《复变函数与积分变换》教学大纲(网上)

《复变函数与积分变换》课程教学大纲（48学时）《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：0911009课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称：Complex Function and Integral Transformation课程性质：公共基础理论必修课考核方式：考试开课专业：全校理工科各专业开课学期：3总学时：48学时(全部为理论学时)总学分：3学分二、课程目的复变函数与积分变换是工科类及应用理科类有关专业的基础课。

通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握保形映射的理论和方法，傅里叶变换与拉普拉斯变换的特性与应用，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的数学基础。

三、教学基本要求1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解点集、区域的概念；理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续性的概念。

2．理解复变函数的导数概念及求法，理解解析函数的概念，掌握柯西—黎曼条件判断解析性，了解某些初等解析函数的基本性质；了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实部）的方法。

3．理解积分的定义与性质，会求复变函数的积分；掌握柯西定理，会用柯西定理和复合闭路定理计算定积分；掌握柯西积分公式和高阶导数公式计算积分。

4．理解复数项级数、幂级数（绝对收敛、条件收敛）的概念，了解幂级数的基本性质；了解收敛圆概念、会求收敛半径；了解泰勒定理及其初等函数的马克劳林展式，并利用它们将一些简单解析函数展开为幂级数；理解洛朗级数，掌握简单函数在不同圆环域内展开为洛朗级数的间接方法。

5．理解孤立奇点及其分类及函数在各类奇点邻域内的性质；留数的概念及留数定理；掌握极点处留数的求法及用留数求闭路积分和某些实积分的方法。

6．了解导数的几何意义及保角映射的概念；掌握分式线性映射的保圆性、保对称性等映射性质及幂函数、指数函数的映射特点；会求一些简单区域（如半平面、角形域、圆域、带形域等）之间的保形映射。

《复变函数与积分变换》教学大纲课程名称：复变函数与积分变换课程英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms课程编号：适用专业：自动化，电信，电科，电气，通信学时数：56学分数：3一．课程的性质和目的复变函数与积分变换是理工科相关专业（自动化，电信，电科，电气，通信等）的一门重要的基础课，它与工程力学、电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。

通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基础理论和基本方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质、方法，为学习有关的后续课程（工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术，数字信号处理等课程）和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

二．课程教学内容第一章复数与复变函数 6学时内容：1.复数及其代数运算2.复数的几何表示3.复数的乘幂与方根4.区域5.复变函数6.复变函数的极限和连续性要求：熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解区域的概念；理解复变函数的概念，知道复变函数的极限和连续的概念；重点：复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域；难点：用不等式表示区域。

第二章解析函数 6学时内容：1.解析函数的概念2.解析函数的充要条件3.初等函数要求：理解复变函数的导数概念及解析函数的概念及解析函数与柯西—黎曼方程的联系，了解某些初等解析函数的基本性质；掌握求导的方法；重点：函数解析性的判断，柯西－黎曼方程的运用；难点：幂函数概念。

第三章复变函数的积分 8学时内容：1.复变函数积分概念2.柯西---古萨基本定理3.复合闭路定理4.原函数与不定积分5.柯西积分公式6.解析函数的高阶导数7.解析函数与调和函数的关系要求：理解积分的定义，了解其性质，会求积分；掌握柯西定理、复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式；了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实部）的方法；重点：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法；难点：复合闭路公式的运用，能从已知的调和函数求其共轭调和函数.第四章级数 8学时内容：1.复数项级数2.幂级数3.泰勒级数4.洛朗级数要求：理解复数项级数、幂级数收敛、发散概念，了解幂级数的基本性质，了解收敛半径的求法；掌握简单函数在圆域内展开为泰勒级数与不同圆环域内展开为罗朗级数的间接方法；重点：函数在圆域展开成泰勒级数；在不同环域内将函数展开成罗朗级数；难点：复数项级数的绝对收敛、条件收敛、发散的判定。

《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程代码：课程名称：复变函数与积分变换/Complex Function and Integral Transform课程类型：考查课学时学分：4学时/4学分适用专业：理工类开课部门：基础课部一、课程的地位、目的和任务本课程是高等院校理工类专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量函数的分析工具，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等专业课程奠定必要的数学基础。

二、课程与相关课程的联系与分工本课程很多内容都是从研究实变量的《高等数学》推广到复数变量，涉及到大量微积分计算、微分方程和级数知识，应该在《高等数学》课程后开设。

