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根与系数的关系系数与方程根之间存在着紧密的联系，在解方程、求根等数学问题中起着重要的作用。
本文将探讨根和系数之间的关系，并探讨其在代数计算和现实生活中的应用。
一、根和系数的定义及关系根是指方程中使方程成立的未知数的值，可以是实数或复数。
而系数是方程中未知数的前面的数字或字母，用来表示未知数的倍数。
根和系数之间的关系可以用代数方程的一般形式来表达，即 a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，其中 a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是系数，x 是未知数。
二、根与系数之间的基本关系1. 根的个数与系数的关系：根的个数和方程的次数有关。
一个次数为 n 的方程最多有 n 个不同的复数根，其中包括重根。
具体而言，如果方程的系数全都是实数，则他的复数根都是成对出现的，即复数根共轭存在。
而如果方程的系数是复数，则有可能出现零个、一个或多个根。
2. 根与系数的关系及运算法则：（1）根与系数之间的关系可以由 Vieta's formulas 给出。
Vieta's formulas 断言，在一个 n 次方程的 n 个根 x_1,x_2,...,x_n 中，这些根的和等于方程的倒数第二个系数的相反数，即x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1} / a_n。
而这些根的乘积等于最后一个系数与首项系数的比值的相反数，即x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0 / a_n。
（2）在解方程时，根与系数之间的关系也可以通过韦达定理进行推导。
韦达定理指出，对于一个 n次方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，如果 x_1, x_2, ..., x_n 是方程的 n 个根，则它们满足以下关系：x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1} / a_n，x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0 / a_n，x_1 * x_2 * ... * x_{n-1} = (-1)^{n-1} * a_1 / a_n，以此类推。
知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则acx x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0一、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系（ ）A. M =B.M >C.M <D.大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） A.012=+xB.0122=++x xC.0322=++x xD.0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） A.57 B.57- C.75 D.75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13D 、17. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（ ）A.0232=--x xB.02322=--x xC.0232=-+x xD.02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) A.6 B.-6 C.4 D.-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0 ( )A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15.两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为( )A.6B.－6C.4D.－416.已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是( ) A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ） A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 。
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程 (a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，02=++c bx ax 则x 1+x 2= -，x 1x 2=a b ac （2）若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为(a≠0)()[]021212=+++x x x x x x a 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
复数知识内容一、复数的概念1．虚数单位 i:〔1〕它的平方等于1，即i2 1；2〕实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立．3〕i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21的一个根，方程21的另一个根是-i．x x〔4〕i的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1．实数a(b0)2．数系的扩充：复数a bibi(b0)纯虚数bi(a0)虚数a非纯虚数a b i(a 0 )3．复数的定义：形如a bi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即z a bi(a，b R)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a，b R)，当且仅当b0时，复数abi(a，b R)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N苘ZQ苘R C7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d，c，dR，那么a bi cdia c，bd二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数zabi(a，bR)与有序实数对a，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z abi(a，b R)可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z00i0表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数za bi 一一对应复平面内的点Z(a，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四那么运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b di2．复数z1与z2的差的定义：z1z2abi cdi ac bdi3．复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z14．复数的加法运算满足结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)5．乘法运算规那么：设z1abi，z2c di(a、b、c、d R)是任意两个复数，那么它们的积z1z2abi c di ac bd bcadi其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚局部别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：〔1〕z1z2z3z1z2z3〔2〕(z1z2)z3z1(z2z3)〔3〕z1z2z3z1z2z1z37．复数除法定义：满足c di x yi a bi的复数x yi(x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：(abi)c di或者abi c di8．除法运算规那么：设复数a bi(a、b R)，除以c di(c，d R)，其商为x yi〔x、y R)，即(a bi)c di x yi∵x yi c di cx dy dx cy i∴cx dy dx cyi a bixac bdcx dy a c2d2，由复数相等定义可知，解这个方程组，得dx cy by bc ad c2d2于是有:(a bi)c di ac bdbc adi2222 c d c d②利用c di c di c22abi的分母有理化得：d于是将c di原式a bi(a bi)(c di)[ac bi(di)](bc ad)i c di(c di)(cdi)c2d2(ac bd)(bc ad)i ac bd bc adc2d2c2d2c2d2i．∴((a bi)c di ac bd bc ad c2d2c2d2i点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而c di c di c2d2是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
