax bx c --=的两个相等的根为tan α，则tan 2α=_____。

3.2.1 倍角公式课后导练基础达标11.sinα-cosα=,则sin２α的值是（）524244A. C.B.252551解析：两边平方，1-2sinαcosα=5,224∴sin2α=.25答案：B D.4512.已知tanα+=m，则sin2α等于（）tan12A. B. C.2m D. m m12解析：切化弦=m,∴sin２α=.sin cos m1 m2答案：B23.cos ·cos1717 12A.sinsin17解析：乘以答案：D174817·cos1B.4·cos的值为（）17C.181，利用倍角公式化简得.161D.164.下列结论错误的是（）A.tanα+B.tanα-12 tan sin 212tan tan2C.sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin2θ解析：cos2θ=1-2sin2θ,∴2sin2θ=1-cos2θ.答案：D5.已知sinα=51,则sin2(α-24)=_____________.解析：原式=-cos2α（诱导公式）.答案：2- 516.化简1sin1001sin100.解：原式= 12sin 50cos5012sin 50cos5=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.17.已知sin( +x)sin( -x)= ,x∈(,π),求sin4x的值.4462解：∵sin(+x)sin( -x)=sin( +x)sin［-( +x)］=sin(44424111= sin( +2x)= cos2x= ,22261∴cos2x=.∵x∈(,π),324+x)cos(4+x)22∴2x∈(π,2π).∴sin2x=.342∴sin4x=2sin2xcos4x=.98.已知tan( +θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值.41tan解:∵tan(+θ)= =3,41tan1∴tanθ= .2∴原式=s in2sin22cos2cos22s incossin22cos2cos22tan 22tan 145.综合运用9.已知cos(4+x)=35,7x,求sin2x2sin21x的值.7 12 4tan x7x7解：∵,1245∴< +x<2π.643∵cos(+x)= ,453∴< +x<2π.244∴sin(+x)=,tan(4544.3+x)=2又∵sin2x=-cos(2=-2cos 2( +x)+1418 7=.+1= 25 25+2x) 原式=sin 2x 2sin 2x sin 2x cos x 2sin 2sin x cos x sin x 1cos xx cos x sin 2x (cos x sin x ) 1 tan xsin 2xcos x sin x 1 tan x7 4 28=sin2xtan( +x)=·()= .4 253 7510.已知 sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,2 ),求 sinα,tanα.解:原等式可变为 4sin 2αcos 2α+2sinα·cos 2α-2cos 2α=0,∴2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0, 2 ),∴sinα+1≠0,cos 2α≠0.∴sinα=1 2 ,α=6.∴tanα= 3311.α,β 是锐角,且 3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β= 证明:由已知得 3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β, 2.又 sin2β=3 2sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα3sin 2α-sinα3sinαcosα=0.又 0<α< ,0<β< ,22 3∴0<α+2β< π.∴α+2β= . 22拓展探究12.如图，在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ,沿 BE 方向前进 30 m 至点 C 处测得 顶端 A 的仰角为 2θ，再继续前进10 3 m 至 D 处,测得顶端 A 的仰角为４θ.同学们能否依据 所测得的数据,计算出 θ 的大小与建筑物 AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=10 3m.3在 Rt△ABE 中,BE=AEcotθ,在 Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cotθ-cot2θ),同理,可得 CD=CE-DE=AE(cot2θ-co t4θ),∴BC CDAE (cotAE (cot2cot 2) 4) cot,cot cot 2 30即 3 cot 2 cot 4 10 3 .而cos cos 2 cotcot 2sin sin 2cot 2 2cot 4 cos cos 4sin 2 sin 4s in sin 42 =2cos2θ=3 , ∴2cos2θ= 3cos 2θ=32θ=30°.2∴θ=15°,∴AE= 1 2 AC= 1 2 BC=15 m.故 θ 为 15°，建筑物高为 15 m.4。

3.2 倍角公式和半角公式知识点一：倍角公式1.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于 A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.122．log 2(sin15°cos15°)的值为A ．－1B .12C ．2D ．－2 3．(2010全国高考Ⅱ，文3)已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于 A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α＝__________. 5.tan π121－tan 2π12＝__________.6．(2010全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________.7．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．知识点二：半角公式8．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2等于 A.105 B ．－105 C.155 D ．－1559．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为 A.335 B.45C ．±35D ．±4710．