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流体流动模型: 两相流两相流简介以下例子分析多孔介质中的两相流. 描述流体如何不发生混合同时通过一个孔隙可以回答很多环境和工业问题. 不幸的是, 多相分析很复杂需要求解一些未知量以及多个相关变量. 多相彼此之间的液体属性与每个液相压力和饱和级有关.这个问题验证两相流按照美国环境保护署的实验结果(参考文献1). 这个试验表明实验和数值计算的两相流结果相符. 通过这些实验, 科研人员估计流体对(空气-水, 空气-石油, 和石油-水)变化的流动, 然后使实验结果和计算机使用保持和渗透解析表达式数值计算的结果相匹配. 这个讨论根据Lincoln土壤和使用Mualem (参考文献2)和van Genuchten(参考文献3)给出的流体属性解析公式展开.图2-42: 在Hopmans和其他(参考文献1)两相流实验几何结构.这个例子分多步. 第一部分建立水和空气的两相流模型; 方程求解压力. 饱和度随解而变化. 需要强调假设在整个分析时间里土体中存在一些残余空气和水. 模型追踪空气前锋移动过湿液体通过观察饱和度而不是假设离散界面. 第二部分修改空气－水属性对空气－石油和空气－水系统进行仿真.模型定义在空气和水的实验中, 插入空气到充满水和沙的实验柱体中. 进入的空气 (对该流体对为非湿相)强迫水(湿相)向柱体基础出口流动. 在入口, 空气压力随时间逐步增加, 并且在柱体顶端没有水存在. 在向出口流动, 水通过一个空气流动不可渗透的圆盘. 空气和水都不能通过柱体垂向壁面. 出口处的水压随时间变化, 对应着滴定管中液体高度增加. 柱体总体高度8.34 cm, 半径6cm, 并且圆盘厚度0.74 cm. 实验时间170 hours.以下讨论给出两相流仿真计算的步骤. 首先观察控制方程和定义流体保持和渗透的解析关系(参考文献2和参考文献3). 然后给出一些详细的执行过程和模型数据表. 后面给出结果. 最后在图形用户界面逐步建立模型.控制方程和边界条件多孔介质两相流满足湿(w)和非湿(nw)流体的独立方程:(2-4)(2-5)其中θs 为总气隙或者饱和体积率; Se 为有效饱和函数; t 为时间(s); κint 为多孔介质固有渗透率(m 2); k r 为给定液体的相对渗透函数; η为流体动力粘度(kg/(m·s)); p 为压力(kg/(m·s 2)); ρ为流体密度(kg/m 3); g 为重力加速度; 和D 为垂向坐标(例如, x , y , 或者z )(m).如果流体分布为连续的, 流体在整个分析时间内未完全填充土壤, 给定湿相容积率, θw , 和非湿项, θnw . 对湿相, θ从0或者很小的残余值θr 到总体孔隙率, θs . 有效饱和度, Se , 源自比例系数θ关于θs 和θr 从0到1变化.θ和Se 为系统中所有液体压力的函数. 定义毛细压力:(2-6).气孔可以在给定时间内被一种气体完全填充: (2-7).饱和度随毛细压力如何变化, 如下所示(2-8)其中C 为指定容积, 下表“p ”表示单位压力.使用方程2-6, 方程2-7, 和方程2-8在方程2-4和方程2-5简化数值模型. 控制方程变为:(2-9)(2-10).可以同时求解系统方程得到p w 和p nw . 这个例子中, 两种流体不可压缩, 但是无需如此假设.初始, 柱体中的水和空气服从静力分布. 边界条件允许水仅存在于土壤柱体的基础中. 对于湿相, 边界条件为(2-11)其中n为边界法向的单位向量.因为空气从柱体顶端进入但是没有出来, 所以非湿项的边界条件为(2-12)保持和渗透关系可以从试验数据, 任意数学公式, 和模型中的其他方程内插建立两相流分析并定义系数θ, C, Se, k r, 和p c如何同时变化. 已有模型从参考文献2和参考文献3中的保持和渗透关系表示系数θ, C, Se, 和k r作为p c函数的变化. 因为p c较大并且由于θ, C, Se,和k r的变化较小, 这些表达式转化为与相同水柱等高的毛细压力或者毛细压力头如H c = p c/(ρwater g). 水压属性相对湿流体为(2-13)其中α, n, m, 和L为van Genuchten参数表示土壤属性. 注意两相流, van Genuchten-Mualem公式与H c 有关.