备战中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．
（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．
（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．
【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
【解析】
试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；
（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；
（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．
试题解析：（1）相切，理由如下：
如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，
∵α=15°，A′C∥AB，
∴∠ABA′=∠CA′B=30°， ∴DE=A′E，OE=BE，
∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，
∴A′C与半圆O相切；
（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，
∴∠OBA′=2α=90°，
∴α=45°，
当O′在上时，如图2，
连接AO′，则可知BO′=AB，
∴∠O′AB=30°，
∴∠ABO′=60°，
∴α=30°，
（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，
由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，
∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；
当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．
当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，
∴α＜90°，
∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．
综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
考点：圆的综合题．
2．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．
（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；
（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；
（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．
【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
【解析】
分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；
（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．
详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22223（）=4，∴∠ABO=30°．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．
∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．
故答案为：60°；
（2）如图2．
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．
过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．
∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．
∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5． ∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．
∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．
∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．
点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．
3．已知P是O的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交O于点C、D，两点位于AB的上方，AB＝6，OP=m，1sin3P＝，如图所示．另一个半径为6的1O经过点C、D，圆心距1OOn＝．
（1）当m=6时，求线段CD的长；
（2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m； （3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=25;(2)m=23812nn ;(3) n的值为955或9155
【解析】
分析：（1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，连接OC．解Rt△POH，得到OH的长．由勾股定理得CH的长，再由垂径定理即可得到结论；
（2）解Rt△POH，得到Rt3mOHOCH＝．在和Rt△1OCH中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O、O在弦CD异侧时，分1OPOO＝和11OPOO＝．②当圆心1O、O在弦CD同侧时，同理可得结论．
详解：（1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，连接OC．
在Rt△1sin63POHPPO中，＝，，∴2OH．
∵AB＝6，∴3OC＝．
由勾股定理得： 5CH．
∵OH⊥DC，∴225CDCH．
（2）在Rt△1sin3POHPPOm中，＝，＝，∴3mOH＝．
在Rt△OCH中，2293mCH＝．
在Rt△1OCH中，22363mCHn＝． 可得： 2236933mmn＝，解得23812nmn：＝．
（3）△1POO成为等腰三角形可分以下几种情况：
① 当圆心1O、O在弦CD异侧时
i）1OPOO＝，即mn＝，由23812nnn＝，解得9n：＝．
即圆心距等于O、1O的半径的和，就有O、1O外切不合题意舍去．
ii）11OPOO＝，由22233mmnm（）（） n＝，
解得：23mn＝，即23n 23812nn＝，解得9155n：＝．
②当圆心1O、O在弦CD同侧时，同理可得： 28132nmn＝．
∵1POO是钝角，∴只能是mn，即28132nnn＝，解得955n：＝．
综上所述：n的值为955或9155．
点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
4．在O中，AB为直径，C为O上一点.
（Ⅰ）如图①，过点C作O的切线，与AB的延长线相交于点P，若28CAB，求P的大小；
（Ⅱ）如图②，D为弧AC的中点，连接OD交AC于点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若12CAB，求P的大小.
【答案】（1）∠P＝34°；（2）∠P＝27°
【解析】
【分析】
（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；
（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案． 【详解】
（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝28°，
∴∠POC＝56°，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝34°；
（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，
∴OD⊥AC，
∵∠CAB＝12°，
∴∠AOE＝78°，
∴∠DCA＝39°，
∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，
∴∠P＝27°．
【点睛】
本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
5．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．
（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是 ，此时△BCE的形状是 ；
（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；
（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？
