2005年厦门大学847信号与系统考研真题及详解(圣才出品)
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全国名校信号与系统考研真题及详解(傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样)【圣才出品】
三、简答题 阐述时域抽样定理的内容，并说明在实际中有何意义。[武汉大学 2015 研] 答：时域抽样定理：设时间连续信号 f（t），其最高截止频率为 fm，如果用时间间隔为 T≤1/（2fm）的开关信号对 f（t）进行抽样时，则 f（t）就可被样值信号唯一地表示。 抽样定理在通信系统中应用广泛，其中抽样步骤中即采用了抽样定理，例如语言信号频 率为 3400Hz，而采样选用 8000Hz，满足抽样定理，因此在接收端可以无失真地恢复出原 始语音信号。
图 5-3 解：依题意得：S（ω）＝π[δ（ω＋3）＋δ（ω－3）] 则由傅里叶变换的对称性得：E（ω）＝πg2（ω）。
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由傅里叶变换频域卷积性质得
1
1
Y () 2 E() S ()= 2 g2 () [ ( 3) ( 3)]
可见，要使信号通过线性系统时丌产生失真，则要求在信号的全部频带内，频响函数的
幅频特性为一常数，相频特性是一过原点的直线。
2．已知系统的冲激响应或频率响应函数，在以下系统中，（ ）能无失真传输信号。 [武汉科技大学 2017 研]
A．h（t）＝5δ（t－5） B．H（jω）＝（2－jω）/（2＋jω）
幅度谱满足该条件，而相位谱为：φ（ω）＝arctan（－ω）－arctanω＝－2arctanω 显然其相位丌满足线性相位的条件，因此该系统丌是无失真传输系统。 4．如图 5-3 所示调幅系统，当输入信号 e（t）和载波信号 s（t）加到乘法器后，其输
出为 y（t）＝e（t）s（t），若 e（t）＝（sint）/t，s（t）＝cos（3t），求 y（t）的频谱， 并画出其频谱图。[武汉理工大学 2010 研]
图 5-3 解：依题意得：S（ω）＝π[δ（ω＋3）＋δ（ω－3）] 则由傅里叶变换的对称性得：E（ω）＝πg2（ω）。
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由傅里叶变换频域卷积性质得
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Y () 2 E() S ()= 2 g2 () [ ( 3) ( 3)]
可见，要使信号通过线性系统时丌产生失真，则要求在信号的全部频带内，频响函数的
幅频特性为一常数，相频特性是一过原点的直线。
2．已知系统的冲激响应或频率响应函数，在以下系统中，（ ）能无失真传输信号。 [武汉科技大学 2017 研]
A．h（t）＝5δ（t－5） B．H（jω）＝（2－jω）/（2＋jω）
幅度谱满足该条件，而相位谱为：φ（ω）＝arctan（－ω）－arctanω＝－2arctanω 显然其相位丌满足线性相位的条件，因此该系统丌是无失真传输系统。 4．如图 5-3 所示调幅系统，当输入信号 e（t）和载波信号 s（t）加到乘法器后，其输
出为 y（t）＝e（t）s（t），若 e（t）＝（sint）/t，s（t）＝cos（3t），求 y（t）的频谱， 并画出其频谱图。[武汉理工大学 2010 研]
吴大正《信号与线性系统分析》笔记及习题(离散系统的时域分析)【圣才出品】
第3章离散系统的时域分析3.1 复习笔记一、基本概念1．前向差分与后向差分一阶前向差分一阶后向差分2．差分方程包含未知序列及其各阶差分的方程式称为差分方程。
将差分展开为移位序列，得一般形式二、离散系统的时域分析与连续系统的时域分析类似，离散系统的时域分析也是分析求解系统响应的过程，全部在时间域里进行。
不同的是离散系统的数学模型是借助差分方程，求解系统响应常用两种方法：时域经典法与时域卷积和法。
1．经典解法与微分方程经典解类似，全解y（k）＝齐次解y h（k）＋特解y p（k）。
（1）齐次解y h（k）齐次解由齐次方程解出。
设差分方程的n个特征根为。
齐次解的形式取决于特征根，y h（k）又称自由响应。
①当特征根λ为单根时，齐次解y h（k）形式为：②当特征根λ为r重根时，齐次解y h（k）形式为：③有一对共轭复根，齐次解y h（k）形式为：，其中（2）特解y p（k）特解y p（k）的求解过程类同连续系统时求y p（t）的过程。
差分方程的齐次解又称为系统的自由响应，特解又称强迫响应。
2．卷积和法全响应y（k）＝零输入响应y zi（k）＋零状态响应y zs（k）其求解过程如下：①建立系统的差分方程；②特征值→求零输入响应y zi（k）；③单位样值响应→利用卷积和求零状态响应y zs（k）＝h（k）*f（k）；④全响应y（k）＝y zi（k）＋y zs（k）。
三、零输入响应和零状态响应1．零输入响应y zi（k）激励为零时，仅由系统的初始状态引起的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为起始条件代入上式求出。
2．零状态响应y zs（k）当系统的初始状态为零，仅由激励所产生的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为y p（k）求法同经典解法一样。
由零状态条件用递推法导出，再代入上式求出。
系统的全响应既可以分解为自由响应和强迫响应，又可以分解为零输入响应和零状态响应。
四、单位序列响应和阶跃响应1．单位序列响应由单位序列δ（k）所引起的零状态响应，称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h（k），即。
管致中《信号与线性系统》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】-第1~4章【圣才出品】
