清华大学测试与检测技术基础_王伯雄_第3章相关分析
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2017年清华大学能力测试题(回忆版)页数:4
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清华大学 标准学术能力测试题页数:7
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测试技术基础课后习题答案
第2章习题及解答1.判断正误(1)凡频谱是离散的信号必然是周期信号。
( × )准周期信号(2)任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。
( × )(3)周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。
( × )(4)周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。
( √ )(5)非周期变化的信号就是随机信号。
( × )准周期信号(6)非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。
( × )(7)信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。
( × )(8)各态历经随机过程是平稳随机过程。
( √ )(9)平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征。
( √ )(10)非周期信号的频谱都是连续的。
( × ) 准周期信号(11)单位脉冲信号的频谱是无限带宽谱（√）(12)直流信号的频谱是冲击谱（√）2.选择正确答案填空(1)描述周期信号的数学工具是(B )。
A.相关函数B. 傅里叶级数C. 拉普拉斯变换D. 傅里叶变换(2)描述非周期信号的数学工具是( C )。
A.三角函数B. 拉普拉斯变换C. 傅里叶变换D. 傅里叶级数(3)将时域信号进行时移，则频域信号将会( D )A.扩展B. 压缩C. 不变D. 仅有相移(4)瞬变信号的傅里叶变换的模的平方的意义为( C )A.信号的一个频率分量的能量B. 在f处的微笑频宽内，频率分量的能量与频宽之比C. 在f处单位频宽中所具有的功率(5)概率密度函数是在（C）域，相关函数是在（A）域，功率谱密度函数是在（D）域描述随机信号。
A.时间B. 空间C. 幅值D. 频率 (6) 白噪声信号的自相关函数是（C ）A.相关函数B. 奇函数C. 偶函数D. 不存在3．已知方波信号傅里叶级数，请描述式中各常数相的物理意义，并绘出频谱图。
见书中例题4．已知锯齿波信号傅里叶级数，请描述式中各常数相的物理意义，并绘出频谱图。
清华大学测试技术第四章解读
– 随机误差：
定义：每次测量同一量时，其数值均不一致、但却具 有零均值的那些测量误差。
产生的原因有：测量人员的随机因素、设备受干扰、 实验条件的波动、测量仪器灵敏度不够等。
– 过失误差或非法误差：
意想不到而存在的误差。
如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算 误差等。
随机误差具有明显的统计分布特性。常常采用 统计分析来估计该误差的或然率大小。
图2.54 分辨率概念不同意义的例子
7. 线性度
• 第一种定义：
用理论刻度的端点值来确定参考直线。一个 无抑零范围的测量仪器的这条直线规定为穿过零点 和最大值的终点。线性度按误差限的概念定义为最 大的偏离量并以示值范围的百分比给出 。
• 第二种定义：
用定标测量点来描述参考直线。采用线性回 归技术来求出该直线，使得测量值偏离该直线的误 差平方之和为最小值。而最大的偏离量则按照测量 的不确定度的定义给出。测量不确定度规定为在某 个概率之下不被超过的误差值。
图2.55 线性度的两种意义
❖ 第一种定义主要用于描述以系统误差为主的测量 仪器或系统；
❖ 第二种定义用于以随机误差为主的测量系统。
8. 迟滞、回差和弹性后效
9. 零点稳定性 • 在被测量回到零值且其它变化因素（如温度、 压力、湿度、振动等）被排除之后，仪器回到 零指示值的能力。
四、测试系统的动态特性
– 受测试系统的特性影响； – 受信号传输过程中干扰的影响。
图2.52 测试系统框图
一个测试系统与其输入、输出之间的关系 ：
1. 若已知输入量和系统的传递特性，则可求出系统的输出量。 2. 已知系统的输入和输出量，求系统的传递特性。 3. 已知系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。
定义：每次测量同一量时，其数值均不一致、但却具 有零均值的那些测量误差。
产生的原因有：测量人员的随机因素、设备受干扰、 实验条件的波动、测量仪器灵敏度不够等。
– 过失误差或非法误差：
意想不到而存在的误差。
如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算 误差等。
随机误差具有明显的统计分布特性。常常采用 统计分析来估计该误差的或然率大小。
图2.54 分辨率概念不同意义的例子
7. 线性度
• 第一种定义：
用理论刻度的端点值来确定参考直线。一个 无抑零范围的测量仪器的这条直线规定为穿过零点 和最大值的终点。线性度按误差限的概念定义为最 大的偏离量并以示值范围的百分比给出 。
• 第二种定义：
用定标测量点来描述参考直线。采用线性回 归技术来求出该直线，使得测量值偏离该直线的误 差平方之和为最小值。而最大的偏离量则按照测量 的不确定度的定义给出。测量不确定度规定为在某 个概率之下不被超过的误差值。
图2.55 线性度的两种意义
❖ 第一种定义主要用于描述以系统误差为主的测量 仪器或系统；
❖ 第二种定义用于以随机误差为主的测量系统。
8. 迟滞、回差和弹性后效
9. 零点稳定性 • 在被测量回到零值且其它变化因素（如温度、 压力、湿度、振动等）被排除之后，仪器回到 零指示值的能力。
四、测试系统的动态特性
– 受测试系统的特性影响； – 受信号传输过程中干扰的影响。
图2.52 测试系统框图
一个测试系统与其输入、输出之间的关系 ：
1. 若已知输入量和系统的传递特性，则可求出系统的输出量。 2. 已知系统的输入和输出量，求系统的传递特性。 3. 已知系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。
工程测试技术基础大纲
工程测试技术基础教学大纲适用专业：机械设计制造及自动化课程学时：40（理论学时：34，实验学时：6 ）一、课程性质、目的与任务机械工程测试技术是机械工程类本科生的一门重要专业基础课。
本课程主要教学内容有：机械工程测试中常用的传感器和相应的调理电路的工作原理；测量装置(仪器及系统)静态、动态特性的评价方法；动态信号的描述、分析处理；常见机械制造工程领域中各类静态、动态物理信号的测试分析方法。
通过本课程的学习，使学生了解信号的特征；能较正确地选用传感器等测试元件构成测试仪器及系统；掌握测试的基本理论、基本方法及基本试验技能，为进一步学习和研究测试领域的实际问题打下基础，为机械制造自动化工程服务。
二、课程教学内容（有☆号者为选讲）(一)理论教学第一部分绪论（2学时）介绍测试技术在工业自动化、环境监测、楼宇控制、医疗、家庭和办公室自动化等领域的应用情况和测试技术的发展趋势。
第二部分信号分析基础（4学时）介绍信号的分类，信号时域分析、幅值域分析、频谱分析、相关分析原理及应用。
