平面立体及其截交线

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平面与立体表面的交线截交线

§3–3 平面与立体表面的交线—截交线
生产中一些零件的外形可以看成是基本体被平面切割后所形成的。
要绘制切割立体的投影图，就应掌握截交线的画法。
§3–3 平面与立体表面的交线—截交线
截交线的形成及其基本概念：截平面—切割立体的平面。截断体—被平面截切后的立体。截交线—立体被平面切割后在立体表面上产生的交线。
3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上的 A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中的漏线并画出其俯视图。
作图步骤：
例2：试画出截切三棱锥的水平投影和侧面投影。作图步骤：
二、回转体的截交线
1、圆柱的截交线截交线形状分析:根据截平面与圆柱轴线的相
对位置不同，圆柱截交线有下列三种形状。
例：补全开槽半球的水平投影和侧面投影。作图步骤如下：
4、组合回转体的截交线组合回转体：由具有公共轴线的若干回转体所组成的立体。
组合回转体截交线的作图分析：作组合回转体截交线时，首先要确定该立体的各组成部分，以及每一部分被截切后所产生的截交线的形状。作图时要在投影图中准确定出各形体的分界线位置，此外还要注意处理好各形体衔接处的图线。
圆—截平面垂直于轴线椭圆—截平面倾斜于轴线矩形—截平面平行于轴线
例1：完成圆柱被正垂面截切后的投影。作图分析：由于截平面倾斜于圆柱轴线截切，故截交线为一椭圆。该椭圆的正面投影积聚为一直线，水平投影被积聚于圆柱的积聚性投影—圆上。椭圆的侧面投影可根据圆柱面上取点的方法求出。
例1：完成圆柱被正垂面截切后的投影。
作图步骤：
例2：补全接头的正面投影和水平投影。作图分析：从俯视图可看出该圆柱左端开
一槽，槽的前后两侧面在俯视图中积聚为两直线，需要补出槽的正面投影。

画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)

圆
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的截交线的已知投影？空间形状？截交线的侧面投影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。
图3-30
㈢圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的水平面与圆球面的交交线的投影，在侧视上为线的投影，在俯视图上部分圆弧，在俯视图上积为部分圆弧，在侧视图聚为直线。上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和侧面投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线注意：面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影要逐个截平面分析和绘制截交线和水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查尤其注意检查截截平面之间的交线。面投影中积聚。交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积聚，三个截面的交线积聚成三角形的三个顶点。找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念

截交线的概念性质及平面立体截交线的作法.

《截交线的概念性质及平面立体截交线的作法》
我们把假想用来截割形体的平面，成为截平面。截平面与形体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形称为截面（或断面）。平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性：
1．截交线的形状一般都是封闭的平面多边形或曲线。 2．截交线是平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
《截交线的概念性质及平面立体截交线的作法》
带缺口的平面立体的投影
画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚。而画切口轮廓线的投影，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，切口的截交线就是由数条截交线组合而成。例：完成带切口的四棱柱的投影（图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗实线表示留下的部分）。
截交线的概念性质及平面立体截交线的作法平面立体的截交线一立体表面的截交线平面与锥面的圆柱面与锥面的交线截交线的概念性质及平面立体截交线的作法我们把假想用来截割形体的平面成为截平面
《截交线的概念性质及平面立体截交线的作法》
平面立体的截交线 • 一、立体表面的截交线
圆柱面与锥面的交线
平面与锥面的交线
《截交线的概念性质及平面立体截交线的作法》
平面立体截交线的特征：平面立体截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。
求作平面立体截交线的方法有两种方法：（1）交点法：即先求出平面立体的棱线、底边与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。
1
《截交线的概念性质及平面立体截交线的作法》
棱柱上的截交线【实例】如下图所示，求作四棱柱被正垂面截断后的投影。解：（1）分析

