向量到子空间的距离

知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。

在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。

本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。

第一种方法是点到点距离的计算。

设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。

设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。

第三种方法是点到平面距离的计算。

设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。

需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。

综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。

这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。

故所得的方程是： y = −1.05 x + 4.81 。 ⎧106.75a + 27.3b = 19.675 求解。 也可以直接解方程： ⎨ 27.3a + 7b = 5.12 ⎩ ⎛ 1.00 ⎞ ⎛ 3.6 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.90 ⎟ 3.7 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0.90 ⎟ ⎜ 3.8 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ 0.81 ⎟ A = ⎜ 3.9 1 ⎟ , ⎜ 0.60 ⎟ ⎜ 4.0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.56 ⎟ ⎜ 4.1 1 ⎟ ⎜ 0.35 ⎟ ⎜ 4.2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r r i =1 i =1
,r
对 ∀ξ ∈ W , ξ = ∑ kiα i , 则 (α , ξ ) = (α , ∑ kiα i ) = ∑ ki (α , α i ) = 0 故 α 与W中任意一个向量垂直。
第九章 欧几里得空间
对给定的 β , 设 γ 是W中的向量，若 β − γ 垂直于 W , 则 β − γ 是 β 到W的垂线(如下图)，下面要证明： 结论2 向量 β 到W中各向量的距离中以垂线最短。 证明：对 ∀δ ∈ W , β − δ 表示向量 β 与 δ 的距离。由于 β − δ = ( β − γ ) + (γ − δ ) 其中 γ ∈ W , 则 γ − δ ∈ W 。 由于 β − γ 垂直于 γ − δ , 由欧氏空间中的勾股定理，有
§9.7 向量到子空间的距离
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
第九章 欧几里得空间
一、向量到子空间的距离 在解析几何中，两个点 α = ( x1 , y1 , z1 ) 和 β = ( x2 , y2 , z2 ) 的距 离等于向量 α − β 的长度，即有

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(3.6a+b–1.00)2 + (3.7a+b–0.9)2 + (3.8a+b–0.9)2 +(3.9a+b–0.81)2 + (4.0a+b–0.60)2 + (4.1a+b–0.56)2 +(4.2a+b–0.36)2 最小. 这里讨论的是误差的平方 二乘方， 误差的平方即 最小 这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为 最小二乘法. 现在转向一般的 最小二乘法 现在转向一般的
第七节
向量到子空间的最小 距离·最小二乘法
间的距离等于向量 在解析几何中，两个点 和β间的距离等于向量 解析几何中 两个点α和 间的距离等于 α-β的长度 在欧氏空间中我们同样可引入 - 的长度. 定义13 长度|α-β|称为向量α和β的距离, 记为d(α, 称为向量 定义13 长度|α-β|称为向量α和β的距离, 记为d(α, β). 不难证明距离 不难证明距离d(α, β)=|α-β|的三条性质： 距离 - 的三条性质： 1) d(α, β)=d(β, α); 2) d(α, β)≥0，并且仅当 ，并且仅当α=β时等号才成立； 时等号才成立； 三角不等式） 3) d(α, β)≤d(α, γ)+d(γ, β) （三角不等式） (证明留给大家作练习 证明留给大家作练习.) 证明留给大家作练习
分别记成 由它们生成的 把A的各列向量分别记成 1, α2,…,αs. 由它们生成的 的各列向量分别记成α 子空间为 就是L(α 子空间为L(α1, α2,…,αs). Y就是 1, α2,…,αs)中的向 就是 中的向 于是最小二乘法问题可叙述成： 最小二乘法问题可叙述成 量. 于是最小二乘法问题可叙述成：

2. n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 是正交变换 维欧氏空间V中的线性变换 交矩阵． 交矩阵．
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则