包括：1. 基本概念：信号的分类、信号的描述方法、信号分析的内容2. 周期信号与离散频谱：正弦信号表示法、复杂周期信号的分解、周期信号的强度分析、周期信号的频谱分析3. 非周期信号与连续频谱：傅里叶变换简述、非周期信号的频谱分析、几种典型非周期信号的频谱4. 相关分析第三部分传感器及应用原理（8学时）介绍电阻式传感器、电感式传感器、电容式传感器、压电式传感器、磁电式传感器、热电式传感器、半导体传感器等常用传感器的工作原理、测量电路和传感器的特性以及在制造业中的应用。
1.概述：传感器的作用及组成、传感器的分类、对传感器性能的要求简介2.电阻式传感器：电位器式电阻传感器、电阻应变式电阻传感器。
3.电感式传感器：自感型电感传感器、变压器式电感传感器、涡流式传感器4.电容式传感器：电容式传感器的类型及变换原理、实际测量电路5.压电式传感器：压电效应、压电式传感器及其等效电路、测量电路6.磁电式传感器：动圈式磁电传感器、磁阻式磁电传感器7.热电式传感器：热电偶、热电阻传感器8.半导体传感器：磁电转换元件、光电转换元件☆9.其它新型传感器简介第四部分测试系统特性（4学时）介绍测试系统基本组成，测试系统的静态、动态特性，不失真测量条件，滤波器及应用，测试系统特性的评定方法。
测试技术基础参考答案
测试技术基础参考答案测试技术基础参考答案在软件开发领域，测试技术是确保软件质量的重要环节。
通过对软件进行测试，可以发现和修复潜在的缺陷，提高软件的可靠性和稳定性。
本文将从测试技术的基础知识出发，为读者提供一些参考答案。
一、测试的基本概念1. 什么是软件测试？软件测试是指通过运行软件系统或组件，并对其进行分析和评估，以验证其是否满足预期的需求和质量标准的过程。
测试可以帮助发现软件中的错误和缺陷，确保软件的正确性和稳定性。
2. 测试的目的是什么？测试的主要目的是发现软件中的错误和缺陷。
通过测试，可以提高软件的质量，减少在生产环境中出现问题的可能性。
此外，测试还可以验证软件是否满足用户需求，并为软件开发团队提供改进和优化的反馈。
3. 测试的分类有哪些？测试可以分为黑盒测试和白盒测试。
黑盒测试是基于软件的功能和需求规格进行测试，不考虑软件内部的实现细节。
白盒测试则关注软件的内部结构和代码，通过检查程序的逻辑路径和数据流来进行测试。
二、测试技术的方法和技巧1. 单元测试的方法和技巧单元测试是对软件中最小的可测试单元进行测试的过程。
在进行单元测试时，可以采用以下方法和技巧：- 设计具有独立性和可测试性的单元；- 使用合适的测试框架和工具，自动化执行测试用例；- 使用边界值分析和等价类划分等技术，选择有代表性的测试用例；- 编写清晰、简洁的测试用例，确保覆盖率和可读性。
2. 集成测试的方法和技巧集成测试是对软件的不同模块或组件进行整合和测试的过程。
在进行集成测试时，可以采用以下方法和技巧：- 采用自顶向下或自底向上的集成策略，逐步将模块或组件整合到系统中；- 使用适当的驱动程序或存根，模拟其他模块或组件的行为；- 针对接口和交互进行测试，确保模块之间的协调和兼容性；- 使用回归测试，确保集成过程中没有引入新的错误和缺陷。
3. 系统测试的方法和技巧系统测试是对整个软件系统进行测试的过程。
在进行系统测试时，可以采用以下方法和技巧：- 根据用户需求和功能规格，设计全面和有代表性的测试用例；- 进行功能测试、性能测试、安全测试等不同类型的测试；- 使用模拟和仿真工具，模拟真实的使用环境和负载；- 进行用户验收测试，确保软件满足用户的期望和需求。
《测试技术》课程教学大纲
《测试技术》课程教学大纲适用于本科机械设计制造及其自动化专业学分：2.5 总学时：40 理论学时：32 实验/实践学时：8一、课程的性质、任务和要求《测试技术》是机械设计制造及其自动化专业的一门专业必修课。
本课程共40学时，2.5学分。
《测试技术》课程的主要任务是：通过本课程的学习可以获得各种机械量、热工量的测量原理、测量方法和测试系统的构成，培养学生掌握常见工程量检测的方法和仪器工作原理，具备根据具体测试对象、测试要求、测试环境选择合适测量原理和测量方法的能力，具备设计简单测试系统的能力。
课程以课堂讲述为主，突出基本概念，并配以适量实验环节，增强学生的感性认识。
为后续课程的学习、从事工程技术工作与科学研究打下坚实的理论基础。
学习本课程后，应达到下列基本要求：1. 熟悉信号的分类与描述方法，掌握测量信号分析的主要方法，具备从示波器、频谱分析仪中解读测量信息的能力；2. 掌握传递函数和频率响应函数的概念和物理意义。
掌握测试系统的静态特性和动态特性及其测量方法。
掌握实现不失真测试的条件。
熟悉负载效应及其减轻措施以及测量系统的抗干扰措施；3. 掌握常用传感器的种类和工作原理，能针对工程测量问题选用合适的传感器；4. 掌握电桥测量电路的工作原理及应用。
了解信号的调制与解调。
了解滤波器的类型和实际滤波器的特征参数；5. 掌握压力、位移、振动、温度等常见工程量的测量方法，了解其在工业自动化、环境监测、楼宇控制、医疗、家庭和办公室自动化等领域的应用；6. 了解测试技术中的常用软件，例如Matlab、LabVIEW等；7. 了解计算机测试系统及虚拟测试系统的构成。
知晓用计算机测试系统进行测量的方法、步骤和应该注意的问题。
二、本课程与其它课程的关系、主要参考教材本课程的先修课程为：高等数学、概率论与数理统计、大学物理、材料力学、电工电子技术等。
参考教材：[1] 《机械工程测试技术基础》（第3版），熊诗波，黄长艺，机械工业出版社，2006.5[2] 《测试技术基础》，李孟源，西安电子科技大学出版社，2006.2[3]《机械工程测试技术》周生国，北京理工大学出版社，2003[4]《测试技术基础》王伯雄，清华大学出版社，2003[5]《传感器与测试技术》徐科军，电子工业出版社，2004[6]《传感器及其应用》栾桂冬，西安电子科技大学出版社，2006三、课程内容（一）、绪论主要内容：测试技术的概念与研究对象；测试技术在本专业中的作用和地位；测试技术课程的主要内容及其各部分的内在联系；测试技术课程的特点及任务要求；测试技术的过去、现在和未来。
测试技术参考答案(王世勇,前三章)
测试技术参考答案(王世勇,前三章)-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第一章 测试技术基础知识1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。
试用第3种表达方式表示其测量结果。
解：1）常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种2）基于不确定度的表达方式可以表示为0x x x x σ∧=±=±均值为8118i i x x ===∑82.44 标准偏差为s ==0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆx σ==0.014 所以082.440.014x =±第二章 信号描述与分析2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cos sin )104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。
