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上海市2013—2014学年度高三年级学业质量调研数学试卷考生注意： 本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数=m3.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 4.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为 5.在ABC ∆中，若5=b ，4π=∠B ，2tan =A ，则=a6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =7.设等差数列{}n a 的公差2=d ，前n 项的和为n S ，则nn n S n a 22lim-∞→= 8.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为9.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为10.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层11.函数)6sin()(πω+=x A x f ()0>ω的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数x A x g ωsin )(=的图象，只要．．将)(x f 的图象向右平移 个单位12.设))(2()(,1R x x k x f k ∈-=>，在平面直角坐标系中，函数)(x f y =的图象与x 轴交于点A ，它的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点B ，并且两函数图象相交于点P ，已知四边形OAPB 面积为6，则k 的值为13.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使()()122f x f x C +=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C.下列五个函数：①x y sin 4= ②3x y = ③x y lg = ④xy 2= ⑤12-=x y ，则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号14.若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则 数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项 的积为n T ，则数列为等比数列,通项为_____________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈ 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．16.已知函数f （x ）=sin （2x πϕ+）的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则（BD BE +）·BC 的值为A ．14 B ．12C ．1D ．2 17.如图，偶函数)(x f 的图象形如字母M ，奇函数)(x g 的图象形如字母N ，若方程：(())0,f f x =(())0,f g x =0))((,0))((==x f g x g g 的实数根的个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=A ．27B ．30C ．33D ．3618.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)[)34, 1.31=-=-．下列命题:①函数[)()f x x x =-的值域是(]0,1；②若{}n a 是等差数列，则[){}n a 也是等差数列；③若{}na 是等比数列，则[){}na 也是等比数列；④若()1,2014x ∈，则方程[)12x x -=有2013个根. 其中正确的是A.②④B.③④C.①③D.①④三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． (1)将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 (2)在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥,||AB 夹角的余弦值20．（本题满分14分）本题共有2已知A B 、分别在射线CM CN 、运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角所对的边分别是a 、b 、c ．（1）若a 、b 、c c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．)21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 已知函数2||)(+=x x x f （1）判断函数f (x )在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程f (x ) = kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为 2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程；(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围（3）已知点M （2，0），N （0, 1），在(2)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分设各项均为非负数的数列{}n a 的为前n 项和n n S na λ=（1a ≠2a ，λ∈R ）． （1）求实数λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（用2n a ,表示）． （3）证明：当2m l p +=（m l p ∈*N ,, ）时，2m l p S S S ⋅≤一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.()),3(3,2+∞⋃2. 13. 54. π145. 1026. 47. 38. 2 911.12π12.3 13. (2)(3)(5) 14.211-=n n q a T二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.D 16.C 17. B 18D. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． (1)设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==； 24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V S h π==⨯⨯⨯= (2)设向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角为θ(2)(2)cos |2||2|AB AC AB AC AB AC AB AC θ+⋅+=+⋅+，令||||AB AC a ==，224cos 5θ==20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． （1）a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-. 又23MCN ∠=π，1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又4c >，∴7c =.（2）在ABC∆中，s i n s i n si nA CBC A B A BC B ACA C==∠∠∠，∴22sin sin sin 33ACBC ===ππθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭.∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin cos 22⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ+ ⎪⎝⎭又0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<,∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．(1) 2||)(+=x x x f ,2)(,0+=>∴x xx f x 时当221+-=x()+∞+=,022在x y 上是减函数 ),0()(+∞∴在x f 上是增函数(2)原方程即：22||kx x x =+ )(* ①0=x 恒为方程)(*的一个解．②当20-≠<x x 且时方程)(*有解，则012,222=++=+-kx kx kx x x当0=k 时，方程0122=++kx kx 无解；当0≠k 时，时或即10,0442≥<≥-=∆k k k k ，方程0122=++kx kx 有解．设方程0122=++kx kx 的两个根分别是,,21x x 则kx x x x 1,22121=⋅-=+． 当1>k 时，方程0122=++kx kx 有两个不等的负根； 当1=k 时，方程0122=++kx kx 有两个相等的负根； 当0<k 时，方程0122=++kx kx 有一个负根③当0>x 时，方程)(*有解，则012,222=-+=+kx kx kx x x当0=k 时，方程0122=++kx kx 无解；当0≠k 时，时或即01,0442>-≤≥+=∆k k k k ，方程0122=-+kx kx 有解．设方程0122=-+kx kx 的两个根分别是43,x x243-=+∴x x ，kx x 143-= ∴当0>k 时，方程0122=-+kx kx 有一个正根，当1-≤k 时，方程0122=-+kx kx 没有正根综上可得，当),1(+∞∈k 时，方程2)(kx x f =有四个不同的实数解22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分 (1) 设C （x , y ）,∵ 2AC BC AB +=+＋2AB =, ∴ 2AC BC +=>,∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点.∴ =1a c . ∴ 2221b a c =-=∴ W : 2212x y += (0)y ≠.(2) 设直线l 的方程为y kx =22(12x kx +=.整理，得221()102k x +++=. ①因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于222184()4202k k k ∆=-+=->，解得k <k >∴ 满足条件的k 的取值范围为 2,(,)22k ∈-∞-+∞（ （3）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x 1+x 2，y 1+y 2),由①得12x x += ②又1212()y y k x x +=++ ③因为M ，(0, 1)N ， 所以(MN =.所以OP OQ +与MN 共线等价于1212)x x y y ++.将②③代入上式，解得k = 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分（1）当1n =时，11a a λ=，所以1λ=或10a =，若1λ=，则n n S na =，取2n =得1222a a a +=，即12a a =，这与1a ≠2a 矛盾； 所以10a =，取2n =得1222a a a λ+=，又1a ≠2a ，故20a ≠，所以12λ=，（2）记12n n S na =①，则111(1)2n n S n a --=- ()2n ≥②，①-②得111(1)22n n n a na n a -=-- ()2n ≥，又数列{}n a 各项均为非负数，且10a =， 所以112nn a n a n --=-()3n ≥， 则354234123411222n n a a aa n a a a a n --⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即()21n a a n =-()3n ≥，当1n =或2n =时，()21n a a n =-也适合， 所以()21n a a n =-；（3）因为()21n a a n =-，所以2(1)2n n n S a -=()20a ≠， 又2m l p +=（m l p ∈*N ,, ） 则[]{}2222(1)(1)(1)4pm n a S S S p p m m l l -=----[]{}222(1)(1)(1)4a p p m m l l =----()2222(1)(1)422a m l m l ml m l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪++=----⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦≥（当且仅当m l =时等号成立）(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦= )2221(1)(1)4a mlm l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=()224a ml m l ⎡+-⎣= 0≥（当且仅当m l =时等号成立）所以2m l p S S S ⋅≤.。
