《算法设计与分析实用教程》习题参考解答

算法设计与分析基础习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—山羊C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入：正整数n//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表‖2,2*‖排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖)第2章 习题2.17.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。

算法设计与分析习题答案算法设计与分析是计算机科学中一个重要的领域，它涉及到算法的创建、优化以及评估。

以下是一些典型的算法设计与分析习题及其答案。

习题1：二分查找算法问题描述：给定一个已排序的整数数组，编写一个函数来查找一个目标值是否存在于数组中。

答案：二分查找算法的基本思想是将数组分成两半，比较中间元素与目标值的大小，如果目标值等于中间元素，则查找成功；如果目标值小于中间元素，则在左半部分继续查找；如果目标值大于中间元素，则在右半部分继续查找。

这个过程会不断重复，直到找到目标值或搜索范围为空。

```pythondef binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return Trueelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return False```习题2：归并排序算法问题描述：给定一个无序数组，使用归并排序算法对其进行排序。

答案：归并排序是一种分治算法，它将数组分成两半，分别对这两半进行排序，然后将排序好的两半合并成一个有序数组。

```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]merge_sort(left_half)merge_sort(right_half)i = j = k = 0while i < len(left_half) and j < len(right_half): if left_half[i] < right_half[j]:arr[k] = left_half[i]i += 1else:arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1while i < len(left_half):arr[k] = left_half[i]i += 1k += 1while j < len(right_half):arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]merge_sort(arr)print("Sorted array is:", arr)```习题3：动态规划求解最长公共子序列问题问题描述：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。

算法分析与设计作业参考答案《算法分析与设计》作业参考答案作业⼀⼀、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。

2.程序：程序是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。

⼆、简答题：1.算法需要满⾜哪些性质？简述之。

答：算法是若⼲指令的有穷序列，满⾜性质：（1）输⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。

（2）输出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。

（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。

（4）有限性：算法中每条指令的执⾏次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。

2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。

答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：（1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；（2）该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质；（3）利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；（4）该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。

3.简要分析在递归算法中消除递归调⽤，将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法。

答：将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法主要有：（1）采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。

该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

（2）⽤递推来实现递归函数。

（3）通过Cooper 变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。

后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。

三、算法编写及算法应⽤分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i do if a[j]交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。

答：排序算法的基本运算步为元素⽐较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求⽐较次数与n 的关系。

（1）设⽐较⼀次花时间1；（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：∑-=-=in j i n 1)(1（3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计⼀个分治算法计算⼀棵⼆叉树的⾼度。