对于非湿流体, 属性为(2-14)对湿相的定义同理可得.不同流体对在空气-水, 空气-油, 和油-水之间转换试验, 可以根据Leverett (参考文献4)灵活使用界面张力比例. 不考虑流体对Leverett比例调整柱体顶端的非湿相压力生成相同体积的湿流体从柱体底端流出. 使用With Leverett比例, 在流体对之间转换要求使用正确的流体对的流体属性ρ和η并根据以下公式调整边界和初始压力在这些方程中, σ表示不同流体之间的界面张力, 并且下标表示流体对. 这些值出现在这部分内容末尾的表格中. 例如, σao /σaw等于0.373, 和σwo/σaw等于0.534; 此外, 对空气－水系统第一项非湿相压力头(水以米为单位)为0.4 m, 空气－油系统为0.1 m, 和水－油系统为 0.2 m.因为多孔介质的相对渗透率和保持属性与流体流过该介质有关, 所以要求改变流体对的时候也改变模型的保持和渗透属性. 这个要求可以通过插入新试验数据或者调整数学公式实现. 这个模型中, 作者通过对解析公式拟合得到渗透率和保持率参数. 通过调整参数α, n, κs, 和θr为每种流体得到最佳拟合. 以下数据表显示不同流体对对应的比值α上面给出的σ比值近似相等.执行过程: 数值微分估计C这个例子使用解析表达式估计指定湿度, C. 因为C为q和H c的曲线斜率, 也可以通过使用COMSOL Multiphysics微分运算符计算得到C例如Cp,w(p w) = pdiff(theta_w,Hc)ρwater-1g-1因此可以书写任意表达式或者使用数据θ. 这个方程对流动体积率的微分考虑到毛细压力头. 此处除以水的重量将表达式转化为与压力变化相关. 相同类型的符号diff可进行微分运算. 两个运算符的差别在于diff可识别空间和时间的导数并且已经定义在COMSOL Multiphysics中(例如, p x, p y, p t), 然而pdiff为纯符号不能应用到与变量相关的链式法则中.执行过程: 逐步改变边界以下部分逐步减少通过使用内插函数定义入口处时变步进非湿相压力. 在COMSOL Multiphysics中内插直接可选. 打开选项菜单对话框, 建立时间和相应压力头表, 为插值函数定义名称, 并在其他需要使用函数的地方通过函数名调用, 在求解域设定对话框. 为了激活创建的函数, 输入带变量的函数名(例如, p_nw), 变量即括号中的时间t. 命令如下p_nw(t) = H_nw_t(t)*rho_water*g_w方程中出现水的密度因为参考文献1利用水柱高度定义边界压力.数据模型中使用的数据对应参考文献1给出的Lincoln 沙中空气－水的试验结果:不同流体对的van Genuchten 参数如下所示:根据下表入口处的空气压力头随时间增加.变量 描述 单位表达式g rAcceleration due to gravity m/s 2 9.82 ρfw Fluid density, water kg/m 31000ηw Dynamic viscosity, water Pa·s1·10-3ρfg Fluid density, gas kg/m 31.28ηg Dynamic viscosity, gasPa·s1.81·10-5κint Intrinsic permeability, column m 2 2.48·10-12 κsPermeability, discm 21.33·10-14 q s,w Saturated volume fraction, column0.32 q s,wSaturated volume fraction, disc0.5 p nw,top Initial nonwetting phasepressure head, inletm water0.2变量 描述 单位 空气-水 空气-油 油-水q r,w Residualvolume fraction0.021 0.00001 0.0072α alpha parameter m-1 1.89 5.29 3.58n n parameter, column 2.811 3.002 3.1365 LL parameter, column 0.5 0.5 0.5 κsPermeability, discm -22.48·10-121.09·10-120.94·10-12压力头(m 水) 起始时间(小时)0.4 0 0.6 21.25 0.8 45.251.0 691.5 932 122.54 155在水的出口处, 滴定管的流体级随时间从0 m到0.1 m线性增加.