33数列的综合应用

课时作业三十三A [第33讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]错误!1．数列{a n}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，则a3＝2．将不等式2－10米2m2a0，即f在区间[2,3]上单调递增，所以，a＝f ma＝f3＝24，d ＝f min＝f2＝6，所以bc＝ad＝14412．6033 [解析] f为奇函数，所以由fa2－2＋fa2022－4＝0得fa2－2＝f4－a2022，所以a2－2＝4－a2022，即a2＋a2022＝6，所以S2022＝错误!＝错误!＝603313．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n＋1＝a n＋2n，所以a10＝a9＋18＝a8＋16＋18＝a7＋14＋34＝a6＋12＋48 ＝a5＋10＋60＝a4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为10114．[解答] 1由已知有a1＋a2＋…＋a n－1＋a n＝n2n＋1，则a1＋a2＋…＋a n－1＝n－12n－1，两式相减，得a n＝4n－1n≥2．又错误!＝错误!，解得a1＝3＝4×1－1，∴a n＝4n－1n∈N*．2∵c n＝错误!＝错误!＝2－错误!，c n＋1＝错误!＝2－错误!，∴c n＋1－c n＝错误!－错误!＞0，即c n＋1＞c n15．[解答] 1由a n＋1＝错误!得错误!－错误!＝2且错误!＝1，所以数列错误!是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以错误!＝1＋2n－1＝2n－1，得a n＝错误!2由错误!＝错误!＋1得错误!＝2n－1＋1＝2n，∴b n＝错误!，从而b n b n＋1＝错误!，则T n＝b1b2＋b2b3＋…＋b n b n＋1＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!＝错误!【难点突破】16．[解答] 1因为b1＝错误!，b n＋1＝b错误!＋b n＝b n b n＋1，所以对任意的n∈N*，b n>0 所以错误!＝错误!＝错误!－错误!，即错误!＝错误!－错误!2T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!－错误!＝2－错误!因为b n＋1－b n＝b错误!>0，∴b n＋1>b n，所以数列{b n}是单调递增数列．所以数列{T n}关于n递增．所以T n≥T1因为b1＝错误!，所以b2＝b1b1＋1＝错误!，所以T1＝2－错误!＝错误!，所以T n≥错误!因为3T n－og2m－5>0恒成立，所以og2m<3T n－5恒成立，所以og2m<－3，所以0<m<错误!。

数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。

数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。

一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。

数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。

1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。

等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。

等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。

1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。

首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。

因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。

2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。

首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。

因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。

高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案例1 已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}对n∈N*，均有c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2 012.思考题1 已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．题型二数列与函数、不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝log k x(k为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)若b n＝a n·f(a n)，当k＝2时，求数列{b n}的前n项和S n；(3)若c n＝a n lg a n，问是否存在实数k，使得{c n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．思考题2 已知函数f(x)对任意实数p，q都满足f(p＋q)＝f(p)·f(q)，且f(1)＝13 .(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式(2)设a n＝nf(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项的和，求证：S n<34；(3)设b n＝nf n＋f n(n∈N*)，数列{b n}的前n项和为T n，试比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1T n与6的大小．题型三数列与导数、解析几何的综合应用例3 已知在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式； (2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.思考题3 已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(x n，f(x n))处的切线与x轴的交点为(x n＋1,0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(1)用x n表示x n＋1；(2)若x1＝4，记a n＝lg x n＋2x n－2，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{a n}的通项公式．题型四数列的实际应用例4 为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车40辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．思考题4 某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为S n亩，求S n的表达式．。