2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）一、选择题（12×5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5 2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+34．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣37．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．38．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣19．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39二．填空题：（4×5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题（12×5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11：计算题．【分析】通过复数的虚部为0，即可求出实数a的值．【解答】解：因为复数为实数，所以a2+2a﹣15=0，解得a=3，或a=﹣5（舍去）．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，基本知识的考查．2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【考点】F5：演绎推理．【专题】29：规律型．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．【点评】本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+3【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由定积分运算公式，求出函数的f（x）=+x的一个原函数F（x）=lnx+，利用微积分基本定理即可得到所求积分的值．【解答】解：由积分运算法则，得（+x）dx=（lnx+）=（ln2+）﹣（ln1+）=ln2+故选：A．【点评】本题求一个定积分的值，着重考查了定积分计算公式和微积分基本定理等知识，属于基础题．4．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】72：不等式比较大小；7I：不等式的综合．【专题】35：转化思想．【分析】根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，2×4的大小关系即可．【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【考点】62：导数及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣3【考点】64：导数的加法与减法法则．【专题】11：计算题．【分析】先求出函数的导数，再把x=﹣1代入f′（x）的解析式得到f'（﹣1），再由f'（﹣1）=8，求得a的值，即可得到函数f（x）的解析式，从而求得f （﹣1）的值．【解答】解：已知，∴f′（x）=3（2x+1）2×2+，∵f'（﹣1）=8，∴3×2+2a=8，故有a=1，∴=，∴f（﹣1）=﹣1+2+3=4，故选：A．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于基础题．7．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．8．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令函数f（x）的导数为0，求出x=lna﹣1，由x＞0，解出a即可．【解答】解：∵f′（x）=a﹣e﹣x，令f′（x）=0，∴a=e﹣x，∴x=﹣lna=lna﹣1，∵x＞0，∴lna﹣1＞0，∴＞1，∴0＜a＜1，故选：B．【点评】本题考察了函数的零点问题，对数函数的性质，导数的应用，是一道基础题．9．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】明确f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，再由基本不等式明确b＞＞，利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵0＜a＜b，∴b＞＞又∵f（x）=，∴f′（x）==＜0，∴f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，∴f （b）＜f （）＜f （）故选：D．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和基本不等式．解答的关键是在比较大小时体现了函数思想．10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题．【分析】由积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx【解答】解：由题意，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx∫01（）dx的大小相当于是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的，故其值为∫01（﹣x）dx=（﹣x2）|01=﹣所以，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx=故选：D．【点评】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）【考点】82：数列的函数特性；F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，就可得出正确选项【解答】解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，…以此类推得：P（5k）=k （k为正整数）因此P（2003）=403，且P（2005）=401，所以P（2003）＞P（2005）故选：D．【点评】本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】23：新定义．【分析】根据定义，x⊗y=36分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=36；x 和y同奇偶，则x+y=36．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=36，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=35+1，故点（x，y）有35个，∴满足条件的个数为6+35=41个．故选：B．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．二．填空题：（4×5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．【考点】69：定积分的应用．【专题】11：计算题．【分析】由题意，可作出两个曲线y=x2与x=y2的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两曲线交点A的坐标，根据曲线确定出被积函数与积分区间[0，1]，计算出定积分的值，即可出面积曲线y2=x，y=x2所围成图形的面积．【解答】解：作出如图的图象…（2分）联立解得，…（5分）即点O（0，0），A（1，1）．故所求面积为：===…（10分）所以所围成图形的面积S=．故答案为：．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=±（7﹣i）．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得．又ω=，|ω|=，可得．即可得出a，b．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=x ﹣．【考点】3U：一次函数的性质与图象；67：定积分、微积分基本定理．【专题】53：导数的综合应用．【分析】设f（x）=ax+b，根据积分公式，即可求出f（x）的表达式．【解答】解：∵f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt∴设f（x）=x+b，则f（x）=x+3f（t）dt=x+3（t+b）dt=x+3（）|=x+，∴=b，即b=，∴f（x）=x．故答案为：x【点评】本题主要考查积分的计算，利用待定系数法即可得到结论．比较基础．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是91．【考点】F1：归纳推理．【专题】29：规律型．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列所以∴s7=2×72﹣7=91故答案为：91【点评】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=﹣2．又，∴2b+a=0，即a=﹣2b=4．∴z=4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4﹣2i，∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．【解答】解：由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）=+（k+1）（k+3）=（2k2+7k+6k+18）=（2k2+13k+18）=，就是说，当n=k+1时等式也成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上所述，对任何n∈N+都成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．属于中档题，19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】（1）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再列表判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值，且在某区间导数大于0时，此区间为函数的增区间，在某区间导数小于0时，此区间为函数的减区间．