计算机算法设计与分析习题及答案一．选择题1、二分搜索算法是利用 A 实现的算法;A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法2、下列不是动态规划算法基本步骤的是 A ;A、找出最优解的性质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是A 的一搜索方式;A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是 A ;A、子集树B、排列树C、深度优先生成树D、广度优先生成树5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是B ;A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法6、衡量一个算法好坏的标准是 C ;A 运行速度快B 占用空间少C 时间复杂度低D 代码短7、以下不可以使用分治法求解的是 D ;A 棋盘覆盖问题B 选择问题C 归并排序D 0/1背包问题8. 实现循环赛日程表利用的算法是A ;A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法9．下面不是分支界限法搜索方式的是D ;A、广度优先B、最小耗费优先C、最大效益优先D、深度优先10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是D ;A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法11.备忘录方法是那种算法的变形; BA、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为B ;A、On2nB、OnlognC、O2nD、On13．分支限界法解最大团问题时,活结点表的组织形式是B ;A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组14．最长公共子序列算法利用的算法是B;A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是A ;A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法16.下面是贪心算法的基本要素的是C ;A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D、定义最优解17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素 DA.满足显约束的值的个数B. 计算约束函数的时间C.计算限界函数的时间D. 确定解空间的时间18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略BA．递归函数 B.剪枝函数 C;随机数函数 D.搜索函数19. D是贪心算法与动态规划算法的共同点;A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D、最优子结构性质20. 矩阵连乘问题的算法可由 B 设计实现;A、分支界限算法B、动态规划算法C、贪心算法D、回溯算法21. 分支限界法解旅行售货员问题时,活结点表的组织形式是 A ;A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组22、Strassen矩阵乘法是利用A 实现的算法;A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法23、使用分治法求解不需要满足的条件是 A ;A 子问题必须是一样的B 子问题不能够重复C 子问题的解可以合并D 原问题和子问题使用相同的方法解24、下面问题 B 不能使用贪心法解决;A 单源最短路径问题B N皇后问题C 最小生成树问题D 背包问题25、下列算法中不能解决0/1背包问题的是 AA 贪心法B 动态规划C 回溯法D 分支限界法26、回溯法搜索状态空间树是按照 C 的顺序;A 中序遍历B 广度优先遍历C 深度优先遍历D 层次优先遍历27．实现合并排序利用的算法是A ;A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法28．下列是动态规划算法基本要素的是D ;A、定义最优解B、构造最优解C、算出最优解D、子问题重叠性质29．下列算法中通常以自底向下的方式求解最优解的是 B ;A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法30．采用广度优先策略搜索的算法是A ;A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法31、合并排序算法是利用 A 实现的算法;A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法32、背包问题的贪心算法所需的计算时间为 BA、On2nB、OnlognC、O2nD、On33．实现大整数的乘法是利用的算法C ;A、贪心法B、动态规划法C、分治策略D、回溯法34．0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为AA、On2nB、OnlognC、O2nD、On35．采用最大效益优先搜索方式的算法是A;A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法36．贪心算法与动态规划算法的主要区别是B;A、最优子结构B、贪心选择性质C、构造最优解D、定义最优解37. 实现最大子段和利用的算法是B ;A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法38.优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是 C ;A、先进先出B、后进先出C、结点的优先级D、随机39.背包问题的贪心算法所需的计算时间为 B ;A、On2nB、OnlognC、O2nD、On40、广度优先是A 的一搜索方式;A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法41. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的 B ;A、重叠子问题B、最优子结构性质C、贪心选择性质D、定义最优解42．采用贪心算法的最优装载问题的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序,故算法的时间复杂度为 B ;A 、On2nB 、OnlognC 、O2nD 、On43. 以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为 D ;A 、分支界限算法B 、概率算法C 、贪心算法D 、回溯算法44. 实现最长公共子序列利用的算法是B ;A 、分治策略B 、动态规划法C 、贪心法D 、回溯法45. Hanoi 塔问题如下图所示;现要求将塔座A 上的的所有圆盘移到塔座B 上,并仍按同样顺序叠置;移动圆盘时遵守Hanoi 塔问题的移动规则;由此设计出解Hanoi 塔问题的递归算法正确的为：B46. 动态规划算法的基本要素为 CA. 最优子结构性质与贪心选择性质 B ．重叠子问题性质与贪心选择性质C ．最优子结构性质与重叠子问题性质 D. 预排序与递归调用 47. 能采用贪心算法求最优解的问题,一般具有的重要性质为： AA. 最优子结构性质与贪心选择性质 B ．重叠子问题性质与贪心选择性质C ．最优子结构性质与重叠子问题性质 D. 预排序与递归调用48. 回溯法在问题的解空间树中,按 D 策略,从根结点出发搜索解空间树;A.广度优先B. 活结点优先C.扩展结点优先D. 深度优先49. 分支限界法在问题的解空间树中,按 A 策略,从根结点出发搜索解空间树;A.广度优先B. 活结点优先C.扩展结点优先D. 深度优先50. 程序块 A 是回溯法中遍历排列树的算法框架程序;A.B. C. D. 51. 常见的两种分支限界法为DA. 广度优先分支限界法与深度优先分支限界法；B. 队列式FIFO 分支限界法与堆栈式分支限界法；C. 排列树法与子集树法；D. 队列式FIFO 分支限界法与优先队列式分支限界法；1.算法的复杂性有 时间 复杂性和 空间 ;2、程序是 算法用某种程序设计语言的具体实现;3、算法的“确定性”指的是组成算法的每条 指令 是清晰的,无歧义的;4. 矩阵连乘问题的算法可由 动态规划 设计实现;5、算法是指解决问题的 一种方法 或 一个过程 ;6、从分治法的一般设计模式可以看出,用它设计出的程序一般是 递归算法 ;7、问题的 最优子结构性质 是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征;8、以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为 回溯法 ;9、计算一个算法时间复杂度通常可以计算 循环次数 、 基本操作的频率 或计算步; Hanoi 塔A. void hanoiint n, int A, int C, int B{ if n > 0{ hanoin-1,A,C, B;moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; }} B. void hanoiint n, int A, int B, int C { if n > 0 { hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; } }C. void hanoiint n, int C, int B, int A { if n > 0 { hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; } }D. void hanoiint n, int C, int A, int B { if n > 0 { hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; } } void backtrack int t{ if t>n outputx; else for int i=t;i<=n;i++ { swapxt, xi; if legalt backtrackt+1; swapxt, xi; } } void backtrack int t { if t>n outputx;elsefor int i=0;i<=1;i++ { xt=i; if legalt backtrackt+1; } }void backtrack int t { if t>n outputx; else for int i=0;i<=1;i++ { xt=i; if legalt backtrackt-1; } }voidbacktrack int t{ if t>n outputx; else for int i=t;i<=n;i++ { swapxt, xi; if legalt backtrackt+1;}}10、解决0/1背包问题可以使用动态规划、回溯法和分支限界法,其中不需要排序的是动态规划 ,需要排序的是回溯法 ,分支限界法 ;11、使用回溯法进行状态空间树裁剪分支时一般有两个标准：约束条件和目标函数的界,N皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型,其中同时使用约束条件和目标函数的界进行裁剪的是 0/1背包问题 ,只使用约束条件进行裁剪的是 N皇后问题 ;12、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素,也是贪心算法与动态规划算法的主要区别;13、矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现;14.