（因
V
）本题结论成立.
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3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换，证明：V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0，i = 1,L ,m j = 1,L ,n
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证明：令Vi Ai1(0)，Ai 0，则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明：V中必有向量u不在所有这m个子空间中， (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明： 对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立，设m 1时结论成立，证明m时结论也成立，存在 V1,L ,Vm1，若 Vm得证. 否则 Vm，必存在 Vm，我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾，要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW＝L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0，
故 AW＝L( A1L , As )，只要证明A1L , As线性无关即可.
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设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基，V1＝L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V
