2015届高考数学 集合、常用逻辑用语专题汇编及详细答案

专题01集合与常用逻辑用语考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1集合间的基本关系（10年2考）2023·全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷一般给两个集合，要求通过解不等式求出集合，然后通过集合的运算得出答案。

考点2交集（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2023·北京卷、2023全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022年全国甲卷、2022全国新Ⅰ卷、2021年全国乙卷、2021年全国甲卷、2021年全国甲卷、2021全国新Ⅰ卷考点3并集（10年8考）2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山东卷、2019·北京卷、2017·浙江卷、2017·全国卷、2016·山东卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点4补集（10年8考）2024年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023年全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·北京卷考点5充分条件与必要条件（10年10考）2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、2023·北京卷、2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国甲卷常以关联的知识点作为命题背景，考查充分条件与必要条件，难度随载体而定。

考点6全称量词与存在量词（10年4考）2024·全国新Ⅱ卷、2020·全国新Ⅰ卷、2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·湖北卷全称量词命题和存在量词命题的否定及参数求解是高考复习和考查的重点。

2015高考理科数学集合与常用逻辑用语总复习题(含答案)A组基础演练•能力提升]一、选择题1．(2013年高考浙江卷)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．1，＋∞)解析：T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T ＝{x|x≤1}，选C.答案：C2．(2013年高考辽宁卷)已知集合A＝{x|0A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．(1,2] 解析：0∴集合A＝{x|1答案：D3．已知集合A＝xx－2x≤0，x∈N，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为()A．1B．2C．4D．8解析：由x－2x≤0得0答案：D4．若集合A＝{x∈Z|20}，则A∩(∁RB)所含的元素个数为()A．0B．1C．2D．3解析：∵A＝{0,1}，B＝{x|x>2或x答案：C5．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1}B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}解析：由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故a＝0或1或－1.故选D.答案：D6．(2013年高考广东卷)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件xA．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S解析：题目中x答案：B二、填空题7．(2014年武汉模拟)已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B ＝{3}，(∁UB)∩A＝{1}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,4}，则B∩(∁UA)＝________.解析：依题意及韦恩图得，B∩(∁UA)＝{5,6}．答案：{5,6}8．已知集合A＝{x∈R||x＋2|解析：A＝{x∈R||x＋2|由A∩B＝(－1，n)可知m则B＝{x|m答案：－119．设集合M＝，＝＋－1＋y＋3，－52≤y≤3，若(a，b)∈M，且对M中的其他元素(c，d)，总有c≥a，则a＝________.解析：依题可知，本题等价于求函数x＝f(y)＝(y＋3)•|y－1|＋y＋3在－52≤y≤3时的最小值．当－52≤y≤1时，x＝(y＋3)(1－y)＋y＋3＝－y2－y＋6＝－y＋122＋254，所以当y＝－52时，xmin＝94.当1≤y≤3时，x＝(y＋3)(y－1)＋y＋3＝y2＋3y＝y＋322－94，所以当y＝1时，xmin＝4.又4>94，因为当y＝－52时，x有最小值94，即a＝94.答案：94三、解答题10．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B. 解析：由9∈A，可得x2＝9，或2x－1＝9，解得x＝±3，或x＝5.当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去；当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}；当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}与A∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝1,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．解析：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝1,3]，∴m－2＝1，m＋2≥3.得m＝3.(2)∁RB＝{x|xm＋2}，∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2∴m>5或m12．(能力提升)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2－(2m＋1)x＋2m(1)当m(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．解析：∵不等式x2－(2m＋1)x＋2m(1)当m∴集合B＝{x|2m(2)若A∪B ＝A，则B⊆A，∵A＝{x|－1≤x≤2}，①当m此时－1≤2m②当m＝12时，B＝∅，有B⊆A成立；③当m>12时，B＝{x|1此时1综上所述，m的取值范围是－12≤m≤1. B组因材施教•备选练习]1．已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，S＝{x|y＝x2＋1，x∈R}，T＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}，M＝{x|x≥1}，则()A．P＝MB．Q＝SC．S＝TD．Q＝M解析：集合P是用列举法表示，只含有一个元素，集合Q是函数y＝x2＋1的值域，Q＝{y|y≥1}，集合S是函数y＝x2＋1中x的取值范围R，集合M是不等式的解集{x|x≥1}，而集合T的元素是平面上的点，此集合是函数y＝x2＋1的图象上所有的点组成的集合，故选D.答案：D2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：A＝{x|log2x≤2}＝{x|0答案：43．(2014年合肥模拟)对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝m＋n2，当m，n为一奇一偶时，m⊙n ＝mn，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，a＋b2＝6⇒a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．(2)当a，b为一奇一偶时，ab＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．综上可知，集合A中的元素共有17个．答案：174．已知A＝{(x，y)|y＝|x2－1|}，B＝{(x，y)|y＝1－x2}，则A∩B的真子集个数为________．解析：由题意，知集合A表示函数y＝|x2－1|的图象，由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，该方程表示以原点为圆心，1为半径的半圆，所以集合B表示半圆，所以A∩B中的元素就是函数y＝|x2－1|与y＝1－x2的图象的交点．因为y＝|x2－1|＝x2－1，x∈－∞，－1]∪1，＋∞，1－x2，x∈－1，，如图所示，作出y＝|x2－1|与y＝1－x2的图象，可知y＝|x2－1|与y＝1－x2的图象有三个交点，分别为D(－1，0)，E(1,0)，C(0,1)，即A∩B中有3个元素，故A∩B的子集有23＝8(个)，真子集个数为8－1＝7.答案：7。

