电磁场与电磁波(第三版)课后答案第2章

第2章习题2-1.已知真空中有四个点电荷q C11=，q C22=，q C34=，q C48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。

解：zyrzxrzyrzxrˆˆ;ˆˆ;ˆˆ;ˆˆ4321+=+=+-=+-=84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(412444233322222111πεπεzyxrrqrrqrrqrrqE++=+++=2-2.已知线电荷密度为ρl的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。

题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=EEEEE(b) 由对称性0321=++=EEEE(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为yayxyxaEEE llaˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(421περπερ-=+--=+=半径为a的半圆环线电荷产生的电场为yaE lbˆ2περ=总电场为0=+=baEEE2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为ρs，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad的窄条,,电荷线密度为ϕρρadsl=,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为ydxyad r aE sssˆ)ˆcosˆsin(22ˆ0000⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρ题2-3图题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为ρs，求空间任一点上的电场强度。

解:在平板上'x处取宽度为'dx的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dxslρρ=，在点),(yx处产生的电场为ρρρπε'ˆ21),(dxyxEd s=其中22)'(y x x +-=ρ；22)'(ˆˆ)'(ˆyx x y y xx x +-+-=ρ对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为 )}2/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(22220y a x arctg y a x arctg y ya x y a x x y x E s --+++-++=περr 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。

1-1. (1) 叙述库仑定律，并写出数学表达式。

(2)电荷之间的作用力满足牛顿第三定律吗？请给出证明。

解：（1）库仑定律内容为：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量q 和'q 的乘积成正比，与它们之间距离R 的平方成反比。

作用力的方向沿两者连线的方向。

两点电荷同号时为斥力，异号时为吸力。

所以：（2）电荷之间的作用力不满足牛顿第三定律，请看下面的例证：1q 以速度1v 运动，q 2以速度2v运动。

如图1-2所示。

此时，2q 在1q 处产生有电场2E和磁场2H 。

而1q 在2q 处也产生电场1E和磁场1H 。

但因2q 在1q 处产生的磁场方向与1v 平行。

故由洛仑兹公式知，q 1所受的力为 )(2120112121N E q H v q E q F=⨯+=μ 只有电场力。

但q 1对q 2的作用力为：10221112H v q E q Fμ⨯+= (N) 既有电场力，又有磁场力，所以两者不相等。

1-2 （1） 洛仑磁力表达式中，哪部分做功，哪部分不做功，为什么？ (2) 洛仑兹力满足迭加原理吗？为什么? 解： (1) 洛仑磁力公式为H v q E q F0μ⨯+= （N ）洛仑兹力做的功为⎰⋅=csd F W,其中dt v s d = 所以有：⎰⋅=cs d F W=⎰∆⋅tdt v F=⎰∆⨯+tdt v H v q E q)(0μ=⎰⎰∆∆⋅⨯+⋅ttdt v H v q dt v E q)(0μ=⎰∆⋅tdt v E q(J)其中使用了矢量恒等式()()BA C CB A ⨯⋅=⨯⋅所以，洛仑兹力作的功为⎰∆⋅=tdt v E q W=)(J sd E qC⎰⋅所以，洛仑兹力中，因为E q 与电荷的做功无关。

而H v q0μ⨯部分总是与电荷的运动方向垂直，故E q 部分做功，而H v q0μ⨯部分不做功。

（2）因为电荷受力与E 和H间都是线性关系，所以，洛仑兹力满足迭加原理。

第二章静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。

通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。

讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。

介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。

介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。

至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式真空中静电场方程： 积分形式： ⎰=⋅S S E 0d εq⎰=⋅ll E 0d微分形式： 0ερ=⋅∇E0=⨯∇E已知电荷分布求解电场强度：1，)()(r r E ϕ-∇=； ⎰''-'=V Vd )(41)(|r r |r r ρπεϕ2，⎰'''-'-'=V V 30d |4))(()(|r r r r r r E περ3，⎰=⋅S S E 0d εq高斯定律介质中静电场方程：积分形式： q S =⋅⎰ d S D ⎰=⋅ll E 0d微分形式： ρ=⋅∇D0=⨯∇E线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： εqS =⋅⎰ d S E⎰=⋅ll E 0d微分形式： ερ=⋅∇E0=⨯∇E静电场边界条件：1，t t E E 21=。

对于两种各向同性的线性介质，则2211εεttD D =2，s n n D D ρ=-12。

在两种介质形成的边界上，则n n D D 21=对于两种各向同性的线性介质，则n n E E 2211εε=3，介质与导体的边界条件：0=⨯E e n ； S n D e ρ=⋅若导体周围是各向同性的线性介质，则ερSn E =； ερϕS n -=∂∂静电场的能量：孤立带电体的能量：Q C Q W e 21212Φ==离散带电体的能量：∑==ni i i e Q W 121Φ分布电荷的能量：l S V W l l S S Ve d 21d 21d 21ρϕρϕρϕ⎰⎰⎰===静电场的能量密度：E D ⋅=21ew 对于各向同性的线性介质，则 2 21E w e ε=电场力：库仑定律：r r q q e F 24πε'=常电荷系统：常数=-=q e lW F d d常电位系统：常数==ϕlW F e d d题 解2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。

