1 专题02函数的应用(知识梳理)
第一节
函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
[小题体验]
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案：B
2．(教材习题改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是______．
答案：1
3．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
答案：－1，－12
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横 2 坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
[小题纠偏]
1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是( )
A．2 B．3
C．5 D．8
解析：选C 画出函数f(x)的图象，如图所示：
结合图象x<2时，两根之和是2，
第1页/共3页 高一数学《函数模型及其应用》教案
函数模型及其应用(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解解实际应用题的一般步骤;
2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;
3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1.数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.
2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括
建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键.
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 .
【精典范例】
例1.写出等腰三角形顶角 (单位：度)与底角 的函数关系.
例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为
万元,生产每台计算机的可变成本为 元,每台计算机的售价为 元.分别写出总成本 (万元)、单位成本 (万元)、销售收入
(万元)以及利润 (万元)关于总产量 (台)的函数关系式.
分析：销售利润 销售收入 成本 ,其中成本 (固定成本 可变第2页/共3页 成本).
【解】总成本与总产量的关系为
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。单位成本与总产量的关系为
销售收入与总产量的关系为
要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
河北高一数学新版必修一目录
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
阅读与思考 集合中元素的个数
1.2 函数及其表⽰
阅读与思考 函数概念的发展历程
1.3 函数的基本性质
信息技术应用⽰用计算机绘制函数图象
实习作业
小结
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
信息技术应用⽰ 借助信息技术探究指数函数的性质
2.2 对数函数
阅读与思考 对数的发明
探究也发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系
2.3 幂函数
小结
复习参考题
第三章 函数的应⽰
3.1 函数与方程
阅读与思考 中外历史上的方程求解 信息技术应用 借助信息技术方程的近似解
3.2 函数模型及其应⽰
信息技术应用 收集数据并建立函数模型
实习作业
小结
复习参考题
1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;
二次函数在对称轴的两侧有增也有降;
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x123…
y138…
则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()
A.y=2x-1B.y=x2-1
C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2
解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果的函数，故选D.
3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.
其中正确信息的序号是()
A.①②③B.①③
C.②③D.①②
解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.
4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积，此时x=________，面积S=________.
解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12
=-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212. 答案：1 1212