已知sin θ＝35，5π2<θ<3π，那么tan θ2＋cos θ2的值为__________． 11．(2010全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.12．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β2的值．能力点一：利用倍角、半角公式求值、化简13．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为 A.103 B.53 C.23D ．－2 14.1＋cos100°－1－cos100°等于A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°15．函数y ＝2cos 2x 的一个单调递增区间是A ．(－π4，π4)B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π) 16．化简1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ等于 A ．tan2θ B ．cot4θC ．tan4θD ．cot2θ17．已知α为锐角，且sin αcos α＝12，则11＋sin α＋11＋cos α＝__________. 18．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，求2cos 2α2－sin α－12π4＋α的值．能力点二：倍角公式及半角公式的综合应用19.已知x∈(－π2，0)，cosx ＝45，则tan2x 等于 A.724 B ．－724 C.427 D ．－24720．cos π17·cos 2π17·cos 4π17·cos 8π17的值为__________． 21．已知函数f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1，x∈R .(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．。

课时作业28 半角的正弦、余弦和正切时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．设2π<θ<3π，cos θ2＝a ，则cos θ4等于( ) A.1＋a 2B ．－1－a 2C ．－1＋a 2D.1－a 2解析：∵2π<θ<3π，∴π<θ2<3π2，π2<θ4<3π4，θ2为第三象限的角，θ4为第二象限的角，故cos θ4＝－1＋cos θ22＝－1＋a 2.答案：C2．θ为第三象限的角，且sin θ2－cos θ2＝1－sin θ，那么θ2是( ) A ．第二象限的角 B ．第二或第三象限的角 C ．第三象限的角D ．第四象限的角解析：θ是第三象限的角，则θ2是第二或第四象限的角，1－sin θ＝1－2sin θ2cos θ2＝(sin θ2－cos θ2)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2＝sin θ2－cos θ2，∴sin θ2≥cos θ2.故选A. 答案：A3．设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)2＝( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2D ．－cos α2解析：∵α∈(π，2π)，∴α2∈(π2，π)． ∴1－cos (π＋α)2＝1＋cos α2＝cos 2α2＝－cos α2.答案：D4．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°， c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．a >b >d >cB ．b >a >d >cC ．d >a >b >cD ．c >a >d >b解析：a ＝sin56°cos45°－cos56°sin45° ＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cos79°，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝sin40°(－sin38°)＋cos40°cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°， d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)＝12[cos80°－(2cos 250°－1)] ＝12(cos80°＋cos80°)＝cos80°， ∴b >a >d >c ，故选B. 答案：B5．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2 解析：∵cos α＝－45，α是第三象限的角，∴sin α＝－35， ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋cos x ＋sin x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解析：∵cos x ＋sin x ≠－1，∴2sin(x ＋π4)≠－1，即sin(x ＋π4)≠－22，∴x ＋π4≠2k π－34π且x ＋π4≠2k π－π4(k ∈Z )．即x ≠2k π－π且x ≠2k π－π2(k ∈Z )．显然函数的定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴f (x )为非奇非偶函数．答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．已知π2<α<π，化简12－1212－12cos2α＝________.解析：∵12－12cos2α＝sin 2α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴12－12cos2α＝sin α，∴原式＝12－12sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222＝22·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝22sin α2－22cos α2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－π4.答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π48．设p ＝cos αcos β，q ＝cos 2α＋β2，则p 与q 的大小关系是______．解析：∵p －q ＝2cos αcos β－1－cos (α＋β)2 ＝2cos αcos β－1－cos αcos β＋sin αsin β2 ＝cos (α－β)－12≤0，∴p ≤q . 