静电场 恒定电场习题解答主要问题： 1） 矢量标量书写不加区分（忘记在矢量顶部加箭头） 2） 机械抄袭标准答案，不理解其含义3）不理解极化电荷面密度和极化电荷体密度含义:极化电荷面密度仅仅存在于介质表面，静电场情形下导体表面没有极化电荷面密度（题2-15） 4）所谓验证边界条件对静电场而言有两种方法（题2-13），一是从电位着手判断电位是否连续（12?Φ=Φ）法向电位条件如何？（1212s n nεερ∂Φ∂Φ-+=∂∂，这里格外需要注意说明边界上有没有电荷?s ρ=）二是判断切向电场是不是连续，法向电通密度是不是相等，要是不等，面电荷密度是多少 这两种方法等价。

5）2-2题很多人和标准答案中的坐标图不一致，答案却一样，明显错误2-1、半径为a 的球内充满介电常数为1ε的均匀介质，球外是介电常数为2ε的均匀介质。

若已知球内和球外的电位分别为：122(,) ()(,) ()r Ar r a Aa r r a rθθθθΦ=≤⎧⎪⎨Φ=≥⎪⎩ 式中A 为常数。

求1） 两种介质中的E 和D ；2） 两种介质中的自由电荷密度。

解：1) 在r < a 区域内：111111111A Ar r A A θθεεθε∂Φ∂Φ=-∇Φ=--=--∂∂==--rθr θ1r θE e e e e D E e e ， 在r > a 区域内：()()2222222121Aa r r rAarθθεεθ∂Φ∂Φ=-∇Φ=--=-∂∂==-2r θr θ22r θE e e e e D E e e 2) 在r < a 区域内：。

()()()21112111sin sin 2cot r r D D r r r Arθρθθθεθθ∂∂=∇⋅=+∂∂=-+1D在r > a 区域内：()()2222222311sin sin cot r r D D r r r Aa rθρθθθεθ∂∂=∇⋅=+∂∂=-2D 在球面r = a 上，电荷面密度()()()12s r a r a A ρεεθ===⋅-=⋅-=+21r 21n D D e D D2-2一个半径为a 的半圆环上均匀分布线电荷ρl ，求垂直于半圆环平面的轴线z ＝a 处的电场强度。

第二章静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。

通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。

讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。

介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。

介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。

至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式真空中静电场方程：E d S q积分形式： E d l 0S l微分形式：E E 0已知电荷分布求解电场强度：1，E(r)( r ) ；1( r) ( r ) d V4 0V | r r|(r)( r r)2，E(r) d VV 4 0| r r|33，E d S q高斯定律S介质中静电场方程：积分形式：D d S q E d l0S l微分形式：D E0线性均匀各向同性介质中静电场方程：积分形式：E d S qE d l 0S l微分形式：E E0静电场边界条件：1，E1 t E 2 t。

对于两种各向同性的线性介质，则D1t D2 t122，D2 n D 1n s 。

在两种介质形成的边界上，则D1 n D2 n对于两种各向同性的线性介质，则1 E1 n 2E2 n3，介质与导体的边界条件：e n E0 ；e n D S若导体周围是各向同性的线性介质，则E n S；Sn 静电场的能量：1 Q21孤立带电体的能量： W e Q2 C2离散带电体的能量： W e n1i Q i i 12分布电荷的能量：W e11S d S1V 2d V l d lS 2l 21静电场的能量密度：w e D E212对于各向同性的线性介质，则w e E2电场力：库仑定律： Fq q2err4常电荷系统： Fd W eq 常数d ldW e常电位系统： F常数d l题解2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q点电荷q 位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求及 4 q ，当q的大小及位置。

电磁场与电磁波（第三版）课后答案第2章第⼆章习题解答⼀个平⾏板真空⼆极管内的电荷体密度为43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。

如果040V U =、1cm d =、横截⾯210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。

解（1） 43230004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=??110044.7210C 3U S dε--=-? （2）4320024d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? ⼀个体密度为732.3210C m ρ-=?的质⼦束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质⼦束，质⼦束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解质⼦的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。

由21mv qU = 得 61.3710v ==? m s故 0.318J v ρ== 2A m26(2)10I J d π-== A⼀个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀⾓速度ω绕⼀个直径旋转，求球内的电流密度。

解以球⼼为坐标原点，转轴（⼀直径）为z 轴。

设球内任⼀点P 的位置⽮量为r ，且r 与z 轴的夹⾓为θ，则P 点的线速度为sin r φωθ=?=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a a φφωρωθθππ===J v e e ⼀个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀⾓速度ω绕⼀个直径旋转，求球表⾯的⾯电流密度。

解以球⼼为坐标原点，转轴（⼀直径）为z 轴。

设球⾯上任⼀点P 的位置⽮量为r ，且r 与z 轴的夹⾓为θ，则P 点的线速度为sin a φωθ=?=v r e ω球⾯的上电荷⾯密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。

