离散时间系统附响应

实验一： 信号、 系统及系统响应
1、实验目的
•
1 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系， 加深对时
域采样定理的理解。
•
2 熟悉时域离散系统的时域特性。
•
3 利用卷积方法观察分析系统的时域特性。
•
4 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法， 利用序列的傅里
叶变换对连续信号、 离散信号及系统响应进行频域分析。
Y (e jk ) X a (e jk )H (e jk ), k 0,1, , M 1
所得结果之间有无差异? 为什么?
• 五、实验报告要求
• 1 简述实验目的及实验原理。
• 2 按实验步骤附上实验过程中的信号序列、 系统单位脉冲响应及 系统响应序列的时域和幅频特性曲线， 并对所得结果进行分析和 解释。
样间隔。 这些参数都要在实验过程中由键盘输入， 产生不同的xa(t)
和xa(n)。
•
b. 单位脉冲序列： xb(n)=δ(n)
•
c. 矩形序列： xc(n)=RN(n), N=10
• ② 系统单位脉冲响应序列产生子程序。 本实验要用到 两种FIR系统。
•
a. ha(n)=R10(n);
•
b. hb(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
• 二、实验原理与方法
• 采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。
。 • 对一个连续信号xa(t)进行理想采样的过程可用下式表示
^
xa (t) xa (t) p(t)
(1)
^
x 其中 (t)为xa(t)的理想采样， p(t)为周
期冲激脉冲， 即
p(t) (t nT )

则系统的幅频特性为
M
ej z j
H (e j )
k
j 1 N
ej pi
H (e j ) e j
i 1
ej pi Bieji 相频特性为
M
Aj
H (ej )
k
j1 N
Bi
i 1
M
N
() j i
j 1
i 1
信号与系统
§7.9 离散时间系统的频率响应
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/20
一、离散时间系统频响的定义
离散时间系统的频率响应： h(n) 的傅里叶变换 条件：稳定系统
H ej F h n H z zej
从系统激励与相应的零状态响应的傅里叶变换关系来看，
H
e j
Y
z
Y zej
e j
X z zej
X ej
H ej H ej ej
幅频特性： H ej ~
相频特性： ~
二、离散时间系统频响的物理意义
观察复指数序列 xn e u j0n n
X
z
z
z e j0
则系统响应的z变换为
Y
z
z z e j0
H z
由于系统为因果稳定系统， 极点均位于单位圆内，不会
与X(z) 的极点 ej0相重合。
Y
z
az z ej0
M
Am z
m1 z zm
其中常数 a H e j0 ，则稳态响应为
二、离散时间系统频响的物理意义
y n H ej0 ej0nu n
序列 e u j0n n经过一离散时间系统H(ejω) ，所得稳态响
应依然是 e u j0n n，但受到该系统频率响应 H e j0的加

班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。

2.掌握用MATLAB 实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。

3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。

4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。

二、实验仪器计算机一台 MATLAB7.0软件三、实验原理在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。

离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。

记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图()()[]x n y n T −−−→∙−−−→所示的框图。

算子T[∙]表示变换，对T[∙]加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。

1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。

线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。

H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号()()()...(1)(1)(0)()(1)(1)...k x n x k n k x n n x n x n δδδδ∞=-∞=-=+-+++-+∑x （n ）可以用δ（n ）及其位移的线性组合来表示，即，当输入δ（n ）时，系统的输出y(n)=h(n)。

2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h 和x 的卷积，结果放在y 中。

由系统的线性移不变性质可以得到系统对x(n)的响应y(n)为()()()k y n x k h n k ∞=-∞=-∑，称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。

通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。

数字信号处理课程实验报告实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。

对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。

对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号： 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。

()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T 。

也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。

因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号ˆ()()()a a xt x t p t =1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。

已知输入信号，可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。

实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。

2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。

3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。

2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。

三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。

2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。

3、写出实验心得。

附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。

调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。

例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。

调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。

确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。

差分方程的Z 域解序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。

求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。

求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：• 时域方法——第七章中介绍，烦琐 • z 变换方法• 差分方程经z 变换→代数方程； • 可以将时域卷积→频域（z 域）乘积； • 部分分式分解后将求解过程变为查表；• 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。

一．应用z 变换求解差分方程步骤一．步骤(1)对差分方程进行单边z 变换（移位性质 ）；(2)由z 变换方程求出响应Y (z ) ； (3) 求Y (z ) 的反变换，得到y (n ) 。