（2）由（1）知函数f（x）的大致图象，然后将关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，转化为y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，数形结合解决问题（3）先将f（x）≥k（x﹣1）恒成立，转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，进而转化为求函数g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可【解答】解：（1）求函数f（x）=x3﹣6x+5的导数，得f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，列表讨论f′（x）的符号，得xf'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的单调递增区间是，，单调递减区间是，当x=﹣时，函数有极大值为5+4，当x=时，函数有极小值为5﹣4（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图：若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，即y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，由图数形结合可得（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，令，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（1）=﹣3，∴k≤﹣3．【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；63：导数的运算；67：定积分、微积分基本定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），化简得2（t﹣1）3=﹣1，由此求得t的值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c．由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4﹣4c=0，解得c=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），即﹣t3+t2﹣t+=t3﹣t2+t，∴2t3﹣6t2+6t﹣1=0，即2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；（II）确定函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值，从而f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x），由此可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：已知f′（x）=（ax+a﹣2）e x，f'（1）=0，∴a=1．当a=1时，f′（x）=（x﹣1）e x，在x=1处取得极小值．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=（x﹣1）e x．当x∈[0，1]时，f′（x）=（x﹣1）e x≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）=（x﹣1）e x＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=﹣e，又f（0）=﹣2，f（2）=0，所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x）．所以f（x1）﹣f（x2）≤0﹣（﹣e）=e．【点评】本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断．【解答】解析：（1）由题意．…（1分）当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＞0，则x∈（a，+∞），f'（x）＜0，则x∈（0，a），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，…（3分）当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），f'（x）＞0，则x∈（a，0），f'（x）＜0，则x∈（﹣∞，a），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数．…（5分）（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点T，∴切线方程：，将点T坐标代入得：，即，①设，则．令g'（x）=0，则x=1或x=2．…（8分）x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）递增极大值递减极小值递增所以g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值，所以g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．因为，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（12分）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力．。
2014-2015学年上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为．7．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是．8．已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n+a2n﹣1，﹣2（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．9．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．10．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为．11．数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则=．12．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．13．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．14．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．D．17．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．18．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3三、简答题（本大题满分74分）19．（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．21．（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？22．（16分）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．23．（18分）（文）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1=a1，b n=a n+a n（n≥2，﹣1n∈N*），则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．（1）若数列{a n}的通项为数列a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{d n}的通项为数列d n=2n+n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．2014-2015学年上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2} ．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【分析】首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解答】在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【分析】由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为72+18．【分析】根据正三棱柱的特点，侧面是长为侧棱长，宽为底边三角形边长的三个矩形，两个底面都是边长为6的等边三角形，然后根据矩形的面积与等边三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：∵一个正三棱柱有三个侧面，∴侧面积=3×（4×6）=72，底面面积=2××6×（6×）=18，所以，则这个棱柱的表面积为72+18．故答案为：72+18．【点评】本题考查了等边三角形的性质，几何体的表面积，要注意等边三角形的高等于边长的．7．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，} ．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．8．已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n+a2n﹣1，﹣2（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为163．【分析】由已知得f（4）﹣f（3）=（a1+a2+…+a5+a6+a7）﹣（a1+a2+…+a5）=a6+a7，由此利用a n=，能求出结果．解：∵数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣2+a2n﹣1，（n∈N*），∴f（4）﹣f（3）=（a1+a2+…+a5+a6+a7）﹣（a1+a2+…+a5）=a6+a7=（62﹣1）+27=163．故答案为：163．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意数列的性质和递推公式的合理运用．9．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1] ．【分析】利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=，由0≤x≤得﹣，∴﹣，∴﹣1≤2sin（2x﹣）≤2，∴﹣2≤2sin（2x﹣）﹣1≤1；函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．10．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3．【分析】根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为∴|+|=2×2×=2∵+与的夹角是，∴+在上的投影为|+|cos=2×=3故答案为：3【点评】本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．11．数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则=．【分析】先利用裂项相消法求出S n，再求极限即可．解：S n=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．12．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【分析】根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．13．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【分析】g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．14．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选：B．