§平面与立体相交求截交线

线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个

8 平面与立体相交-截交线

截切立体
二、截交线的性质：截交线的性质： 1、截交线是截平面与立体表面的共有线，线上的任意一点都是截平面与立体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。 3、截交线的形状取决于立体表面形状，以及截平面与立体的相对位置。
截交线
三、截交线的求法：截交线的求法：画截切立体的投影时，为了清楚地表达该立体的形状，既要画出截切立体表面上截交线的投影，又要画出立体轮廓线的投影。
[例题例题1] 求圆锥截交线。例题
1.分析 1.分析截平面为正垂面截交线为椭圆；，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；为椭圆；
3'
2.求出截交线上的特殊点 2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅳ； 3.求出一般点 3.求出一般点Ⅲ、 Ⅴ； 4.光滑顺次连接各点， 4.光滑顺次连接各点，作光滑顺次连接各点出截交线，判别可见性；出截交线，判别可见性； 5．整理轮廓线
五、平面与组合回转体相交
[例题1] 已知顶尖截切后的正面、侧面投影，求作水平投影。例题1]
分析：
a' g'h' d'e' • f '• • • • b' (c') a" • e" d" c"• • • • • b" h" f " g"
e
h • • f • g • • c •a • • d b
顶尖头是由圆锥和圆柱相连,被两个平面截切而成，轴线为侧垂线，截平面分别为侧平面和水平面。侧平面与圆柱轴线垂直，与圆柱的截交线为圆弧，正面投影积聚为直线，侧面投影为圆弧的实形。水平面平行于回转轴，与圆柱的截交线为开口矩形，与圆锥的截交线为双曲线，其正面和侧面投影均为直线。

铁道工程技术专业《平面立体的截交线》

第七页，共七页。
第二页，共七页。
二、平面立体截交线的求法
棱柱的截交线如下图，三棱柱的两面投影与正垂面 P的迹线PV，求作三棱柱的W面投影、P平面与三棱柱的截交线。
第三页，共七页。
二、平面立体截交线的求法
棱柱上截交线的求法
1 找到截平面与棱柱上若
干条棱线的交点
2 依次各点连线
3 判断可见性
4 整理轮廓线
第四页，共七页。
一、平面立体截交线
（1）定义：
截交线：截平面与平面立体外表的交线。截交点：截交线的顶点。断面：截交线所围成的平面图形。
（2）性质：
①由于平面立体的外表都具有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形。
②多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱面与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。
第一页，共七页。
二、平面立体截交线的求法
平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立体的形状特征，由具有截平面的平面特征。因此在看图或画图时，一般线应从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平面立体形状并画出其投影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截断面的形状并画出其投影。根本平面立体上切口的画法，主要是利用平面特性中“类似形〞这一投影特征来作图。
二、平面立体截交线的求法
例题1 求立体截切后的投影
4
1 （2 ）
5 （6
（3
6
3
4
6
5
2
1
Ⅲ
Ⅳ Ⅵ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅰ
第五页，共七页。
谢谢观看
第六页，共七页。
内容总结
一、平面立体截交线。①由于平面立体的外表都具有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形。截交线：截平面与平面立体外表的交线。平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立体的形状特征，由具有截平面的平面特征。因此在看图或画图时，一般线应从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平面立体形状并画出其投影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截断面的形状并画出其投影。谢谢观看

8.3平面立体的截交线

a(c)
b
a
1
Ⅰ Ⅱ
A B
3
s
Ⅲ
P C
2
b
求截交线
s s
2 1 a
S
3
PV 3
2
1
b
c c
a(c)
b
a
1
Ⅰ Ⅱ
A B
3
s
Ⅲ
P C
2
b
求截交线
3 2
PV
(3 )
1
2
1
1
3
2
例
求截交线
PV
4 (5 ) 3
2 1 (2) 1 5 4 3
m 3
整理轮廓线
b
【例】在四棱台切一个长方形槽，第一步要先画出四棱台的投影，然后再画长方形槽的投影。画长方形槽的投影，要先画主视图，请你分析一下这个模型，思考下列问题：（1）长方形槽的俯视图和左视图应该先画哪个视图？（2）画长方形槽的俯视图和左视图时，要不要从模型或立体图上测量尺寸？
2
5
1 4 3
例
补全带切口立体的投影
s
sHale Waihona Puke Ⅱ22N
M
1
a
m (n ) b(c)
1 n c a m b
Ⅰ
c n
1 a 2
s
m b
例
补全带切口立体的投影
s
s
2
2
3 1
a b m (n ) c 1 n a (c) m
3
b
a
1 2 n
c
s
（1）先画左视图后画俯视图；（2）画左视图时不用量尺寸，画俯视图时，从左视图上量槽底的宽，不能从立体图上量尺寸。

