线性代数中的向量空间与子空间

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1 第五章 线性空间

一、内容提要

⒈ 线性空间

定义1 设V是一个非空集合,P是一个数域. 若在V中定义的加法和数乘运算对集合V封闭,

且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V为数域P上的线性空间.

线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.

设V是数域P上的线性空间, W是V的非空子集, 若W对于V的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为线性空间V的一个线性子空间, 简称子空间.

⒉ 基、维数和坐标

定义2 若线性空间V中有n个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V是n维线性空间,称V中n个线性无关的向量为V的一组基,n称为V的维数,记作dim V = n ．

注 向量组12,,,n是V的一组基12,,,n是V中的n个线性无关向量且V中的任一向量可由12,,,n线性表示.

向量组12,,,s生成的空间L(12,,,s)的一组基就是12,,,s的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s的秩.

定义3 设12,,,n是n维线性空间V的一组基,  为V中的任一向量, 若

1122nnxxx

则称数12,,,nxxx 为向量 在基12,,,n下的坐标, 记作 12(,,,)nxxx.

向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.

定义4 设12,,,n和12,,,n是n维线性空间V的两组基, 且

（12,,,n）=（12,,,n）C (1)

称C为由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n到基12,,,n的基变换公式．

定理1 设12,,,n和12,,,n是n维线性空间V的两组基, 由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为C = nnijc)( ,即 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

80 习题5.1

1. 在4R中，求向量α,β之间的夹角，设

（1）(2,1,3,2),(1,2,2,1)TTαβ；

（2）(1,2,2,3),(3,1,5,1)TTαβ.

解 （1）由于,22620,αβ故夹角,arccos.2αβαβ；

（2）32,6,αβ,3210318,αβ故夹角,arccos.4αβαβ

2. 求一单位向量，使它与已知向量1(2,3,1)Tα及2(2,1,1)Tα都正交.

解 设123(,,)Txxxx，则由10Txα，20Txα得12312323020xxxxxx，解得(1,2,4)Tkx，因1Txx，故得1(1,2,4)21Tx.

3. 设(2,1,3,2),(1,2,1,1)TTαβ，求两个正交的单位向量，使它们与α,β都正交.

解 先求与α,β都正交的两个线性无关的向量，设为1234(,,,)Txxxx，由12341234232020xxxxxxxx，解得12(1,0,0,1)(7,5,3,0)TTxx，将它们正交化

111222111(1,0,0,-1);(,)777(7,5,3,0)(1,0,0,1)(,5,3,).(,)222TTTTβxβxβxβββ

取12(1,0,0,1),(7,10,6,7)TTββ，再单位化得

12111(,0,0,),(7,10,6,7)22234Tεε.

4. 设B是秩为2的54矩阵，123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)TTTααα是齐次线性方程组Bx0的解向量，求Bx0的解空间的一组标准正交基.

解 因()RB=2，故解空间的维数是2，又12,αα无关，则12,αα是解空间的一组基.取 81 11(1,1,2,3)Tβα，则与1β正交的向量

向量分解定理

向量分解定理是线性代数中的重要定理之一。它指出，对于一个给定的向量空间V和其子空间U，任何向量v∈V都可以唯一地表示为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。换句话说，任何一个向量都可以分解为与给定子空间无关的两个向量之和。

在进一步探讨向量分解定理之前，我们需要先了解一些基本概念。向量空间是指具有加法和数乘两种运算的非空集合，它满足特定的运算规则。子空间是在向量空间内构成的一个向量子集，它本身也是一个向量空间。补空间是指与给定子空间正交的向量构成的向量子集。

在线性代数的研究中，向量分解定理发挥着重要作用。它提供了一种方法来寻找向量空间中的最优解。对于一个给定的向量v∈V，我们希望能够将其分解为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。这样一来，我们就可以根据具体的问题要求去选择合适的子空间U，以及使得向量v达到最优的补空间向量w。

向量分解定理的证明过程可以通过构造线性方程组来实现。我们可以选择一个合适的基，并找到V的基底B1和U的基底B2。然后根据V和U的基底B1和B2构造出一个矩阵A，并将向量v写为矩阵A乘以一个向量x的形式。通过求解线性方程组Ax= v，我们就可以得到x的解，从而得到向量v关于子空间U的向量分解。

向量分解定理的一个重要应用是在最小二乘法中的使用。最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它用于拟合线性方程模型时，寻找使得模型与实际观测值之间误差平方和最小的参数。在最小二乘法中，我们希望将观测值向量y表示为模型矩阵X与参数向量β的乘积，即y=Xβ。然而，由于观测误差的存在，通常情况下方程组的解不存在。这时，我们可以通过向量分解定理，将观测值向量y分解为模型矩阵X的列空间的向量与X的列空间的补空间的向量之和。这样一来，我们可以通过最小化观测值向量y在X的列空间上的投影误差来近似求解参数向量β。

除了最小二乘法，向量分解定理还在其他领域有广泛的应用。例如在图像处理中，将图像表示为其灰度基函数与系数的乘积形式，就是利用了向量分解定理的思想。通过选择不同的基函数，我们可以得到不同的图像特征，从而实现图像的降维和压缩。此外，在信号处理、统计学和计算机科学等领域，向量分解定理也得到了广泛的应用。

1 §3.1.1 空间向量的线性运算

高二数学理B 编号：1 编制：孙国兴 审核：纪登彪 时间：2009-2-5

一、学习目标：

1、理解相关概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法；

2、会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量以及它们的运算律；

3、能解决简单的立体几何中向量的运算问题。

二、重点难点

重点：向量的运算和运算律；难点：解决几何中的问题。

三、知识梳理及课前达标

（一）知识梳理

1、在空间，具有 和 的量叫做向量。

2、 且 的有向线段表示同一向量或相等向量。

3、表示向量a的有向线段的 叫做向量的长度或模，记作 。

4、有向线段所在的 叫做向量的基线。

5、如果空间向量的基线 或 ，则这些向量叫做 向量或向量，a平行于b，记作a b。

6、空间向量的加法于数乘向量满足加法 、 以及数乘 。

7、有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和 。

（二）课前达标

1、在平行六面体1111ABCDABCD中，1,,ABaADbAAc，则1DB（ ）

Ａ. abc Ｂ. abc Ｃ. abc Ｄ. abc

2、在平行六面体1111ABCDABCD中，向量11,,ABADBD是 （ ）

Ａ.有相同起点的向量 Ｂ.是相等的向量 Ｃ. 是共面向量 Ｄ. 是是共面向量

3、,MN分别是四面体ABCD的棱ABCD、的中点，则MN ADBC。