初高衔接第一章数与式的运算

初高衔接第一章数与式的运算

在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式。代数式中有整式(包括多项式与单项式)、分式、根式。它们具有实数的属性,可以进行运算。在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本章中我们将拓展乘法公式的内容,补充立方和、立方差等公式,在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本章中将补充这方面内容以及二次根式的化简方法,基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.

一.乘法公式的加强

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2; (2)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; (2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;

(3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac);

(4)两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (5)两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

在实际应用中,还会用到公式的变形:a2+b2=(a±b)2+̅2ab; ab=14[(a+b)2-(a-b)2]; a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).

例1计算(x2-√2x+13)2. 例2(1)已知a=2020,b=2021,c=2022,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值. (2)已知x2-3x+1=0,求x3+1x3的值

例3计算:(1)(4+m)(16-4m+m2) (2)(15m-12n)(125m2+110mm+14n2) (3)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16) (4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

[随堂练习1]

1.填空(1)19a2-14b2=(12b+13a)( ); (2)(4m+ )2= 16m2+4m+( );

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ); (4)1125m3-18n3=(15m-12n)( ).

2.设x=(t+1t)3,y=t3+1t3+6，则对于任意的t>0,x与y的大小关系为( ) A. x>y B. x

3.已知a+b+c=0,求a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)的值.

二.二次根式:一般地,形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。例如3a+√a2+b+2b,√a2 +b2等是无理式,而√2x2+√22x+1,x2+√2xy+y2,√a2等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如√2与√2,3√a与√a,√3+√6与√3-√6等等.一般地,a√x+b√y与a√x-b√y,a√x+b与a√x-b互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程:

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式√a√b=√ab(a≥0,b≥0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式√a2的意义√a2=|a|={a, a≥0,−a,a<0.

3.二次根式√a(a≥0)的性质:(1)(√a)2=a(a≥0); (2) √a2=|a|; (3) √ab=√a·√b(a≥0,b≥0); (4)√ba=√b√a(a>0,b≥0).

例4化简下列各式: 例5计算:(本题中出现的字母均为正数)

(1)√(√3−2)2+√(√3−1)2 (2)√(1−x)2+√(2−x)2(x≥1) (1)√3√8 (2)32+√3 (3)√1a+1b (4)2√x2-√x3+√8x

例6试比较下 列各组数的大小: (1)√12-√11和√11-√10 (2)2√6+4和2√2-√6

[随堂练习2]

1.若b=√a2−1+√1−a1a+1求a+b的值. 2.化简: (1)√9−4√5; (2)√x2+1x2−2(0

3.计算:(1)(√a+√b+1)(1-√a+√b)-( √a+√b)2 (2)√aa−√ab+√aa+√ab

三.分式

1.分式的意义:形如AB的式子,若B中含有字母,且B≠0,则称AB为分式.当M≠0时,分式AB具有下列性质:(1) AB=A×MB×M ;(2) AB=A÷MB÷M. 上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式:像abc+d,m+n+p2mn+p这样,当分式AB的分子或分母中至少有一个含有分式时,就AB叫做繁分式.繁分式的化简常用以下两种方法:(1)利用除法法则;(2)利用分式的基本性质. 例7化简xx+1−xx−1x. 例8化简x2+3x+9x3−27+6x9x−x3-x−16+2x

例9 (1)试证: 1n×(n+1)=1n-1n+1(其中n是正整数); (2)计算: 11×2+12×3+…+19×10; (3)证明:对任意大于1的正整数n,有12×3+13×4+…+1n(n+1)<12.

3.分离常数法: 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有y=ax+bcx+d,y=ax2+bx+cmx2+nx+p等。

例10求函数y=3x+1x−2的分离形式. 例11求函数y=x2−1x2+1的分离形式. 思考题设x>-1,求函数f(x)=x2+7x+10x+1的分离形式.

[随堂练习3]

1.化简:2x+y−1xy−xy2x−y-1y−2x+yx+xyx−2y 2.计算11×2+12×3+13×4…+199×100 3.求函数y=−x2+2x−1x2+x−2的分离形式。

4.已知x=2是关于x的方程x3-(a+1)x+a=0的一个解,试求出这个方程的所有解.

[强化训练一]

1.已知x+y=l,求x3+y3+3xy的值.

2.计算a√−1a等于( ) A. √−a B. √a C. -√−a D. -√a

3.填空:(1)(2+√3)18(2-√3)19=_________; (2)若√(1−a)2+√(1+a)2=2,则a的取值范围是________;

(3) 11+√2+ 1√2+√3+ 1√3+√4+ 1√4+√5+1√5+√6=_________; (4)若x=2+√32−√3,y=2−√32+√3,则x3+y3=_____.

4.填空:(1) a=12,b=13,则3a2−ab3a2+5ab−2b2=________; (2)若x2+xy-2y2=0,则x2+3xy+y2x2+y2=_______;

5.已知:x=12,y=13,求√y√x−√y-√y√x+√y的值. 6.解方程2(x2+1x2)-3(x+1x)-1=0. 7.计算: 11×3+12×4+13×5…+19×11

8.试证:对任意的正整数n,有11×2×3+12×3×4+…+1n(n+1)(n+2)<14

9.求函数y=x2−2x−3x2+3x+2的分离形式___________. 10.求函数y=x2−2x+4x+1的分离形式____________.

11.如果a+b+|√c−1-1|=4√a−2+2√b+1-4,那么a+2b-3c=________.

12.如图,点C是线段AB上的一点,分别以AC.BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG,连接EG、BG、BE,当BC=1时,△BEG的面积记为S1,当BC=2时,OBEG的面积记为S2,…,以此类推,当BC=n时,△BEG的面积记为Sn,则S2022-S2021的值为_______.