【点评】本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．16．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解：∵A：f（x）=x2不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而C：既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故C：f（x）=sinx符合输出的条件故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．17．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项C，D 对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．18．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．【点评】本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题三、简答题（本大题满分74分）19．（文） 如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC 与AD 所成角； （2）求点B 到平面SCD 的距离．【分析】（1）由已知BC ∥AD ，∠SCB 就是异面直线SC 与AD 所成角，由此能求出直线SC 与AD 所成角．（2）利用等体积可求点B 到平面SCD 的距离．解：（1）∵BC ∥AD ，∴∠SCB 就是异面直线SC 与AD 所成角， ∵SA ⊥BC ，BC ⊥AB ，SA ∩AB=A ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥SB ，Rt △SBC 中，SB=5，BC=3， ∴tan ∠SCB=，∴直线SC 与AD 所成角为arctan ．（2）连接BD ，设点B 到平面SCD 的距离为h ． ∵V S ﹣BCD =V B ﹣SCD ， ∴=，∴，∴h=，∴点B 到平面SCD 的距离为．【点评】本题考查直线与直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【分析】（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．解：（1）=∴，则A=60°（2）证明：B+C=120°，所以，，则，所以B+30°=60°或B+30°=120°B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．21．（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？【分析】（1）设第n年开始，盈利为y万元，从而可得y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108；从而令y＞0解得即可．（2）分别计算两种方案的总获利，比较即可．解：（1）设第n年开始，盈利为y万元，则y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108，（n∈N*）；令y＞0得，3n2﹣﹣54n+108＜0，故9﹣3＜n＜9+3，∵n∈N，∴第3年开始盈利．（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：∵y=﹣3n2+54n﹣108=﹣3（n﹣9）2+135，∴当n=9时，y max=135；故共可获利135+3=138万元；方案二：年平均盈利为=54﹣3（n+）≤18，（当且仅当n=，即n=6时，等号成立），共可获利18×6+30=138万元；但方案一的时间长，故方案二合算．【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．22．（16分）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【分析】（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【点评】本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．23．（18分）（文）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1=a1，b n=a n+a n（n≥2，﹣1n∈N*），则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．（1）若数列{a n}的通项为数列a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{d n}的通项为数列d n=2n+n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．【分析】（1）由a n=n，可得b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=2n﹣1，即可得出．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，p1=d1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣=3×2n﹣1+2n﹣1．可得p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2 1时，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，即可判断出．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，判断l2﹣l1与l3﹣l2是否相等即可得出．解：（1）∵a n=n，∴b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=n+n﹣1=2n﹣1，当n=1时也成立，∴b n=2n﹣1．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，=2n+n+（2n﹣1+n﹣1）=3×2n﹣1+2n﹣1．p1=d1=21+1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣1∴p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2时，T n=3++=3+3×2n﹣6+（n﹣1）（n+1）=3×2n+n2﹣4．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，此时l2﹣l1=2A+B，l3﹣l2=2A，∵2A≠2A+B，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．综上可得：当B=0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．【点评】本题考查了新定义“生成数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2021-2021学年上海市十二校高三〔上〕12月联考数学试卷〔理科〕一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．1．〔4分〕〔2021•黄浦区二模〕函数f〔x〕=的定义域为〔﹣，+∞〕．考点：对数函数的定义．专题：计算题．分析：根据对数函数的性质可知对数函数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出所求．解答：解：∵2x+1＞0∴x＞﹣即函数f〔x〕=的定义域为〔﹣，+∞〕故答案为：〔﹣，+∞〕点评：此题主要考察了对数函数的定义域，掌握对数函数的性质是关键，属于根底题．2．〔4分〕角θ的终边过点P〔﹣3，4〕，那么sinθ+cosθ的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数的定义，可求得sinθ，cosθ，从而可得sinθ+cosθ的值．解答：解：∵θ的终边过点P〔﹣3，4〕，∴cosθ==﹣，sinθ==，∴sinθ+cosθ=+〔﹣〕=．故答案为：．点评：此题考察任意角的三角函数的定义，根据θ的终边过点P〔﹣3，4〕，求得sinθ，cosθ是关键，属于根底题．3．〔4分〕〔2021•徐汇区二模〕设集合，那么A∪B={x|﹣1≤x＜2}考点：并集及其运算．分析：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解答：解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．点评：此题考察集合的根本运算，属基此题，注意等号．4．〔4分〕〔2021•黄浦区二模〕假设π≤x≤，那么方程2sinx+1=0的解x=．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据2sinx+1=0，得sinx=﹣．结合sin=和诱导公式sin〔π+α〕=﹣sinα，可得x的值．解答：解：∵2sinx+1=0，∴sinx=﹣∵π≤x≤，∴x=π+=故答案为：点评：此题给出角的范围和角的正弦值，求角的大小，着重考察了诱导公式和特殊角的三角函数值等知识，属于根底题．5．〔4分〕函数f〔x〕=ax2+〔b﹣3〕x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，那么a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f〔﹣x〕=f〔x〕，由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f〔x〕为偶函数，得f〔﹣x〕=f〔x〕，即ax2﹣〔b﹣3〕x+3=ax2+〔b﹣3〕x+3，2〔b﹣3〕x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f〔﹣x〕=f〔x〕恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．6．〔4分〕幂函数y=f〔x〕存在反函数，假设其反函数的图象经过点〔，9〕，那么的值是2．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数y=f〔x〕=xα，由题意可得原函数f〔x〕的图象经过点〔9，〕，求出α的值，可得函数解析式，从而求得的值．解答：解：设幂函数y=f〔x〕=xα，由题意可得原函数f〔x〕的图象经过点〔9，〕，故有9α=，∴α=﹣，即f〔x〕==，∴==2，故答案为2．点评：此题主要考察函数与反函数的图象间的关系，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于根底题．7．〔4分〕假设等差数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3〔n∈N*〕．那么a1的值为﹣．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据a n+1+a n=4n﹣3写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．解答：解：∵a n+1+a n=4n﹣3∴a2+a1=4﹣3=1，a3+a2=4×2﹣3=5两式相减得a3﹣a1=5﹣1=4∵数列{a n}是等差数列∴2d=4即d=2那么a2+a1=2a1+d=1=2a1+2即a1=﹣故答案为：﹣点评：此题主要考察了等差数列的通项，以及数列首项等概念，同时考察了运算求解的能力，属于根底题．8．〔4分〕〔2006•天津〕某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x=20吨．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设此公司每次都购置x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合根本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．