贪心算法的基本要素是贪心选择性质和最优子结构性质 ;15. 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题 ,先求解子问题 ,然后从这些子问题的解得到原问题的解;16.算法是由若干条指令组成的有穷序列,且要满足输入、输出、确定性和有限性四条性质;17、大整数乘积算法是用分治法来设计的;18、以广度优先或以最小耗费方式搜索问题解的算法称为分支限界法 ;19、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素,也是贪心算法与动态规划算法的主要区别;20.快速排序算法是基于分治策略的一种排序算法;21.动态规划算法的两个基本要素是. 最优子结构性质和重叠子问题性质 ;22.回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法;23.分支限界法主要有队列式FIFO 分支限界法和优先队列式分支限界法;24.分支限界法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法;25.回溯法搜索解空间树时,常用的两种剪枝函数为约束函数和限界函数 ;26.任何可用计算机求解的问题所需的时间都与其规模有关;27.快速排序算法的性能取决于划分的对称性 ;28.所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择,即贪心选择来达到 ;29.所谓最优子结构性质是指问题的最优解包含了其子问题的最优解 ;30.回溯法是指具有限界函数的深度优先生成法 ;31.用回溯法解题的一个显着特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间;在任何时刻,算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径;如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为hn,则回溯法所需的计算空间通常为 Ohn ;32.回溯法的算法框架按照问题的解空间一般分为子集树算法框架与排列树算法框架;33.用回溯法解0/1背包问题时,该问题的解空间结构为子集树结构;34.用回溯法解批处理作业调度问题时,该问题的解空间结构为排列树结构;35.旅行售货员问题的解空间树是排列树 ;三、算法填空1.背包问题的贪心算法void Knapsackint n,float M,float v,float w,float x{//重量为w1..n,价值为v1..n的 n个物品,装入容量为M的背包//用贪心算法求最优解向量x1..nint i; Sortn,v,w;for i=1;i<=n;i++ xi=0;float c=M;for i=1;i<=n;i++{if wi>c break;xi=1;c-=wi;}if i<=n xi=c/wi;}2.最大子段和: 动态规划算法int MaxSumint n, int a{int sum=0, b=0； //sum存储当前最大的bj, b存储bjfor int j=1； j<=n； j++{ if b>0 b+= aj ；else b=ai; ； //一旦某个区段和为负,则从下一个位置累和 ifb>sum sum=b;}return sum；}3.贪心算法求活动安排问题template<class Type>void GreedySelector int n, Type s, Type f, bool A{A1=true;int j=1;for int i=2;i<=n;i++if si>=fj{ Ai=true;j=i;}else Ai=false;}4.快速排序template<class Type>void QuickSort Type a, int p, int r{if p<r{int q=Partitiona,p,r;QuickSort a,p,q-1; //对左半段排序QuickSort a,q+1,r; //对右半段排序}}5. 回溯法解迷宫问题迷宫用二维数组存储,用'H'表示墙,'O'表示通道int x1,y1,success=0; //出口点void MazePathint x,int y{//递归求解:求迷宫maze从入口x,y到出口x1,y1的一条路径mazexy=''; //路径置为if x==x1&&y==y1 success=1; //到出口则成功else{if mazexy+1=='O' MazePathx,++y;//东邻方格是通路,向东尝试if success&&mazex+1y=='O' MazePath++x,y;//不成功且南邻方格是通路,向南尝试if success&&mazexy-1=='O' MazePathx,--y;//不成功且西邻方格是通路,向西尝试if success&&mazex-1y=='O' MazePath--x,y;//不成功且北邻方格是通路,向北尝试}if success mazexy=''; //死胡同置为}四、算法设计题1. 给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1,现要在这n个元素中找出一特定元素x,返回其在数组中的位置,如果未找到返回-1;写出二分搜索的算法,并分析其时间复杂度;template<class Type>int BinarySearchType a, const Type& x, int n{//在a0:n中搜索x,找到x时返回其在数组中的位置,否则返回-1Int left=0; int right=n-1;While left<=right{int middle=left+right/2;if x==amiddle return middle;if x>amiddle left=middle+1;else right=middle-1;}Return -1;}时间复杂性为Ologn2. 利用分治算法写出合并排序的算法,并分析其时间复杂度void MergeSortType a, int left, int right{if left<right {//至少有2个元素int i=left+right/2; //取中点mergeSorta, left, i;mergeSorta, i+1, right;mergea, b, left, i, right; //合并到数组bcopya, b, left, right; //复制回数组a}}算法在最坏情况下的时间复杂度为Onlogn;3.N皇后回溯法bool Queen::Placeint k{ //检查xk位置是否合法for int j=1;j<k;j++if absk-j==absxj-xk||xj==xk return false;return true;}void Queen::Backtrackint t{if t>n sum++;else for int i=1;i<=n;i++{xt=i;if 约束函数 Backtrackt+1;}}4.最大团问题void Clique::Backtrackint i // 计算最大团{ if i > n { // 到达叶结点for int j = 1; j <= n; j++ bestxj = xj;bestn = cn; return;}// 检查顶点 i 与当前团的连接int OK = 1;for int j = 1; j < i; j++if xj && aij == 0 // i与j不相连{OK = 0; break;}if OK { // 进入左子树xi = 1; cn++;Backtracki+1;xi = 0; cn--; }if cn+n-i>bestn { // 进入右子树xi = 0;Backtracki+1; }}5. 顺序表存储表示如下：typedef struct{RedType rMAXSIZE+1; //顺序表int length; //顺序表长度}SqList;编写对顺序表L进行快速排序的算法;int PartitionSqList &L,int low,int high //算法10.6b{//交换顺序表L中子表L.rlow..high的记录,枢轴记录到位,并返回其所在位置, //此时在它之前后的记录均不大小于它.int pivotkey;L.r0=L.rlow; //用子表的第一个记录作枢轴记录pivotkey=L.rlow.key; //枢轴记录关键字while low<high //从表的两端交替地向中间扫描{while low<high&&L.rhigh.key>=pivotkey --high;L.rlow=L.rhigh; //将比枢轴记录小的记录移到低端while low<high&&L.rlow.key<=pivotkey ++low;L.rhigh=L.rlow; //将比枢轴记录大的记录移到高端}L.rlow=L.r0; //枢轴记录到位return low; //返回枢轴位置}void QSortSqList &L,int low,int high{//对顺序表L中的子序列L.rlow..high作快速排序int pivotloc;if low<high //长度>1{pivotloc=PartitionL,low,high; //将L.rlow..high一分为二QSortL,low,pivotloc-1; //对低子表递归排序,pivotloc是枢轴位置 QSortL,pivotloc+1,high; //对高子表递归排序}}void QuickSortSqList &L{//对顺序表L作快速排序QSortL,1,L.length; }。