答案：p ≤q9.3－sin70°2－cos 210°＝________. 解析：原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝3－sin70°3－cos20°2＝2·3－sin70°3－sin70°＝2.答案：2三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.解：左边＝2tan α21＋tan 2α2＋11＋2tan α21＋tan 2α2＋1－tan 2α21＋tan 2α2＝tan 2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan 2α2＝(tan α2＋1)22tan α2＋2＝12(tan α2＋1) ＝12tan α2＋12＝右边． ∴原等式成立．11．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)的值．解：∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2 2.π2<θ<π， ∴tan θ＝－1＋1＋tan 22θtan2θ＝－22. ∴原式＝1＋cos θ－sin θ－12sin (θ＋π4)＝cos θ－sin θ2sin (θ＋π4)＝2sin (π4－θ)2sin (π4＋θ)＝cos (π4＋θ)sin (π4＋θ)＝cot(π4＋θ)＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋2 2.12．若0<x <π4，求函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值．解：0<x <π4，且f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1－tan 2x ＋tan x ＝1－(tan x －12)2＋14.∴当tan x ＝12时，f (x )min ＝4.。

建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分高中数学 基础知识篇 第三章3.2倍角公式和半角公式同步测试同步练测 新人教B 版必修4一、选择题（每小题5分，共20分）1．函数f(x)＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )A ．－2B ．－ 3C ．－ 2D ．－12．当tan2α≠0时，tan 2α的值与sin α ( )A ．同号B ．异号C ．有时同号有时异号D ．sin α可能为零3．已知tan(α＋π4)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为( )A ．－16 B.16C.52 D ．－564.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( )A ．－2cos 5°B ．2cos 5°C ．－2sin 5°D ．2sin 5° 二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝2cos 22x＋sin x 的最小正周期是________．6．等腰三角形顶角的余弦值为23，那么这个三角形一底角的余弦值为________． 三、解答题(共70分)7．（15分）已知5π2<α<11π4，sin 2α＝－45，求tan α.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分) 已知f(x)＝2cos2x ＋3sin 2x＋a，a ∈R.(1)若f(x)有最大值为2，求实数a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．10. （15分）已知5sin13α=,π(,π)2α∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.一、选择题1. D 解析：f(x)＝2sin(x-π4)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x－π4≤π4.∴f(x)min ＝2sin(－π4)＝－1.2.A 解析：∵sin α＝2sin2αcos 2α，tan 2α＝sin2cos 2αα， ∴sin α与tan2α同号． 3.A 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13,原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝13－12＝－16. 4.C 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°. 二、填空题5.2π 解析：化简得f(x)＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π. 6.66 解析：设底角为α，顶角为β,则α＝π2－2β，cos β＝23, ∴cos α＝cos(π2－2β)＝sin 2β＝1cos 2β-＝66.三、解答题7.解：∵5π2<α<11π4，即α为第二象限角，∴5π<2α<11π2，即2α为第三象限角，∴cos 2α＝－21sin 2α-＝－35，∴cos α1cos 22α+＝－1－352＝－55， sin α1cos 22α+＝1＋352＝255， ∴tan α＝sin cos αα＝－2.8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]，令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.9. 解： (1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a.当2x ＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋kπ(k∈Z )时，f(x)取最大值3＋a.由3＋a ＝2，解得a ＝－1.(2)令－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是[ππ3k -,ππ6k +] (k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是[ππ6k +,2ππ3k +] (k ∈Z )．10. 解：∵5sin 13α=,π(,π)2α∈，∴2cos 1sin αα=--1213-,∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-.cos 2α = 212sin α-=120169-.tan 2α = 119120-.。