等比数列 (第一课时)教案

2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾 （1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二 探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二 新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二 类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一 温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二 类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三 思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四 夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一 初步运用 基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________． 【知识点:等比数列通项公式】 答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二 能力提升 通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】 答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（ ） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】 答案:D 3．课堂总结 【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测 一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破 一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______． 答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ． 答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ． 答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ． 答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研 一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】 二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18． 三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】 由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】 设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即 （1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ． 二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐 一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（ ）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（ ）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（ ）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（ ）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（ ） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________． 答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ． 答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式． 答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22； （2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立． 当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立； 当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。

2.4等比数列（第一课时：等比数列的概念）--------高二数学组李丁丁教学目标１、知识与技能：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。

２、过程与方法：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析和逻辑推理能力。

３、情感、态度与价值观：通过等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度。

教学重点与难点重点：等比数列的定义、通项公式的推导。

难点：等比数列通项公式的初步应用。

教学过程一、问题情境首先请同学们看以下几个事例（幻灯片展示）情境1、国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：第1个方格放1颗麦粒，第2个方格放2颗麦粒，第3个方格放4颗麦粒，第4个方格放8颗麦粒，以此类推，直到第64个方格，应该放多少颗麦粒，国王能否满足他的要求？情境2、“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”情境3、一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。

如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮。

邮件接收者发送病毒称为第二轮，以此类推，假设每一台计算机感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机构成什么样的数列？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想、发现：1、上述例子可以与数列联系起来（有等差数列的学习做基础）2、得到以下3个数列：① 1,2,22，…，263② 1，，，4121…,n21⎪⎭⎫ ⎝⎛,… ③ 1,20,202,203,…,通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）三、 数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数 列，谁能试着给这样的数列取个名字？（学生通过联想、尝试、得出最恰当的命名：等比数列）2、归纳总结，形成等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）(引导学生经过类比等差数列的定义得出)3、对等比数列概念的深化理解问题1：上述三例的公比分别是什么？问题2、刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，请同学们类比等差数列，将等比数列定义的内容用数学表达式写出（由学生活动得出，判定方法：)(1为常数q q a a nn =+ 问题3、在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项1a 表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件表示这个等比数列的每一项？（启发引导，引导学生类比等差数列大胆尝试，讨论回答）归纳法：根据等比数列的定义：3134212312q q q a a a q a a a q a a =====，， ，…,∴11-=n n q a a (分析式子结构：1、只要知道q a ，1可求等比数列 中的任一项；2、任一项都可表示成q a 和1的形式，知三求一)四、 数学运用例3、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。

《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计第一课时：等比数列的前n项和一、教学目标1. 知识与技能：掌握等比数列的概念和性质，了解等比数列的通项公式以及前n项和的计算方法。

2. 过程与方法：通过案例分析和实例演练，引导学生建立等比数列的基本概念和计算方法。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生的解决问题的能力和思维逻辑能力。

三、教学准备1. 教学内容：等比数列的前n项和。

2. 教学资源：教材、教学课件、实例题材。

3. 教学环境：教室、黑板、投影仪。

4. 学生准备：学生需提前预习并准备好相关课文和课后习题。

四、教学过程1.导入（5分钟）教师可通过引入等比数列的概念及应用案例，引起学生的兴趣，激发学生的求知欲。

2.呈现（15分钟）教师通过教学课件或实例题材，讲解等比数列的概念，并引出等比数列的通项公式和前n项和的计算方法。

重点讲解等比数列前n项和的计算公式，并通过实例进行讲解和演练。

4.练习与讨论（15分钟）教师布置相关练习题，要求学生在课后完成，并组织学生进行解题讨论。

通过练习和讨论，巩固学生所学知识，加深对等比数列前n项和的理解。

5. 拓展与应用（10分钟）教师通过拓展性问题或应用案例，引导学生将所学知识应用于实际问题中，培养学生的数学建模能力。

五、课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点知识进行归纳和总结，澄清学生的疑问，为下节课的学习做好铺垫。

六、作业布置布置相关练习题，要求学生完成课后练习，巩固所学知识。

七、教学反思通过本节课的教学设计和实施，学生可以系统地学习到等比数列的前n项和的计算方法，培养了学生的数学思维能力和解决问题的能力。

通过实例演练和讨论，学生的学习兴趣得到了激发，课堂氛围良好。

需要改进的地方是在教学过程中，对于学生的个别问题能够给予更多的帮助和引导，以确保每个学生都能够理解和掌握所学知识。

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，?（２）8，16，32，64，128，256，?（３）1，1，1，1，1，1，1，?（４）1，2，4，8，16，?263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，?，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，3.递推公式：an?1∶an?q(q?0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计教学目标：知识与技能：了解等比数列的概念和性质，掌握等比数列通项公式和前n项和公式的推导和应用。