算法设计与分析常见习题及详解⽆论在以后找⼯作还是⾯试中，都离不开算法设计与分析。

本博⽂总结了相关算法设计的题⽬，旨在帮助加深对贪⼼算法、动态规划、回溯等算法的理解。

1、计算下述算法执⾏的加法次数：输⼊：n =2^t //t 为整数输出：加法次数 k K =0while n >=1 do for j =1 to n do k := k +1 n = n /2return k解析：第⼀次循环执⾏n次加法，第⼆次循环执⾏1/2次加法，第三次循环执⾏1/次加法…因此，上述算法执⾏加法的次数为==2n-12、考虑下⾯每对函数 f(n) 和 g(n) ，如果它们的阶相等则使⽤Θ记号，否则使⽤ O 记号表⽰它们的关系解析：前导知识：，因为解析：，因为解析:，因为解析：解析:3、在表1.1中填⼊ true 或 false解析：利⽤上题的前导知识就可以得出。

2=21/4n +n +21n +41...+1n +n −n +21n −21n +41....−1f (n )=(n −2n )/2，g (n )=6n1<logn <n <nlogn <n <2n <32<n n !<n ng (n )=O (f (n ))f (n )=Θ(n ),g (n )=2Θ(n )f (n )=n +2,g (n )=n n 2f (n )=O (g (n ))f (n )=Θ(n ),g (n )=Θ(n )2f (n )=n +nlogn ,g (n )=n nf (n )=O (g (n ))f (n )=Θ(nlogn ),g (n )=Θ(n )23f (n )=2(log ),g (n )=n 2logn +1g (n )=O (f (n ))f (n )=log (n !),g (n )=n 1.05f (n )=O (g (n ))4、对于下⾯每个函数 f(n),⽤f(n) =Θ(g(n))的形式，其中g(n)要尽可能简洁，然后按阶递增序排列它们（最后⼀列）解析：最后⼀个⽤到了调和公式：按阶递增的顺序排列：、、、、、、、、、(n −2)!=Θ((n −2)!)5log (n +100)=10Θ(logn )2=2n Θ(4)n 0.001n +43n +31=Θ(n )4(lnn )=2Θ(ln n )2+3n logn =Θ()3n 3=n Θ(3)n log (n !)=Θ(nlogn )log (n )=n +1Θ(nlogn )1++21....+=n1Θ(logn )=∑k =1nk 1logn +O (1)1++21....+n 15log (n +100)10(lnn )2+3n logn log (n !)log (n )n +10.001n +43n +313n 22n (n −2)!5、求解递推⽅程前导知识：主定理前导知识：递归树：例⼦：递归树是⼀棵节点带权的⼆叉树，初始递归树只有⼀个结点，标记为权重W(n)，然后不断进⾏迭代，最后直到树种不再含有权为函数的结点为⽌，然后将树根结点到树叶节点的全部权值加起来，即为算法的复杂度。

《算法设计与分析》复习题参考答案一、概念题：请解释下列术语。

1．数据元素的集合。

2．队列是一个线性表，限制为只能在固定的一端进行插入，在固定的另一端进行删除。

3．对于算法a，如果存在一多项式p()，使得对a的每个大小为n的输入，a的计算时间为o(p(n))，则称a具有多项式复杂度4．二叉树的层数i与该层上的结点数n的关系为：n(i)=i2。

5．如果可满足性约化为一个问题L，则称该问题为NP-难度的。

6．算法就是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。

7．多数据单指令流8．若图的任意两个节点间均存在路径可达，则称该图为连通图。

9. 是指一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作。

10．算法的复杂度只能用指数函数对其限界。

11．函数或过程直接或间接调用它自己。

12．和高度相同的满二叉树的每个对应的顶点编号相同的树13．由所有可行状态所构成的树。

14．如果L时NP难度的且L∈NP，则称问题L是NP-完全的。

15．算法是一个步骤的序列，满足：有穷性、可行性、确定性、输入、输出；过程不需要满足由穷性。

16．有向图的每条边有起点与终点之分，且用箭头指向边的终点。

无向图的边无起点和终点之分，边无箭头。

17．树(tree)是一个或多个结点的有限集合，，它使得：①有一个特别指定的称作根(root)的结点；②剩下的结点被分成m≥0个不相交的集合tl，…，tm，这些集合的每一个都是一棵树，并称t1，…，tm为这根的子树(subtree)。

18．P是所有可在多项式时间内用确定算法求解的判定问题的集合。

19．运算结果是唯一确定的算法20. nP是所有可在多项式时间内用不确定算法求解的判定问题的集合二、填空题1.n2.O ( n )3.最优化问题4.宽度优先搜索5.结点的最大级数6.互异7.内结点和外结点8.方形9.内部路径长度、外部路径长度10.一次11.归并分类算法12.贪心选择性质13.最优子结构14.二元归并15.最小成本生成树16.最优性17.最优决策18.可容许最大成本c19.最小成本三、程序填空题。

黄宇《算法设计与分析》课后习题解析（⼆）第2章：从算法的视⾓重新审视数学的概念2.1：(向下取整)题⽬：请计算满⾜下⾯两个条件的实数的区间解析：根据向下取整的含义，令，讨论a的取值范围即可解答：令，则可得：即：故的取值区间为：2.2: (取整函数)题⽬：证明：对于任意整数,（提⽰：将n划分为）。