集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·某某河西质量调查)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：由题意得A ∩B ＝{4,7,9}，U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，所以∁U (A ∩B )＝{3,5,8}． 答案：A2．(2014·某某质检)若集合A ＝{x ||x ＋1|＝x ＋1}，B ＝{x |x 2＋x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－1,0]D ．[－1,0]解析：因为A ＝{x |x ≥－1}，B ＝{x |－1＜x ＜0}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0}． 答案：A3．(2014·某某某某十校期末)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意得{a 1，a 2}⊆M ⊆{a 1，a 2，a 4}， 所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}． 答案：B4．(2014·某某调研)设集合P ＝{x |x 2－x －2≥0}，Q ＝{y |y ＝12x 2－1，x ∈P }，则P ∩Q＝( )A ．{m |－1≤m ＜2}B ．{m |－1＜m ＜2}C ．{m |m ≥2}D ．{－1}解析：P ＝{x |x ≥2或x ≤－1}，又x ∈P 时，y ＝12x 2－1∈[－12，＋∞)，故Q ＝{y |y ≥－12}，故P ∩Q ＝{m |m ≥2}． 答案：C5．(2013·某某)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－2解析：因f (x )为奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案：D6．(2014·某某综合测试)设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2＞4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x ＜2}B ．{x |－2≤x ＜1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |－2≤x ≤2}解析：M ＝{x |x ＞2或x ＜－2}，N ＝{x |3－xx －1≥0}＝{x |1＜x ≤3}，阴影部分所表示的集合为(∁R M )∩N ＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |1＜x ≤3}＝{x |1＜x ≤2}．答案：C7.(2013·某某)“(2x－1)x ＝0”是“x＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x＝12或0”是“x＝0”的必要不充分条件，故答案选B .答案：B8．(2014·东城期末)有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B ，则A B”的逆否命题．其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③解析：①中逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，为真命题． ②中否命题为“若两三角形面积不相等，则两三角形不全等”，为真命题． ③中x 2－2x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝4－4m≥0⇔m≤1， 故原命题正确，其逆否命题为真命题．④若A∩B＝B ，则B ⊆A ，为假命题，故其逆否命题为假命题． 答案：D9．(2014·某某某某期末)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：sin x －cos x ＝2sin(x －π4)∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有Ø与{1}两个，故命题q 是真命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，②③正确．答案：C10．(2014·某某某某第二次测试)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：本题主要考查抽象函数的性质．由函数f (x ＋1)为偶函数知f (x )的对称轴为x ＝1.当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0得到f (x )在(1，＋∞)上是递增的， 所以f (－12)＝f (52)，所以f (2)＜f (52)＜f (3)．即b ＜a ＜c .答案：A11．(2014·某某苏北四市第一次调研)若函数y ＝f (x )在R 上可导且满足不等式xf ′(x )＋f (x )＞0恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )＞bf (b )B ．af (b )＞bf (a )C ．af (a )＜bf (b )D ．af (b )＜bf (a )解析：由题意设F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，则F ′(x )＞0，∴F (x )为单调增函数，又a＞b，∴F(a)＞F(b)．∴af(a)＞bf(b)．答案：A12．(2014·某某调研)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x≥2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2＞4，且(x1－2)(x2－2)＜0，则f(x1)＋f(x2)的值为( ) A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负解析：可以由f(x)＝－f(4－x)得函数图象关于点(2,0)成中心对称直观解答；也可直接推理，由(x1－2)(x2－2)＜0不妨设x1＞2，x2＜2，由条件得f(x2)＝－f(4－x2)，故f(x1)＋f(x2)＝f(x1)－f(4－x2)，由x2＜2且x1＋x2＞4⇒x1＞4－x2＞2，由于函数在[2，＋∞)上为增函数，可得f(x1)＞f(4－x2)，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

