2015高考数学一轮题组训练：7-2一元二次不等式及其解法

§7.2一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<b a＝b a>b(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x <b 或x >a } (x －a )·(x －b )<0{x |a <x <b }∅{x |b <x <a }口诀：大于取两边，小于取中间． 知识拓展 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．[P80A 组T4]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－x x ＋1≤0，那么集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．[－2,4) B ．(－1,3] C ．[－2，－1] D ．[－1,3]答案 D解析 因为A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x ≥4}， 故∁U B ＝{x |－1≤x <4}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 3．[P80A 组T2]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65解析 当a 2－4＝0时，a ＝±2.若a ＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a ＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a ≠±2时，要使不等式的解集为空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式典例 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题点2 含参不等式典例 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 跟踪训练 解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a3； 当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)答案 D解析 ∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.(2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4)答案 B解析 对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题典例 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意，知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a2≤－2，g(－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a2≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 题型三 一元二次不等式的应用典例 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元． 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意，得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立， 即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )恒成立．令g (x )＝－(x 2＋2x )，则g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} 答案 A解析 由(x －1)(2－x )≥0可知，(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．(2018·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1) 答案 C解析 依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．3．(2018·商丘调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]答案 A 解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图所示，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4} 答案 D解析 由题意知，当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 答案 C解析 设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．答案 1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是____________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 解析 原不等式即(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0， 由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a. ∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a . 9．(2018·济南模拟)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析 原不等式等价于，(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m －2＝0，即m ＝2时，对任意x ，不等式都成立；②当m －2<0，即m <2时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，解得－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2]．10．(2018·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________． 答案 {x |－ln 2<x <ln 3}解析 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)， 由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3， 解得－ln 2<x <ln 3.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a ， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－34，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．解 因为(a ＋b )x ＋2a －3b <0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－34， 所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b ＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0，等价于bx 2＋(4b －2)x ＋3b －2>0，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2b x ＋3－2b<0， 即(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3－2b <0. 因为－3＋2b<－1， 所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3＋2b <x <－1.13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 方法一 ∵x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)>0，即25＋5a －2>0，解得a >－235. 方法二 由x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，可得a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,5]上有解． 又f (x )＝2x－x 在x ∈[1,5]上是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝－235，只需a >－235. 14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________．答案 [－8,4]解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知， Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.15．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0， 若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8 答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b 22， 若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当2<x <4时，－8<f (x )<0，所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8，故选D.16．(2017·宿州模拟)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案(－∞，0]解析因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知，当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．。

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第二节 一元二次不等式及解法一、选择题1. 【2014·潍坊质检】不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【2014·湖北八校联考】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]【答案】C【解析】函数图像恒在x 轴上方，即不等式22(45)41)30(a a x a x >＋－－－＋对于一切x ∈R 恒成立．5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a <125B ．80<a <125C ．a <80D ．a >1256.【2014莆田二模】不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【2014厦门模拟】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】 A8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x = 【答案】C【解析】由(1)(3)f f -=得11931b b -+=++,即2b =-.∴2()210f x x x =-+>,解得1x ≠.10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥当t ＜0时，不等式可化为：t2+2t+1≥1，解得t ≤-2； 综上满足条件的t 的范围是（-∞．-2]∪{0}∪[2， +∞）． 二、填空题11. 若关于x 的不等式1420xx a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．12. 已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13. 已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .【答案】3(,]2-∞【解析】因为，⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解3(,]2-∞三、解答题14.【2014日照模拟】已知函数R.(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式220x x a a <－－－.15. 已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈（1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围.16. 已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．。