解析：根据提⽰将n进⾏划分，根据取整函数的定义⽤k表⽰取整函数，即可证明；证明如下：因为对于任意整数,可划分为，则:① ；② ；综上：对于任意整数,, 得证；2.3: (斐波拉契数列)对于斐波拉契数列，请证明：1）题⽬：是偶数当且仅当n能被3整除解析：由斐波拉契数列的递归定义式，容易联想到数学归纳法；证明如下：（采⽤数学归纳法）i)当n = 1,2,3时，依次为1，1，2，符合命题；ii)假设当（k>=1）时命题均成⽴，则：① 当n = 3k+1时，是奇数，成⽴；② 当n = 3k+2时，是奇数，成⽴；③ 当 n = 3(k+1)时，是偶数，成⽴；综上：归纳可得为偶数当且仅当，得证;2）题⽬：x x =1+a (0<a <1)x =1+a (0<a <1)⌊x ⌋=1⇒⌊x ⌋=21⌊x ⌋=2⌊1+a +22a ⌋=1a +22a <1⇒0<a <−21⇒1<a +1<⇒21<x <2x (1，)2n ≥1⌈log (n +1)⌉=⌊logn ⌋+12≤k n ≤2−k +11n ≥12≤k n ≤2−k +11k +1=⌈log (2+k 1)⌉≤⌈log (n +1)⌉≤⌈log (2)⌉=k +1k +1=>⌈log (n +1)⌉=k +1k =⌊log (2)⌋≤k ⌊logn ⌋≤⌊log (2−k +11)⌋=k =>⌊logn ⌋=k n ≥1⌈log (n +1)⌉=k +1=⌊logn ⌋+1F n F n n ≤3k F =n F +n −1F =n −2F +3k F =3k −1>F 3k +1F =n F +3k +1F =3k >F 3k +2F =n F +3k +2F =3k +1>F 3k +3F n 3∣n F −n 2F F =n +1n −1(−1)n +1解析：同1）理，容易联想到数学归纳法证明如下：（采⽤数学归纳法）i)当n = 2时，, 易知成⽴；ii)假设当 n = k 时命题成⽴，① 若k = 2m, 则,当n = k+1 = 2m+1时，要证命题成⽴，即证： => ,代⼊递推式, 得：, 易知是恒等式，故命题成⽴；②当 k=2m+1时，同①理可证命题成⽴；综上：归纳可得，得证；2.4：(完美⼆叉树)给定⼀棵完美⼆叉树，记其节点数为，⾼度为，叶节点数为，内部节点数为1）题⽬：给定上述4个量中的任意⼀个，请推导出其他3个量解析：根据完美⼆叉树的结构特点易得解答：（仅以已知⾼度h推导其他三个量为例，其余同理）已知⾼度为h，可得：节点数：叶节点数：内部节点数：2）题⽬：请计算完美⼆叉树任意⼀层的节点个数：① 如果任意指定深度为的⼀层节点，请计算该层节点个数；② 如果任意指定⾼度为的⼀层节点，请计算该层节点个数；解析：根据完美⼆叉树的结构特点易得（注意节点深度和节点⾼度是互补的，相加为树⾼）解答：① ; ② ;2.5: (⼆叉树的性质)对于⼀棵⾮空的⼆叉树T，记其中叶节点的个数为，有1个⼦节点的节点个数为，有两个⼦节点的节点个数为1）题⽬：如果T是⼀棵2-tree，请证明。

《算法分析与设计》练习题一答案1.程序书写格式应该遵循哪四个原则？参考答案：（1）正确使用缩进：一定要有缩进，否则代码的层次不明显。

（2）在一行内只写一条语句。

（3）, '}'位置不可随意放置。

（4）变量和运算符之间最好加1个空格2.什么是算法？参考答案：用计算机解决问题的过程可以分成三个阶段：分析问题、设计算法和实现算法。

算法可以理解为冇基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，它是求解问题类的、机械的、统一的方法，它由有限多个步骤组成，对于问题类屮每个给定的具体问题，机械地执行这些步骤就可以得到问题的解答。

或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。

3.什么是线性结构？什么是非线性结构？参考答案：线性结构：数据逻辑结构屮的一类。

它的特征是若结构为非空集，则该结构有且只有一个开始结点和一个终端结点，并且所冇结点都冇R只冇一个直接前趋和一个直接后继。

线性表就是一个典型的线性结构。

栈、队列、串等都是线性结构。

非线性结构：数据逻辑结构中的另一大类，它的逻辑特征是一个结点可能有多个直接而趋和直接后继。

数组、广义表、树和图等数据结构都是非线性结构。

4.已知二叉树后序遍丿力序列是DABEC,屮序遍丿力序列是DEBAC,则前序遍历序列是什么？参考答案：前序遍历序列是CEDBA5.什么是数制？参考答案：数制是人们利用符号进行计数的一种科学方法。

数制也称计数制，是用一组固定的符号和统一的规则來表示数值的方法。

6.如果将十进制数106转换为八进制数，结果是多少？参考答案：1527.请问查找算法的效率用什么进行度量？参考答案：平均查找长度ASL：在查找其关键字等于给定值的过程小，需要和给定值进行比较的关键字个数的期望值称为查找成功吋的平均查找长度。

AS厶=£皿/=1其屮，n是结点的个数；是杳找第i个结点的概率,是找到第i个结点所需要的比较次数。

算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解：算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。

频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。

多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。

指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。

2. 解：算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣，进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法，以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。

3. 解：事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数（它是一些有关参数的函数）；事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。

4. 解：评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行，事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析；事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。

5. 解：①n=11； ②n=12； ③n=982； ④n=39。

第2章 递归算法与分治算法1． 解：递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中，递归算法充分地利用了计算机系统内部机能，自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复；分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题，每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路，进而可以按照递归的思路进行求解。

2． 解：通过分治算法的一般设计步骤进行说明。

3． 解：int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解：void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解：①22*2)(−−=n n f n② )log *()(n n n f O =6． 解：算法略。