三、信号的简单处理 对信号的处理，从数学意义来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号。 1．信号的相加与相乘 两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映在波形上则是将相同 时刻对应的函数值相加（乘）。 （1）两个信号相加的一个例子，如图 1-2 所示。
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（3）连续时间系统与离散时间系统
①连续时间系统传输和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定
的意义。
②离散时间系统的激励和响应信号是不连续的离散序列。
（4）因果系统和非因果系统
对于一个系统，激励是原因，响应是结果，响应出现于施加激励之后的系统即为因果系
统；反之为非因果系统。
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图 1-2 两个信号相加的例子 （2）两个信号相乘的一个例子，如图 1-3 所示。
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图 1-3 两个信号相乘的例子 2．信号的延时 一个信号延时的例子，如图 1-4 所示。
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四、系统的概念 1．概念 一般而言，系统是一个由若干互有关联的单元组成的、具有某种功能、用来达到某些特 定目标的有机整体。一个简单的系统框图，如图 1-6 所示。
图 1-6 单输入单输出系统的方框图 系统的功能和特性就是通过由怎样的激励产生怎样的响应来体现的。 系统功能的描述是通过激励与响应之间关系的建立完成的。 2．分类 （1）线性系统和非线性系统 ①概念 线性系统是同时具有齐次性和叠加性的系统，否则为非线性系统。
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（3）连续时间系统与离散时间系统
①连续时间系统传输和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定
的意义。
②离散时间系统的激励和响应信号是不连续的离散序列。
（4）因果系统和非因果系统
对于一个系统，激励是原因，响应是结果，响应出现于施加激励之后的系统即为因果系
统；反之为非因果系统。
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图 1-2 两个信号相加的例子 （2）两个信号相乘的一个例子，如图 1-3 所示。
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图 1-3 两个信号相乘的例子 2．信号的延时 一个信号延时的例子，如图 1-4 所示。
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四、系统的概念 1．概念 一般而言，系统是一个由若干互有关联的单元组成的、具有某种功能、用来达到某些特 定目标的有机整体。一个简单的系统框图，如图 1-6 所示。
图 1-6 单输入单输出系统的方框图 系统的功能和特性就是通过由怎样的激励产生怎样的响应来体现的。 系统功能的描述是通过激励与响应之间关系的建立完成的。 2．分类 （1）线性系统和非线性系统 ①概念 线性系统是同时具有齐次性和叠加性的系统，否则为非线性系统。
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郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章)【圣才出品】
3．全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jω 轴互为镜像，这种系统函数称为全通函数，此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特 性是常数。
4．最小相移函数 零点仅位于左半平面或 jω轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相 移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络 可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。
（1）部分分式展开法求解
首先将 F（s）展开成部分分式之和的形式，再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可
得出 f（t）。
（2）留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数 F（s）est 在围线中所有极点的留数之和。
L 1[F (s)] 1 j F (s)estds [F (s)est的留数]
1 s
s2
s 2
，故
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L
[1 cos(t)]et
s
1
s (s )2 2
；
（7） L
[t 2
2t]
d2 ds2
1 s
d ds
2 s
2 s3
2 s2
（8） L [2 (t) 3e7t ] 2 3 s7
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二、系统函数与系统特性 1．系统函数 系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，即 H（s）＝RZS （s）/E（s）。且冲激响应 h（t）↔H（s）。
2．零极点分布
H (s)
（9）e－αtsinh（βt）；
（10）cos2（Ωt）；