结果和讨论图2-43给出试验柱体从COMSOL Multiphysics两相流解的早期图像. 阴影描述非湿相的有效饱和(空气), 同时箭头给出湿相(水)速度.图2-43: 两相流模型在0.1小时的解: 非湿相饱和(表面图), 湿相速度(箭头). 结果对应从US EPA (参考文献1)中Lincoln土壤的空气－水试验结果.图像给出非湿相流体进入土壤柱体并取代湿相流体. 因为多步压力变化压迫非湿相进入.图2-44给出沿着柱体不同高度的毛细压力在入口边界处的步进压力头. 指定后处理中输入时指定观察点. 两相流问题的解与参考文献1的结果完美一致.毛细压力头标定空气入口压力如图2-44轨迹一致说明试验成功. 为了获得渗透率和保持属性的高分辨率解, 作者在参考文献1设置压力步长足够大使土体中的冲击变为瞬时. 如图2-45所示, 渗透率在整个土体中瞬时变化.图2-44: 在Lincoln土壤(源自US EPA, 参考文献1)中空气－水流动的入口压力头(实线)和毛细压力头(虚线).图2-45: Lincoln土壤在 x = 0.03 m (源自US EPA, 参考文献1)处水的渗透函数(实线)和空气的渗透函数(虚线). 空气－油和油－水系统的两相流动解如图2-46和图2-47所示.图2-46: Lincoln土壤(源自US EPA, 参考文献1)空气－油的入口空气压力头(实线)和毛细压力头(虚线).图2-47: Lincoln土壤 (源自US EPA, 参考文献1)油－水的入口空气压力头(实线)和毛细压力头(虚线).使用COMSOL Multiphysics计算的空气－油和油－水两相流问题的结果证明与参考文献1的结果完美一致. 通过Leverett比例系数可以设置入口压力以便空气－油和油－水系统从空气－水试验生成体积流出率. 与空气－水系统相同, 空气－油试验的毛细压力头和空气入口压力为瞬态的. 然而, 对水－油系统, 非湿相和湿相之间有滞后.参考文献1. J.W. Hopmans, M.E. Grismer, J. Chen, and Y.P. Liu, Parameter estimation of two-fluid capillary pressure saturation and permeability functions, U.S. Environmental Protection Agency EPA/600/R-98/046, Cincinnati, Ohio, 1998.2. Y. Mualem, “A new model for predicting the hydraulic permeability of unsaturated porous media,” Water Res. Research, vol. 12, 1976, pp. 513–522.3. M.Th. van Genuchten, “A closed-form equation for predicting the hydraulic of conductivity of unsaturated soils,” Soil Sci. Soc. Am. J., vol. 44, 1980, pp. 892–898.4. M.C. Leverett, “Capillary behavior in porous solids,” Trans. AIME, vol. 142, 1941, pp. 152–169.模型库路径: Earth_Science_Module/Fluid_Flow/twophase_flow_air_water 使用图形用户界面建模: 空气-水系统模型导航视窗1 打开模型导航视窗下的新增页面, 在空间维度列表选择2D.2 从应用模式列表选择地球科学模块>流体流动>达西定律>压力分析>瞬态分析.3 在因变量编辑区输入p_w, 并在应用模式名编辑区输入w.4 单击多物理场按钮, 然后单击新增.5 再次在应用模式列表选择地球科学模块>流体流动>达西定律>压力分析>瞬态分析.6 重复以下步骤, 改变因变量为p_nw和应用模式名为nw. 