专题01 集合与常用逻辑用语一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理1】已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N ＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}【答案】：A2. 【2012全国，理2】已知集合A＝{1,3，}，B＝{1， m}，A∪B＝A，则m＝( )A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3【答案】 B3. 【2015高考新课标2，理1】已知集合，,则（）A．B．C．D．【答案】A二．能力题组1.【2014新课标，理1】设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D【解析】因为N=，所以，故选D.2. 【2006全国2，理1】已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N等于（A. B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3}【答案】:D3. 【2005全国2，理9】已知集合，，则为（）(A) 或(B) 或(C) 或(D) 或【答案】A三．拔高题组1. 【2011新课标，理10】已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1： |a＋b|＞1θ∈[0，)p2：|a＋b|＞1θ∈(，π]p3：|a－b|＞1θ∈[0，)p4：|a－b|＞1θ∈(，π]其中的真命题是( )A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2， p4【答案】A【解析】2. 【2005全国2，理16】下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号）【答案】①④。

2015 届高考数学（文科）一轮总复习集合与常用逻辑用语第一篇集合与常用逻辑用语第 1 讲集合及其运算基础巩固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1 ．(2013 ?安徽卷改编 ) 已知 A＝ {x|x ＋ 1＞ 0} ，B＝ { － 2，－1,0,1} ．则 ( ?RA)∩ B＝ ________.解析因为 A＝ {x|x ＞－ 1} ，则 ?RA＝ {x|x ≤－ 1} ，所以( ?RA)∩B＝ { － 2，－ 1} ．答案{ －2，－ 1}2．已知集合＝ {1,2,3} ，N＝ {2,3,4} ，则下列各式不正确的是 ________．①? N；② N? ；③∩ N＝{2,3} ；④∪ N＝ {1,4} ．解析由已知得∩ N＝{2,3}，故选①②④ .答案①②④3．已知集合＝{0,1,2,3,4}，N＝ {1,3,5}，P＝∩N，则P 的子集个数有________．解析P＝∩ N＝ {1,3}，故P 的子集共有 4 个．答案44．已知集合 A＝ {x|x2 －x－ 2＜ 0} ，B＝ {x| － 1＜x＜ 1} ，则 A 与 B 的关系是 ________．解析集合 A＝ {x| － 1＜ x＜2} ，B＝ {x| －1＜ x＜ 1} ，则BA.答案BA5．设集合 A＝ {x|x2 ＋ 2x－ 8＜ 0} ， B＝ {x|x ＜ 1} ，则图中阴影部分表示的集合为 ________．解析阴影部分是A∩ ?RB.集合 A＝ {x| － 4＜ x＜2} ，?RB＝{x|x ≥1} ，所以 A∩?RB＝ {x|1 ≤ x＜2} ．答案 {x|1 ≤ x＜ 2}6 ．(2013 ?湖南卷 ) 已知集合 U＝ {2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝ {2,6,8}，则( ?UA)∩ B＝________.解析由集合的运算，可得 ( ?UA)∩ B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8} ．答案 {6,8}7 ．集合A＝ {0,2 ， a} ， B＝ {1 ， a2} ，若A∪ B＝{0,1,2,4,16}，则 a 的值为________．解析根据并集的概念，可知{a， a2}＝ {4,16}，故只能是a＝ 4.答案48．