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。
全国名校信号与系统考研真题及详解(拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析)【圣才出品】
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析一、选择题以下为4个信号的拉普拉斯变换，其中不存在傅里叶变换的信号是（）。
[武汉大学2015研]A．1/sB．1C．1/(s＋3)D．1/(s－3)【答案】D【解析】D选项为1/(s－3)，其时域表达式为e3t u(t)，很显然是不稳定的，不满足绝对可积条件，也就不存在傅里叶变换。
二、填空题1．信号x(t)＝cos2t的单边拉普拉斯变换为______。
[北京邮电大学2016研]【答案】s/(s2＋4)，Re[s]＞0【解析】由于cos(βt)＝(1/2)(e jβt＋e－jβt)，根据拉氏变换的定义式即可求解，该拉氏变换对也是常用变换对。
2．某连续线性时不变系统的系统函数为H(s)＝s/(s＋2)，若用e(t)表示输入信号，而r(t)表示输出信号，则该系统的微分方程可以表示为______。
[北京邮电大学2016研]【答案】r ′(t)＋2r(t)＝e ′(t)【解析】由H(s)＝s/(s ＋2)＝R(s)/E(s)，有sR(s)＋2R(s)＝sE(s)，对应的微分方程即为：r ′(t)＋2r(t)＝e ′(t)3．已知某LTI 系统模型如下：y ′′(t)＋3y ′(t)＋2y(t)＝f ′(t)＋4f(t)，y ′(0－)＝1，y(0－)＝0，f (t)＝u (t)，则系统的零状态响应y f (t )为______。
[武汉大学2015研]【答案】(2＋e －2t －3e －t )u(t)【解析】对该微分方程两边取拉普拉斯变换得：s 2Y (s )＋3sY (s )＋2Y (s )＝sF (s )＋4F (s ) 则H (s)为：H(s)＝(s ＋4)/(s 2＋3s ＋2)，系统的零状态响应为22441()()3232s s Y s F s s s s s s ++==⋅++++对Y (s)取拉氏逆变换得：y f (t)＝(2＋e －2t －3e －t )u(t)。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第12章 系统的状态变量分析【圣才出
台
d dt
2
t
a
d2 dt 2
y t b
d dt
y t
3 t cy t
c a
dvC1 t
dt
dvC2 t
dt
R0 R1
R0 R2
vC1 t vC1 vC2 t vC
t vC2 t et 2 t vC1 t e t
将状态变量 λ1（t）＝vC1（t），λ2（t）＝vC2（t）及各参数代入上述方程组，得
&1 t 21 t 2 t et &2 t 1 t 22 t et
12.1 复习笔记
一、状态变量分析法基本概念（见表 12-1-1） 优点：①有效处理多输入—多输出系统；②有利于分析系统内部特性。
表 12-1-1 状态变量分析法基本概念
二、连续系统与离散系统状态方程的建立 如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合， 方程形式与建立方法如表 12-1-2 所示。
0 2
，
B
1 1
，C
1
1。
12-3 给定系统微分方程表达式如下
a
d3 dt 3
y t b
d2 dt 2
y t c
d dt
y t
dy t
0
选状态变量为
1 t ay t
2
t
a
d dt
y t
by
t
3
t
a
d2 dt 2
y t b
d dt
Hale Waihona Puke y t cy t 输出量取 r t dy t 。
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郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义(1-6章)【圣才出品】
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f t f (t nT ) n 0 , 1, 2 ,
b．非周期信号：在时间上不具有周而复始的特性。 ③连续信号与离散信号 a．连续信号：时间轴为连续时间变量； b．离散信号：时间轴为离散时间变量。 ④模拟信号、抽样信号、数字信号 a．模拟信号：时间幅度均连续的信号； b．抽样信号：时间离散，幅度连续的信号； c．数字信号：时间幅度均离散的信号。 3．信号的几种典型示例 （1）指数信号： f (t) Keat , a R ； （2）正弦信号： f (t) K sin(t ) ； （3）复指数信号： f (t) Kest Ke( j)t ； （4）抽样信号： Sa(t) sin t ；
（2）积分
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òt f t( )dt -¥
3．两信号相加或相乘
信号的相加、相乘与代数运算无异。
四、阶跃信号和冲激信号 奇异信号是指函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的信号，包括 斜变、阶跃、冲激和冲激偶四种信号。 1．单位斜变信号
（2）反褶
f (t) f (t) ，把 f (t) 的波形以 t 0 为轴反褶过来。
（3）尺度变换
f (t) f (at) ( a 为正实系数)，若 a 1 ，则 f (t) 的波形沿时间轴被压缩；反之，则
被扩展。
2．微分和积分
（1）微分
f ¢(t) = d f (t) dt
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t （5）钟形信号(高斯函数)： f (t) Ee(t/ )2 。
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f t f (t nT ) n 0 , 1, 2 ,