情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣和探究精神，培养学生合作学习和独立思考的能力。

教学重点与难点：难点：等比数列的性质和推导的逻辑思维。

教学准备：教学设备：投影仪、黑板、白板、计算器。

教学材料：教材、习题集。

教学过程：一、导入（5分钟）教师通过投影仪播放一段视频或展示一组图片，引入等比数列的概念。

视频或图片可以选择一组不断增大或减小的元素，让学生观察并思考，引导学生思考每个元素之间是否存在某种关系。

教师可以提问：1. 观察这组元素，你们觉得它们之间是否存在某种规律？2. 这组元素是否有一个公共的特点或性质？3. 你能用一句话来概括这组元素的规律吗？教师通过上面的引导引入等比数列的概念和性质，给出等比数列的定义：如果一个数列的任意两个相邻的数之间的比值都相等，那么就称这个数列为等比数列。

接着，教师给出等比数列的通项公式：对于等比数列an，如果其首项是a1，公比是r，那么第n项an的计算公式为：an = a1 * r^(n-1)三、示例与讲解（15分钟）教师选择一些实际生活中的例子，如存款的利息、人口增长等，给出具体的数列，引导学生分析其中的规律，并用等比数列的公式来计算相关问题。

示例：某银行的存款利率为每年5%，小明决定每年将存款利息再投资进去，问他每年的存款金额是多少？解析：假设小明的初始存款为a1，第一年的存款金额为a2，第二年的存款金额为a3，依此类推，可以得到等比数列an = a1 * (1 + 0.05)^(n-1)。

通过计算，可以得到小明每年的存款金额。

四、练习与巩固（20分钟）教师提供一些练习题，让学生运用等比数列的通项公式计算。

练习题：1. 已知等比数列的首项是2，公比是3，求第8项的值。

2. 已知等比数列的首项是5，第4项是320，求公比。

3. 已知等比数列的首项是1，公比是0.5，求前10项的和。

4 等比数列（第一课时）一等奖创新教案《等比数列》第一课时教学设计【教学内容】人教A版高中数学必修5第2章第四节【教学对象】高一年级（下）理科平行班学生【课时安排】一课时【教材分析】1．内容简析本节内容先由师生共同分析一系列日常生活中的实际问题，提炼出其中存在的特殊数列来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。

在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想。

2．教材的地位与作用本节内容在教材中起到承上启下的作用。

一方面，学法的承上，本节课之前学习了等差数列，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想；另一方面，为后续进一步研究等比数列的性质、等比数列前项和公式，求一般数列通项公式做好准备。

3．教学目标确定从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念。

从而可以确定如下教学目标（三维目标）：（1）知识与技能：理解等比数列、等比中项的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导，并学会用定义法证明等比数列（2）过程与方法：在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力以及计算能力（3）情感、态度与价值观：通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识4．教学重点与难点重点：等比数列的定义及通项公式及其应用难点：通项公式的推导和应用5．学情分析学生在之前已经学习过“等差数列”的内容，对数列已经有了初步的认识，并且具有一定的的观察、分析、归纳能力，和类比思想。

等比数列教案一、教学目标：1. 了解等比数列的定义、性质和运算规律；2. 能够根据等比数列的首项和公比求出任意一项的值；3. 能够判断一个数列是否为等比数列，并求出它的首项和公比；4. 能够应用等比数列解决实际问题。

二、教学重点：1. 理解等比数列的定义和性质；2. 掌握等比数列的运算规律；3. 判断一个数列是否为等比数列，并求出它的首项和公比。

三、教学难点：1. 应用等比数列解决实际问题；2. 掌握等比数列的运算规律。

四、教学准备：1. 教师准备教学课件；2. 学生准备课本、笔记本等教学工具。

五、教学过程：1. 导入新知：提问学生是否了解数列的概念，并询问有哪些种类的数列。

引入等比数列的概念，并与等差数列进行对比，让学生体会两者的区别。

2. 等比数列的定义和性质：a. 引导学生独立思考，定义等比数列：若一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的比值都相等，则称这个数列为等比数列。

b. 探究等比数列的性质：等比数列中，任意一项与它前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

公比只与首项和公共比率有关，与项数无关。

c. 给出等比数列的通项公式：第n项的值可表示为$a_n = a_1\\cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。

3. 等比数列的运算规律：a. 计算等比数列中任意一项的值：通过已知的首项和公比，使用通项公式计算任意一项的值。

b. 求等比数列的前n项和：将等比数列的前n项进行求和，得到等比数列前n项和的公式为$S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}$。