解答：解：某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x吨，那么需要购置次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购置20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．点评：本小题主要考察函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等根底知识，考察应用数学的能力．属于根底题．9．〔4分〕函数〔x∈[0，π]〕的值域是．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式化简函数f〔x〕的解析式为2sin〔x﹣〕，再根据x∈[0，π]，可得x﹣∈[﹣，]，由此求得函数f〔x〕的值域．解答：解：∵函数=2〔sinx﹣cosx〕=2sin〔x﹣〕．又∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin〔x﹣〕∈[﹣，1]，∴2sin〔x﹣〕∈，即函数f〔x〕的值域为，故答案为．点评：此题主要考察两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10．〔4分〕〔2021•浦东新区一模〕数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，假设S2=12，S3=a1﹣6，那么=16．考点：等比数列的前n项和；极限及其运算．专题：计算题．分析：设出数列的公比为q，利用S2=12，S3=a1﹣6，求出a1，q，然后求出S n，即可求出的值．解答：解：设数列的公比为q，其前n项和为S n，假设S2=12，S3=a1﹣6，所以a1+a2=12，a1+a2+a3=a1﹣6，解得a1=8，q=；S n=；所以==16．故答案为16．点评：此题考察数列的前n项和的求法，数列极限的应用，考察计算能力，转化思想的应用，注意数列极限存在的含义．11．〔4分〕假设存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，那么实数a的取值范围是〔﹣∞，5〕．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f〔x〕=2x2﹣ax+2，假设存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，那么f〔1〕＞0，或f〔2〕＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f〔x〕=2x2﹣ax+2假设存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，那么f〔1〕＞0，或f〔2〕＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是〔﹣∞，5〕故答案为：〔﹣∞，5〕点评：此题考察的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题〔特称命题〕，转化为不等式问题是解答的关键．12．〔4分〕在平面直角坐标系xOy中，函数f〔x〕=k〔x﹣1〕〔k＞1〕的图象与x轴交于点A，它的反函数y=f﹣1〔x〕的图象与y轴交于点B，并且这两个函数的图象交于点P．假设四边形OAPB的面积是3，那么k=．考点：反函数．专题：综合题．分析：取y=0，求出直线y=k〔x﹣1〕与x轴的交点，根据互为反函数图象之间的关系求得B点的坐标，设出P点的坐标，由四边形OAPB的面积等于3求出P点的坐标，代入直线y=k〔x﹣1〕后可求得k的值．解答：解：如图，因为函数f〔x〕=k〔x﹣1〕〔k＞1〕的图象与x轴交于点A，取y=0，得k〔x﹣1〕=0，所以x=1，那么A〔1，0〕，又因为互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称，所以B〔0，1〕，设P〔x0，y0〕，因为四边形OAPB的面积是3，所以，所以y0=±3，又直线f〔x〕=k〔x﹣1〕的斜率k＞1，所以直线f〔x〕=k〔x﹣1〕与直线y=x的交点在第一象限，所以y0=3，那么P〔3，3〕，把P〔3，3〕代入y=k〔x﹣1〕得：．故答案为．点评：此题考察了反函数，考察了互为反函数图象之间的关系，考察了数形结合的解题思想，解答此题的关键是明确互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，此题为中低档题．13．〔4分〕〔2021•浦东新区三模〕数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，假设S10是数列{S n}中的唯一最小项，那么数列{a n}的首项a1的取值范围是〔﹣30，﹣27〕．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据其为等差数列得到其前n项和的表达式，再结合开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小得到关于首项a1的不等式，解不等式即可求出首项a1的取值范围解答：解：因为数列{a n}是以3为公差的等差数列；所以：=n=+〔〕．对称轴n==．∵假设S10是数列{S n}中的唯一最小项，∴9＜n＜10，即⇒﹣30＜a1＜﹣27．故答案为：〔﹣30，﹣27〕．点评：此题主要考察等差数列的根本性质以及二次函数的性质应用，是对根底知识的综合考察，考察计算能力以及分析能力．14．〔4分〕〔2021•松江区三模〕对于定义域和值域均为[0，1]的函数f〔x〕，定义f1〔x〕=f 〔x〕，f2〔x〕=f〔f1〔x〕〕，…，f n〔x〕=f〔f n﹣1〔x〕〕，n=1，2，3，…．满足f n〔x〕=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设那么f的n阶周期点的个数是2n．考点：函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：此题考察的知识点是归纳推理，方法是根据条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．解答：解：当x∈[0，]时，f1〔x〕=2x=x，解得x=0当x∈〔，1]时，f1〔x〕=2﹣2x=x，解得x=∴f的1阶周期点的个数是2当x∈[0，]时，f1〔x〕=2x，f2〔x〕=4x=x解得x=0当x∈〔，]时，f1〔x〕=2x，f2〔x〕=2﹣4x=x解得x=当x∈〔，]时，f1〔x〕=2﹣2x，f2〔x〕=﹣2+4x=x解得x=当x∈〔，1]时，f1〔x〕=2﹣2x，f2〔x〕=4﹣4x=x解得x=∴f的2阶周期点的个数是22依此类推∴f的n阶周期点的个数是2n故答案为：2n点评：归纳推理的一般步骤是：〔1〕通过观察个别情况发现某些一样性质；〔2〕从的一样性质中推出一个明确表达的一般性命题〔猜测〕，属于中档题．二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．15．〔5分〕〔2021•上海二模〕“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：应用题．分析：当x＞3时，|x﹣3|＞0一定成立；当|x﹣3|＞0时，x≠3，从而可作出判断解答：解：当x＞3时，|x﹣3|＞0一定成立当|x﹣3|＞0时，x≠3∴x＞3是|x﹣3|＞0充分不必要条件应选A点评：此题主要考察了充分不必要条件的判断，属于根底试题16．〔5分〕函数的图象如下图，那么y 的表达式为〔〕A．B．C．D．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：由=﹣可求得ω，再由ω+φ=+2kπ，|φ|＜，可求得φ，而A易知，从而可得答案．解答：解：由图可知，A=2，又=﹣=，∴T==π，∴ω=2；∴×2+φ=2kπ+，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴y的表达式为y=2sin〔2x﹣〕．应选D．点评：此题考察由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．17．〔5分〕假设，那么该数列的前2021项的乘积a1•a2•a3•…•a2021•a2021=〔〕A．3B．﹣6 C．2D．1考点：数列的概念及简单表示法．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由递推关系式，分析得到{a n}是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论．解答：解：由递推关系式，得a n+2==﹣，那么a n+4=﹣=a n．∴{a n}是以4为周期的一个周期数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2021•a2021•a2021=1．应选D．点评：此题考察数列递推式，考察学生分析解决问题的恩了，确定{a n}是以4为周期的一个周期数列是关键．18．〔5分〕〔2021•海淀区一模〕对于数列{a n}，假设存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1中至少有一个不小于M，那么记作{a n}＞M，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设{a n}＞M，那么数列{a n}各项均大于或等于MB．假设{a n}＞M，{b n}＞M，那么{a n+b n}＞2MC．假设{a n}＞M，那么{a n2}＞M2D．假设{a n}＞M，那么{2a n+1}＞2M+1考点：数列的应用．专题：计算题．分析：{a n}＞M这个定义的含义是数列{a n}中各项的最小值是M，由此知A不正确；假设{a n}＞M，{b n}＞M，那么{a n+b n}的最小值不一定是2M，假设{a n}＞M，那么{a n2}的最小值不一定是m2，假设{a n}＞M，那么{2a n+1}的最小值是2M+1，故只有{2a n+1}＞2M+1正确．解答：解：A中，由{a n}＞M的定义知假设{a n}⊳M，那么数列{a n}各项中至少有一个不小于M，故A不正确；B中，假设{a n}＞M，{b n}⊳M，那么{a n+b n}的最小值不一定是2M，故{a n+b n}＞2M 不正确；C中，假设{a n}＞M，那么{a n2}的最小值不一定是m2，故{a n2}＞M2不正确；D中，假设{a n}＞M，那么{2a n+1}的最小值是2M+1，故{2a n+1}＞2M+1正确．应选D．点评：此题考察数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}＞M．三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．〔12分〕，且，A∪B=R，〔1〕求A；〔2〕实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：〔1〕由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；〔2〕根据题意，由〔1〕的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：〔1〕根据题意，＞0⇒〔2x﹣1〕〔x+2〕＞0，解可得x＜﹣2或x＞，那么A=〔﹣∞，﹣2〕∪〔，+∞〕；〔2〕由〔1〕可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣〔x1+x2〕=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：此题考察集合的交集、并集的应用，〔2〕的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．20．〔14分〕在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC最长的边为1，求b．考点：正弦定理；同角三角函数间的根本关系；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：〔1〕由，得B为锐角，且，得到，故tanC=﹣tan〔A+B〕，利用两角和的正切公式，求出tanC的值．