单击多物理场按钮, 然后单击新增.7 单击确定.几何建模绘制两个矩形创建几何结构.1 从绘图菜单选择指定对象>矩形.2 输入以下设置;设置完成, 单击确定.参数值Width 0.06Height 0.0074x 0z 03 除了以下设置重复上面的过程:参数值Width 0.060.0834选项Height x 0 z4 在主工具条单击缩放至视窗大小按钮.1 选择选项>常数.2 输入以下名称, 表达式, 和描述(任意的); 设置完成, 单击确定.名称表达式描述SPH 1[h/s] Seconds per hour rho_water 1000[kg/m^3]Density, waterrho_w 1000[kg/m^3]Density, wetting fluidetaw 0.001[Pa*s]*SPH Dynamic viscosity, wetting fluid rho_nw1.28[kg/m^3]Density, nonwetting fluid etanw 0.0000181[Pa*s]*SPHDynamic viscosity, nonwetting fluid3 从选项菜单选择表达式>标量表达式. 输入以下名称和表达式(都在一条线上); 设定完成, 单击确定.名称表达式p_nw_top 0.2[m]*rho_water*g_nwp_nw_init p_nw_top+(8.34[cm]-y)*rho_nw*g_nw p_w_init -rho_w*g_w*yp_w0 0.1[m]*rho_water*g_w*(t/170[s]) Hc (p_nw-p_w)/(rho_water*g_w)Se_w (1+abs(alpha*Hc)^N)^(-M)*(Hc>0)+1*(Hc<=0) theta_w (theta_r+Se_w*(theta_s-theta_r))*(Hc>0)+theta_s*(Hc<=0) kr_w ((Se_w^L*(1-(1-Se_w^(1/M))^M)^2)+eps)*(Hc>0)+1*(Hc<=0) Cp ((alpha*M/(1-M)*(theta_s-theta_r)*Se_w^(1/M)*(1-Se_w^(1/M))^M))/(rho_water*g_w)*(Hc>0) Se_nw 1-Se_w theta_nw theta_s-theta_wkr_nw ((1-Se_w)^L*(1-Se_w^(1/M))^(2*M))*(Hc>0)+eps4 从选项菜单选择表达式>求解域表达式. 输入以下名称和表达式为两个求解域; 设置完成, 单击确定.名称求解域1求解域2theta_s 0.5 0.32 theta_r 0.0211 kap_s 1.34e-14 2.48e-12alpha1.89N 2.811M 1-1/NL 0.5现在使用内插方法为非湿相边界建立步进压力.5 从选项菜单, 选择函数.6 单击新增按钮.7 在函数名编辑区输入Hp_nw_t并选择内插法选项.8 单击确定.9 输入下表中的值; 完成输入, 单击确定.X Y0 0.421.20 0.421.25 0.645.20 0.645.25 0.868.95 0.869 1.092.95 1.093 1.5122.45 1.5122.5 2154.95 2155 4200 4物理量下面部分首先为每一个相建立材料属性, 初始条件, 和边界条件, 然后将两个方程建立联系.应用标量变量建立模型垂向和重力常数, 转到物理量菜单并选择标量变量. 按照如下参数修改默认值; 完成设定, 单击确定.名称表达式D_w yg_w 9.82[m/s^2]*SPH^2D_nw yg_nw 9.82[m/s^2]*SPH^2这步将模型基本时间单位从秒转化为小时. 因此, 任何时候用户交互界面出现的时间单位为秒—既有显式, 如m/s, 或隐式的, 如Pa (= kg/(m·s2))—代替小时.求解域设定—湿相1 从多物理场菜单选择达西定律(w).边界条件—湿相从物理量选择边界设定, 然后设置以下边界条件; 完成设置, 单击确定.求解域设定—非湿相边界条件—非湿相方程系统2 从物理量菜单选择求解域设定. 输入以下设定, 然后单击应用. 