解：基波分量为12ππ120ππ()|cos sin 104304n y t t t ==+ 所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值42a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以4.0050n A n π=== 120π30arctan arctan arctan 202π10n n nn bn a ϕ=-=-=-所以有0011π()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t ωϕπ∞∞===++=+-∑∑2.3 某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。
测试技术基础(第三版)课后答案全集 (2)
将fn = 800Hz， = 0.14，f = 400Hz，代入上面的式子得到 A(400) 1.31，(400) −10.57 如果 = 0.7，则A(400) 0.975，(400) −43.03 2-11 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其 响应的第一个超调量峰值为1.5,振荡周期为6.28s。设已知该装置的静 态增益为3，求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率 响应。 解： 因为d = 6.28s，所以 d = 2/d = 1rad/s 所以 当 = n时，
机械工程测试技术基础习题解答
第一章 信号的分类与描述 1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划 出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
图1-4 周期方波信号波形图 0 t x(t) … … A -A
解答：在一个周期的表达式为 . 积分区间取（-T/2，T/2） 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 ，。 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。 |cn| φn π/2 -π/2 ω ω ω0 ω0 3ω0 5ω0
程的微安表，则量程不够，无法测量12.5mA的电流；如果采用毫安表， 无法分辨0.025mA的电流变化。一般需要电桥来测量，将无应变时的灵 位电流平衡掉，只取有应变时的微小输出量，并可根据需要采用放大器 放大。
3-5 电感传感器（自感型）的灵敏度与哪些因素有关？要提高灵敏度可 采取哪些措施？采取这些措施会带来什么样后果？ 解答：以气隙变化式为例进行分析。 又因为线圈阻抗Z=L，所以灵敏度又可写成
解：设该一阶系统的频响函数为 ，是时间常数 则 稳态响应相对幅值误差 令≤5%，f=100Hz，解得≤523s。 如果f=50Hz，则 相对幅值误差： 相角差： 2-6 试说明二阶装置阻尼比多采用0.6~0.8的原因。 解答：从不失真条件出发分析。在0.707左右时，幅频特性近似常数 的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。 2-7 将信号cost输入一个传递函数为H(s)=1/(s+1)的一阶装置后， 试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。 解答：令x(t)=cost，则，所以 利用部分分式法可得到 利用逆拉普拉斯变换得到 2-8 求频率响应函数为3155072 / (1 + 0.01j)(1577536 + 1760j 2)的系统对正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。 解：该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常 系统的串联，串联后仍然为线性定常系统。根据线性定常系统的频率保 持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍然为同频率的正弦信 号，而正弦信号的平均值为0，所以稳态响应的均值显示为0。 2-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。 解： ，即静态灵敏度K1=3 ，即静态灵敏度K2=41 因为两者串联无负载效应，所以 总静态灵敏度K = K1 K2 = 3 41 = 123 2-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频 率为800Hz，阻尼比=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测 试时，其幅值比A()和相角差()各为多少？若该装置的阻尼比改为 =0.7，问A()和()又将如何变化？ 解：设，则 ，，即 ，
机械工程测试技术课程标准
《机械工程测试技术》课程标准课程名称：《机械工程测试技术》课程性质：理论学时学分：100学时，4学分课程属性：专业必修课适用范围：机械制造、机械一体化等专业一、课程定位《机械工程检测技术》是数控设备应用与维护专业的专业拓展课程，主要为培养学生数控机床机械装调维修能力奠定基础,在数控设备应用与维护的整个课程体系中起到承上启下的作用。
它是以研究自动检测系统中的信息获取、信息转换以及信息处理的理论和技术为主要内容的一门应用技术学科。
其前修课程有机械制图与公差、电工电子技术、数控机床电气传动、液压与气动技术、维修电工操作技能实训、机床与数控机床等，后续课程有数控机床机械装配与调试、数控机床整机调试与维修等。
二、课程性质通过本课程的学习，使学生掌握测试技术特性和测试技术基础；了解传感器的基础知识；学会合理的设计或选用适宜的传感器和检测仪器；培养学生的科学思维能力，创新能力及岗位职业能力。
三、课程目标1、教学目标学生通过本课程的学习应达到以下要求：1）使学生熟悉常规传感器原理与测量电路，掌握各种传感器的特点及应用范围；2）熟悉新型传感器原理及应用；熟悉虚拟仪器测试系统；使学生了解测试系统的基本结构与工作原理；3）使学生掌握信号分析的能力及振动测试、机械参数测试、噪声测试的工作原理；通过对本门课程的学习，使学生认识传感器，检测仪器，等其他信号检测装置，培养学生在实际使用和装调机电设备中具有初步的分析能力和解决问题的能力，为后续课程和未来从事的工程技术工作打下良好的基础。
2．知识要求（1）、了解测试技术的基本知识；了解传感器的基础知识；（2）、熟悉常规传感器原理与测量电路；熟悉新型传感器原理及应用；（3）、认识虚拟仪器测试系统；（4）、掌握各种信号分析仪器的操作与应用。
3.实施说明（1）成绩考核方法本课程为专业必修课，为考试课。
为了准确考核学生对本课程的学习和掌握情况，总评成绩可按下式给出：总评成绩=平时成绩（平时出勤占10%、课堂表现占10%、课后作业占 10%）×30%﹢测验占30%+考试成绩×40%。
清华大学测试与检测技术基础(信号与系统)习题讲解
n
n 0
0
40 50
n0
解3：在学过 FT 及其性质以及特殊函数的 FT 后可返回此处用此法解。
因频域采样引起时域周期化，此题可先求出单个方波脉冲的频谱，应是 sinc 函数， 然后使其在时域周期化成为周期方波脉冲，这样就引起频域的采样，将连续频谱离散化， 成为周期方波脉冲信号的频谱，从而解得结果。其图形表达见解 2 频谱图的包络线和采 样谱。由于周期方波脉冲的占空比变化而使 sinc 函数及采样值有不同的变化。
Cn
A n
（n 为奇数）
n
t g1
bn an
0
n 1,5,9,13... n 3,7,11,15...