集合 A＝ {x ∈ R||x － 2| ≤ 5} 中的最小整数为________．解析由 |x－ 2|≤ 5，得－5≤ x－ 2≤ 5，即－3≤ x≤ 7，所以集合 A 中的最小整数为－ 3.答案－ 3二、解答题9．已知集合 A＝ {a2 ， a＋ 1，－ 3} ， B＝{a － 3，a－ 2，a2＋ 1} ，若 A∩ B＝{ －3} ，求 A∪ B.解由 A∩B＝{ －3} 知，－ 3∈B.又 a2＋ 1≥ 1，故只有 a－ 3， a－ 2 可能等于－ 3.①当 a－3＝－ 3 时，a＝ 0，此时 A＝ {0,1 ，－ 3} ，B＝ { －3，－ 2，1} ， A∩B＝ {1 ，－ 3} ．故 a＝ 0 舍去．②当 a－2＝－ 3 时， a＝－ 1，此时 A＝{1,0 ，－ 3} ， B＝ { － 4，－ 3,2} ，满足 A∩B＝ { － 3} ，从而 A∪ B＝ { － 4，－ 3,0,1,2}．10．设 A＝ {x|x2 ＋ 4x＝ 0} ， B＝ {x|x2＋ 2(a ＋1)x ＋ a2－1＝0} ，(1)若 B? A，求 a 的值；(2)若 A? B，求 a 的值．解(1)A ＝ {0 ，－ 4} ，①当 B＝?时，＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得 a＜－ 1；②当 B 为单元素集时，a＝－ 1，此时 B＝ {0} 符合题意；③当 B＝A 时，由根与系数的关系得：－2 a＋ 14， a2－1＝ 0，解得 a＝1.综上可知： a≤－ 1 或 a＝ 1.(2)若 A? B，必有 A＝ B，由 (1) 知 a＝ 1.能力提升题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1 ．若集合 A＝ { － 1,1} ，B＝ {0,2} ，则集合 {z|z ＝ x＋ y，x∈ A， y∈ B} 中的元素的个数为 ________．解析当 x＝－ 1，y＝ 0 时， z＝－ 1；当 x＝－ 1， y＝ 2时， z＝1；当 x＝ 1，y＝ 0 时， z＝ 1；当 x＝ 1，y＝ 2 时， z＝ 3. 故z 的值为－ 1,1,3 ，故所求集合为 { － 1,1,3} ，共含有 3 个元素．答案32．已知集合A＝ {x∈ R||x＋ 2|解析A＝ {x|－ 5答案－113．设g(x) ＝ (axa， b， c＋ 1)(cx2为实数，＋ bx＋1)f(x)＝(x．记集合＋ a) ?(x2S＝ {x|f(x)＋ bx＋ c) ，＝0， x∈R}， T＝ {x|g(x)＝0，x∈ R}．若|S|，|T|分别为集合S， T 的元素个数，则下列结论：①|S| ＝ 1 且|T| ＝ 0；② |S| ＝ 1且 |T| ＝1，③ |S| ＝2 且 |T| ＝ 2；④ |S| ＝ 2 且 |T| ＝3，其中不可能成立的是________．解析取 a＝ 0，b＝ 0，c＝ 0，则 S＝ {x|f(x)＝x3＝0}，|S| ＝ 1，T＝ {x|g(x)＝1≠0}，|T|＝0.因此①可能成立．取a＝ 1， b＝ 0， c＝1，则 S＝ {x|f(x)＝ (x ＋ 1)(x2 ＋ 1) ＝ 0} ，|S| ＝ 1， T＝ {x|g(x) ＝ (x ＋ 1)(x2＋ 1) ＝0} ， |T| ＝1，因此②可能成立．取 a＝－ 1， b＝ 0， c＝－ 1，则 S＝ {x|f(x)＝(x － 1)(x2 － 1) ＝ 0} ， |S| ＝ 2， T＝ {x|g(x) ＝ ( － x＋1)?( －x2＋ 1) ＝0} ，|T| ＝ 2. 因此③可能成立．对于④，若 |T|＝ 3，则＝ b2－ 4c＞ 0，从而导致 f(x)＝ (x ＋ a)(x2 ＋ bx＋c)也有3 解，因此 |S| ＝ 2 且 |T| ＝3 不可能成立．故④不可能成立．答案④二、解答题4．已知集合A＝ {y|y＝ 2x－ 1,0＜ x≤ 1}， B＝ {x|(x－a)[x－ (a ＋ 3)]＜ 0} ．分别根据下列条件，求实数 a 的取值范围．(1)A∩ B＝A；(2)A∩ B≠ ?.解因为集合 A 是函数 y＝ 2x－ 1(0 ＜ x≤ 1) 的值域，所以 A＝ ( － 1,1] ， B＝ (a ， a＋ 3) ．(1)A∩ B＝A? A? B? a≤－1，a＋3＞1，即－ 2＜ a≤－ 1，故当 A∩ B＝A 时，a 的取值范围是 ( － 2，－1] ．(2)当 A∩B＝ ?时，结合数轴知， a≥ 1 或 a＋ 3≤－ 1，即a≥ 1 或 a≤－ 4.故当 A∩B≠ ?时， a 的取值范围是 ( － 4,1).。

