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区间估计案例

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基金投资收益的分析报告——Bock投资服务公司Lisa Rae Bock在1994年开办了一家Bock投资服务公司（Bock Investment Services，BIS），旨在给南加利福尼亚货币市场提供咨询服务和指导。

为了给其目前的客户提供更好的服务并吸引新客户，她每周做一次简讯。

为了更好地反映每周对基金管理者电话调查的结果，Lisa正在考虑向简讯中增加一项内容。

为了对提供这种服务的可能性进行调查，以便确定在简讯中包含哪些信息，Lisa选取了45种货币市场基金组成一个简单随机样本，部分数据如下表所示，它们报告了基金的资产、最近7天和最近30天的获益率。

在给基金管理者打电话以获取更多的信息之前，Lisa决定先对已搜集的数据做一些初步分析。

原始数据（资料来源：Barron’s，October 3,1994）：货币市场基金资产（百万美元）过去7日的获益率（％）过去30日的获益率（％）AmcoreAlger Arch MM/Trust BT Instit Treas Benchmark DirBradfordCapital cash Cash Mgt TrustComposite Cowen StandbyCorlandDeclarationDreyfusElfunFFB Cash Federated Master Fidelity CashFlex-fundFortis Franklin Money Freedom cash Galaxy Money Government Cash Hanover Cash Heritage Cash Infinity/Alpha John Hancock Landmark FundsLiquid cash Mardet Watch103.9156.7496.5197.82755.4707.61.72707.8122.8694.7217.338.44832.881.7506.2738.713272.8172.8105.6996.81079.0801.4409.4794.31008.353.6226.4481.3388.910.64.104.794.174.374.543.884.294.144.034.253.572.674.014.514.174.414.514.603.873.974.074.113.834.324.083.993.934.284.614.134.084.734.134.324.473.834.224.043.914.193.512.613.894.414.114.344.424.483.853.924.013.963.824.234.003.913.874.264.644.05Merrill Lynch MoneyNCC FundsNationwideOverlandPierpont MoneyPortico Money Prudential MoneyMart Reserve PrimarySchwab Money Smith Barney CashStagecoachStrong Money Transamerica CashUnited Cash Woodword Money 27005.6113.4517.3291.51991.7161.66835.11408.010531.02947.61502.2470.2175.5323.71330.04.244.224.224.264.504.284.203.914.164.164.184.374.203.964.244.184.204.144.174.404.204.163.864.074.124.134.294.193.894.21一、描述统计量分析本次分析数据为45种货币市场基金组成的一组随机样本，其中包含了三个变量：资产（百万美元）、过去7日收益率和过去30日收益率。

1、图表描述：图1 描述统计量描述统计量N 全距极小值极大值和均值统计量统计量统计量统计量统计量统计量资产45 27003.9 1.7 27005.6 89764.9 1994.776 过去7日的获益率45 2.12 2.67 4.79 187.30 4.1622 过去30日的获益率45 2.12 2.61 4.73 184.42 4.0982 有效的 N （列表状态）45描述统计量均值标准差方差偏度峰度标准误统计量统计量统计量标准误统计量资产692.3063 4644.1318 21567960.427 4.200 .354 19.949 过去7日的获益率.04863 .32624 .106 -2.074 .354 9.255 过去30日的获益率.04849 .32525 .106 -2.051 .354 9.300 有效的 N （列表状态）图2 直方图2、文字描述：（1）均值分析。

根据SPSS数据计算的描述统计量结果中可得知，资产均值为1994.776，过去7日的获益率均值为4.1622%，过去30天的获益率均值为4.0982%，由此可知基金投资总体收益良好，近期基金投资的收益率在本月收益率中占较大比重，近期收益颇丰。

（2）极值分析。

由图表1可知，投资资产的极值差异较大，过去7日收益率和近30日收益率的极差也有很大出入，因此可以认为，人们对不同基金，投资的资产金额不同，收益率也不同。

不同的基金投资，有着不一致的投资与风险程度，但投资的资产与收益率（3）中位数分析。

（4）众数分析。

（5）和分析。

（6）偏度和峰度分析。

二、区间估计分析1、图表描述描述统计量标准误资产均值1994.776 692.3063 均值的 95% 置信区间下限599.524上限3390.0275% 修整均值1156.342中值496.500方差21567960.427标准差4644.1318极小值 1.7极大值27005.6范围27003.9四分位距1201.8偏度 4.200 .354 峰度19.949 .695过去7日的获益率均值 4.1622 .04863 均值的 95% 置信区间下限 4.0642上限 4.26025% 修整均值 4.1865中值 4.1800方差.106标准差.32624极小值 2.67极大值 4.79范围 2.12四分位距.29偏度-2.074 .354 峰度9.255 .695过去30日的获益率均值 4.0982 .04849 均值的 95% 置信区间下限 4.0005上限 4.19595% 修整均值 4.1199中值 4.1300方差.106标准差.32525极小值 2.61极大值 4.73范围 2.122、文字描述（1）置信度为95%的资产均值的置信区间为599.524~3390.027。