根与系数的关系【教材分析】㈠教材的地位、作用和特点：“实践与探索”是新教材中一个十分新颖的教学内容，它强调“有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”。
本章的“实践与探索”内容与以往的章节相比，有了进一步的强化。
从知识上说，通过提供学生进行探究性学习的素材，学习和体会数学建模的思想和方法，拓宽一元二次方程的内容。
一方面，通过选取与生活密切相关，且具有一定思考和探索性的问题，让学生综合应用已有的知识，经过自主探索与合作交流去尝试解决，在实践中获得成功的经验。
另一方面，利用教材的弹性空间，对一元二次方程的相关知识进行拓展和探索，并以此为载体，让学生经历和体验数学发现的过程，提高学生的思维品质和进行探究性学习的能力，同时体验成功的喜悦。
本节课是第二方面的内容，主要围绕问题3展开进行探索。
在过去的教材里，这个内容是单列的，称为“一元二次方程的根与系数的关系”，教学课时也较多。
新教材把其编写成一个“实践与探索”的内容，其用意是：避免繁、难、偏、旧的模式化教学，以此为载体，创设一次探究性的学习活动，探索一元二次方程相关知识的拓展，让学生经历和体验数学发现的过程，培养学生自主学习的能力。
它强调学生的实验、观察、对比、分析、归纳，相互交流和表达自己意见；强调学生的动手，通过实验不断验证自己的发现；强调学生对解决问题策略的总结，鼓励学生自己归纳、概括并掌握基本的数学思想和方法。
㈡教学目标：根据课标要求、学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：1．通过观察、实验、分析、归纳等数学活动，得到一元二次方程的根与系数关系的简单形式，并能简单应用。
2．参与探究性学习的过程，经历和体验数学发现的过程，培养独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性，学会尝试、合作与交流，开拓思路，体验成功的喜悦。
㈢教学的重点和难点：教学重点：结合实践与探索，让学生经历和体验数学发现的过程，通过观察、实验、分析、归纳等数学思维活动，得到一元二次方程的根与系数关系的简单形式。
一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理和它的逆定理) 教学目标(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根 据：(二)使学生会运用根与系数关系解题. 教学重点和难点重点：根与系数关系的推导. 难点：根与系数关系的运用. 教学过程设计(一)引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的各项系数a,b,c 决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b 2-4ac 决定.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c 有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.（二）新课从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c 的关系：1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x 1+x 2,x 1x 2的值与一次项系数及常数项的关系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x 1+x 2,x 1x 2的值与系数的关系.(在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)3.猜想ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的x 1+x 2,x 1x 2与a,b,c 的关系(引导学生化为x 2+0=+acx a b 后，猜想)为x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac.4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明 就可以了.证明：设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,5.读课文以强化印象.6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程” .如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-p,x 1x 2=q. 教师必须要求学生能用语言表达上述定理.“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.(这个定理又叫做韦达定理)7. “对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理) 例题讲解例1 已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程例1 已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把方程的系数代入，算出结果了.例3 求一个一元二次方程，使它的两根分别是分析：“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.例4 已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8，所以另一个数为8-x.再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9.解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在以后学到.解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法1得到的方程.(三)课堂练习1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= .2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是( ).3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k= .答案或提示(四)小结1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.(五)作业1.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于( ).2.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为( ).3.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根( ).(A) 一定都是奇数 (B)一定都是偶数 (C) 有可能是真分数 (D) 有可能是无理数4.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.(2)如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.5.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.作业的答案或提示.一元二次方程的根与系数的关系练习与测试1．已知关于x 的方程)0(02>=++a c bx ax 有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式ac b 42- 0，常数项c 0。