设定 求解域1 求解域2Storage term User defined User definedS0 Cp k Skap_s kap_s*kr_w ρfrho_w rho_w η etaw etaw3 单击初始选项卡. 同时选择求解域1和2, 并在p_w(t 0)编辑区为压力输入p_w_init . 单击确定.设定 边界2 边界1, 3, 5–7Boundary conditionPressure Zero flux/Symmetry p 0 p_w01 从多物理场菜单选择达西定律(nw).2 从物理量菜单选择求解域设定. 在求解域选择列表选择1, 然后清除启动本域的复选框.3 选择求解域2. 输入以下设定.设定 求解域2Storage term User definedSCp κSkap_s*kr_nw ρfrho_nw η etanw4 单击初始选项卡. 同时选择求解域1和2, 并在p_nw(t 0)编辑区为压力输入p_nw_init . 单击确定.1 从物理量菜单, 选择边界设定.2 设置以下边界条件; 完成设置, 单击确定.设置 边界3, 4, 7 边界5BoundaryconditionZero flux/Symmetry Pressure p 0 Hp_nw_t(t)*rho_water*g_nw1 从物理量菜单, 选择方程式系统>求解域设定.在对话框信息中, COMSOL Multiphysics转化输入值为系数求解有限元模型. 框中包含每种模型类型: 2D问题中的求解域, 边界, 和点.2 单击d a选项卡. 此处其中系数为压力变化率乘以时间. 4-元素矩阵原本对角线为: 湿相压力, p w, 对湿相方程; 和非湿相压力, p nw, 对非湿相方程. 因为两相问题有储存项对非湿相和湿相的方程, 可以给矩阵填充合适的项. 修改矩阵如下所示:PW PNWCp+eps -Cp+eps-Cp+eps Cp+eps注意eps为一个非常小数.3 单击确定.网格生成1 从网格菜单, 选择自由网格参数.2 单击边界选项卡. 使用Ctrl键选择边界4和5. 在最大单元尺寸编辑区输入0.001.3 选择边界2, 并在最大单元尺寸编辑区输入0.005.4 单击重化网格按钮, 然后单击确定.求解1 从求解菜单, 打开求解器参数对话框. 在求解器列表选择稳态(如果还未选中).2 在时间编辑区, 输入0,0:0.01:0.1,0.1:0.1:1,1:170. 单击确定.3 在主工具条单击求解按钮.后处理和可视化按照如下步骤生成图2-43:1 从后处理菜单, 打开绘图参数对话框.2 在绘图类型区, 选择表面和箭头复选框. 在不同时间的解列表选择0.1.3 单击表面选贤卡, 并在表达式编辑区输入Se_nw, 其表示名称为nw的应用模式计算的有效饱和(Se).4 单击箭头选项卡. 在内建物理参数列表选择Darcy定律(w)>速度场. 转到箭头位置区. 在点数列, x点和y点编辑区输入25. 转到箭头参数区. 单击颜色按钮, 改变颜色为黑色, 并单击确定. 清除自动复选框, 并在比例刻度编辑区输入0.5.5 单击确定.继续如下步骤生成图2-44:1 从后处理菜单, 打开剖面绘图参数对话框.2 单击点选项卡. 在表达式编辑区, 输入Hc. 在坐标区, x编辑区输入0.03 0.03 0.03, y编辑区输入0.02 0.04 0.06.3 单击线设定按钮. 设定线样式为虚线, 然后单击确定.4 单击应用.5 在表达式编辑区, 输入p_nw/(rho_water*g_nw). 在坐标区, x编辑区输入0.03, 在 y编辑区输入0.0834.6 单击线设定按钮. 设定线样式为实线, 然后单击确定.7 单击通用选项卡. 选择保留目前的图复选框, 然后单击应用.继续下面步骤生成图2-45:1 仍然在通用页面, 从绘图于列表选择新图.2 单击点选项卡. 在表达式编辑区输入kr_nw.3 在坐标区, x编辑区输入0.03 0.03 0.03, y编辑区输入0.02 0.04 0.06.4 单击线设定按钮. 设定线样式为虚线, 然后单击确定.5 单击应用.6 在表达式编辑区, 输入kr_w.7 单击线设定按钮. 设定线样式为实线, 然后单击确定.8 单击通用选项卡. 选择保留目前的图复选框, 然后单击确定.两相流: 改变流体对这是两相流动例子的第二部分. 