工程识图3.3 平面立体的截交线

4) 顺序连接。
s′
PV
3′ 2′ (4′ )
s〞
3〞
4〞
2〞
1′
1〞
a′
b′ (d′ )
c′ d〞 a〞( c〞) b〞 S
d
4
3
4
1 a
s3 c
D
2C
1
2
A
B
b
例12.求P、Q两平面与三棱锥SABC截交线的投影。
分析：正垂面P与三棱锥的两侧表面SAB和SAC相交于两段直线12和13。
水平面Q与两侧表面SAB和SAC相交于水平线24和34，它们分别与三棱锥
4)由2、2′求出2″；
由3、3′求出3″；
5)判断可见性
P细、虚Q线两；平其面它交交线线的可H见投，影画23成为粗不实可线见，a画4成 1
6) 顺序连接。
3″
b（′ c′） c″
c 3
2″ 4″
a″ b″
S
1
s
3
2 b
4 A
2 B
例13.已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切，求其H投影。
分析：物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂立体的
轮廓线重合，为已知。可以根据截交线的V、W投影求得其H投影
作图步骤：
1)截交线的H、W投影已知；
2)根据V、W投影求出H投影；
3)判断可见性
燕尾槽在长方体底部，不可
Y1
见，画成细虚线；其它交线可见，
Y2
画成粗实线；
Y1 Y2
4)注意俯视图左侧，因开燕尾槽，
应擦去线条。
底面的边AB和AC平行。P、Q两截平面相交于直线23。点1和点4位于SA
棱线上，其V投影1′和4′已知。

立体的截交线

1
4
9
9 3
5 7
求圆柱截交线
1'2' 3'4' 2' 4' 1'
解题步骤
3'
1．分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
24
13
求圆柱截交线
1'2' 2" 1"
解题步骤 1 分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；
3'4'
4"
3"
2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3 顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4 整理轮廓线。
24
13
求圆柱截交线
1' 4' 5' 3' 2' 2"
解题步骤
4" 1" 5" 3"
1．分析截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3．求一般点Ⅴ； 4．顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
侧平面 8 正垂面 4 2 1 6 5 3 7
9
水平面
圆柱截交线
9` (8``) 7` （8`） 6`` 2`` Y。 9`` 作图: (7``) 5`` 1``
1.求特殊点
5' （6`） 3` （4`） 1` （2`）
2.求一般点 3 判断可见性
4.检查

第5章平面立体的截交线

例2 补全水平投影和侧面投影
1’ 2’(3’) 3” 5” 4’(5’) 6’(7’) 6”
1” 2”
4” 7”
6
7
例3: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
P
4(5) 7
5 6 3
4
Ⅴ
2(367) 1(8) 7 5 6
2
1 Ⅷ
Ⅶ
Ⅳ Ⅵ Ⅲ
8
Ⅱ

8
Ⅰ
3
4
截交线的投影检查截交分析棱线的截交线的形状？求截交线特性？投影线的投影
例5 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影空间分析：
7' 6'（8'）
四棱锥被水平面切割，截交线应是平面多边形，其水平投影反映实形。侧面投影是一条线。
1'
（2'） 4' 5' （3'）
空间分析：
四棱锥被正垂面切割，截交线也应是平面多边形，其正面投影积聚为一条线，水平投影侧面投影小于实形的类似形。
完成作图:
多线擦除 1.将各点连成线 2.检查漏线和多线 3.判断可见性
注意不可见的线
1
2
5.3 棱锥的截交线
例4 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析:
截平面
截交线空间及投影分析:
截交线的正面投影
水平投影和侧面投影是小于原形的类似形
截平面是正垂面，截交线在正立面内积聚为一线
截平面
截交线空间是三边形
s' 3' 1' a' a 2´ b' 1 c' a" S 1"
s"