例8-7-1(原教材例7-10(2))解：方程两端取z 变换()0.9(1)0.05()(1)1,y n y n u n y --=-=已知系统的差分方程表达式为若边界条件求系统的完全响应。

()()()10.910.051zY z z Y z y z -⎡⎤-+-=⎣⎦-例8-7-2 已知系统框图列出系统的差分方程。

求系统的响应 y (n )。

解：（1） 列差分方程，从加法器入手（2）（3）差分方程两端取z 变换，利用右移位性质()()()()20.910.0510.90.9y z z Y z z z z -=+---()1210.9Y z A z A zz z z =+--()1210.9Y z A z A z zz z =+--120.5 0.45A A ==()0.50.4510.9Y z z z z z z =+--()()()0.50.450.9 0n y n n =+⨯≥()()()()⎩⎨⎧==<≥-=010,0002y y n n n x n ()()()()()13122x n x n y n y n y n +-----=()()()()()12213 -+=-+-+n x n x n y n y n y 所以()()151,224y y -=--=()()()()1,2,1,0z y y y y --用变换求解需要用由方程迭代出()()()()()()12131212Y z z Y z y z Y z z y y ---⎡⎤⎡⎤++-++-+-⎣⎦⎣⎦a.由激励引起的零状态响应即零状态响应为b.由储能引起的零输入响应即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意()()()1 01221=-+++=-x z z z z z ()[]2123121zs ++=++--z z zz z Y ()()2zs 22z Y z z =+()()()()()n u n n y z Y n21zs zs-+=↔2n ≥-（对都成立）()[]()()()221312231121zi ------=++---y y y z z z z Y ()()()()1223121zi +++-=++--=z zz z z z z z z Y ()()()()1223zi zi ≥-+--=↔n n y z Y nn()()()()22112221212+++++=++=z B z B z A z z z z Y ()()()()222122d d !121221-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅-=z z z z z B ()()2222212 +-++-++=z z z z z Y 所以()()2222212+-+-+=z zz z z z z Y ()()()()()0 22212≥-+---=n n n y n n n 122,2A B ==-()()()2212zY z z z =++2(),2()n azna u n a z a ↔=--验证 由方程解y (n )表达式可以得出y (0)=0, y (1)=0，和已知条件一致。

Hz1rejθzb 11z11 rejθz1
r
p1
O
1 Re z
p2
可见H(z)除一对共轭极点外，
（b)
还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。
若把H(z)展成部分分式，得
H zA 1re 1jθz 11re 1 jθz 1
hn
其中
A b1 2jr sinθ
o
n
对H(z)进行逆变换，8-10-3 求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。
（教材例8-23）
xn z1 b1
yn
该系统的差分方程为
a1
a2
z 1
y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 b 1 x n 1 z1
（a)
系统函数写作 Hz
b1z1
1a1z1a2z2
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一．一、离散系统频响特性的定义 二．二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
xn
Hz
yzs n
x n
A
O θ1 ω
稳定的因果
ω
A sin nω θ 1
离 散 系 统 yzs n
B
O
n
θ2
ω
B sinnω θ 2
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
解：系统的差分方程
z1
1
y n 0 . 5 x n 0 . 5 x n 1 xn
1 2

实验一 离散时间信号及系统冲激响应和零状态响应一、 实验原理利用MATLAB 软件生成典型信号,通过系统差分方程求系统单位冲激响应，利用卷积计算给定输入的系统输出 二、 实验目的（1）熟悉MATLAB 软件的使用方法。

（2）利用MATLAB 产生典型信号（3）利用MATLAB 计算系统单位冲激响应 （4）利用MATLAB 计算系统输出 三、实验内容(1)编写MATLAB 程序来产生下列基本脉冲序列。

1) 单位脉冲序列：起点0n ，终点f n ，在s n 处有一单位脉冲(0s f n n n ≤≤)。

程序：2) 单位阶跃序列:起点0n ，终点f n ，在s n 前为0，在s n 处及以后为l(0s f n n n ≤≤)。

程序：3)实数指数序列：() 3()0.75n x n=程序：4)复数指数序列：(0.207) 4()j n x n e-+=程序：5)一个连续的锯齿波信号频率为1Hz，振幅值幅度为1V，在窗口上显示两个周期的信号波形，对它进行32点采样获得离散信号，试显示原信号和其采样获得离散信号波形。

