高中数学人教A版必修阅读与思考中外历史上的方程求解课件

《方程的根与函数的零点》素材4.1计：（一）创设情境，感知概念 1、实例引入 解方程：（1）2-x =4；（2）2-x =x ．意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系． 填空：问题1：从该表你可以得出什么结论？ 归纳：约10分钟约15分钟约12分钟 约3分钟3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y ＝2x －4，y ＝2x －8，y ＝ln(x －2)，y ＝(x －1)(x ＋2)(x －3)．比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念． 4、函数零点．概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 练习：求下列函数的零点： 22(1)()34(2)()lg(44)=-++=+-f x x x f x x x 设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．（三）实例探究，归纳定理． 6、零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]探究：（1）观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）． 意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ （1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（四）正反例证，熟悉定理． 8．定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点． （ × ） 请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点． 意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解． 9、练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：（C ） A ．5个 B．4个 C ．3个 D ．2个 （2）方程– x 3 – 3x + 5=0的零点所在的大致区间为 （ ）A ．(– 2，0)B ．(0，1)C ．(0，1)D ．(1，2) 意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．（五）综合应用，拓展思维． 10、例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题6：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )结合函数的单调性，f (x )在区间解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点．（七）布置作业，独立探究．1．函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？2．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x－2)＝－3；（2）e x－1＋4＝4x．3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2x ln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．5.4。

第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点学习目标①明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;②通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;③通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:求下列方程的根.(1)6x-1=0;(2)3x2+6x-1=0;(3)3x5+6x-1=0.(如何解,会解吗?)问题2:求下面方程的实数根.ln x+2x-6=0.问题3:怎么解一般方程f(x)=0?问题4:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)之间有什么样的关系呢?二、学生探索,尝试解决活动1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数①方程x2-2x-3=0的解为,函数y=x2-2x-3的图象与x轴有个交点,坐标为.②方程x2-2x+1=0的解为,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有个交点,坐标为.③方程x2-2x+3=0的解为,函数y=x2-2x+3的图象与x轴有个交点,坐标为.根据以上观察结果,可以得到:结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的.若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点.反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?活动2:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢?画出函数f(x)=x2-2x-3的图象,1.在区间[-2,1]上有零点,计算f(-2)=,f(1)=,发现f(-2)·f(1)(选填“<”或“>”)0.2.在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?三、信息交流,揭示规律零点存在定理:活动:出示这几个问题让学生思考,小组讨论:(1)这个定理前提有几个条件?(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?(5)这个定理有什么作用?四、运用规律,解决问题1.在下列哪个区间内,函数f(x)=x3+3x-5一定有零点()A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.已知函数f(x):那么该函数在区间[1,6]上的零点有()A.只有3个B.至少有3个C.至多有3个D.无法确定五、变式演练,深化提高1.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点个数为()A.1B.2C.3D.42.若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上()A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3.函数f(x)=e x-1+4x-4的零点所在区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)x=(2)x=-(3)不会解问题2:不会解.问题3:将方程的解转化为函数y=f(x)的零点.问题4:方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.二、学生探索,尝试解决活动1:①-1,3;2;(-1,0),(3,0);②1;1;(1,0);③0;0;不存在.活动2:1.5-42.具有同样特点三、信息交流,揭示规律如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.活动:(1)条件有两个(2)零点不一定只有一个(3)加上函数是单调函数(4)不能(5)定理可以确定零点四、运用规律,解决问题1.C2.B五、变式演练,深化提高1.D2.D3.B4.3。

阅读与思考中外历史上的方程求解萝北县高级中学李娜一、设计理念按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。

”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。

学生学习和使用“阅读与思考”，了解数学史，学习用数学的观点观察现实，构建数学模型，培养数学阅读能力和独立思考的能力，二、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一91页的阅读与思考，主要内容是介绍中外历史上方程的发展及一些数学家的主要成就，是数学史的一部分。

引导学生通过阅读，自己发现问题，提出问题，通过数学实践，主动思维，独立思考，掌握科学的思维方法，了解数学文化的背景，加深学生对数学基础知识的理解和掌握，提高数学思维能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力。

三、学情分析本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了一元二次方程，对方程有了初步的了解，通过本节内容对以后的教学起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

|四、教学目标1、了解中外历史上的方程求解的那些人，那些事，那些方法。

2、了解历史上方程及方程求解历程。

|3、了解中国人在方程以及方程求解上的巨大贡献五、教学重难点：培养学生对数学的兴趣和情感激发学生的学习欲望，探究了解方程的产生和发展，了解数学史，从而进一步调动学生学习数学的积极性。

|六、教学手段 |PPT，黑板，粉笔七、教法学法在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳”层层递进的方式来突出。

一元二次方程根的分布教学设计一、教学内容分析本节课在初高中教材中均未以明确的课题形式予以展现，但一元二次方程根的分布是非常常见的问题，既可以单独出现，也可以由其他问题转化而来．这类问题与不等式、导数以及新课标新增的函数零点、根的存在性定理和二分法联系密切，因此在高考中经常出现函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程思想还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位.就本节而言，本节通过对二次函数的图象的研究来判断一元二次方程根的分布情况，它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

总之，本节课渗透着重要的数学思想“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为高中数学学习打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

学生在初中已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解一元二次方程根的分布提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍根的分布，从认知规律上讲，应该是容易理解的。

再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。

这也为我们归纳二次函数零点的位置与方程根的分布之间的联系提供了知识基础。

但是由于学生对一元二次方程根的非零分布及充分必要条件理解不深，因此非零分布应该是学生学习的难点。

在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手作图分析的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的根的分布和二次函数图像让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系，归纳出充要条件。