这里可以修改例子在第一部分创建的空气－水模型文件以仿真计算空气－油和油－水两相系统的流动特征, 参见参考文献1. 在空气－油系统中, 油为湿相而空气为非湿相. 在油－水系统中, 水为湿相.将空气－水系统转变为空气－油或者油－水系统需要改变流体属性和几个多孔介质参数. 为了获得不同流体对生成湿相流出率其仿真过程与空气－水系统类似, 如前面讨论的在入口处界面张力随压力比例增加模型库路径: Earth_Science_Module/Fluid_Flow/twophase_flow_air_oil模型库路径: Earth_Science_Module/Fluid_Flow/twophase_flow_oil_water 使用图形用户界面建模: 空气－油和油－水以下部分打开文件twophase_flow_air_water.mph并修改为空气－油和油－水系统. 下面给出的表和说明描述了如何改变参数以满足两相系统仿真的要求.模型导航视窗1 打开模型导航视窗并单击模型数据库选项卡.2 在模型数据库列表中选择地球科学模块>流体流动>twophase flow air water.3 单击确定.选项物理量—非湿从多物理场菜单, 选择达西定律(nw).边界条件—非湿相1 从选项菜单, 打开常数对话框. 按下表所示修改密度, 粘度和界面张力; 完成设定, 单击确定. 约束 空气-油 油-水rho_w 800[kg/m^3]1000[kg/m^3] etaw 0.00392[Pa*s]*SPH 0.001[Pa*s]*SPH rho_nw 1.28[kg/m^3]800[kg/m^3] etanw 0.0000181[Pa*s]*SPH 0.00392[Pa*s]*SPH sigma_ao 0.0259sigma_aw 0.06810.0681 sigma_ow 0.0364 2 选择选项>表达式>标量表达式.3 修改以下表达式; 设定完成, 单击确定.项 空气-油 油-水p_nw_top 0.2[m]*rho_water*g_nw*sigma_ao/sigma_aw0.2[m]*rho_water*g_nw* sigma_ow/sigma_aw p_w0 0.1[m]*rho_w*g_w*(sigma_ao/ sigma_aw)*(t/170[s])0.1[m]*rho_w*g_w*(sigma_ow/sigma_aw)*(t/170[s])4 选择选项>表达式>求解域表达式.5 在求解域选择列表, 选择2.6 改变如下表达式的值; 完成设定, 单击确定.名称 表达式 kap_s 0.94e-12theta_r 0.0072alpha 3.58 N 3.13651 从物理量菜单, 选择边界设定.2 在边界选择列表选择5.3 设置如下条件; 完成设定, 单击确定.边界条件 变量 表达式Pressure(for Air/Oil p 0 Hp_nw_t(t)*rho_water*g_nw*sigma_ao/sigma_aw求解后处理和可视化重复生成图2-44的步骤生成图2-46和图2-47.本文档由lhpvibration 整理 model)Pressure(for Oil/Watermodel)p 0 Hp_nw_t(t)*rho_water* g_nw*sigma_ow/sigma_aw1 从求解菜单, 打开求解器参数对话框.2 在求解器列表, 选择稳态(如果还未选中).3 转到时间步长区. 在时间编辑区输入0,0:0.01:0.1,0.1:0.1:1,1:170. 单击确定.4 在主工具条单击求解按钮.。
1.1什么是两相流动相是具有相同成分和相同物理、化学性质的均匀物质部分，也可以说相是物质的单一状态，如固态、液态和气态等，在两相流动的研究中往往将其称为固相、液相和气相。
一般来说，各相须有明显可分的界面。
想流动指的是两种都相同存在的流动。
有时用两相元流动来描述如空气-水这样的流动，由于其中的两相不是相同的化学物质，所以就用了两相组元这个名词。
另外，在有些两相组元流动中，其中的两相组元都可处于相同的状态，如油-水，水-汞的流动。
由于油滴和水，汞滴和水有明显可分的界面，人们习惯地将这类流动称为两相流动，其中一相指的是连续组元，另一相指的是非连续组元。
因为再熟悉上描述连续流动或两组元流动的控制方程是相同的，实际上选择哪一个定义并不重要，所以才本书的叙述和公式推导中，将把两种表达式视为同类。