第二章 习题解答2.5试求半径为a ，带电量为Q 的均匀带电球体的电场。

解：以带电球体的球心为球心，以r 为半径，作一高斯面，由高斯定理S D dS ∙⎰ =Q ，及D E ε= 得，错误！未找到引用源。

r ≤a 时， 由S D dS ∙⎰ =224433Qr a ππ⨯，得34Qr D a π= 304Qr E a πε= 错误！未找到引用源。

r>a 时，由S D dS ∙⎰ =Q ，得34Qr D r π= 304Qr E rπε= 2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a 和b （a<b ），内外导体间为空气。

设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S ρ和2S ρ，求： 错误！未找到引用源。

空间各处的电场强度；错误！未找到引用源。

两导体间的电压；错误！未找到引用源。

要使ρ>b 区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？解：错误！未找到引用源。

以圆柱的轴为轴做一个半径为r 的圆柱高斯面，由高斯定理S D dS ∙⎰ =q及D E ε= 得，当0<r<a 时，由S D dS ∙⎰ =q=0，得D =0，E =0当a ≤r ≤b 时，由S D dS ∙⎰ =q,得D r l π⨯2⨯= 1S ρa l π⨯2⨯D =1S r e r ρ ，10S r aE e rρε= 当b<r 时，由S D dS ∙⎰ =q,得D r l π⨯2⨯= 1S ρa l π⨯2⨯+2S ρb l π⨯2⨯D =12s s r a b e r ρρ+ ，E =120s s r a b e rρρε+ Equation.DSMT4 11ab 00ln b b s s a a a a a E dr dr r b ρρεε∅===⎰⎰ Equation.DSMT4 ρ>0的区域外电场强度为0，即：E =120s s r a b e rρρε+ =0，得1S ρ=2s b a ρ- 2.9 一个半径为a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q 的电荷，已知内部的电场为4()r r E a a= ，计算： = 2 \* GB2 ⑵球的外表面的电荷分布；布；= 4 \* GB2 ⑷球心的电位。

第二章 静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。

通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。

讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。

介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。

介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。

至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式真空中静电场方程：积分形式：⎰=⋅SS E 0d εq⎰=⋅ll E 0d微分形式：ερ=⋅∇E0=⨯∇E已知电荷分布求解电场强度：1，)()(r r E ϕ-∇=； ⎰''-'=V Vd )(41)(|r r |r r ρπεϕ2，⎰'''-'-'=V V 3d |4))(()(|r r r r r r E περ3，⎰=⋅SS E 0d εq高斯定律介质中静电场方程：积分形式：q S=⋅⎰ d S D⎰=⋅ll E 0d微分形式：ρ=⋅∇D0=⨯∇E线性均匀各向同性介质中静电场方程：积分形式：εqS=⋅⎰ d S E⎰=⋅ll E 0d微分形式：ερ=⋅∇E0=⨯∇E静电场边界条件：1，t t E E 21=。

对于两种各向同性的线性介质，则2211εεttD D =2，s n n D D ρ=-12。

在两种介质形成的边界上，则n n D D 21=对于两种各向同性的线性介质，则n n E E 2211εε=3，介质与导体的边界条件：0=⨯E e n ； S n D e ρ=⋅若导体周围是各向同性的线性介质，则ερS n E =；ερϕS n -=∂∂静电场的能量：孤立带电体的能量：Q C Q W e 21212Φ== 离散带电体的能量：∑==ni i i e Q W 121Φ分布电荷的能量：l S V W l l S S Ve d 21d 21d 21ρϕρϕρϕ⎰⎰⎰===静电场的能量密度：E D ⋅=21e w 对于各向同性的线性介质，则2 21E w e ε=电场力：库仑定律：rrq q e F 2 4πε'=常电荷系统：常数=-=q e lW F d d常电位系统：常数==ϕlW F e d d题 解2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。

第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z+-===e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由c o sAB θ=11238=A B A B ，得1c o s AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ==A B B （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x y z-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

第2章习题2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。

解：z y r z x r z y r z xr ˆˆ;ˆˆ;ˆˆ;ˆˆ4321+=+=+-=+-=84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41024442333222221110πεπεz y xr r q r r q r r q r r q E ++=+++=2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。

题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E(b) 由对称性0321=++=E E E E(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为yay x y x a E E E ll a ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=+--=+=半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为y a E lb ˆ20περ=总电场为0=+=b a E E E2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,,电荷线密度为ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为y d x y a d r a E ss s ˆ)ˆcos ˆsin (22ˆ00000⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρ题2-3图 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。

解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为ρρρπε'ˆ21),(0dx y x E d s =其中22)'(y x x +-=ρ；22)'(ˆˆ)'(ˆyx x y y xx x +-+-=ρ对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为)}2/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(22220y a x arctg y a x arctg y ya x y a x x y x E s --+++-++=περ 2-5.已知真空中电荷分布为r a ，b 为常数。