〔2〕由〔1〕知C为钝角，C是最大角，最大边为c=1，C=135°，由正弦定理求得b 的值．解答：解：〔1〕∵cosB=＞0，∴B锐角，且sinB=，∴tanB=，∴tanC=tan[π﹣〔A+B〕]=﹣tan〔A+B〕=﹣=﹣1．〔2〕由〔1〕知C为钝角，C是最大角，最大边为c=1，∵tanC=﹣1，∴C=135°，∴sinC=，由正弦定理：得b=．点评：此题考察正弦定理的应用，同角三角函数的根本关系，两角和的正切公式，求出tanC=﹣1，是解题的关键．21．〔14分〕假设函数f〔x〕在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，那么称y=f〔x〕在I上是“弱增函数〞〔1〕请分别判断f〔x〕=x+4，g〔x〕=x2+4x+2在x∈〔1，2〕是否是“弱增函数〞，并简要说明理由．〔2〕假设函数〔θ、b是常数〕在〔0，1]上是“弱增函数〞，请求出θ及正数b应满足的条件．考点：函数单调性的判断与证明．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：〔1〕依据“弱增函数〞的定义逐个判断即可；〔2〕由于h〔x〕在〔0，1]上是“弱增函数〞，所以h〔x〕在〔0，1]上单调递增，在〔0，1]上单调递减，由此可求出θ及正数b满足的条件．解答：解：〔1〕由于f〔x〕=x+4在〔1，2〕上是增函数，且F〔x〕=在〔1，2〕上是减函数，所以f〔x〕=x+4在〔1，2〕上是“弱增函数〞；g〔x〕=x2+4x+2在〔1，2〕上是增函数，但+在〔1，2〕上不单调，所以g〔x〕=x2+4x+2在〔1，2〕上不是“弱增函数〞．〔2〕因为〔θ、b是常数〕在〔0，1]上是“弱增函数〞所以在〔0，1]上是增函数，且F〔x〕=在〔0，1]上是减函数，由在〔0，1]上是增函数，得h′〔x〕≥0即2x+〔sinθ﹣〕≥0在〔0，1]上恒成立，所以，得sinθ，解得θ∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．由F〔x〕=在〔0，1]上是减函数，得F′〔x〕≤0在〔0，1]上恒成立，即1﹣≤0，b≥x2在〔0，1]上恒成立，所以b≥1．综上所述，b≥1且时，h〔x〕在〔0，1]上是“弱增函数〞．点评：此题以新定义的形式考察函数的单调性，考察运用所学知识分析解决新问题的能力．22．〔16分〕〔a∈R〕的图象关于坐标原点对称〔1〕求a的值，并求出函数F〔x〕=f〔x〕+2x﹣﹣1的零点；〔2〕假设函数在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围〔3〕设，假设不等式f﹣1〔x〕≤g〔x〕在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．考点：函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质；反函数．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据函数的图象关于原点对称，可得f〔x〕是定义在R的奇函数，图象必过原点，即f〔0〕=0，求出a的值，求出函数F〔x〕的解析式，解指数方程求求出函数的零点；〔2〕函数在[0，1]内存在零点，方程〔2x〕2+2x+1﹣1﹣b=0在[0，1]内有解，分析函数b=〔2x〕2+2x+1﹣1在[0，1]内的单调性，及端点的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论．〔3〕由不等式f﹣1〔x〕≤g〔x〕在上恒成立，利用根本不等式可求出满足条件的k的范围，进而求出最小整数k的值．解答：解：〔1〕由题意知f〔x〕是R上的奇函数，所以f〔0〕=0得a=1∴∴F〔x〕=+=由〔2x〕2+2x﹣6=0，可得2x=2，所以，x=1，即F〔x〕的零点为x=1〔2〕有题设知h〔x〕=0在[0，1]内有解，即方程〔2x〕2+2x+1﹣1﹣b=0在[0，1]内有解b=〔2x〕2+2x+1﹣1=〔2x+1〕2﹣2在[0，1]内递增，2≤b≤7所以当2≤b≤7时函数在[0，1]内存在零点〔3〕由f﹣1〔x〕≤g〔x〕得，显然时k+x＞0，即设于是所以满足条件的最小整数k的值是k=8．点评：此题考察的知识点是函数零点的判定定理，函数恒成立问题，根本不等式，函数的最值，是函数图象和性质及函数零点，函数恒成立问题的一个比拟复杂的综合应用，难度较大．23．〔18分〕数列{a n}，如果数列{b n}满足满足，那么称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列〞〔1〕假设数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列〞{b n}的通项公式．〔2〕假设数列{c n}的通项为c n=An+B，〔A．、B是常数〕，试问数列{c n}的“生成数列〞{l n}是否是等差数列，请说明理由．〔3〕数列{d n}的通项为，设{d n}的“生成数列〞为{p n}．假设数列{L n}满足求数列{L n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差关系确实定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：〔1〕利用新定义，代入计算，可得{b n}的通项公式．〔2〕表示出数列{c n}的“生成数列〞{l n}的通项，分类讨论，可得结论；〔3〕表示出L n，再分类讨论，即可求数列{L n}的前n项和T n．解答：解：〔1〕∵a n=n ，∴∴b n=2n﹣1；〔2〕当B=0时，l n=2An﹣A，由于l n+1﹣l n=2A〔常数〕，所以此时数列{c n}的“生成数列〞{l n}是等差数列．当B≠0时，由于l1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，此时l1+l3≠2l2，所以此时数列{c n}的“生成数列〞{l n}不是等差数列．〔3〕，当n是偶数时，==当n是奇数时，T n=T n+1﹣p n+1==综合：．点此题考察新定义，考察数列的求和，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．评：。
上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）2013.12一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．函数()f x =的定义域是___________．2．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 . 3．方程tan 2cos()2x x π=+在区间()0,π内的解为 .4．计算：21lim 1n n n n →∞⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=_________． 5．已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．6．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处可以填数字 ．（填入一个满足要求的数字即可）7．等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2462n n B a a a a =+++ ，则当n =____时，n B 取得最大值.8．已知x y R +∈、，且41x y +=，求19x y+的最小值.某同学做如下解答：因为 x y R +∈、，所以14x y =+≥19x y +≥①⨯②得1924x y +≥=，所以 19x y+的最小值为24。
判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时x 、y 的值. . 9．若4mx x+≥在[]3,4x ∈内恒成立，则实数m 的取值范围是 . 10．函数()()x x y 2arccos 1arcsin +-=的值域是 .11．已知函数()(2318,343x tx x f x t x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩在R 递减，则实数t 的取值范围是_________.12．设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.13．函数()()g x x R ∈的图像如图所示，关于x 的方程 2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解， 则m 的取值范围是_______________．14．已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．函数22log xy x =+的零点在区间（ ）内．（A ）11(,)43 （B ）12(,)35 （C ）21(,)52 （D ）12(,)2316．如果a b c 、、满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ）．（A ）ab ac > （B ）22cb ab <（C ）()0c b a -> （D ）()0ac a c -<17．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点， 则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）18．已知x y R ∈、，命题p 为x y >，命题q 为sin cos sin cos x y x y x y +>+.则命题p 成立是命题q 成立的 ( )．（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件P AB三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分8分）已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,B x x a x R =-≤∈. （1）求集合A ；（2）若R B A B = ð，求实数a 的取值范围.20．（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）行列式cos 2sin 01cos AA x A x x()0A >按第一列展开得1121312M M -+，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域． 21．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里。
上海十三校2013届高三上学期12月联考数学理试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。
1．已知集合{|12}M x x =-<<，21{|1,}2N y y x x M ==-∈，则M N = __________。
2．不等式111x >-的解集是_________________。
3．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x =______。
4．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=__________。
5．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()cos f x x a x π=+⋅，若(1)2f =，则实数a =_____。
6．若函数()()()f x x a bx a =+-（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为[4,)-+∞，则该函数的解析式为______________。
7．若1444lim()9111n n a a a a a-→∞+++=--- ，则实数a 的值等于________。
8．已知P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足1255AP AC AB =+，则APB ∆的面积与PAC ∆的面积之比为________。
9．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为__________。