本科课程的知识为理工类学科的一些专业课程提供的数学理论与数学基础，适合在二年级第二学期以后开设。

三、教学内容与基本要求(一)复数与复变函数1、教学要求掌握复数及其代数运算，复数的几何表示，掌握欧拉公式，以及三角形式、代数形式和指数形式的互化，掌握复数的乘幂与方根的运算。

了解区域的概念；理解复变函数概念；了解复变函数的极限和连续的概念。

2、重点、难点重点：复数的运算以及各种形式的互化难点：对复变函数概念及其极限、连续概念的理解，3、深广度说明本章主要讲明复数的概念，熟练掌握复数的各种运算，掌握复数不同形式的互化，对复变函数的极限和连续概念不要求学生掌握严格的数学定义。

（二）解析函数1、教学要求理解复变函数的导数及复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充要条件；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、对数函数、幂函数、双曲函数反双曲函数、三角函数及反三角函数的定义及它们的主要性质(包括在单值域中的解析性)。

2、重点、难点重点：解析函数的概念，函数解析的充要条件难点：解析函数充要性的说明3、深广度说明不要求学生会证明解析函数的充要条件，重点掌握解析函数的概念能熟练利用充要条件判断复变函数的解析性。

《复变函数与积分变换》教学大纲一、课程基本信息课程名称：复变函数与积分变换英文名称：Complex Variable Functions and Integral Transformations课程编号：06209C课程类型：专业限选课课程总学时：48 （理论 40，实验 8 ）学分：2适用专业：信息与计算科学开课系部：应用数学系先修课程：数学分析(高等数学)二、课程的性质和任务复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。

它的许多概念、理论和方法与数学分析有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。

它是本科院校理工科专业的重要专业课。

它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，在流体力学、电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美地研究这类具体问题。

积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。

如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。

因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。

三、课程教学基本要求第一部分复数与复变函数教学内容：1.1 复数1.2 复数的三角表示1.3 平面点集的一般概念1.4 无穷大和复球面1.5 复变函数1、掌握复数的三种表示法，知道复平面的点集与区域。

2、理解复变函数的概念，了解其几何表示。

3、了解复变函数的极限与连续性的概念。

4、掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算第二部分解析函数教学内容：2.1 解析函数的概念2.2 解析函数和调和函数的关系2.3 初等函数基本要求：1. 理解复变函数导数的概念及其求法。

《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。

对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。

并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。

并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。

2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。

3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。

为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。

《复变函数与积分变换》教学大纲一、课程名称复变函数与积分变换（Functions of Complex Variable and Integral Transforms）二、学时与学分学时：40 学分：2.5三、授课对象理工科本科学生四、先修课程高等数学五、教学目的复变函数与积分变换是理工科相关专业的一门基础课，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基础理论和方法，掌握傅里叶变换与拉斯变换的性质、方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

六、主要内容、基本要求及学时分配该课程介绍了复变函数与积分变换的一些基本知识，内容包含复变函数、解析函数、解析函数的级数表示、留数定理、保形映射以及工程上常用的傅里叶变换与拉普拉斯变换。

主要内容1．复数与复变函数（1）复数（2）复数的三角表示（3）平面点集的一般概念（4）无穷大与复球面（5）复变函数2．解析函数（1）解析函数的概念（2）解析函数和调和函数的关系（3）初等函数3．复变函数的积分（1）复积分的概念（2）柯西积分定理（3）柯西积分公式（4）解析函数的高阶导数4．解析函数的级数表示（1）复数项级数（2）复变函数项级数（3）泰勒级数（4）洛朗级数5．留数及其应用（1）孤立奇点（2）留数（3）留数在定积分计算中应用6．保形映射（1）保形映射的概念（2）保形映射的基本问题（3）分式线性映射（4）几个初等函数构成的保形映射7．傅里叶变换（1）傅里叶变换的概念（2）单位脉冲函数（δ函数）（3）傅里叶变换的性质8．拉普拉斯变换（1）拉普拉斯变换的概念（2）拉氏变换的性质（3）拉普拉斯逆变换（4）拉氏变换的应用及综合举例基本要求1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解区域的概念；理解复变函数的概念，知道复变函数的极限和连续的概念。

2．理解复变函数的导数概念及解析函数的概念及解析函数与柯西—黎曼方程的联系，了解某些初等解析函数的基本性质；了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实部）的方法。