利用图象变换作出带绝对值符号的函数图象一、教材与学生数学现实的分析：函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，而从函数概念到作出图象，是从抽象思维过渡到形象思维的过程，一个看来很抽象、很复杂的函数问题，一旦作出图象，问题就豁然开朗，不仅有了解题思路，甚至给出了明确的答案．因此作函数的图象是解决有关函数问题的重要工具和途径．本节课是在学生已掌握了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象、图象的平移变换规律、函数的奇偶性等内容的基础上，对带有绝对值符号的函数图象进行的探究，并为以后充分研究三角函数的图象打下基础，起到承上启下的作用．重点：以指数函数、对数函数的图象为基本函数图象，如何利用图象变换作出带有绝对值符号的函数的图象．难点：分析相关函数图象之间的内在联系，归纳出通性通法及规律．二、教学目标：1．知识目标：通过学习，使学生掌握含有绝对值符号的函数简图的作法，明了相应函数之间的联系．2．能力目标：通过学生的作图过程，培养学生观察、分析、解决问题的能力，抽象思维与形象思维交互过渡的能力，概括和语言表达能力，从中体现了类比联想、分类讨论、数形结合等数学思想．3．情感目标：使学生在图象变换过程中，充分感受数学图象外在的对称美及内在的和谐美，从而体验到数学的美学魅力，并进一步激发学生的求知热情，其间对学生进行辩证唯物主义教育．三、教法设计、学法指导：1．教法设计：本节课我将按照“创设问题情境——自主探究——辨析研讨——反思评价”这种四环节课堂模式来实施教学．其中“自主探究——辨析研讨”两环节滚动循环进行，其间利用多媒体演示，肯定学生的猜想，揭示图象之间的内在联系．通过每一次的循环归纳出一类图象的作法，并将问题逐步引向深入．2．学法指导：学生活动体现在自主探究、合作交流两方面，这既能提高学生形成独立思考的能力，又为学生形成积极、主动的、多样的学习方式创造了有利的条件．四、教学用具：多媒体设备、印有平面直角坐标系的练习纸．五、教学过程：想一想：我们是借助于什么得到指数函数、对数函数性质的？的简图．情况1 情况2 情况1 情况2 情况3 情况4将正确图象仍与y y x ,2=图象进行对比,找异同之情况1 情况2 情况3 情况4情况1 情况2情况32．函数x y 31log = ( ) (A) 是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增; (B)是奇函数,在区间(－∞,0)上单调递增; 4．作函数)1(log 2+=x y 的图象，指出其单调区间这节课，你学到了哪些知识和方法？六、开放性作业1. 判定122--=x x y 的奇偶性,并作出简图,指出其单调区间．2. 作出322--=x x y 的简图,指出其单调区间,求值域．3. 已知函数1log )(-=x x f a 在)1,0(上为增函数，则)(x f 在),1(+∞上是（ ） A. 递增且无最大值； B. 递减且无最小值； C. 递增且有最大值； D. 递减且有最小值. 七、板书设计。

《方程的根与函数的零点》-----“追寻根的踪迹”接下来我将从说教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学过程和教学反思六个方面展开我的说课。

一、教材分析：本节是选自人教a版必修一第三章第一节。

它与刚刚学习的《基本初等函数》内容密切相关，也为接下来学习《二分法》打基础，故而它是一个连接点，起到承上启下的作用。

其次本节知识符合从特殊到一般的认知规律，是培养学生数学思想的优质载体。

二、学情分析：教学应做到有的放矢。

针对这一情况，我做了一份学生学情调查表，通过了解知道学生已经有了一些基本初等函数模型具备一定的看图和实图能力，这为本节课利用函数图像判断方程根的存在性提供了一定的基础。

另一方面，学生缺乏函数的观点，意识不到函数在高中数学中的核心地位。

三、教学目标:1、知识目标:了解零点的概念、理解零点与方程根之间的等价关系、掌握零点存在性定理；2、能力目标:培养学生自主观察和合作探究的能力；3、情感目标:让学生感悟由特殊到一般的研究方法，形成严谨的科学态度。

四、教学重、难点：基于上述分析，我认为本节的重点是：方程的根和函数零点的等价关系及零点存在性定理；难点是探究发现零点存在的条件，准确理解零点存在性定理。

本节课我将采用我校的三学五步教学法和多媒体，微课等教学手段进行教学。

五、教学过程：下面重点来谈谈我的教学过程设计。

第一部分:微课自学，通过微课构建主义学习观，强调学习是学生自己主动构建知识。

（微课的展示，我将放在说课后面）第二部分:问题1：方程2x-1=0的根与函数y=2x-1与x轴的交点坐标有什么关系？问题2:观察方程x^2-2x-3=的根与函数y=x^2-2x-3的图象与x轴的交点坐标有什么关系？对于这两个问题，我将让学生进行分组探究和上台展示。

学生初步归纳是：方程的根与相应函数图像和x轴交点横坐标的关系，进而引出函数零点的概念。

为了加深对零点不是点的理解，我将它比喻为蜗牛不是牛，酱油不是油，所以零点它也不是一个点，那他是什么呢？是对应方程的根，是图像与ⅹ轴交点的横坐标，其实它就是一个数，有三个不同的名称。

函数与方程教学设计函数与方程是中学数学的重要内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，是具体事例与抽象思想相结合的体现，在教学过程中，我采用了自主探究教学法。

通过教学情境的设置，让学生由特殊到一般，有熟悉到陌生，让学生从现象中发现本质，以此激发学生的成就感，激发学生的学习兴趣和学习热情。

在现实生活中函数与方程都有着十分重要的应用，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。

总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

知识与技能：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；情感、态度与价值观：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感教学重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

教学难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

四教学过程设计：（一）、问题引人：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）；（2）.学生活动：回答，思考解法。