程序：(2) ()0.75(1)0.125(2)()(1)y n y n y n x n x n+-+-=--表示线性时不变系统，用MATLAB求其冲激响应和阶跃响应程序：(3)用MATLAB 计算线性时不变系统()0.8(1)0.15y n y n x n--=当输入为1()2s i n (0.05)x n n π=时的零状态响应。

程序：(4) 用MATLAB计算线性时不变系统()0.9(1)()--=，当输入为y n y n x n =--时系统的零状态响应x n u n u n()()(10】程序：。

实验一 离散时间系统的时域响应及稳定性1.1实验目的1）加深对离散线性移不变（LSI ）系统时域特性的认识；2）掌握MATLAB 求解离散时间系统响应的基本方法；3）了解MATLAB 中求解系统响应的函数及其应用方法；4）分析、观察及检验离散时间系统的稳定性。

1.2实验涉及的MATLAB 函数dlsim功能：求解离散系统的响应。

调用格式：y ＝dlsim(b ，a ，x )；求输入信号为x 时系统的响应。

说明：b 和a 分别表示系统函数H (z )中，由对应的分子项和分母项系数所构成的数组。

1.3实验原理1）离散LSI 系统时域响应的求解方法一个线性移不变离散系统可以用线性常系数差分方程表示，也可以用系统函数表示。

无论是差分方程还是系统函数，一旦式中的系数m b 和k a 的数据确定了，则系统的性质也就确定了。

因此，在程序编写时，往往只要将系数m b 和k a 列写成数组，然后调用相应的处理函数，就可以求出系统的响应。

对于离散LSI 系统的响应，MATLAB 提供了多种求解方法：(1) 用conv 子函数进行卷积积分，求任意输入的系统零状态响应。

(2) 用dlsim 子函数求任意输入的系统零状态响应。

(3) 用filter 和filtic 子函数求任意输入的系统完全响应。

本实验重点介绍(2)、(3)两种方法。

2）用dlsim 子函数求LSI 系统对任意输入的响应对于离散LSI 系统任意输入信号的响应，可以用MATLAB 提供的仿真dlsim 子函数来求解。

例1： 已知一个IIR 数字低通滤波器的系统函数公式为1231230.13210.39630.39630.1321()10.343190.604390.20407z z z H z z z z −−−−−−+++=−+− 输入两个正弦叠加的信号序列：1sin()sin(10)23n x n =+ 求该系统的响应。

MATLAB 程序如下：nx=0: 8*pi;x=sin(nx/2)+sin(10*nx)/3; %产生输入信号序列subplot(3, 1, 1); stem(nx, x);a=[1, -0.34319, 0.60439, -0.20407]; %输入系统函数的系数b=[0.1321, 0.3963, 0.3963, 0.1321];nh=0: 9;h=impz(b, a, nh); %求系统的单位冲激响应subplot(3, 1, 2); stem(nh, h);y=dlsim(b, a, x); %求系统的响应subplot(3, 1, 3); stem(y);从程序执行结果可见，输出响应y(n)中，原输入序列中的高频信号部分通过低通滤波器后已被滤除，仅剩下频率较低的sin(n/2)分量。

离散时间系统的响应求解与系统稳定性分析响应求解是“信号与线性系统”课程的核心知识，据此，描述了离散时间系统的定义，对离散时间系统的响应求解提出了两种分析方法，即时域法和变换域法，对两种方法的具体求解响应过程做出了详细的说明，并给出例题分析。

最后，总结了系统的稳定性的判定方法，针对离散系统和连续系统都给出了几种分析方法。

标签：离散；系统响应；时域法；变换域法；稳定性分析1 离散时间系统当系统的各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数表示，而只是在离散的瞬间给出瞬时值，这种系统称为离散时间系统。

离散时间系统不同于连续时间系统，连续时间系统通常用微分方程描述，而离散时间系统用差分方程：2 离散时间系统的响应求解2.1 时域法分析3 穩定性分析如果系统在有限的激励下有有限的响应，则该系统为稳定性系统。

对于连续时间系统和离散时间系统，判定其是否是稳定系统有着不同的方法。

3.1 离散时间系统稳定性分析对于离散时间系统，其稳定性判定比较简单，一般有两个方法，一是看其单位函数响应H（k）是否满足绝对可和，若是，则系统稳定；第二个方法比较常用，令D（s）=0求其特征根，若特征根的绝对值都小于1，则系统稳定。