FS 为（ 1 ） T2
xt
0
A 3
e j30t
0
A
e j0t
A 2
A
e j0t
0
A 3
e j30t
频谱图
Cn
A 2A
0 0
A
3
A
5
3 0
50
A 7
70
n0
n
0
30
70
n0
解2： 用三角函数形式
2A T2
1
cos
T
解4：
6H.求j周期0.00信51j号1x （t一2阶cos系100统t+co ）s3 后00t的-4稳通态过响频应响。函数为
解： 此输入信号 x t 含有两个频率成分，其幅值与相位为
1 100 X 100 2 x 100 0
A
0
2
2T
t
xt A t
2
2
解1：用复指数形式
Cn
1 T
第一部分
国际单位制的导出单位
导出单位从基本单位出发，用乘、除符 号以代数式表达。不同的导出单位有各 自专门的各称和专门的单位符号，这些 单位名称和单位符号可单独使用。还能 和基本单位一起合成进一步的导出单位 。
用基本单位表示的SI导出单位
测试与检测技术基础技术
Fundamentals of Measurement Technology
王伯雄 王雪
第一章 绪论
测试技术的发展与研究的内容 测量的本质和基本前提 标准及其单位 国际单位制（SI） 基本单位 国际单位制的导出单位
1.1 测试技术的发展与研究的内容
知识的获取往往从测量开始。人类在其 自身的社会发展中创造并发展了测量学 科，人类早期的测量活动涉及对长度 （距离）、时间、面积和重量等量的测 量。随着社会的进步和科学的发展，测 量活动的范围不断扩大，测量的工具和 手段不断精细和复杂化，从而也不断地 丰富和完善了测量的理论。
SI基本单位的定义（续）
1开尔文被定义为水的三相点的热力学温度的 273.16分之一（1967年）。 1坎德拉被定义为一个在在一定方向上发送频率 为540×1012Hz的单色光辐射的辐射源，在
该方向上的辐射强度为1/683W/sr时的光强
（1979年）。 1摩尔的定义为一个由确定成份组成的系统，如 果它含有粒子的个数等于碳12原子核的 （12/1000）kg质量中所含原子的个数，则该系 统的物质量为一摩尔（1971年），此处所述的 粒子可以是原子、分子、离子和电子及其组合。
国际单位的基本量和基本单位
SI基本单位的定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1米被定义为真空中的光在（1/299792458）秒时间内所 经过的距离的长度（1983年）。该标准的复制精度可 达± 10-9 。 1千克定义为国际千克原型器的质量（1889年），该国 际千克原型器是保存在法国巴黎塞夫勒博物馆中的一 根铂铱合金圆柱体。其复制精度可达10-9数量级。 1秒被定义为铯133原子基态的两个超精细结构能级间 跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间 （1967年）。 １安培定义为流经在真空中两根平行且相距1m的无限 长直导线（其圆横截面可忽略不计）上并能在其每米 长导线之间产生0.2×10-6N的电动力的不随时间变化的 电流量（1948年）。
清华大学测试与检测技术基础王伯雄相关分析资料重点
图2.57 带钢测速系统
测量流速和流量
图2.58 相在法测定流量
2.2.7.4 功率谱分析
2.2.7.4 功率谱(power spectrum)分析
一、自功率谱密度函数 二、巴塞伐尔（Parseval）定理 三、互功率谱密度函数 四、自谱和互谱的估计 五、工程应用
一、自功率谱密度函数
设x(t)为一零均值的随机过程，且x(t)中
为Sx(f)实偶函数。
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功 率谱密度函数Sx(f)的定义，可得
Rx
0
lim
T
1 T
T
2 T
x 2 t dt
S
x
f
df
2
（2.169）
➢Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信
号的平均功率；
➢Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，
x
(
)limT 1 NhomakorabeaTT
x(t ) x(t )dt
0
1 T0 Asin( t ) sin[ (t ) ]dt T0 0
令ωt+φ=θ,则dt=dθ/ω,由此得
➢正弦函Rx (数 ) 的2A2自02 相sin关sin(函 数 )是d 一A22个cos与 原函数具有相同
频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率 信息，但失去了原信号的相位信息。
1 xy 1
（2.143）
式中σx、σy分别为x、y的标准偏差，而x和y的方差σx2和
σy2则分别为
2 x
E
x
x 2
（2.144）
2 y
E
xy
2
《测试技术》习题答案
《测试技术》习题答案绪论1 .举例说明什么是测试？答：(1) 测试例⼦：为了确定⼀端固定的悬臂梁的固有频率，我们可以采⽤锤击法对梁进⾏激振，再利⽤压电传感器、电荷放⼤器、波形记录器记录信号波形，由衰减的振荡波形便可以计算出悬臂梁的固有频率。
（2）结论：由本例可知：测试是指确定被测对象悬臂梁的属性—固有频率的全部操作，是通过⼀定的技术⼿段—激振、拾振、记录、数据处理等，获取悬臂梁固有频率的信息的过程。
2.测试技术的任务是什么？答：测试技术的任务主要有:通过模型试验或现场实测，提⾼产品质量；通过测试，进⾏设备强度校验，提⾼产量和质量；监测环境振动和噪声，找振源，以便采取减振、防噪措施；通过测试，发现新的定律、公式等；通过测试和数据采集，实现对设备的状态监测、质量控制和故障诊断。
3. 以⽅框图的形式说明测试系统的组成，简述主要部分的作⽤。
（1）测试系统⽅框图如下：（2）各部分的作⽤如下：●传感器是将被测信息转换成某种电信号的器件；●信号的调理是把来⾃传感器的信号转换成适合传输和处理的形式；●信号处理环节可对来⾃信号调理环节的信号，进⾏各种运算、滤波和分析；●信号显⽰、记录环节将来⾃信号处理环节的信号显⽰或存贮。
●模数（A/D）转换和数模（D/A）转换是进⾏模拟信号与数字信号相互转换，以便⽤计算机处理。
求正弦信号的绝对均值和均⽅根值。
2 .解(1)(2)5.设有⼀时间函数f(t)及其频谱如图所⽰。
现乘以余弦函数cosω0t（ω0>ωm）。
在这个关系中函数f(t)称为调制信号，余弦函数cosω0t称为载波。
试求调幅信号的f(t)cosω0t傅⽒变换，并绘制其频谱⽰意图。
⼜：若ω0<ωm将会出现什么情况？解：(1)令(2) 根据傅⽒变换的频移性质，有：频谱⽰意图如下：(3) 当ω0<ωm时，由图可见，出现混叠，不能通过滤波的⽅法提取出原信号f(t)的频谱。
1. 已知信号的⾃相关函数，求该信号的均⽅值。
测试技术基础(机械工业出版社)课后答案 重点
第一章 习题1-1：被测参量的三个特征是什么？请说明三个特征的内容，并指出被测参量与被测信号的区别。
被测参量有三个特征，即物理、量值、时变特征。
分别反映被测参量的物理性质，量值大小和时间变化的情况。
而被测参量与被测信号区别在于被测信号不涉及其物理性质。
1-3：在对动态信号进行分析时，为何要采用频域描述方法？由于信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间变化的特征，除简谐波外一般不能揭示信号的频率组成成分。