数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算2．A1[2015·安徽卷] 设全集U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,2},B＝{2,3,4},则A∩(∁U B)＝() A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}2．B[解析] 由∁U B＝{1,5,6}得A∩(∁U B)＝{1}．1．A1[2015·广东卷] 若集合M＝{－1,1},N＝{－2,1,0},则M∩N＝()A．{0,－1} B．{0}C．{1} D．{－1,1}1．C[解析] M∩N＝{1},故选C.10.A1[2015·湖北卷] 已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤1,x,y∈Z},B＝{(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A B＝{(x1＋x2,y1＋y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A B中元素的个数为() A．77 B．49C．45 D．3010．C[解析] 集合A,集合B”点,集合A B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A B表示如图所示的所有“”点＋所有“,共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.1．A1[2015·全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x＝3n＋2,n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B 中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．21．D[解析] 集合A＝{2,5,8,11,14,17,…},所以A∩B＝{8,14},所以A∩B中有2个元素．1．A1[2015·全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x<3},则A∪B＝()A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)1．A[解析] 根据并集的概念可知A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x<3}＝{x|－1<x<3}＝(－1,3),选A.1．A12015·北京卷若集合A＝{x|－5<x<2},B＝{x|－3<x<3},则A∩B＝()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}1．A[解析] A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2},故选A.2．A1[2015·福建卷] 若集合M＝{x|－2≤x<2},N＝{0,1,2},则M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}2．D[解析] 根据交集的概念得M∩N＝{0,1}．11．A1[2015·湖南卷] 已知集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,3},B＝{1,3,4},则A∪(∁U B)＝________．11．{1,2,3} [解析] ∁U B＝{2},故A∪(∁U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．1．A1[2015·山东卷] 已知集合A＝{x|2<x<4},B＝{x|(x－1)(x－3)<0},则A∩B＝()A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)1．C[解析] ∵B＝{x|1<x<3},∴A∩B＝(2,3)．1．A1[2015·陕西卷] 设集合M＝{x|x2＝x},N＝{x|lg x≤0},则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞,1]1．A[解析] 由题得集合M＝{0,1},N＝(0,1],所以M∪N＝[0,1]．1．A12015·四川卷设集合A＝{x|－1<x<2},集合B＝{x|1<x<3},则A∪B＝()A．{x|－1<x<3}B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2}D．{x|2<x<3}1．A[解析] 集合A＝(－1,2),B＝(1,3),故A∪B＝(－1,3)．1．A1[2015·天津卷] 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{2,3,5},集合B＝{1,3,4,6},则集合A∩(∁U B)＝()A．{3}B．{2,5}C．{1,4,6}D．{2,3,5}1．B[解析] ∁U B＝{2,5},A∩(∁U B)＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5},故选B.1．A12015·浙江卷已知集合P＝{x|x2－2x≥3},Q＝{x|2<x<4},则P∩Q＝()A．[3,4) B．(2,3]C．(－1,2) D．(－1,3]1．A[解析] 不等式x2－2x≥3,即x2－2x－3≥0,即(x＋1)(x－3)≥0,解得x≤－1或x≥3,即P＝(－∞,－1]∪[3,＋∞),所以P∩Q＝[3,4)．1．A1[2015·重庆卷] 已知集合A＝{1,2,3},B＝{1,3},则A∩B＝()A．{2} B．{1,2}C．{1,3} D．{1,2,3}1．C[解析] 由集合交集的定义,得A∩B＝{1,3}．1．A1[2015·江苏卷] 已知集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________．1．5[解析] 因为A∪B＝{1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的个数为5.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 3．A2[2015·安徽卷] 设p ：x <3,q ：－1<x <3,则p 是q 成立的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 因为(－1,3)是(－∞,3)的真子集,所以q ⇒p ,但p ⇒/ q ,因此p 是q 的必要不充分条件．5．A2、G3[2015·湖北卷] l 1,l 2表示空间中的两条直线,若p ：l 1,l 2是异面直线；q ：l 1,l 2不相交,则( )A ．p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件5．A [解析] 由l 1,l 2是异面直线,可得l 1,l 2不相交,所以p ⇒q ；由l 1,l 2不相交,可得l 1,l 2是异面直线或l 1∥l 2,所以q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件．故选A.6．A2,F3[2015·北京卷] 设a ,b 是非零向量．