《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。

二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。

2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。

3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。

4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。

5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。

2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。

2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。

4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。

5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。

五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。

2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。

3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。

4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。

六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。

2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。

3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。

4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。

课时作业33 数列求和与数列的综合应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2 B.(－1)n －1＋12 C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12解析：∵数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，∴S n＝(－1)－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12. 答案：D2．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n ，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析：将通项公式变形得：a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48.答案：C3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2＋3，a 3＝4＋5＋6，a 4＝7＋8＋9＋10，…，则a 10的值为( )A ．750B ．610C ．510D ．505解析：a 10＝46＋47＋…＋55＝505. 答案：D4．数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1，公比为13的等比数列，则a n 等于( )A.32(1－13n )B.32(1－13n －1)C.23(1－13n )D.23(1－13n －1)解析：由题得a n －a n －1＝(13)n －1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(13)n －1＋(13)n －2＋…＋13＋1＝32(1－13n )．答案：A5．已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n∈N *记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1解析：由题得4a＝2，得a ＝12，即f (x )＝x 12.所以a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋…＋a 2013＝2－1＋3－2＋…＋2014－2013＝2014－1，选C. 答案：C6．已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1…，则前2012项中1的个数为( )A ．44B ．45C ．46D ．47解析：依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．设S n ＝12＋16＋112＋…＋1n (n ＋1)，若S n ·S n ＋1＝34，则n 的值为________．解析：S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴S n ·S n ＋1＝n n ＋1·n ＋1n ＋2＝n n ＋2＝34，解得n ＝6.答案：68．已知f (x )＝4x4x ＋2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝________.解析：因为f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＝…＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝5. 答案：59．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)…，则第57个数对是________．解析：可以将数对分组如下：(1,1)；(1,2)，(2,1)；(1,3)，(2,2)，(3,1)；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；(1,5)，(2,4)，…，第n 组有n 个数对，且数对中两数和为n ＋1.因为1＋2＋3＋…＋10＝55，所以第57个数对为(2,10)．答案：(2,10)三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)(2013·陕西卷)设S n 表示数列{a n }的前n 项和． (1)若{a n }是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n1－q .判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．解：(1)解法1：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋[a n －(n －1)d ]， ∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 解法2：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d ]＋[2a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2a 1＋(n －1)d ]＝2na 1＋n (n －1)d ，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d .(2){a n }是等比数列．证明如下： ∵S n ＝1－q n1－q，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n (1－q )1－q ＝q n.∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有a n ＋1a n ＝q nq n －1＝q ，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．11．(20分)(2013·广东卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明： 对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解：(1)∵a n >0，令n ＝1，有4S 1＝a 22－4－1，即4a 1＝a 22－4－1，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n ＝a 2n ＋1－4n －1,4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，两式相减得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，有a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，即a n ＋1＝a n ＋2，∴{a n }从第2项起，是公差为2的等差数列， ∴a 5＝a 2＋3×2＝a 2＋6，a 14＝a 2＋12×2＝a 2＋24，又a 2，a 5，a 14构成等比数列，有a 25＝a 2·a 14，则(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3，由(1)得a 1＝1，又a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)．∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，即a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)由(2)得1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12. ——创新应用——12．(20分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，且当n ≥2时，a 2n ＝a n－1a n ＋1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在正整数对(m ，n )，使等式a 2n －ma n ＋4m ＝0成立？若存在，求出所有符合条件的(m ，n )；若不存在，请说明理由．解：(1)∵当n ≥2时，a 2n ＝a n －1a n ＋1，∴数列{a n }为等比数列．又∵a 1＝2，a 2＝4，∴公比为a 2a 1＝2.∴数列{a n }通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝(2n －1)2n .S n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n .2S n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1. 相减，得－S n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)2n ＋1＝2－8(1－2n －1)－(2n －1)2n ＋1＝－6＋2n ＋2－n ·2n ＋2＋2n ＋1.∴S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)假设存在正整数对(m ，n )使等式a 2n －ma n ＋4m ＝0成立．∵a n＝2n，∴等式a2n－ma n＋4m＝0即为22n＝m(2n－4)．∵m∈N*，∴2n>4.∴m＝22n2n－4＝22n－16＋162n－4＝2n－4＋162n－4＋8≥16.当且仅当2n－4＝4，即n＝3时取等号．∵2n>4，m∈N*，∴必有162n－4∈N*.∴2n－4＝1或2n－4＝2或2n －4＝8或2n－4＝16，此时均无解．故符合题意的正整数对(m，n)只有一对，为(16,3)．。

高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。

2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。

3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。

要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。

【解题方法指导】例1. （2005年全国卷三）在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列 ，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k 。

解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。

解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12= 10a d d =∴≠， ，得nd a n =所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列 首项为1，公比为q=3，由此得91=k等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+例2. （2005年上海卷）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项。