为了研究信号的频率结构和各频率成份的幅值大小，相位关系，所以应对信号进行频域描述。
1-4：在动态测试工作中，频谱的概念及其分析方法有何意义或应用？频谱就是通过某种信号分析方法将时间信号中的各频率成份分离并进行排列的结果，常用的是频谱图。
其中频率与幅值的关系谱图，称为幅频图，频率与相位关系的谱图称为相频图。
信号不同域的描述，只是为了使所研究信号特征更为突出，频谱分析在故障诊断，设计测量系统，选择使用测量仪器和完成不失真测量等都有重要意义。
例如：判定机器的振动裂度，在机器的故障诊断中寻找振源，确定仪器设备的固有频率和使用范围等方面。
1-5：确定性信号可分为几大类？它们的频谱具有那些异同点？确定性信号是指可以用明确的数学表达式进行描述的信号。
确定性信号分两大类：周期信号和非同期信号。
周期信号频谱的特点一般是指幅频图而言，频谱由一根根谱线组成，即具有离散性；谱线的幅值随频率增加而成倍比的下降，即具有收敛性；而且频率变化是与基波频率倍比增加才有值的谐波性。
而非周期信号则不同谱线是连续的是有连续性；信号频谱密度函数的绝对值是随频带的增加而减小即非周期信号也具有收敛性。
第二章 习题2-3：传递函数和频响函数在描述装置特性时，其物理意义有何不同？传递函数定义式：H （s ）=)()(s x s y =1110111a s a sa s ab s b sb sb n n nn m m m m ++++++++---- ，其中s=+αj ω称拉氏算子。
测试技术参考答案(王世勇,前三章)汇总
第一章 测试技术基础知识1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。
试用第3种表达方式表示其测量结果。
解：1）常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种2）基于不确定度的表达方式可以表示为0x x x x σ∧=±= 均值为8118i i x x ===∑82.44标准偏差为s ==0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆx σ==0.014 所以082.440.014x =±第二章 信号描述与分析2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cos sin )104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。
解：基波分量为12ππ120ππ()|cos sin 104304n y t t t ==+ 所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值42a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以4.0050n A n π=== 120π30arctan arctan arctan 202π10n n nn bn a ϕ=-=-=-所以有0011π()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t ωϕπ∞∞===++=+-∑∑2.3 某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。
将位移信号表示成傅立叶级数，并绘制信号的时域波形和频谱图。
解：设该振荡器的位移表达式为()sin()s t A t B ωϕ=++由题意知100f Hz =振荡频率，所以有2200f ωππ==信号的幅值521.52A -== 信号的均值253.52B +== 信号的初相角0ϕ=所以有() 3.5 1.5sin(200)s t t π=+即该信号为只含有直流分量和基波分量的周期信号。
【测试与测验技术基础-清华课件】第四章_被测量获取_绪言
3
Fundamentals of Measurement Technology
Ch4. 被测量的获取
Acquisition of Measurands Ch5. 信号的转换与调理
Signal Conversion and Conditioning Ch6. 信号的输出
Signal Output Ch7. 虚拟仪器技术
Fundamentals of Measurement Technology
测试与检测技术基础
王 雪 Wang Xue
精仪系仪器科学与技术研究所 wangxue@
2007年4月24日
测试与检测技术基础
1
测量系统原理框图
2007年4月24日
测试与检测技术基础
2
Virtual Instruments Technology
2007年4月24日
测试与检测技术基础
4
1.1 Measurement Technology Concept
测试技术是实验科学的一部分，主要研究各种物 理量的测量原理和测量信号分析处理方法。
测试技术是进行各种科学实验研究和生产过程参 数测量必不可少的手段，起着人的感官作用。
2、流程工业设备运行状态监控
在电力、冶金、石化、化工等流程工业中，生产线上 设备运行状态关系到整个生产线流程。通常建立24小时在 线监测系统。
2007年4月24日
石化企业输 油管道、储 油罐等压力 容器的破损 和泄露检测。
测试与检测技术基础
13
1.2 Applications
3、产品质量测量
在汽车、机床等设备，电机、发动机等零部件出厂 时，必须对其性能质量进行测量和出厂检验。
测试与检测技术基础
第3章 测试系统特性分析
ω 2 x(t ) →ω 2 y(t )
(3.8)
其中ω为某一已知频率。 根据微分特性有 dy 2 (t ) d 2 x(t )
dt
2
→
dt
2
(3.9)
两式相加有
2 dy 2 (t ) d 2 x(t ) 2 ω x(t ) + →ω y(t ) + 2 dt dt 2
清华大学精密仪器与机械学系
3.3 测试系统的静态特性
当被测量是恒定的、或是慢变的物理量时 ，涉 及到系统的静态特性。 静态特性(static characteristics)包括： 1. 重复性(repeatability)； 2. 漂移(drift)； 3. 误差(error)； 4. 精确度(accuracy)； 5. 分辨率(resolution)； 6. 线性度(linearity)； 7. 非线性(nonlinearity)。
清华大学精密仪器与机械学系
3. 误差： • 仪器的误差有两种表达方式： 绝对(absolute)误差：用专门的测量单位 来表示； 相对 (relative)误差：表达为被测量的一 个百分比值，或表达为某个专门值比如 满量程(full-scale)指示值的一个百分比。
清华大学精密仪器与机械学系
4. 精确度： • 测量仪器的指示值和被测量真值的符合程度， 通过所宣称的概率界限将仪器输出与被测量的 真值关联起来。 • 精确度是由诸如非线性、迟滞、温度变化、漂 移等一系列因素所导致的不确定度之和。 5. 灵敏度(sensitivity)： (sensitivity) – 单位被测量引起的仪器输出值的变化。 – 灵敏度有时亦称增益(gain)或标度因子。
清华大学精密仪器与机械学系
(3.8)
其中ω为某一已知频率。 根据微分特性有 dy 2 (t ) d 2 x(t )
dt
2
→
dt
2
(3.9)
两式相加有
2 dy 2 (t ) d 2 x(t ) 2 ω x(t ) + →ω y(t ) + 2 dt dt 2
清华大学精密仪器与机械学系
3.3 测试系统的静态特性