第二节 一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题．2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[例1] (1)(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为______________．(2)(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．(3)(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152[自主解答] (1)由x 2＋x －2<0，得(x －1)(x ＋2)<0，∴－2<x <1，即不等式x 2＋x －2<0的解集为{x |－2<x <1}．(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，0，－x 2－4x ， x >0，x ＝0，x <0. ①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．(3)法一：∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－－8a 2＝15，又∵a >0，∴a ＝52. 法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为 (x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. [答案] (1){x |－2<x <1} (2)(－5,0)∪(5，＋∞) (3)A一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式．①对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；②对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．(2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法．先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数的性质求解．(3)已知一元二次不等式的解集求参数．根据根与系数的关系求解．1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根． 由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：93．解关于x 的不等式：x 2－(3＋a )x ＋3a >0.解：∵x 2－(3＋a )x ＋3a >0，∴(x －3)(x －a )>0.①当a <3时，x <a 或x >3，不等式的解集为{x |x <a 或x >3}；②当a ＝3时，不等式为(x －3)2>0，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠3}；③当a >3时，x <3或x >a ，不等式的解集为{x |x <3或x >a }．[例2] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[自主解答] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数， 所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数． 因此函数的最小值y min ＝67. 所以， m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【互动探究】在本例条件下，求使f (x ) <0，且|m |≤1恒成立的x 的取值范围．解：将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧ g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0， 解得1－52<x <1＋52， 即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 【方法规律】不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a <－1，g －解得－3≤a≤1.故a的取值范围是[－3,1]．[例3] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在300元以上？[自主解答] 设每件提高x元(0≤x≤10)，则每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，又设每天获的利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.当x＝4时，y取得最大值360.∴当售价定为每件14元时，每天所获利润最大，为360元．要使每天所获的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－6<x<4＋ 6.故每件定价在(4－6)元到(4＋6)元之间[不含(4－6)元和(4＋6)元]时，才能保证每天所获的利润在300元以上．【方法规律】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)·(10－x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.即x的取值范围为(0,2]．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个过程——一元二次不等式的求解过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．种思想——分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题．个注意点——解含参数不等式应注意的问题(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．。

§7.2 一元二次不等式的解法考纲解读分析解读 1.一元二次不等式的解法是高考热点.2.熟练掌握图象法求解一元二次不等式的方法、步骤.3.理解分式不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程.4.以函数为载体,一元二次不等式的解法为手段,求参数的取值范围也是高考热点,属于中低档题.五年高考考点 一元二次不等式的解法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x 2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 答案 B2.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30] 答案 C3.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时, f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 . 答案 (-5,0)∪(5,+∞)教师用书专用(4—5)4.(2013广东,9,5分)不等式x 2+x-2<0的解集为 . 答案 {x|-2<x<1}5.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x≥0时,f(x)=x 2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是 . 答案 (-7,3)三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点 一元二次不等式的解法1.(2018黑龙江大庆实验中学期中,5)对于任意实数x,不等式(a-2)x 2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]答案 D2.(2017河北八所重点中学一模,7)不等式2x2-x-3>0的解集为( )A. B.C. D.答案 B3.(2017广东汕头潮阳黄图盛中学第三次质检,9)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案 B4.(2017上海浦东新区期中联考,17)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]答案 A5.(2018全国名校第三次联考,13)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为.答案{x|-a<x<3a}6.(2018豫北豫南名校精英联赛,13)不等式x2-3|x|+2>0的解集是.答案(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)7.(2017重庆二诊,13)若关于x的不等式(2a-b)x+(a+b)>0的解集为{x|x>-3},则= .答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,8)不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为( )A. B.C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2或x>1}答案 A2.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三10月阶段考试,7)已知关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的整数a的值之和是( )A.13B.18C.21D.26答案 C3.(2017四川成都实验外国语学校二诊,8)已知0<a1<a2<a3,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B4.(2017湖北重点高中联合协作体期中,11)已知函数f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的a 的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,)C.(1,2)D.(0,)答案 B5.(2016湖南衡阳八中一模,8)已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解,则实数a的最大值是( )A.2B.3C.5D.8答案 D二、填空题(共5分)6.(2017上海浦东新区期中联考,11)已知f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1-x),a>0且a≠1,则使f(x)-g(x)>0成立的x的集合是.答案{x|-1<x<0}(0<a<1)或{x|0<x<1}(a>1)三、解答题(共15分)7.(2017中原名校豫南九校第四次质量考评,19)已知函数f(x)=a(x2+1)+ln x.(1)当a≥0时,解关于x的不等式f(x)>2a;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.解析(1)f '(x)=2ax+=(x>0),当a≥0时,恒有f '(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=2a,所以f(x)>2a可化为f(x)>f(1),故x>1.所以原不等式的解集为{x|x>1}.(2)对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,x∈[1,3],当a∈(-4,-2)时,由f '(x)=≤0,得x≥,因为a∈(-4,-2),所以<<<1.从而f(x)在[1,3]上是减函数,所以f(x)max=f(1)=2a,所以ma-a2>2a,即m<a+2.因为a∈(-4,-2),所以-2<a+2<0,所以实数m的取值范围为m≤-2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 一元二次不等式及分式不等式的解法1.(2017安徽江淮十校第三次联考,5)|x|(1-2x)>0的解集为( )A.(-∞,0)∪B.C. D.答案 A2.(2018上海长宁、嘉定一模,2)不等式≤0的解集为.答案(-1,0]3.(2017江苏南京一模,12)已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为.答案-方法2 解含参数的一元二次不等式4.(2016福建福州校级期末,17)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.解析(1)根据题意,得方程ax2-3x+2=0的两个根为1和b,∴由根与系数的关系,得解之得a=1,b=2.(2)由(1)知不等式ax2-(am+b)x+bm<0即为不等式x2-(m+2)x+2m<0,因式分解,得(x-m)(x-2)<0,①当m=2时,原不等式的解集为⌀;②当m<2时,原不等式的解集为(m,2);③当m>2时,原不等式的解集为(2,m).方法3 一元二次不等式恒成立问题的解题方法5.(2017四川成都七中二诊,11)已知函数f(x)=x2-2ax+1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是( )A. B.[-1,1] C.(-∞,1] D.答案 C6.(2018江苏南京金陵中学高三上学期月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是.答案1≤t≤。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。

