高中知识点汇总

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第一章 集合与常用逻辑用语

一 集合

1、集合：一般地，一定围*些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。

集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 图示法

集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。

2、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则集合A称为集合B的子集，记为AB，或BA，读作"集合A包含于集合B〞或"集合B包含集合A〞。

即：假设Aa则Ba，则称集合A称为集合B的子集

注：空集是任何集合的子集。

3、真子集：如果AB，并且BA，则集合A成为集合B的真子集，记为AB或BA，读作"A真包含于B或B真包含A〞，如：baa,。

4、补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为ACs，读作"A在S中的补集〞，即ACs=AxSxx且,|。

5、全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集。通常全集记作U。

6、交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作BA〔读作"A交B〞〕，即：BA=BxAxx且,|。

BA=AB，BABBAA，。

7、并集：一般地，由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作BA〔读作"A并B〞〕，即：BA=BxAxx或,|。

BA=AB，ABA，BBA。

8、元素与集合的关系：有、两种，集合与集合间的关系，用 。

二 命题与逻辑

1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。

2、"或〞、"且〞、"非〞这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词"或〞、"且〞、"非〞构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)。 -

3、"或〞、"且〞、"非〞的真值判断：

• "非p〞形式复合命题的真假与P的真假相反；

• "p且q〞形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

• "p或q〞形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、命题的四种形式与相互关系：

• 原命题：假设P则q；

• 逆命题：假设q则p；

• 否命题：假设┑P则┑q；

• 逆否命题：假设┑q则┑p

• 原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；

• 逆命题与否命题互为逆否命题，同真假；

5、命题的条件与结论间的属性：

假设qp，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即"前者为后者的充分，后者为前者的必要〞。

假设qp，则p 是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。

假设qp，且qp，则称p是q的充分不必要条件。

假设pq， 且qp，则称p是q的必要不充分条件。

假设pq， 且qp，则称p是q的既不充分又不必要条件。

6、全称量词与存在量词

全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；

存在量词：存在一个，至少有一个，有个，*个，有的，有些等；

全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题。一般形式为：命题P：)(xpMx，。

全称命题的否命题：)(xPMxp，：。

7、存在量词：含有存在量词的命题称为存在性命题。一般形式为：命题P：)(xpMx，。

存在性命题的否命题：)(xPMxp，：。

8、判断全称命题与存在性命题的真假：

判断一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，)(xp都为真；但要判断一个原命题,pq若则逆命题,qp若则逆否命题,q若非则非否命题,pq若非则非互为逆命题互为逆命题互为逆否命题互为否命题 互为否命题 -

全称命题为假，只要在给定的集合找出一个0x，使)(0xp为假。

第二章 函数 -

,,,ABAxByfBABxyxfyyxy映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数().,,()()(),,1212()()(),,12fxabaxxbfxfxfxababfxfxfxababa近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是

递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间()1()2()()00,()0(),,()0(),,yfxIMxIfxMxIfxMMyfxbfxfxababfxfxabab最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有； （）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如 则在上递减,是的递减区间。

()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()yfxINxIfxNxIfxNNyfxfxfxxDfxfxfxxDfx小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有； （）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()112yfxfxTfxTfxTTfxyyxaxyfxaa象关于轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期； 的最小正值叫做的最小正周期，简称周期（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()11,()11,()1110111/()11)01)1yyxaxyfxabxxybyybfxbxxybyybfxxwwwxwxyfwxyAA单位：向上平移个单位：向下平移个单位：横坐标变换：把各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时） 到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010AyyAyfxxxxxxxxyyyfxxyyyyyyxxxxxxxxyfxxyyyyxxxxyyyyfyyyyyy原来的倍 （横坐标不变）， 即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：)11()1xxxyxyfxyy关于直线对称： 一、函数的定义域的常用求法： -

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数tanyx中()2xkkZ；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法；

7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、假设(),()fxgx均为*区间上的增〔减〕函数，则()()fxgx在这个区间上也为增〔减〕函数

2、假设()fx为增〔减〕函数，则()fx为减〔增〕函数

3、假设()fx与()gx的单调性一样，则[()]yfgx是增函数；假设()fx与()gx的单调性不同，则[()]yfgx是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性一样，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比拟大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

6 设2121,,xxbaxx则

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.

7 设函数)(xfy在*个区间可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在0x处有定义，则(0)0f，如果一个函数()yfx既是奇函数又是偶函数，则()0fx〔反之不成立〕

2、两个奇〔偶〕函数之和〔差〕为奇〔偶〕函数；之积〔商〕为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积〔商〕为奇函数。

4、两个函数()yfu和()ugx复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，则-

该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

七 周期性与对称性常用结论

1 几个函数方程的周期(约定a>0)

〔1〕)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

〔2〕)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,

则)(xf的周期T=2a；

(3) )()(axfbxf，则T=a+b