当被测量是恒定的、或是慢变的物理量时 ，涉 及到系统的静态特性。 静态特性(static characteristics)包括： 1. 重复性(repeatability)； 2. 漂移(drift)； 3. 误差(error)； 4. 精确度(accuracy)； 5. 分辨率(resolution)； 6. 线性度(linearity)； 7. 非线性(nonlinearity)。
清华大学精密仪器与机械学系
3. 误差： • 仪器的误差有两种表达方式： 绝对(absolute)误差：用专门的测量单位 来表示； 相对 (relative)误差：表达为被测量的一 个百分比值，或表达为某个专门值比如 满量程(full-scale)指示值的一个百分比。
清华大学精密仪器与机械学系
4. 精确度： • 测量仪器的指示值和被测量真值的符合程度， 通过所宣称的概率界限将仪器输出与被测量的 真值关联起来。 • 精确度是由诸如非线性、迟滞、温度变化、漂 移等一系列因素所导致的不确定度之和。 5. 灵敏度(sensitivity)： (sensitivity) – 单位被测量引起的仪器输出值的变化。 – 灵敏度有时亦称增益(gain)或标度因子。
清华大学精密仪器与机械学系
测试与检测技术基础试题-清华大学本科生考试试题
清华大学本科生考试试题专用纸〔中文〕考试课程：测试与检测技术根底 2003年7月1日1. 答复以下问题。
〔每题5分，总分40分〕 〔1〕DFT 的主要步骤是什么？〔2〕什么是乃奎斯特频率？如果使用kHz f s 8=的采样频率对信号进行采样，在此采样频率下，可以精确分辨的最高信号频率是多少？〔3〕()t x 是具有零均值的纯随机信号，求()ττxx R ∞→lim 。
〔4〕()te t x -=, 求()()⎰∞∞--dt t t x 2δ。
〔5〕对于一阶低通RC 滤波器〔图1〕，假设截止频率Hz f c 440=，F C μ047.0=，求R 。
〔6〕将一个模拟信号数字化以进行谱分析。
如果被分析的频率范围是Hz 250~0，所需的频率分辨率Hz f 5.0=∆，请确定〔a 〕采样频率s f ；〔b 〕进行FFT 所需的采样点总数N 。
〔7〕一个速度传感器频率响应的固有频率Hz f 20=，阻尼比7.0=ζ，求其工作频带。
〔8〕为了消除通常在压电传感器中存在的杂散电容，应采取什么措施？2. 〔10分〕如果()f X 是()t x 的傅里叶变换，确定下述两信号的频谱。
〔不用画出频谱图〕 (a) ()3sin 1t t x - (b) ()jte t x --123.〔8分〕求取以下图所示信号()t x 的频谱。
Fig. 1tFig. 24. 〔8分〕用一应变片测量构件上某一点的应力。
此应变片构成电阻电桥的一个臂，并用V e x 10=的直流电源对电桥进行鼓励。
如果应变片的电阻Ω=120R ，应变片系数2=g s ，电桥的输出mV e o 5=，确定该点应变片敏感方向上的应变ε和应力σ。
〔假定构件材料的弹性模量Pa E 101020⨯=。
〕 5. 〔8分〕求时域信号()ttA t x 3sin 6=的傅里叶变换，并画出其频谱图。
6. 〔8分〕〔a 〕信号()()x t x t x +=1，其中x 为其均值。
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T x T 0
A sin( t ) sin[ ( t ) ] dt 令ωt+υ=θ,则dt=dθ/ω,由此得
0
1 T0
T0
正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同
0
A2 Rx ( ) 2
2
A2 sin sin( )d cos 2
T 2 R x x
T 0
（2.149）
（2.150）
1 其中 R x Tlim T
x t x t dt
称为x(t)的自相关(auto-correlation)函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两
者的频率相同，但丢掉了相角信息。 同频相关，不同频不相关。
2.2.7.4 功率谱(power spectrum)分析
一、自功率谱密度函数 二、巴塞伐尔（Parseval）定理 三、互功率谱密度函数 四、自谱和互谱的估计 五、工程应用
一、自功率谱密度函数
设x(t)为一零均值的随机过程，且x(t)中 无周期性分量，则其自相关函数Rx(τ)在当 τ→∞时有
Rx ( ) 0
f 0
（2.180）
自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部 Cxy(f)称为共谱(cospectrum)，虚部Qxy(f)称为重谱 (quad spectrum)，即
G xy f C xy f jQ xy f
（2.181）
写为幅频和相频的形式：
G f G f e j xy f xy xy 2 2 G xy f C xy f Q xy f Q xy f xy f arctg C xy f
2.2.7.3 相关分析
一、相关 二、互相关函数与自相关函数 三、相关函数的工程意义及应用
一、相关(correlation)
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时 刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻 状态间线性依从关系的数字特征。
图2.52 变量x和y的相关性 （a）精确相关 （b）中等程度相关 （c）不相关
二、互相关函数与自相关函数
对于各态历经过程，可定义时间变量x(t)和y(t) 的互协方差(cross-covariance)函数为
C xy E x t x y t y
1 T lim x t x y t x dt T T 0 R xy x y
（2.177） （2.178）
因此互谱和幅值谱的关系为 1 S xy f lim Y f X * f T
T
正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当x和y的顺序调换 时，Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳— 辛钦关系式，不难证明：
其中
* f S yx f S xy f S xy
（2.179）
1 S xy f lim X ( f ) Y * ( f ) t T
Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中 也常取只含非负频率的单边互谱Gxy(f)，由此规定
G xy f 2 S xy f
号的平均功率； Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布， 故也称为功率谱。
二、巴塞伐尔（Parseval）定理
设有变换对：
x(t ) X ( f ) h(t ) H ( f )
按频域卷积定理有
x(t )h(t ) X ( f ) * H ( f )
x ( t ) h ( t ) e dt X ( f ) H ( k f ) df 令k=0，有 x ( t ) h ( t ) dt X ( f ) H ( f ) df 又令h(t)=x(t)，得 x ( t ) dt X ( f ) X ( f ) df
Gx(f)的图形如图2.59 中所示。
根据信号功率（或能量）在频域中的分