普通的两相流动的例子有很多。
譬如发生在自然界的雾、雨、云、雪、流冰、流砂尘暴以及泥浆等。
另外，还有在厨房和餐室中屡次见到的一些例子，譬如，沸腾的水、沏茶、搅拌鸡蛋、搅动糖水等。
在日常生活的饮食过程中，包括了许多不同的两相流动和流型。
譬如煮咖啡的过程中，在咖啡壶中首先把水煮沸成蒸汽泡，然后交替地有液团或蒸汽团经过中心管道上升，热水渗过咖啡渣，最后滴流到壶中。
但啤酒从瓶子倒出的时候，其流量受到瓶颈部的团状泡沫流集结上升，在玻璃杯上面形成受人喜欢的泡沫。
制作面包和糕点时，开始有一个多相的混合过程，蒸烤时放出气泡。
人们在吃这些食品时，嚼和咽的过程实际上是最普通的多相流动想象，只的不被人们注意而已。
生物系中含有极少的纯液体，人体中所含的液体，如血液、1.2解析方法两相流动与单相流动，一样服从流体力学的所有基本定律。
不过，其控制方程比单相流动更复杂和更多一些。
譬如，描述一维气体流动的控制方程有连续方程、动量守恒和能量守恒方程以及气体状态方程，共四个方程。
而描述一维气体-颗粒两相流动的控制方程有两个相的连续方程、动量守恒和能量守恒方程以及气体状态方程，共七个方程。
1.1什么是两相流动相是具有相同成分和相同物理、化学性质的均匀物质部分，也可以说相是物质的单一状态，如固态、液态和气态等，在两相流动的研究中往往将其称为固相、液相和气相。
一般来说，各相须有明显可分的界面。
想流动指的是两种都相同存在的流动。
有时用两相元流动来描述如空气-水这样的流动，由于其中的两相不是相同的化学物质，所以就用了两相组元这个名词。
另外，在有些两相组元流动中，其中的两相组元都可处于相同的状态，如油-水，水-汞的流动。
由于油滴和水，汞滴和水有明显可分的界面，人们习惯地将这类流动称为两相流动，其中一相指的是连续组元，另一相指的是非连续组元。
因为再熟悉上描述连续流动或两组元流动的控制方程是相同的，实际上选择哪一个定义并不重要，所以才本书的叙述和公式推导中，将把两种表达式视为同类。
普通的两相流动的例子有很多。
譬如发生在自然界的雾、雨、云、雪、流冰、流砂尘暴以及泥浆等。
另外，还有在厨房和餐室中屡次见到的一些例子，譬如，沸腾的水、沏茶、搅拌鸡蛋、搅动糖水等。
在日常生活的饮食过程中，包括了许多不同的两相流动和流型。
譬如煮咖啡的过程中，在咖啡壶中首先把水煮沸成蒸汽泡，然后交替地有液团或蒸汽团经过中心管道上升，热水渗过咖啡渣，最后滴流到壶中。
但啤酒从瓶子倒出的时候，其流量受到瓶颈部的团状泡沫流集结上升，在玻璃杯上面形成受人喜欢的泡沫。
制作面包和糕点时，开始有一个多相的混合过程，蒸烤时放出气泡。
人们在吃这些食品时，嚼和咽的过程实际上是最普通的多相流动想象，只的不被人们注意而已。
生物系中含有极少的纯液体，人体中所含的液体，如血液、1.2解析方法两相流动与单相流动，一样服从流体力学的所有基本定律。
不过，其控制方程比单相流动更复杂和更多一些。
譬如，描述一维气体流动的控制方程有连续方程、动量守恒和能量守恒方程以及气体状态方程，共四个方程。
而描述一维气体-颗粒两相流动的控制方程有两个相的连续方程、动量守恒和能量守恒方程以及气体状态方程，共七个方程。
两相流模型的解
两相流模型的解依赖于具体的问题和模型的形式。
两相流模型通常涉及到描述两种不同流体（如液相和气相）的流动性质、相互作用以及界面行为等。
解两相流模型的一般方法包括数值方法和解析方法。
1. 数值方法：通过将模型离散化为离散网格，在数值计算中求解模型方程组。
常用的数值方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。
这些方法可以通过迭代求解模型方程组，得到两相流场的解。
2. 解析方法：针对简化的两相流模型，可以使用解析方法求解。
这些方法基于对模型方程进行分析和近似处理，得到封闭解或近似解。
解析方法的优势在于提供了更详细的物理信息和洞察力，但通常仅适用于特定的问题和简化的模型。
需要注意的是，两相流模型的解往往是复杂且多变的，因为涉及到两相流动中的诸多挑战，如相变、界面运动以及相互作用等。
因此，在解两相流模型时，需要考虑模型的适用性、合理性，以及对实际问题的有效性和可靠性进行评估。
此外，了解具体问题的边界条件和约束，以及选择适当的数值方法或解析方法，都对获得准确和可行的解非常重要。