“a·b ＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] 根据数量积的定义,a ·b ＝||a ·||b cos θ,由a ·b ＝||a ·||b 可得cos θ＝1,根据向量所成角的范围得到θ＝0,所以a ∥b ；若a ∥b ,可得向量a 与向量b 共线,即所成的角为0或π,所以a ·b ＝±||a ·||b ,故选A. 12．A2、E1[2015·福建卷] “对任意x ∈0,π2,k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．B [解析] 当x ∈0,π2时,k sin x cos x <x ⇔k <x sin x cos x ＝2xsin 2x ,令t ＝2x ∈(0,π),则y ＝2x sin 2x ＝tsin t>1,所以k ≤1,故选B. 3．A2[2015·湖南卷] 设x ∈R ,则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] ∵x >1,∴x 3>1,由x 3－1>0得(x －1)(x 2＋x ＋1)>0,解得x >1,∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件,选C.5．A2[2015·山东卷] 设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤05．D[解析] ∵逆否命题是将原命题的条件与结论互换并分别否定,∴命题“若m>0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0”．图1-16．A2[2015·陕西卷] “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．A[解析] sin α＝cos α时,cos 2α＝cos2α－sin2α＝0,反之,sin α＝±cos α,即“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．4．A2、B7[2015·四川卷] 设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．A[解析] 当a＞b＞1时,log2a＞log2b＞0成立；反之也正确．故选A.4．A2、E2[2015·天津卷] 设x∈R,则“1<x<2”是“|x－2|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．A[解析] 由|x－2|<1,解得1<x<3.若1<x<2,则1<x<3,反之不成立,所以“1<x<2”是“|x －2|<1”成立的充分不必要条件．3．A2[2015·浙江卷] 设a,b是实数,则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．D[解析] 当a＝－2,b＝3时,a＋b>0,而ab<0；当a＝－2,b＝－3时,ab>0,而a＋b<0.故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．2．A2[2015·重庆卷] “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件2．A[解析] 由x2－2x＋1＝0,解得x＝1,所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件,故选A.A3 基本逻辑联结词及量词3．A3[2015·湖北卷] 命题“∃x0∈(0,＋∞),ln x0＝x0－1”的否定是()A．∃x0∈(0,＋∞),ln x0≠x0－1B．∃x0∉(0,＋∞),ln x0＝x0－1C ．∀x ∈(0,＋∞),ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0,＋∞),ln x ＝x －13．C [解析] 特称命题的否定是全称命题,且注意否定结论,故原命题的否定是“∀x ∈(0,＋∞),ln x ≠x －1”．故选C.A4 单元综合 4．[2015·沈阳二中模拟] 下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1,则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1,则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ,则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．命题“∃x 0∈R ,x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋x ＋1<0”4．C [解析] 命题“若x 2＝1,则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1,则x ≠1”,所以选项A 不正确．由x ＝－1,能够得到x 2－5x －6＝0,反之,由x 2－5x －6＝0,得到x ＝－1或x ＝6,所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件,所以选项B 不正确．命题“若x ＝y ,则sin x ＝sin y ”为真命题,所以其逆否命题也为真命题,所以选项C 正确．命题“∃x 0∈R ,x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋x ＋1≥0”,所以选项D 不正确．6．[2015·重庆一中模拟] “x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．B [解析] ∵x ＜0,∴x ＋1＜1,∴当x ＋1＞0时,ln(x ＋1)＜0；∵ln(x ＋1)＜0,∴0＜x ＋1＜1,∴－1＜x ＜0,∴x ＜0,∴“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件．9．[2015·佛山一中模拟] 若a ＝2x ,b ＝log 12x ,则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．B [解析] 如图所示,当x ＝x 0时,a ＝b .若a ＞b ,则得到x 00b 不一定得到x ＞1,∴“a ＞b ”不是“x ＞1”的充分条件；若x ＞1,则由图像得到a ＞b ,∴“a ＞b ”是“x ＞1”的必要条件．故“a ＞b ”是“x ＞1”的必要不充分条件． 13．[2015·杭州二中模拟] 给出下列说法： ①“若p ,则q ”的否命题是“若綈 p ,则綈 q ”； ②“∀x >2,x 2－2x >0”的否定是“∃x 0≤2,x 20－2x 0≤0”； ③“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的充分不必要条件；④若“b ＝0,则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的逆命题是真命题． 其中,错误说法的序号是________．13．② [解析] 根据命题与否命题的关系知①正确；“∀x >2,x 2－2x >0”的否定是“∃x 0>2,x 20－2x 0≤0”,②错误；若“p ∧q ”是真命题,则p ,q 均为真命题,所以“p ∨q ”是真命题,反之,若“p ∨q ”是真命题,则p ,q 可能是一真一假或都为真,则“p ∧q ”不一定是真命题,所以③正确；若f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数,则f(x)＝f(－x),解得b＝0,所以④正确．。