因此，有95%的把握认为总体资产均值在大于等于599.524百万美元，与小于等于3390.027百万美元的区间内，我们希望这个区间就是众多包含真值区间的其中之一。

（2）置信度为95%的最近7天的获益率置信区间为4.0642~4.2602.因此，有95%的把握认为过去7天的平均获益率大于等于4.06%，与小于等于4.26%的区间内，我们希望这个区间就是众多包含真值区间的其中之一。

（3）置信度为95%的最近30天的获益率置信区间为4.0005~4.1959.因此，有95%的把握认为最近30天的平均收益率位于大于等于4.00%，与小于等于4.20%的区间内，我们希望这个区间就是众多包含真值区间的其中之一。

三、统计结果（1）资产：总和为89764.9，均值为1994.776，最大值为27005.6，最小值为1.7，标准差为4644.1318。

（2）收益率：最近7日的收益率平均状况要好于30日内的收益率。

（3）样本协方差：货币市场资产与近7日的获益率、近30日的获益率的样本协方差均大于零，所以货币市场资产与获益率呈正相关。

（4）变异系数：30日内的变异系数大于7日内的变异系数，所以，30日内的获益率变化较7日内的获益率的变化要大。

（5）偏度系数：7日、30日内的获益率偏度系数均小于0，故此，数据分布均左偏倚。

（6）有95%的把握认为总体资产均值在大于等于599.524百万美元，与小于等于3390.027百万美元的区间内，落此区间以外则认为是不正常的。

（7）有95%的把握认为过去7天的平均获益率大于等于4.06%，与小于等于4.26%的区间内，落于此区间外则认为是不正常的。

（8）有95%的把握认为最近30天的平均收益率位于大于等于4.00%，与小于等于4.20%的区间内，落于此区间以外则认为是不正常的。

四、建议（1）给定货币市场基金的总体数目下，对相应的置信区间进行修正。

（2）若要控制样本均值对总体均值的估计误差，则在给定置信水平下，样本容量需满足相应的量，所以Lisa应在要求的误差和置信水平下，确定应选取的样本容量，以达到所要求的估计精确度。

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案例11-2区间估计.

案例11-2区间估计.

2016版
区间估计案例
例：某社区50人受教育程度的抽样调查结 果显示，得知这个样本人群的平均受教育 年限为11.5年，计算得到文化程度的标准 差为3.6年，这时置信度要求为0.99，要求 这个社区总体人群的平均受教育程度的双 侧置信区间。
作者：孟传慧 1_shdc_11_sp_al_002_1
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作者：孟传慧 1_shdc_11_sp_al_002_1第2页/共2页来自 2016版区间估计案例
解：根据题意，虽然总体分布形式未知，但 由于样本容量n=50所以可采用大样本区间估 计公式 [ － ， ＋ ] 置信度1-α=0.99，查表得有 Za/2=2.58, δ =s=3.6 n=50, =11.5 代入区间公式得：[10.19,12.81] 因此，这个社区总体人群的平均受教育程度 的双侧置信区间为[10.19,12.81]。
区间估计习题

区间估计习题

计算题1、在稳定生产的情况下，某工厂生产的电灯泡使用时数可认为是服从正态分布，观察20个灯泡的使用时数，测得其平均寿命为1832小时，标准差为497小时。

试构造灯泡使用寿命的总体平均值95%的置信区间。

（1599.4，2064.6）2、某商场营业员的劳动效率进行纯随机不重复抽样，共抽查60人，查得每人每日平均销售额为300元，其标准差为24.50元。

该商场共有营业员600人，在概率保证程度为95%时，要求：（1）计算抽样平均误差；（2）推断该商场营业员每天平均销售额的置信区间。

3；（294.12，305.88）3、某灯泡厂对生产的10000只日光灯进行质量检验，随机抽取100只，测得灯管的平均发光时间为2000小时，发光时间的标准差为50小时。

在95.45%的概率保证下，试估计这批灯管平均发光时间的范围。

如果要求最大允许误差不超过15小时，试问这批灯管的平均发光时间范围又是多少？其估计的概率保证程度是多大？（1990，2010）；（1985，2015）；99.73%4、包糖机某日开工包了16包糖。

假设重量服从正态分布。

称重后得样本平均重量1千克，样本标准差0.08千克，试求该日重量平均数的95%的置信区间。

（0.957，1.043）5、由36名高年级学生组成一个随机样本，要求他们分别记下每周观看电视的时间，根据以往的调查，它服从标准差为6的正态分布，从记录结果算出样本平均数为15个小时，试求总体平均数99%的置信区间。

（12.44，17.56）6、某无线电厂想测定某型号收录机的功率，随即抽取121台该型号的收录机进行测试，获得其平均功率为1.98瓦，由以往的经验得知总体标准差为0.3瓦。