高考数学一轮复习学案：7.2 一元二次不等式及其解法（含答案）7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数.一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1“三个二次”的关系判别式b24ac000的图象一元二次方程ax2bxc0a0的根有两相异实根x1，x2x10a0的解集x|xx2xxb2ax|xR一元二次不等式ax2bxc0的解集x|x10x|xbx|xax|xaxaxb0的解集是，x1x2，，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.3若方程ax2bxc0a0没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.4不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集为，173173，.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为________用区间表示答案4,1解析由x23x40可知，x4x10的解集为，132，，即原不等式的解集为，132，.命题点2含参不等式典例解关于x的不等式ax222xaxaR解原不等式可化为ax2a2x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为x2ax10，解得x2a或x1.当a1，即a0，x3x20，可得x2或x0，则必有a0，a24a0.解得x3.故当x的取值范围为，13，时，对任意的m1,1，函数fx的值恒大于零思维升华1对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值2解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练函数fxx2ax3.1当xR时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；2当x2,2时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；3当a4,6时，fx0恒成立，求实数x的取值范围解1当xR时，x2ax3a0恒成立，需a243a0，即a24a120，实数a的取值范围是6,22当x2,2时，设gxx2ax3a0，分如下三种情况讨论如图所示如图，当gx的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a243a0，即6a2.如图，gx的图象与x轴有交点，但当x2，时，gx0，即0，xa22，g20，即a243a0，a22，42a3a0，可得a2或a6，a4，a73，解得a.如图，gx的图象与x轴有交点，但当x，2时，gx0.即0，xa22，g20，即a243a0，a22，7a0，可得a2或a6，a4，a7.7a6，综上，实数a的取值范围是7,23令haxax23.当a4,6时，ha0恒成立只需h40，h60，即x24x30，x26x30，解得x36或x36.实数x的取值范围是，3636，题型三一元二次不等式的应用典例甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求1x10，每小时可获得的利润是1005x13x 元1要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；2要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产速度并求最大利润解1根据题意，得2005x13x3000，整理得5x143x0，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是3,102设利润为y元，则y900x1005x13x910451x3x2910431x1626112，故当x6时，ymax457500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元思维升华求解不等式应用题的四个步骤1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果跟踪训练某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成1成10，售出商品数量就增加85x成要求售价不能低于成本价1设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yfx，并写出定义域；2若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围解1由题意，得y1001x101001850x.因为售价不能低于成本价，所以1001x10800.所以yfx4010x254x，定义域为x0,22由题意得4010x254x10260，化简得8x230x130，解得12x134.所以x的取值范围是12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例1已知函数fxx2axba，bR的值域为0，，若关于x的不等式fx0恒成立，则实数a的取值范围是________思想方法指导函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析1由题意知fxx2axbxa22ba24.fx 的值域为0，，ba240，即ba24.fxxa22.又fx0恒成立即当x1时，ax22x恒成立令gxx22x，则gxx22xx121在1，上单调递减，gxmaxg13，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案192a|a3。