实变函数第三章复习题及解答
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第三章 复习题
一、判断题
1、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,如果对任意实数a ,都有[()]E x f x a >为可测集,则()f x 为E 上的可测函数。(√ )
2、设()f x 是定义在可测集n
E R ⊆上的实函数,如果对某个实数a ,有[()]E x f x a >不是可测集,则()f x 不是E 上的可测函数。(√ )
3、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a , [()]E x f x a ≥为可测集。(× )
4、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a , [()]E x f x a =为可测集。(× )
5、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a , [()]E x f x a ≤为可测集。(√ )
6、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b (a b <), [()]E x a f x b ≤<为可测集。(× )
7、设E 是零测集,()f x 是E 上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数。(√ )
8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ,则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。(× )
9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数,则()f x 在E 上“基本上”连续。(√ )
10、设E 为可测集,若E 上的可测函数列()()n f x f x ⇒(x E ∈),则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。(× )
11、设E 为可测集,若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ,则()()n f x f x ⇒(x E ∈)。(× )
二、填空题
1、[]E f a > 等于 11[]n E f a n ∞
-≥+U ,[]E f a ≥ 等于 11[]n E f a n ∞->-I 。
2、[]E a f b << 包含于 []E f a >,[]E a f b << 包含于 []E f b <;
[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b >-≥。 3、设1
n n E E ∞==U ,则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞
=
4、设1n n E E ∞==I ,则[]E f a ≥ 等于 1
[]n n E f a ∞=≥I 。
5、由于区间I 上的单调函数()f x 的不连续点所成的集为 至多可数 集,则()f x 为I 上的 几乎处处 连续函数,从而()f x 为I 上的 可测 函数。
6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数(只要有意义)仍可测 。
7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数;在几乎处处收敛的意义下,任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。
8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数;可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。
9、叙述叶果洛夫定理 设E 是测度有限的可测集,则E 上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。
10、叙述鲁津定理 设E 是可测集,则E 上的可测函数“基本上”是连续函数 。
11、若()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈),则()f x 等于 ()g x 几乎处处于 E 。
三、证明题
1、证明:1
R 上的连续函数必为可测函数。
证明:设()f x 是1R 上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数a ,11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集,从而是可测集。所以,()f x 是1R 上的可测函数。
2、证明:1
R 上的单调函数必为可测函数。
证明:不妨设()f x 是1R 上的单调递增函数,对任意实数a ,记inf{()}A x f x a =>,由单调函数的特点得,当{()}A x f x a ∈>时,{()}[,)x f x a A >=+∞,显然是可测集;当{()}A x f x a ∉>时,{()}(,)x f x a A >=+∞,也显然是可测集。故()f x 是1R 上的可测函数。
3、证明:若()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈),则()()f x g x =..a e 于E 。 证明:由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n
∞=≠=-≥U ,而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k
-≥⊂-≥⋃-≥, 所以,
111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k
-≥≤-≥+-≥, 由()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈)得
1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=,1lim []02n n mE x f g k
→∞-≥=。 所以,1[]0mE x f g k
-≥
=,从而[()()]0mE x f x g x ≠=,即()()f x g x =..a e 于E 。 4、证明:若()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒(x E ∈),则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±(x E ∈)。
证明:对任意0σ>,由于
()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-, 所以,由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得,
1()()2n f x f x σ-≥和1()()2
n g x g x σ-≥至少有一个成立。 从而
11[[]][][]22
n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥, 所以,
11[[]][][]22
n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。 又由()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒(x E ∈)得,
1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=,1lim []02
n n mE x g g σ→∞-≥=。