3.2 连续时间系统稳定性分析通过这些表达式，可以计算出所有的An，从而判断系统的稳定。

4 结论经过上述分析与总结，对于离散时间系统的定义和响应求解都有了清晰的思路，求解响应的时域法和变换域法都比较简单，两者的适用情景没有明确的区别，一般两种方法都适用，无非是哪种方法更加简单而已。

如果只是单单求解零状态响应或零输入响应时，使用时域法会更加简便。

如果要求解全响应，则使用变换域分析更简单。

另外，系统的稳定性分析，离散系统和连续系统有着不同的分析方法，对应的方法也都有两三种。

参考文献[1]张永瑞.信号与系统（精编版）[M].西安：西安电子科技大学出版社，2014.[2]徐亚宁，苏启常.信号与系统（第三版）[M].北京：电子工业出版社，2011.[3]张晔.信号与系统[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.。

f (k ) (k i) f (i)

3.2 单位序列响应和阶跃响应
( 2)单 位 阶跃 序 列 1 k 0 (k ) 0 k 0 (k )
移位单位阶跃序列 (k i ) 1 k i 0 k i
(k 2)
11Fra bibliotek0
1 2 3
k
k
0
1 2 3 4 5
3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)=2, 激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
Czi1=1 , Czi2= – 2
所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
3.1 LTI离散系统的响应 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0

电子信息工程系实验报告课程名称：数字信号处理成绩：实验项目名称：实验1 离散时间信号与系统的傅里叶分析时间：指导教师（签名）：班级：电信092 姓名：XXX 学号：910706201实验目的:用傅里叶变换对离散时间信号和系统进行频域分析。

实验环境:计算机、MATLAB软件实验原理：对信号进行频域分析即对信号进行傅里叶变换。

对系统进行频域分析即对其单位脉冲响应进行傅里叶变换，得到系统的传输函数；也可由差分方程经过傅里叶变换直接求其传输函数，传输函数代表的就是频率响应特性。

而传输函数是w的连续函数，计算机只能计算出有限个离散频率点的传输函数值，故可在0～2∏之间取许多点，计算这些点的传输函数的值，并取它们的包络，所得包络即所需的频率特性。

实验内容和步骤:1、已知系统用下面差分方程描述：y(n)=x(n)+ay(n-1)，试在a=0.95和a=0.5 两种情况下用傅立叶变换分析系统的频率特性。

要求写出系统的传输函数，并打印|H(e jω)|~ω曲线。

解：B=1;A=[1,-0.95]; [H,w]=freqz(B,A,'whole');subplot(1,3,1);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);grid on;xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');title('幅频响应特性');axis([0,2,0,2.5]);B=1;A=[1,-0.5];[H,w]=freqz(B,A,'whole');subplot(1,3,3);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);grid on;xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');title('幅频响应特性');axis([0,2,0,2.5]);图形如下图1、2所示：图1 a=0.95时的幅频响应特性图2 a=0.5时的幅频响应特性2、已知两系统分别用下面差分方程描述: y1(n)=x(n)+x(n-1) y2(n)=x(n)-x(n-1)试分别写出它们的传输函数，并分别打印|H(e jω)| ~ω曲线。

(控制系统)
Communication （通信）
System Identification （系统辨识）
Statistics
（统计）
Neural Network
(神经网络)
例：
z=peaks; surf(z)；
与本章内容有关的MATLAM文件
1. rand.m 用来产生均值为0.5、幅度在 0~1之间均匀分布的伪白噪声: u=rand(N)
sin c(t) 0
t k
sin c(t) t为其它
对离散信号，相应的sinc函数定义为:
sin c() sin(N) sin()
4. conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是：y=conv(x,h)
5． xcorr: 其互相关和自相关。格式是： (1)rxy=xcorr(x,y) ： 求 x,y 的 互 相 关 ； (2)rx=xcorr(x,M,’flag’）：求x的自相关，M： rx的单边长度，总长度为2M+1；‘flag’是定 标标志，若 flag=biased， 则表示是“有偏” 估计，需将rx(m)都除以N，若flag=unbiased, 则表示是“无偏”估计，需将rx(m)都除以 （N－abs(m)）；若’flag’缺省，则rx不定标。 M和‘flag’同样适用于求互相关。
而： y(n k) (n k)x(n k)
所以： y(n k) T[x(n k)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 是因果的，但不是稳定的
例2： y(n) ay(n 1) x(n)
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B