10．若函数2()(21)||f x x a x =-+-有四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是_________。
11．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，如果存在两项m n a a 、，14a =，则14m n+的最小值为__________。
12．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅ __________。
2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= ．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= ．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= ；前2n项和S2n= ．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．417．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤418．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：f（x）=sinxcosx=sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，则f（x）的最大值为．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= 2 ．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵y=f﹣1（x）过点（3，4），∴原函数f（x）经过点（4，3），∴3=1+log a4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是（﹣3，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由复合函数的定义域的求法知﹣3＜2x﹣1≤3，从而解得．【解答】解：∵函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，∴﹣1＜x≤2，∴﹣3＜2x﹣1≤3，∴函数f（x）的定义域是（﹣3，3]；故答案为：（﹣3，3]．【点评】本题考查了复合函数的定义域的求法，属于中档题．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30 吨．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】因每次购买的次数相同，所以货物总吨数除以每次购买的数量应为整数，用购买次数乘以每次的运费加上总存储费用即为一年的总运费与总存储费用之和，然后利用基本不等式求最小值．【解答】解：设公司一年的总运费与总存储费用之和为y万元．买货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买的次数为次，因为每次的运费为3万元，则总运费为3×万元．所以y=（0＜x≤600）．则．当且仅当，即x=30时取得最小值．所以，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨．故答案为30．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用基本不等式求最值，解答此题注意两点：一是实际问题要有实际意义，二是利用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”．是中档题．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ﹣1 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，把圆心坐标代入直线方程即可求得m的值．【解答】解：由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，∴﹣1+3m+4=0，解得 m=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长24 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长．【解答】解：双曲线x2﹣=1的a=1，c==5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的定义知， x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24．故答案为：24．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列的前3项，由等比数列的性质求出首项和公比，由此能求出（a1+a3+a5+…+a2n）．﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，∴a1=S1=a+，a2=S2﹣S1=[a+（）2]﹣（a+）=﹣，a3=S3﹣S2=[a+（）3]﹣[a+（）2]=﹣，∴（﹣）2=（a+）（﹣），解得a=﹣1，，q==，∴=（﹣2）．∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=（）==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= 7 ；前2n项和S2n=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由数列递推式得到数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得a5+a6，用等差数列和等比数列前n项和公式求得前2n项和S2n．【解答】解：由a n+2=，可得，数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a5=a1+2d=1+2×1=3，，∴a5+a6=7；前2n项和S2n=S奇+S偶==．故答案为：7；．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间[﹣， +]，k∈Z ．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值可得函数的解析式，再利用二倍角公式、诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为=π，∴ω=2．再根据图象过点（，），可得sin（2•+φ）=，∴2•+φ=，∴φ=，f（x）=sin （2x+）=cos2x．函数g（x）=f（x）f（x﹣）=cos2xcos2（x﹣）=sin2xcos2x=sin4x．令2kπ﹣≤4x≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．故答案为：[﹣， +]，k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出分段函数的图象，由图象得到函数f（x）的单调性，然后把不等式f（x+a）＞f（2a ﹣x）在[a，a+1]上恒成立转化为不等式a＞2（a+1）求解．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象如图，要使不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则x+a＜2a﹣x在x∈[a，a+1]上恒成立，即a＞2x在x∈[a，a+1]上恒成立，∴a＞2（a+1），解得：a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是②④．【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h （x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时，令F（x）=f（x）﹣g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=f（x）﹣g（x）==，因为当x＞1且x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以存在分渐近线；对于③f（x）=，g（x）=，f（x）﹣g（x）==当x＞1且x→∞时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x→∞时f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→∞时，f（x）﹣g（x）===→0，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故答案为②④．【点评】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1化为，∴a2=1，，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，，解得m=4．故选D．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．17．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选C．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．18．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．【解答】解：①∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．∵a1＞1，∴q＞0．又∵，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确；②∵，∴0＜a99•a101 ＜1，即 a99•a101﹣1＜0，故②错误；③由于 T100=T99•a100，而 0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故③错误；④中T198=a1•a2…a198=（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）=（a99•a100）×99＞1，T199=a1•a2…a199=（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）•a100＜1，故④正确．∴正确的为①④，故答案为B．【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有a m•a n=a p•a q．其中根据已知条件得到aa99＞1，a100＜1，是解答本题的关键，属于基础题．三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．【考点】其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】解分式不等式求出命题p，二次不等式求出q，利用p是q的必要条件得到不等式组，求出m的范围即可．【解答】解：由命题，所以，不等式化为，解得p：﹣2≤x ＜10．命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），解得1+m≤x≤1﹣m；因为p是q的必要条件，即任意x∈q⇒x∈p成立，所以，解得﹣3≤m＜0；实数m的范围是：﹣3≤m＜0．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W 的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|B0|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），首先应有（t，a）⊆（﹣1，1），且当x∈（t，a）时，∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=﹣1，且，从而求出a和t的值；（3）假设存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），代入对数式后把x3用x1，x2表示，只要能够证明x3在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．