习题4.13(b)元素最大交换次数：A9~A5 各1次；A4~A3 各2次；A2最多3次；A1最多4次Þ最多共需16次元素交换4.13另解：考虑第i个节点，其子节点为2i，则最多可交换1次；若子节点有子节点22i, 则最多可交换2次；若…..有子节点i×2k, 则最多可交换k次；因此有i×2k≤ 19求出满足上述不等式的最大的k值即可。

i=1时, k=4;i=2时, k=3;i=3或4时, k=2;i=5~9时, k=1;因此最多交换4+3+2×2+1×5=16次6.5 用分治法求数组A[1…n]元素和，算法的工作空间是多少？输入：数组A[1…n]输出：数组的所有元素之和∑A[i] {i=1…n}SUM(low, high)1.if high = low then2. return A[low]3.else4.mid←ë(low+high)/2û5.s1←SUM(low,mid)6.s2←SUM(mid+1, high)7. return s1+s28.end if工作空间：mid~Q(logn), s1&s2~Q(1)（后序遍历树，不断释放空间，故为常数Q(1)），总的工作空间为Q(logn).6.6 用分治法求元素x在数组A中出现的频次。

freq(A[low, high], x)1.if high=low then2. if A[low]=x then3. return 14. else5. return 06. end if7.else8. mid ←ë(low+high)/2û9. f1 ←freq(A[low, mid])10. f2 ← freq(A[mid+1, high])11. return f1+f212.end if复杂度:T(n)=T(ën/2û)+ T(én/2ù)≈2T(n/2) (设2k≤n<2k+1) =…=2k T(n/2k) =2k T(1) = n6.16修改后的MERGESORT算法最大比较次数(1)/2()2(/2)1n n if n m T nT n n if n m-≤⎧=⎨+->⎩最小比较次数1()2(/2)/2n if n m C nC n n if n m-≤⎧=⎨+>⎩令n/2k=m≥2，展开可知：T(n)= 2k T(n/2k) + kn - (2k-1)= n/m×m(m-1)/2 + nlog(n/m)- n/m+1= n(m-1)/2 + nlog(n/m) -n/m+1若T(n)=Q(nlogn), 其中表达式有nm, nlogn, nlogm, n/m等.有n/m < nlogm < nm 且须有nm=O(nlogn), i.e., nm ≤c·nlogn,则须有m≤c·logn. 可令c=1,则m≤logn. 另一方面，C(n) = 2k C(n/2k)+kn/2 = n/m×(m-1) + (n/2)log(n/m)= Q(nlogn)6.35split(A[low,...high])1. x←A[low] //备份为x2. while (low<high){3. while (low<high && A[high]>0) --high;4. A[low] ←A[high]5. while (low<high && A[low]≤0) ++low;6.A[high] ←A[low]7.}8.A[low] ← x //这时, low=highC，并分析其时间复杂度。

第3章作业解答设有4个矩阵连乘积ABCD ，设它们的维数分别为A:45×8，B:8×40，C:40×25，D:25×10，请求出它们的最优计算次序及对应的最少计算量。

解：设A 1=A, A 2=B, A 3=C, A 4=Dp 0=45,p 1=8,p 2=40,p 3=25,p 4=10 ,用两个二维数组m 和s 记录中间结果，其中，m[i][j]记录矩阵连乘积A[i:j]的最少计算量，s[i][j]记录A[i:j]的最优断开位置。

由动态规划思想，得递归式为：⎪⎩⎪⎨⎧<+++==-<≤j i p p p j k m k i m j i j i m j k i }],1[],[{min 0],[1jk i 其中，k 的取值有j-i 种可能：i,i+1,...,j-1. 计算过程如下： (1) m[i][i]=0, i=1,2,3,4 (2) 求m[i][i+1], i=1,2,3m[1][2]= p 0×p 1×p 2=45×8×40=14400 s[1][2]=1 m[2][3]= p 1×p 2×p 3=8×40×25=8000 s[2][3]=2 m[3][4]= p 2×p 3×p 4=40×25×10=10000 s[3][4]=3 (3) 求m[i][i+2], i=1,2m[1][3]=min{m[1][1]+m[2][3]+p 0×p 1×p 3, m[1][2]+m[3][3]+p 0×p 2×p 3 } =min{8000+45×8×25,14400+45×40×25} =min{17000, 59400} =17000 s[1][3]=1m[2][4]=min{m[2][2]+m[3][4]+p1×p2×p4, m[2][3]+m[4][4]+p1×p3×p4 }=min{10000+8×40×10,8000+8×25×10}=min{13200, 10000} =10000s[2][4]=3(4) 求m[i][i+3], i=1m[1][4]=min{m[1][1]+m[2][4]+p0×p1×p4 ,m[1][2]+m[3][4]+p0×p2×p4 ,m[1][3]+m[4][4]+p0×p3×p4 }=min{10000+45×8×10, 14400+10000+45×40×10, 17000+45×25×10 }=min{13600, 42400, 28250} =13600s[1][4]=1根据以上结果可得数组m, s如下：m[1][4]即A[1:4]的最少计算量，也即ABCD连乘积的最少计算量为13600。

参考答案第1章一、选择题1. C2. A3. C4. C A D B5. B6. B7. D 8. B 9. B 10. B 11. D 12. B二、填空题1. 输入；输出；确定性；可行性；有穷性2. 程序；有穷性3. 算法复杂度4. 时间复杂度；空间复杂度5. 正确性；简明性；高效性；最优性6. 精确算法；启发式算法7. 复杂性尽可能低的算法；其中复杂性最低者8. 最好性态；最坏性态；平均性态9. 基本运算10. 原地工作三、简答题1. 高级程序设计语言的主要好处是：（l）高级语言更接近算法语言，易学、易掌握，一般工程技术人员只需要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作；（2）高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性高；（3）高级语言不依赖于机器语言，与具体的计算机硬件关系不大，因而所写出来的程序可移植性好、重用率高；（4）把复杂琐碎的事务交给编译程序，所以自动化程度高，发用周期短，程序员可以集中集中时间和精力从事更重要的创造性劳动，提高程序质量。