解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ]
（1) 确定h[k]的形式
特征方程为 特征根为
r 2 3r 2 0 r1 1, r2 2
h[k ] C1 (1) k C 2 (2) k , k 0
2. 单位脉冲响应的求解
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
谢 谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来
源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ] (3) 确定齐次解的待定系数 代入初始条件
h[0] C1 C2 1, h[1] C1 2C2 3
C1=－1，C2= 2
h[k ] [(1) k 2(2) k ]u[k ]
h [k]
1. 单位脉冲响应的定义
若描述离散时间LTI系统的常系数线性差分方程为

a y[k i] b x[k j ]
i 0 i j 0 j
n
m
则离散时间LTI系统的单位脉冲响应h[k]应满足

i 0
n
ai h[k i] b jd [k j ]
j 0
m
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k ] 3 y[k 1] 2 y[k 2] x[k ] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
选择初始条件基本原则是必须将d[k]的作用体现在初始条件中 解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ] (2) 求等效初始条件 对于因果系统有h[－1] = h[－2] = 0，代入上面方程可推出 h[0] d [0] 3h[1] 2h[2] 1

系统的时间响应分析时间响应分析是探索系统对输入信号做出反应的一种方法。

在这个过程中，我们研究系统输出在不同时间点的行为，以便更好地理解和预测系统的性能和稳定性。

在进行时间响应分析之前，我们需要了解输入信号和系统的数学模型。

输入信号可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号。

系统的数学模型可以是差分方程、微分方程、差分方程的递归关系等形式。

在时间响应分析中，最常用的分析方法是通过求解系统的微分方程或差分方程获得其输出。

对于连续时间系统，我们通常使用微分方程；对于离散时间系统，我们通常使用差分方程。

在实际应用中，我们可以使用不同的方法来获得系统的时间响应。

其中最常见的方法是使用拉普拉斯变换和傅里叶变换。

拉普拉斯变换通常用于连续时间系统，而傅里叶变换则更适用于离散时间系统。

通过进行时间响应分析，我们可以获得系统的重要性能指标，如稳定性、阻尼比、自然频率等。

这些指标对于系统设计和控制至关重要。

通过对时间响应分析的研究，我们可以了解系统对不同输入信号的响应速度、衰减程度以及是否能达到稳态。

此外，时间响应分析还有助于系统的故障诊断和故障排除。

通过观察系统的时间响应，我们可以判断系统是否存在故障，并进一步确定故障的来源和性质。

总之，时间响应分析是一种重要的系统分析方法，可以帮助我们了解系统的性能和稳定性。

通过对系统输出在不同时间点的观察和分析，我们可以获得系统的重要性能指标，并进一步进行系统设计和控制的优化。

时间响应分析是系统控制理论中的一项重要内容，它用于研究系统对输入信号的响应情况。

通过分析系统在不同时间点的输出行为，我们可以获得有关系统的重要信息，例如系统的稳定性、阻尼比、自然频率等。

这些信息对于系统设计、控制和故障排除非常关键。

在进行时间响应分析之前，我们首先需要了解系统的输入信号和数学模型。

输入信号可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号，而系统的数学模型可以是差分方程、微分方程、递推关系等表示。

在时间响应分析中，最常用的方法是通过求解系统的微分方程或差分方程来获得系统的输出。

3.因为 e 是j 周期为 的2周期函数，所以系统的频响
特性 H 为e j周期为 的周2期函数。
4. H e j 是关于 的 偶函数， 是关于 的奇函数。
5．小结
1. 系统的频响特性 H e j

H z
z
e j

H
e j
e j
H e j ：幅~ 频特性，输出与输入序列的幅度之比
：~ 相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
因 而变化，影响输出的幅度与相位。
1. 三种变换的比较
2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
j
s j z e sT
拉氏变换

t
图8-9-1 连续信号的理想抽样
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
2．理想抽样信号的z变换
3．理想抽样信号的傅里叶变换
4. 序列的傅里叶变换
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
根据拉普拉斯变换的定义
X s s



xt
n

t

nT



e
st
dt

n
§8.10 离散时间系统的 频率响应特性
主要内容
序列的傅里叶变换
傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
离散时间系统的频率响应特性