布情况，将随机过程区分为窄带随机、 宽带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能量）集中于某 一中心频率附近，宽带过程的能量则分 布在较宽的频率上，而白噪声过程的能 量在所分析的频域内呈均匀分布状态。
三、互功率谱密度函数
Rxy ( ) S xy ( f )
IFT FT
因此Sxy(f)的傅里叶逆变换为：
R xy
S xy f e j 2 f df
（2.176）
定义信号x(t)和y(t)的互功率为
1 T2 P lim T x t y t dt T T 2 1 lim Y f X * f df T T
三、相关函数的工程意义及应用
不同类别信号的辨识
图2.55 典型信号的自相关函数
相关滤波(filtering by correlation)
图4.79 相关滤波频谱分析仪原理框图
相关测速和测距
图2.56 相关法测量声传播距离
图2.57 带钢测速系统
测量流速和流量
图2.58 相在法测定流量
2.2.7.4 功率谱分析
评价变量x和y间线性相关程度的经典方法：
协方差σxy： E x y 1 lim x y
xy x y N N
N
i 1
i
x
i
y
（2.142）
式中，E表示数学期望值； μx=E[x]为随机变量x的均值； μy=E[y]为随机变量y的均值；
（2.160） （2.161）
具有限个数据点N的相关函数估计的数字处 理表达式则为： N 1 1 ˆ r x n x n r （2.162） R x N
n o
N 1 1 ˆ r x n y n r R xy N n o
ห้องสมุดไป่ตู้
（2.163）
r 0,1,2,, r N
（2.147）
式中 称x(t)与y(t)的互相关(cross-correlation)函数，自变 量τ称为时移。
1 R xy lim T T
x t y t dt
T 0
（2.148）
当y(t) ≡x(t)时，得自协方差(auto-covariance) 函数 1 T C x lim x t x x t x dt 0 T
该自相关函数 R ( τ ) 满足傅里叶变换的条 x 件 Rx ( ) d 。对作傅里叶变换可得
S x f R x e j 2 f d
（2.167）
其逆变换为
R x S x f e j 2 f df
（2.168）
1 S x f lim x f T T
2
（2.172）
对于单边功率谱 G(f) 也应满足巴塞伐 尔定理，故有
P S x f df G x f df
（2.173）
由此规定
G x ( f ) 2S x ( f ) f 0
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
五、工程应用
1. 求取系统的频响(frequency response)函数
线性系统的传递函数H(s)或频响函数H(jω) 十分重要，在机器故障诊断等多个领域常要用 到它。 例1：机器由于其轴承的缺陷而在机器运行中 会造成冲击脉冲信号，此时若用安装在机壳 外部的加速度传感器来接收时，必须考虑机 壳的传递函数。 例2：当信号经过一个复杂系统被传输时，系 统各环节的传递函数便必须要加以考虑。
图2.53 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （b）互相关函数
例1 求正弦函数x(t)=Asin(ωt+υ)的自相关函数。 解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过 程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。 1 R ( ) lim x ( t ) x ( t ) dt T
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功 率谱密度函数Sx(f)的定义，可得
1 R x 0 lim T T
T 2 T 2
x 2 t dt
S x f df
（2.169）
Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信
j 2 kt
2
x(t)为实函数，故X(-f)=X*(f)，于是有
x 2 t dt X f X * f df
Xf
2 df
（2.170）
巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总
能量等于它在频域中计算的总能量。
式（2.170）又称信号能量等式。|X(f)|2称能 量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整 个时间轴上信号的平均功率可计算为 T 1 2 2 1 2 P lim T x t dt lim x f df （2.171） T T T T 2 自谱密度函数与幅值谱之间的关系为
若互相关函数 Rxy(τ)满足傅里叶变换的 条件 Rxy ( ) d ，则定义Rxy(τ)的傅里叶 变换 j 2 ft S xy df （2.175） R xy e 为信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，简称 互谱密度函数(cross power spectrum)或互谱。 根据维纳—辛钦关系，互谱与互相关函 数也是一个傅里叶变换对，即
相关函数ρxy：
A sin( t ) sin[ ( t ) ] dt 令ωt+υ=θ,则dt=dθ/ω,由此得
0
1 T0
T0
正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同
0
A2 Rx ( ) 2
2
A2 sin sin( )d cos 2
T 2 R x x
T 0
（2.149）
（2.150）
1 其中 R x Tlim T
x t x t dt
称为x(t)的自相关(auto-correlation)函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两
者的频率相同，但丢掉了相角信息。 同频相关，不同频不相关。
2.2.7.4 功率谱(power spectrum)分析
一、自功率谱密度函数 二、巴塞伐尔（Parseval）定理 三、互功率谱密度函数 四、自谱和互谱的估计 五、工程应用
一、自功率谱密度函数
设x(t)为一零均值的随机过程，且x(t)中 无周期性分量，则其自相关函数Rx(τ)在当 τ→∞时有
Rx ( ) 0
f 0
（2.180）
自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部 Cxy(f)称为共谱(cospectrum)，虚部Qxy(f)称为重谱 (quad spectrum)，即
G xy f C xy f jQ xy f
（2.181）
写为幅频和相频的形式：
G f G f e j xy f xy xy 2 2 G xy f C xy f Q xy f Q xy f xy f arctg C xy f
2.2.7.3 相关分析
一、相关 二、互相关函数与自相关函数 三、相关函数的工程意义及应用
一、相关(correlation)
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时 刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻 状态间线性依从关系的数字特征。