4. 判断一个数列是否为等比数列：a. 检查相邻两项的比值是否相等，若相等则为等比数列；若不等，则不是等比数列。

b. 若为等比数列，计算出它的首项和公比。

5. 应用等比数列解决实际问题：a. 引导学生思考并解决一些实际问题，如利用等比数列计算存款利息、人口增长等问题。

b. 分组讨论，互相交流解决问题的方法和答案。

§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。

而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。

所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。

3.12 等比数列一、教学目标1、知识与技能（1）掌握等比数列的定义；（2）掌握等比数列的通项公式及其推导；（3）会灵活运用等比数列解题.2、过程与方法（1）在学习知识的过程中，结合例题与练习，进一步熟练理解及掌握等比数列的定义；（2）通过探索等比数列的通项公式及其推导过程与应用，学会观察、猜想、分析、归纳、证明等能力，并能在具体的问题情境中，发现并灵活运用数列的等比关系；（3）通过体会等比数列与等差数列等数学知识之间的联系，学会运用类比、函数方程等思想方法.3、情感态度与价值观（1）联系生活实例，充分感受等比数列是反映现实生活的模型及其应用的广泛性，体会等比数列是来源于生活实践，并应用于生活实践的，从而提高学习兴趣；（2）在等比数列的探索和证明过程中，体会由特殊到一般的认识事物的规律，养成既善于大胆猜想又严谨求实的科学的态度.二、教学重点与难点1、教学重点理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式.2、教学难点理解等比数列通项公式的推导，会灵活应用定义及通项公式解决实际问题.三、教学设计1、情境设计用必修五第二章第四节的四个具体实例，设置问题情境，激发学生学习动机，引导学生发现这些数列的共同特点，从而引入等比数列的定义.2、教学内容的处理（1）给出几组数列，让学生判断它们是否为等比数列，并根据定义让学生理解等比数列的每一项及公比均不为零的特性，加深与强化对等比数列定义的理解与掌握.（2）对于等比数列通项公式的推导可由等差数列通项公式类比得出，加深学生对不完全归纳法和叠乘法的理解与认识.3、教学方法通过个人独立思考与小组合作合作交流相结合，采取启发式、合作式、探究式及讲练结合的课堂教学方法.四、教学过程（一）创设问题情境（预计2分钟）必修五第二章第四节的四个例子：细胞分裂模型、庄子的“一尺之锤”、计算机病毒与银行利息问题.教学互动：教师启发引导，通过学生的积极思考，发现问题，之后教师进行分析. 设计意图：培养从实际问题中抽象出数列模型的能力及运用数学知识解决问题的能力.（二）新课引入（预计3分钟）1、将上述四个问题的结果写成数列的形式： 问题1：① ,8,4,2,1问题2：② ,81,41,21,1 问题3：③ ,20,20,20,132问题4：④ 520198.110000,,0198.110000,0198.110000⨯⨯⨯ . 2、观察：以上①、②、③、④四个数列有什么共同特点？ 发现：①,2816482412===== ②,218116141812141121=====③,2020202020202012034232=====④.0198.10198.1100000198.1100000198.1100000198.110000232==⨯⨯=⨯⨯ 3、共同特点：从第二项起，数列的每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 教学互动：教师引导学生观察这四个数列，让学生发现这四个数列的共同特点.设计意图：由实际问题迁移到数学问题，并通过观察分析，由共同特点引入等比数列定义.（三）形成概念（预计10分钟）1、等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示. 2、提问：如何用数学语言描述等比数列定义？数学语言描述：).0,0(1≠≠=+q a q a a n nn 3、思考题（引出等比数列定义的限定条件）如果),(1为常数q N n q a a n n ++∈=，那么数列{}n a 是否为等比数列？ 注意：（1）等比数列定义的限定条件：;0,0≠≠q a n（2）由定义可推出q a a n n =+1，但q a a n n =+1不一定能推出{}n a 为等比数列（要考虑n a 是否等于0）.4、基本练习（PPT 展示）判断下列数列是否为等比数列，若是，请给出它们的公比；若不是，请说明原因. ① ,128,64,32,16,8 ② ,16,8,4,2,1-- ③ ,1,1,1,1,1 ④ ,8,4,2,1,0⑤.42,21,22,1,2 答案：①②③⑤是等比数列，其公比分别为22,1,2,2-（①②③④是无穷数列，⑤是有穷数列；①④是递增数列，⑤是递减数列，②是摆动数列，③是非零常数列）. 教学互动：教师提问，由学生回答.注意：要求给出公比是为了防止学生片面理解公比只能为正数.（四）循序渐进（预计12分钟） I. 等比数列通项公式1、已知等比数列的首项1a 和公比q ，怎样写出它的通项公式？ （1）回忆等差数列通项公式和类比方法：等差数列通项公式 )()1(1+∈-+=N n d n a a n ；类比方法 和 → 积 → 乘方，差→ 商→ 开方（运算升级）. （2）猜想等比数列的通项公式：)(11+-∈⋅=N n q a a n n . 