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上底棱线
下底主视 2.画法: 1）画上底和下底的水平投影正面投影和侧面投影 2）画棱线的三面投影并区分线面的可见性
四棱柱的画法：表面上的点、线
例1 ：已知k‘,求k,k”.
例2 ：已知线a‘b’c‘,求abc、a” b”c”。 (k’)
a' b’ k c’ (k”)
a”
b” (c”)
c
a b
棱柱表面上取点——利用积聚性取点
a c' c” a •找出点在积聚面上的投影.
•根据点的投 A 影规律，作出 C 其它投影。
c a •不可见的点加“（）”
3.2立体表面的截交线
截平面
截切——用一个与立体相交的平面，截去立体的一部分。
截交线
截平面——用以截切立体的平面。
截交线——截平面与立体表面的交线。
一.四棱柱的画法
1.构成: 2.画法:
最前棱线
最前棱线
上底
最左棱线
最左棱线
棱面
最左棱线
下底
棱线最前棱线
四棱柱上下底面的平行水平投影面，水平投影反映实形。四棱柱的四条棱线是铅垂线，四个棱面是铅垂面，有积聚性；正面投影是具有类似形的矩形，侧面投影亦是。
一、棱柱的画法（以六棱柱为例）
1.构成: 上底、下底和棱线围成
二、棱锥的画法
以四棱锥为例
1. 构成：下底、锥顶和棱线围成
2. 画法： 1) 画下底的水平投影 2) 画下底的正面投影、侧面投影 3) 画锥顶的三面投影 4) 画棱线的三面投影
二、平面截棱锥
1）截平面平行于底面 QV
a’
a
七、平面截棱锥
二、平面截棱锥
2)截平面平行于某一棱线
QV s’ s”
第三章平面立体及其截交线

3.1平面立体的投影

3.2立体表面的截交线 3.3物体的投影与视图

3.1、平面立体的投影
依据表面性质不同，立体可分为：平面立体和曲面立体。平面立体：表面全是平面的立体。曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。
平面立体
曲面立体
在工程上，将立体的三面投影称为三视图。
(1)
例题：完成六棱柱截切后的侧面投影
虚线
注意平面图形投影的类似形和积聚性
棱锥的投影
V Z s' S a' X s” s' Z s”
b' A B
a” C (c”) O
s c b b”
a' X a
b'
c'
O
c
a” (c”)
b”
Y
W
a
s
Y
பைடு நூலகம்
b
Y
H
三棱锥相对于投影面的位置：底面为水平面，后侧棱面为侧垂面。
3
5
1
2 4
6
补充例题求做立体被切割后的投影,补全它的水平和正面投影
2’
1’ 3’(4’)
2
4 1
4 1
3
3
谢谢
上
上
左
右
后
前
下后左右
下
前
补充例题
例已知带切口四棱台的主视图，求其左视图和俯图例视图,并标注尺寸。
15
18 0 • 2 0 • 4
40
三、例综合举例已知带切口棱台的主视图、左视图，求其俯视图.
6' 4'（5'） 1' 2'（3'）
补充例题求立体截切后的投影，补全侧面投影
e’
e”
c’ a’ f’(g’) b’ g a e a”(c”) c g” f” b”
s
f
b
二、平面截棱锥
3)截平面过锥顶
PV S’ S”
a’(b’) b
b”
a”
s a
二、平面截棱锥
4）截平面与所有的棱线相交且倾斜于底面 c’ c” a”
a’
b’
b”
a b
c
已知带切口棱锥的主视图，求其俯视图、左视图.
平行
平行
平行
平行
3.3 物体的投影与视图
一、物体的三视图
物体在正投影面上的投影称为主视图，水平投影面上的投影称为俯视图，侧投影面上的投影称为左视图
（主视图）
（左视图）
（俯视图）
物体的三视图
三视图的投影规律主、俯视图长对正；
主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
三、三视图与物体的方位
主、俯视图的左、右边就反映了物体的左、右方；主、左视图的上、下边就反映了物体的上、下方；在俯、左视图中，远离主视是前面，反之，是后方。上、下、左、右、前、后这六个方位是画图、看图时应该特别注意到的。
3’ 2’ (4’) (3”)
4”
1”
2”
4 R 1 2
3 RV
1’
4 1 2 3
二、平面截六棱柱 1.完成六棱柱截切后的水平投影和侧面投影
PV
2.完成六棱柱截切后的水平投影和侧面投影
PV
PV
3.完成六棱柱截切后的水平投影和侧面投影
PV
例题：完成四棱柱截切后的侧面投影
作图步骤： 1）认识原型想整体 2）分析切口 3）检查多折线和可见性 4）描粗图线
截断面——因截平面的截切，在立
体上形成的平面。
截断面
1、截交线是截平面与立体表面的共有线，线上的任意一点都是截平面与立体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。
一、平面截四棱柱 1）截平面
Q 垂直于投影面
1’
2’
2
1
QH
2）截平面 Q 平行于棱线
QH
1
3.2 立体表面的截交线
例1：正垂面R截切四棱柱，求截交线的投影。