2. 使用抽象数据类型带给算法设计的好处主要有：（1）算法顶层设计与底层实现分离，使得在进行顶层设计时不考虑它所用到的数据，运算表示和实现；反过来，在表示数据和实现底层运算时，只要定义清楚抽象数据类型而不必考虑在什么场合引用它。

这样做使算法设计的复杂性降低了，条理性增强了，既有助于迅速开发出程序原型，又使开发过程少出差错，程序可靠性高。

（2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择，从中比较，优化算法效率。

（3）数据模型和该模型上的运算统一在抽象数据类型中，反映它们之间内在的互相依赖和互相制约的关系，便于空间和时间耗费的折衷，灵活地满足用户要求。

（4）由于顶层设计和底层实现局部化，在设计中出现的差错也是局部的，因而容易查找也容易纠正，在设计中常常要做的增、删、改也都是局部的，因而也都容易进行。

习题11.图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n2.循环直到r=0 2.1 m=n 2.2 n=r 2.3 r=m-n 3 输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C ++描述。

//采用分治法//对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差 #include <iostream> using namespace std;int partions(int b[],int low,int high) {图1.7 七桥问题int prvotkey=b[low];b[0]=b[low];while (low<high){while (low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while (low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];return low;}void qsort(int l[],int low,int high){int prvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high}}void quicksort(int l[],int n){qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}int main(){int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<' ';cout<<endl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;++i){if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return 0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。

算法设计技巧与分析习题答案算法设计技巧与分析习题答案【篇一：算法设计与分析考试题及答案】一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。

2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法好坏的标准是______________________。

3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是____________________________________。

4.若序列x={b,c,a,d,b,c,d}，y={a,c,b,a,b,d,c,d}，请给出序列x和y的一个最长公共子序列_____________________________。

5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。

6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。

7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。

8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。

9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。

10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。

二、综合题（50分）1.写出设计动态规划算法的主要步骤。

2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。

3.若n=4，在机器m1和m2上加工作业i所需的时间分别为ai和bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最优值。

4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3，c=9，v={6,10,3}，w={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发，左1右0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。

算法分析与设计作业及参考答案作业题目1、请分析冒泡排序算法的时间复杂度和空间复杂度，并举例说明其在什么情况下性能较好，什么情况下性能较差。

2、设计一个算法，用于在一个已排序的整数数组中查找特定元素。

要求算法的时间复杂度为 O(log n)。

3、比较贪心算法和动态规划算法的异同，并举例说明它们在实际问题中的应用。

参考答案一、冒泡排序算法的分析冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法。

它重复地走访要排序的数列，一次比较两个数据元素，如果顺序不对则进行交换，并一直重复这样的走访操作，直到没有要交换的数据元素为止。

1、时间复杂度最坏情况：数组完全逆序，需要进行 n(n 1) ／ 2 次比较和交换操作，时间复杂度为 O(n^2)。

最好情况：数组已经有序，不需要进行交换操作，只需要进行 n 1 次比较，时间复杂度为 O(n)。

平均情况：时间复杂度也为 O(n^2)。

2、空间复杂度冒泡排序只在交换元素时使用了临时变量，空间复杂度为 O(1)，是一个原地排序算法。

3、性能分析性能较好的情况：当数组规模较小且接近有序时，冒泡排序的性能相对较好。

因为在这种情况下，比较和交换的次数相对较少。

性能较差的情况：当数组规模较大且无序程度较高时，冒泡排序的性能会非常差。

因为需要进行大量的比较和交换操作，时间消耗很大。

例如，对于数组 2, 1, 3, 5, 4，冒泡排序需要经过多次比较和交换才能将其排序为 1, 2, 3, 4, 5。

而对于已经有序的数组 1, 2, 3, 4, 5，冒泡排序只需要进行较少的比较操作就能确定数组已经有序。

二、在已排序数组中查找特定元素的算法设计对于在已排序的整数数组中查找特定元素，我们可以使用二分查找（Binary Search）算法。

二分查找的基本思想是：将数组从中间分成两部分，比较目标元素与中间元素的大小，如果目标元素小于中间元素，则在左半部分继续查找；如果目标元素大于中间元素，则在右半部分继续查找；如果目标元素等于中间元素，则查找成功。

第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答（第2版）算法实现题2-1 输油管道问题（习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题（习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题（习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题（习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题（一）67算法实现题2-11 集合划分问题（二）68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题（习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题（习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题（习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题（习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题（习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题（习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题（习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题（习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题（习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题（习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题（习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物（习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题（习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题（习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题（习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题（习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题（习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题（习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题（习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题（习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题（习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题（习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题（习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题（习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题（习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题（习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题（习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题（习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题（习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题（习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题（习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题（习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题（习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题（习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题（习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法（一）153习题5\|2 装载问题改进回溯法（二）154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题（习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题（习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题（习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题（习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题（习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题（习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题（习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题（习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题（习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题（习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题（习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题（习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题（习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题（习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题（习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题（习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题（习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题（习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题（不重复监视）（习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题（习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一（习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二（习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题（习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题（习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题（习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题（习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题（习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题（习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题（习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题（习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题（习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题（习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题（习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题（习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题（习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题（习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法（习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法（习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法（习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法（习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover（习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit（习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit（习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing（习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing（习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题（习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题（习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题（习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题（习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题（习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题（习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题（习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题（习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题（习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度（习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题（习题11-5) 416参考文献422。