【备考2015】2015届全国名校数学试题分类汇编（12月 第四期）A单元集合与常用逻辑用语（含解析）目录A1 集合及其运算 ........................................................ - 1 - A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 ..................................... - 4 - A3 基本逻辑联结词及量词 ............................................... - 12 - A4 单元综合 ........................................................... - 13 -A1 集合及其运算【数学理卷·2015届黑龙江省大庆市铁人中学高三12月月考（期中）（201412）】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。

【数学理卷·2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考（201412）】5．已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则a =（ ）A.-6或-2B.-6C.2或-6D.2【知识点】两个集合交集是空集的条件. A1【答案】【解析】A 解析：若∅=⋂N M ，则3232aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠-⎪⎩或32260a a a ⎧-≠⎪⎨⎪++=⎩，解得a= -6或a= -2,故选A.【思路点拨】要使∅=⋂N M ，需使：缺少点（2，3）的直线y-3=3(x-2)与直线ax+2y+a=0平行，或者直线ax+2y+a=0过点（2，3），但不与直线y-3=3(x-2)重合即可.【数学理卷·2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考（201412）】1．已知集合A={1,3,4,6,7,8}，B=｛1,2,4,5,6｝则集合A ∩B 有（）个子集 A.3 B.4 C.7 D.8【知识点】集合运算；子集的概念. A1【答案】【解析】D 解析：∵A ∩B={1,4,6}，∴A ∩B 有328=个子集，故选D. 【思路点拨】求得A ∩B ，再用公式求其子集个数.【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三12月调研考试（201412）】1．设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，则M N =I ( )A ．1[0,)2B ．C ．1[1,)2-D ．1(,0]2-【知识点】集合及其运算A1 【答案】A【思路点拨】解一元二次不等式求得N ，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．【数学理卷·2015届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（201412）】1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=⋃B A _________.【知识点】并集及其运算.A1【答案】【解析】R 解析：由并集的运算律可得=⋃B A R ，故答案为R 。