【解答】解：（1）要使原函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，所以，函数f（x）的定义域D=（﹣1，1）f（x）是定义域内的奇函数．证明：对任意x∈D，有所以函数f（x）是奇函数．另证：对任意x∈D，所以函数f（x）是奇函数．（2）由知，函数在（﹣1，1）上单调递减，因为0＜a＜1，所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），所以（t，a）⊆（﹣1，1）且在（t，a）的值域是（a，+∞），故且t=﹣1（结合g（x）图象易得t=﹣1）由得：a2+a=1﹣a，解得或a=（舍去）．所以，t=﹣1（3）假设存在x3∈（﹣1，1）使得f（x1）+f（x2）=f（x3）即则，解得，下面证明．证明：法一、由．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，，∴，即，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．法二、要证明，即证，也即．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，∴，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，体现了数学转化思想方法，训练了存在性问题的证明方法，该题综合考查了函数的有关性质，属有一定难度的题目．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【考点】数列与函数的综合；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由， =，得b n+1﹣b n＞0，a n=，由此得到数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．（Ⅱ）先用数学归纳法证明，再证明a n+1＞a n． =﹣（a n﹣2）（a n+1）．然后证明，由此得到数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．（Ⅲ）假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，由此推导出无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，从而得到对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知， =，b n+1﹣b n==＞0，a n=，且存在n=1，a1=1，所以数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．…（Ⅱ）数列{a n}中，a1=，a n+1=，下面用数学归纳法证明，①，命题；②假设n=k时命题成立，即，当n=k+1时，，，所以，当n=k+1时，命题成立，即．下面证明a n+1＞a n． ==﹣（a n﹣2）（a n+1）．因为，所以，即a n+1＞a n．由，，两式相除得： =，a n+1＞a n，所以，，（）2﹣=（）＞0，即（）2＞．下面证明，即需证明（2+a n+1）a n＜（2+a n）a n+1，即需证明2a n＜2a n+1，而2a n＜2a n+1已证明成立，所以=，即b n+1＜b n，b n+1﹣b n＜0，所以，数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．…（Ⅲ）用反证法，假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，即，因为无穷数列{a n}各项为正且单调递增，所以t＞1．＞t n﹣1，所以．当时，a n＞M，所以无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．…【点评】本题考查数列{}是何种数列的判断，考查数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列的证明，考查∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0的证明，解题时要注意数学归纳法和反证法的合理运用．。
2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程211log 1log 2x x ++=的解是 ． 2. 已知函数11()13xf x -=，则1(4)f -= ． 3. 若实数,x y 满足1xy =，则224y x +的最小值为 ． 4. 设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ． 5. 已知,x R ∈的值为 ．6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 ．7. 若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 ． 8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则12lim(32)nn n nS n S →+∞+=+ ．9. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，则等级为50级需要的天数50a =_________．10. 若关于x 的方程sin 2cos 2x x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则k 的取值范围为 ．11. 某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是 ．12. 给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．213. 若集合{}220,x M x x x x N λ*=+-≥∈,若集合M 中的元素个数为4,则实数λ的取值范围为 ．14.对于非空实数集A ，定义{},A z x A z x *=∈≥对任意。
设非空实数集(],1C D ⊂⊆-∞≠。
现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有;D C **⊆ （2）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有C D *≠∅； （3）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有CD *=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有a b D *+∈．以上命题正确的是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分. 15．集合{}20,()()01x A xB x x a x b x ⎧-⎫=<=--<⎨⎬+⎩⎭，若“2a =-”是“A B ≠∅I ”的充分条件，则b 的取值范围是（ ）（A ）1b <- （B ）1b >- （C ）1b ≥- （D ）12b -<< 16.函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++则函数2014()f x 是（ ） （A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数 17.若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->．则下列结论正确的是( ) （A ）αβ> （B ）0αβ+> （C ）αβ< （D ）22αβ>18.若P 是以12,F F 为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足M 的轨迹是曲线C 的一部分,则曲线C 是( )（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线（D ）抛物线三、解答题(本大题共5小题，满分74分) 19.(本题满分12分)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？2014年高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷 第 3 页 共 10 页20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24(,)f x ax bx a a b R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．21.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分） 已知a 、b 、c 为正实数，()0,θπ∈．（1）当a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C．若1a c ==，且060A ∠=．求b 的长；（2）若2222cos a b c bc θ=+-．试证明长为a 、b 、c 的线段能构成三角形，而且边a 的对角为θ．422.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线24y x =．（1）若圆心在抛物线24y x =上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线10x +=相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线24y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若4FM FN =-,求直线MN 的斜率；（3）若过F 点且相互垂直的两条直线12,l l ,抛物线与1l 交于点12,,P P 与2l 交于点12,Q Q ． 证明：无论如何取直线12,l l ,都有121211PP Q Q +为一常数．23.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题①满分5分，第二小题②满分9分）在数列{}n a 中，11,a =且对任意的21,221,,k k k k N a a a *-+∈成等比数列，其公比为k q ，（1）若135212(),k k q k N a a a a *-=∈++++求L ；（2）若对任意的22122,,,k k k k N a a a *++∈成等差数列，其公差为1,1k k k d b q =-设． ①求证：{}n b 成等差数列，并指出其公差； ②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D ．2014年高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷 第 5 页 共 10 页数学试卷答案（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程211log 1log 2x x ++=的解是 {}1 ．2. 已知函数11()13xf x -=，则1(4)f -= 1 ． 3. 若实数,x y 满足1xy =，则224y x +的最小值为 4 ． 4. 设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z =5.已知,x R ∈的值为 0 ．6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 3 ．（文）若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积 为 4 ． 7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12lim(32)nn n nS n S →+∞+=+ 2 ．8. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，则等级为50级需要的天数50a =____2700______。
