测量精度

测量精度指测量的结果相对于被测量真值的偏离程度。在测量中，任何一种测量的精密程度高低都只能是相对的，皆不可能达到绝对精确，总会存在有各种原因导致的误差。为使测量结果准确可靠．尽量减少误差，提高测量精度．必须充分认识测量可能出现的误差，以便采取必要的措施来加以克服。通常在测量中有基本误差、补偿误差、绝对误差、相对误差、系统误差、随机误差、过失误差与抽样误差等。

• 测量误差及其产生的原因

• 测量误差的分类与处理原则

• 偶然误差的特性

• 精度评定的指标

• 误差传播定律及其应用

一、观测误差

当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。

用数学式子表达： △i = Li – X (i=1,2…n)

L —观测值 X—真值

二、测量误差的来源

测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：

1、仪器的原因

① 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。

DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。

使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。

②仪器构造本身也有一定误差。

例如：

水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。

水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。

2、人的原因

观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。

3、外界条件

例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。

人、仪器和外界环境通常称为观测条件；

观测条件相同的各次观测称为等精度观测；

观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。

三、测量误差的分类

先作两个前提假设：

① 观测条件相同.

② 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。

先看两个实例：

例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。

丈量结果见下表5-1：

尺段数 一 二 三 四 五 ··· N

观测值 30 60 90 120 150 ··· 30 n

真实长度 30.04 60.08 90.12 120.16 150.20 ··· 30.04n

真误差 -0.04 -0.08 -0.12 -0.16 -0.20 ··· -0.04 n

可以看出：

误差符号始终不变，具有规律性。

误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。

误差对观测结果的危害性很大。

例 2：

在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。

大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右

可以看出：

② 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。

② 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响

引进如下概念：

1.系统误差 ---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差具有规律性。

2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。

3.粗差----观测中的错误叫粗差。

例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。

一旦发现，应及时更正或重测。

(二) 测量误差的处理原则

在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。

系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。

消除系统误差的常用的有效方法：

① 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。

② 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。

③ 采用合理的观测方法：如对向观测。

研究偶然误差是测量学的重要课题。

消除或削弱偶然误差的有效方法：

① 适当提高仪器等级。

② 进行多余观测，求最或是值。

偶然误差的特性

⑴ 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；

⑵ 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；

⑶ 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；

⑷ 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。

用公式表示为：0limlim21nnnnn

实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。

若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩小误差的区间d△，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。 即当n→∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。

正态分布曲线的数学方程式为

efy221)(22

为标准差，标准差的平方为 2方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：

正态分布曲线的数学方程式为

:

efy221)(22 ， nnnnn2222212limlim，nnnnlimlim2

从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:

1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之，△愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标： △拐=±

如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。

观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；

观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；

具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；

具有 较大

的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。

efy221)( 最大纵坐标点：21

5-2 衡量观测值精度的标准

一.中误差

误差△的概率密度函数为：

efy221)(

标准差： nnnnlimlim2

在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：

m=n

① 标准差σ中误差 m 的不同在于观测个数 n 上；

② 标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；

③ 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标；

④ 所以中误差是标准差的近似值估值；

⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ。

必须指出：

同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。

同精度观测值具有相同的中误差。

例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为

第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″；

第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.

试求这两组观测值的中误差。

由m=n

解得：m1=±2.7″ m2=±3.6 ″

可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高

二、容许误差（极限误差）

根据正态分布曲线，误差在微小区间d△中的概率：

p(△)=f(△) ·d△ 设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：

kmkmdfkmP)()(

分别以k=1,2,3代入上式，可得：

P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅

P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅

P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。

由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即△容=2m

三、相对误差

在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。

例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。

为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。

相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即N1。

上例为 K1= m1/L1=1/10000,

K2= m2/L2=1/2000

可见: 前者的精度比后者高。

与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。