2015年高考数学试题分类汇编常用逻辑用语编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2015年高考数学试题分类汇编常用逻辑用语）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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题十一 常用逻辑用语1.(15北京理科）设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m α⊂．“m β∥"是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析:因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行,不能推出//αβ,反过来若//αβ，m α⊂,则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件。

考点：1.空间直线与平面的位置关系；2。

充要条件。

2。

(15年安徽文科）设p ：x 〈3，q ：-1〈x 〈3,则p 是q 成立的( ）（A ）充分必要条件 (B)充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：∵3: x p ，31: x q -∴p q ⇒，但p ⇒/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C.考点：充分必要条件的判断.3.（15年新课标1理科）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ,则⌝P 为(A ）∀n ∈N ， 2n 〉2n （B ）∃ n ∈N ， 2n ≤2n（C)∀n ∈N ， 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N ， 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝：2,2n n N n ∀∈≤，故选C 。

专题01集合与常用逻辑用语考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1集合间的基本关系（10年2考）2023·全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷一般给两个集合，要求通过解不等式求出集合，然后通过集合的运算得出答案。

考点2交集（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2023·北京卷、2023全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022年全国乙卷、2022年全国甲卷、2022全国新Ⅰ卷、2021年全国乙卷、2021年全国甲卷、2021年全国甲卷、2021全国新Ⅰ卷考点3并集（10年8考）2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山东卷、2019·北京卷、2017·浙江卷、2017·全国卷、2016·山东卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点4补集（10年8考）2024年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023年全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·北京卷考点5充分条件与必要条件（10年10考）2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、2023·北京卷、2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国甲卷常以关联的知识点作为命题背景，考查充分条件与必要条件，难度随载体而定。

考点6全称量词与存在量词（10年4考）2024·全国新Ⅱ卷、2020·全国新Ⅰ卷、2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·湖北卷全称量词命题和存在量词命题的否定及参数求解是高考复习和考查的重点。

集合与常用逻辑用语1.【2014广东（理）高考1】已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则MN =( )A .{}1,0,1-B .{}1,0,1,2-C .{}1,0,2-D .{}0,1 【答案】B2.【2013广东（理）高考1】设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0,x ∈R },N ＝{x |x 2－2x ＝0,x ∈R },则M ∪N ＝( ).A .{0}B .{0,2}C .{－2,0}D .{－2,0,2} 【答案】D3.【2012广东（理）高考2】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( ) A .U B .{1,3,5} C . {,,}356 D .{,,}246【答案】C4．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<,则B A 等于（ ）A ．{|01}x x <<B ．{}21<<x xC ．{}20<<x x D ．{|2}x x >【答案】B 错误！未指定书签。

5错误！未指定书签。

．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{|N x y =,且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B6错误！未指定书签。

．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）给出下列命题:①在区间(0,)+∞上,函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数;②若log 3log 30m n <<,则01n m <<<;③若函数()f x 是奇函数,则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称;④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根,其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C7错误！未指定书签。