b．非周期信号：在时间上不具有周而复始的特性。 ③连续信号与离散信号 a．连续信号：时间轴为连续时间变量； b．离散信号：时间轴为离散时间变量。 ④模拟信号、抽样信号、数字信号 a．模拟信号：时间幅度均连续的信号； b．抽样信号：时间离散，幅度连续的信号； c．数字信号：时间幅度均离散的信号。 3．信号的几种典型示例 （1）指数信号： f (t) Keat , a R ； （2）正弦信号： f (t) K sin(t ) ； （3）复指数信号： f (t) Kest Ke( j)t ； （4）抽样信号： Sa(t) sin t ；
（2）积分
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3．两信号相加或相乘
信号的相加、相乘与代数运算无异。
四、阶跃信号和冲激信号 奇异信号是指函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的信号，包括 斜变、阶跃、冲激和冲激偶四种信号。 1．单位斜变信号
（2）反褶
f (t) f (t) ，把 f (t) 的波形以 t 0 为轴反褶过来。
（3）尺度变换
f (t) f (at) ( a 为正实系数)，若 a 1 ，则 f (t) 的波形沿时间轴被压缩；反之，则
被扩展。
2．微分和积分
（1）微分
f ¢(t) = d f (t) dt
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t （5）钟形信号(高斯函数)： f (t) Ee(t/ )2 。
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郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 傅里叶变换【圣才出品】
表 3-1-4 时域及频域抽样
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2．周期信号和抽样信号的特性（见表 3-1-5） 表 3-1-5 周期信号和抽样信号的特性对比
五、雷达测距原理，雷达信号的频谱 设雷达的射频脉冲的持续时间为 T0，发送信号的周期为 T1，目标与雷达之间的距离为 d（以 m 为单位），光速为 c，τ 代表往返时间，则有 τ＝2d/c。 为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：
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台
且 f＝5kHz，得：T＝1/f＝200μs
所以
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
1 T
2 2
Edt
T
E
20 10 200
1V
an
2 T1
t0 T1 f (t) cos(nt)dt 2
t0
T
2
E
cos(nt)dt
π
π
3π
3π
其中 ω＝2π/T。
3-2 周期矩形信号如图3-2-2所示。 若重复频率 f＝5kHz，脉宽 τ＝20μs，幅度 E＝10V，求直流分量大小以及基波、二 次和三次谐波的有效值。
图 3-2-2 解：由图 3-2-2 可知，f（t）为偶函数，其傅里叶级数不含正弦项，因此 bn＝0。
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3.2 课后习题详解
3-1 求图 3-2-1 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图 3-2-1
解：（1）三角形式
由图 3-2-1 可知，f（t）为奇函数且无直流分量，故有 a0＝an＝0。
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2．周期信号和抽样信号的特性（见表 3-1-5） 表 3-1-5 周期信号和抽样信号的特性对比
五、雷达测距原理，雷达信号的频谱 设雷达的射频脉冲的持续时间为 T0，发送信号的周期为 T1，目标与雷达之间的距离为 d（以 m 为单位），光速为 c，τ 代表往返时间，则有 τ＝2d/c。 为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：
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台
且 f＝5kHz，得：T＝1/f＝200μs
所以
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
1 T
2 2
Edt
T
E
20 10 200
1V
an
2 T1
t0 T1 f (t) cos(nt)dt 2
t0
T
2
E
cos(nt)dt
π
π
3π
3π
其中 ω＝2π/T。
3-2 周期矩形信号如图3-2-2所示。 若重复频率 f＝5kHz，脉宽 τ＝20μs，幅度 E＝10V，求直流分量大小以及基波、二 次和三次谐波的有效值。
图 3-2-2 解：由图 3-2-2 可知，f（t）为偶函数，其傅里叶级数不含正弦项，因此 bn＝0。
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3.2 课后习题详解
3-1 求图 3-2-1 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图 3-2-1
解：（1）三角形式
由图 3-2-1 可知，f（t）为奇函数且无直流分量，故有 a0＝an＝0。
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2005 年厦门大学 847 信号与系统考研真题及详解
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