试以95%的置信度确定该型号收录机功率的区间。

（1.927，2.033）7、为防止出厂产品缺斤少两，某厂质检人员从当天产品中随机抽取12包过称，称得重量（以g为单位）分别为：9.9，10.1，10.3，10.4，9.7，9.8，10.1，10.0，9.8，10.3。

区间估计例

区间估计例

正态总体参数的区间估计一、单个正态总体均值μ的估计： ① σ2已知，求μ的置信区间设X 1，X 2，…，X n 为总体X~N(μ，σ2)的一个样本；则∑==ni i X n X 11是μ的一个点估计.统计量给定置信水平1-α，查表得临界值2αz：即μ的1-α置信区间为：例1 某车间生产滚珠，已知滚珠直径X~N(μ，σ2)，其中σ2=0.05，μ未知.从某一天的产品中随机抽出6个，测得直径如下（单位：mm ）：14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1试求：X 的均值μ的解 α=0.05， 975.021)(2=-=Φααz 查表得：96.1025.0=z而：18.095.1496.1605.095.1495.14)1.152.158.149.141.156.14(61025.0±=⨯±=⋅±⇒=+++++=z n X X σ因而μ的95%置信区间为[14.77， 15.13]② 当σ2未知时，为求μ的置信区间，用S 2代替σ2，相应地，给定置信度1-α，查表求()12-n t α，使得：()αμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-112n t n S X P ，则μ的（1-α）置信区间为：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--1,122n t n SX n t n SX αα例2 数据及要求同例1.α=0.05，自由度n-1=5，查表：()571.25205.0=t ，而：95.14=X()()()()()()051.095.141.1595.142.1595.148.1495.149.1495.141.1595.146.141612222222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+-+--=S ()237.095.14571.26051.095.141±=⨯±=-⋅±n t n S X α 因而μ的95%置信区间为[14.713， 15.18]二、单个正态总体方差σ2的估计设X~N(μ，σ2)，μ未知，对σ2进行区间估计；已知统计量：给定置信水平1-α，使得：注意：χ2(n-1)密度曲线不是对称的，为使计算简便，一般将不准的概率α平均分配在密度曲线两边.σ2的1-α置信区间为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2212222)1(,)1(ααχχS n S n例3 求例1中方差σ2的95%置信区间.查表：20.025220.97512(5)12.8(1)(5)0.831n αχχχ-=-==又S 2=0.0512222212(1)50.0510.02012.8(1)50.0510.30690.831n S n S ααχχ--⨯⇒==-⨯==因而，方差σ2的95%置信区间为[0.02, 0.3069] 单侧置信限：在许多实际问题中，只须了解参数的单侧置信限就可以了.给定置信度1-α：若 p{θ1≤θ}=1-α，则θ1为θ的置信下限； p{θ≤θ2}=1-α，则θ2为θ的置信上限.例4 从某批灯泡中随机取5只作寿命试验，结果如下：1050，1100，1120，1250，1280， 设灯泡寿命服从正态分布，试求平均寿命置信度为95%的置信下限.解 由于σ2未知，应用t 分布，)1(~)(--n t SX n μ， 要求 αμ-=<-1})({c SX n p ，按上百分位点定义，即)1(-=n t cα，因而，μ的单侧100(1-α)%置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞⋅--,)1(n S n t X α题中：1318.2)15(,05.0,95.019950116005.02=-==-==t S X αα从而，μ的0.95置信区间为[)∞,1065，置信下限为1065.。

总体比例的区间估计例题

总体比例的区间估计例题

总体比例的区间估计例题
假设有一批商品，其中有30%是优质商品。

现在我们想要对这批商品的总体比例进行区间估计。

步骤如下：
1. 确定样本容量：假设我们随机选择了100个商品作为样本。

2. 计算样本中的观察值数量：从样本中，我们得到了30个优质商品作为观察值。

3. 计算样本比例：样本比例可以通过观察值数量除以样本容量得到，即30/100=0.3。

4. 确定置信水平：我们需要确定希望得到的区间估计的置信水平。

常见的置信水平有90%、95%和99%等。

5. 计算标准误：标准误可以通过以下公式计算：sqrt((样本比例 * (1 - 样本比例))/样本容量)。

在这个例子中，标准误为sqrt((0.3 * (1-0.3))/100)≈0.049。

6. 计算置信区间：使用样本比例加减标准误乘以一个适当的z 值来计算置信区间。

z值是根据所选择的置信水平来确定的，一般可以在统计表格中找到。

例如，使用90%的置信水平和对应的z值为1.645，那么置信区间为样本比例±(标准误 * z 值)，即0.3±(0.049 * 1.645)≈(0.225, 0.375)。

因此，在90%的置信水平下，我们可以估计总体比例在22.5%至37.5%之间。