2、推导与证明： （1）不完全归纳法；q a a 12=；2123q a q a a == ；312234q a q a q a a === ……).2(111≥===--n q a q a a n n n观察发现，当1=n 时，也可写成上述形式，即.011q a a =所以，对于第一项还应补充说明. 注：此法存在不严密性. （2）叠乘法).2(,,,,1342312≥====-n q a a q a aq a a q a a n nn-1 相乘().21≥=-n q a a n n考虑n=1时， 上式也成立.().1+∈=N n a a n（3）思考拓展题：除了以上两种方法，是否还有其它的推导证明方法？II. 通项公式的推广（一般形式）1、通项公式的推广问题1：等比数列通项公式是否有更一般的形式？如果首项1a 未知，如何求.n a类比：等差数列通项公式的推广：()d m n a a m n -+=， 猜想：等比数列通项公式的推广：.m n m n q a a -= 2、公式推广的证明问题2：怎么证明m n m n q a a -=？留给学生课后自己完成（可提示学生，运用通项公式及方程思想来进行证明即可得出）.答案：由通项公式得，⎩⎨⎧==--.,1111m m n n q a a q a a 将两式相除得.m n m n m n m nq a a q a a --==，即 3、通项公式及其推广的常见变形.,11mnm n n n a a q a a q ==--（变形可直接运用）. III. 通项公式的图象问题3：如何根据以下两个等比数列的通项公式画出图象：12-=n n a ，1)21(-=n n a ，你能观察出它们的图象特征吗，请给出说明.（1）先给学生充分的时间，让学生自己在下面动手画图象，之后教师借助于多媒体，利用多媒体直观、形象的特点，用几何画板作出以上两个数列的图象.）（2）再让学生观察图象，进而发现通项公式与函数的关系，即结论：等比数列{}n a 的图象是其对应函数11-=x q a y 的图象上的孤立点. 注：等比数列是一类特殊的函数，是建立在定义域为正整数集上的函数.IV. 等比中项问题4：你能否通过类比等差中项猜想出等比中项？ 1、等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 2、数学语言描述：()0,,2≠±=⇔=⇔=G b a ab G ab G Gba G 思考：此时a 与b 的符号有什么特点？（五）例题讲解（预计10分钟）1、探索解题的基本思想与方法步骤例1若一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项. （方法一）分析:要求第1项和第2项，必先求公比q ,可利用方程思想进行求解.即⎩⎨⎧==.18,123121q a q a 两式相除，即得.23=q 代入等式，可求出.,21a a （3161=a ，.82=a ） （方法二）分析：要求公比q ,可直接运用变形公式来解题，.3434a a q=- 例2 在等比数列{}n a 中, ;,31,27)1(63a q a 求== .,27,3)2(342q a a a 与求若== 解:（1）由通项公式的推广公式可得，.1)31(273336=⨯=⋅=q a a （2）由等比中项定义，,812734223=⨯=⋅=a a a 得.93±=a所以.33923±=±==a a q2、归纳解题的思想方法：（1）运用方程知三求一的思想（已知方程四个量n a n q a ,,,1中的任三个，可求出第四个量）. （2）先化简变形，或直接运用变形公式，代值计算.（3）若已知,,,n q a m 而1a 未知，则可以直接运用通项公式的推广公式解题.（4）若已知等比数列的第1-m 项和第1+m 项，要求第m 项，可以由等比中项立即得出.（六）练习巩固（预计5分钟）1、 已知一个等比数列的第5项是94，公比是31-，求它的第1项. （考查内容：等比数列的通项公式，即直接运用通项公式1515-=q a a 来解题即可求出1a .） 2、 已知一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. （考查内容：等比数列通项公式，通项公式的推广，等比中项.） 需要强调的是，本题采用等比中项解题是最迅速最简便的方法. 答案：1、;361=a 2、.40,541==a a（七）课堂小结（预计3分钟）师生一起回顾本节课所学内容，并总结如下：1.本节课研究了等比数列的定义，得到了通项公式及其推广（重点内容）；2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比（思想方法）；3.用函数观点与方程思想认识通项公式，并加以应用（思想方法）. 之后结合以下表格，以PPT 展示给学生看，让学生对表格进行填写. 注：表格黑色部分原本为空，是在学生完成后所给出的答案.（八）布置作业（预计1分钟）必做题：习题2.4 A 组第1,7,8题及B 组第1题.补充题：已知在等比数列{}n a 中，65=a ，42=a ，要求用本节课所学知识求出8a 的值. 思考题：1.对于上述补充题，有没有更加简便的计算方法？2.如果{}n a 、{}n b 是项数相同的等比数列，那么{}n n b a ⋅是等比数列吗？六、板书设计七、教后反思。