《算法设计与分析实用教程》参考解答1-1 加减得1的数学游戏西西很喜欢数字游戏，今天他看到两个数，就想能否通过简单的加减，使最终答案等于1。

而他又比较厌烦计算，所以他还想知道最少经过多少次才能得到1。

例如，给出16,9：16-9+16-9+16-9-9-9+16-9-9=1，需要做10次加减法计算。

设计算法，输入两个不同的正整数，输出得到1的最少计算次数。

（如果无法得到1，则输出-1）。

（1）若输入两个不同的正整数a,b均为偶数，显然不可能得到1。

设x*a与y*b之差为“1”或“-1”,则对于正整数a,b经n=x+y-1次加减可得到1。

为了求n的最小值，令n从1开始递增，x在1——n中取值，y=n+1-x：检测d=x*a+y*b，若d=1或-1，则n=x+y-1为所求的最少次数。

（2）算法描述// 两数若干次加减结果为1的数学游戏#include <stdio.h>void main(){long a,b,d,n,x,y;printf(" 请输入整数a,b: ");scanf("%ld,%ld",&a,&b);if(a%2==0 && b%2==0){ printf(" -1\n");return;}n=0;while(1){ n++;for(x=1;x<=n;x++){ y=n+1-x;d=x*a-y*b;if(d==1 || d==-1) // 满足加减结果为1{ printf(" n=%ld\n",n);return;}}}}请输入整数a,b: 2012,19961请输入整数a,b: 101,20136061-2 埃及分数式算法描述分母为整数分子为“1”的分数称埃及分数，试把真分数a/b 分解为若干个分母不为b 的埃及分数之和。

（1） 寻找并输出小于a/b 的最大埃及分数1/c ； （2） 若c>900000000，则退出；（3） 若c ≤900000000，把差a/b-1/c 整理为分数a/b ，若a/b 为埃及分数，则输出后结束。

算法设计与分析课后习题(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章1. 算法分析题算法分析题1－1 求下列函数的渐进表达式(1). 3n^2 + 10n < 3n^2 + 10n^2 = 13n^2 = O(n^2)(2). n^2 / 10 + 2^n当n>5是，n^2 < 2 ^n所以，当n >= 1时，n^2/10 < 2 ^n故: n^2/10 + 2^n < 2 ^n + 2^n = 2*2^n = O(2^n)(3). 21 + 1/n < 21 + 1 = 22 = O(1)(4). log(n^3)=3log(n)=O(log(n))(5). 10log(3^n) = (10log3)n = O(n)算法分析题1-6(1)因为：f(n)=log(n^2) = 2log(n); g(n) = log(n) + 5所以：f(n)=Θ(log(n)+5) =Θ(g(n))(2)因为：log(n) < √n ; f(n) = 2log(n); g(n)= √n所以：f(n) = O(g(n))(3)因为：log(n) < n; f(n) = n; g(n) = log(n^2) = 2log(n)所以；f(n) = Ω(g(n))(4)因为：f(n) = nlogn +n; g(n) = logn所以：f(n) =Ω(g(n))(5)因为: f(n) = 10; g(n) = log(10)所以:f(n) =Θ(g(n))(6)因为: f(n)=log^2(n); g(n) = log(n)所以: f(n) ==Ω(g(n))(7)因为: f(n) = 2^n < 100*2^n; g(n)=100n^2; 2^n > n ^2所以: f(n) = Ω(g(n))(8)因为：f(n) = 2^n; g(n) = 3 ^n; 2 ^n < 3 ^n所以: f(n) = O(g(n))习题1－9 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为Θ(f(n)),该算法在最坏情况下所需的计算时间为Ω(f(n)).分析与解答：因此，Tmax(N) = Ω(Tavg(N)) = Ω(Θ(f(n)))=Ω(f(n)).第二章算法分析题2-3 设a[0:n-1]是已经排好序的数组。

第一章3. 最大公约数为1。

快1414倍。

程序1-2的while 循环体做了10次，程序1-3的while 循环体做了14141次（14142-2循环）8.（1）画线语句的执行次数为log n ⎡⎤⎢⎥。

(log )n O 。

（2）画线语句的执行次数为111(1)(21)16jnii j k n n n ===++=∑∑∑。

3()n O 。

（3）画线语句的执行次数为。

O 。

（4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为(1)(1)4n n +-， 当n 为偶数时画线语句的执行次数为 (2)4n n +。

2()n O 。

10.（1） 当 1n ≥ 时，225825n n n -+≤，所以，可选 5c =，01n =。

对于0n n ≥，22()5825f n n n n =-+≤，所以，22582()-+=O n n n 。

（2） 当 8n ≥ 时，2222582524n n n n n -+≥-+≥，所以，可选 4c =，08n =。

对于0n n ≥，22()5824f n n n n =-+≥，所以，22582()-+=Ωn n n 。

（3） 由（1）、（2）可知，取14c =，25c =，08n =，当0n n ≥时，有22212582c n n n c n ≤-+≤，所以22582()-+=Θn n n 。

11. (1) 当3n ≥时，3log log n n n <<，所以()20log 21f n n n n =+<，3()log 2g n n n n =+>。

可选212c =，03n =。

对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。

（2） 当 4n ≥ 时，2log log n n n <<，所以 22()/log f n n n n =<，22()log g n n n n =≥。

可选 1c =，04n =。