图2.52 变量x和y的相关性 （a）精确相关 （b）中等程度相关 （c）不相关
二、互相关函数与自相关函数
对于各态历经过程，可定义时间变量x(t)和y(t) 的互协方差(cross-covariance)函数为
C xy E x t x y t y
1 T lim x t x y t x dt T T 0 R xy x y
（2.177） （2.178）
因此互谱和幅值谱的关系为 1 S xy f lim Y f X * f T
T
正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当x和y的顺序调换 时，Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳— 辛钦关系式，不难证明：
其中
* f S yx f S xy f S xy
（2.179）
1 S xy f lim X ( f ) Y * ( f ) t T
Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中 也常取只含非负频率的单边互谱Gxy(f)，由此规定
G xy f 2 S xy f
号的平均功率； Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布， 故也称为功率谱。
二、巴塞伐尔（Parseval）定理
设有变换对：
x(t ) X ( f ) h(t ) H ( f )
按频域卷积定理有
x(t )h(t ) X ( f ) * H ( f )
x ( t ) h ( t ) e dt X ( f ) H ( k f ) df 令k=0，有 x ( t ) h ( t ) dt X ( f ) H ( f ) df 又令h(t)=x(t)，得 x ( t ) dt X ( f ) X ( f ) df
Gx(f)的图形如图2.59 中所示。
根据信号功率（或能量）在频域中的分
布情况，将随机过程区分为窄带随机、 宽带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能量）集中于某 一中心频率附近，宽带过程的能量则分 布在较宽的频率上，而白噪声过程的能 量在所分析的频域内呈均匀分布状态。
三、互功率谱密度函数
Rxy ( ) S xy ( f )
IFT FT
因此Sxy(f)的傅里叶逆变换为：
R xy
S xy f e j 2 f df
（2.176）
定义信号x(t)和y(t)的互功率为
1 T2 P lim T x t y t dt T T 2 1 lim Y f X * f df T T
三、相关函数的工程意义及应用
不同类别信号的辨识
图2.55 典型信号的自相关函数
相关滤波(filtering by correlation)
图4.79 相关滤波频谱分析仪原理框图
相关测速和测距
图2.56 相关法测量声传播距离
图2.57 带钢测速系统
测量流速和流量
图2.58 相在法测定流量
2.2.7.4 功率谱分析
评价变量x和y间线性相关程度的经典方法：
协方差σxy： E x y 1 lim x y
xy x y N N
N
i 1
i
x
i
y
（2.142）
式中，E表示数学期望值； μx=E[x]为随机变量x的均值； μy=E[y]为随机变量y的均值；
（2.160） （2.161）
具有限个数据点N的相关函数估计的数字处 理表达式则为： N 1 1 ˆ r x n x n r （2.162） R x N
n o
N 1 1 ˆ r x n y n r R xy N n o
ห้องสมุดไป่ตู้
（2.163）
r 0,1,2,, r N
（2.147）
式中 称x(t)与y(t)的互相关(cross-correlation)函数，自变 量τ称为时移。
1 R xy lim T T
x t y t dt
T 0
（2.148）
当y(t) ≡x(t)时，得自协方差(auto-covariance) 函数 1 T C x lim x t x x t x dt 0 T
该自相关函数 R ( τ ) 满足傅里叶变换的条 x 件 Rx ( ) d 。对作傅里叶变换可得
S x f R x e j 2 f d
（2.167）
其逆变换为
R x S x f e j 2 f df
（2.168）
1 S x f lim x f T T
2
（2.172）
对于单边功率谱 G(f) 也应满足巴塞伐 尔定理，故有
P S x f df G x f df
（2.173）
由此规定
G x ( f ) 2S x ( f ) f 0
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
五、工程应用
1. 求取系统的频响(frequency response)函数
线性系统的传递函数H(s)或频响函数H(jω) 十分重要，在机器故障诊断等多个领域常要用 到它。 例1：机器由于其轴承的缺陷而在机器运行中 会造成冲击脉冲信号，此时若用安装在机壳 外部的加速度传感器来接收时，必须考虑机 壳的传递函数。 例2：当信号经过一个复杂系统被传输时，系 统各环节的传递函数便必须要加以考虑。
图2.53 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （b）互相关函数
例1 求正弦函数x(t)=Asin(ωt+υ)的自相关函数。 解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过 程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。 1 R ( ) lim x ( t ) x ( t ) dt T
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功 率谱密度函数Sx(f)的定义，可得
1 R x 0 lim T T
T 2 T 2
x 2 t dt
S x f df
（2.169）
Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信
j 2 kt
2
x(t)为实函数，故X(-f)=X*(f)，于是有
x 2 t dt X f X * f df
Xf
2 df
（2.170）
巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总
能量等于它在频域中计算的总能量。
式（2.170）又称信号能量等式。|X(f)|2称能 量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整 个时间轴上信号的平均功率可计算为 T 1 2 2 1 2 P lim T x t dt lim x f df （2.171） T T T T 2 自谱密度函数与幅值谱之间的关系为
若互相关函数 Rxy(τ)满足傅里叶变换的 条件 Rxy ( ) d ，则定义Rxy(τ)的傅里叶 变换 j 2 ft S xy df （2.175） R xy e 为信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，简称 互谱密度函数(cross power spectrum)或互谱。 根据维纳—辛钦关系，互谱与互相关函 数也是一个傅里叶变换对，即
相关函数ρxy：